UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI BERGAMO

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1 UIVERSITÀ DEGLI STUDI DI BERGAMO Facolà di Ecoomia Diparimeo di Maemaica, saisica, iformaica e applicazioi "Lorezo Mascheroi" Doorao di Ricerca i: Meodi compuazioali per le previsioi e decisioi ecoomiche e fiaziarie (XIX Ciclo) L UTILIZZO DELLE TRADIG RULES ELL OTTIMIZZAZIOE DI PORTAFOGLIO Tesi di Doorao di: Davide ORLADII Maricola Relaore: Chiar.mo Prof. Sergio ORTOBELLI Ao Accademico

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3 Ai miei geiori

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5 IDICE L UTILIZZO DELLE TRADIG RULES ELL OTTIMIZZAZIOE DI PORTAFOGLIO. oa iroduiva......iii Premessa......V L aalisi ecica e le radig rules.... Iroduzioe....2 I pricipi dell aalisi ecica Il mercao scoa uo La soria si ripee Le regole di radig (radig rules) Momeum Relaive sregh ide (RSI) Socasico Volailiy Sysem... 2 La pricipale radig rule: l icrocio ra medie mobili Iroduzioe U meodo immediao per sabilire il red i ao Riardo o falso segale? L uilizzo di due medie mobili Evelopes, massimi e miimi, approccio reverse Evelopes Massimi e miimi Approccio reverse Giusificazioe eorica all uilizzo delle medi mobili Iroduzioe Fodameo eorico delle medie mobili: ipoesi e esi Ipoesi Tesi Fodameo eorico delle medie mobili: dimosrazioe Dimosrazioe Cosiderazioi coclusive e applicazioe fiaziaria I

6 4 L oimizzazioe di porafoglio usado le radig rules Iroduzioe L idea di fodo: il coceo di poeziale I segali delle radig rules come poeziali L oimizzazioe di porafoglio al passo zero Il poeziale eo La liquidià: il iolo risk-free L oimizzazioe di porafoglio perperaa el empo Poeziali co memoria di posizioe Poeziali co memoria sorica Liearizzazioe del problema di oimizzazioe I risulai empirici dell applicazioe al mercao USA Iroduzioe L idice Dow Joes el periodo di sudio La scela delle radig rules per l oimizzazioe di porafoglio Il modello di oimizzazioe i deaglio I primi risulai Uleriori evideze empiriche Il cofroo co u modello classico di selezioe Coclusioi e possibili sviluppi fuuri Iroduzioe Siesi e coclusioi La defiizioe di radig rule e scela della regola da usare La dimosrazioe del fodameo eorico dell uso delle medie mobili U uovo approccio al problema dell oimizzazioe di porafoglio Lo sviluppo eorico del modello i base alle caraerisiche di u radig basao su segali ecici I risulai Sviluppi fuuri Appedice A...79 A. Iroduzioe A.2 Il primo se di parameri A.3 Il secodo se di parameri... 8 Appedice B...83 B. Iroduzioe B.2 Il codice di oimizzazioe i ambiee MPL Bibliografia ed Opere ciae II

7 oa iroduiva Prima di iiziare l esposizioe desidero rigraziare alcue persoe che hao permesso di realizzare queso lavoro. Iazi uo u cordiale rigraziameo va alla Prof.ssa Marida Berocchi e alla Prof.ssa Maria Grazia Speraza per la cosae compresioe e dispoibilià mosraa. Ifie u rigraziameo paricolare è per il Prof. Sergio Orobelli che mi ha sempre seguio foredo u valido e prezioso supporo. III

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9 Premessa PREMESSA L idividuazioe di modelli maemaici che guidio gli ivesimei sui mercai fiaziari (i paricolare ioli azioari) è u problema affroao ormai da svariai decei e i merio al quale la leeraura è sempre saa soricamee paricolarmee ricca. I seguio ai lavori di Fama [23] e Samuelso [52] ua vasa leeraura è saa prodoa al fie di ivesigare l ipoesi di efficieza dei mercai fiaziari (i.e. [7], [35], [9], [8], [22]), e alreao umerosi soo i lavori svoli per esare l aedibilià del modello radom walk come processo geeraore dei prezzi delle aivià fiaziarie. Come è oo, soprauo queso ulimo ambio di ricerca risula essere di grade ieresse pricipalmee per le implicazioi operaive che e coseguoo: ella misura i cui i prezzi dei ioli seguoo ua radom walk, ua scimmia bedaa che laci freccee coro le pagie di u giorale fiaziario può scegliere u porafoglio caraerizzao da ua performace i liea co quella di u porafoglio aico accuraamee selezioao da esperi (Malkiel 984). Sebbee i primi lavori presei i leeraura abbiao sosazialmee corroborao l ipoesi radom walk (i.e. [24], [34], [28], [8]), successivi sudi, sempre basai su es di aura saisica, hao sollevao svariae criiche a ale ipoesi (i.e. [6], [40], [6], [3], [4]). Per queso moivo, soprauo egli ulimi ai, la validià del modello radom walk o è saa più uaimemee codivisa i ambio accademico, e soo sae approfodie iumerevoli ricerche per defiire modelli ecoomerici più avazai, i grado di spiegare meglio le diamiche dei prezzi (i.e. [55], [5], [4], [], [38], [0], [3], [37]). Mi riferisco alla codizioe di efficieza i forma debole; essa è soddisfaa da u mercao fiaziario quado i prezzi correi rifleoo ue le iformazioi passae e quidi, basadosi esclusivamee su quese ulime, l aspeaiva oimale odiera del prezzo fuuro è il prezzo auale (eveualmee correo E p I = p co u opporuo asso risk-free): ( + τ ). V

10 Premessa Pur sudiado meodologie ache molo differei ra loro, quesi coribui soo comuque quasi sempre giui a due imporai risulai comui. Da u lao la coferma idirea dell iadeguaezza del modello radom walk, evideziado ua migliore performace esplicaiva dei modelli più complessi; dall alro ua limiaa capacià prediiva di quesi ulimi, quasi sempre soggei al feomeo di overfiig (i.e. [62], [53], [64]). Parallelamee al problema di sima dei prezzi o dei redimei fuuri, che appare quidi be loao dall essere esaurio e dal preseare ua soluzioe uaimemee codivisa, ha però preso sempre più piede ache lo sudio di ua reddiizia selezioe di porafoglio. Paredo dai fodameali lavori di Markowiz [44], [45], il ema dell oimizzazioe di porafoglio è diveuo u ambio di ricerca di crescee ieresse, porado alla defiizioe di umerosi modelli (i.e. [46], [43], [5], [65], [47], [6], [7]) che, cosiderado ache diversi aspei operaivi (i.e. [33], [36], [9], [4]), spesso si avviciao molo ache alle esigeze applicaive. Sebbee lo sudio di modelli prediivi di ipo ecoomerico sia u ambio di ricerca be disio da quello della selezioe di porafoglio 2, è ovvio che i risulai ecoomici di queso ulimo dipedoo i modo cruciale dall accuraezza delle previsioi ecoomeriche. Ifai la caraerisica che accomua gra pare delle meodologie di oimizzazioe è il fao di ecessiare almeo della sima dei redimei aesi di ciascua aivià fiaziaria compoee il paiere, olre che della loro correlazioe 3. Per queso moivo, ua limiaa capacià prediiva di quese variabili mia alla radice il risulao ecoomico della ecica di selezioe, essedo il fodameo su cui defiire ua qualuque sraegia di gesioe aiva di porafoglio. Le lacue dell ipoesi radom walk, e le difficolà ell idividuare u modello ecoomerico aleraivo i grado di descrivere accuraamee le evoluzioi dei prezzi 2 Soricamee i coribui i queso seso si soo pricipalmee rivoli verso emaiche proprie dell oimizzazioe. 3 È sempre richiesa ua capacià prediiva almeo fio al momeo del secodo ordie. Ad esempio, ei casi di programmazioe quadraica soo ecessarie le sime sieiche di media e covariaza, mere ei casi di programmazioe lieare è spesso richiesa la coosceza della disribuzioe discrea dei redimei aesi soo i vari sceari possibili. VI

11 Premessa (i.e. [29]), soo alla base del crescee ieresse, da pare della comuià accademica, per lo sudio delle radig rules 4. Se buoa pare della produzioe scieifica al riguardo (i.e. [63], [58], [60], [26], [2], [42], [5]) ha lo scopo di cofuare (o corroborare) l ipoesi di efficieza del mercao, u alra pare della leeraura (i.e. [2], [3], [2], [48], [27], [58], [66]) aalizza quese eciche di ivesimeo col solo fie di valuare e migliorare le loro effeive performace ecoomiche. Voledo perseguire quesi obbieivi, è bee soolieare che il risulao di ua radig rule o è la previsioe di ua o più gradezze di ieresse fiaziario, besì la cosruzioe della serie sorica dei segali di acquiso e vedia di ua presabilia aivià fiaziaria i u deermiao arco emporale. Per queso moivo, i parameri per valuare la boà di ua radig rule soo spesso molo diversi da quelli uilizzai per giudicare i risulai dei modelli prediivi ecoomerici, e su queso aspeo la comuià accademica è paricolarmee sesibile (i.e. [32], [39], [57], [30], [20]). I paricolare, è proprio la simulazioe sorica dei redimei geerai dall applicazioe dei segali della radig rule il modo pricipale araverso cui valuare la ecica operaiva. Sebbee lo sudio delle radig rules rappresei u ema di ricerca ceramee co acora amplissimi spazi di approfodimeo e sviluppo, la leeraura al riguardo aovera ormai umerosi coribui, i grado di coferire a quese eciche ache ua sempre maggiore efficacia come sraegie di ivesimeo i sigole aivià fiaziarie. Ma come sfruare quese eciche i oica di selezioe di porafoglio? Su queso aspeo la leeraura o presea gradi spui e proprio per queso pesiamo che la defiizioe di u uovo modello di oimizzazioe di porafoglio, basao sui segali operaivi derivai dalle radig rules ivece che sulle previsioi ecoomeriche, possa porare u ieressae coribuo alla leeraura già esisee, che su queso ema specifico sembra essere, per ora, molo povera. Per oeere queso obieivo procederemo su due froi. 4 Per radig rule si iede ua semplice sraegia meccaica, umerico-algorimica, per l acquiso e la vedia di aivià fiaziarie. L orgaizzazioe di più radig rules i u uica più aricolaa sraegia, pora alla defiizioe di ua radig sraegy ; mere l uilizzo cogiuo di diverse radig sraegy geera u radig sysem. VII

12 Premessa I primo luogo sarà ecessario raeggiare, ache velocemee, i pricipi cardie delle radig rules già oe i leeraura 5, coceradoci i paricolare su quella che verrà effeivamee uilizzaa per la selezioe del porafoglio. Compleeremo quesa pare prelimiare eado ache di compredere, dal puo di visa esclusivamee eorico, quali possao essere le basi dell applicazioe di ale sraegia. Evideemee raadosi comuque di u lavoro ell ambio dell oimizzazioe di porafoglio, la ricerca o sarà rivola all aalisi specifica di quese eciche operaive, o alla loro possibile evoluzioe, ma al miglior uilizzo di quelle già esisei così come soo. I secodo luogo ci occuperemo del cuore del problema, che è il puo fodameale della ricerca, ovvero l oimizzazioe di porafoglio vera e propria. I merio sarà ecessario defiire u diverso approccio al problema, e quidi riego che la praicamee assee leeraura specifica al riguardo coferisca allo sudio il fascio di u lavoro che, per i suoi aspei iovaivi, porebbe offrire u puo di visa molo uile alla ricerca dedicaa al problema della gesioe aiva di porafoglio. Cocluderemo espoedo i risulai empirici dell applicazioe della sraegia al mercao americao e paragoado ali risulai a quelli derivai dall applicazioe di u modello classico di oimizzazioe già oo i leeraura. 5 I paricolare è bee ricordare che sul ema delle radig rules la leeraura accademica prede spesso spuo dalla realà applicaiva degli operaori fiaziari. Per ua maggior compleezza duque, porà risulare uile eer presee ache i pricipali coribui della vasissima produzioe o accademica, ma comuque sempre di ipo scieifico, dei più accrediai operaori di mercao. VIII

13 . L aalisi ecica e le radig rules L aalisi ecica e le radig rules. Iroduzioe I meodi quaiaivi per valuare i movimei dei prezzi, e provare così a predere corree decisioi di radig, sao diveado srumei sempre più imporai elle aalisi di mercao, soseui ache dalla cosae crescia delle capacià di calcolo dispoibili. Sebbee il paorama degli approcci quaiaivi al problema della selezioe dei ioli e della empisica di radig sia esremamee vaso, è possibile comuque iquadrarlo all iero di ua acor più ampia classe di srumei di aalisi, comuemee oa come aalisi ecica. Co la diciura aalisi ecica si iedoo i buoa sosaza ui i modelli ierpreaivi e prediivi basai esclusivamee sullo sudio delle serie soriche dei prezzi, seza cosiderare alre variabili. A queso puo è bee raeggiare sieicamee alcui ieressai risulai accademici. Soricamee il dibaio sull effeiva uilià dell aalisi ecica si è sviluppao come cosegueza della verifica dell ipoesi di efficieza dei mercai fiaziari. Grazie ai primi lavori basai sull auocorrelazioe dei prezzi delle aivià fiaziarie (i.e. [34]) e sulla loro aalisi sperale (i.e. [28]), la leeraura iizialmee ha affermao prevaleemee l ipoesi di cammio casuale dei prezzi. I realà però fi da subio alcui auori hao avazao dubbi sull adeguaezza dei es uilizzai per deermiare l idipedeza socasica (i.e. [6], [40]) ao che alcui ricercaori (i.e. [25]), applicado alcue eciche di aalisi ecoomerica, hao dimosrao la preseza di auocorrelazioe di lugo ermie ei redimei dei ioli azioari, miado così la eoria radom walk. Iolre quado quesa eoria è saa verificaa araverso i due es saisici Bo- Price Q-es e Dikey Fuller F-es (i.e. [26]) è emerso il crescee rifiuo dell ipoesi radom walk co l icremeo della frequeza di rilevazioe dei dai.

14 . L aalisi ecica e le radig rules A queso puo è sembrao allora evidee che il processo di geerazioe del prezzo cambia el empo e o è lieare (i.e. [3]); sarà proprio paredo da queso fao, ovvero che il vero modello soosae la serie sorica dei prezzi o sia così ovvio, che prederà sempre più piede il razioale ieresse per l aalisi ecica. I uo ra i più origiali coribui i merio (i.e. [63]) si arriva addiriura a eorizzare come radom walk ed aalisi ecica possao covivere, dimosrado sosazialmee come ache i ua serie basaa su fluuazioi radom sia possibile i alcui periodi applicare co profio l aalisi ecica. Il cofroo ra aalisi ecica ed efficieza del mercao, o comuque l ivesigazioe delle reali capacià dei modelli ecici di geerare profio, dura ormai da decei e rimae uora apero. Possiamo sieicamee dire che gli sudi a favore della validià dell approccio ecico edoo ormai sempre più a dimosrare le loro ragioi araverso evideze empiriche (i.e. [3]). Ivece gli sudi che iedoo mosrare l ifodaezza dell aalisi ecica si sviluppao edezialmee su due idirizzi. Il primo è ach esso di aura puramee empirica (i.e. [49]), il secodo è volo ivece a miare i risulai di ale approccio moivadoli come ua sora di disorsioe psicologica degli operaori di mercao (i.e. [67]), cosegueza di u faore di auoalimeazioe che giusificherebbe solo e pos l applicazioe dei modelli ecici. I queso capiolo preseeremo ua sieica paoramica dei pricipi fodameali dell aalisi ecica e formalizzeremo alcue ra le sue più comui regole di radig di aura esclusivamee quaiaiva..2 I pricipi dell aalisi ecica Co la diciura aalisi ecica si iede lo sudio dell adameo dei prezzi dei mercai fiaziari el empo, allo scopo di idividuare proficui segali operaivi 6. Per quao quesa sia ua defiizioe molo ampia, è bee soolieare subio due aspei fodameali. 6 Col ermie segali operaivi si iedoo idicazioi di acquiso, vedia o assuzioe di posizioe eurale ei cofroi del mercao. 2

15 . L aalisi ecica e le radig rules Il primo è che o si era el merio della aura quaiaiva o meo dei modelli uilizzai per geerare i segali. I alre parole si può dire che qualsiasi espediee uile a defiire ua sraegia operaiva, purchè basao esclusivamee sulla soria dei prezzi passai, appariee all ampia sfera dell aalisi ecica. Il secodo è che o c è alcu riferimeo alla ecessià di prevedere l evoluzioe fuura dei prezzi i modo esplicio, ma solo la loro edeza. Per quao risuli evidee che ad esempio u segale di acquiso soieda u aspeaiva rialzisa del mercao, si può comuque eviare di formalizzare ale aspeaiva i ua previsioe esaa del prezzo fuuro, ma limiarsi solo a prevedere ale edeza al rialzo. I quesi ermii allora risula chiaro che ache u qualuque modello quaiaivo di aura ecoomerica riera formalmee ell ampia sfera dell aalisi ecica essedo ipicamee basao sullo sudio della serie sorica dei prezzi e provvededo addiriura a sabilire ua previsioe del prezzo fuuro (paredo dalla quale poi sarebbe facile sabilire ua sraegia operaiva). Quao deo rova uleriore approfodimeo ello sudio dei pricipi su cui si foda l aalisi ecica, comuemee oi araverso le espressioi: - il mercao scoa uo - la soria si ripee.2. Il mercao scoa uo L uica variabile uile per ierpreare e prevedere le edeze fuure del mercao è esclusivamee il mercao sesso, ovvero la serie sorica dei prezzi. o serve essua alra variabile di aura ecoomica, poliica, sociearia o alro. Esposo i quesi ermii il pricipio porebbe sembrare errao. La pricipale criica ad esso ifai sosiee che gli avveimei socieari, piuoso che geopoliici o macroecoomici, o possoo o essere uili a ierpreare le evoluzioi dei mercai. E ifai lo soo. Co la diciura il mercao scoa uo però si iede che il prezzo auale scoa isaaeamee ue le iformazioi dispoibili e rilevai fio a quel momeo, di qualuque aura. I alri ermii l iflueza di u eveo esero sui mercai è immediaa e cocomiae co la sua realizzazioe. Ciò rede quidi iuile 3

16 . L aalisi ecica e le radig rules u qualsiasi modello basao su quesi evei eseri, o essedoci disaza emporale ra la variabile dipedee (il prezzo) e quelle idipedei (gli evei). Voledo formalizzare queso pricipio, si porebbe dire che idicado co E ( p + ) la sima (valore aeso) al empo del prezzo (p) fuuro (al empo + ), vale la seguee relazioe: E ( p ) f ( p, p, K, p,k) + = [.] Il fao poi che il geerico p possa dipedere da u opporuo isieme di evei eseri (e), ovvero: p = ϕ ( e e, K, e,k), k è ceramee verosimile ma irrilevae. È evidee come la formalizzazioe [.] del pricipio secodo cui il mercao scoa uo è i effei esedibile ache ad u approccio al problema di sima di ipo ecoomerico. I realà il pricipio esposo è molo più ampio, ifai o è deo che debba esisere ua fuzioe f, ao meo esplicia, i grado di legare la serie sorica dei prezzi alla sima del valore fuuro. Come già esposo azi, o si fa emmeo riferimeo alla ecessià di ua sima del prezzo fuuro. Ricordado la defiizioe di aalisi ecica ifai è più correo formalizzare il pricipio esposo come: ( p, p, K, p, K) s γ [.2] Idicado, co abuso di scriura, che ua qualche relazioe γ ra i prezzi passai defiisce l operaivià da auare araverso il segale s. Per la precisioe ache la formulazioe [.2] o esprimerebbe la reale geeralià del pricipio esposo poiché soiede u approccio quaiaivo per la defiizioe dei segali, mere i geerale queso o è richieso ell ambio dell aalisi ecica. 4

17 . L aalisi ecica e le radig rules Comuque poiché queso lavoro prederà i esame esclusivamee modelli quaiaivi, la [.2] può rieersi soddisfacee..2.2 La soria si ripee Il secodo pricipio risula essere u ipoesi discuibile ma comuque ecessaria per poer predere decisioi che riguardao il fuuro i regime di icerezza (o solo ell ambio dei mercai fiaziari). Effeivamee o è dimosrabile che i geerale la soria si ripea. Azi c è ceramee maggiore evideza che il passao o si ripea co esaezza e più i geerale è sicuramee impossibile prevedere il fuuro. Però qui o siamo parlado di fuuro i geerale, ma di mercai fiaziari che rispecchiao il comporameo degli operaori che vi ivesoo. I defiiiva siamo aalizzado le cosegueze di u aeggiameo umao, e i quesa oica porebbe o essere così difficile azzardare previsioi. Se ad esempio su ua spiaggia affollaa qualche bagio dovesse gridare co isiseza squalo!, è facile prevedere che la paura dilagherebbe ra i bagai facedoli precipiare fuori dall acqua (a prescidere ra l alro dall effeiva preseza o meo del predaore). Il secodo pricipio dell aalisi ecica si foda proprio su quesa covizioe, ovvero che l uomo ede a reagire i modo ripeiivo e prevedibile a froe di alcui evei be defiii. el caso specifico dei mercai, queso o vuol dire pesare di prevedere il fuuro i seso lao, ma pesare ivece che al verificarsi di paricolari paer di prezzo, appareei a u risreo isieme, il mercao, o meglio gli uomii che lo compogoo, edoo a reagire i modo prevedibile. Quesa è ua puualizzazioe fodameale che rede ra l alro gra pare dei modelli ecoomerici be più oimisi di mole alre regole di radig comuque quaiaive. Ifai i primi edoo ad esprimere previsioi esae sui prezzi fuuri, e a poer formulare ali sime i qualsiasi momeo. Le regole di radig classiche al corario 5

18 . L aalisi ecica e le radig rules o esprimoo quasi mai previsioi sui prezzi ma solo sui segali operaivi, e queso iolre solo i cocomiaza di alcue paricolari coformazioi di prezzo (i ogi alro momeo o esprimoo segali). Sieizzai i pricipi di fodo dell aalisi ecica, è bee cocludere idicado quali siao le pricipali criiche di caraere geerale mosse ei cofroi di queso approccio. La pricipale criica è che o fuzioa. Moli (ma o ui) ra i modelli di aalisi ecica soo ormai oi sia ra gli operaori professioali sia amaoriali, eppure soo pochissimi gli ivesiori che raggoo vaaggi apprezzabili dall uilizzo di ale modellisica. I risposa è bee soolieare dapprima quao sia curioso che ale appuo vega spesso rivolo solo all aalisi ecica, rascurado gra pare degli alri approcci alle decisioi di ivesimeo, pur rovadosi comuque ella medesima siuazioe. Premesso iolre che l obieivo di queso lavoro o è giusificare l uilizzo dei modelli quaiaivi derivai dall aalisi ecica, è comuque evidee che aaccare uo srumeo di aalisi solo perché moli lo cooscoo superficialmee ma pochi e raggoo vaaggio è ua criica abbasaza serile. Cosiderado ra l alro l eorme quaià di modelli dispoibili e la coseguee ecessaria abilià dell ivesiore ell operare ua proficua scela, si capisce come la moliudie di regole di radig e la loro coosceza o pori i realà alcu vaaggio auomaico. Tipicamee ifai l ivesiore di successo è compresibilmee geloso della propria sraegia, che rederà oa, aggiugedola alla già affollaa schiera di modelli esisei, solo quado la sua efficacia iizierà a riseire delle muae codizioi di mercao. Ragioe di più per compredere l imporaza dell iuio e della capacià di selezioe ecessaria al rader che si avvicia all aalisi ecica. La secoda criica mossa ai modelli di aalisi ecica, acorché quaiaivi, viee pricipalmee dall ambiee accademico. I buoa sosaza a prescidere dal risulao ecoomico derivae dalla loro applicazioe, si sooliea come quasi essuo di ali modelli possegga ua solida base eorica i grado di giusificare l uilizzo. Quesa criica è ceramee fodaa ed è cosegueza pricipalmee di due faori. 6

19 . L aalisi ecica e le radig rules Il primo è radicao ella geesi sessa dei modelli discussi: quesi soo quasi sempre sai perfezioai da rader di successo, o da eorici dei mercai. Per quesi ivesiori l uico problema è defiire ua regola, el osro caso quaiaiva, ale da geere ricchezza co sufficiee evideza empirica. L uica giusificazioe cercaa è quidi proprio solamee empirica, l esiseza o meo di basi ache eoriche, è sao da sempre u problema di scarso ieresse. Bisoga chiarire però che l ivesigazioe della base eorica è sao appuo u ema semplicemee soovaluao, ma queso o sigifica che o si possao rovare adeguae basi eoriche, qualora veissero ricercae. Semplicemee raramee ci si è impegai i al seso. Queso è i realà sreamee legao al secodo faore che deermia la criica i oggeo, ovvero la loro o liearià. I alre parole, come vedremo, ache i modelli quaiaivi più semplici, soo i realà ali solo dal puo di visa compuazioale /algorimico e diciamo dal puo di visa di ua loro agevole compresioe per il seso comue. Dal puo di visa sreamee maemaico ivece si raa di codizioi esremamee complesse, mai lieari, spesso idividuae da u sisema di subcodizioi del ipo se / allora, ricche di parameri e variabili. Ivesigare le proprieà saisiche di ali regole va quasi sempre be olre la semplicià co cui ad esempio si possoo descrivere i regressori o gli simaori di aura ecoomerica più popolari..3 Le regole di radig (radig rules) Dopo aver sieicamee riassuo i pricipi dell aalisi ecica e alcui ra i pricipali spui di dibaio circa il suo uilizzo, passiamo ora ad esporre molo brevemee i più comui modelli quaiaivi di radig. È uile chiarire subio che per ua qualsiasi regola di radig vi soo solo due possibili approcci al mercao: quello red followig oppure quello reverse. Suppoiamo ad esempio di rovarci i u momeo di up red del mercao (el caso di dow red il ragioameo è simmerico). o è imporae formalizzare ora queso 7

20 . L aalisi ecica e le radig rules sao, per ora è sufficiee l idea di up red secodo il seso comue, ovvero ua cera edeza rialzisa dei prezzi. Per decidere circa l ivesimeo si può pesare che il red i ao sia desiao a proseguire, e quidi procedere all acquiso, oppure agire ella covizioe che il red i ao sia ormai per esaurirsi, e quidi vedere (eveualmee allo scopero). el primo caso si segue u modello red followig, i cui la voloà è di accodarsi al red i ao ed il rischio è quidi di ivesire ormai roppo ardi. el secodo caso il modello è di ipo reverse, i cui si cerca di aicipare il cambiameo del red rischiado quidi di precorrere roppo i empi. Come vedremo praicamee qualsiasi modello può essere uilizzao sia i u oica sia ell alra. I ulimo, per quao riguarda la oazioe, prederemo come imeframe di riferimeo quello gioraliero (è solo ua scela di comodo, ragioamei ideici valgoo ache per iervalli emporali diversi). I relazioe all iervallo di empo i quaro valori di riferimeo soo il prezzo di aperura, il massimo, il miimo e la chiusura, che idicheremo rispeivamee co A, M, m, C..3. Momeum Il momeum è ua radig rule semplicissima che defiisce il red i ao basadosi su opporue differeze (o rappori) di prezzi. Il calcolo del momeum µ è quidi la differeza ra l ulimo prezzo e l omologo di periodi (el osro caso giori) precedei: µ = C C I segali operaivi, i oica red followig, vegoo dai al verificarsi delle seguei codizioi (ua vola sabilii i due parameri µ BUY e µ SELL ): se se µ > µ BUY acquisa µ < µ SELL vedi 8

21 . L aalisi ecica e le radig rules I oica reverse soo evideemee i simmerici opposi. Come si può vedere ua regola di radig baale come quesa prevede comuque ua scela sraegica fodameale: approccio red followig o reverse, e soprauo la defiizioe di re parameri:, µ BUY e µ SELL. Come è iuibile quesa sraegia operaiva può essere sviluppaa e ampliaa i ifiii modi, ad esempio rededo diamici i parameri uilizzai, oppure sfruado opporue medie pesae dei prezzi al poso dei sigoli C e C. Diciamo fi da ora che quesa è i realà ua caraerisica di praicamee ui i radig sysem, ovvero quella di poer essere ampiamee sviluppai. Uleriori modifiche possoo iolre essere apporae allo sesso meodo di calcolo, come ad esempio el caso dell alreao coosciuo rae of chage (ROC), ua variae che prevede: C µ = C I segali operaivi soo poi geerai i modo aalogo. I merio al rae of chage deve essere iolre ricordao come ale radig rule sia saa ampiamee raaa ache i leeraura (i.e. [58], [59], [60]) dove, comuemee oa col ome di filer rules, essa è saa ua dei più uilizzai es per verificare l ipoesi di efficieza del mercao..3.2 Relaive sregh ide (RSI) L RSI sudia il red i ao seza limiarsi alla differeza (o al rapporo) ra due sigoli prezzi ad opporua disaza, ma aalizzado ciò che è successo i quel iervallo di empo. Così, idicado co ρ la media delle chiusure al rialzo degli 9

22 . L aalisi ecica e le radig rules ulimi giori 7, e co η la media delle chiusure al ribasso degli ulimi giori, prese col sego posiivo, vale: RSI ρ = ρ + η Per cui è immediao oare che 0 RSI. Per curiosià i quesi casi, ovvero quado la radig rule è basaa su u idice i cui valori soo limiai, viee chiamaa oscillaore. Per ciò che cocere i segali operaivi, ache i queso caso il radig segue le seguei regole: se se RSI > RSI acquisa BUY RSI < RSI vedi SELL quado l approccio al mercao è di ipo red followig, il corario se ivece si preferisce l imposazioe reverse e ache i queso caso per uilizzare l RSI soo ecessari re parameri. Per compleezza cocludiamo ricordado che ache l RSI è ua radig rule già aalizzaa i leeraura (i.e. [56])..3.3 Socasico La radig rule socasico è ach essa u idicaore di red; il suo calcolo o uilizza solamee i prezzi di chiusura ma ache i massimi e miimi regisrai i u opporuo iervallo emporale. I paricolare defiedo co λ i, e co i= 0, K, raggiuo egli ulimi giori, ovvero = MAX ( M ) λ il prezzo massimo γ l aalogo miimo raggiuo egli ulimi giori, si ricava il rapporo ( S ) calcolao come segue: 7 Si iede la media delle differeze alle chiusure dei soli giori rialzisi ell iervallo di empo cosiderao. 0

23 . L aalisi ecica e le radig rules S C γ = λ γ e K = i= 0 S i Ovvero K è la media degli ulimi valori di geerai secodo il seguee schema (i oica red followig): S. I segali operaivi vegoo se se S > K e K S < K e K S acquisa S vedi Quidi lo socasico ecessia esclusivamee di due parameri, cioè e..3.4 Volailiy Sysem Quesa radig rule si basa sulla volailià del mercao; per essa è ecessario calcolare prelimiarmee quello che viee chiamao rue rage: ( M m M C m C ) TR ovvero l ampiezza massima reale 8 = MAX,, percorsa ell ulimo periodo (gioro) dal prezzo di mercao. A queso puo i segali operaivi si raducoo come segue (sempre i ipoesi di red followig): 8 Si ricorda che ra la chiusura di u gioro e l aperura del gioro successivo possoo verificarsi gap di prezzo che devoo comuque essere cosiderai.

24 . L aalisi ecica e le radig rules se k C > C + TR i i= 0 compra se k C < C TR i i= 0 vedi essedo k u coefficiee opporuamee scelo per ampliare o limiare il peso della media dei rue rage di periodo. Evideemee il volailiy sysem ricerca quidi srappi di volailià ell adameo dei prezzi e suggerisce posizioi uilizzado due parameri: k e. 2

25 2. La pricipale radig rule: l icrocio ra medie mobili 2 La pricipale radig rule: l icrocio ra medie mobili 2. Iroduzioe el precedee capiolo abbiamo esposo molo sieicamee alcui rai del dibaio ieree l aalisi ecica, e preseao alcue ra le versioi base delle più semplici radig rules oe ra gli operaori. Dovrebbe essere chiaro a queso puo quello che è u approccio al radig basao sull aalisi ecica, di ipo puramee quaiaivo, o basao su alcua previsioe dei prezzi fuuri (o redimei), ma ivece fodao sui segali operaivi. I queso e el prossimo capiolo preseeremo la regola di radig di gra luga più imporae, coosciua e uilizzaa, e forse ache la più semplice (almeo ella sua versioe base): l icrocio di medie mobili. Sebbee o sia obieivo di queso lavoro l aalisi approfodia di quesa regola di radig, risula comuque doveroso chiarire, almeo per sommi capi, alcui imporai risulai accademici i merio. Già ua delle prime e più aricolae ricerche empiriche sulla profiabilià dell uso delle medie mobili (e o solo) (i.e. [26]) aveva agevolmee dimosrao come i movimei di mercao si caraerizzao per sisemaiche persiseze ei prezzi che poevao essere efficacemee ierceae proprio dalle medie mobili. Paredo da quesi risulai, alcui successivi lavori (i.e. [48], [27]) hao dao uleriore robusezza alle evideze empiriche sopra ciae, mosrado l effeiva capacià di geerare profio dell icrocio di medie mobili sia sul mercao americao sia su quello iglese e su due periodi emporali di applicazioe disai be dieci ai ra loro. Sempre i riferimeo al mercao americao ifie, è di paricolare ieresse rilevare come la radig rule basaa sull icrocio di medie mobili abbia mosrao redimei o compaibili co le ipoesi radom walk, AR(), GARCH-M ed Epoeial GARCH, e queso su u periodo di es di quasi u secolo (i.e. [2]). 3

26 2. La pricipale radig rule: l icrocio ra medie mobili Alloaadoci dall aalisi e sviluppo delle risulaze empiriche di quesa radig rule, che o compeoo a queso lavoro, il presee capiolo preseerà sieicamee queso srumeo dal puo di visa della sua geesi, delle sue ierpreazioi e iumerevoli sviluppi i u oica però sreamee applicaiva. Il prossimo capiolo avrà ivece il compio di erare el merio delle sue proprieà saisiche, uili per il proseguo della ricerca. 2.2 U meodo immediao per sabilire il red i ao Forse la prima domada che si poe u rader quaiaivo per operare sul mercao è come poer sabilire, davai a ua serie sorica, il red i ao. È abbasaza iuiivo che il modo più semplice sembra essere il cofroo dell ulimo prezzo co ua media degli ulimi prezzi. Se sarà superiore probabilmee il red i ao sarà rialzisa, alrimei ribassisa. Ebbee il primo srumeo puramee quaiaivo e oggeivo di aalisi ecica, uilizzao già agli iizi del '900, acque proprio su queso pricipio e si basa sui segali geerai dall icrocio di opporue medie mobili (la regola di radig è comuemee oa semplicemee come medie mobili ). Def. 2.: Daa ua serie sorica { } co ampiezza, ceraa i T, la gradezza: =, K defiiamo: media mobile di MM T i i= 0, T ( ) = [2.] I sosaza si raa della media semplice degli ulimi valori prima del T-esimo (icluso). Il pricipio sopra esposo allora si raduce come segue. Idicado co l ulimo prezzo di riferimeo a disposizioe (ad esempio l ulima chiusura daily se { } T 4

27 2. La pricipale radig rule: l icrocio ra medie mobili è la serie sorica delle chiusure), se MM ( ) > diremo che il red i ao è T, T rialzisa, mere aalogamee se MM ( ) < il red sarà ribassisa. T, T Evideemee l uico paramero della media mobile come i [2.] è, ovvero il umero di valori da mediare. La leeraura di aalisi ecica o aiua paricolarmee i ale scela, almeo se la si vuole affroare co u aglio scieifico. Per curiosià è idicaivo sapere che ua delle scele più diffuse è ad esempio = 0, ma o per approfodii sudi sull efficacia di ale scela. Semplicemee a causa di u reaggio sorico, basao sul fao che quesa radig rule è precedee all avveo o solo dei moderi calcolaori, ma ache delle calcolarici. E allora la scela di = 0 risulava coveiee dal puo di visa compuazioale: l ivesiore doveva semplicemee sommare dieci prezzi e sposare la virgola di u poso. Seza essua difficile divisioe. Approfodiremo el prossimo capiolo la scela di. Ora coceriamoci sulla geerazioe dei segali. Abbiamo ipoizzao che se > MM ( ) siamo i preseza di up-red, se MM ( ) T, T T se: < il red è ribassisa. T, T È evidee allora che l iizio dell up-red coiciderà ad esempio co il momeo > MM ( ) e MM ( ) T, T T, T [2.2.a] Rimarrà rialzisa fi quado MM ( ) diveado ribassisa, ell isae Γ i cui: > co i = T +, K e cambierà, i, i < Γ MM, Γ( ) e MM, Γ( ) Γ [2.2.b] Cercado di cogliere l ierezza dei red, l ivesiore razioale sabilirà duque i seguei segali operaivi, i u oica red followig: se [2.2.a] acquisa se [2.2.b] vedi 5

28 2. La pricipale radig rule: l icrocio ra medie mobili Affiché gli elemei dell archivio fossero uili per i osri fii, si è fao i modo che rispodessero ai requisii di cosiseza, omogeeià ed elevaa umerosià. La cosiseza dell archivio deve impedire, i primo luogo, la preseza di coraddizioi ra i dai raccoli; i secoda baua deve garaire la coereza delle moleplici rielaborazioi effeuae. Quese codizioi soo deae dalla ecessià di assicurare sigificaivià ai modelli oeui, accerado che si basio su iformazioi corree. L omogeeià è legaa a due aspei. I primo luogo, raadosi di valori umerici, si esige, per quao possibile, u uiforme poliica d approssimazioe e u uiforme uià di misura; i secodo luogo, si vuole la cerezza del sigificao aribuio a ciascu dao. Solo assicurae quese due caraerisiche sarà possibile ierpreare correamee i risulai e le icerezze a loro associae. La umerosià, ifie, coferisce solidià e digià alle relazioi oeue. A parià di performace, ad esempio, i modelli che descrivoo l evoluzioe del lisio pricipale della Borsa Ialiaa sarao ao più apprezzabili, quao più ampio sarà l orizzoe emporale da loro ivesigao. La cosruzioe e gesioe dell archivio è saa duque sempre improaa ad assicurare quese codizioi. I realà, la srada si è dimosraa ira di difficolà, poiché spesso perseguire ua prerogaiva sigificava alloaare le alre. Per le cosegueze sulla modellisica, la creazioe della base di dai è saa ceramee uo dei passaggi chiave di uo il lavoro di esi. Iolre la quaià e varieà dei problemi icorai durae la sua sesura hao imposo, per le relaive soluzioi, scele di caraere esremamee persoale. Per quesi moivi si è evideziaa la ecessià di dedicare u capiolo all approfodimeo delle caraerisiche di quesa preziosa risorsa. 2.3 Riardo o falso segale? L uilizzo di due medie mobili Le codizioi [2.2.a] e [2.2.b] porgoo il fiaco al rischio di falsi segali. Per falso segale si iede u segale operaivo che si verifica i u cero isae ma viee 6

29 2. La pricipale radig rule: l icrocio ra medie mobili coraddeo (araverso u segale di sego opposo) subio dopo, o comuque a disaza di brevissimo empo. I falsi segali olre a geerare rade quasi sempre i perdia, implicao ache elevai cosi di commissioe (cambiado spesso posizioe ei cofroi del mercao) e quidi soo da eviare. Le codizioi [2.2.a] e [2.2.b] soo ao più espose a ale rischio quao più è elevao o la volailià dei prezzi è elevaa. All aumeare di ifai, MM ( ), T verrà ifluezaa sempre meo da T (il cui peso all iero della media è: ), che al corario varierà sempre più quao più è elevaa la sua volailià. I quese codizioi allora o è improbabile che si verifichi i successioe: ( ) MM poi, T T ( ) MM ( ) > MM poi T, T, T MM ( ) MM ( ) T +, T +, T ovvero che il prezzo ua vola raggiua (e superaa) la media mobile eda a ballarci ioro almeo per u breve periodo i ragioe della sua maggior volailià, geerado così falsi segali. I ermii ecici si dice allora che il semplice prezzo è roppo veloce rispeo alla media del segale (ovvero alla media di riferimeo, dea ache lea ). Vi soo diverse soluzioi a queso problema. Diversi accorgimei i grado di limiare queso rischio. Per quasi ui il puo di pareza è l uilizzo di ua secoda media mobile per geerare i segali. Il meodo più iuiivo per raffreddare il prezzo è ifai quello di mediarlo uovamee. I alri ermii cofroeremo MM ( ) media mobile: ( ) MM, T co <. Come prima allora MM ( ), T o più co T ma co u alra, T ha la fuzioe di idividuare il valore di riferimeo del mercao degli ulimi periodi, diciamo alla luga ; mere ( ) MM, T descriverà 7

30 2. La pricipale radig rule: l icrocio ra medie mobili la edeza del breve periodo (essedo caso esremo sopra esposo i cui = ). <, a vole addiriura <<, fio al Aalogamee a quao deo allora i segali operaivi sarao: se MM, T ( ) > MM, T ( ) e MM, T ( ) MM, T ( ) se MM, Γ ( ) < MM, Γ( ) e MM, ( ) MM, Γ( ) compra i T [2.3.a] Γ vedi i Γ [2.3.b] Quesa è la radig rule (red followig) oa come medie mobili, che quidi è idividuaa dai due parameri ieri e. La scela di quesi parameri è ovviamee discrimiae per l efficacia del modello. I paricolare sarà da ricercare il correo rade off ra reaivià e asseza di falsi segali. Quao più è elevao ifai, ao più si rischia di icorrere i falsi segali secodo quao sopra riporao. D alro cao è chiaro che quao più è elevao, ao più la media veloce verrà freaa, diveado sempre meo capace di ierceare velocemee i cambiamei el red di mercao. Cogliere i riardo il red i ao oppure icorrere i segali roppo frequei soo le due cause di iefficacia della sraegia esposa, evideemee cosegueza di u erraa scela di e. 2.4 Evelopes, massimi e miimi, approccio reverse Dal puo di visa del rader operaivo i realà, dovedo scegliere ra i due mali, è quasi sempre preferibile ivesire a red già iiziao piuoso che cadere i ua sequeza di falsi segali. Ifai el primo caso soo semplicemee limiai i guadagi, mere el secodo soo quasi sempre perdie cere. Per queso moivo la leeraura di aalisi ecica si è arricchia di moli espediei per irrobusire uleriormee i segali geerai dalle medie mobili ([2.3.a] e [2.3.b]). Il pricipio di base è eviare di paragoare la media veloce sempre e solo co la media lea. E queso perchè quado le due si avviciao e si icrociao, aumeao 8

31 2. La pricipale radig rule: l icrocio ra medie mobili ecessariamee i rischi di uo sfarfallameo della prima sulla secoda, poiché quella veloce è ieviabilmee (e giusamee) soggea a maggiore volailià Evelopes Ua possibile variae allora prevede di cofroare la media veloce co ua sovrasima di quella lea i caso di segale di acquiso, e co ua sua soosima per geerare il segale di vedia. I sosaza si decide ua perceuale δ che modifica i segali come segue: se MM ( ) > ( + ) MM ( ) e MM ( ) ( ) MM ( ) T, T, δ δ buy i T [2.4.a], T +, T se MM, Γ( ) < ( δ ) MM, Γ( ) e MM, Γ( ) ( ) MM, Γ( ) δ sell i Γ [2.4.b] I queso modo il aglio ad esempio della ( δ ) ( ) + MM, T, e relaivo eveuale sfarfallameo el suo ioro, difficilmee comporerà rischi di aglio prossimo ache MM, Γ della ( ) ( ) δ meedo di fao al riparo da falsi segali. Il uo evideemee araverso ua accora scela di δ che diviee il erzo paramero da sabilire. Come è ovvio o è ecessario allargare la media del segale i ermii perceuali; è possibile farlo ache i ermii assolui, ovvero: > +, + buy i T [2.5.a] se MM, T ( ) MM, T ( ) δ e MM T ( ) MM, T ( ) δ < Γ, sell i Γ [2.5.b] se MM, Γ( ) MM, ( ) δ e MM Γ( ) MM, Γ( ) δ I merio u apprezzao modello di valorizzazioe di δ è dao dal oo meodo delle bade di Bolliger 9, dove i buoa sosaza δ rappresea ua, due o re vole la deviazioe sadard degli sessi prezzi presi i cosiderazioe per il calcolo della media del segale. 9 Dal ome del primo rader che le uilizzò diffusamee pubblicado apprezzai sudi i merio. 9

32 2. La pricipale radig rule: l icrocio ra medie mobili Massimi e miimi U secodo meodo per coeere il rischio di falsi segali è dao dall uilizzo dei massimi e miimi del imeframe uilizzao. Suppoiamo, come già el primo capiolo, che la serie sorica rappresei dai daily, per cui { } rappresea la serie dei prezzi di chiusura gioralieri, { } massimi gioralieri e { γ } i miimi. I segali operaivi porebbero allora essere geerai come segue: λ la serie dei se MM, T ( ) > MM, T ( λ) e, T ( ) MM, T ( λ) MM buy i T [2.6.a] se MM ( ) MM ( γ ) e ( ) MM ( γ ), Γ <,Γ MM sell i Γ [2.6.b], Γ, Γ Poiché per defiizioe per ogi : γ, è la aurale disaza ra i massimi λ e miimi gioralieri che assicura ua cera disaza ra le due medie del segale: MM, ( λ) e ( γ ) T MM da cui e deriva la bassa probabilià del aglio di ua e,γ successivo immediao aglio dell alra. Il vaaggio di queso approccio è legao all elevaa capacià di adaameo delle medie del segale. Ifai i periodi di elevaa volailià, quidi elevao rischio di falsi segali, la disaza ra i massimi e i miimi ede ovviamee a dilaarsi, alloaado così auomaicamee le relaive medie mobili. Il uo seza aggiua di uleriori parameri. Quao esposo aiua a eviare il rischio di falsi segali ma evideemee a scapio di ua elevaa reaivià sul mercao. I alri ermii si aumea il riardo co cui si idividua e sfrua il cambiameo del red. D alro cao però, essedo aieici, è impossibile risolvere coemporaeamee il problema del riardo dell ivesimeo e il problema di ua eccessiva operaivià. 20

33 2. La pricipale radig rule: l icrocio ra medie mobili Approccio reverse La cosruzioe di u caale di riferimeo (sia araverso scosamei fissi, sia araverso massimi e miimi) cerao sulla media del segale permee di uilizzare le medie mobili ache i oica reverse. Quesa ierpreazioe ifai si basa sul fao che il raggiugimeo del livello superiore del caale idicherebbe ua siuazioe di eccessiva spia rialzisa del mercao, ecicamee ua siuazioe di ipercomprao. Aalogamee poi il raggiugimeo del supporo iferiore idicherebbe ua siuazioe di iperveduo. Il raggiugimeo di ali livelli allora comporerebbe u operaivià reverse (coro red) goveraa ad esempio dai seguei segali: se MM, T ( ) > MM, T ( ) + δ e MM T ( ) MM, T ( ) + δ, sell i T [2.7.a] se MM, Γ( ) < MM, Γ( ) δ e MM Γ( ) MM, Γ( ) δ, buy i Γ [2.7.b] 2

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37 3. Giusificazioe eorica all uilizzo delle medie mobili 3 Giusificazioe eorica all uilizzo delle medi mobili 3. Iroduzioe L uilizzo di medie mobili è uo dei radig sysem più diffusi ra gli operaori, aoverado chiaramee sviluppi che vao be olre quao velocemee esposo el precedee capiolo (e che o è obieivo di queso lavoro approfodire). oosae queso diffuso apprezzameo però è evidee che u lavoro che abbia valeza scieifica o possa esimersi dal ricercare fodamea eoriche be più robuse che u semplice giudizio posiivo diffuso. I leeraura però i lavori che aalizzao le proprieà saisiche delle medie mobili da u puo di visa eorico, seza rifarsi ai risulai empirici, soo molo rari. A pare alcui casi (i.e. [], [50]), i cui per alro si acceao ipoesi molo resriive sui processi socasici che guidao la formazioe dei prezzi, oppure si sudiao le proprieà saisiche di medie mobili molo specifiche (per le quali ad esempio deve essere = e = 2), la leeraura offre scarsi spui. È proprio i queso capiolo allora che dimosreremo la fodaezza eorica di queso srumeo dal puo di visa saisico, impegadoci ad affroare il problema i modo che i risulai possao essere di validià esremamee geerale. 3.2 Fodameo eorico delle medie mobili: ipoesi e esi Vogliamo dimosrare che ha seso rieere che la codizioe [2.3.a] idividua effeivamee u up-red (di cosegueza la [2.3.b] idividuerà u dow-red). Chiaramee affroeremo quesa dimosrazioe dal puo di visa saisico poiché, come è iuibile, è impossibile defiire u modello i grado di prevedere co esaezza maemaica l evoluzioe dei red di mercao. 23

38 3. Giusificazioe eorica all uilizzo delle medie mobili L iezioe è di imposare il ragioameo da u puo di visa esremamee geerale valido cioè per u qualuque processo socasico, che soddisfi ovviamee quao ipoizzeremo, ma seza alcu riferimeo specifico all ambio fiaziario. I seguio oreremo agevolmee all applicazioe i ale ambio cogliedo quidi quello che sarà u possibile fodameo eorico all uilizzo delle medie mobili 3.2. Ipoesi Chiamiamo ( Ω I, { I } Pr) δ, 0 = u qualsiasi processo socasico adaao ad uo spazio filrao. Chiamiamo δ il processo socasico degli icremei defiio come:. Suppoiamo che descriva l evoluzioe el empo di u feomeo ale per cui le sue differeze ad u passo ( δ ) siao variabili casuali il cui valore aeso cambia el empo. I paricolare suppoiamo che esisa ua sigma algebra che il valore aeso codizioao E( δ G) G I ale µ = possa assumere solo i due valori µ > 0 oppure µ < 0 per ogi. I geerale quidi avremo che il valore aeso (icodizioao) di µ (e di ( = ) + δ ) vale: E( ) E( δ ) = µ p + µ ( p ) = + µ co p = Pr µ µ. o si coosce ie alro (ad esempio la sua disribuzioe) circa µ. (co Sae le sopracciae premesse, ipoizziamo che esisao due ieri posiivi e < ) ali per cui sia avveuo il seguee eveo: + i i= 0 = 0 i i > i= 0 i= 0 i i [3.] E ipoizziamo ache che e codizioe: siao ali da verificare ache la seguee ( k ) 2( ) E( k ) > 2 E [3.2] A B 24

39 3. Giusificazioe eorica all uilizzo delle medie mobili I cui k A è la variabile casuale che coa il umero di vole i cui µ ha assuo il valore µ + egli isai da + a, e k B è la variabile casuale che coa il umero di vole i cui µ ha assuo il valore µ + egli isai da + a Tesi Allora si dimosra che la probabilià che µ = µ + è maggiore di uilizzado la oazioe usaa ella premessa:. Ovvero, 2 p > Fodameo eorico delle medie mobili: dimosrazioe Prima di erare ello specifico della dimosrazioe è bee compredere approfodiamee ciò che siamo provado. Duque abbiamo u processo socasico del quale o coosciamo e o vogliamo ipoizzare ulla. L uica caraerisica che suppoiamo valida è che il valore aeso codizioao ( µ ) delle sue differeze ad u passo ( δ ) possa variare el empo, assumedo i due valori µ > 0 oppure µ < 0. + Vogliamo dimosrare che la probabilià che codizioi [3.] e [3.2] è superiore alla probabilià che µ valga µ. µ valga µ + quado si verificao le 25

40 3. Giusificazioe eorica all uilizzo delle medie mobili Dimosrazioe Il sisema verificao per ipoesi, ovvero: > = = = = i i i i i i i i può essere semplificao i modo da compredere cosa esso implichi, i ermii di p, e. Poiché: = = = + = 0 0 i i i i i i e: = = = + = 0 0 i i i i i i il sisema può essere riscrio come: > = = = = 0 0 i i i i i i i i [3.3] Alleggeredo la oazioe, è comodo scegliere u opporua origie emporale, chiamado 0 il primo elemeo che viee preso i cosiderazioe elle sommaorie (così che sia: ): I quesi ermii, possiamo riscrivere il sisema [3.3] come: > = = = + = 0 i i i i i i i i,,,,,,,,, K K - -

41 3. Giusificazioe eorica all uilizzo delle medie mobili 27 Poiché la prima disequazioe del sisema può essere riscria come: + > + = = i i i i 0 0 Il sisema diviee: ( ) + > = = = = i i i i i i i i Il che implica: ( ) 0 0 < +. Quidi, semplificado ques ulima disequazioe, oeiamo che il sisema [3.3] implica: 0 > [3.4] A queso puo il sisema i ipoesi è sao ricodoo ad u uica disequazioe per la quale il sisema è appuo codizioe sufficiee. Voledo uleriormee semplificare ale disequazioe, applicado la defiizioe di δ ricorsivamee, oeiamo che > 0 i : = + = i j j i 0 δ e quidi la disequazioe [3.4] diviee: j j j j + > + = = δ δ che si riduce dopo alcui passaggi a: + = = > j j j j δ δ δ [3.5]

42 3. Giusificazioe eorica all uilizzo delle medie mobili A queso puo è bee ricordare la defiizioe di l operaore di valore aeso codizioao oeere: µ e quidi, applicado µ > j= µ j µ j j= + Ora ricordado che µ può assumere solo i due valori µ + o µ, è uile sfruare la variabile casuale k A che coa il umero di vole i cui µ ha assuo il valore µ + durae i passi da a iclusi; e la variabile casuale k B che coa il umero di vole i cui µ ha assuo il valore µ + durae i passi da + a iclusi. I quesi ermii la disequazioe diviee: > µ ( k µ + ( k ) µ ) ( k µ + ( k ) ) µ A + A B + B E semplificado: µ ( µ µ ) + > µ + k A µ ( µ + ) k B Quesa disequazioe implica, applicado l operaore di valore aeso (icodizioao): ( µ µ ) + E ( µ ) > E µ + k A + B + µ ( µ µ ) k = µ + ( µ ) E( k ) E( k ) A B Quidi il sisema [3.], ovvero il sisema di ipoesi del eorema da dimosrare, è codizioe sufficiee per la disequazioe: E > + µ ( µ ) µ + ( µ ) E( k ) E( k ) A B 28

43 3. Giusificazioe eorica all uilizzo delle medie mobili come: A queso puo, dopo alcui passaggi, possiamo riscrivere la codizioe [3.2] ( µ µ ) E( k ) E( k ) µ + + A B µ + + µ > 2 Quese ulime due disequazioi, verificae quidi cogiuamee per ipoesi, implicao: µ + ( ) > + µ E µ [3.6] 2 A queso puo ricordiamo che E( ) µ p + µ ( p ) equivale a: = + µ, e quidi la [3.6] p + ( p ) µ + + µ > 2 µ + µ Da cui dopo alcui passaggi, ricordado che µ > 0 e µ < 0 si oiee la esi: + p > c.v.d Cosiderazioi coclusive e applicazioe fiaziaria A queso puo abbiamo dimosrao che per u qualsiasi processo socasico quado valgoo le codizioi i ipoesi, e si verificao le codizioi [3.] e [3.2], possiamo affermare che è più probabile che il processo dei valori aesi codizioai degli icremei assuma il valore posiivo. Sebbee queso sia u risulao di validià geerale, evideemee se il processo socasico rappresea il corso dei prezzi di u iolo azioario, il valore aeso, 29

44 3. Giusificazioe eorica all uilizzo delle medie mobili codizioao delle differeze sarà uile per disiguere ra u up-red se posiivo (defiio secodo il seso comue) e u dow-red se egaivo. Allora la codizioe [3.] rappresea proprio il aglio al rialzo di due opporue medie mobili (selezioae opporuamee per soddisfare ache la [3.2]) e ci permee di affermare che è effeivamee maggiore la probabilià di rovarsi i u up-red. Grazie a quao dimosrao quidi gli icroci di due opporue medie mobili per geerare segali acquisao ache ua digià eorica, olre, come già deo, all evideza empirica di essere uo ra gli srumei di riferimeo più uilizzai e apprezzai dagli operaori ormai da svariai decei. Poiamo ache l aezioe però sul fao che è saa dimosraa ua codizioe sufficiee affiché l uilizzo di opporue medie mobili geeri effeivamee u vaaggio ache dal puo di visa eorico. Ma è ua codizioe sufficiee, o ecessaria. Quidi o è da escludere che possao esisere ache alre combiazioi di medie mobili ( e che o soddisfao la [3.2]) comuque profievoli. Quello che sappiamo per cero è solo che se la combiazioe di e soddisfa quao i ipoesi, la sua capacià di ierceare i red è dimosraa. Queso puo è fodameale e verrà ripreso el capiolo cique. I ulimo è bee soolieare quao le ipoesi siao abbasaza selle, i quao o viee ad esempio supposa essua disribuzioe specifica per essuo dei processi socasici uilizzai. 30

45 4. L oimizzazioe di porafoglio usado le radig rules 4 L oimizzazioe di porafoglio usado le radig rules 4. Iroduzioe I queso capiolo affroiamo l obieivo pricipale della ricerca che è il problema della selezioe e oimizzazioe di porafoglio. Quao fi qui deo rappresea ifai solo ua pare iroduiva per chiarire la geesi e la aura di quelli che sarao gli srumei di base sui quali cosruire u proficuo modello di ivesimeo dao u paiere di ioli a disposizioe. Ciò che dovrebbe risulare chiaro fio a ora è semplicemee la possibilià di operare ivesimei seza dover prevedere ulla, ma semplicemee seguedo le idicazioi di acquiso e vedia deae da algorimi oggeivi, spesso molo semplici (le regole di radig). Iolre dovrebbe risulare alreao chiaro che, almeo per la ecica delle medie mobili, è possibile idividuare ua giusificazioi ache eorica al suo uilizzo (olre a quella empirica derivae dalla reddiivià della sua applicazioe). Queso sarà il puo di pareza per defiire u processo di oimizzazioe di porafoglio che ecessariamee risulerà diverso dall approccio sadard, ma i cui risulai (esposi el prossimo capiolo) si dimosrerao comuque promeei. Diciamo subio che per ua la raazioe o verrà cosideraa la possibilià di posizioi shor (vedie allo scopero). 4.2 L idea di fodo: il coceo di poeziale La formulazioe più semplice, ampiamee raaa i leeraura (i.e. [43], [44], [45], [46]), del problema di selezioe del porafoglio, per u ivesimeo uiperiodale, ad esempio i u oica di programmazioe lieare, è la seguee. Suppoiamo che il paiere di ioli a disposizioe sia formao da T ioli, e vegao cosiderai S sceari possibili per la duraa dell ivesimeo 3

46 4. L oimizzazioe di porafoglio usado le radig rules (uiperiodale). Si procede allora alla sima degli r s co = K,, T e s = K,, S che rappreseao i redimei aesi (per il periodo dell ivesimeo), del iolo al verificarsi dello sceario s. A queso puo, idicado co i la quoa di capiale da desiare al -esimo iolo, si può calcolare il redimeo aeso del porafoglio suppoedo ad esempio ui gli sceari equiprobabili: R = S S T s= = r s. Chiaramee, proprio per la variabilià degli sceari, è ache possibile associare al porafoglio scelo ua qualche misura di rischio o di variabilià del redimeo, come ad esempio: υ = S T S s = = r s R. Quesa rappresea ifai la disaza media ra il redimeo del porafoglio e il suo redimeo aeso (medio), al variare degli sceari. A queso puo, scelo u rischio massimo acceabile del porafoglio υ MAX, la più semplice formulazioe del problema di oimizzazioe del porafoglio diviee: MAX R υ υ MAX T = = 0 = K,, T Paredo da qui la leeraura si è poi arricchia di umerosissimi sviluppi iegraivi di queso problema: la preseza di cosi di commissioe (i.e. [9], [33], [36]), asse, loi miimi di ivesimeo (i.e. [33]), misure differei di rischio (i.e. [5], [65]), possibilià di vedie allo scopero, preseza di u iolo risck free, e molo alro acora. Per quao iuiivo possa essere il procedere ella selezioe di u porafoglio basadosi sul suo redimeo aeso, che è la più immediaa misura della sua efficacia, è però comuque possibile imposare u problema aalogo seza ecessariamee ragioare i ermii di redimei e sceari. 32

47 4. L oimizzazioe di porafoglio usado le radig rules f s co Suppoiamo ifai che si possa associare al geerico -esimo iolo le gradezze = K,, T e s = K,, S che hao il sigificao di poeziali del iolo al momeo dell ivesimeo. A al proposio valgoo le seguei defiizioi: Def 4.: f è u poeziale (di u iolo i u deermiao isae) se è uo scalare ale per cui valga la seguee affermazioe: ao più f è elevao, ao più è coveiee acquisare il iolo (aalogamee ao più f è basso ao più è coveiee vedere il iolo). E i ermii di ivesimei e porafoglio: Def 4.2: dao u ivesimeo I i u iolo che presea u poeziale f, il poeziale dell ivesimeo è il prodoo If. Def 4.3: dai k ivesimei I i co i = K,, k ciascuo co poeziale I f (come i i da Def. 4.2), il poeziale del porafoglio complessivo vale: I i f i. k i= Torado al osro ragioameo, il sigificao specifico di f s, ovvero cosa rappresei ecoomicamee o fiaziariamee, è di secodaria imporaza. Si accea semplicemee che ao più il suo valore è elevao, ao più il iolo risuli appeibile, e viceversa. Evideemee se f s rappresea il redimeo aeso del iolo -esimo al verificarsi di u deermiao sceario, è immediao iuire che ao più è elevao ale valore, ao più è coveiee ivesire i quel iolo. Ma il fao che caso paricolare. f r è solo u Suppoiamo ad esempio di aver accerao che esise ua qualche relazioe posiiva ra i risulai di bilacio geerai da u azieda, e il corso del suo iolo sul mercao. I queso caso, assegado agli f s ali valori (eveualmee ormalizzai), si porebbe procedere a ua selezioe di porafoglio guardado esclusivamee i coi ecoomici s s 33

48 4. L oimizzazioe di porafoglio usado le radig rules delle imprese (ovvero gli sima dei redimei aesi dei ioli. f s ), seza porsi assoluamee il problema di ua qualche Oppure suppoiamo che esisao alcue radig rules quaiaive, i cui segali operaivi siao appuo radoi elle f s, per cui sia acceaa ua loro effeiva capacià di geerare profio. Ache i queso caso allora il problema di selezioe del porafoglio porebbe ridursi al semplice calcolo dei valori assui dai segali di quese regole di radig, e i base a quesi operare. I paricolare, qualuque sia il sigificao delle f s, poso che abbiao il sigificao di poeziale come sopra defiio, sarà possibile defiire il poeziale medio del S T porafoglio come ρ = f s (supposo che i vari poeziali siao S s = = equiimporai per ciascu iolo). Aalogamee a quao già deo poi è immediao sabilire ua misura di rischio, di dispersioe, del ipo: S T ω = f s ρ che S s= = rappresea la disaza media ra i vari poeziali possibili del porafoglio rispeo a quello medio. E duque oeere: MAX ρ ω ω MAX T = = [4.] 0 = K,, T Dal puo di visa sreamee maemaico è chiaro che u ale problema è risolvibile aalogamee alla sua versioe paricolare basaa sui redimei. Formalmee azi quesa sua versioe base è ideica alla versioe base pesaa sui redimei sopra riporaa. La differeza sosaziale però risiede ella possibilià di eviare la sima dei redimei, a vaaggio di alre gradezze comuque uili el giudicare u iolo, ovvero i suoi poeziali. 34

49 4. L oimizzazioe di porafoglio usado le radig rules I prima baua è evidee iolre che ci sarà ua qualche relazioe ra ali poeziali di u iolo, e il suo redimeo aeso. Se è aurale ifai scegliere u iolo basadosi su alcue gradezze che o siao ecessariamee i redimei aesi, i ulima isaza l ivesimeo si radurrà comuque i u rioro ecoomico. Ed è queso che ricerca ogi ivesiore. I alre parole è verosimile acceare che esisao relazioi del ipo: r g( f, K, f,, f ) s =. Ma il loro uilizzo, come abbiamo deo, o è s K S ecessario; azi è spesso addiriura errao. o è facile ifai simare le fuzioi g per passare da alcue gradezze ai redimei aesi, e l operare quese sime iroduce el modello ua compoee di aleaorieà ed errore che, se possibile, è ceramee meglio eviare. 4.3 I segali delle radig rules come poeziali Per quao il modello [4.] sia, come sopra esposo, di validià geerale, da queso momeo ci cocereremo, sviluppadola uleriormee, solo su ua sua applicazioe basaa sull uilizzo delle radig rules. Come sempre ipoizziamo di lavorare su u ime frame daily, e di ivesire a ridosso della chiusura gioraliera seguedo i segali di u opporua regola di radig. Come sappiamo, quesa forirà segali operaivi di acquiso e vedia. Idichiamo allora co il segale di acquiso e co - il segale di vedia. Ogi vola (cioè ogi gioro) i cui la radig rule o geera e il segale di acquiso, e quello di vedia, uilizzeremo il valore 0 ad idicare u segale fla o di euralià ei cofroi del mercao. I quesi ermii, a ogi chiusura gioraliera la regola che avremo selezioao forirà il seguee suggerimeo: ( acquisa) f = 0 ( fla, essua operaivià) [4.2] ( vedi) 35

50 4. L oimizzazioe di porafoglio usado le radig rules Evideemee ua gradezza così defiia soddisfa la defiizioe di poeziale e porà essere uilizzaa all iero di u modello come il [4.]. Ifai immagiiamo di avere a disposizioe ua baeria di S radig rules disie (o, i modo equivalee, la medesima regola ma applicaa co S sisemi di parameri disii), allora ogi gioro poremo calcolare gli S segali disii, ed esededo il ragioameo a u paiere di T ioli, oeere quoidiaamee le f s co = (e {,0, } s K,,S f ). s = K,, T e I riferimeo al [4.], diremo allora: come υ rappreseava la dispersioe (disaza) media ra il redimeo del porafoglio e il suo redimeo aeso, al variare degli sceari che si possoo realizzare, così aalogamee ω idicherà la dispersioe media ra il poeziale del porafoglio e la sua media, al variare delle radig rules uilizzae. 4.4 L oimizzazioe di porafoglio al passo zero Per quao deo possiamo quidi pesare di formalizzare u problema di selezioe di porafoglio imposado il problema di oimo [4.] co le f s defiie secodo la [4.2]. Così facedo però si preseao due problemaiche che o possoo essere soovaluae: 4.4. Il poeziale eo Iazi uo il modello [4.] ecessia della defiizioe di u paramero: ω MAX sua deermiazioe porebbe o essere agevole e i ogi caso se è possibile elimiare la ecessià di scegliere parameri è sempre comuque preferibile. La soluzioe più semplice è quella di modificare il modello [4.] come segue:. La 36

51 4. L oimizzazioe di porafoglio usado le radig rules MAX ρ ω T = = [4.3] 0 = K,, T La gradezza ρ ω misura ua sora di poeziale eo del porafoglio; ovvero il suo poeziale medio ( ρ ) al eo di quello che è lo scosameo medio che è lecio aspearsi al variare delle radig rule (ω ). Ovviamee queso è semplicemee uo dei modi, quaomeo abbasaza iuiivo, per liberarsi del vicolo legao a ω MAX. Per quao riguarda il suo sigificao fiaziario ivece esso risiede ella possibilià di scegliere u porafoglio co maggior rischio (ache maggiore di che compesao dall aumeo del poeziale medio: ρ. ω MAX ) se queso è più Come è oo comuque ci soo i realà iumerevoli modi di defiire ua fuzioe obieivo, più o meo codivisibili, a secoda della aurale propesioe al rischio dell ivesiore; la variae [4.3] è semplicemee uo di quesi. I ogi caso il vaaggio di u approccio come il [4.3] però va be olre l aspeo di comodià dovua all asseza di u paramero da sabilire. Ciò che è fodameale per u ivesiore ifai, soprauo se è già presee sul mercao (quidi co u porafoglio già popolao) è il sapere sempre come comporarsi, cosa fare. Per queso moivo sarebbe iacceabile che u modello che guida gli ivesimei possa o avere soluzioe dal puo di visa maemaico e algorimico. E da queso puo di visa mere il modello [4.] può o avere soluzioe (o è deo che possa essere soddisfao ω ωmax per qualsiasi scela di ω MAX ), ceramee il [4.3] ha sempre almeo ua soluzioe La liquidià: il iolo risk-free Avere sempre almeo u idicazioe operaiva, ovvero sapere sempre cosa fare, è imprescidibile. L avere ivece sempre ua sola uica idicazioe operaiva, ovvero essua ambiguià sul da farsi, è ceramee esremamee desiderabile. 37

52 4. L oimizzazioe di porafoglio usado le radig rules Maemaicamee è la differeza ra la preseza di soluzioe uica e più soluzioi al problema [4.3]. Cosideriamo il gioro ipoeico i cui essua radig rules forisce segali operaivi per alcu iolo. Ovvero f = 0 per ogi e s. I queso caso ρ ω, ovvero la fuzioe obieivo, è ideicamee ulla per qualsiasi valore di soddisfi i rimaei vicoli). s (quad ache Maemaicamee siamo i preseza di ifiie soluzioi e fiaziariamee e cosegue che i quesa occasioe qualsiasi ivesimeo i qualsiasi iolo è cosiderao equivalee e acceabile. Queso o solo o è ammissibile sul piao fiaziario, ma o ha emmeo seso dal puo di visa delle radig rules. Ci roveremmo ifai ella siuazioe paradossale i cui i preseza di soli segali fla su ogi iolo, ovvero i asseza di segali di acquiso, è il modello di selezioe di porafoglio i se sesso a suggerire ivece acquisi liberi e praicamee icodizioai ovuque. Pare della soluzioe a queso problema verrà affroaa i seguio, quado aalizzeremo le modifiche ecessarie per u uilizzo del modello perperao el empo. Per il momeo è sufficiee cosiderare che il problema i oggeo è almeo parzialmee risolo co l iroduzioe di u iolo fiizio che rappresea u deposio moeario, ovvero sfruiamo il fao che l ivesiore possa ache decidere di ivesire i liquidià (a asso fisso, bassissimo, ma risk-free). Queso iolo aggiuivo sarà ale per cui o avrà essu rischio, che el osro caso si raduce co u ivariaza dei segali ecici riferii ad esso, ovvero f = per ogi s ; e sarà caraerizzao comuque da ua scarsa appeibilià, dovua al asso fisso e coeuo, che e limierà foremee l uilizzo quado ci sarao segali di acquiso sui ioli. Per cui uilizzeremo ad esempio f = 0. 0 sempre. Quado affermiamo che il problema i oggeo è solo parzialmee risolo co l aggiua del iolo liquidià ci riferiamo a quao segue. Se il porafoglio è vuoo ovvero ci roviamo co essu ivesimeo i ao (diciamo siamo al passo zero ), l aggiua del iolo liquidià risolve pieamee il problema perché i preseza di soli segali fla il suo uilizzo impedirà qualsiasi liq liq s f liq 38

53 4. L oimizzazioe di porafoglio usado le radig rules ivesimeo i ioli, a favore ivece dell ivesimeo moeario (cioè l uico a poeziale posiivo), come è giuso che sia. Se ivece il modello è applicao a u porafoglio che è già popolao, la sola aggiua della liquidià o risolve il problema. Essa spigerà ifai a disivesire l iero porafoglio a favore della risorsa moearia seza però che vi siao sai effeivi segali di vedia, che soo be diversi dai segali fla che ivece idicao i geerale il maeimeo dello saus quo. Queso ed alri aspei, legai ui all uilizzo perperao el empo del modello [4.3] verrao affroai el prossimo paragrafo. 4.5 L oimizzazioe di porafoglio perperaa el empo Prima di affroare il problema di ua successioe di oimizzazioi di porafoglio el empo, è bee fare il puo della siuazioe sul modello fi qui defiio. Abbiamo: MAX ρ ω T + = [4.3] liq = 0 0 = K,, T liq Co: ρ = liq f liq + S S T s = = f s ω = S + liq liq S s= = f T f s ρ ( acquisa) f s = 0 ( fla, essua operaivià) = K,, T s = K,, S ( vedi) 39

54 4. L oimizzazioe di porafoglio usado le radig rules Queso modello permee la cosruzioe da zero del porafoglio. Ma cosa succede quado il porafoglio viee gesio el proseguo del empo? Iazi uo è ecessario capire che i queso caso il coceo di orizzoe emporale del porafoglio o si può applicare, o meglio deve essere riviso rispeo al suo sigificao usuale di duraa defiia dell iero ivesimeo (oa o meo a priori). I geerale ifai quado ua radig rule forisce u segale di acquiso, e si acquisa u iolo, o è dao sapere a priori la duraa di ale ivesimeo. Bisoga aedere il segale di vedia. Se i segali della radig rule vegoo corollai quoidiaamee (come el osro caso), queso segale porà avveire già all idomai, ma ache dopo mesi o addiriura ai. I u processo di oimizzazioe di porafoglio, come il [4.3], queso aspeo è fodameale e complica il formalismo poiché abbiamo più ioli, e quidi più ivesimei, che poezialmee possoo iiziare e ermiare i isai ui diversi ra loro. Per modellizzare la dispoibilià ecoomica allora o è più possibile ragioare i ermii di quoe di ua geerica dispoibilià iiziale ( ). Queso adrebbe bee se, come quasi sempre accade co alri modelli di oimizzazioe, il porafoglio veisse selezioao e successivamee liquidao i oo i alcui momei specifici (caraerizzai appuo da u allesimeo e disivesimeo complessivo coemporaeo dell iero porafoglio). I queso caso sappiamo che è comodo uilizzare come variabili le quoe di ua dispoibilià iiziale sar L, sapedo che al ermie dell ivesimeo, che appuo avviee per uo il porafoglio coemporaeamee, il suo redimeo complessivo sarà (co sigificao evidee): R e alla successiva riallocazioe la liquidià dispoibile sarà = r duque: L sar ( + R). el osro caso ivece, avremo che el corso di alcui ivesimei su alcui ioli probabilmee si libererà liquidià da alri ioli, che magari verrà reivesia, addiriura più vole, i (parziale) auoomia da quao già immobilizzao. o è quidi possibile maeere geericamee il coceo di quoa ( co = ) perché o è cosae, sul periodo, la somma a cui fa riferimeo (di cui e è appuo quoa). È ivece ecessario ragioare i ermii assolui. Così idichiamo co sar L la liquidià dispoibile, co L liq la dispoibilià lasciaa ell ivesimeo moeario, co P il 40

55 4. L oimizzazioe di porafoglio usado le radig rules prezzo del -esimo iolo, co sar il umero di sue azioi iizialmee possedue (eveualmee), co sell il umero di azioi che sarà ecessario vedere e co buy il umero di azioi che sarà ecessario acquisare. I quesi ermii, la gesioe el empo del porafoglio, basaa su u modello come il [4.3] dovrà i realà seguire il seguee algorimo: Algorimo [4.] L oimizzazioe di porafoglio el empo sar Sep 0 (iizializzazioe): := 0 = K,, T L : = L 0 Sep (oimizzazioe): Calcolo delle go o Sep ( acquisa) f s = 0 ( fla, essua operaivià), s ( vedi) MAX ρ ω L + T = P buy = L sar + T = P sell L 0 sell sar 0 = K,, T sell, buy ieri o egaivi = K,, T S T sar buy sell Co: ρ = Lfliq + ( + ) ω = go o Sep 2 S s = = S T sar buy sell Lfliq + ( + ) S s= = P f s P f s ρ Sep 2 (aggiorameo): sar : = + = K,, T sar buy sell L sar : = L Avazameo emporale (si passa al gioro successivo) Calcolo delle go o Sep ( acquisa) f s = 0 ( fla, essua operaivià), s ( vedi) 4

56 4. L oimizzazioe di porafoglio usado le radig rules L algorimo [4.] permee la correa applicabilià el empo del modello di oimizzazioe assicurado l idipedeza ra loro delle durae emporali dei vari ivesimei, ei diversi ioli a disposizioe. I alri ermii ogi eraa e uscia da u iolo (che può essere eveualmee ache parziale) può avveire ache i empi diversi rispeo alle erae e uscie che avvegoo sugli alri ioli Poeziali co memoria di posizioe Riprediamo ora il problema, già parzialmee affroao, della preseza i u ipoeico gioro di soli segali fla 0 : f = 0 per ogi e s. I quesa siuazioe, a s prescidere dallo sao iiziale ( ), il modello suggerirà di liquidare ogi eveuale sar posizioe i essere a favore dell opzioe moearia (e queso perché f liq rimae l uico poeziale posiivo e per giua a rischio zero). È chiaramee u errore. Figlio di u errao modo di ierpreare i segali delle radig rule da pare del modello di oimizzazioe. Pesiamo ad esempio ad u sigolo ivesimeo i u solo iolo. A seguio del segale di acquiso, o si esce dal mercao già all idomai, quado verosimilmee il segale sarà fla ( f = 0 ), ma al corario si deve maeere la posizioe i essere fio al segale di vedia. Torado al problema di gesioe del porafoglio allora, bisoga cosiderare la ecessià di modellizzare ua sora di memoria di posizioe dell ivesimeo fao. A froe di u segale fla, bisogerà ifai disiguere se siamo i preseza di ua posizioe già i essere, e allora quel segale deve i realà essere ierpreao come u segale di maeimeo; oppure se o vi soo posizioi i essere, e allora il poeziale di u ipoeico uovo ivesimeo deve essere correamee cosiderao ullo (limiaamee alla radig rule i oggeo ovviamee). 0 È imporae capire perché ci soffermiamo così ao su queso problema. L eveo ipoizzao o è ceramee raro. Come dovrebbe risulare ormai chiaro u operaivià basaa sulle radig rules si foda su ua sequeza di segali operaivi che può essere ache esremamee rarefaa. o è u operaivià basaa su previsioi quoidiae, e quidi idicazioi quoidiae; ma al corario è u approccio aedisa per defiizioe, che ede a muoversi il meo possibile seguedo segali operaivi che possoo essere ache abbasaza rari. Queso per iciso, olre a essere esremamee vaaggioso dal puo di visa della limiaezza dei cosi di commissioe (che rascuriamo), riflee ache ua covizioe comue ell ambiee degli operaori, discuibile ma che riporiamo per compleezza, secodo cui miore è il empo passao el mercao, e miore è la possibilià di commeere errori. 42

57 4. L oimizzazioe di porafoglio usado le radig rules Il modo più semplice per oeere queso è il seguee. Per il geerico iolo suppoiamo che il segale della geerica radig rule sia ϕ (lo disiguiamo apposiamee da f che, per quao appea deo, dovrà essere ua sua rielaborazioe). Disiguiamo, di froe ai segali operaivi, i due casi: si aua/si è auao l ivesimeo, e il poeziale di riferimeo lo idichiamo co f hold ; oppure o si aua/o si è auao l ivesimeo, e uilizziamo f ew. Allora i poeziali co memoria di posizioe ( ella seguee abella. hold f e f ew ) seguirao ua logica ispiraa a quao riporao Tabella [4.] Evoluzioe el empo dei poeziali co memoria di posizioe Tempo ϕ hold f ew f I queso modo, ell eveualià che si eri i u ivesimeo a seguio di u segale di acquiso, il poeziale, riferio a quello specifico ivesimeo, rimae elevao durae ua quella che deve essere la sua via, il che è la correa ierpreazioe dei segali della regola di radig. Più i geerale vogliamo dire che è ecessario disiguere, a parià del segale della radig rule, ra il poeziale da associare a ua posizioe già i essere e cosegueza proprio di u segale pregresso di quella radig rule, e il poeziale da associare ad eveuali uove posizioi (che i effei sarà il segale medesimo, seza rielaborazioi). Co queso schema logico, cosidereremo la seguee modifica all algorimo [4.]: 43

58 4. L oimizzazioe di porafoglio usado le radig rules Algorimo [4.2] L oimizzazioe di porafoglio el empo sar Sep 0 (iizializzazioe): := 0 = K,, T L sar : = L 0 Calcolo delle ϕs ( acquisa) = 0 ( fla, essua operaivià) ( vedi), s Sep (oimizzazioe): ew fs hold : = ϕ f := 0, s s s go o Sep MAX ρ ω L + T = P buy = L sar + T = P sell L 0 sell sar 0 = K,, T sell, buy ieri o egaivi = K,, T S T sar hold buy ew sell hold Co: ρ = Lfliq + ( fs + fs fs ) ω = S s = = S T sar hold buy ew sell hold Lfliq + ( f + f f ) s s s S s= = go o Sep 2 P P ρ Sep 2 (aggiorameo): sar : = + = K,, T sar buy sell L sar : = L Avazameo emporale (si passa al gioro successivo) ( acquisa) Calcolo delle ϕ s = 0 ( fla, essua operaivià), s ( vedi) f hold s ϕ s : = fs hold se se ϕ ϕ s s 0 = 0,s ew fs : = ϕ, s s go o Sep 44

59 4. L oimizzazioe di porafoglio usado le radig rules Co quesa modifica impediamo che si verifichi l errore di ierpreazioe relaivo ai segali fla quado siamo i preseza di u ivesimeo già i essere. E coemporaeamee assegiamo correamee il poeziale ullo alle eveuali uovi posizioi, il che è l ierpreazioe esaa delle regole di radig ache all iero di ua gesioe di porafoglio Poeziali co memoria sorica Cosideriamo la seguee ipoeica successioe di segali operaivi sul geerico iolo che, ad esempio, o è presee i porafoglio. Al gioro ue le radig rules empo suggeriscoo segali di vedia ϕ al = s. Il gioro successivo ivece, solo s ua radig rule suggerisce u segale di acquiso e ue le alre u segale fla: al ϕ s empo + = 0 ϕ. s s e al empo + = s Suppoiamo ora che all iero del processo di oimizzazioe ale iolo, al gioro +, vega effeivamee acquisao (proprio i ragioe dell idicazioe della radig rule s ). Tale ivesimeo può essere cosiderao ua buoa scela? o dimeichiamo che solo il gioro precedee ue le radig rule cocordavao addiriura sulla vedia di ale iolo; probabilmee allora il segale di acquiso è i realà solo u falso segale (cfr. Cap. 2) e u ale ivesimeo risulerà esremamee rischioso. I alri ermii allora può risulare uile eere ua sora di memoria sorica di brevissimo ermie (due o re giori) di quelli che soo sai i segali recei, ovviamee quado gli ulimi soo segali fla. Per fare queso però o si porà semplicemee sosiuire il segale fla co il segale operaivo suggerio il gioro prima, poiché così facedo si sravolgerebbe eccessivamee la boà, i ermii di imig correo, dei segali operaivi. Sarà ecessario ivece defiire ua qualche fuzioe di decadimeo del segale operaivo, ad esempio del ipo: 45

60 4. L oimizzazioe di porafoglio usado le radig rules Tabella [4.2] Evoluzioe el empo dei poeziali co memoria sorica Tempo ϕ ew f I queso modo u segale operaivo, ad esempio vedia: -, coiua ad avere u peso all iero del processo di oimizzazioe ache per i re giori subio successivi a quello i cui si è verificao. Evideemee però seza rappreseare u segale pieo di vedia (-), ma idicado via via semplicemee u poeziale quao meo corario all acquiso (-0.75, -0.5, -0.25). Ragioamei aaloghi ache el caso di segali di acquiso. Alla luce di queso lo sep 2 dell algorimo [4.2] deve essere modificao come segue: Sep 2 (aggiorameo): sar : = + = K,, T sar buy sell L sar : = L Avazameo emporale (si passa al gioro successivo) ( acquisa) Calcolo delle ϕ s = 0 ( fla, essua operaivià), s ( vedi) f ew s : = ma mi ϕ s ew ( 0, fs 0.25) ew ( 0, f ) s se se s s se ϕ s ϕ = 0 e ϕ = 0 e 0 f f ew s ew s 0 < 0,s f hold s fs = f se ew ew s : hold ew s se fs f 0 = 0 go o Sep, s 46

61 4. L oimizzazioe di porafoglio usado le radig rules 4.6 Liearizzazioe del problema di oimizzazioe Il problema di oimo riporao ell algorimo [4.2], ovvero lo Sep, così deermiao o è lieare a causa della preseza di ω defiio ramie valore assoluo (modulo). I leeraura però si rova agevolmee (Koo 200 [34]) come liearizzare u problema così poso, i paricolare si iroducoo S uove variabili ausiliarie o egaive y s grazie alle quali lo Sep diviee u problema di programmazioe lieare misa iera, così che l iero algorimo diviee: Algorimo [4.3] Il modello di oimizzazioe di porafoglio sar Sep 0 (iizializzazioe): := 0 = K,, T L sar : = L 0 Calcolo delle ϕs ( acquisa) = 0 ( fla, essua operaivià) ( vedi), s Sep (oimizzazioe): ew fs hold : = ϕ f := 0, s s go o Sep MAX s ρ ω y s Lf S liq + T sar hold buy ew sell hold ( fs + fs fs ) P ρ = s = K,,S L + T = P buy = L sar + T = P sell L 0 y 0 s = K,, S s sell sar 0 = K,, T sell, ieri o egaivi = K,, T S T sar hold buy ew sell hold Co: = Lfliq + ( fs + fs fs ) ρ P e S s = = ω = 2 S y s s= go o Sep 2 buy 47

62 4. L oimizzazioe di porafoglio usado le radig rules Sep 2 (aggiorameo): sar : = + = K,, T sar buy sell L sar : = L Avazameo emporale (si passa al gioro successivo) ( acquisa) Calcolo delle ϕ s = 0 ( fla, essua operaivià), s ( vedi) f ew s : = ma mi ϕ s ew ( 0, fs 0.25) ew ( 0, f ) s se se s s se ϕ s ϕ = 0 e ϕ = 0 e 0 f f ew s ew s 0 < 0,s ew ew hold fs se fs 0 f s : =, s hold ew fs se fs = 0 go o Sep Così imposao duque il problema presea 2 T + S + variabili, di cui 2T iere o egaive ( soo T + S +. sell, ), e le resai S + ( ys e L ) o egaive. Mere i vicoli buy 48

63 5. I risulai empirici dell applicazioe al mercao USA 5 I risulai empirici dell applicazioe al mercao USA 5. Iroduzioe I queso capiolo riporeremo i risulai dell applicazioe al mercao americao del modello di oimizzazioe di porafoglio. I paricolare il paiere a disposizioe sarà formao dai rea ioli che compogoo l idice Dow Joes Idusrial Average e il periodo di applicazioe adrà dal //2003 al 3/0/ L obieivo sarà duplice. Da u lao dimosrare che il modello di selezioe del porafoglio effeivamee fuzioa, ovvero viee ammiisrao el empo u porafoglio di ioli seguedo cogiuamee le idicazioi delle radig rules. Il secodo obieivo è quello di mosrare che ua ale gesioe, ovvero u oimizzazioe di porafoglio così imposaa, pora effeivamee u vaaggio e u guadago ecoomico rispeo alla semplice applicazioe disgiua e idipedee delle sigole radig rules. A compleameo del lavoro riporeremo ache u cofroo co u modello classico di oimizzazioe di porafoglio ampiamee raao i leeraura. 5.2 L idice Dow Joes el periodo di sudio Prima di cocerarci sui risulai della gesioe aiva di porafoglio, è bee spedere qualche parola ache sull adameo dell idice durae il periodo aalizzao. Foe dei dai: Bloomberg 2 La scela della daa iiziale è deaa dalla ecessià di avere coiuià ei dai (prezzi di chiusura) e coesualmee avere a disposizioe ua serie sorica sufficieemee luga per il calcolo delle medie mobili durae i primi giori di es. I paricolare circa il iolo KRAFT FOODS IC-CLASS A i dai a disposizioe parivao solo dal 3/6/200. La daa fiale è ivece l ulima uile compaibilmee co la ecessià di ermiare ei empi sabilii il presee lavoro. 49

64 5. I risulai empirici dell applicazioe al mercao USA Se u ivesiore avesse apero ua posizioe log i u ETF sull idice Dow Joes, ad esempio per 00000$, l adameo del suo capiale (la sua equiy lie) sarebbe saa la seguee. Fig. 5. L adameo dell idice Dow Joes /0/2003 0/03/2003 0/05/2003 0/07/2003 0/09/2003 0//2003 0/0/2004 0/03/2004 0/05/2004 0/07/2004 0/09/2004 0//2004 0/0/2005 0/03/2005 0/05/2005 0/07/2005 0/09/2005 0//2005 0/0/2006 0/03/2006 0/05/2006 0/07/2006 0/09/2006 0//2006 0/0/2007 0/03/2007 0/05/2007 0/07/2007 0/09/2007 0//2007 0/0/2008 0/03/2008 0/05/2008 0/07/2008 0/09/2008 I sosaza dopo u up red molo robuso (esclusa eveualmee la correzioe iiziale) che ha porao u guadago del 64.6% ra l //2003 e il 9/0/2007, si è giui ad ua fase di dow red ach essa be defiia che ha porao ua correzioe del 27.% dal 9/0/2007 al 3/0/2008. Complessivamee l iero periodo regisra u risulao del 9.9% ed è quidi molo eerogeeo e rappreseaivo i quao formao da erambi i possibili red di mercao ed essedo iolre composo da be 45 osservazioi (chiusure daily). 5.3 La scela delle radig rules per l oimizzazioe di porafoglio Il primo passo per applicare u modello come quello i algorimo [4.3] è la decisioe di quali debbao essere le radig rules a cui affidare la geerazioe dei 50

65 5. I risulai empirici dell applicazioe al mercao USA segali. Quesa scela è evideemee fodameale i u oica di performace complessiva del porafoglio. È evidee ifai che ao più i segali delle radig rules uilizzae sarao efficaci, ovvero i grado di geerare ricchezza, ao più ua loro correa applicazioe cogiua all iero di u porafoglio dovrebbe risulare acor più profievole. I realà il codizioale è d obbligo poiché quesa cosiderazioe dovrà essere suffragaa dai risulai. Come già deo ifai è proprio uo degli obieivi di queso capiolo mosrare che vi è u effeivo guadago el cosiderare cogiuamee i segali operaivi. Solo i queso modo poremo affermare che il modello di oimizzazioe di porafoglio geera effeivamee u vaaggio ecoomico e quidi ha seso usarlo rispeo all applicazioe disgiua dei sigoli segali. Torado al ema della scela delle radig rules, cosiderao quao esposo el Cap. 3, operemo chiaramee per scegliere l icrocio di medie mobili come uica sraegia operaiva. Uilizzeremo solo e uicamee quesa radig rule, di cui abbiamo già dimosrao la fodaezza eorica. Chiaramee ua sraegia medie mobili è idividuaa da ua coppia di parameri ( e ) che ideificao le esesioi delle medie cosiderae. Per queso moivo, ache dopo aver deciso che la sola radig rule uilizzaa sarà l icrocio di medie mobili, rimagoo comuque ifiii modi di defiire ua ale sraegia (coessi alla scela di e ). Per ovviare a queso problema, ricordado comuque che o è obieivo di queso lavoro sabilire quali siao le radig rules più efficaci, abbiamo semplicemee scelo, per ciascu iolo del paiere, dieci coppie ( e ) ali per cui le eciche dell icrocio di medie mobili da esse deermiae risulassero profievoli el periodo di esig. Tale periodo pare dagli iizi degli ai 80 3 fio ad arrivare alla fie del Le combiazioi di e esae soo ue le possibili coppie (co < ) esrae dalle sequeze: = 5, 0, 5, 20, 25, 30 ; e = 0, 5, 20, 25, K, 90, 95, 200 ; per u oale di 29 combiazioi di e complessivamee esae (per ciascu iolo). Tra ue quese possibili coppie di parameri si soo poi scele quelle che meglio performavao sul periodo di esig (980 circa 2002), assicurado ache u risulao 3 o per ui i ioli soo dispoibili serie soriche di medesima lughezza. Idicaivamee per la maggior pare dei ioli i dai daily a disposizioe iiziao dai primi ai 80. 5

66 5. I risulai empirici dell applicazioe al mercao USA posiivo sul periodo i esame ( ) 4. e abbiamo scele dieci per ogi iolo. I queso modo per ciascuo iolo abbiamo idividuao dieci radig rules disie o, più precisamee, dieci paramerizzazioi diverse del medesimo pricipio di radig, ovvero dell icrocio delle medie mobili. A al proposio è bee aprire ua pareesi. Per quao deo el Cap. 3 sappiamo che u accora scela dei parameri e può idividuare l evolversi dei red i ao; ma la codizioe discrimiae i merio, ovvero la [3.2]: ( k ) 2( ) E( k ) > 2 E [3.2] A B È codizioe sufficiee, o ecessaria, come già dimosrao el Cap. 3. Per queso moivo o possiamo escludere, emmeo dal puo di visa eorico, la preseza di svariae coppie di parameri comuque profievoli (e soo proprio quelle che abbiamo idividuao ramie le simulazioi). Iolre ache el caso si dimosrasse che la codizioe [3.2] è ache ecessaria, il fao che si rai di ua disequazioe (per giua i due variabili) lascia comuque ifiie possibilià (a meo di paricolari casi degeeri) di coppie efficaci. Al di la degli aspei puramee maemaici, uo queso ha comuque u sigificao fiaziario be preciso. Up red e dow red possoo avere svariae esesioi emporali e, i paricolare, è ormale che all iero di u up red possao succedersi dow red più piccoli, i quali a loro vola soo magari iervallai da fasi di up red acora più rapidi e meo esesi, e così via. Queso risula evidee se si osserva u qualsiasi grafico di mercao come ache la fig. 5.. È per queso moivo che possoo esserci svariae coppie di parameri di medie mobili comuque efficaci. Semplicemee alcue coppie ierceerao i red più veloci e meo esesi, mere alre idividuerao via via solo i movimei di fodo di più lugo periodo. I ulimo acora ua cosiderazioe sulla validià dei parameri sceli. Olre a u evidee rischio di overfiig, i ermii di pricipio si può rieere che ua coppia di parameri performae su u cero arco emporale, ad esempio per ui gli ai 80, possa maeere la sua efficacia ache per i decei a seguire? 4 I Appedice A soo riporae ue le dieci coppie e uilizzae per ogi iolo. 52

67 5. I risulai empirici dell applicazioe al mercao USA Rifacedoci alla dimosrazioe del Cap. 3 ad esempio, la codizioe [3.2] può essere discussa e applicaa solo cooscedo E ( k A ) ed ( k B ) E, ovvero le gradezze µ + e µ e le probabilià co cui µ assume ali valori. Al di la della difficolà di cooscere co esaezza ali gradezze, comuque quaomeo la probabilià co cui µ assume i due valori varia el empo. Ifai l abbiamo idicaa co = ( = µ ) quidi quesa probabilià varia el empo, ache E ( k A ) e ( k B ) p Pr. Poiché µ E varierao el empo, e quidi ache le coppie di e che soddisfao la [3.2] varierao el empo. I coclusioe quidi o possiamo cero affermare che ua coppia e che soddisfa i u cero isae la [3.2], o i ermii fiaziari che risula proficua per u cero periodo di empo, pur eseso che sia, debba maeere la sua efficacia ache i fuuro. Sebbee l aalisi e lo sviluppo approfodio delle problemaiche relaive la scela dei parameri delle medie mobili esuli dagli obieivi di queso lavoro, riamae comuque chiaro come o si possa pesare di oeere risulai ecoomici paricolarmee eclaai applicado coppie di parameri maeue cosai per quasi u reeio 5. o è u problema però. Ifai i queso lavoro o siamo giudicado l efficacia o meo delle sigole radig rules di pareza, ma besì il vaaggio che u oimizzazioe di porafoglio riesce a porare. Se riusciamo a sabilire queso, chiaramee all aumeare della boà delle regole di radig avremo performace sempre più apprezzabili dell iero porafoglio Il modello di oimizzazioe i deaglio A queso puo approfodiamo alcui aspei ecici del modello di oimizzazioe 6. I paricolare perfezioeremo il sisema dei vicoli del modello e formuleremo alcue cosiderazioi sulla preseza di soluzioi ammissibili. 5 Più correamee bisogerebbe imposare u opporuo algorimo di aggiorameo dei parameri che gioralmee valui se, e i che modo, modificare le due gradezze e. 6 Il codice i ambiee MPL è riporao i Appedice B. 53

68 5. I risulai empirici dell applicazioe al mercao USA Riporiamo il modello di oimizzazioe, ovvero lo sep (oimizzazioe) dell algorimo [4.3] dove si è provveduo all opporua sosiuzioe di ρ e ω co relaiva semplificazioe, e per comodià di scriura idichiamo: S hold hold fˆ s = fs e S s= S ew ew fˆ s = fs : S s = y s S MAX Lf liq + S S T sar hold buy ew sell hold ( f + f f ) P 2 s s s s= = T sar hold hold buy ew ew sell hold hold ( ( f fˆ ) + ( f fˆ ) ( f fˆ ) s s s s s s = P S s = y s s = K,,S L + T = P buy = L sar + T = P sell sell, sell sar 0 = K,, T buy L 0 y 0 s = K,, S s ieri o egaivi = K,, T sell buy Al fie di eviare soluzioi i cui siao coemporaeamee > 0 e > 0, il che rappreseerebbe ua coraddizioe formale, sebbee operaivamee o sarebbe comuque u problema i quao sarebbe il saldo: a rappreseare buy sell il umero di azioi da comprare (se ) o da vedere (se buy sell > ), sell buy possiamo aggiugere il seguee sisema di vicoli: buy z + z sell = K,, T buy P Mz = K,, T [5.] sell buy P Mz = K,, T sell 54

69 5. I risulai empirici dell applicazioe al mercao USA Co buy z e sell z variabili biarie e M uo scalare grade a piacere. Quesi ulimi buy buy vicoli soo ali per cui se > 0 ecessariamee deve essere z =, quidi sell sell buy z = 0 da cui = 0. E aalogamee se > 0 dovrà essere = 0. sell Complessivamee quidi il problema è di programmazioe lieare misa iera co 2T variabili iere o egaive (, ), 2T variabili biarie ( z, z buy S + variabili coiue ( ys e L ). Mere i vicoli soo 4 T + S + (chiaramee olre ai vicoli di posiivià delle variabili decisioali). el caso specifico, poiché i ioli che compogoo il paiere soo rea ( T = 30 ) e le radig rules uilizzae soo dieci ( S = 0 ), il umero complessivo di variabili risula essere 3 così come ache il umero di vicoli. Approfodiamo ora gli aspei relaivi alle soluzioi del problema. Iiziamo col dire che come ogi problema di programmazioe lieare le possibilià soo di essua soluzioe, ua o ifiie soluzioi, oppure problema illimiao. L ipoesi che possao o esserci soluzioi ammissibili è facilmee elimiabile. Pariamo da ua cosiderazioe fiaziaria. Qualsiasi sia la siuazioe di mercao, ovvero i segali operaivi presei, la possibilià di diroare sull ivesimeo moeario ua la dispoibilià deve essere evideemee ua soluzioe sempre auabile. E i effei è così ache dal puo di visa maemaico, ifai la soluzioe (per ogi e s): sell buy sell ), e sell sar buy sell buy sar = = 0 z = z = 0 y s = 0 L = L + P T = sar soddisfa ui i vicoli, e la fuzioe obieivo vale Lf liq. Quidi il problema ha sempre almeo ua soluzioe, appuo quesa. Ache l ipoesi di problema illimiao si esclude facilmee. Il fao di o poer sell aprire posizioi core, assicurao dai vicoli (per ogi ): sar 0, impoe u limie superiore al valore di sell che è dao proprio dal umero di azioi possedue: sar. D alro cao il vicolo di liquidià assicura che ache buy sia limiao, ifai quad ache o vi sia liquidià desiaa all ivesimeo moeario vale: 55

70 5. I risulai empirici dell applicazioe al mercao USA T = P buy = L sar + T = P sell buy, e quidi, essedo 0 (olre evideemee a P > 0 ), deve essere T sar sell L + P buy =. P La limiaezza delle alre variabili è secodaria, i quao soo gradezze solo srumeali, uili dal puo di visa maemaico ma seza implicazioi sull operaivià fiaziaria. Per compleezza comuque diciamo che le defiizioe essedo biarie. Le buy z e sell z soo limiae per y s soo limiae auomaicamee i quao iversamee proporzioali rispeo alla fuzioe obieivo che deve ivece essere massimizzaa (quidi è il processo di oimizazioe i se sesso che ederà a limiare il più possibile le y s ). La liquidià varrà al massimo i quao somma di gradezze limiae. L = L sar + T = P sell, che è limiaa Per quesi moivi possiamo cocludere che il problema di oimo, così come è imposao, è sempre limiao e ha sempre almeo ua soluzioe ammissibile. Come già deo quesa è ua codizioe fodameale quado si parla di ivesimei fiaziari, ovvero sapere sempre cosa fare e poerlo sempre fare. 5.5 I primi risulai Applichiamo duque il modello sopra descrio ai rea ioli che compogoo l idice Dow Joes. Suppoiamo ua liquidià iiziale a disposizioe pari a $ e come scalare grade a piacere all iero della [5.] possiamo usare M 7 = 0 (u paio di ordii di gradezza superiori alla liquidià a disposizioe). Le radig rules uilizzae sarao, come deo, dieci diverse paramerizzazioi della radig rule medie mobili. Per poer giudicare la reale capacià di geerare ricchezza da pare del modello di selezioe di porafoglio, dobbiamo dapprima cooscere la reddiivià delle diverse radig rules prese sigolarmee, al di fuori di u qualsiasi modello di oimizzazioe cogiua. 56

71 5. I risulai empirici dell applicazioe al mercao USA Per queso moivo misuriamo dapprima l adameo della ricchezza di u ipoeico ivesimeo che divide equamee il capiale ra ui i rea ioli del paiere e per ciascuo di quesi divide uleriormee, sempre equamee, la dispoibilià ra le dieci radig rules a disposizioe. Complessivamee quidi avremo diviso i 00000$ iiziali i 300 loi disii da circa $ ciascuo. Oguo di quesi seguirà ua specifica (delle dieci) radig rule su uo specifico (dei rea) iolo, i modo quidi assoluamee idipedee dai segali proveiei dalle alre regole di radig o dalle posizioi presei su alri ioli. Il risulao di ua ale sraegia di ivesimeo è riporao i Fig. 5.2 ed è idicao co la liea rossa (i blu è riporao l adameo dell idice). Fig. 5.2 L idice Dow Joes (blu), le radig rules (rosso), il porafoglio (verde) /0/ /03/ /05/ /07/ /09/ // /0/ /03/ /05/ /07/ /09/ // /0/ /03/ /05/ /07/ /09/ // /0/ /03/ /05/ /07/ /09/ // /0/ /03/ /05/ /07/ /09/ // /0/ /03/ /05/ /07/ /09/2008 Come si vede il risulao delle radig rules o è paricolarmee brillae ella fase di up red del mercao, i quao i quesa codizioe (dal //2003 al 9/0/2007) il capiale raggiuge ua crescia solo del 47.2% (iferiore quidi al mercao che è pari al 64.6%). La performace recupera però durae la fase di dow red, quado il 57

72 5. I risulai empirici dell applicazioe al mercao USA mercao perde il 27.% mere le radig rules lasciao solo il 4.2%, ovvero la perdia è quasi dimezzaa. Complessivamee, su uo il periodo, il risulao è pari al 26.2%, comuque superiore a quao regisrao dal mercao (9.9%). Per compleare il giudizio sulla performace della sraegia che applica disgiuamee le radig rules è bee riporare, olre ai suoi redimei, ache ua qualche misura del rischio associao a u ale ivesimeo. I paricolare uilizzeremo la misura di drawdow, paricolarmee apprezzaa ell ambio dei modelli di ivesimeo perché, come sappiamo, rispode direamee alla ecessià di sapere quao è lecio aspearsi di poer perdere auado u ivesimeo di quesa aura. Ebbee il mercao (l idice) presea sul periodo u epeced drawdow di circa - 4.5% mere il maimum drawdow è proprio -27.%. L epeced drawdow dell ivesimeo seguedo le radig rules è ivece -3.4% mere il maimum drawdow è -5.%. Cocluderemo allora che l uilizzo disgiuo delle radig rules bae complessivamee il mercao creado meo ricchezza durae la fase di up red ma migliorado sesibilmee la performace durae il dow red. Iolre i ermii di perdia poeziale le sraegie di radig assicurao u rischio sesibilmee più coeuo. L evoluzioe del capiale risulae dall applicazioe del modello di oimizzazioe di porafoglio è ivece sieizzaa el rao verde della Fig Iiziamo iao col dire che il modello di gesioe del porafoglio fuzioa. Co ciò iediamo dire che i effei vegoo ammiisrae el empo u cero umero di posizioi (lughe) su più di u iolo coemporaeamee, i modo da poer chiamare correamee porafoglio l ivesimeo effeivamee auao. Quao deo è sieizzao ella Fig. 5.3 che ripora il umero di ioli gioralmee i porafoglio durae uo il periodo d applicazioe. 58

73 5. I risulai empirici dell applicazioe al mercao USA Fig. 5.3 di ioli i porafoglio durae il periodo i esame (blu), media sul periodo (rosso) / /0 3 / 3 /0 3 / 5 /0 3 / 7 /0 3 / 9 /0 3 / /0 3 / /0 4 / 3 /0 4 / 5 /0 4 / 7 /0 4 / 9 /0 4 / /0 4 / /0 5 / 3 /0 5 / 5 /0 5 / 7 /0 5 / 9 /0 5 / /0 5 / /0 6 / 3 /0 6 / 5 /0 6 / 7 /0 6 / 9 /0 6 / /0 6 / /0 7 / 3 /0 7 / 5 /0 7 / 7 /0 7 / 9 /0 7 / /0 7 / /0 8 / 3 /0 8 / 5 /0 8 / 7 /0 8 / 9 /0 8 Come si vede mediamee il porafoglio è cosiuio da circa sei ioli (sui rea dispoibili) co frequei picchi fio a dieci ioli e rari casi olre i dodici. La limiaezza del umero di ioli i porafoglio (i queso caso circa il 20% del paiere), olre a essere ua caraerisica ricorree ache i diversi modelli classici di oimizzazioe di porafoglio, idica u efficace capacià di selezioe (qualora il redimeo del porafoglio fosse superiore a quello del mercao), e presea ache u oevole vaaggio dal puo di visa operaivo. Evideemee è molo più facile (e meo cososo i ermii di commissioi) dover gesire di vola i vola pochi ioli, piuoso che movimeare, e peggio acora se per poche uià di azioi, u igee umero di ioli. Il rao verde della figura 5.2 mosra appuo l adameo gioraliero degli iiziali 00000$ ivesii. I paricolare el periodo di up red il porafoglio regisra u risulao del 56.9% (superiore al risulao delle radig rules pari al 47.2%), mere durae il dow red la performace è -6.5% (le radig rules -4.2%) per u risulao complessivo del 46.7%. L epeced drawdow vale -4.7% mere il maimum drawdow vale -8.9%. 59

74 5. I risulai empirici dell applicazioe al mercao USA Rispeo al mercao possiamo quidi dire che il porafoglio rede leggermee meo durae l up red (56.9% rispeo a 64.6%) ma sesibilmee di più durae il dow red (-6.5% coro -27.%), e complessivamee il rioro è eamee maggiore: più del doppio (46.7% rispeo a 9.9%). Ache i ermii di rischio abbiamo u perdia poeziale massima eamee iferiore (-8.9% coro -27.%). Rispeo alle radig rules abbiamo ivece che l applicazioe del modello di oimizzazioe di porafoglio pora sempre u vaaggio rispeo alle radig rules prese sigolarmee: sia durae la fase di up red, sia durae il dow red, cosiderai ella loro ierezza. Iolre risulao è oeuo co u rischio, i ermii di perdie poeziali, uo sommao aalogo (-8.9% rispeo a -5.%). Azi i merio possiamo specificare che u aumeo del rischio del 3.8% pora u vaaggio, i ermii di redimeo, di be il 20.5% (più di cique vole il rischio, passado dal 26.2% al 46.7%). Per quao deo possiamo cocludere che il modello di oimizzazioe di porafoglio pora u effeivo vaaggio rispeo all uilizzo disgiuo e idipedee delle sigole radig rules. Queso è proprio quello che volevamo dimosrare, ovvero che la performace oeua seguedo i segali delle sigole regole di radig viee effeivamee miglioraa se si uilizza u modello come quello qui eorizzao, i grado di gesire cogiuamee ali segali i u oica di porafoglio. I merio a queso puo iolre bisoga ricordare che il fao di o aver cosiderao i cosi di rasazioe (commissioi) o icide allo sesso modo sul modello di oimizzazioe di porafoglio e sull ivesimeo seguedo i segali delle radig rules sigolarmee. Come sappiamo il modello di oimizzazioe è ale proprio perché aua gioralmee delle scele, deae dalla coereza dei diversi segali proveiei dalle radig rules. e cosegue che ceramee o verrao seguii sempre ui i segali di acquiso (e emmeo di vedia) su ui i ioli o appea essi si verificao. Ma al corario queso è proprio quello che succede ell ivesimeo seguedo le radig rules i modo disgiuo. e deriva che l operaivià, ovvero il umero di compravedie, derivae dall oimizzazioe di porafoglio è ceramee molo più coeua rispeo 60

75 5. I risulai empirici dell applicazioe al mercao USA all operaivià deaa da u ivesimeo equipoderao ra ui i ioli e ue le radig rules, co evidee sesibile risparmio i ermii di commissioi. I ulimo deve ache essere ricordao che il modello di selezioe preseao idica co esrema esaezza come muoversi sul mercao. Ragioado per umero di azioi da comprare e vedere o vi è essu ipo di approssimazioe o ambiguià circa l eià della posizioe da assumere el geerico iolo, e quidi il risulao oeuo è assoluamee esao e perfeamee reale. Queso o si può dire per l ivesimeo equipoderao. Per semplicià ifai si soo calcolai i redimei derivai dal radig seguedo i segali operaivi disgiui e ali redimei soo sai applicai alle dispoibilià moearie di compeeza (333.33$ di pareza per ciascu iolo e radig rule). o è deo però che ali capiali poessero essere ivesii oalmee, azi è molo probabile che, essedo difficilmee mulipli dei prezzi correi, ua seppur piccola pare di ale dispoibilià dovesse rimaere per forza liquida (o essedo possibile comprare quaià frazioarie di umeri di azioi). Per queso moivo i risulai esposi circa l ivesimeo equipoderao soo ceramee ua sovrasima di quao realmee faibile, a differeza di quelli riporai per l oimizzazioe di porafoglio. 5.6 Uleriori evideze empiriche Al fie di irrobusire quao già emerso è bee ripeere uo lo sudio effeuao ache co alre paramerizzazioi delle radig rules. I paricolare vogliamo assicurarci che all aumeare della performace delle radig rules (prese sigolarmee) il modello di oimizzazioe di porafoglio coiua a forire u vaaggio apprezzabile. Per le dieci radig rules a disposizioe per ogi iolo, abbiamo quidi scelo alre coppie di e diverse dalle precedei 7 (scele sempre ra le 29 possibili combiazioi di cui abbiamo deo i precedeza), i modo da migliorare la performace complessiva dell ivesimeo equipoderao. 7 Ache quese paramerizzazioi soo presei i Appedice A. 6

76 5. I risulai empirici dell applicazioe al mercao USA Fig. 5.4 L idice Dow Joes (blu), le radig rules (rosso), il porafoglio (verde) / /0 3 /3 /0 3 /5 /0 3 /7 /0 3 /9 /0 3 / /0 3 / /0 4 /3 /0 4 /5 /0 4 /7 /0 4 /9 /0 4 / /0 4 / /0 5 /3 /0 5 /5 /0 5 /7 /0 5 /9 /0 5 / /0 5 / /0 6 /3 /0 6 /5 /0 6 /7 /0 6 /9 /0 6 / /0 6 / /0 7 /3 /0 7 /5 /0 7 /7 /0 7 /9 /0 7 / /0 7 / /0 8 /3 /0 8 /5 /0 8 /7 /0 8 /9 /0 8 Il rao rosso ella Fig. 5.4 rappresea al solio l adameo della ricchezza geeraa dalle radig rules prese sigolarmee. Come cercao quesa uova paramerizzazioe geera ua performace del porafoglio equipoderao migliore rispeo alla precedee. Durae l up red è pari al 72.7% (47.2% la scorsa paramerizzazioe, 64.6% il mercao), durae il dow red - 9.8% (coro -4.2% e -27.%), e complessivamee 55.7% (coro 26.2% e 9.9%). Solo -2.4% l epeced drawdow e -0.4% il maimum drawdow. el periodo i esame le radig rule (medie mobili), co quesi parameri, soo quidi ceramee profievoli, e comuque migliori rispeo alle precedei. Rimae da capire come si compora il modello di oimizzazioe co ali segali operaivi di igresso. L adameo del capiale gesio ramie il modello di selezioe del porafoglio è ivece il rao verde della Fig Già visivamee si iuisce l eorme vaaggio porao dal modello di oimizzazioe, che si cocreizza i ua performace del 62

77 5. I risulai empirici dell applicazioe al mercao USA 35.5% ella fase di upred e ua perdia limiaa al -5.6% durae la fase di dow red, per u risulao complessivo del 22.2%. L epeced drawdow è -3.5% e il maimum drawdow vale -5.7%. È immediao quidi verificare che all aumeare dell efficacia dei segali operaivi, la loro cosiderazioe cogiua, ovvero il modello di oimizzazioe proposo, accresce sesibilmee la performace complessiva. I sosaza, su uo il periodo, il mercao viee superao co u risulao più di sei vole maggiore, co u drawdow (epeced e maimum) eamee iferiore. Il redimeo delle radig rules prese sigolarmee ivece viee più che raddoppiao, co u epeced drawdow molo simile e u maimum drawdow peggiore solo del 5%. Olre al fao che il modello di oimizzazioe migliora la performace delle radig rule, e quidi è be formulao o comuque è perlomeo vaaggioso applicarlo, il fao che al migliorare delle performace delle regole di radig la sua capacià di geerare profio aumei più che proporzioalmee è u risulao di oevole imporaza dal puo di visa operaivo. ella realà applicaiva ifai i radig sysem uilizzai soo spesso fruo di processi di migliorameo e perfezioameo molo spii, ali per cui il migliorare la loro presazioe (seza cadere el rischio di overfiig) è spesso u raguardo perlomeo esremamee ambizioso. Allora divea u risorsa preziosa il poer coare su uo srumeo come queso, ovvero u oimizzaore di porafoglio i grado di ampliare ache sesibilmee gli eveuali miglioramei elle sigole sraegie di radig. Per compleezza la Fig. 5.5 ripora il umero di ioli presei i porafoglio durae uo il periodo dell ivesimeo. 63

78 5. I risulai empirici dell applicazioe al mercao USA 30 Fig. 5.5 di ioli i porafoglio durae il periodo i esame (blu), media sul periodo (rosso) / /0 3 /3 /0 3 /5 /0 3 /7 /0 3 /9 /0 3 / /0 3 / /0 4 /3 /0 4 /5 /0 4 /7 /0 4 /9 /0 4 / /0 4 / /0 5 /3 /0 5 /5 /0 5 /7 /0 5 /9 /0 5 / /0 5 / /0 6 /3 /0 6 /5 /0 6 /7 /0 6 /9 /0 6 / /0 6 / /0 7 /3 /0 7 /5 /0 7 /7 /0 7 /9 /0 7 / /0 7 / /0 8 /3 /0 8 /5 /0 8 /7 /0 8 /9 /0 8 Ache i queso caso mediamee i ioli i porafoglio soo circa sei, ma a differeza di quao oeuo co la scorsa paramerizzazioe i momei i cui i porafoglio soo presei più di dieci o dodici ioli soo praicamee assei. Da queso deduciamo che il migliorameo della performace o è oeuo da u aumeo del umero di ioli i porafoglio, ma al corario da ua loro più efficace selezioe: u migliorameo del imig operaivo e della scela delle aivià i cui ivesire. Superare i queso modo il mercao di più di sei vole (e raddoppiare il risulao delle sigole radig rules) mediamee co solo sei ioli, vuol dire ifai averli selezioai co u oima efficieza, il che è u ulima coferma di quao possa essere vaaggioso u modello di selezioe basao sui segali operaivi di buoe radig rules. Cocludiamo co u ceo agli aspei compuazioali del modello di oimizzazioe. Il problema di programmazioe lieare misa iera i 3 variabili e alreai vicoli preseao i queso lavoro o presea alcua difficolà 64

79 5. I risulai empirici dell applicazioe al mercao USA compuazioale. Co u semplice persoal compuer di ormale poeza 8 il modello di oimizzazioe viee risolo i qualche secodo, al più i uo o due miui massimo (poche ore per l applicazioe all iero periodo aalizzao). Per queso moivo gli aspei compuazioali o soo sai paricolarmee approfodii. I merio comuque possiamo dire (ma soo quesioi che adrebbero ivesigae) che la preseza cera di almeo ua soluzioe limiaa, e la peculiarià ipica dei segali operaivi di essere per la maggior pare delle vole fla ( ϕ = 0 ), porao evideemee u alleggerimeo dell impego compuazioale. o dimeichiamo però ache che il paiere dei ioli del Dow Joes è esremamee limiao, e solo rea ioli redoo il problema comuque dimesioalmee coeuo. Chiudiamo riassumedo ella seguee abella i risulai oeui. Tab. 5. I risulai oeui sul mercao americao I paramerizzazioe II paramerizzazioe Dow Tradig Porafoglio Tradig Porafoglio Joes rules rules Red. up Tred 64.6% 47.2% 56.9% 72.7% 35.5% Red. dow Tred -27.% -4.2% -6.5% -9.8% -5.6% Red. Periodo 9.9% 26.2% 46.7% 55.7% 22.2% Ep. drawdow -4.5% -3.4% -4.7% -2.4% -3.5% Ma. drawdow -27.% -5.% -8.9% -0.4% -5.7% 5.7 Il cofroo co u modello classico di selezioe Al fie di compleare lo sudio del modello di selezioe di porafoglio preseao i queso lavoro, procederemo ora paragoado i risulai oeui co quelli derivai da u modello classico già oo i leeraura (i.e. [54]). 8 Processore Iel Peium 4, 3 GHz di frequeza e Gb di Ram 65

80 5. I risulai empirici dell applicazioe al mercao USA I paricolare uilizzeremo lo Sharpe raio, ovvero applicheremo al periodo di aalisi il c.d. porafoglio di mercao (secodo Markowiz). I cocreo quidi svilupperemo l evoluzioe di u ivesimeo iiziale di 00000$ secodo il seguee algorimo: Algorimo [5.] Il modello Sharpe raio Sep 0 (iizializzazioe): W := Sep (oimizzazioe): := 250 i := 25 (gioro di pareza del es) MAX go o Sep T T = = r r i, i, = = = = T r i, 2 T = = Sep 2 (aggiorameo): 0 = K,, T go o Sep 2 T : = W + r i = W, Avazameo emporale (si passa al gioro successivo: i : = i + ) go o Sep dove è la quoa di porafoglio da ivesire el -esimo iolo e del -esimo iolo il gioro i. Si è cosiderao ullo il redimeo risk free. ella Fig. 5.6 r, è il redimeo I risulai empirici derivai dall applicazioe di queso modello soo riassui dove è riporao l adameo dell idice Dow Joes, la ricchezza geeraa dal Sharpe raio e quella derivae dal modello di oimizzazioe preseao i queso lavoro. i 66

81 5. I risulai empirici dell applicazioe al mercao USA Fig. 5.6 Idice Dow Joes (blu), Sharpe raio (viola), porafoglio (verde) /0 / /03 / /05 / /07 / /09 / / / /0 / /03 / /05 / /07 / /09 / / / /0 / /03 / /05 / /07 / /09 / / / /0 / /03 / /05 / /07 / /09 / / / /0 / /03 / /05 / /07 / /09 / / / /0 / /03 / /05 / /07 / /09 / L evideza empirica mosra come il modello Sharpe baa il mercao sia durae l up red (redimeo 79.% rispeo a 64.6%), sia durae il dow red (redimeo -9.4% rispeo a -27.%) per u risulao complessivo sull iero periodo pari al 62.2% (9.9% il mercao). Il rischio associao può essere sieizzao co u epeced drawdow di -4.% e u maimum drawdow di -5.5%. Tali risulai permeoo di cocludere che il modello di oimizzazioe basao sulle radig rules domia il modello Sharpe, mosrado ifai redimei eamee maggiori (22.2% rispeo a 62.2%) a froe di u rischio massimo praicamee ideico (-5.7% il maimum drawdow del porafoglio basao sulle radig rules rispeo al -5.5% del modello Sharpe). I realà però bisoga soolieare ache u alro aspeo. Quao deo o si riferisce al cofroo ra i soli modelli di selezioe di porafoglio i seso sreo, besì più ampiamee ra le diverse capacià di geerare ricchezza da pare dei due approcci el loro complesso. 67

82 5. I risulai empirici dell applicazioe al mercao USA I ambio accademico si soo sempre cofroai ra loro i modelli di selezioe di porafoglio, fermo resado u qualche meodo iiziale di sima dei redimei aesi. I quesi ermii duque, sabilia ua capacià prediiva uguale per ui, il cofroo ra le performace di u modello di selezioe del porafoglio rispeo a quelle di u alro permee effeivamee di giudicare la boà di u meodo di oimizzazioe rispeo ad u alro. Ovvero giudicare la specifica efficacia effeiva del solo algorimo di selezioe. el osro caso ivece i pui di pareza dei due modelli (Sharpe e quello basao sulle radig rules) soo be diversi ra loro (previsioi ecoomeriche e radig rules), e quidi o è possibile cofroare ra loro co esaezza i soli meodi di selezioe di porafoglio. Abbiamo ifai dimosrao che la performace complessiva del modello basao sulle regole di radig dipede dall efficacia delle medesime (ale efficacia la idichiamo sieicamee co ε TR ) e dal vaaggio apporao dal modello di oimizzazioe i se sesso (ale vaaggio lo idichiamo coε ). TR PORT Aalogamee la performace complessiva del modello Sharpe risulerà essere proporzioale alla capacià di previsioe dei redimei aesi (che idichiamo co ε FORECAST ), e all efficieza co cui il modello di selezioe uilizza ali previsioi, ovvero alla boà i seso sreo della fuzioe obieivo e più geericamee di uo l algorimo di selezioe (ale efficieza la idichiamo sieicamee coε SHARPE ). L aver ricavao dai risulai empirici che la performace complessiva del modello baso sulle radig rules supera quella del modello Sharpe, sigifica poer cocludere che (co abuso di scriura): ε + ε > ε + ε TR TR PORT FORECAST SHARPE evideemee però queso o ci permee di sabilire se u algorimo di selezioe i seso sreo è i geerale più efficace dell alro, ovvero se viceversa. ε > ε o TR PORT SHARPE Se o si vuole solo giudicare la capacià di geerare ricchezza dell approccio el suo complesso, ecessariamee dipedee dall efficacia delle sigole radig rules, ma ivece si vuole misurare l effeiva uilià del solo modello di selezioe di porafoglio, 68

83 5. I risulai empirici dell applicazioe al mercao USA che è il preciso obieivo di queso lavoro, bisoga duque cofroare i suoi risulai co quelli di u secodo modello di selezioe, sempre comuque basao sulle medesime regole di radig. o essedoci per ora i leeraura modelli aleraivi a quello qui preseao, basai sui segali delle radig rules, giudichiamo allora la buoa performace rispeo al modello classico quaomeo come u icoraggiae risulao iiziale, solida base di pareza per sviluppi fuuri. 69

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85 6. Coclusioi e possibili sviluppi fuuri 6 Coclusioi e possibili sviluppi fuuri 6. Iroduzioe I queso capiolo riassumeremo quao emerso ella presee ricerca, riporado e commeado brevemee i pricipali risulai acquisii. Cocluderemo poi il capiolo dado spazio a quelli che possoo essere gli sviluppi fuuri del lavoro preseao, che porao essere affroai elle prossime ricerche sul ema della selezioe di porafoglio basaa sui segali operaivi derivai da radig rules. 6.2 Siesi e coclusioi Queso lavoro asce per rispodere a u quesio be preciso, che è il seguee. Preso ao dell esiseza e del diffuso uilizzo delle radig rules quaiaive, però sempre applicae a sigole aivià fiaziarie i modo disgiuo, è possibile cosruire ivece u modello di oimizzazioe di porafoglio i grado di gesire orgaicamee i segali derivai da più radig rules applicae coemporaeamee a umerose aivià fiaziarie? Queso lavoro dimosra che la cosruzioe di ale modello è possibile ed ache co risulai icoraggiai. Sebbee o sia oggeo della presee ricerca approfodire gli iumerevoli aspei legai alle diverse radig rules esisei, poiché quesi srumei devoo forire l ipu operaivo al modello di selezioe di porafoglio abbiamo rieuo comuque opporuo iiziare il presee lavoro affroado due pui fodameali legai proprio alle radig rules. 7

86 6. Coclusioi e possibili sviluppi fuuri 6.2. La defiizioe di radig rule e scela della regola da usare Abbiamo chiario che co la diciura radig rule quaiaiva iediamo u sisema di regole oggeive, ovvero codizioi puramee maemaiche, ae a sabilire quado comprare e quado vedere l aivià fiaziaria a cui soo applicae. Si raa quidi di algorimi molo precisi che devoo essere be disii da alri approcci al mercao, sempre di aura ecica, basai però sulla soggeivià, sesibilià e abilià ierpreaiva dell ivesiore che le uilizza. L uica radig rule che abbiamo deciso di uilizzare è la più semplice e oa, ovvero l icrocio di medie mobili. Tale scela è saa deaa soprauo dalla voloà di poer ivesigare ache gli aspei eorici che possoo giusificare l uilizzo La dimosrazioe del fodameo eorico dell uso delle medie mobili Traadosi di u lavoro di ricerca accademica ifai abbiamo voluo dimosrare ache il fodameo eorico dell uilizzo delle medie mobili, ovvero cosruire l archieura eorica i grado di giusificare l applicazioe a prescidere dalle evideze empiriche da essa derivai. Co queso fie siamo i realà riuscii a dimosrare u risulao di valeza più geerale, applicabile a u qualsiasi processo socasico (o solo di aura fiaziaria), a prescidere dalla sua disribuzioe saisica. I sosaza ifai, ipoizzado che il valore aeso del processo degli icremei vari el empo assumedo due valori, uo posiivo e l alro egaivo, abbiamo dimosrao che è possibile sabilire saisicamee quale di quesi due valori è assuo ell isae i cui avviee l icrocio di due mede mobili, se opporuamee scele. Applicado ale risulao all ambio fiaziario allora, dove il processo socasico rappresea chiaramee l evoluzioe del prezzo, e dove il valore aeso degli icremei ideifica il red i ao (up red se posiivo, dow red se egaivo), risula che l icrocio ra opporue medie mobili è uo srumeo saisicamee i grado di sabilire il red i corso. Ecco perché lo sfrueremo per geerare i segali operaivi che guiderao gli ivesimei. 72

87 6. Coclusioi e possibili sviluppi fuuri Chiarii quesi due pui fodameali relaivi alle radig rules, il lavoro è proseguio arrivado al cuore del problema, ovvero alla defiizioe di u modello di oimizzazioe di porafoglio basao su segali di acquiso e vedia. Queso aspeo è sao affroao ramie due passaggi chiave U uovo approccio al problema dell oimizzazioe di porafoglio Per prima cosa si è reso ecessario defiire ua uova eoria per la soluzioe del problema dell oimizzazioe di porafoglio. I leeraura ifai ale problema viee affroao solo co riferimeo ai redimei aesi fuuri, ovvero si cerca di massimizzare ua qualche fuzioe proporzioale al redimeo aeso del porafoglio (rispeado u opporuo sisema di vicoli). Ma el osro caso o vi è essua sima dei redimei, azi i geerale o c è essua previsioe di essua gradezza riguardae il fuuro. el osro caso si hao solo idicazioi operaive, sequeze di segali di acquiso e vedia. Il percorso logico allora ha irodoo il coceo di poeziale di u iolo, geeralizzado di fao quello che è l approccio classico al problema. Ifai acceado di assegare ad ua geerica aivià fiaziaria uo scalare ale per cui più esso è elevao ao più essa è appeibile, risula evidee che ale coceo è ua geeralizzazioe di quello di redimeo. Iolre queso coceo di poeziale è ache ua geeralizzazioe di quello di segale operaivo (ricordiamo: acquisa, - vedi). Massimizzado duque il poeziale complessivo del porafoglio (co opporui vicoli), co u modello che ella versioe base è formalmee ideico a quello basao sui redimei, oeiamo ua formulazioe del problema caraerizzaa dalla geeralià ecessaria per uilizzare comodamee i segali operaivi derivai dalle radig rules Lo sviluppo eorico del modello i base alle caraerisiche di u radig basao su segali ecici Gesire u porafoglio seguedo segali ecici è però molo diverso rispeo a ua gesioe basaa sulle previsioi ecoomeriche. Iazi uo molo sieicamee 73

88 6. Coclusioi e possibili sviluppi fuuri possiamo dire che o vi è il coceo di orizzoe emporale dell iero porafoglio, el seso che le posizioi i essere elle varie aivià fiaziarie hao durae emporali idipedei ra loro. Soprauo però è la aura sessa dei segali ecici a preedere sviluppi eorici dell algorimo di oimizzazioe che soliamee o soo richiesi. Si raa pricipalmee della ecessià imprescidibile della preseza di u iolo risk free (liquidià), ma soprauo dell esigeza di disiguere ra i segali operaivi da associare a posizioi già i essere e quelli da desiare alle aivià fiaziarie o acora i porafoglio; olre al fao di dover coferire ai segali ua sora di memoria di brevissimo ermie uile a eviare falsi segali. Tui quesi aspei (ed alri acora) soo sai risoli o solo all iero del problema di oimizzazioe i sé, che ecessariamee deve essere di programmazioe misa iera, ma ache appoggiadosi ad u algorimo di aggiorameo dei segali paricolarmee accoro. A queso puo si è coclusa la pare eorica del lavoro di ricerca e si è apera la fase di aalisi dei risulai empirici che dovevao verificare la validià o meo del modello eorico; l applicazioe è saa effeuaa sul mercao americao I risulai Iazi uo l applicazioe del modello ai dai gioralieri su u periodo di quasi cique ai, caraerizzao da u mercao soggeo sia a fasi di up red sia a fasi di dow red, coferisce ua cera robusezza ai risulai oeui. Per rispodere alla osra domada iiziale bisoga compredere ua sola cosa. Il modello di selezioe di porafoglio eorizzao pora u effeivo vaaggio rispeo alla sola applicazioe disgiua e idipedee delle radig rules sui vari ioli? L evideza empirica sembra proprio cofermare ale ipoesi. Complessivamee ifai la performace dell ivesimeo guidao dall oimizzaore di porafoglio supera eamee i risulai oeui dall applicazioe auooma delle sigole regole di radig. I ermii di redimeo le performace possoo essere addiriura raddoppiae, 74

89 6. Coclusioi e possibili sviluppi fuuri maeedo comuque u livello di rischio sosazialmee immuao. Iolre i risulai soo ali a prescidere dal red di mercao i ao. Se vogliamo cosiderare ache il risulao ecoomico del meodo el suo complesso ifie, oeiamo evideze ceramee icoraggiai viso che il modello proposo bae agevolmee il mercao, i ogi red, sia i ermii di performace sia i ermii di rischio, ed ache u modello classico, ampiamee raao i leeraura, il quale risula meo performae. 6.3 Sviluppi fuuri Queso lavoro rappresea solo u primo passo ello sviluppo di u meodo di oimizzazioe di porafoglio basao su segali operaivi e o su previsioi ecoomeriche; esso però cosiuisce comuque u fodameo eorico su cui basare gli sviluppi applicaivi successivi. Per queso moivo ci soo amplissimi margii di migliorameo su svariae emaiche. Iazi uo la scela delle radig rules da uilizzare. Abbiamo mosrao come al migliorare della performace delle sigole radig rules, il risulao ecoomico del modello di oimizzazioe eda a migliorare i modo più che proporzioale. e cosegue che affiare le eciche di radig uilizzae, al poso delle semplici medie mobili qui preseae, è sicuramee u aspeo che può porare a sesibili icremei di performace. D alro cao la quasi oalià degli operaori di mercao sviluppa ormai da decei regole di radig quaiaive su cui basare gli ivesimei. Per queso moivo le possibilià dispoibili per defiire buoe eciche operaive soo iumerevoli, a cui si aggiugoo ache i risulai della leeraura già esisee a riguardo. o dimeichiamo iolre che ua regola di radig quaiaiva è semplicemee ua codizioe del ipo se / allora che idica quado comprare e quado vedere l aivià fiaziaria. Per queso moivo i realà ache qualsiasi srumeo prediivo di aura ecoomerica può essere radoo i ua regola di radig, ad esempio semplicemee idicado u segale di acquiso se il redimeo previso è posiivo e viceversa. 75

90 6. Coclusioi e possibili sviluppi fuuri Però idipedeemee dallo sviluppo delle radig rules può essere ache porao avai il perfezioameo del modello di oimizzazioe i se sesso, e dell algorimo di gesioe dei segali ad esso associao (per iederci lo sep 2 dell algorimo 4.3). I merio a queso ad esempio si può pesare a come migliorare la pare relaiva alla defiizioe dei segali co memoria sorica (ovvero le ew f s ). I alri ermii defiire ua diversa fuzioe di decadimeo del segale rispeo a quella a gradii preseaa el Cap. 4. Ma acor più ieressai possoo essere gli sviluppi della fuzioe obieivo da massimizzare. Ad esempio i quella auale o si prede i cosiderazioe l avversioe al rischio dell ivesiore. Da u puo di visa sreamee saisico, i paricolare per quel che riguarda il rischio di overfiig, l asseza di qualsiasi paramero all iero del modello di oimizzazioe è ceramee u vaaggio; iolre possiamo essere acor più sicuri della robusezza dei risulai oeui per il fao che essi o dipedoo da essua scela paramerica effeuaa. Ma è alreao vero che u modello di selezioe del porafoglio è bee che ega ache coo quaomeo dell avversioe al rischio dell ivesiore. el osro caso allora si porebbe ad esempio aggiugere u paramero α > 0 che misuri ale gradezza, i modo ma modificare la fuzioe obieivo, aualmee (co riferimeo all algorimo 4.3): ρ ω, i ua più duile: ρ αω. Olre a quao deo iolre vi soo moli alri possibili sviluppi legai alla realà applicaiva dei modelli di selezioe di porafoglio. Mi riferisco all iserimeo el modello dei cosi di commissioe, asse, ed eveualmee loi miimi di acquiso o vedia. Il vero passaporo applicaivo però sarà chiaramee dao dall evoluzioe del modello i modo che possa gesire ache posizioi core (vedie allo scopero). I queso modo le possibilià di ivesimeo sarao complee e il meodo di selezioe avrà acor più ampia capacià applicaiva. Ifie esare l algorimo o solo su alri paieri di ioli (olre a quelli appareei all idice Dow Joes), ma ache su alre aivià fiaziarie (commodiies, cambi, bod, ecc) porebbe forire ieressai coferme circa la boà del modello. Cocludiamo ricordado che fuuri sviluppi del problema porao essere rivoli ache agli aspei compuazioali dell algorimo di scela. Traadosi ifai di 76

91 6. Coclusioi e possibili sviluppi fuuri programmazioe lieare misa iera i limii di calcolo derivai dall aumeo delle dimesioi del problema soo u aspeo che dovrà essere ceramee affroao. 77

92

93 Appedice A Appedice A A. Iroduzioe I quesa appedice riporiamo ui i parameri delle medie mobili uilizzae sui vari ioli durae il periodo di aalisi. Come già deo (Cap. 5) abbiamo ripeuo le aalisi co due diversi se di parameri, che riporiamo di seguio. A.2 Il primo se di parameri TR TR 2 TR 3 TR 4 TR 5 TR 6 TR 7 TR 8 TR 9 TR 0 3M CO ALCOA IC AMERICA EXPRESS CO AT&T IC BAK OF AMERICA CORP BOEIG CO CATERPILLAR IC CHEVRO CORP CITIGROUP IC

94 Appedice A COCA-COLA CO/THE DU POT (E.I.) DE EMOURS EXXO MOBIL CORP GEERAL ELECTRIC CO GEERAL MOTORS CORP HEWLETT-PACKARD CO HOME DEPOT IC ITL BUSIESS MACHIES CORP ITEL CORP JOHSO & JOHSO JPMORGA CHASE & CO KRAFT FOODS IC-CLASS A MCDOALD'S CORP MERCK & CO. IC MICROSOFT CORP PFIZER IC PROCTER & GAMBLE CO UITED TECHOLOGIES CORP VERIZO COMMUICATIOS IC WAL-MART STORES IC WALT DISEY CO/THE

95 Appedice A A.3 Il secodo se di parameri TR TR 2 TR 3 TR 4 TR 5 TR 6 TR 7 TR 8 TR 9 TR 0 3M CO ALCOA IC AMERICA EXPRESS CO AT&T IC BAK OF AMERICA CORP BOEIG CO CATERPILLAR IC CHEVRO CORP CITIGROUP IC COCA-COLA CO/THE DU POT (E.I.) DE EMOURS EXXO MOBIL CORP GEERAL ELECTRIC CO GEERAL MOTORS CORP HEWLETT-PACKARD CO HOME DEPOT IC ITL BUSIESS MACHIES CORP ITEL CORP JOHSO & JOHSO JPMORGA CHASE & CO KRAFT FOODS IC-CLASS A MCDOALD'S CORP MERCK & CO. IC MICROSOFT CORP PFIZER IC

96 Appedice A PROCTER & GAMBLE CO UITED TECHOLOGIES CORP VERIZO COMMUICATIOS IC WAL-MART STORES IC WALT DISEY CO/THE

97 Appedice B Appedice B B. Iroduzioe Di seguio riporiamo il codice del programma di oimizzazioe lieare i ambiee MPL. Ricordiamo che uo il processo di selezioe del porafoglio sul periodo i aalisi è sao gesio ache ramie Macro i Visual-Basic i ambiee Ecel (per ua comoda visualizzazioe dei risulai), e codici i ambiee Malab per la selezioe delle radig rules e il calcolo dei relaivi segali. A pare quesi codici accessori però, il cuore dell algorimo di selezioe è riporao di seguio. B.2 Il codice di oimizzazioe i ambiee MPL TITLE Oimizzaore_por; IDEX s:=..0; :=..30; DATA sar[] := EXCELRAGE("C:\op_por.ls","hold"); Lsar := EXCELRAGE("C:\op_por.ls","liq"); P[] := EXCELRAGE("C:\op_por.ls","pval"); fh[,s] := EXCELRAGE("C:\op_por.ls","segalihold"); f[,s] := EXCELRAGE("C:\op_por.ls","segaliew"); DECISIO VARIABLES y[s]; L; ITEGER VARIABLES buy[] EXPORT TO EXCELRAGE("C:\op_por.ls","buy"); sell[] EXPORT TO EXCELRAGE("C:\op_por.ls","sell"); BIARY VARIABLES zb[]; zs[]; 83

98 Appedice B MACRO Po = 0.0*L + 0.*SUM(,s: sar*fh*p + buy*f*p - sell*fh*p) 2*SUM(s: y); MODEL MAX Po; SUBJECT TO au[s]: y >= 0.*(SUM(: sar*fh*p + buy*f*p - sell*fh*p 0.*SUM(s: sar*fh*p + buy*f*p - sell*fh*p))); segoy[s]: y >= 0; liqidia: Lsar + SUM(: sell*p) = L + SUM(: buy*p); oshor[]: sell-sar <= 0; segol: L >= 0; oerambi[]: zb + zs <= ; codbuy[]: buy*p <= *zb; codsell[]: sell*p <= *zs; ED 84

99 Bibliografia ed Opere ciae BIBLIOGRAFIA ED OPERE CITATE [] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [0] [] [2] [3] [4] Acar E. Sachell S. E. 997 A heoreical aalysis of radig rules: a applicaio o he movig average case wih Markovia reurs, Applied Mahemaical fiace, Alle, F. Karjalaie, R. 999 Usig Geeic Algorihms o fid Techical Tradig Rules, Joural of Fiacial Ecoomics, 5, Adrew, W. Mamaysky, H. Wag, J Foudaios of Techical Aalysis: Compuaioal Algorihms, Saisical Iferece, ad Empirical Implemeaios, The Joural of fiace, 55. Akiso, C. Mokkhavesa, S Muli-asse porfolio opimizaio wih rasacio cos, Applied Mahemaical Fiace,, 2, Azoff, A eural ework Time series Forecasig of Fiacial Markes, Joh Wiley ad Sos. Baudoi, F. Porfolio opimizaio associaed wih a weak iformaio, Uiversié Paris. Bird, P. 985 The Weak form efficiecy of he Lodo Meal Echage, Applied Ecoomics, 7, Bollerslev, T. ad Hodrick, R. J. 992 Fiacial Marke Efficiecy Tess, aioal bureau of ecoomic research WP. Boaglia, M. Chiarii,. Masii, R. Speraza, M. G A eac approach for he porfolio selecio problem wih rasacio coss ad rouds, Uiversiy of Brescia, Techical Repor. Bouchaud, J. P., Poers, M. Meyer, M Appare Mulifracaliy i fiacial ime series, The Europea Physical Joural B 3, Brisso, M. Campbell, B. Galbraih, J. W Forecasig some lowpredicabiliy ime series usig diffusio idices, Joural of Forecasig, 2003, vol. 22, issue 6-7, Brock, W. Lakoishok, J. LeBaro, B. 992 Simple Techical Tradig Rules ad he Sochasic Properies of Sock Reurs, The Joural of fiace, 47. Bulkley, G. Hol, R. 999 Forecasig Cross-Secio Sock Reurs usig Theoreical Price Esimaed from a ecoomeric model, Joural of Ecoomic Lieraure. Cha, M. C., Wog C. C. Lam C. C Fiacial Time Series forecasig by eural ework Usig Cojugae Gradie Learig algorihm ad Muliple Liear Regressio Weigh Iiializaio, Compuig i Ecoomics ad Fiace. 85

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