Metodi matematici per l ingegneria (Matematica 4)

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1 Meodi maemaici per l igegeria (Maemaica 4) Lezioi del prof. Marco Codegoe appui di Capuzzo Alessadro v.4

2 Noe dell'auore: Sicuramee o sosiuiscoo u libro di eso, probabilmee o soo u lavoro sesazioale, seza dubbio soo moli gli errori, di vario geere; ma quesi appui, presi guardado le videolezioi di Marco Codegoe (professore di aalisi maemaica presso il Poliecico di Torio) soo il fruo di seimae di lavoro e a me persoalmee soo sai molo uili. Ho deciso quidi di rederli dispoibili i ree per chiuque pesasse di ricavare u qualche vaaggio, poichè peso che la codivisioe sia il bee che salverà il modo e perchè ciò avvega, bisoga uscire dalla logica del guadago a ui i cosi, covicedosi che coribuire disieressaamee alla ricchezza culurale del proprio paese o è empo perso, é macao guadago, ma il bee più grade che si possa fare a sé sessi,... e ai propri figli. Capuzzo Alessadro [email protected]... buo lavoro.

3 . Numeri complessi Forma caresiaa Complesso coiugao...3. Forma rigoomerica Formula di Eulero Esempi Proprieà del modulo e dell argomeo Sei e cosei complessi Sei e cosei iperbolici Logarimo complesso Espoeziale complesso Fuzioi a valori complessi Fuzioi reali di variabile reale Fuzioi periodiche Aalisi armoica Armoiche elemeari Eergia di u armoica elemeare Poliomi di Fourier Eergia di u poliomio di Fourier Poliomio di Fourier di x() Serie di Fourier Fuzioi coiue a rai Norma e prodoo scalare Traslazioi Riscalameo (dilaazioe, omoeia) Covergeza puuale e covergeza uiforme Covergeza puuale Covergeza uiforme Fuzioi di variabile complessa Fuzioi reali di variabile complessa Fuzioi complesse di variabile complessa Iegrali di liea i campo complesso Fuzioi aaliiche Formule iegrali di Cauchy Formula iegrale di Cauchy Formula iegrale di Cauchy.. 54

4 8.4. Esiseza di derivae di ogi ordie di f(z) Sviluppi i serie Sviluppi i serie di Taylor Giusificazioe della formula di Eulero Sviluppi i serie di Laure. 6. Sigolarià 63.. Sigolarià isolae Poli di ordie Poli di ordie qualuque Sigolarià esseziali 7.5. Puo all'ifiio di C Sigolarià o uiformi Sigolarià o isolae Tabelle riassuive Osservazioi fiali. 78. Residui Calcolo praico dei residui i poli del ordie. 8.. Calcolo praico dei residui i poli di ordie N>= Iegrali impropri col meodo dei residui Lemma di Jorda (per cammii paralleli all'asse reale) Lemma di Jorda (per cammii paralleli all'asse immagiario) Decomposizioe i frai semplici Poli semplici Poli mulipli Poli complessi coiugai 3. Disribuzioi Fuzioali Limii (el seso delle disribuzioi) Derivae disribuzioali Modelli (igresso - uscia) Prodoo di covoluzioe Proprieà del prodoo di covoluzioe.. 4. Trasformaa di Fourier Trasformaa della pora Trasformaa della campaa razioale Trasformaa della dela di Dirac 5

5 4.4. Trasformaa della cosae Airasformaa di Fourier Proprieà della rasformaa di Fourier Alre rasformae Trasformaa del gradio uiario Equazioi el domiio delle disribuzioi Esempi di rasformae di Fourier Esercizi iroduivi alle disribuzioi limiae e a crescia lea Disribuzioi limiae Disribuzioi a crescia lea Treo di impulsi Trasformaa di Fourier di disribuzioi periodiche Esempi di rasformae di Fourier di segali periodici Trasformaa di Laplace Trasformaa di Laplace bilaera Proprieà della rasformaa di Laplace Esercizi su rasformae fodameali Trasformaa di Laplace uilaera Airasformaa di Laplace Esercizi di airasformazioe Trasformaa di Laplace per segali periodici per >= Cosiderazioi praiche Teorema del valor fiale Teorema del valore iiziale Uso della rasformaa di Laplace ei modelli differeziali Applicazioe ad u modello cocreo Separazioe dei ermii di rasiorio e di regime.. 94

6 Capuzzo Alessadro - Numeri complessi Numeri complessi I umeri complessi si possoo preseare i re forme: Forma caresiaa Forma rigoomerica Forma espoeziale Forma caresiaa Il umero complesso i forma caresiaa si scrive el seguee modo: zx jy co j si iede l'uià immagiaria, ovvero è quel umero complesso che verifica la seguee uguagliaza: j Nei corsi di maemaica ormalmee l'uià immagiaria è simboleggiaa dalla leera i, mere ei corsi di applicazioe all'eleroica si uilizza la leera j, perché la i è riservaa alla corree. Noi ci uiformiamo a ques'ulima idicazioe i quao il osro corso ha ua fore icliazioe alle applicazioi eleroiche. Il vaaggio della forma caresiaa è che si possoo leggere immediaamee la pare reale e la pare immagiaria del umero complesso: Re zx Im z y La forma caresiaa presea ivece qualche difficolà quado se e voglioo cercare il modulo e l'argomeo. Rappreseado i u piao caresiao il umero complesso, si uilizza l'asse delle ascisse per la pare reale e l'asse delle ordiae per la pare immagiaria e la loro composizioe idividua u puo el piao che lo rappresea. y zx jy x Il modulo di u umero complesso rappresea quella che è la disaza del puo del piao xy dall'origie, duque: z x y. Ivece l'argomeo di u umero complesso è l'agolo formao dalla semirea che pare dall'asse delle x e ruoa fio ad icorare il umero z E' chiaro che se facciamo ua roazioe i seso aiorario idichiamo l'agolo posiivamee, se la facciamo i seso orario, lo idichiamo egaivamee. Come facciamo ad idividuare il valore di? Se guardiamo i figura abbiamo il Forma caresiaa - Pag.

7 Capuzzo Alessadro - Numeri complessi riagolo reagolo Oxz. I queso riagolo è l'agolo adiacee al caeo Ox ed opposo al caeo xz, quidi si ha, grazie alla rigoomeria: g y arcg y x x Bisoga però fare ua cera aezioe el calcolo di, perché la fuzioe agee o è iveribile i uo il suo domiio: è ua fuzioe periodica di periodo ed essedo la fuzioe arcoagee l'iversa della fuzioe agee esclusivamee ell'iervallo,, la formula così com'è vale solo se l'agolo è compreso i ale iervallo, ovvero: quado la pare reale del umero complesso è posiiva, la formula per ricavarlo è quella scria sopra. Se ivece l'agolo si rova fuori da queso iervallo, ovvero: quado la pare reale del umero complesso è egaiva, bisoga aggiugere o ogliere (vedi figura : la freccia idica lo sposameo ecessario per rierare el domiio dell'arcoagee paredo co fuori del domiio dell'arcoagee, queso sposameo vale ). Cocludedo: se xre z arg zarcg y x se xre z arg zarcg y x Complesso coiugao Il simbolo z * rappresea il complesso coiugao di z e si oiee cambiado il sego della pare immagiaria : se zx jy, z * x jy Complesso coiugao - Pag.

8 Capuzzo Alessadro - Numeri complessi y zx jy x z * x jy Dal puo di visa geomerico ricavare il complesso coiugao corrispode a fare ua simmeria rispeo all'asse reale. La forma caresiaa permee di fare agevolmee somme e sorazioi, ma divea u po' più problemaica ue le vole che dobbiamo fare prodoi o poeze. Ifai si vede subio che ella forma caresiaa il umero complesso corrispode ad u biomio, co ue le cosegueze del caso: u prodoo pora a 4 ermii, ua poeza acora peggio. Vediamo u esempio: z434 j duque: Re z43 Im z4 E' sempre molo imporae valuare subio modulo ed argomeo: z (osserviamo che il modulo è sempre posiivo) Ciò vuol dire che la disaza dall'origie di z è 8. E' molo imporae da compredere: è come dire che il osro umero complesso sa su di ua circofereza di cero l'origie e raggio 8 (vedi figura). Calcoliamo adesso l'argomeo: dobbiamo subio fare ua riflessioe sul sego della pare reale. Nel osro caso è egaiva per cui dobbiamo aggiugere arg zarcg 43 3 arcg Il umero complesso si scrive ella forma: z cos j se Forma rigoomerica Quado il umero complesso è espresso i forma rigoomerica leggiamo subio il valore del modulo ( ) e dell'argomeo ( ). E' ivece ecessario qualche calcolo per le pari reale ed immagiaria: Forma rigoomerica - Pag. 3

9 Re zcos Im z se Capuzzo Alessadro - Numeri complessi Il complesso coiugao di z si oiee cambiado il sego alla pare immagiaria oppure cambiado il sego all'argomeo: z * cos j se cos j se La validià del secodo membro è facilmee verificabile i quao il coseo è ua fuzioe pari, duque cos cos ed il seo è ua fuzioe dispari, duque sese. La forma rigoomerica evidezia il fao che il complesso coiugao si oiee semplicemee cambiado sego all'agolo (ifai i queso modo si oiee la simmeria del umero complesso rispeo all'asse delle x). Vediamo u esempio. z5 cos 4 3 j se 4 3 Per rappreseare queso umero el piao caresiao osserviamo che il umero sarà su 4 di ua circofereza di raggio 5 ed il suo modulo formerà u agolo di co l'asse 3 delle x. Calcoliamo le pari reale ed immagiaria Re5cos Im z5si Il umero complesso può essere così espresso i forma caresiaa: z 5 53 ed il coiugao è z * 5 53 = 5 cos 4 3 j se 4 3 Vogliamo fare adesso delle cosiderazioi che ci iroducao alla forma espoeziale. La seguee uguagliaza è sicuramee ovvia: zz z z Forma rigoomerica - Pag. 4

10 Capuzzo Alessadro - Numeri complessi Geomericamee queso vuol dire che ogi umero complesso può essere scrio come il prodoo di u umero reale z per u umero complesso che sa sulla z circofereza uiaria z. Circofereza uiaria z z z Abbiamo fao quesa osservazioe perché per ora vogliamo occuparci esclusivamee di umeri complessi che hao modulo. Prediamo i seguei umeri complessi e scriviamoli i forma rigoomerica: z z cos j se z z cos j se e moliplichiamoli ra loro: z z cos cos se se j cos se se cos ricordado le formule di addizioe e sorazioe cos se z z cos cos se se j cos se se cos risula z z cos j se Queso è u risulao esremamee ieressae perché illusra che per fare il prodoo di due umeri complessi ci siamo ricodoi a fare ua somma ra gli argomei. Vi è u'aalogia co la forma espoeziale: e a e b e ab il prodoo degli espoeziali si raduce i ua somma degli espoei; il prodoo dei umeri complessi si raduce i ua somma degli argomei. Queso ci pora a rifleere sulla possibilià che porebbe esserci ua forma di rappreseazioe dei umeri complessi come espoeziale. I effei è così, ma cero o può essere ua forma espoeziale di ipo reale, perché se si volesse rappreseare ad esempio il umero complesso j : jcos j se, è chiaro che ua forma espoeziale del ipo e sarebbe u umero reale, duque o adrebbe bee. Bisogerà i qualche misura irodurre u oggeo uovo. La forma correa è la seguee i quao l'espoee o è u umero reale ma u umero immagiario: Forma rigoomerica - Pag. 5

11 Capuzzo Alessadro - Numeri complessi z e j z e j Quesa rappreseazioe raduce molo bee ache il prodoo, ifai voledo fare il prodoo di due umeri complessi dobbiamo fare la somma degli argomei: z z e j e j e j Bisogerebbe però essere sicuri che queso ipo di oazioe è i qualche misura coeree co ue le proprieà degli espoeziali. Più avai el corso, quado avremo gli srumei ecessari, dimosreremo che è così. Siamo duque giui alla e j cos j se Formula di Eulero Quesa è ua formula fodameale el osro cammio. Familiarizziamo u po' co essa effeuado ua divisioe ra due umeri complessi: z z cos j si = e j e j e j Uilizzado la formula di Eulero possiamo scrivere u umero complesso el seguee modo: z e j La forma espoeziale è ua forma i cui si leggoo agevolmee modulo e argomeo ed è esremamee praica per fare le operazioi di prodoo, di poeza, di radice -sima. Per esempio l'elevameo a poeza diviee il seguee: z e j e j e j Vediamo u esempio praico. Prediamo z3 33 j e facciamoe la poeza oava. Esempi Diciamo subio che se dovessimo eseguire queso calcolo i forma caresiaa, ci riroveremmo a dover fare il prodoo di u biomio co due addedi per sé sesso 8 vole, ed il calcolo diveerebbe ua cosa esremamee faicosa. Se ivece scriviamo il umero complesso i forma espoeziale queso divea molo semplice: z arg zarcg osserviamo che a, quidi o si aggiuge Esempi - Pag. 6

12 Capuzzo Alessadro - Numeri complessi per cui la poeza è z 8 j 6 e e j 8 6 E' molo imporae verificare cosa succede graficamee, facedo ua rappreseazioe geomerica; fare l'oava poeza è sigificao elevare il modulo all'oava poeza; ed avere fao ua roazioe, moliplicado l'argomeo per 8. z z 8 Vediamo u alro esempio. Ci poiamo la quesioe di fare la radice -sima di z. Ricordado che fare la radice - sima sigifica fare u elevameo a poeza frazioaria, possiamo scrivere: z e j e j Si raa ache i queso caso di sfruare le proprieà dell'espoeziale, eedo però coo della periodicià di che rimae pur sempre u agolo della circofereza goiomerica, per cui risula: ze j e j e j k j Aggiugere u muliplo di a ci fa oeere lo sesso umero complesso. Dobbiamo quidi eere coo e sviluppare la radice come segue: z e j e j e j k j e j kj co k Osserviamo adesso che se se oi facciamo variare k o oeiamo ifiie radici disie, perché k pora allo sesso agolo a cui pora k, per cui sarà sufficiee far variare k ell'isieme k,,,..., Traduciamo i u esempio umerico. Calcolare 4 3 j Il primo problema che affroiamo è scrivere il umero ella forma espoeziale: arg zarcg (i queso caso ao per cui si aggiuge ) Esempi - Pag. 7

13 Capuzzo Alessadro - Numeri complessi possiamo scrivere: 4 3 j4 e j e j 3 4 kj Rappreseiamo el piao complesso le radici quare di z. Osserviamo che hao 4 ue lo sesso modulo: 4. Quello che cambia è l'agolo perché dobbiamo variare il paramero k. Osserviamo che al variare di k si oegoo sempre gli sessi 4 pui, quidi per oeere radici disie si prede, come già deo, solo k,,,3 I pui soo i verici di u poligoo regolare che ha ai lai quao è l'idice della radice (i queso caso abbiamo u quadrao regolare iscrio ella circofereza di raggio. z z z z 3 Vediamo u alro esempio. 5 Scriviamo il umero i forma espoeziale (quado il umero è così semplice è più facile ricavarsi modulo e argomeo graficamee che far calcoli) Il modulo è, l'aomalia o argomeo è per cui 5 e 5 j e j 5 e j 5 5 kj La prima radice la oeiamo meedo k, il modulo è sempre. Aggiugedo mulipli di oeiamo gli alri pui (che corrispodoo ai verici di u 5 peagoo regolare iscrio ella circofereza uiaria). - Vediamo u alro esempio. Esempi - Pag. 8

14 Capuzzo Alessadro - Numeri complessi 6 e 6 j e j 6 e j 6 6 kj I queso caso le alre radici si oegoo araverso ua roazioe di 6 - Queso ipo di esercizi è molo uile per cui si cosiglia lo sudee di eseguire per sé i seguei: E' chiaro che bisoga ricordarsi che e j, 3 j 4 j je j 5 j 6 j Proprieà del modulo e dell'argomeo 3 j 4 j 5 j z z z z Scriviamo i umeri complessi ella loro forma espoeziale z e j z e j z z e j e j e j Risula evidee duque l'ideià z z z z arg z z arg z arg z z z z z Proprieà del modulo e dell'argomeo - Pag. 9

15 Capuzzo Alessadro - Numeri complessi arg z z arg z arg z Le dimosrazioi soo ue immediae scrivedo il umero complesso soo forma espoeziale. Vediamo u esempio cocreo. z j 3 j e j 4 Suppoiamo di essere ieressai, come spesso capia, a vedere subio il modulo e l'argomeo di queso umero complesso. Queso calcolo diviee semplice se oi uilizziamo le proprieà che abbiamo appea mosrao: j z 3 j e j j arg zarg jarg 3 jarg e 4 arcg arcg Osservazioe z e j corrispode ad ua roazioe, i quao il modulo di z o cambia, mere l'argomeo viee moliplicao per. Per esempio zj pora ad ua roazioe di Queso evidezia ua caraerisica di j j j j j 3 j j 4... di z. j, proviamo a sviluppare le poeze: - -j j Si può vedere dal grafico che effeivamee ogi prodoo per j corrispode ad ua roazioe di, per cui calcolare le poeze di j divea effeivamee semplice (si divide l'idice della poeza per 4 e si prede il reso della divisioe...) Proprieà del modulo e dell'argomeo - Pag.

16 Cosideriamo e z e x j y e x e j y e ricordado la formula di Eulero e x e j y e x cos y j se y Capuzzo Alessadro - Numeri complessi Sei e cosei complessi abbiamo così pouo scrivere e elevao ad u qualuque umero complesso. Possiamo subio osservare che e z e x arg e z y Abbiamo appea raao ua forma u pochio più complea della formula di Eulero: e z e x cos y j se y Facciamo le seguei cosiderazioi, abbiamo e j cos j se iiziamo subio col dire che grazie alla formula di Eulero possiamo dire che l'espoeziale complesso può essere viso come ua combiazioe lieare di cosei e sei. Cerchiamo il complesso coiugao e j cos j se e adesso sommiamo membro a membro le due uguagliaze, oeedo e j e j cos cos e j e j osserviamo che il coseo può essere viso come ua combiazioe lieare di espoeziali complessi, e queso è u fao molo imporae. Facciamo adesso la sorazioe membro a membro e j e j j si se e j e j j osserviamo che ache il seo può essere espresso come combiazioe lieare di espoeziali complessi. Meere come argomeo di seo e coseo u umero complesso è di difficile ierpreazioe (o sappiamo dire cosa sigifica), ma se oi sfruiamo le uguagliaze che ci siamo appea ricavai, è possibile farlo (perché u espoeziale complesso ha sigificao, come già viso precedeemee), duque possiamo procedere co le seguei defiizioi: cos z e j z e j z defiizioe di coseo complesso se z e j z e j z j Vediamo u esempio. Abbiamo defiizioe di seo complesso Sei e cosei complessi - Pag.

17 z j vogliamo calcolare il seo: Capuzzo Alessadro - Numeri complessi se j e j j j j e e j e e j e j j se adesso rifleiamo su quao vale e j, oiamo che ha modulo ed argomeo, duque è il umero reale -. Lo sesso vale per e j. L'equazioe divea: se j e e j mole vole il j a deomiaore disurba, quidi lo si pora a umeraore moliplicado e dividedo per j : se j e e j e j j e j Osserviamo che il seo di u umero complesso è u umero complesso. Vediamo u alro esempio. Calcolare si j log dobbiamo ache i queso caso ricorrere alla defiizioe di seo complesso: si j log e j l log e j j log j e j e log e j e log j j j j i queso caso abbiamo oeuo u umero reale (ricordiamo che il umero reale è u caso paricolare del umero complesso). Vogliamo soolieare co grade rilievo che il risulao è u umero reale >. Queso fao sembrerebbe i corapposizioe co le ormali regole del seo, ma o dimeichiamo che abbiamo fao il seo di u umero complesso: il modulo di u seo complesso può essere più grade di uo. Sei e cosei iperbolici Iroduciamo adesso le fuzioi iperboliche, che co gli srumei che abbiamo irodoo, diveao di compresioe piuoso semplice. Sei e cosei iperbolici - Pag.

18 Capuzzo Alessadro - Numeri complessi Defiizioe i ambio reale di seo e coseo iperbolico: seh e e cosh e e Defiizioe i ambio complesso di seo e coseo iperbolico: seh z e z e z cosh z e z e z Possiamo osservare che così come seo e coseo complesso soo ua combiazioe di espoeziali complessi, ache seo e coseo iperbolici complessi soo ua combiazioe di espoeziali complessi, ache se ovviamee diversa. Duque possiamo cocludere che l'espoeziale complesso comprede dero di sé ue quese fuzioi, ovvero, araverso opporue combiazioi di di espoeziale complesso si oegoo le fuzioi seo e coseo circolari, seo e coseo iperbolici, complessi. Essedoci duque queso legame co l'espoeziale complesso, possiamo dedurre che ci sarà ache u legame ra le fuzioi seo e coseo circolari e seo e coseo iperbolici. Calcoliamo il se j z se j z e j j z e j j z j ez e z j ez e z j e z j j ez j e z e z j j seh z Abbiamo rovao u legame molo sreo ra seo complesso di z e seo iperbolico complesso di z. Aalogamee si oegoo le alre relazioi. Il quadro geerale risulae è il seguee: se jz j seh z seh jz j sez cos jzcosh z cosh jzcos z Il logarimo complesso si scrive ella forma log z Logarimo complesso Logarimo complesso - Pag. 3

19 Capuzzo Alessadro - Numeri complessi Si uilizza la sessa oazioe del logarimo di u umero reale; sarà il coeso a segalarci se si raa del logarimo di u umero reale o del logarimo di u umero complesso. Prediamo come defiizioe di logarimo quella che si oiee i modo aurale, facedo il logarimo del umero complesso scrio soo forma espoeziale: z e j per cui log zlog e j divea allora abbasaza aurale defiire il logarimo di u umero complesso i modo che siao rispeae le proprieà che avevao i logarimi dei umeri reali. E' possibile scomporre il logarimo di u prodoo i ua somma di logarimi: log e j loglog e j ricordado la periodicià dell'argomeo, dobbiamo scrivere: log e j loglog e j loglog e jk j log j k j Duque grazie ai coi che abbiamo fao possiamo dare la defiizioe di logarimo di u umero complesso log zlog j k j Osserviamo il grafico. Facedo il logarimo, oeiamo u umero complesso co pare reale uguale al logarimo di e pare immagiaria uguale a j k j Vediamo che è solo la pare immagiaria ad essere periodica di periodo k. Queso, si raduce el fao che esso sarà su di ua rea parallela all'asse delle ordiae (la x è cosae) ed apparirà, paredo da u'ordiaa uguale a (co k=) co u periodo di j. Il logarimo ci pora duque ad ifiii valori immagiari. log Vediamo u esempio. j log j3log e 3 k j log j k j 3 Espoeziale complesso Araverso il logarimo complesso si può ache defiire l'espoeziale co base complessa: Espoeziale complesso - Pag. 4

20 Capuzzo Alessadro - Numeri complessi z e log z logz j k j e Ache per l'espoeziale quado la base è complessa oeiamo ifiii risulai. Termiiamo il capiolo riguardae i umeri complessi co alcue osservazioi. I campo complesso: vi soo radici di umeri egaivi vi soo logarimi di umeri egaivi seo e coseo possoo avere moduli maggiori di l'espoeziale complesso comprede sei e cosei Espoeziale complesso - Pag. 5

21 Capuzzo Alessadro - Fuzioi a valori complessi Fuzioi a valori complessi Fuzioi reali di variabile reale Occupiamoci iizialmee di fuzioi reali di variabile reale, facedo però ierveire i umeri complessi. Cosideriamo xre e j Ree e j Ree cos j se e cos si vede che oeiamo ua fuzioe reale di variabile reale da u'espressioe che però è complessa. Qualcuo si chiederà perché o abbiamo subio preso l'espressioe fiale e cos. La risposa è che el osro corso capierà spesso di oeere fuzioi reali da fuzioi complesse, è quidi molo imporae capire come ua fuzioe reale possa essere rappreseaa da ua fuzioe complessa. Mosriamo il grafico della fuzioe cercado e x cos x di capire come u grafico di queso ipo possa essere immediaamee percepio seza passare araverso lo sudio di fuzioe. La fuzioe cos è oa. Ci soo dei pui i cui essa assume valore, - e. I ui gli alri pui ha valori che soo compresi ra - e. L'osservazioe è che se oi prediamo i pui i cui il coseo vale la fuzioe prodoo assumerà il valore della fuzioe espoeziale. Possiamo duque predere il grafico dell'espoeziale e segarci i pui i cui cos, che sarao ripeo i pui i cui la fuzioe prodoo varrà e. Lo sesso ragioameo si può fare per i pui i cui cos (prededo però i valori di e, viso che l'espoeziale viee moliplicao per -). Ifie ei pui i cui cos la fuzioe prodoo sarà sull'asse delle x. Per ui i valori ieri avremo dei valori compresi, sarà duque facile immagiare l'adameo della fuzioe. A iolo iformaivo diciamo che il grafico che abbiamo rovao è ua modulazioe i ampiezza di ua fuzioe periodica che ha u adameo siusoidale. Nel seguio useremo il ermie segale al poso del ermie fuzioe, perché più idicao elle applicazioi maemaiche. Vediamo u alro esempio di fuzioe reale di variabile reale che descriviamo araverso i umeri complessi: xim e j Imcos j seimcos j sese Duque abbiamo rappreseao la fuzioe se come espoeziale complesso. Fuzioi reali di variabile reale - Pag. 6

22 Capuzzo Alessadro - Fuzioi a valori complessi Fuzioi complesse di variabile reale Vediamo adesso le fuzioi a valori complessi di variabile reale. Sia xe s co s j cosae complessa fissaa; pur essedo ua variabile reale, i valori che la fuzioe assume ad ogi soo dei umeri complessi, quidi si raa di ua fuzioe che dai reali va ai complessi ( ). xe s e j e e j e cos j se Rifleiamo su cosa soo pare reale e pare immagiaria di queso umero Re e s e cos osserviamo che a pare le cosai e, che modificao quelle che soo le scale del osro umero (riscalameo), quesa fuzioe ha u grafico qualiaivamee simile a quello che abbiamo viso prima; Im e s e si ed ache quesa appare come ua modulazioe i ampiezza di ua fuzioe siusoidale. Vediamo adesso quali soo modulo e argomeo della fuzioe complessa Modulo: xe s e e j e e j e e j è u espoeziale co all'espoee la sola pare immagiaria, duque il suo modulo è e è u espoeziale co all'espoee la sola pare reale, duque il suo modulo è l'espoeziale sesso e. Il modulo della osra fuzioe complessa è duque u espoeziale reale. Argomeo: arg xarge j arge e j duque l'argomeo ha u comporameo lieare (è ua rea passae per l'origie). Fuzioi complesse di variabile reale - Pag. 7

23 Capuzzo Alessadro Fuzioi periodiche Fuzioi periodiche Ua fuzioe periodica è ale se si verifica la seguee uguagliaza xxt Ifai aggiugere ua cosae reale alla osra variabile, sigifica raslare la osra fuzioe a siisra di T, dal momeo che la fuzioe raslaa è uguale alla fuzioe sessa e cosegue che la fuzioe è periodica di periodo T. Risula immediao osservare che se T è il periodo di ua fuzioe, risulao essere periodi della sessa fuzioe ache i suoi mulipli, ovvero: xxk T co k se x o è ua fuzioe cosae e T è il più piccolo umero reale posiivo, per il quale si ha xxt allora T è deo periodo fodameale o lughezza d'oda. Vediamo u esempio. Quello rappreseao i figura è u segale periodico di periodo T (raslado la fuzioe del periodo se e oiee ua uguale). x Richiamiamo adesso alcui alri oggei che soo imporai ella descrizioe di ua fuzioe periodica: T periodo T f frequeza T f frequeza agolare T T Nel caso dell'esempio avedo T si oegoo Fuzioi periodiche - Pag.8

24 Capuzzo Alessadro Fuzioi periodiche f T T TRUCCO: elle fuzioi siusoidali il valore della frequeza agolare corrispode al coefficiee della variabile. Vediamo cosa succede raddoppiado la frequeza: x Osservado il grafico, vediamo che abbiamo oeuo ua fuzioe periodica co periodo fodameale che è esaamee uguale alla meà del precedee (però ache il vecchio periodo rimae periodo della fuzioe ache se o più fodameale). Fuzioi periodiche - Pag.9

25 Cosideriamo le seguei fuzioi a) x k cos k k se k b) x k sek k c) x c k e j k Capuzzo Alessadro Aalisi armoica Aalisi armoica Armoiche elemeari (co il pedice c si iede che la c) è ua fuzioe a valori complessi) co variabile reale k paramero iero relaivo k, k, k, k, k valori reali k valore complesso valore reale Osserviamo subio che k = frequeza agolare delle armoiche elemeari ma ricordado che T abbiamo frequeza agolare = kk T periodo = frequeza T k k = k f k T k Quese cosiderazioi valgoo per ue e re le armoiche elemeari. Vediamo adesso quali soo i legami ra quese re armoiche; richiamado le formule di addizioe e sorazioe e pariamo dalla forma b). x k sek k k cos k se k se k cos k = k se k cos k k cos k se k k k Armoiche elemeari - Pag.

26 Capuzzo Alessadro Aalisi armoica ci si accorge che l'armoica elemeare espressa ella forma b) coicide co quella espressa ella forma a) se k k se k k k cos k Quesa uguagliaza può essere uilizzaa ache per ricavare e quadrai di ambo i membri delle due espressioi soprasai: k k k se k k cos k k k k k dividiamo adesso membro a membro le due uguagliaze : sommiamo i k k a k k arca k k se k Vediamo adesso i legami co l'armoica i forma complessa (forma c) ). Osserviamo iaziuo che la somma di u umero complesso co il proprio coiugao dà u umero reale; se pariamo dalla seguee uguagliaza, che sabiliamo oi arbirariamee xx c x c * e ricordado che fare il coiugao di u prodoo sigifica coiugare ciascu faore, eseguiamo i seguei passaggi xx c x c * k e jk k e jk * k e jk k * e jk = k cos k j se k k * cos k j se k= meedo i evideza il seo ed il coseo = k * k cos k j k * k se k k per cui alla fie si oiee: k k k * Re k k k j k k * Im k (il sego meo asce da jj ) Se ivece volessimo k si ricava facilmee k k j k Duque i re modi che abbiamo di scrivere u'armoica elemeare o soo alro che re modi diversi per descrivere lo sesso oggeo. Armoiche elemeari - Pag.

27 Capuzzo Alessadro Aalisi armoica Vediamo u esempio. Abbiamo il segale armoico i forma complessa c) : x j e j 4 j e j 4 co k4 e vogliamo ricavare la forma a). T f NOTA: essedo k4 ui i ermii i k sarao ermii i * j j * j j 4 j 4 4 * j j j * j j j quidi la forma a) sarà x se 4 Fuzioe dal grafico rappreseao i figura. Vediamo u alro esempio. Abbiamo il segale xcos se co k T f Ci chiediamo qual'é l'ampiezza dell'oscillazioe e vediamo che co l'armoica espressa ella forma a) ci soo delle difficolà a capirlo subio. Poriamoci duque ella forma b)., arca 4 è deo ache sfasameo duque la forma b) è : x se 4 Abbiamo u'ampiezza di ed uo sfasameo a desra di 4. Armoiche elemeari - Pag.

28 Capuzzo Alessadro Aalisi armoica Eergia di u'armoica elemeare L'eergia di u'armoica elemeare è daa dalla seguee espressioe x T x d Calcoliamola araverso la forma complessa: x c T k e j k d T k e j k d T k d T k dt k Si vede che l'eergia dipede dal modulo del coefficiee dell'armoica al quadrao moliplicao per l'ampiezza del periodo T. Calcoliamo l'eergia araverso ua forma o complessa T x x c x c * T xc x c * d = T x c x c * x c x c * * d = x c x c x c x c x c * x c * d = T k T k e j k d T k * e j k d i due iegrali soo ulli, per cui risula x T k T k k Eergia di u'armoica elemeare - Pag.3

29 I seguei poliomi Capuzzo Alessadro - Poliomi di Fourier Poliomi di Fourier P k cos k k se k k P k P k e j k k k sek k soo sommaorie delle armoiche elemeari che abbiamo appea sudiao. Osserviamo che la frequeza di ciascu addedo è k vole la frequeza fodameale, quidi possiamo dire che la frequeza agolare di uo il poliomio è uguale a. I poliomi di Fourier hao duque T periodo fodameale T f frequeza fodameale T f T frequeza agolare fodameale T i k= e ui gli alri addedi hao periodo e frequeze che soo mulipli di quesi. Tue le cosiderazioi che abbiamo fao per le armoiche si possoo fare ache per i poliomi di Fourier, i paricolar modo vorremmo richiamare la seguee: * se k k co k allora abbiamo la piea equivaleza ra i poliomi elle re forme, i quao il poliomio ella forma complessa è di fao u poliomio reale, soo verificae perciò le uguagliaze k k k * Re k k j k k * Im k Esempio : oda riagolare Cosideriamo il seguee poliomio P k, ko k e j k k osserviamo subio che k k k Poliomi di Fourier - Pag.4

30 Capuzzo Alessadro - Poliomi di Fourier la frequeza agolare del poliomio è, quidi T osserviamo ache che il ermie k vale - per k dispari e zero per k pari Prediamo adesso il poliomio per = P e j e j mole vole è comodo esprimere il poliomio i ermii di seo e coseo, abbiamo P e j e j j e j e 4 cos Aalogamee possiamo calcolare il poliomio per = 3 P 3 9 e j 6 e j e j 9 e j 6 meiamo i evideza alcui ermii P 3 4 cos 4 cos6 Vediamo i grafici. P P 3 P 5 Poliomi di Fourier - Pag.5

31 Capuzzo Alessadro - Poliomi di Fourier P 7 Aumeado si acceua la viciaza del poliomio di Fourier al segale riagolare. Esempio : oda quadra. P k, ko j k k e j k la frequeza agolare è, quidi T Calcoliamo i poliomi P j e j j e j meedo i evideza j oeiamo P j e j e j j 4 j j se j se P 3 j 3 e j 3 j e j j e j j 3 e j 3 P se3 Vediamo i grafici. P Poliomi di Fourier - Pag.6

32 Capuzzo Alessadro - Poliomi di Fourier P 3 P 5 P 7 Quesa vola abbiamo u'oda quadra. Ache i queso caso, all'aumeare di ci si avvicia sempre più al segale di base. Esempio 3 : oda a dee di sega. P k, ko k j e j k osserviamo che, T, f P j e j j e j se P j e j j e j j e j j e j se se Vediamo i grafici. P Poliomi di Fourier - Pag.7

33 Capuzzo Alessadro - Poliomi di Fourier P 3 P 5 Eergia di u poliomio di Fourier Vediamo adesso cos'è l'eergia di u poliomio k di Fourier T k e j d o P T o P d = T o k T o h j h e h k k * e j k d = o T h k k k e j * j k e d = k k h * k e k jhk d quado h è diverso da k siamo sicuri che l'iegrale è zero, i quao l'espoeziale ha proprio periodo T. Rimae duque solo il caso i cui h=k che pora a P o T k k dt k k Queso risulao ci dice che l'eergia di u poliomio di Fourier è sreamee legaa ai suoi coefficiei. Se ivece vogliamo esprimere l'eergia el caso i cui ci roviamo di froe a poliomi di Fourier ella forma reale è sufficiee ricordare la relazioe ra i coefficiei: essedo k k j k e ricordado che (la sommaoria comicia da ), si ha Eergia di u poliomio di Fourier - Pag.8

34 Capuzzo Alessadro - Poliomi di Fourier P T T k k k Poliomio di Fourier di x() Da ciò che abbiamo viso, possiamo dire che sembrerebbero esserci dei poliomi di Fourier i qualche misura associai a delle fuzioi. Vediamo i che modo queso può essere fao. La srada è quella di cercare u poliomio di Fourier i modo che la sua differeza co il segale x() abbia u'eergia miima: xp miima Vediamo co qualche calcolo come è fao il poliomio di Fourier che ha quesa caraerisica. Idichiamo co c k T T xe j k d il coefficiee del poliomio di Fourier cercao. Pariamo dalla defiizioe di eergia P T xp d = ricordiamo che il quadrao di ua quaià complessa è uguale a ale quaià moliplicaa per il proprio coiugao = T xp xp * d = ricordiamo iolre che il complesso coiugao di due addedi è uguale al complesso coiugao di ciascu addedo, poi sviluppiamo il prodoo = T xp x * P * d = T = x P x * P x P * d adesso dobbiamo espliciare P : P k e j k k e sosiuirlo ell'iegrale T = x T d P d eergia di x() eergia di P T k x * e j k d k * T c k T c k k * T xe j k d ricordado duque le defiizioi di eergia di ua fuzioe e di u poliomio di Fourier, possiamo scrivere Poliomio di Fourier di x() - Pag.9

35 Capuzzo Alessadro - Poliomi di Fourier =x c T k k k k T c k * k * T c k = raccogliamo la T e dero la sommaoria aggiugiamo e ogliamo c k c k : =x c T k k c * k * k c k c k k k c k * k c * k k k c k = =x c T c k T k c k * k c * k = =x c T c k T k c k k k Rifleiamo adesso sul risulao oeuo. Siamo parii dalla differeza ra le eergie del segale e del poliomio, dicedo che la loro differeza doveva essere miima. Osserviamo che il primo addedo è l'eergia di x(), che è daa. c k è u coefficiee che si calcola ed ha valori be precisi a secoda della fuzioe x (). k è ivece u valore che possiamo cambiare, i quao fa pare proprio del poliomio di Fourier che vogliamo rovare. Duque i primi due addedi o cambiao al variare di k, perché soo legai ad x(), mere il erzo addedo cambia il suo valore ed essedo u modulo lo cambia ra umeri posiivi. Possiamo duque dire che la differeza è miima quado è miimo il erzo addedo, che è miimo quado è uguale a zero. Per cui deve essere k c k T T xe j k d Quesa espressioe è duque molo imporae perché ci forisce il coefficiee del poliomio di Fourier di x(). Diamo duque u ome a queso poliomio associao ad x() e ricapioliamo la sua espressioe: X c k e j k x Ricordiamo ache che siamo parii da ua fuzioe periodica x() di periodo T. Trovaa quesa espressioe per u segale complesso, il passaggio ai segali reali rispea gli sessi rappori che ci soo per i poliomi di Fourier già visi: X a a k cos kb k se k k a k c k c k * T T xe jk d T T xe jk d T T xe jk e jk d a k c k c k * T T xcoskd, k allo sesso modo Poliomio di Fourier di x() - Pag.3

36 Capuzzo Alessadro - Poliomi di Fourier b k jc k c k * T T x sekd k Ricapiolado si hao le re forme Forma a xa a k cos kb k se k k a c T T xd a k c k c * k T T xcoskd, b k jc k c * k T T x sekd k k Forma b xa r k sekq k k r k a k b k q k arca a k b k se b k Forma c x c k e jk k c a T T xd c k a k j b k T T xe jk d k c k c k * k Osservazioe Nel calcolo dei coefficiei di u poliomio di Fourier di u segale x() ierviee il calcolo di u iegrale ra e T di ua fuzioe periodica y(). Fare queso iegrale è la sessa cosa che fare u iegrale ra e T, come si vede dal grafico Poliomio di Fourier di x() - Pag.3

37 Capuzzo Alessadro - Poliomi di Fourier T T Geomericamee è evidee che le due aree soo uguali. Co semplici passaggi è possibile dimosrarlo ache aaliicamee. Lo scopo di quesa osservazioe è che quado oi adiamo a cercarci i coefficiei del poliomio di Fourier, possiamo farlo ell'iervallo più comodo. Geeralmee l'applicazioe più usaa di quesa osservazioe è la seguee: T T yd T yd Osservazioe Abbiamo viso che xp x c T c k T k c k T c k x c k k k Quesa viee chiamaa disuguagliaza di Bessel e ci dice che l'eergia del poliomio di Fourier associao ad u segale x() è sicuramee miore o uguale all'eergia del segale sesso. Poliomio di Fourier di x() - Pag.3

38 Capuzzo Alessadro - Serie di Fourier Serie di Fourier Fuzioi coiue a rai Ua fuzioe x() si dice coiua a rai i u iervallo I =[a,b] se è coiua i I ecceo che i u umero fiio di pui i a,b e iolre lim x ī esise fiio lim x i + esise fiio lim x a + esise fiio lim x b - esise fiio Diciamo per esempio che i segali cosiderai ei paragrafi precedei (oda riagolare, oda quadra, oda a dee di sega,...) soo delle fuzioi coiue a rai. Se esisoo i limii descrii sopra ifai, le fuzioi, ell'iervallo I, avrao u umero fiio di discoiuià (che soo discoiuià di specie ovvero di ipo salo, appuo perché esisoo fiii il limie desro e siisro, ache se diversi). Nei paragrafi precedei ci siamo occupai di vedere cos'è la differeza ra l'eergia di u segale periodico x() ed il rispeivo poliomio di Fourier. Abbiamo viso che essa è x c X x c T c k k a parire da queso presupposo vogliamo fare la seguee riflessioe: se pesassimo di predere degli sempre più gradi, cosa succederebbe dell' eergia della differeza? Bee, per che ede all'ifiio essa porebbe edere a zero. I queso caso (per ) si ha l'ideià di Parseval: x c T c k k quesa ideià riguarda ua serie. L'ideià di Parseval si verifica se la fuzioe x() è periodica e coiua a rai. Si usa ache scrivere la seguee uguagliaza x c k e j k k el seso della eergia Iediamo x() uguale alla serie del secodo membro el seso che la differeza ra x() e la sommaoria fiia ra - ed (che viee dea ridoa -sima) ede a zero quado ede a più ifiio. Fuzioi coiue a rai - Pag.33

39 Capuzzo Alessadro - Serie di Fourier Norma e prodoo scalare No sembrerebbe molo evidee il legame co i veori, ma c'è. Vediamo i che seso. La radice quadraa dell'eergia di u segale si chiama orma o orma quadraica. x c : orma quadraica L'uguagliaza visa prima x c k e j k k che era el seso della eergia, può duque essere defiia u' uguagliaza el seso delle orme (se ede a zero ua quaià, ede a zero ache la sua radice quadraa). Si può dire ache che la serie di Fourier, se x() è coiua a rai, coverge i orma quadraica a x(). Ipoizzado adesso che (come al solio) x() sia periodica di periodo T, defiiamo il suo prodoo scalare co u segale y() ach'esso periodico. x, y T xy * d prodoo scalare ra due fuzioi defiie i T NOTA : E' lecio meere il coiugao di y() i quao si iede y() come u segale reale che può beissimo essere espresso come fuzioe di variabile complessa; beieso che se maca la pare immagiaria, il coiugao di u umero reale o è alro che il umero reale sesso. Se oi facciamo il prodoo scalare di x() co sé sessa, oeiamo x, x T xx * d T x d x osserviamo duque che c'è u legame ra la orma quadraica ed il prodoo scalare: la orma quadraica di u segale è il prodoo scalare di queso segale per sé sesso. Possiamo duque sfruare quesi uovi srumei per ripredere alcue cosiderazioi fae i precedeza. Facciamo il prodoo scalare delle seguei armoiche elemeari e j k,e j h T e j k e j h d T e jkh d se hk l'iegrale vale se h k l'iegrale vale T (essedo la fuzioe periodica) duque se le due fuzioi soo uguali (h=k), il loro prodoo scalare è uguale al periodo, se soo diverse, è ullo. Ricordiamo che la defiizioe di prodoo scalare di due veori, dice che esso è ullo se quesi soo orogoali. Quidi, rispeo alla defiizioe che qui abbiamo dao di prodoo scalare, possiamo dire che due armoiche disie che siao diverse ra di loro, soo orogoali. Ricordado la formula che ci descrive il coefficiee di u poliomio di Fourier k c k T T xe j k d, la possiamo riscrivere el seguee modo, sfruado la defiizioe di prodoo scalare appea daa k c k T x,e j k Norma e prodoo scalare - Pag.34

40 Capuzzo Alessadro - Serie di Fourier si può duque ierpreare il coefficiee come la proiezioe della fuzioe x() sulla compoee e j k (ale è il prodoo scalare ra due veori). Si riesce i queso modo a cosruire ua ua serie di relazioi ra i poliomi di Fourier co le sesse regole che goverao i veori. Traslazioi sia il segale periodico x x T c k T T xe j k d x c k e j k k coiuo a rai e siao i suoi coefficiei e sia la sua serie di Fourier. e suppoiamo di raslarlo di : x x oeiamo, risolvedo il semplice seguee iegrale (lascio al leore il compio di farlo) c T j k T xe k d c k e j k e quidi la serie di Fourier raslaa è x c k e j k e j k k Riscalameo (dilaazioe, omoeia) sia il segale x x T c T k T xe j k d coiuo a rai e siao i suoi coefficiei e sia x c k e j k k la sua serie di Fourier. e suppoiamo di riscalarlo di a, co a x xa si osserva subio che queso sigifica modificare la frequeza agolare. Si oiee, per quao riguarda i coefficiei di Fourier che c k c k e la serie risula essere Riscalameo (dilaazioe, omoeia) - Pag.35

41 Capuzzo Alessadro - Serie di Fourier x c k e j k a k cambia la frequeza agolare Covergeza puuale e covergeza uiforme Aalizziamo adesso alcui problemi riguardai la covergeza delle serie i geerale. Le due quesioi di cui vogliamo parlare soo appuo la covergeza puuale e la covergeza uiforme. Covergeza puuale Prediamo delle fuzioi che dipedao da u idice (possiamo beissimo pesare ache a dei poliomi di Fourier, se va da più a meo ifiio possiamo pesare a delle serie di Fourier) y facciamo la ridoa k-sima S y k k co oppure e facciamo poi il limie di quesa ridoa per k che ede a più ifiio S y k k Suppoiamo adesso di avere l'iervallo I co I, di fissare u be preciso puo dell'iervallo dao e di fare la sommaoria calcolaa i S y k k Si osserva abbiamo oeuo ua serie umerica, perché y è u be preciso umero che dipede appuo da y, y e così via, calcolai i. Allora ha seso porsi la quesioe di vedere cosa succede el limie della successioe umerica che abbiamo oeuo lim S k Se queso limie esise fiio e vale S, viee deo somma della serie el seso puuale. lim k S S y k k Se il limie esise fiio per ogi o I, allora possiamo geeralizzare il coceo e parlare di covergeza puuale i u iervallo S y k k co I Cerchiamo adesso di porare queso discorso alle serie di Fourier. Abbiamo la serie Covergeza puuale e covergeza uiforme - Pag.36

42 Capuzzo Alessadro - Serie di Fourier x c k e j k k co T (uguagliaza sempre el seso della eergia) se ache i queso caso fissiamo u puo e adiamo a cosiderare il poliomio di Fourier calcolao el puo X c k e j k k possiamo dire che abbiamo ache i queso caso ua successioe umerica, e per che ede ad ifiio abbiamo X X se e solo se soo verificae le seguei codizioi: x è coiua a rai i,t x è regolarizzaa x ' è ach'essa coiua a rai i,t NOTA: Ua fuzioe è regolarizzaa se ei pui di discoiuià i si ha la seguee proprieà: co i,t e lim - risula x i x + i x ī x x - i e lim x x + i + e se agli esremi del suo iervallo si ha x + lim x e xt - lim x + T - e risula x xt x+ xt - A quese codizioi la serie coverge puualmee al segale x(). Se ciò avviee l'uguagliaza x c k e j k k è el seso puuale. Covergeza uiforme Prediamo ache i queso caso delle fuzioi che dipedao da u idice (possiamo beissimo pesare ache a dei poliomi di Fourier) y facciamo la ridoa k-sima S y k k co oppure Covergeza puuale e covergeza uiforme - Pag.37

43 Capuzzo Alessadro - Serie di Fourier e facciamo poi il limie di quesa ridoa per k che ede a ifiio S y k k vogliamo vedere i che modo quesa sommaoria si avvicia al limie. Facciamo la seguee cosiderazioe Se esise ua fuzioe S() per cui : e I si ha SS S si dice che S per coverge a S i modo uiforme i I. Duque la serie corrispodee coverge i modo uiforme (o uiformemee). Vediamo graficamee cosa vuol dire: per ui gli >, e ui i S I, le ridoe S, devoo S essere comprese ra S S S e S. Se queso si verifica si parla di covergeza uiforme. Prediamo adesso ua serie di Fourier X X T se u puo i è puo di discoiuià per X, allora la serie o può covergere uiformemee i u ioro di i. La covergeza uiforme è duque ua richiesa di covergeza più resriiva della richiesa di covergeza puuale. La direa cosegueza di queso fao sarà che egli iori dei pui di discoiuià, la serie di Fourier produrrà delle difficolà ella covergeza (queso è ieressae dal puo di visa applicaivo). Se ivece la fuzioe è coiua i u iervallo I e la sua derivaa prima esise ed è coiua a rai, allora abbiamo la covergeza uiforme. Osservazioe. Prediamo il coefficiee di ua serie di Fourier. Covergeza puuale e covergeza uiforme - Pag.38

44 T c k xe jk d T T Capuzzo Alessadro - Serie di Fourier T moliplichiamo ambo i membri per il periodo T Tc k T xe jk d se cosideriamo k k T possiamo scrivere T Tc k T xe j k d X k dove X k è il osro iegrale calcolao i k. Diamo dei valori a T, per esempio prededo T e k k oppure prededo T e k k, osserviamo che più è grade il periodo, più è piccola k. Variado k si oegoo ifiii valori discrei ao più vicii quao T è maggiore. Prediamo adesso ua fuzioe qualuque, o periodica ed iegrabile i u iervallo I, ad esempio ua fuzioe x ale che assume valore ell'iervallo, e fuori da queso iervallo. Osserviamo che se j X k e k d e j k j k si k si k k k T l'iegrale del coefficiee si riduce al seguee si k k cos k j si k j k j cos k si k k (il coseo si semplifica da sé) Come abbiamo deo per T molo grade si può pesare di oeere valori discrei sempre più ravviciai fio ad oeere quasi il grafico di ua fuzioe coiua. = Covergeza puuale e covergeza uiforme - Pag.39

45 Capuzzo Alessadro - Serie di Fourier Possiamo duque, operado sulle serie di Fourier, pesare di operare ache su fuzioi o periodiche facedo edere il periodo ad ifiio (oeedo così fuzioi coiue ella variabile k ) ed iroducedo duque la rasformaa di Fourier, della quale ci occuperemo però più avai. Covergeza puuale e covergeza uiforme - Pag.4

46 Capuzzo Alessadro - Fuzioi di variabile complessa Fuzioi di variabile complessa Riprediamo adesso il cammio che avevamo irapreso parlado di fuzioi complesse, iroducedo le Fuzioi reali di variabile complessa Esempi di fuzioi di variabile complessa a valori reali soo f zz f zarg z f zre z f zim z Osserviamo che i realà ci possiamo collegare alle fuzioi di più variabili, perché la variabile complessa equivale a variabili reali. Si hao: f zz = x y f zarg z = arcg y x f zre z f zim z = x cos = y si Ragioare sulle fuzioi di variabili complesse ci pora perao el campo delle fuzioi di più variabili dove, ovviamee, le cose soo u po' più complesse che su di ua sola variabile. Facciamo dei richiami co u paio di esempi. Esempio. f z za co a Se vogliamo rappreseare quesa fuzioe dobbiamo meerci ello spazio ridimesioale. Il piao è il luogo dove si muove la variabile z e le quoe, ovvero la erza dimesioe, sarao i valori che la fuzioe assume al variare di z. Il grafico sarà duque quello a fiaco. Fuzioi complesse di variabile complessa - Pag. 4

47 Capuzzo Alessadro - Fuzioi di variabile complessa Facciamo u alro esempio. f ze z e x j y e x e j y e x La fuzioe di fao è u espoeziale reale, ifai è cosae i y. Fuzioi complesse di variabile complessa Facciamo subio alcui esempi f zz f zz * f ze z Essedo la fuzioe di variabile complessa, come abbiamo già deo o si può più parlare di fuzioe di ua variabile ma il osro discorso si raduce i fuzioi di due variabili. No si può più duque parlare di derivaa della fuzioe, ma bisoga parlare di derivae parziali, o derivae direzioali, o comuque bisoga ripredere la defiizioe di derivaa per dare ua defiizioe alla derivaa di variabile complessa. Vediamo i che modo possiamo ragioare sulle derivae. Parliamo di rapporo icremeale. Vediamo come si defiisce il rapporo icremeale per ua variabile complessa lim z f z z f z z dove co z abbiamo idicao u icremeo della variabile z, a parire da u puo z. Si capisce subio che o è sufficiee aver fissao la lughezza dell'icremeo, per deermiare la aura, i quao esso sesso può assumere ua qualsiasi direzioe el piao complesso; duque il limie dipederà dalla direzioe lugo la quale si prede l'icremeo. Cosideriamo, per dimosrare ale asserzioe, il rapporo icremeale delle fuzioi di esempio precedei Fuzioi complesse di variabile complessa - Pag. 4

48 Capuzzo Alessadro - Fuzioi di variabile complessa Esempio. Prediamo la fuzioe f zz * e facciamo il limie del rapporo icremeale lugo differei direzioi. Ricordiamo iaziuo che z x j y Iiziamo a fare il limie i ua direzioe parallela all'asse delle x ( y ). Oeiamo lim z y f z x f z x Adesso applichiamo il rapporo icremeale alla fuzioe f zz * lim x f z x * z * x lim x z * xz * x Proviamo adesso a fare il limie i ua direzioe parallela all'asse delle y ( x ). Oeiamo lim z x f z j y f z j y Adesso applichiamo il rapporo icremeale alla osra fuzioe lim y f z j y * z * j y lim y z * j yz * j y Ci accorgiamo duque che il limie del rapporo icremeale dipede decisamee dalla direzioe lugo la quale viee calcolao. Osservazioe lim z y lim z x j. f z z f z f z x f z z f z f z j y è la derivaa parziale faa rispeo a x. È la derivaa parziale faa rispeo a y, co la cosae I calcoli si poevao ifai fare seza fare il limie del rapporo icremeale, ma semplicemee esprimedo la fuzioe complessa i forma caresiaa e derivado rispeo ad x ed y. Riprediamo la fuzioe f zz * x j y e facciamoe le derivae parziali (moliplicado la derivaa parziale della y per il coefficiee, pesado la fuzioe come ua fuzioe j di due variabili reali i cui iervegoo dei coefficiei immagiari (che soo cosai): Fuzioi complesse di variabile complessa - Pag. 43

49 Capuzzo Alessadro - Fuzioi di variabile complessa x j y x x j y j y Esempio. Prediamo la fuzioe f ze z Iiziamo a fare il limie i ua direzioe parallela all'asse delle x ( y ). Oeiamo lim z y f z x f z x Adesso applichiamo il rapporo icremeale alla osra fuzioe lim x e z x e z x lim x e z e x e z x Osserviamo che abbiamo u limie di quelli fodameali (che fa ) moliplicao per la cosae e z. Muoviamoci adesso lugo la direzioe parallela all'asse delle y ( x ). Oeiamo lim z x cioè lim y f z j y f z j y e z j y e z j y e z e j y lim y j y a queso puo si porebbe rarre subio la sessa coclusioe raggiua calcolado il precedee limie (cioè che siamo di froe ad u limie fodameale), ma siccome i queso caso iervegoo coefficiei immagiari che o erao presei quado ei moduli precedei sudiavamo i limii, eseguiamo qualche uleriore passaggio facedo ierveire la formula di Eulero lim y e z e j y lim j y y abbiamo così due limii fodameali e z j lim y cos y se y lim y y y e z cos y j se y lim e j y y e z j e z z cos y j y j se y j y Ci si accorge che la derivaa parziale faa rispeo ad x dà lo sesso risulao della derivaa parziale faa rispeo a jy. Osservazioe fiale. Abbiamo viso che ci soo fuzioi complesse di variabile complessa per le quali, cambiado la direzioe di derivazioe, cambia il valore del limie del rapporo Fuzioi complesse di variabile complessa - Pag. 44

50 Capuzzo Alessadro - Fuzioi di variabile complessa icremeale, mere sembrerebbe che ce e siao alre per le quali, ache cambiado la direzioe dell'icremeo, il valore del limie del rapporo icremeale o cambia. Iegrali di liea i campo complesso Vogliamo dare sigificao all'iegrale f zdz Pesiamo a f z come a ua fuzioe decomposa i due fuzioi reali di variabile reale el seguee modo f zu x, y j vx, y e ello sesso modo raiamo il differeziale di z dzdx j dy L'iegrale risula duque essere il seguee f zdz u x, y j vxydx j dy = u x, ydxvx, ydy jvx, ydx j u x, ydy= separado la pare reale dalla pare immagiaria u x, ydxvx, ydy j vx, ydxu x, ydy = quesi soo iegrali di liea di forme differeziali e si possoo semplificare se è possibile esprimere la curva, o come ua fuzioe della sola x, o come ua fuzioe della sola y, ovvero el seguee modo : x, gx dxdx, dyg ' xdx oppure :h y, y dydy, dxh'ydy Applicado la rasformazioe ai osri iegrali oeiamo per esempio per il primo u x, ydxvx, ydy x x u x, g xdxvx, g x g ' xdx quidi il osro iegrale di liea di pareza o è alro che la somma di due iegrali di ua sola variabile. Applichiamo ad alcui esempi il calcolo dell'iegrale di liea e facciamolo su due diverse curve, e, che hao però la caraerisica di avere i comue i pui di pareza e di arrivo. Proviamo co z * facedo il calcolo osserviamo che z * dz z * dz. Proviamo co e z facedo il calcolo osserviamo che e z dz e z dz. Duque ci soo fuzioi complesse di variabile complessa per le quali cambiado il cammio di iegrazioe cambia il valore dell'iegrale, mere ce e soo alre per le quali, pur cambiado il cammio d'iegrazioe, il valore dell'iegrale sembrerebbe o cambiare. Fuzioi complesse di variabile complessa - Pag. 45

51 Capuzzo Alessadro - Fuzioi aaliiche Fuzioi aaliiche Le cosiderazioi fae el paragrafo precedee ci coseoo di proseguire il osro cammio co alre cosiderazioi molo imporai. Defiizioe Suppoiamo di avere se lim z f z z f z z allora si dice che la fuzioe f ' z lim z f z: f z z f z z si usao ache le seguei scriure equivalei f ' zd f z df dz esise idipedeemee dalla direzioe dell'icremeo f z: è derivabile e si scrive Ci soo duque dei casi di fuzioe complessa i cui si può parlare di derivaa. Defiizioe Suppoiamo di avere f z: essa è dea olomorfa i (regioe coessa e regolare di ) se z, f ' z (cioè se i ua la regioe esise la derivaa, el seso che abbiamo dao i Defiizioe Prediamo per esempio la fuzioe f zz * abbiamo viso che dà risulai differei a secoda che oi facciamo il limie del rapporo icremeale i ua direzioe parallela all'asse x o parallela all'asse y, quidi la fuzioe o ha derivaa, duque o è olomorfa. Ivece la fuzioe f ze z ha u limie del rapporo icremeale che o dipede dalla direzioe (come avevamo ifai dedoo dai coi fai ei paragrafi precedei) ed è duque derivabile i uo ed è ivi olomorfa. Fuzioi aaliiche - Pag.46

52 Capuzzo Alessadro - Fuzioi aaliiche Teorema. Le seguei affermazioi soo equivalei ) f z è olomorfa i, (cioè esise f ' z ) ) f z è ifiie vole derivabile ed è aaliica 3) f z soddisfa le codizioi di Cauchy-Riema: f x j f y Facciamo qualche commeo al eorema. La codizioe di olomorfia chiedeva l'esiseza della derivaa prima i ua cera regioe del piao complesso. Il eorema ci dice che allora f z è ifiie vole derivabile. Queso è per oi ua grossa sorpresa, perché ello sudio delle fuzioi di variabile reale a valori reali, l'esiseza della derivaa prima o diceva ulla circa l'esiseza della derivaa secoda, mere per le fuzioi di variabile complessa, l'esiseza della derivaa idica auomaicamee che la fuzioe è derivabile per ogi ordie ed è quidi aaliica (ache se dobbiamo precisare che l'uso del ermie aaliica è uilizzao quao la serie di Taylor coverge co u raggio di covergeza o ullo, il eorema ci dice che olomorfia ed aaliicià soo equivalei). La codizioe 3 ivece ci dice che se la derivaa rispeo ad x e la derivaa rispeo ad y esisoo e soo uguali, a meo del faore moliplicaivo, allora la fuzioe è j olomorfa. Quesa è di gra luga la codizioe più debole e più semplice da verificare. Cosideriamo ad esempio la fuzioe f ze z abbiamo già viso che e z x e z e z j y e z duque la codizioe di Cauchy-Riema è soddisfaa. La fuzioe è olomorfa e aaliica. Facciamo u breve ceo di dimosrazioe. E' evidee che ) aaliicià ) omoeia (se esisoo ue le derivae, esise ache la derivaa prima) ) omoeia 3) cod. di C.-R. (se esise la derivaa prima, esisoo le derivae parziali) Fuzioi aaliiche - Pag.47

53 Capuzzo Alessadro - Fuzioi aaliiche Dimosriamo adesso che 3) cod. Di C.-R. ) omoeia Scriviamo il differeziale della fuzioe f z : df f x dx f y dy e ricordado la codizioe di Cauchy-Riema f x j f y j f x f y sosiuiamo df f j f dx x x dy f f dx j dy x x dz queso ci permee di cocludere che df dz f x ovvero la fuzioe è derivabile. Rimadiamo la dimosrazioe che ) omoeia ) aaliicià a quado faremo le serie di Taylor. Ricordado che ua fuzioe complessa può ache essere visa el seguee modo f u x, y j vx, y la codizioe di Cauchy-Riema può essere così riscria, separado la pare reale e la pare immagiaria di u e di v u x v y v x u y Grazie a quesa forma di scriura possiamo fare alcue uleriori cosiderazioi, prediamo la prima di quese equazioi e facciamo la derivaa rispeo alla x: D x u x v y u x v y x deriviamo adesso rispeo alla y la secoda equazioe D y v x u y v x y u y e cosegue immediaamee che Fuzioi aaliiche - Pag.48

54 Capuzzo Alessadro - Fuzioi aaliiche u u x y u u x y ovvero uguagliaza che si usa ache scrivere el seguee modo x u y L'operaore ra pareesi ode viee descrio col simbolo e viee chiamao operaore di Laplace. L'equazioe di Laplace è duque u e, grazie ai passaggi che abbiamo appea svolo possiamo dire che se è soddisfaa la codizioe di Cauchy Riema, l'equazioe di Laplace risula vera. Quado ua fuzioe reale di due variabili reali soddisfa l'equazioe di Laplace, possiamo dire che è ua fuzioe armoica. U ragioameo aalogo ci pora a dire che ache la pare immagiaria di u'equazioe complessa, che soddisfa la codizioe di Cauchy-Riema, è ua fuzioe armoica. Vediamo u esempio. Abbiamo f zz e j z co zx j y Ci chiediamo se è ua fuzioe aaliica ed il modo più semplice per verificarlo è corollare se soddisfa la codizioe di Cauchy-Riema f x e j z j z e j z f j y e j z j z e j z e j z j z e j z Le due derivae parziali soo uguali, duque la codizioe di Cauchy-Riema è verificaa, la fuzioe è aaliica. Decompoiamo adesso la fuzioe i pare reale e pare immagiaria f z x j ye j x y x j ye y e j x x j ye y cos x j se x= ux, y vx, y = x e y cos x y e y se x jye y cos xx e y se x Lasciamo allo sudee l'esercizio di verificare l'uguagliaza di Cauchy-Riema secodo gli alri due possibili procedimei. Formule iegrali di Cauchy Iiziamo parlado del eorema di Cauchy. Suppoiamo di essere el piao complesso e di avere ua regioe omega composa da ua o più curve chiuse, semplicemee coessa (el seso che due pui qualsiasi di quesa regioe possoo essere collegai ra loro da ua curva ua coeua i omega). Formule iegrali di Cauchy - Pag.49

55 Capuzzo Alessadro - Fuzioi aaliiche Diciamo iolre che ha bordo e rappreseiamolo el seguee modo: sa per bordo orieao. Per di ciascua di quese curve è imporae dare l'orieameo: si dice che u bordo è orieao posiivamee, quado percorredo queso bordo la regioe rimae alla siisra del percorso. Nel caso i figura, per avere u bordo orieao posiivamee, la curva deve essere percorsa i seso aiorario mere le alre curve (i buchi) devoo essere percorse i seso orario. I regioi di queso ipo vale il seguee 4 Teorema di Cauchy se f z è aaliica i, allora f zdz Facciamo u ceo di dimosrazioe. Abbiamo f zdz per riuscire a compredere meglio queso iegrale lugo u percorso, bisoga espliciare pare reale e pare immagiaria di f z, per cui f zdz u x, y j vx, ydx j dy= u x, ydxvx, ydy j vx, ydxu x, ydy A queso puo, descrivedo come ua fuzioe di x, a valori i y, (co le opporue scomposizioi della curva, se o avesse le caraerisiche di ua fuzioe) quesi iegrali di liea possoo essere visi come la somma (o sorazioe) di iegrali ordiari. C'è però u risulao oo che riguarda proprio gli iegrali i cui compaioo solo fuzioi reali, ed è il seguee. Si iedoo le fuzioi u e v come le compoei di u veore, ed allo sesso modo dx e dy, per cui l'iegrado o è alro che il prodoo scalare di due veori e viee espliciao, el osro caso, come segue. Prededo per esempio il primo iegrale si oiee Perchè ciò possa essere deo è ecessario avere aaliicià i ua regioe più grade che coiee sia che il suo bordo. Formule iegrali di Cauchy - Pag.5

56 v u dx dy Capuzzo Alessadro - Fuzioi aaliiche se le fuzioi u e v soo defiie i ua la regioe delimiaa da e soo ivi coiue e derivabili co derivaa coiua, allora l'iegrale è ullo se è vero che v x u y ma quesa è ua delle codizioi di Cauchy-Riema e siccome oi abbiamo supposo all'iizio che f z è aaliica i siamo sicuri che è verificaa. Allo sesso modo può essere raao il secodo iegrale, quidi la loro somma è uguale a zero, e queso prova il eorema di Cauchy. Vediamo adesso quale ieresse possiamo avere per il eorema di Cauchy co u esempio esplicaivo. Suppoiamo di essere i campo complesso e di avere ua regioe dove f z è aaliica, e suppoiamo di idicare co il cooro della regioe. Suppoiamo ifie di voler fare l'iegrale su di f z i dz. A queso puo dobbiamo fare aezioe al fao che l'iegrale o è ullo, i quao la regioe o è ua aaliica (il buco iero è u puo dove le proprieà della fuzioe o soo coosciue). Chiamiamo ua circofereza ua compresa dero come quella rossa i figura, allora possiamo applicare il eorema di Cauchy al seguee iegrale f zdz ma c'è ua proprieà esremamee imporae che riguarda i cammii di iegrazioe ordiari i campo reale. Ricordiamo che quado si doveva calcolare l'iegrale a b f d a c f d c b f d si poeva spezzare il cammio di iegrazioe ella somma di due iegrali. Poiché abbiamo viso che l'iegrale di liea i campo complesso si riduce ad iegrali ordiari i campo reale, dove quesa proprieà vale, possiamo affermare che f zdz f zdz f zdz e di uovo i modo aalogo a quello che succede per gli iegrali ordiari, possiamo dire che se scambiamo gli esremi di iegrazioe, cambiamo il sego all'iegrale, quidi cambiado il verso di percorreza di cambiamo il sego all'iegrale, per cui f zdz f zdz f zdz f zdz Evideemee riviado i deagli ad u problema che è classico i ambio reale e che riguarda i campi veoriali. Formule iegrali di Cauchy - Pag.5

57 possiamo duque cocludere che f zdz f zdz Capuzzo Alessadro - Fuzioi aaliiche La sraordiaria imporaza di quesa coclusioe sa el fao di verificare che fare l'iegrale su è la sessa cosa di fare l'iegrale su, quidi il eorema di Cauchy ci permee di deformare il cammio di iegrazioe (resado comuque sempre all'iero della regioe di aaliicià) e fare u iegrale, piuoso che su di ua curva molo frasagliaa e complessa, su di ua circofereza che ivece è esremamee semplice da iegrare. Vediamo u esempio esplicio. Prediamo la fuzioe f z z e cosideriamo il cammio, esremamee complicao, rappreseao i figura. Si chiede di fare l'iegrale su di f z i dz. Noiamo iaziuo che f z è aaliica dapperuo escluso che el puo. Noi, però, grazie al eorema di Cauchy possiamo disegare la circofereza uiaria ed osservare che la curva può essere sosiuia dalla circofereza uiaria i quao la regioe compresa ra le due curve è ua di aaliicià per f z. Abbiamo quidi f zdz z dz z dz Poco fa abbiamo viso come é possibile esprimere la curva come fuzioe, o della variabile x o della variabile y, ma è possibile esprimere la curva ache araverso delle coordiae polari. Possiamo descrivere i pui che sao sulla circofereza uiaria, araverso gli espoeziali complessi, el seguee modo : ze j. Ifai al variare di descriviamo ui i pui della circofereza uiaria quado. E' duque molo facile ache dire che dzde j d j e j d Siamo duque elle codizioi di rasformare il osro iegrale i dz lugo ua curva, i u iegrale ordiario lugo ua circofereza uiaria: z dz e j e j d j j d j Come abbiamo viso il calcolo dell'iegrale si è rivelao di ua semplicià esrema. Passiamo adesso alle formule iegrali di Cauchy Formule iegrali di Cauchy - Pag.5

58 Capuzzo Alessadro - Fuzioi aaliiche Formula iegrale di Cauchy se f z è aaliica i, e z, allora f z j f z zz dz Vediamo qualche ceo di dimosrazioe, calcolado l'iegrale della formula. Prediamo la regioe (per semplicià la prediamo seza buchi ma la quesioe o modifica il ragioameo che siamo facedo), co il suo bordo orieao. Osserviamo subio che fare l'iegrale su, poiché la regioe è ua di aaliicià, è la sessa cosa che fare l'iegrale su di ua circofereza di cero z e raggio, proprio grazie al eorema di Cauchy. Cerchiamo duque di rappreseare i pui di : prediamo l'equazioe di ua circofereza di raggio sul piao complesso ze j ed effeuiamo ua raslazioe per imporre che il suo cero sia z, oeedo zz e j. Il suo modulo è duque zz, ed il suo differeziale, derivado ovviamee il secodo membro rispeo a, divea dz je j d. L'iegrale che oi vogliamo calcolare allora divea f z f z e j je j d j e j f z e j d osserviamo adesso che, proprio grazie al eorema di Cauchy, queso iegrale è sempre uguale, qualuque sia (purché la circofereza di raggio sia dero la regioe ). Facedo allora il limie per che ede a zero di uo l'iegrale, coiueremo ad avere lo sesso risulao, oeiamo duque f z f z d f z f z Si è dimosrao quidi che l'uguagliaza è valida. Facciamo adesso ua ieressae riflessioe che mee i evideza l'imporaza di quesa formula. Sia f z aaliica i, z, allora possiamo dire, grazie alla formula di Cauchy, che la sua coosceza è deermiaa dalla coosceza dei suoi valori el bordo. Riscriviamo ifai la formula uilizzado uo zea geerico e o fissao, cambiado il ome alla variabile idipedee f z j f z d z Formula iegrale di Cauchy - Pag.53

59 Capuzzo Alessadro - Fuzioi aaliiche quidi possiamo cooscere il valore di u geerico puo z, cooscedo la fuzioe sul bordo. Formula iegrale di Cauchy sia f z aaliica i, z, allora j f z zz dz Se il puo è esero, il valore del osro iegrale è ullo. E' dalle formule iegrali di Cauchy che oi possiamo dedurre il fao che ua fuzioe aaliica ha ifiie derivae. Suppoiamo di avere ua fuzioe olomorfa, codizioe ecessaria per la validià delle formule di Cauchy, e sudiamo la Esiseza di derivae di ogi ordie di f(z) Pariamo dalla prima formula iegrale di Cauchy f z j f z d e deriviamo parzialmee rispeo a dx f x D j per cui f x f j z d f x j y d j f x j y d j f z d deriviamo adesso rispeo a j dy f j y D j per cui f x j y d j f j y j f j z d f j x j y d j j f y f j z d f z d le due derivae parziali dao lo sesso risulao e quesa uguagliaza dice che la fuzioe soddisfa la codizioe di Cauchy-Riema. Queso ci permee di dire che Esiseza di derivae di ogi ordie di f(z) - Pag.54

60 df dz f x f y e quidi f ' z f j z d Capuzzo Alessadro - Fuzioi aaliiche Paredo adesso dall'espressioe di derivaa prima di f appea oeua, possiamo derivare acora oeedo f ' ' z f j z d 3 e se si prosegue così, cosaado che le due derivae parziali soo uguali, si giuge alla f z! f d j z espressioe della derivaa -sima, che è ache la giusificazioe del fao che ua fuzioe complessa, se ha derivaa prima, ha ogi ordie di derivaa. Esiseza di derivae di ogi ordie di f(z) - Pag.55

61 Capuzzo Alessadro - Sviluppi i serie Sviluppi i serie Sviluppi i serie di Taylor Sia f z aaliica i, z. Cosruiamo la circofereza ceraa i z ed abbia raggio. Abbiamo dimosrao el capiolo precedee che la fuzioe f z ha ifiie derivae i ogi puo di. Dimosriamo adesso che soo quese ipoesi vale la seguee z : zz f z a zz dove a f z!, i modo ale che sia ua coeua i z Quese soo poeze co espoee posiivo e si chiamao serie di Taylor e c'è ua perfea aalogia co le serie di Taylor già sudiae i ambio reale (al poso della z c'era la x). E' imporae per lo sudee imparare ad espliciare (è bee farlo spesso le prime vole che si maeggiao le serie): f z a zz a a zz a zz +... Diamo u ceo di dimosrazioe. Pariamo dalla formula iegrale di Cauchy, prededo uo z qualuque iero alla circofereza i modo che risuli zz z co Osserviamo che se oi dividiamo zz prima per e poi per z, essedo z > risula vero che zz zz z prediamo duque la formula iegrale f z j f z d e vediamo di scrivere i modo opporuo il deomiaore dell'iegrale (aggiugiamo e ogliamo z ) zz zz = Sviluppi i serie di Taylor - Pag.56

62 Capuzzo Alessadro - Sviluppi i serie (e meiamo i evideza z ) = z zz z osserviamo adesso il coeuo di zz z, esso corrispode ad uo meo ua cera quaià complessa, il cui modulo lo riroviamo ella diseguagliaza che ci eravamo ricavai i precedeza, ovvero zz zz z osserviamo però che oi avevamo preso z i modo ale che fosse dero la circofereza di raggio, per cui risula ovvio che zz k queso rapporo è uguale ad u valore k< e e cosegue che zz z zz k Dopo avere effeuao quese osservazioi, oriamo alla prima formula di Cauchy f z j f z d e sosiuiamo il deomiaore dell'iegrale co quello che ci siamo ricavai f z j f z zz d z zz se adesso oi pesiamo al ermie z come alla ragioe k di ua serie (il ragioameo è aalogo a quello che si fa i campo reale), ricordado che ua serie geomerica covergee aveva come risulao k, possiamo dire che abbiamo proprio il risulao di ua serie geomerica zz z zz z sabilio queso, possiamo sosiuire ell'iegrale oeedo f z j f z zz z d possiamo adesso porare fuori il simbolo di sommaoria oeedo la seguee espressioe f z j f z d zz Sviluppi i serie di Taylor - Pag.57

63 osserviamo che poedo a j f z d Capuzzo Alessadro - Sviluppi i serie possiamo esprimere il risulao oeuo el seguee modo f z a zz che è la serie di Taylor che oi cercavamo. Facciamo però aezioe all'espressioe di a a j f z d, essa è e adiamo a riprederci l'espressioe della derivaa -sima di ua fuzioe f z! f d j z osserviamo che soo ideiche a meo di u!, e del fao che a è calcolao i z, possiamo duque scrivere a f z! La serie di Taylor è duque f z f z zz! ricordado che quesa serie è covergee quado zz (dove è il raggio della circofereza che sa ua ella regioe di aaliicià e ceraa i z e viee deo raggio di covergeza). Vediamo alcui esempi. Prediamo f ze z e calcoliamoe la formula di Taylor ceraa el puo. Risula z f ze z f ' ze z f ' ' ze z f f ' f ' ' e lo sviluppo di Taylor è duque z e z z z! z3 z !!! Se rifleiamo adesso sulla regioe di aaliicià di e z ci accorgiamo che è uo il piao complesso, o ci soo duque limii al raggio di covergeza. I quesi casi si dice che la fuzioe ha raggio di covergeza ifiio. Sviluppi i serie di Taylor - Pag.58

64 Vediamo lo sviluppo di se z i. Capuzzo Alessadro - Sviluppi i serie f zse z f ' zcos z f ' ' zse z f ' ' ' zcos z f f ' f ' ' f ' ' ' e lo sviluppo risula essere se zz z3 3! z5 5! +... z +! z! Ache se z ha raggio di covergeza ifiio perché è aaliica i uo il piao complesso. I modo aalogo si ricavao cos z z! z4 4! +... z +! z! seh zz z3 3! z5 5! z cosh z z! z4 4! z!! z! z! Ache ui quesi sviluppi hao raggio di covergeza ifiio. Vediamo adesso f z z f zzz z z z che ha sviluppo Quesa fuzioe però o è aaliica el puo per cui, avedo calcolao lo sviluppo ell'origie, ci accorgiamo che il raggio di covergeza è, cioè la serie coverge per umeri complessi che hao modulo sreamee miore di uo. Duque per calcolare il raggio di covergeza è sufficiee calcolare la disaza ra il puo z e il più vicio puo di o aaliicià. Giusificazioe della formula di Eulero Gli esempi che abbiamo viso ci coseoo di dare ua prova della formula di Eulero, che a suo empo o avevamo giusificao. Riprediamo il seguee sviluppo di Taylor e z z! poiamo e z e j, oeiamo Giusificazioe della formula di Eulero - Pag.59

65 Capuzzo Alessadro - Sviluppi i serie e j j j! poiamo adesso e z e j e j j j 3 j ! 4!, oeiamo j j 3 j ! 3! 4! espliciiamo meglio gli sviluppi e j j e j j! j 3 3! 4 4! +...! j 3 3! 4 4! +... sommiamo adesso le due serie membro a membro (e ermie a ermie per il membro di desra) e j e j! 4 4! +...= cos cos e j e j soraedo membro a membro oeiamo e j e j j j 3 3! +...= j si si e j e j j Abbiamo oeuo le defiizioi di seo e coseo complessi. Se oi eseguiamo la seguee somma cos j se e j e j j e j e j e j j oeiamo esaamee la formula di Eulero che è quidi così compleamee giusificaa. Sviluppi i serie di Laure Per quesi sviluppi o ci soo aalogie col campo reale. La prima cosa che facciamo è idividuare ua coroa di cero z. Essa è composa da due circofereze coceriche e di raggio r ed r. Prediamo degli z che sao dero la coroa ovvero z: r zz r. Suppoiamo adesso che quesa coroa circolare sia ua coroa di aaliicià per f z. Se oi idichiamo co ua qualuque circofereza, percorsa i seso aiorario, che sia all'iero di quesa coroa, la fuzioe f z co z: r zz r z si può esprimere co la seguee serie di poeze: Sviluppi i serie di Laure - Pag.6

66 Capuzzo Alessadro - Sviluppi i serie f z c c c zz... + zz zz c c zz c zz +... ed i coefficiei c hao la seguee espressioe c j f z d osserviamo che l'espressioe di c è formalmee la sessa di a delle serie di Taylor, ma i queso caso la dobbiamo calcolare o solo co posiivo ma ache co egaivo, facciamo duque aezioe al fao che l'espressioe o ci forisce più la derivaa -sima di f z, perché queso era possibile a due codizioi: co posiivo e co f z aaliica i z, ed erambe le codizioi o si verificao. La dimosrazioe si effeua separado la sommaoria i due pezzi el seguee modo f z c zz f z c zz f z c zz e ragioado sui due pezzi separaamee, ello sesso modo i cui abbiamo ragioao per la serie di Taylor. Vediamo degli esempi. Cosideriamo f z se z z 3 calcolaa i z osserviamo subio che i z la fuzioe o esise ed il suo modulo ede ad ifiio, mere ivece i ui gli alri pui del piao complesso la fuzioe è aaliica, quidi possiamo pesare di fare lo sviluppo di Laure, co ua coroa dalla circofereza iera molo piccola ed ua esera molo grade. Ma calcolare il coefficiee di uo sviluppo di Laure vuol dire risolvere u iegrale complesso, il che è molo difficile, quidi si ricorre ad alcui arifizi che ci permeoo di calcolare i realà uo sviluppo di Taylor che ci pori poi a quello di Laure cercao. Vediamo come si fa i queso caso. Si pesa alla osra fuzioe come ad u prodoo f z se z z 3 z 3se z osserviamo che il primo ermie è già sviluppao i poeza di z per cui o ecessia di essu uleriore calcolo, mere se z per z ha uo sviluppo di Taylor i quao è aaliica i uo. Possiamo duque scrivere f z z 3 serie di Taylor del seo i z z 3! ed espliciado oeiamo z Sviluppi i serie di Laure - Pag.6

67 f z z 3! z 5! z 4 7! 3 Capuzzo Alessadro - Sviluppi i serie +... osserviamo che si raa i realà di ua serie di poeze di z, ma o si raa solo di poeze posiive, besì ache poeze egaive. Abbiamo ua serie di Laure che coverge per ogi z appareee alla coroa di aaliicià, mere i zero o esise. Cosideriamo g z cos z z calcolaa i z e procediamo co lo sesso meodo, oeedo la serie di Laure cercaa g z cos z z z cos z z z! z4 4! z6 6! +... z z! z3 4! z5 6! +... Sviluppi i serie di Laure - Pag.6

68 Appui di Capuzzo Alessadro - Sigolarià Sigolarià Vogliamo uilizzare gli sviluppi i serie di Laure per classificare alcui pui di ieresse per le applicazioi la cui caraerisica è proprio legaa al ipo di serie di Laure, ceraa i quesi pui. Iiziamo quidi dado il quadro delle ipoesi i cui ci muoveremo. Suppoiamo di avere ua regioe del piao complesso che ha le caraerisiche di essere u isieme apero, coesso, suppoiamo iolre di avere u bordo regolare e di sapere che, ecceo che i u puo z ua fuzioe f z sia sicuramee aaliica. I siesi f zaaliica i z Adesso si può predere ua coroa circolare ceraa i z ed i essa fare lo sviluppo di Laure. Ovviamee dovrà essere zz r, per cui risulerà f z c zz co c j f z d co bordo qualuque ell'iervallo di aaliicià. Osserviamo che porebbero esserci delle siuazioi i cui i c soo ulli. Aggiugiamo adesso delle iformazioi sulla f z e vediamo cosa implicao. r z f(z) è aaliica i z : vediamo quali ripercussioi pora quesa iformazioe sulla serie di Laure. Comiciamo col predere e vediamo come è fao il deomiaore z z aezioe, essedo risula essere, quidi i realà ci roviamo di froe ad u poliomio e o ad ua fraa, quidi uo l'iegrado è aaliico, e cosegue che c f d j z E' facile osservare che lo sviluppo di Laure si riduce ad uo sviluppo di Taylor. Di cosegueza possiamo dire che lo sviluppo di Laure ha ui i coefficiei co miore di zero ulli. E' vero ache l'iverso, ovvero se ui i coefficiei co miore di zero dello sviluppo di Laure soo ulli, la fuzioe è sicuramee aaliica. Quesa siuazioe ci pora ai seguei due soo casi f(z) è aaliica i z e f z Sigolarià - Pag.63

69 cosruiamo lo sviluppo i serie di Laure f z c zz, c Appui di Capuzzo Alessadro - Sigolarià osserviamo che per l'ipoesi iiziale il coefficiee c è diverso da zero, quidi la sommaoria pare da zero, i quao i coefficiei di miore di zero soo ulli perché la fuzioe è aaliica i z. f(z) è aaliica i z e f z diciamo subio che il coefficiee c deve essere uguale a zero e che lo sviluppo ha moleplicià uguale a N. Ifai l'idice della sommaoria o pare più da zero, perché i zero il coefficiee è ullo; parirà duque da u coefficiee più grade di zero, che è idicao proprio dalla moleplicià. Cosruiamo lo sviluppo i serie di Laure f z c zz, c N I queso caso si dice ache che la fuzioe, aaliica i z N., ha uo zero di ordie Facciamo adesso la seguee cosiderazioe: abbiamo deo che se ua fuzioe ha uo zero i z è aaliica e i coefficiei del suo sviluppo hao le seguei caraerisiche c N c N f z z z Facciamo ua uleriore osservazioe. Riprediamo il caso i cui f z è aaliica i z e f zk zz (la fuzioe è limiaa su ua la regioe) i quese codizioi possiamo cocludere che f z è aaliica i z. NOTA: i campo reale la limiaezza o implica emmeo la coiuià, mere i campo complesso, i quese codizioi, implica ache l'aaliicià. Le sigolarià soo i pui di o aaliicià. Sigolarià isolae Abbiamo ua regioe di aaliicià, come al solio, dove il puo z è u puo di o aaliicià e viee deo sigolarià isolaa se è l'uico i u suo ioro ad avere quesa caraerisica. I alre parole è possibile cerare ua circofereza su z, dero la quale z è l'uico puo di o aaliicià. Parleremo delle seguei sigolarià, che vegoo dee sigolarià isolae uiformi Polo di ordie Sigolarià isolae - Pag.64

70 Polo di ordie N Sigolarià esseziale Appui di Capuzzo Alessadro - Sigolarià Faremo ifie u acceo ache agli alri casi, comuque quesi re ipi di sigolarià soo di gra luga le più presei elle applicazioi e di cosegueza le più imporai. Abbiamo Poli di ordie f zaaliica i z co il seguee sviluppo di Laure f z c zz co c e c A caraerizzare il polo di ordie è il fao che lo sviluppo pare da - e va a più ifiio. Osserviamo che lo sviluppo di Laure o si riduce ad uo sviluppo di Taylor perché c'è ua poeza egaiva, quidi la fuzioe o è aaliica. Espliciiamo meglio lo sviluppo f z c zz c c zz c zz +... e meiamo i evideza zz, oeedo f z c zz c zz c zz c zz Possiamo vedere che chiamiamo quesa somma hz - h z è ua serie di Taylor e duque è aaliica - hz c h z - f z zz Polo ordie (le due simbologie soo equivalei) Vediamo adesso cosa succede meedo la fuzioe a deomiaore f z c zz b zz Iizialmee o sappiamo dire da quale idice pare la serie, ma sviluppado i calcoli ermie a ermie osserviamo che b. I siesi f z è aaliica e ulla i z di ordie, i quao b Riassumedo, abbiamo rovao re modi per dire che ua fuzioe è u polo del primo ordie: Poli di ordie - Pag.65

71 Appui di Capuzzo Alessadro - Sigolarià ) se il suo sviluppo di Laure pare da u idice -; h z ) se f z può essere riscria come f z co h(z) aaliica e h z zz ; 3) se f z è aaliica e ulla i z di ordie. Osserviamo adesso che se f z ha u polo del ordie allora f z zz. Queso si deduce dal fao che se la fuzioe fosse limiaa i z allora sarebbe aaliica, quidi deve essere illimiaa. Facciamo alcui esempi. f zcos z z! z4 4! +... z +! osserviamo che o ci soo poeze egaive c z! Coclusioe: cos z i z è aaliica e o ulla. i z se zz z3 3! z5 5! +... z +! osserviamo che o ci soo poeze egaive c c z! Coclusioe: se z i z è uo zero di ordie i z f z zse z i z il primo ermie, z, è già sviluppao i poeze di zz, mere se vogliamo sviluppare il secodo ermie dobbiamo porre z ed essedo se 3 3! 5 5! ! si oiee, sosiuedo se z z z3 z5 3! 5! z! Poli di ordie - Pag.66

72 lo sviluppo è duque f z z z z3 z5 3! 5! f z z z3 z5 3! 5! osserviamo che o ci soo poeze egaive c c Coclusioe: Appui di Capuzzo Alessadro - Sigolarià z! z! f z zse z i z è uo zero di ordie f z se z z i z f z z svil. del seo z3 z z 3! z5 5! +... z +! = = z 3! z4 5! +... z +! osserviamo che o ci soo poeze egaive c Coclusioe: f z se z z i z è aaliica e o ulla. Il risulao oeuo i ques'ulimo esempio è ieressae perché ci idica che la fuzioe è aaliica pur essedoci ua z a deomiaore. Bisoga quidi sare aei a o rarre mai coclusioi azzardae. Ricordiamo come già deo ifai che el campo complesso, se ua fuzioe è limiaa i u ioro di u puo i al puo è aaliica. No si cosidera più quidi il suo limie ma proprio il valore che essa assume. Poli di ordie qualuque Parliamo adesso dei poli di ordie N. Poli di ordie qualuque - Pag.67

73 Le codizioi soo sempre quelle di avere u puo z che è ua sigolarià isolaa ed ua fuzioe f zaaliica i z. Prediamo la solia coroa zz r co il seguee sviluppo di Laure f z c zz N co c N e c N Se espliciiamo lo sviluppo e meiamo i evideza zz N oeiamo f z zz N c N c N zz +... hz Appui di Capuzzo Alessadro - Sigolarià co hz aaliica i z (è ua serie di Taylor) e h z. Possiamo duque scrivere h z f z zz N Possiamo ache dire che ordie N. f z è u polo di ordie N se f z ha i z uo zero di Osserviamo acora che f z z z (la fuzioe o è limiaa i u ioro di z ), quesa è ua caraerisica dei poli di ua fuzioe. r z Vediamo alcui esempi. f z cos z z 4 i z Ci soo due diversi modi per valuare le sigolarià di ua fuzioe. Il primo è fare lo sviluppo i serie di Laure, uilizzado lo sviluppo i serie di Taylor f z cos z z 4 z 4 z! z4 4! +... z 4! z 4! +... Osserviamo che c 4, per cui abbiamo u polo di ordie 4 i z. Il secodo modo è di vedere la fuzioe come segue Poli di ordie qualuque - Pag.68

74 Appui di Capuzzo Alessadro - Sigolarià h z h z f z h zcos z 4 zz z 4 co cos e siamo duque i grado di vedere subio che abbiamo u polo del 4 ordie i z. z se zcos z f z z 6 i z Se il umeraore, poedo z, veisse diverso da zero, poremmo subio dire di avere u polo del 6 ordie i z ; però è zero, quidi dobbiamo per forza passare araverso gli sviluppi di Laure. f z z3 zz 3! z5 z 4 = z 3! z6 = z z 4 5! +... = 4! z 4 6! ! +... z z4 z6! 4! 6! +... = z 6 z4 z6! 4! 6! +... = z 6 z z 4 z4 z6 z6 6 4! 4! 6! 6! +... = z 6 si vede che la fuzioe è u polo del ordie i z z 4 z6 4 4! 6! +... = z 6 f z z4 5 z 3 z z 4 z z 3 j z 4 j prededo i cosiderazioe i pui osserviamo che quesi 4 pui soo i pui che aullao il deomiaore. Esso è ifai u prodoo di più faori: il si aulla i 4 il si aulla i il 3 si aulla i j Quesi quaro zeri del deomiaore soo cadidai ad essere delle sigolarià di ipo polare. Facciamo uo sudio per ciascuo di quesi. Poli di ordie qualuque - Pag.69

75 z 4 Appui di Capuzzo Alessadro - Sigolarià La fuzioe può essere riscria el seguee modo f z z 3 z z4 5 e possiamo osservare che el puo 4 il umeraore è aaliico e diverso da zero, quidi è correo porre h z e si riscrive la fuzioe proprio el seguee z 3 z modo h z f z z4 5 Quidi la fuzioe i z 4 è u polo di ordie N =5. z La fuzioe può essere riscria el seguee modo z4 5 z f z z 3 ed ache i queso caso il umeraore è aaliico e diverso da zero i, per cui h z f z z 3 e la fuzioe i z è u polo di ordie N=3. z 3 j Prima si faorizza il ermie z z j z j e la fuzioe può essere riscria el seguee modo z4 5 z 3 z j h z f z z j z j e la fuzioe i z 3 j è u polo del ordie z 3 j Si faorizza uovamee il ermie z z j z j e la fuzioe può essere riscria el seguee modo z4 5 z 3 z j h z f z z j z j e la fuzioe i z 4 j è u polo del ordie Poli di ordie qualuque - Pag.7

76 Siamo sempre elle codizioi di poer fare uo sviluppo i ua coroa circolare e suppoiamo che esso sia il seguee f z Appui di Capuzzo Alessadro - Sigolarià Sigolarià esseziali c zz ove c per ifiii egaivi. Osserviamo subio che i queso caso o è possibile avere u N dal quale la serie para, come el caso dei poli. I queso caso si dice che f(z) ha i z ua sigolarià esseziale. Facciamo la seguee cosiderazioe: f(z) ha i z ua sigolarià esseziale se zz N f z o è aaliica i z N. Per spiegarci meglio ricordiamo che quado avevamo ua fuzioe che i z polo di ordie N, era valida la seguee h z f z zz N f z zz N h z aveva u bee, el caso di sigolarià esseziale o esise N per il quale l'uguagliaza si verifica, ovvero lo sviluppo i serie di Laure ha ifiie poeze egaive. U'alra caraerisica delle sigolarià esseziali è la seguee f z o è limiaa per zz ed il lim zz f z o esise. Vediamo il seguee eorema. r z Teorema di Piccard Se f z ha ua sigolarià esseziale allora f z assume ui i valori ecceo al più uo i ogi ioro di z. Ciò è legao proprio al fao che la fuzioe i z o ha limie, i quao vi è ua forissima oscillazioe ed assume ui i valori possibili. Cosideriamo la fuzioe f z se f z ha i z ua sigolarià esseziale, la sua iversa esseziale o ua sigolarià o isolaa. f z ha ua sigolarià Sigolarià o isolaa sigifica che i ogi ioro di z c'è u'alra sigolarià, o di ipo polare o di alro geere. L'osservazioe più imporae è che el passare all'iverso la Sigolarià esseziali - Pag.7

77 Appui di Capuzzo Alessadro - Sigolarià sigolarià permae. Vediamo alcui esempi. z f ze Cerchiamo lo sviluppo di Laure i z. La fuzioe è aaliica dapperuo escluso che ello zero, quidi è possibile calcolare i coefficiei c, solo che è u'operazioe piuoso laboriosa, cerchiamo duque ua scorciaoia. Coosciamo il seguee sviluppo e! 3 3! +...+!! e sappiamo che il suo raggio di covergeza è ifiio, i quao la fuzioe è aaliica i uo il piao complesso. Quidi, se, come i queso caso, la fuzioe coverge per ogi, allora oi possiamo predere z z e z z z! 3! 3, quidi possiamo sosiuire z +...+! z z! z 3 3! z! z! osserviamo però che abbiamo oeuo ifiie poeze egaive. Abbiamo duque ua sigolarià esseziale. f zse z da sviluppare i z E' ua fuzioe aaliica i uo il piao complesso escluso lo zero, quidi cerchiamo il suo sviluppo. Poiamo acora z se z z z 3 3! z 5 5! +... co z e oeiamo Ache queso è uo sviluppo covergee formao da ifiie poeze egaive. Abbiamo ua sigolarià esseziale. Osservazioe. Prediamo l'iversa di f z : Sigolarià esseziali - Pag.7

78 Appui di Capuzzo Alessadro - Sigolarià g z se z quesa si aulla per k k z z k co Se rappreseiamo el piao quesi pui, osserviamo che si addesao verso l'origie del piao complesso, e queso sigifica che i ogi ioro del puo z, ci soo sempre degli zeri del deomiaore che soo ui poli del ordie. Abbiamo ua sigolarià o isolaa. Puo all'ifiio di C Il modo più efficace per redere visivo il puo all'ifiio di! è quello di operare come segue. Immagiiamo di disegare il piao complesso i modo che sia orogoale al foglio. Abbiamo i queso modo u asse vericale che o fa pare del piao. Appoggiamo ua sfera di raggio uiario al piao, agee ell'origie, ed operiamo araverso ua proiezioe geomerica che viee chiamaa proiezioe sereografica. Il cero della sfera si rova el puo di coordiae (,,), mere il suo polo ord si rova el puo di coordiae (,,) ed il polo sud ha coordiae (,,). Cerchiamo di cosruire ua corrispodeza biuivoca ra i pui che sao sulla superficie sferica ed i pui che sao sul piao x,y, el seguee modo: cogiugiamo co ua rea il polo ord della sfera co u puo di coordiae x, y el piao, ebbee quesa rea ierseca la sfera i u puo. Diciamo quidi che il puo del piao complesso ed il puo della sfera soo i corrispodeza biuivoca. Ci si rede iuiivamee coo che i queso modo ui i pui del piao soo i corrispodeza co ui i pui della sfera ecceo uo, il polo ord della sfera. Queso ci permee di affermare che il polo ord rappresea il puo all'ifiio del piao complesso. Sempre ragioado sulla proiezioe sereografica del piao complesso possiamo osservare che il puo all'ifiio o è alro che u puo come ui gli alri ed è per queso che ci possiamo chiedere cosa è l'ioro del puo all'ifiio. Sempre sulla superficie sferica possiamo predere ua caloa che sa ioro al polo ord ed osservare che la sua proiezioe sul piao complesso è ua circofereza che ha u raggio ao Puo all'ifiio di C - Pag.73

79 Appui di Capuzzo Alessadro - Sigolarià maggiore quao più la caloa, cioè l'ioro del polo ord, è piccola, ovvero ao più ci avviciiamo al polo ord sesso. I pui che sao all'esero della circofereza sul piao complesso, corrispodoo a quelli che si rovao all'iero della caloa e soo l'ioro di ifiio. Quella di cui abbiamo raao è la sfera di Noima. Adesso che abbiamo dao ua forma al puo all'ifiio, cerchiamo di classificare le sigolarià i queso puo. Prediamo ua fuzioe variabile di queso ipo w z f z co z! e z. Se oi facciamo u cambio di, ci accorgiamo che ella sfera di Noima abbiamo cambiao ra loro il polo sud co il polo ord ed oeiamo ua uova fuzioe f w gw. Queso è il passaggio che dobbiamo fare per sudiare fuzioi di queso ipo. Suppoiamo di avere f z aaliica i u ioro di z (queso vuol dire che se prediamo ua circofereza di raggio R arbirariamee grade, all'esero di quesa circofereza la fuzioe è comuque aaliica). Possiamo fare uo sviluppo di Laure i w ella regioe esera al cerchio di raggio R. Quidi avremo f z c zz co c j dopo il cambio di variabile abbiamo gw c i z z co w R f z d osserviamo che la poeza di è passaa a deomiaore, quidi o ci soo poeze egaive quado soo ulli i coefficiei co. La fuzioe è aaliica i z, w se c Vi è uo zero di ordie N se c "N c N Vi è i polo di ordie N se c "N c N C'è ua sigolarià esseziale se c N per ifiii idici ". Facciamo qualche esempio. Poliomi. f z z 3 z 3 i z si fa subio il cambio di variabile z w z w gw w 3 w 3 w è u polo riplo z è u polo riplo Puo all'ifiio di C - Pag.74

80 Appui di Capuzzo Alessadro - Sigolarià Fuzioi razioali. z 3 f z z zz3 i z si fa subio il cambio di variabile z w z w gw w 3 w 3 w w w w 3 w w w 3 w 3 w w3 w gw w w3 w i w quidi z è u puo di aaliicià e o è uo zero di gw. Ache z è u puo regolare aaliico per f z. Espoeziali. f ze z si fa subio il cambio di variabile z w z w gwe w w...! w w è sigolarià esseziale per gw, quidi z è sigolarià esseziale per f z. Cosideriamo f z# z f zlog z Sigolarià o uiformi osserviamo che fuzioi di queso geere o soo be defiie perché dao più di u valore. Se però oi eviiamo di cosiderare il periodo (che è quello che ci fa oeere i valori moleplici) e ci impoiamo di cosiderare z$e j% co %, allora possiamo sudiare l'aaliicià ache di quese fuzioi. Ricosideriamo f z# z e ci accorgiamo che è sempre aaliica ecceo che i z, essa ifai vale f z# z #$e j %. Ma il puo di o aaliicià z prede il ome paricolare di puo di diramazioe. Queso capia perché avedo fissao l'agolo ( % ) se oi percorriamo compleamee ua circofereza ceraa i z paredo da u puo z, quado oi oriamo sullo sesso puo, la fuzioe ci dà u valore diverso. Ad esempio Sigolarià o uiformi - Pag.75

81 Appui di Capuzzo Alessadro - Sigolarià #e j e j... se facciamo u giro compleo... #e j e j Nei pui disii da z la fuzioe è aaliica ma è comuque molo paricolare da sudiare, perché quado si fissa l'agolo % i realà si idividua ua deermiazioe, come se si decompoesse il piao complesso i ai piai complessi paralleli uo all'alro e collegai ra loro dai pui di diramazioe, quidi la fuzioe è aaliica i ciascua delle deermiazioi e quado se e fa il giro compleo ioro ad u puo di diramazioe o si ora al puo di pareza ma ci si è ifilai i u'alra diramazioe. Quesa è ua caraerisica delle fuzioi che dao più valori. Sigolarià o isolae La sigolarià o isolaa è quella sigolarià el cui ioro cadoo sempre sigolarià. Sudiamola co u esempio f z sih z Per capire che ipo di sigolarià ci soo, chiediamoci dove si aulla il seo iperbolico, quidi poiamo z e chiediamoci quado sih w. Ricordado la forma w complessa del seo iperbolico, che è la seguee seh w ew e w ci riduciamo a risolvere la seguee equazioe e w e w e w e w e w e w e moliplicado ambedue i membri per e w si oiee e w e j k e si può dire che i due espoeziali soo uguali quado soo uguali gli argomei, ovvero quado w j k w j k riorado alla z si ha z j k z k j j k co k& k Se adesso oi facciamo lo sviluppo di Laure, ci accorgiamo che z k j k soo ui poli del ordie Se proviamo a meere su di u grafico ui quesi valori ci accorgiamo che sao ui sull'asse immagiario e si addesao avviciadosi allo zero; z è duque ua sigolarià o isolaa. Sigolarià o isolae - Pag.76

82 Appui di Capuzzo Alessadro - Sigolarià Tabelle riassuive Tipi di sigolarià Sigolarià TIPO ESEMPIO NEL PUNTO apparei poli esseziali se z z z z e z z z pui di diramazioe # z z o isolae seh z z f f Maggiori sigolarià zero N polo N N aaliica aaliica polo N zero N N esseziale o polo SERIE LIMITE ESEMPIO o esise se z cosh z cos z z z e Tabelle riassuive - Pag.77

83 Appui di Capuzzo Alessadro - Sigolarià Osservazioi fiali Cosideriamo la fuzioe f ze z i z k sosiuiamo w z w f we e vediamo che abbiamo ua sigolarià esseziale. Riscriviamo adesso la fuzioe come f ze z e x e j% e prediamo solo quesi valori dell'argomeo: %. Abbiamo i praica risreo il domiio ad O ua fascia come descrio i figura, dove gli assi rappreseao modulo e argomeo del umero complesso. Se proviamo adesso a vedere qual'é l'immagie di quesa resrizioe del domiio, ci accorgiamo che è uo il piao complesso escluso lo zero, i quao e x è il modulo della fuzioe e ci da ui i valori, escluso lo zero, e j% è l'argomeo e ella resrizioe che ci siamo dai, vegoo comuque compresi ui i possibili agoli. Se adesso oi adiamo a cercare ua circofereza grade, ceraa ello zero, ci accorgiamo che per quao grade essa sia (ovvero se prediamo u ioro di ifiio, per quao piccolo esso sia) ci accorgiamo che esiserà sempre ua fascia esera a quesa circofereza (dero l'ioro di ifiio), che avrà come immagie uo! e sarà del ipo k,k. Queso ci chiarisce uleriormee il sigificao del eorema di Piccard e della o esiseza del limie per ua sigolarià esseziale. k Osservazioi fiali - Pag.78

84 Capuzzo Alessadro - Residui Residui Sia f z aaliica i e sia z ua sigolarià isolaa. E' duque possibile cosiderare ua coroa zz r, dove la fuzioe è aaliica e z sia l'uica sigolarià. I quesa regioe possiamo fare lo sviluppo di Laure ed oeere al solio f z c zz z r Il coefficiee c prede il ome di residuo della fuzioe f z i z e si usa scrivere R f z z c Richiamiamo la defiizioe di coefficiee di uo sviluppo di Laure c f z j zz d z co uguale a qualuque cammio chiuso all'iero della coroa circolare (abbiamo iolre uilizzao il simbolo di iegrale chiuso per soolieare il fao che è ua curva chiusa). Osserviamo quidi che l'espressioe di c e quidi del residuo è la seguee R f z z c j f zd z Teorema dei residui. Sia f z aaliica i ecceo che i z k co k,,3,..., (ovvero ecceo che i u umero fiio di pui che evideemee soo delle sigolarià isolae per la fuzioe), allora f zd z j R f z z k k Vediamo di capire il seso. Abbiamo el piao complesso ed u cero umero fiio di pui z, z,..., z k,.., z che soo le sigolarià di f z ed abbiamo da calcolare l'iegrale su di f z. Se oi disegiamo dei circolei di raggio abbasaza piccolo da permeere ad ogi circoleo di essere uo coeuo ella regioe di aaliicià e all'iero di Residui - Pag.79

85 Capuzzo Alessadro - Residui ciascuo di essi ci sia solao ua sigolarià, possiamo idicare co il cerchio che k z k z z z coora z,co il cerchio che coora z,co k il cerchio che coora z k,co il cerchio che coora z. Cosideriamoli iolre percorsi i seso orario. Possiamo adesso cosiderare l'iegrale di liea che ha per cammio il bordo della regioe alla quale soo sai oli gli cerchi (ovvero vi abbiamo creao dei buchi) oguo dei quali le ha sorao u puo di o aaliicià, per cui la regioe così bucaa è ua di aaliicià. Grazie al eorema di Cauchy risula quidi vero che... k... f z ma per la proprieà di addiivià degli iegrali, l'iegrale sopra può essere viso come ua somma di iegrali (o sorazioe, se si ivere il seso del cammio) f zdz f zdz f zdz... k f zdz... f zdz possiamo quidi soseere j che f zdz f zdz j f zdz... j f zdz j R f z R f z R f z Residui - Pag.8

86 Capuzzo Alessadro - Residui osserviamo che oguo dei ermii ra pareesi quadre alro o è che il residuo calcolao el puo z k. Queso ci pora alla sessa coclusioe del eorema dei residui, ovvero f zd z j R f z z k k Si porebbe osservare che il eorema dei residui ci complica la via, i quao siamo passai da u uico iegrale di liea ad iegrali di liea, ma o è così, poiché vedremo che il calcolo praico dei residui i realà è molo semplice. Quidi il eorema dei residui acquisisce ua grade imporaza ei calcoli praici. Suppoiamo di avere la fuzioe f z z sigolare i z e di chiederci qual'é il suo residuo ell'origie. Abbiamo R f j z dz Essedo ua curva arbiraria, scegliamo la circofereza di raggio uiario ceraa i z, ovvero : e j si ha ze j dz j e j d e l'iegrale divea R f j e j e j d j j j Osservazioe. Suppoiamo di avere ua regioe che é ua di aaliicià ecceo alcui pui. La sua paricolarià è di avere u umero m fiio di sigolarià ache sul bordo le quali chiameremo z i. Osserviamo che la preseza di sigolarià sulla curva di iegrazioe rede l'iegrale di liea u iegrale improprio e o è più sufficiee cercare di paramerizzare le curve per dargli u sigificao. Bisoga cercare di ierprearlo i u modo opporuo che prede il ome di valor pricipale secodo Cauchy (v.p.). Quesa siuazioe modifica la formula del eorema dei residui el seguee modo j f zd z k m R f z z k i R f z z i z k z i possiamo osservare che il coribuo dei residui sul bordo viee dimezzao. Residui - Pag.8

87 Capuzzo Alessadro - Residui Calcolo praico dei residui i poli del ordie Abbiamo viso che el caso di poli del primo ordie la fuzioe può essere così riscria h z f z zz abbiamo immediaamee co hz aaliica e hz R f z h z lim zz zz f z (si prede la pare aaliica calcolaa i z ) se ivece la fuzioe si presea el seguee modo z f z d z co z la sigolarià polare dipede dal fao che il deomiaore si aulla co uo zero del primo ordie, si può osservare che il calcolo praico del residuo è dao dalla seguee espressioe R f z z d ' z Facciamo degli esempi. (si fa la derivaa del deomiaore) z f z z z Vogliamo calcolare i residui elle sue sigolarià, che soo evideemee, essedo ua fuzioe razioale, i pui i cui si aulla il deomiaore, verificao che o si aulli ello sesso puo ache il umeraore. Risolviamo duque l'equazioe z z il deomiaore si aulla i z z Risolviamo l'esercizio uilizzado erambe le regole Applichiamo la regola. Riscriviamo z f z z z f z evideziado le sigolarià osserviamo che quado oi vogliamo calcolare il residuo el puo z avremo Calcolo praico dei residui i poli del ordie - Pag.8

88 z h z z f z z Capuzzo Alessadro - Residui da calcolare appuo i z ed oeiamo z R f z 5 3 se ivece vogliamo calcolare il residuo el puo z avremo z h z z f z z da calcolare appuo i z ed oeiamo z R f z 3 Applichiamo la secoda regola z z f z d z z z R f z k z k z d z k z per cui el puo z avremo R f z z d z z z 5 3 e el puo z avremo R f z z d z z z 3 Calcolo praico dei residui i poli di ordie N>= Queso è u caso più geerale del precedee, che e è compreso. Se la osra fuzioe ha u polo di ordie N avrà il seguee sviluppo di Laure f z c c c zz... + zz zz c c zz c zz +... è abbasaza semplice osservare che se moliplichiamo f z zz oeiamo f z zz c c zz c zz c zz c zz +... Calcolo praico dei residui i poli di ordie N>= - Pag.83

89 Capuzzo Alessadro - Residui ed osserviamo subio che abbiamo f z zz h z che o è alro che la pare aaliica della fuzioe. Possiamo quidi riscrivere la fuzioe come f z f z zz zz h z zz Facciamo però aezioe adesso, perché l'idice che ci ieressa per avere il residuo è quello idicao soo f z zz c c zz c zz c zz c zz +... se però oi ricordiamo che i coefficiei dello sviluppo di Taylor ci vegoo forii dalla derivaa -sima, possiamo rieere che h z! c per cui il calcolo praico è c h z! L'espressioe del residuo è duque la seguee R f z! h z R f z! lim z z d dz zz f z osserviamo che per ci si rirova esaamee la sessa defiizioe daa per i poli di ordie, mere o abbiamo ua regola praica per quao riguarda fuzioi espresse i forma frazioaria, che è u'esclusivià dei poli di ordie. Facciamo qualche esempio. f z z z la fuzioe o è aaliica i z dove vi è u polo del ordie. vediamo che la fuzioe aaliica è h z z ed essedo dobbiamo fare la derivaa prima calcolaa ella sigolarià ovvero el puo. h z z 4 quidi il residuo della fuzioe el puo è uguale a 4. f z se z z 3 la fuzioe è sigolare el puo z e se facciamo lo sviluppo di Laure ci accorgiamo che è u polo del ordie. Calcolo praico dei residui i poli di ordie N>= - Pag.84

90 Capuzzo Alessadro - Residui se z Dobbiamo quidi pesare che sia aaliica (i zero ifai il suo limie è, è u z limie fodameale) e riscrivere la fuzioe el seguee modo f z se z z z per cui si ha che il residuo vale R f d dz se z z z z cos zse z z z o dobbiamo dimeicarci mai che dobbiamo vedere quesa fuzioe sempre come u limie, che i queso caso, svolgedo i calcoli risulerebbe ideermiao. Per capire quao vale possiamo provare a fare lo sviluppo di Taylor a umeraore cos zse z R f z! +... z3 zz 3! +... z z z z Sommado i ermii del umeraore si vede che lo sviluppo di Taylor pare da ua poeza cubica, quidi di ordie maggiore e predomiae sul deomiaore. I queso caso il residuo è zero, bisoga duque sare aei a o pesare che siccome il residuo è ullo la fuzioe sia aaliica, perché è u polo del ordie ed i z abbiamo ua sigolarià. f z e z z si vede che z è u polo del ordie e che h ze z R f h e z z e, per cui Iegrali impropri col meodo dei residui Comiciamo co il caso i cui la fuzioe iegrada è razioale del ipo f x Px Qx co grado di Pxgrado di Qx siamo el caso i cui l'iegrale improprio f xdx è covergee, sempre el caso che Q(x) o abbia zeri sull'asse reale. Esededo la variabile x al piao complesso dove Re z = x, il calcolo dell'iegrale può essere fao col Iegrali impropri col meodo dei residui - Pag.85

91 meodo dei residui: Capuzzo Alessadro - Residui siao gli z k poli di f z co Im z k!, k (ella regioe) e siao gli z i poli semplici di f z co Im z i, im (el bordo della regioe) allora abbiamo f xdx j k R f z z k m R f z z i i Facciamo u ceo di dimosrazioe. R +R -R Se oi scriviamo l'iegrale di liea di f z dove la liea è l'asse reale, che iizialmee suppoiamo privo di sigolarià, abbiamo f xdx iegraleimproprio, f zdz iegrale diliea su" lim R f zdz R R iegraleimproprio pesaocome limie lim R,R f zdz R iegrale di liea su# Adesso chiudiamo il cammio co ua semicircofereza R di raggio R ceraa ell'origie e cerchiamo di capire quao vale l'iegrale di ques'ulima per R che ede ad ifiio dz f zdz f zdz f zdzk z essedoil gradodi P xgradodiq x se osserviamo che siamo iegrado su di ua semicircofereza possiamo porre zr e j Iegrali impropri col meodo dei residui - Pag.86

92 Capuzzo Alessadro - Residui dzr e j j d dzr d per cui l'iegrale divea f zdz k z dz o R R d R R è duque lecio sommare zero ad u'uguagliaza el seguee modo f xdx lim R,R f zdz lim R f zdz R, RR f zdz R R ma co R sufficieemee grade da racchiudere ue le sigolarià el semipiao posiivo, possiamo osservare che ci riroviamo di froe ad u iegrale di liea su di ua curva chiusa co delle sigolarià al suo iero, possiamo quidi applicare il eorema dei residui. Si ha duque f xdx j R f z z k k Se siamo ivece el caso i cui si hao delle sigolarià sull'asse reale esse coribuirao per la meà della loro sommaoria; giugeremo così alla formula iizialmee euciaa f xdx j k m R f z z k i R f z z. i Vediamo qualche esempio. x dx La prima osservazioe che possiamo fare è che oi queso iegrale improprio lo sapevamo già calcolare. Quello che vogliamo fare ifai è irodurre u meodo uovo ed aleraivo per il calcolo degli iegrali impropri, che si dimosra comuque più rapido ed efficace di quello radizioale. Il primo passo da fare è duque pesare all'iegrale come cammio sull'asse reale del piao complesso di ua fuzioe complessa el seguee modo. x dx, z dz Le sigolarià soo el puo j e el puo -j, el semipiao posiivo c'è la sola sigolarià j, possiamo duque subio dire che x dx j R j j x zz j x x dx z, z dz Iegrali impropri col meodo dei residui - Pag.87

93 Capuzzo Alessadro - Residui Ache i queso caso le sigolarià soo el puo j e el puo -j, el semipiao posiivo c'è la sola sigolarià j, ma adesso soo poli doppi. Calcoliamo il residuo R d z z z jz z jz j j j j j j = dz jz z j jz 4 z j j j 4 z = j j j j 8 j4 j 4 j j j 4 L'iegrale vale duque x j dx j x 4 Per persuaderci sull'efficacia del meodo dei residui lasciamo allo sudee il calcolo dell'iegrale secodo il meodo radizioale (è molo più complesso) x x 4 dx z, z 4 dz Vediamo che le sigolarià soo le radici quare di z=- 4 $$e 4 j k j e j 4 k 4 j Vediamo che el semipiao superiore abbiamo e j 4, e j 3 4. Abbiamo quidi x x 4 dx z, z 4 dz j z 4 z 3e j 4 4 z 4 z 3e 3 j j 4 = j 4 e 4 j 4 e3 j 4 e j 4 e j 4 e j 4 = j j cos 4 cos $ 4 j j e = cos 4 = Lemma di Jorda (per cammii paralleli all'asse reale) Si ha da calcolare il seguee iegrale improprio P Q e j a d a", ", e grado di Pgrado di Q Lemma di Jorda (per cammii paralleli all'asse reale) - Pag.88

94 Capuzzo Alessadro - Residui essedo a e reali, abbiamo ua combiazioe di sei e cosei complessi. Le sigolarià dipedoo ue dal ermie frazioario. NOTA: Il calcolo dell'iegrale è diverso a secoda che il modulo dell'espoeziale eda a zero sul semipiao posiivo o sul semipiao egaivo. Calcoliamo il modulo dell'espoeziale, ma prima poriamo el piao complesso passado ad ua variabile complessa s j% e j a s e j a j aj% e j a e a% e a% passaggio che abbiamo pouo fare ricordado che il modulo di u espoeziale co argomeo u immagiario puro è uguale ad uo. Quidi il comporameo dell'espoeziale dipede dal valore di a. a!, il modulo dell'espoeziale ede a zero quado % ; semipiao superiore a, il modulo dell'espoeziale ede a zero quado % ; semipiao iferiore Per cui Ps Qs ds j a! R f s z k k i e j a s j a R f s z h h i R f s z i sigolarià sul semipiao posiivo per gli z k che hao pare immagiaria! R f s z i sigolarià sul semipiao egaivo per gli z h che hao pare immagiaria co f s Ps Qs e j a s Queso perché, se ricordiamo che per calcolare gli iegrali impropri araverso i residui era ecessario chiudere il percorso di iegrazioe co ua curva che aveva iegrale ullo, adesso, essedovi la complicazioe dell'espoeziale, quesa curva ede a zero el semipiao superiore se a è posiivo, ed i quello iferiore se a è egaivo. Iolre el semipiao egaivo cambia il sego perché si ivere il cammio di iegrazioe (vedi figura) R R +R R Vediamo u esempio. Lemma di Jorda (per cammii paralleli all'asse reale) - Pag.89

95 Capuzzo Alessadro - Residui e j a d Dobbiamo duque disiguere due casi a! j k a j k R e j a R e j a j j e a j j j ea e a j ea Lemma di Jorda (per cammii paralleli all'asse immagiario) Si ha da calcolare il seguee iegrale improprio & j Ps & j Qs es ds Queso ipo di iegrali rivese u'esrema imporaza el proseguo di queso corso (calcolo delle airasformae di Laplace). La siuazioe è quella descria i figura: il cammio di iegrazioe va da & j a & j. " e grado di Psgrado di Qs & % & Ache i queso caso, per risolvere l'iegrale dobbiamo osservare il sego del paramero, i quao ci dà lo zero dell'espoeziale. Ifai abbiamo e s e e & & j%! & e & & Possiamo quidi osservare che Lemma di Jorda (per cammii paralleli all'asse immagiario) - Pag.9

96 Capuzzo Alessadro - Residui & j Ps j R & ds! j Qs es f s s k Re s k & k j R f s s k Re s k!& k La dimosrazioe è di uovo legaa al fao che quado il cammio di iegrazioe è ua rea parallela agli assi coordiai, possiamo pesare di uovo all'iegrale come il limie di u iegrale ra & jr e & jr, co R che ede a più ifiio e possiamo uovamee chiudere il cammio co delle semicircofereze. Evideemee bisoga scegliere il semipiao di desra od il semipiao di siisra a secoda che il modulo dell'espoeziale eda a zero quado & o quado &. Quidi il ruolo dell'espoeziale complesso è quello di idicarci su quale semipiao dobbiamo lavorare. Se! sarà allora il semipiao di siisra, se sarà il semipiao di desra. Vediamo qualche esempio. & j j & j s es ds dove &! Il lemma di Jorda ci dice che queso iegrale è uguale alle seguei espressioi & j j & j s es ds! j j k j j k R f s s k Re s k & R f s s k Re s k!& el osro caso i poli soo ' j e si rovao erambi el semipiao a siisra della curva di iegrazioe. Quidi el semipiao di desra la fuzioe è aaliica e l'iegrale vale duque zero, mere el semipiao di siisra vale j j R f s jr f s j Quidi o dobbiamo fare alro che calcolare i due residui e sommarli. R f s j e s s s j e j j R f s j es j s e s j j L'iegrale risula essere per! per i e j i j e j jsi Si usa scrivere queso risulao come u si dove u è la fuzioe gradio uiario, la quale vale uo per > e zero per < e che quidi riassume bee il risulao Lemma di Jorda (per cammii paralleli all'asse immagiario) - Pag.9

97 Capuzzo Alessadro - Residui oeuo. & j j & j s s es ds dove &! Ci roviamo i ua siuazioe aaloga a quella dell'esempio precedee. Osserviamo che il grado del umeraore è uo ed il grado del deomiaore è due, quidi l'ipoesi ecessaria per poer meere i praica il lemma di Jorda, che richiede che il grado del deomiaore sia sreamee maggiore del grado del umeraore è verificaa. Ache i queso caso le sigolarià (j e -j) si rovao ue a siisra del cammio di iegrazioe. Disiguedo i casi abbiamo di uovo zero per < mere per > j j R f s jr f s j Calcoliamo i due residui: s se R f s j e j s s j s j se e R f s j s s j per cui l'iegrale vale per! i = e j e j e j e j cos per i = Uilizzado la fuzioe gradio uiario possiamo scrivere & j j & j s s es ds = ucos & j j & j s es ds dove &! Ci roviamo elle codizioi di poer applicare il lemma di Jorda. Guardado l'iegrado ci accorgiamo che c'è u uico polo semplice ell'origie, abbiamo duque per! i = per i = Il residuo i zero vale j j R f s R f s e s s L'iegrale vale duque u, la fuzioe gradio di. Lemma di Jorda (per cammii paralleli all'asse immagiario) - Pag.9

98 Capuzzo Alessadro - Residui Prediamo adesso lo sesso iegrale, però co &. Osserviamo che adesso la regioe a siisra del cammio di iegrazioe è ua di aaliicià e l'uica sigolarià si rova ella regioe di desra. Duque per! i = per i = j j R f s Scrivedo il risulao i forma sieica (uilizzado la fuzioe gradio), possiamo scrivere i = u Ricordiamo al leore che gli esempi appea svoli soo molo imporai perché i realà soo esempi di rasformae di Laplace. Suppoiamo adesso di voler calcolare se d Queso iegrale a prima visa o ha le caraerisiche degli iegrali che si risolvoo col lemma di Jorda perché o c'è l'espoeziale complesso, mere i realà oi possiamo osservare che se o è alro che la pare immagiaria di u espoeziale complesso, quidi possiamo riscrivere l'iegrale el seguee modo e j Im d è chiaro che predere la pare immagiaria prima dell'iegrale, o prederla dopo, è la e sessa cosa, possiamo duque scrivere Im j e dim js s ds Ci riroviamo duque a dover risolvere u iegrale co cammio di iegrazioe parallelo all'asse delle ascisse e possiamo sfruare il lemma di Jorda, dobbiamo duque vedere dove il modulo dell'espoeziale ede a zero e jz e j& j j% e % che ede a zero el semipiao delle %!, risula duque, facedo aezioe che i queso caso l'uica sigolarià o si rova all'iero della regioe, besì sul cammio d'iegrazioe e Im js s dsim j R f s e calcolado il residuo si ha e Im js s dsim j Im j Facciamo osservare co quale semplicià abbiamo calcolao u iegrale che o era ivece iegrabile elemearmee. Quidi passare al campo complesso risula molo uile per il calcolo di iegrali difficili od impossibili da risolvere elemearmee. Lemma di Jorda (per cammii paralleli all'asse immagiario) - Pag.93

99 Capuzzo Alessadro - Decomposizioe i frai semplici Decomposizioe i frai semplici Poli semplici Abbiamo ua fuzioe razioale e la vogliamo scomporre i ua somma ra u poliomio ed frazioi, el seguee modo Fs N ms D s Q ms A ss A ss co s, s,..., s poli semplici e A k cosae A ss Dire che quesa fuzioe razioale ha poli semplici, sigifica dire che il deomiaore si aulla i s, s,..., s e che il umeraore è diverso da zero i s, s,..., s e che gli zeri del deomiaore soo degli zeri semplici. E' chiaro che il ermie Q m s è presee solo se m (ovvero la fuzioe o è ua fuzioe razioale propria). Facciamo la seguee osservazioe. Comiciamo col dire che a vole capia di rovarsi di froe ad alcui casi i cui la soluzioe è molo semplice, ed è bee predere ua srada semplice, i ali casi, mere si dovrao uilizzare i meodi geerali solo per i casi più complessi. Quidi quesa prima osservazioe che chiameremo meodo immediao sooliea queso aspeo. Suppoiamo di avere Fs ss No c'è bisogo di fare grossi ragioamei per quesa decomposizioe, m=, =, quidi o c'è ermie poliomiale ella decomposizioe, ed essa risula essere Fs ss s s La secoda osservazioe che vogliamo fare è che i realà la decomposizioe i frai semplici di ua frazioe è u argomeo che i qualche modo abbiamo già raao ei corsi precedei. Quado si deve affroare il problema di iegrare ua fuzioe razioale (beieso, quado la variabile è ua variabile reale, el osro caso la variabile è complessa: s j ) si iroduce proprio la decomposizioe del deomiaore (el osro caso, se s fosse reale, avremmo due logarimi) e ormalmee, quado si effeua ua decomposizioe i frai semplici, lo si fa araverso u meodo che si chiama meodo del sisema algebrico. Facciamo u esempio per ricordare l'uilizzo, abbiamo Fs s ss la prima cosa da osservare è che essedo umeraore e deomiaore di pari grado avremo sicuramee u poliomio o frazioario ella osra decomposizioe ed esso avrà grado zero, sarà duque ua cosae. Poremo quidi fare la seguee scomposizioe Poli semplici - Pag.94

100 Capuzzo Alessadro - Decomposizioe i frai semplici Fs s ss q A s B s co q, A e B cosai da ricavare. Il meodo è semplice : è sufficiee rifare i passaggi all'icorario (effeuado il m.c.d.) Fsq A s B s qs qs qs qasabs B ss ordiare il poliomio oeuo a umeraore Fs qs q qab s qa B ss e ricordarsi che rovadoci di froe ad u'uguagliaza ra due frazioi, s ss qs q qab s qa B ss ali frazioi, essedo i deomiaori uguali, soo uguali solo se soo uguali i umeraori che, essedo due poliomi, soo uguali se hao uguali i coefficiei dei ermii dello sesso grado. E' sufficiee quidi imporre ali uguagliaze i u sisema q q AB qa B che da soluzioi q A3 B Riassumedo Fs s ss 3 s s Quesa è ua via efficace e fuzioae, ma possiamo osservare che se i poli soo umerosi, aumeao le icogie ed il sisema divea molo pesae. Parliamo adesso della decomposizioe co il meodo dei residui. Cosideriamo Fs N ms D s Q ms A ss A ss co s, s,..., s poli semplici per Fs A ss Proviamo a rappreseare quesi poli el piao complesso e poi cooriamo ogi polo co u circoleo, i modo da avere u uico polo per ogi circoleo e diamo il ome al circoleo che coora s di, e così via. Poli semplici - Pag.95

101 Capuzzo Alessadro - Decomposizioe i frai semplici k 3 k Adesso riprediamo la osra fuzioe, che vogliamo decomporre, ed immagiiamo di iegrarla lugo la circofereza k. Oeiamo Fs k N m s D s ds A k Q m sds A k ds ss k ds ss k A k ss k ds Di ui gli iegrali el erzo membro, grazie al eorema di Cauchy, possiamo vedere che A l'uico diverso da zero è proprio k k ds. Risula quidi vero che ss k A k Fs k k ds ss k Poedo ss k e j co (soo due diversi modi per descrivere la circofereza che ruoa ioro a s k ) ed ovviamee ds j e j d si oiee k A k ds Ak ss k e j j e j d j A k Mere se prediamo k Fs, possiamo osservare che o è alro che la defiizioe di residuo a meo del faore j e possiamo quidi riscriverla come k Fs j R f s s k Ricompoedo l'uguagliaza oeiamo j R f s s k j A k A k R f s s k Poli semplici - Pag.96

102 Facciamo degli esempi. Capuzzo Alessadro - Decomposizioe i frai semplici Riprediamo la fuzioe già sudiaa Fs s ss q A s B s Abbiamo due poli semplici s s Osserviamo che umeraore e deomiaore hao lo sesso grado, per cui ella decomposizioe abbiamo u poliomio che è ua cosae. Essa o è alro che il rapporo ra i gradi massimi, il suo valore è quidi ( q ). Riscrivedo la decomposizioe secodo il meodo dei residui oeiamo Fs s ss R f s R f s s s quidi la decomposizioe si riduce effeivamee al calcolo dei due residui R f s s 9 s s 3 3 R f s s 3 s s 3 per cui Fs s 3 ss s s Osserviamo che il meodo dei residui ci permee di calcolare i coefficiei i modo arbirario ed idipedee, seza doverli ecessariamee calcolare ui ramie u sisema. Fs 5 s4 s 3 45 s 6 s ss sss Osserviamo subio che al umeraore abbiamo u poliomio di 4 grado ed al deomiaore di 5, quidi o ci soo ermii poliomiali. Avremo duque ua decomposizioe composa da 5 addedi, a ciascuo dei quali corrispode uo dei poli della osra fuzioe razioale (osserviamo che il umeraore i essuo di quesi poli si aulla, abbiamo quidi effeivamee 5 poli del ordie) Fs 5 s4 s 3 45 s 6 s ss sss R f s s Calcoliamo i residui R f s s R f s s R f s s R f s s Poli semplici - Pag.97

103 Capuzzo Alessadro - Decomposizioe i frai semplici R f s 5 s4 s 3 45 s 6 s = s sss s = = R f s 5 s4 s 3 45 s 6 s s sss s R f s 5 s4 s 3 45 s 6 s 3 ssss s R f s 5 s4 s 3 45 s 6 s 4 ss ss s R f s 5 s4 s 3 45 s 6 s 5 ss ss s Iseriamo i risulai ella decomposizioe = Fs 5 s4 s 3 45 s 6 s ss sss s s 3 s 4 s 5 s Suggeriamo allo sudee di provare ad effeuare la sessa decomposizioe co il meodo del sisema algebrico, proprio per verificare che effeivamee il calcolo è molo più complesso. Facciamo u alro esempio rapido (imposiamo solo il meodo) Fs 5 s5 s 9s 5 Osserviamo subio che il umeraore è di 5 grado, il deomiaore di 4. Avremo quidi u poliomio ella decomposizioe, il cui coefficiee del ermie di grado maggiore ci è immediaamee oo (si divide il coefficiee di grado maggiore del umeraore per il coefficiee di grado maggiore del deomiaore), mere gli alri coefficiei si oegoo iiziado la divisioe ra i due poliomi. Osserviamo ache che abbiamo quaro poli semplici. Si ha Fs 5 s5 s 9s 5 5 sb R f s3 s3 R f s3 s3 R f s5 R f s5 s5 s5 Poli semplici - Pag.98

104 Siamo el caso Capuzzo Alessadro - Decomposizioe i frai semplici solo se m Poli mulipli Fs N ms D s N ms ss Q ms A A ss ss A ss co s polo di ordie. Vediamo i che modo riusciamo a descrivere le cosai A k araverso i residui. Facciamo la seguee osservazioe. Cosideriamo il puo s, che è l'uica sigolarià (ache se moleplice) della osra fuzioe, e racciamo u circoleo che lo racchiuda. Possiamo osservare che R f s s A Ifai, ragioado i modo geerico si ha ds j se k k ss se k poedo ifai ss e j co e ds j e j d l'iegrale diviee e j e j d j j k e jk d che per k dà immediaamee j, per k dà la seguee primiiva j jk e jk (perché è ua fuzioe periodica di periodo ) Queso dimosra ache quao affermao per i poli semplici. Vediamo come poer calcolare gli alri coefficiei. Proviamo a moliplicare per ss la osra fuzioe: ss Fs N ms ss aalogamee a prima, possiamo affermare che ss Fsds A ss ds j A e risula quidi che R ss f ss A allo sesso modo si oegoo gli alri ermii, fio ad oeere R ss f s s A Riassumedo i risulai oeui, possiamo dire che quado siamo i preseza di u polo muliplo di ordie la decomposizioe si oiee el seguee modo Poli mulipli - Pag.99

105 Fs N ms D s N ms ss Q ms Capuzzo Alessadro - Decomposizioe i frai semplici solo se m R s ss f s ss R s ss f s R f ss ss ss Osserviamo che di ui quesi coefficiei, il più semplice da calcolare è A ss Fs ha i s u polo semplice, ui gli alri soo poli mulipli. i quao Osserviamo ache, che se avessimo fao lo sviluppo di Laure della fuzioe, ci saremmo rovai come ermii dello sviluppo proprio i coefficiei A k (abbiamo scopero u uleriore modo per calcolare i coefficiei dello lo sviluppo di Laure). Vediamo qualche esempio Fs s5 s 5 s è u polo del 5 ordie, perché aulla il deomiaore co uo zero del 5 ordie, mere o aulla il umeraore. Osserviamo ache che umeraore e deomiaore hao lo sesso grado, quidi se effeuiamo la divisioe dei due poliomi oeiamo ua cosae q. Abbiamo Fs s5 s 5 A 5 ss 5 A 4 ss 4 A 3 ss 3 A ss A ss Osserviamo ache che el osro caso s, possiamo quidi già meere il valore del polo Fs s5 s 5 A 5 s 5 A 4 s 4 A 3 s 3 A s A s Abbiamo viso che A R Fssso s A 5 R s 5 s 5 s4 R s 5 A R Fssso s s s 5 s A 4 R s 5 R s 5 d ds s5s 5 s 4 s 5 s 5 s3 s A R Fssso 3s A 3 R s 5 R s 5 s5s! d ds s 5 s s 3 A 3 R Fssso 4s A R s 5 R s 5 s5s s s 3! d 3 ds s 4! s3s! 6 ss Poli mulipli - Pag.

106 Capuzzo Alessadro - Decomposizioe i frai semplici Ifie abbiamo A, che è proprio il residuo della fuzioe calcolao i s A R s 5 4! d s5s 4 ds 4 4! s 5 s s 5 La decomposizioe ha dao come risulao Fs s5 s 5 s s s s 5 s Nel prossimo esempio meiamo isieme sia u polo muliplo che u polo semplice. Fs s3 4 s 3 s s s Osserviamo che la fuzioe ha i s u polo semplice s u polo doppio ed il poliomio a umeraore o si aulla é i é i -. Il umeraore è di 3 grado, come il deomiaore, quidi prima di uo ella decomposizioe dovremo eer coo di u poliomio di grado zero fruo della divisioe ra di essi (q=). Si ha Fs s3 4 s 3 s s s Calcoliamo i re residui R f s s polo semplice R f s s3 4 s 3 s s s R f s d ds s 3 4 s 3 s s s d ds R s f s R f s s s polo doppio 6 s 8 s3s s 3 4 s 3 s s s No ci dobbiamo supire che il calcolo di u residuo sia uguale a zero, lo avevamo già osservao. R f ss s3 4 s 3 s s s Riassumedo i risulai oeui abbiamo Fs s3 4 s 3 s s s s s Cocludiamo facedo u'ulima osservazioe. Poli mulipli - Pag.

107 Capuzzo Alessadro - Decomposizioe i frai semplici L'uso dei residui è esremamee efficace quado dobbiamo decomporre ua fuzioe razioale i frai semplici e queso lo possiamo fare sia quado siamo i preseza di poli semplici, che quado siamo i preseza di poli mulipli. Ma qual'è l'imporaza della decomposizioe i frai semplici? Icoreremo i seguio el osro corso la rasformaa di Laplace che si presea spesso soo forma di fuzioe i variabile complessa razioale e per avere l'airasformaa, alro oggeo molo imporae del osro corso, è molo uile decomporre la fuzioe daa i frai semplici. Poli complessi coiugai I poli complessi coiugai soo ache loro poli semplici o poli mulipli, quidi rierao perfeamee ei casi che abbiamo già raao, però per i poli complessi coiugai, i visa delle applicazioi che e faremo ei fuuri argomei, si usa dare ua preseazioe specifica. I paricolar modo vogliamo raare i poli complessi coiugai semplici. Abbiamo N m s Fs s j s j co j che soo le due soluzioi complesse coiugae. Aggiugiamo ache elle ipoesi che N m s sia u poliomio di grado m a coefficiei reali. Osserviamo ache che il deomiaore può essere riscrio come u prodoo oevole s j s j s j s j s j = =s che ci dice che i realà abbiamo u poliomio a coefficiei reali. Siamo quidi raado della decomposizioe i frai semplici di ua fuzioe razioale a coefficiei reali, il cui deomiaore ha soluzioi complesse coiugae. La prima osservazioe che facciamo è che possiamo raare quesi poli complessi coiugai come poli semplici, possiamo quidi osservare che N Fs m s s j s j Q m R Fs j s j R Fs j s j N.B.: se m Tue le vole che siamo i preseza di ua fuzioe razioale a coefficiei reali, se abbiamo u polo complesso c'è ache il complesso coiugao; Il residuo ei poli complessi coiugai dà dei risulai complessi coiugai. I base a quese ulime osservazioi risula * R Fs j R Fs j Possiamo quidi riscrivere Poli complessi coiugai - Pag.

108 Capuzzo Alessadro - Decomposizioe i frai semplici N Fs m s s j s j Q m R Fs j s j R * Fs j s j se m Per abbreviare u po' le scriure diamo u ome al residuo idicadolo come R Fs j j Riscriviamo uovamee N Fs m s s j s j Q j m s j j s j se m Toriamo adesso al deomiaore comue se m FsQ m js j js j s Osserviamo che a umeraore abbiamo u umero complesso moliplicao per u umero complesso, più il complesso coiugao del primo umero moliplicao per il complesso coiugao del secodo umero. Abbiamo quidi u prodoo che sviluppao si semplifica molo facilmee se m FsQ m s s Riscrivedo il risulao fiale oeuo abbiamo se m FsQ m s s s Come già acceao, abbiamo fao la faica di preseare la osra fuzioe soo quesa forma sempre i fuzioe di quello che sarà il calcolo dell'airasformaa di Laplace. Vediamo qualche esempio. s Fs s 4 s3 Vogliamo decomporre la fuzioe i frai semplici, evideemee dobbiamo prima vedere che ipo di sigolarià polari ha. Il primo passo è quidi sicuramee vedere dove si aulla il deomiaore s43 j3 Il deomiaore ha due zeri complessi coiugai, quidi la osra frazioe ha due poli complessi coiugai (è facile osservare che il deomiaore o si aulla i j3. Osserviamo acora che il umeraore è di grado iferiore al deomiaore (o abbiamo quidi il ermie poliomiale). Riprededo la se m FsQ m s s s Poli complessi coiugai - Pag.3

109 e ricordado che j Capuzzo Alessadro - Decomposizioe i frai semplici soo le due soluzioi complesse coiugae mere il residuo è così espresso R Fs j j Possiamo scrivere Fs s s 9 3 s 9 Noazioe che ra l'alro ci permee di idividuare al volo i poli della fuzioe. Calcoliamo adesso il residuo el puo j che el osro caso è j3. A al fie dobbiamo ricordare la formula per il calcolo dei residui i poli del primo ordie. Se ricordiamo il meodo più semplice, quado la fuzioe si preseava i forma frazioaria era predere il umeraore e la derivaa del deomiaore. Abbiamo s R Fs j3 s4 s j3 Risula 5 7 e sosiuedo i risulai oeui abbiamo s Fs s s 9 j3 4 j64 4 j3 j6 7 j5 5 j7 j Ricordiamo ifie di sare aei, proprio al fie degli uilizzi fuuri, di o semplificare uleriormee (ad esempio moliplicado -4 e 3)e di lasciare il risulao ella forma oeua. s Fs s s Vediamo dove si aulla il deomiaore s j Ivi il umeraore o si aulla quidi siamo i preseza di due poli semplici complessi coiugai. Osserviamo che umeraore e deomiaore hao lo sesso grado quidi q queso puo applichiamo la formula Fs s s 4 s 4 Calcoliamo il residuo del polo semplice complesso uilizzado il meodo di fare la derivaa del deomiaore. A Poli complessi coiugai - Pag.4

110 R Fs j s Capuzzo Alessadro - Decomposizioe i frai semplici 4 ss j 4 4 j j 4 Il residuo è u umero reale, sosiuedo abbiamo Fs s s 4 Vediamo adesso u esempio che racchiuda ui gli argomei che abbiamo raao circa la decomposizioe i frai semplici. Fs 3 s5 7 s 3 s Vediamo iaziuo quali soo le sigolarià della fuzioe s 3 ord. è uo zero del 3 per il deomiaore e o aulla il umeraore: polo del s, j poli semplici complessi coiugai. Vediamo qual'é l'espressioe della decomposizioe. Prima di uo osserviamo il grado di umeraore e deomiaore: soo di pari grado per cui comparirà ua cosae q3. Prediamo adesso i cosiderazioe il polo del 3 ordie ello zero. Effeuare la decomposizioe di ua frazioe avee u polo del 3 ordie sigifica rirovarsi 3 addedi R s Fs s 3 R sfs R Fs s s Prediamo adesso i cosiderazioe i poli semplici complessi coiugai ricordado che e riscriviamo la decomposizioe per essi s s s Abbiamo quidi Fs 3 s5 7 s 3 s 3 R s Calcoliamo ui i residui Fs s 3 R sfs s Polo semplice, prediamo la pare aaliica R R s Fs 3 s s5 7 s s 7 ss R Fs s s s s Poli complessi coiugai - Pag.5

111 Capuzzo Alessadro - Decomposizioe i frai semplici Per u polo doppio, deriviamo la pare aaliica: R sfs R 3 s 5 7 d 3 s s4 s 4 s3 s 5 7 ds s s s s 4s Per u polo riplo, deriviamo due vole la pare aaliica: R Fs R 3 s d 3 s ds s s 7 s 3 s Per u polo semplice, deriviamo il deomiaore: R Fs j 3 s5 7 3 j7 s 4 6 s s j j oeiamo, come risulao fiale Fs 3 s5 7 s 3 s 3 7 s 3 7 s 7 s s 3 s s Poli complessi coiugai - Pag.6

112 Capuzzo Alessadro - Disribuzioi Disribuzioi Le disribuzioi voglioo essere ua geeralizzazioe delle fuzioi, cioè si vuole poer pesare le fuzioi come sooisieme delle disribuzioi le quali, ello sesso empo, compredoo ache oggei uovi. Deo diversamee, si fa i modo che le proprieà che avevao le fuzioi e ue le operazioi che si poevao fare su di esse, vegoo erediae ali e quali dalle disribuzioi che e permeoo però di uove. Le disribuzioi vegoo idicae co il simbolo '. Vogliamo sudiare le disribuzioi su re aspei Fuzioali Limii Derivae Fuzioali Vogliamo prima di ogi cosa pesare ad ua fuzioe come ad u fuzioale. Suppoiamo di avere la fuzioe f. Pesarla come u fuzioale sigifica pesarla iseria el seguee iegrale f d Ovviamee bisogerà supporre che f abbia deermiae caraerisiche, per esempio, ali che l'iegrale abbia seso. Lo sesso deve valere per la fuzioe che viee defiia fuzioe di prova, ed appariee ad u isieme che viee deo isieme delle fuzioi di prova, simboleggiao da ua Isieme che ha la caraerisica di coeere solo fuzioi ifiie vole derivabili e ulle all'ifuori di u cero iervallo fiio. Fuzioi di queso ipo o dao essu problema di iegrazioe. La ragioe per cui diamo la defiizioe di fuzioale a queso iegrale è che ci permee di associare ad ua cera fuzioe di prova, u umero reale. I queso caso siamo parii da ua fuzioe f e l'abbiamo pesaa come fuzioale, ma i realà ci soo dei fuzioali sulle fuzioi di prova che o soo descrii da essua fuzioe e che soo quidi dei uovi oggei. Il più imporae è il seguee d L'oggeo o è ua fuzioe, perché o esise essua fuzioe ale che se fosse sosiuia ad esso ell'iegrale, ques'ulimo o perderebbe di sigificao. Queso uovo oggeo viee defiio dela di Dirac. Limii (el seso delle disribuzioi) Cosa vuol dire che ua successioe di fuzioi f ede ad ua disribuzioe f Limii (el seso delle disribuzioi) - Pag.7

113 Capuzzo Alessadro - Disribuzioi per che ede ad ifiio, el seso delle disribuzioi? f f Per dare ua giusa ierpreazioe a quesi simboli bisoga pesare a ua disribuzioe, ovvero u fuzioale f come ad f d che, come abbiamo scrio sopra, fissaa ua fuzioe di prova, dà come risulao u umero. Quidi la osra successioe di fuzioi divea ua successioe umerica, della quale facciamo il limie per che ede ad ifiio, e queso è il limie el seso delle disribuzioi. Quello che oeiamo, i qualche caso sarà acora ua fuzioe, i alri casi sarà u uovo fuzioale del limie. f d f d f ale che, applicao a, dia come risulao lo sesso risulao Vediamo, co u esempio, cosa succede prededo ua famiglia di fuzioi e facedo il limie i queso uovo seso (è imporae predere delle fuzioi che edao a dei uovi oggei, i modo da farci capire il sigificao di quesi oggei per molo grade). Cosideriamo la seguee famiglia di fuzioi f Rappreseiamo alcue di quese fuzioi molo grade Quesa è duque ua famiglia di fuzioi rappreseaa graficamee co dei reagoli dove, all'aumeare di, la base si resrige e l'alezza aumea. Possiamo dire che queso ipo di fuzioi è caraerizzao dalle seguei codizioi: la fuzioe ha il suo massimo quado ede a più ifiio, ed è raggiuo ell'origie l'iegrale f d della fuzioe, alro o è che l'area del reagolo disegao dalla fuzioe sessa, che ha come base, Limii (el seso delle disribuzioi) - Pag.8 e come alezza e vale.

114 Capuzzo Alessadro - Disribuzioi Se oi prediamo u allora lim f Quese re soo iformazioi qualiaive su quesa famiglia di fuzioi, che come vedremo, ede ad ua paricolare disribuzioe, che è la dela di Dirac. Ovvero f Dimosrare queso, sigifica che se oi pesiamo alla fuzioe come fuzioale, il suo limie el seso delle disribuzioi ede alla dela di Dirac: f d f d ovvero : si abbia f d Bisoga quidi riuscire a simare quesa differeza, e grazie alle re iformazioi qualiaive che abbiamo dao prima, è possibile rederla piccola quao si vuole, quidi miore di. Sfruado la secoda di quelle osservazioi, che diceva che f d, possiamo riscrivere la codizioe di validià del limie moliplicado per, ovvero f d f d possiamo adesso riscrivere il uo come u solo iegrale f d osservado adesso che f fuori dall'iervallo, u iegrale i ale iervallo, l'iegrale si riduce ad f d Noi sappiamo che il valore assoluo di u iegrale è miore o uguale all'iegrale dei valori assolui, sappiamo iolre che la fuzioe f i queso iervallo vale, quidi possiamo scrivere f d d Al crescere di, la differeza si fa sempre più piccola (si resrigoo gli esremi dell'iegrale), ededo a zero per che ede a più ifiio. E' quidi possibile rovare u sufficieemee grade da soddisfare la relazioe daa. Abbiamo quidi ua Limii (el seso delle disribuzioi) - Pag.9

115 Capuzzo Alessadro - Disribuzioi famiglia di fuzioali che approssimao la dela di Dirac. Ma quesa o è l'uica famiglia di fuzioi che lo fa. Vediamo adesso alri esempi di fuzioi il cui limie el seso delle disribuzioi ede alla dela di Dirac. Prediamo f 5 Il suo grafico, per =, è quello idicao a desra, mere se facciamo crescere, ci accorgiamo che l'adameo del grafico è sempre più allugao, come idicao ella figura soo per =5. Cerchiamo adesso di vedere le caraerisiche di quesa fuzioe. il massimo della fuzioe è ello zero f f l'iegrale d, pesado ad u cambio di variabile, divea d arcg Se oi prediamo u allora lim f Tue quese caraerisiche soo del uo aaloghe a quelle della famiglia di fuzioi sudiaa i precedeza, ed aalogamee si dimosra che : si abbia f d e queso sigifica, come già viso, che f U alro esempio, ra l'alro molo imporae elle applicazioi, di ua famiglia di fuzioi che el seso delle disribuzioi ede alla dela di Dirac, è il seguee Limii (el seso delle disribuzioi) - Pag.

116 Capuzzo Alessadro - Disribuzioi f e (famiglia delle fuzioi gaussiae, oa i saisica... ) che ha u grafico molo simile alla precedee (ache se ques'ulima decresce più rapidamee). Lo sudio delle caraerisiche di quesa famiglia di fuzioi ci pora alle seguei affermazioi il massimo della fuzioe è ello zero f f l'iegrale e d, pesado ad u cambio di variabile, divea e d (o è comuque u iegrale calcolabile elemearmee...) Se oi prediamo u allora lim f Prediamo adesso i cosiderazioe ua famiglia di fuzioi che ha caraerisiche leggermee diverse dalle precedei, ma che ha comuque ua grade imporaza elle applicazioi. se f Il suo grafico è quello mosrao elle figure, e possiamo osservare che all'aumeare di, si ifiiscoo le oscillazioi. 6 Sudiamoe le caraerisiche Per quao riguarda il suo puo di massimo, la prima cosa che bisoga osservare è che ell'origie la fuzioe, secodo lo sudio classico del domiio, o esise. I realà si è prolugabile per coiuià e vale lim se l'iegrale d I queso caso la proprieà è u po' diversa dalle precedei e fa ierveire gli iegrali b se di fuzioi di queso ipo, abbiamo a d co ab oppure lim Limii (el seso delle disribuzioi) - Pag.

117 Capuzzo Alessadro - Disribuzioi ba Co quese re codizioi, aalogamee a quao abbiamo viso egli esempi precedei, si riesce a dimosrare che f Derivae disribuzioali Iroduciamo ua uova forma di derivaa, ovvero quado ua fuzioe è derivabile, sarà sempre valido il classico modo di derivare, ma per quado o lo è, queso uovo modo ci permeerà di derivare giugedo a dei uovi oggei, che soo le disribuzioi. Pesiamo di avere ua fuzioe a cui sia associabile u fuzioale, che sia derivabile i seso ordiario f d la cui derivaa, calcolabile i modo ordiario, è iegrabile per pari f ' d f f 'd ricordado adesso che la fuzioe di prova è diversa da zero solo i u cero iervallo limiao, risula f, quidi f ' d f 'd Quesa uguagliaza ci permee di irodurre le derivae disribuzioali. Se cosideriamo ifai il primo membro come derivaa di f, el caso i cui o sia possibile calcolarla, perché f o è derivabile, essedo ivece ifiie vole derivabile per defiizioe, il secodo membro è sempre calcolabile e può essere defiio, essedoci uguagliaza, come la derivaa, el seso delle disribuzioi, di f. Vediamo degli esempi. Prediamo la fuzioe a gradio uiario, co la quale è bee familiarizzare perché molo uilizzaa, u (il valore per = o è imporaissimo) Derivae disribuzioali - Pag.

118 Capuzzo Alessadro - Disribuzioi Essa ha il seguee grafico e si vede subio che ha ua discoiuià di ipo salo ( specie) ell'origie, quidi o è derivabile. Ci chiediamo allora se è possibile provare a fare proprio la derivaa el seso delle disribuzioi. Per far queso la prima cosa che dobbiamo fare è pesare ad u' come fuzioale. Ovvero u ' u ' d u 'd I queso modo divea possibile derivare, el seso delle disribuzioi, la fuzioe gradio, perché il secodo membro è perfeamee calcolabile. Osservado adesso che u è ulla per e vale per, possiamo scrivere u ' d 'd d Possiamo quidi cocludere che il comporameo i ambio disribuzioale di u' è uguale a quello della dela di Dirac. Tuo queso discorso ci pora sempre più a poer maeggiare le disribuzioi come se fossero delle fuzioi. Se vogliamo rappreseare graficamee la dela di Dirac dobbiamo uilizzare la seguee covezioe: si disega ua freccia el puo dove è ceraa, la cui lughezza è pari al suo coefficiee moliplicaivo. Vedi figura. Vogliamo adesso forire alcue regole praiche per il calcolo delle derivae el seso delle disribuzioi, che ci sarao d'aiuo el fare poi gli esercizi. No le dimosreremo, ache se soo rigorosamee dimosrabili, ci limieremo ad elecarle. Iaziuo dobbiamo rovare il modo per disiguere la derivaa classica da quella el seso delle disribuzioi. Idicheremo co f ' c la derivaa classica f ' D la derivaa el seso delle disribuzioi u ' se f ' c allora f ' c f ' D Quesa è ua delle ragioi per cui pesiamo alle disribuzioi come ad u'esesioe delle fuzioi, ifai uo quello che ha seso elle fuzioi, o varia ed ha seso elle disribuzioi, mere cose che o hao seso elle fuzioi classiche, rovao sbocco i uovi oggei el seso delle disribuzioi. suppoiamo che f abbia i u puo agoloso (ricordiamo che u puo agoloso è u puo dove la fuzioe è coiua ma ha due derivae disie), quidi la derivaa i seso classico o esise. Esise ivece la derivaa el seso delle disribuzioi ed è ua fuzioe co ua discoiuià di ipo salo, la cui ampiezza (del Derivae disribuzioali - Pag.3

119 Capuzzo Alessadro - Disribuzioi salo) è daa dalla differeza della derivaa desra (el seso classico) di f i e la derivaa siisra (sempre el seso classico) di f i. suppoiamo che f abbia i ua discoiuià di prima specie fiia (u salo, ovvero il limie da desra ed il limie da siisra, esisoo erambi fiii ma soo diversi). Ovviamee o esise la derivaa el seso classico, ma esise el seso delle disribuzioi ed è uguale alla dela di Dirac raslaa i e moliplicaa per ua cosae k che o è alro che l'ampiezza del salo (differeza dei due limii). f ' D k Cosideriamo la seguee fuzioe f Vogliamo fare la derivaa e ci chiediamo se esise el seso classico. Adiamo per gradi. Iaziuo siamo sicuri che per la derivaa esise e vale, mere per esise e vale. Ci chiediamo adesso se c'è la derivaa ell'origie. Poremmo verificarlo calcolado il limie del rapporo icremeale, ma esise u eorema che dice che se il limie della derivaa prima i - ed il limie della derivaa prima i + esisoo e soo uguali, allora la derivaa prima i esise e vale esaamee quao i due limii, el osro caso zero. Esisedo la derivaa i seso classico, esise ache la derivaa disribuzioale ed è uguale ad essa. f f ' f ' ' Vogliamo adesso fare la derivaa secoda e chiederci se esise. possiamo osservare che f ' ha ell'origie u puo agoloso che è u puo di coiuià ma o di derivabilià. La prima osservazioe che possiamo fare è che per la derivaa secoda esise e vale zero, per esise e vale uo, l'origie, come già deo, è u puo di discoiuià, per cui la derivaa secoda ell'iero iervallo, el seso classico, o esise. Possiamo ivece affermare che esise el seso delle disribuzioi e grazie alle re regole praiche, possiamo dire quao vale f ' ' D abbiamo u salo di ampiezza i Osserviamo che se proviamo a derivare acora ua vola oeiamo proprio la dela di Derivae disribuzioali - Pag.4

120 Dirac. Capuzzo Alessadro - Disribuzioi Vogliamo adesso imparare a descrivere queso ipo di fuzioi (poliomiali a rai) i ua sola riga, araverso la fuzioe gradio uiario. Risula essere f u f c ' u f D ' ' u f D ' ' ' Cerchiamo adesso di giusificare i passaggi che abbiamo fao, dimosrado che la derivaa classica è uguale alla derivaa el seso delle disribuzioi. u 'd u'd 'd abbiamo olo la u e risreo l'iervallo di iegrazioe, adesso procediamo per pari 'd 'd osservado adesso che vale zero a più ifiio, abbiamo 'd 'd d ud Possiamo quidi cocludere che u ' u, perché come fuzioali si comporao ello sesso modo. Procededo ello sesso modo si possoo calcolare ache le alre derivae. Adesso vogliamo osservare che le proprieà di derivazioe che cooscevamo ed applicavamo el seso classico permagoo ache el seso delle disribuzioi. Proviamo a calcolare la derivaa ramie quese proprieà. Essedo f u u prodoo possiamo fare f ' u u ' u Derivae disribuzioali - Pag.5

121 Capuzzo Alessadro - Disribuzioi A queso puo si porebbe osservare che qualche coo o ora. Ifai la derivaa sembrerebbe diversa da quella calcolaa precedeemee. Iroduciamo la proprieà di prodoo del dela di Dirac co ua fuzioe coiua che, el seso delle disribuzioi, ci dice che f f che può essere ache espressa i modo geeralizzao per ua dela raslaa f f Iuiivamee possiamo osservare che la dela è ulla ovuque, rae el puo i cui è ceraa, se quidi oi moliplichiamo qualcosa per essa il risulao o può che essere ullo se o el puo i cui è ceraa la dela. Torado alla osra derivaa, essedo che la fuzioe ello zero vale zero, oeiamo f ' u u Se proviamo a fare la derivaa secoda oeiamo f ' ' u'u u 'u u E la derivaa erza è f ' ' 'u' Se adesso provassimo a derivare la dela di Dirac, oerremmo per defiizioe di derivaa el seso delle disribuzioi 'd 'd U alro meodo porebbe essere sosiuire la dela co delle fuzioi che la approssimao (ad esempio le gaussiae), che soo derivabili e quidi derivare esse. Quello che ci ieressa adesso è meere i evideza le proprieà della dela di Dirac. Abbiamo già viso che f f Ci chiediamo adesso quao vale f '. Pariamo da f ' ed applichiamo le proprieà della derivaa del prodoo. f ' f ' f ' Osserviamo adesso che f f che derivaa, essedo f ua cosae, divea f ' f ' f ' ifai abbiamo ua fuzioe che moliplica la dela oeiamo quidi f ' f ' f ' f ' f ' f ' Derivae disribuzioali - Pag.6

122 Capuzzo Alessadro - Disribuzioi L'uica codizioe idispesabile è che f abbia derivaa prima coiua. Modelli (igresso - uscia) e y Possiamo dire che u modello si presea come i figura ed è ua sora di fuzioe, si ha ifai y e Cerchiamo di caraerizzare i modelli araverso delle proprieà U modello è doao di coiuià se risula lim X D ' lim X U modello è doao di liearià, se risula a x b x a x b x Se u modello o varia la sua risposa el empo, si dice che gode di ivariaza per raslazioi emporali U modello è doao di causalià se risula x x, ovvero, se ua fuzioe dà risposa ulla prima dell'isae zero, ache il modello ad essa applicao dà risposa ulla prima dell'isae zero. Abbiamo viso che f f Prodoo di covoluzioe ovvero la dela di Dirac moliplicaa ad ua fuzioe selezioa di essa solao il valore della fuzioe ello zero (o meglio el puo i cui è ceraa la sessa dela). E' chiaro che raslado la dela di Dirac si ha f a f a a Abbiamo ache viso che f ' f ' f ' Ache quesa proprieà può essere raslaa f 'a f a 'a f 'a a Vediamo qualche alra proprieà del dela di Dirac (la dela è ua disribuzioe pari) Prodoo di covoluzioe - Pag.7

123 Capuzzo Alessadro - Disribuzioi Riassumiamo quidi le proprieà della dela di Dirac che abbiamo fi qui viso f f co f coiua f ' f ' f ' co f ' coiua (la dela è ua disribuzioe pari) Vediamo ua uleriore proprieà, che per ora chiameremo proprieà *. Suppoiamo di avere il seguee iegrale X d Ua prima osservazioe che facciamo è che la dela è ua disribuzioe pari, quidi risula essere Se poi applichiamo la proprieà del prodoo della dela abbiamo X d X d X Se ierpreiamo al corario il risulao appea oeuo, possiamo osservare che u segale può essere descrio da u iegrale el seguee modo X X d Se adesso oi prediamo u modello applicao ad u segale, e descriviamo ale segale secodo la forma che ci cosee la proprieà * della dela, el seguee modo e e d Suppoiamo adesso che sia coiuo e lieare e ricordado che i realà u iegrale è il limie di ua sommaoria possiamo scrivere e e d e d Il modello applicao ad ua fuzioe può duque essere cosiderao come il prodoo ra quesa fuzioe ed il modello sesso applicao alla dela. Suppoiamo adesso di cooscere le rispose dae dal modello applicao alla dela e di avere h, i al caso risula e e d eh,d Suppoiamo adesso che abbia ache la proprieà di ivariaza el empo, cioè si ha h risula allora e eh,d ehd Prodoo di covoluzioe - Pag.8

124 Capuzzo Alessadro - Disribuzioi e queso ci fa compredere che, per sudiare la risposa che dà u modello applicao ad u segale, è sufficiee sperimeare ua sola vola la risposa che il modello dà, madadogli i igresso proprio la dela di Dirac, o ua sua approssimazioe, i modo da cooscere h. Fao queso, o ci resa che risolvere l'iegrale ehd, che viee defiio prodoo di covoluzioe che si riscrive ache come ehdeh (si legge e() covoluo co h()) Facciamo degli esempi. Suppoiamo di avere u modello che, applicaavi la dela di Dirac come segale d'igresso, ha dao come risposa (h()) u gradio uiario. Suppoiamo di applicarvi come segale d'igresso proprio il gradio uiario. La risposa del modello sarà il seguee prodoo di covoluzioe uu che per defiizioe è uguale a uu uud Cerchiamo di capire quao vale queso iegrale sudiado l'iegrado per prima e dopo. La fuzioe u vale zero per ed uo per La fuzioe u vale uo per e zero per, essedo egaivo, vale uo per e zero per. Essedo l'iegrado il prodoo di quese due fuzioi, esso è sempre ullo. Uilizzado la fuzioe gradio uiario possiamo quidi riscrivere l'iegrale, per specificare che per vale zero, el seguee modo uuu uud La fuzioe u vale zero per ed per La fuzioe u vale uo per e zero per, essedo posiivo, vale uo per e zero per. Avremo quidi u iervallo, ovvero l'iervallo, i cui il loro prodoo vale. Riassumiamo le possibili siuazioi Prodoo di covoluzioe - Pag.9

125 Capuzzo Alessadro - Disribuzioi u u u u Possiamo risolvere l'iegrale uudu du Il grafico di u u è quidi quello illusrao a fiaco. uu Proviamo adesso a calcolare uusi Applicado la defiizioe di prodoo di covoluzioe si ha uusi uusid iegrale che, facedo lo sesso ipo di osservazioi fae ell'esempio precedee si riduce al seguee u siducos ucos cosucos Il grafico sarà il seguee Prodoo di covoluzioe - Pag.

126 Capuzzo Alessadro - Disribuzioi Vediamo u alro esempio uue L'iegrale vale uue uue d Possiamo osservare che il faore u u vale solo ell'iervallo,. Di faori del geere se e fa spesso uso e predoo il ome di pora ; si oegoo appuo facedo la differeza ra due gradii uiari diversamee raslai. L'iegrale si riduce duque a uue d e de d e e = = e e e Proprieà del prodoo di covoluzioe Abbiamo u problema di esiseza. Osserviamo ifai che el prodoo di covoluzioe ierviee u iegrale ra meo ifiio e più ifiio, duque u iegrale improprio. Ci sarao evideemee dei problemi di covergeza, oppure dei problemi di sigificao come disribuzioe o come fuzioale associao a quel relaivo iegrale. I due casi il prodoo di covoluzioe xh è sempre defiio: - se x per h per Proprieà del prodoo di covoluzioe - Pag.

127 Capuzzo Alessadro - Disribuzioi i quao si riduce ad u iegrale ra e. (lo abbiamo viso ei primi due esempi del paragrafo precedee) - se x per a b i quao si riduce ad u iegrale ra a e b. (lo abbiamo viso el erzo esempio) [foruaamee elle applicazioi spesso ci si rova i uo di quesi due casi, o abbiamo quidi grossi problemi di queso ipo] Il prodoo di covoluzioe è commuaivo. xhhx I alcui casi il prodoo di covoluzioe o è associaivo xyex ye Il prodoo di covoluzioe è associaivo se ui i segali che iervegoo soo ulli per <. Esise l'elemeo uià: è la dela di Dirac x x x axa (se la dela è raslaa viee raslao il segale) La covoluzioe rispea la causalià, cioè se si hao x per y per a allora x y per a Per derivare il prodoo di covoluzioe si deriva uo dei due faori. d xyx 'yx y ' d Proprieà del prodoo di covoluzioe - Pag.

128 Capuzzo Alessadro - Trasformaa di Fourier Trasformaa di Fourier Defiiamo come rasformaa di Fourier di u segale x la seguee x xe j d Ovviamee è ecessario che l'iegrale abbia seso, ovvero sia covergee e calcolabile. Il valore rappresea la frequeza agolare e può ache essere espresso come f. Il risulao dell'iegrale è ua uova fuzioe ella variabile e viee così espresso x xe j d X No solo di fuzioi, si fa la rasformaa di Fourier, ma ache di disribuzioi, quidi, pesado alle disribuzioi come al limie di ua successioe di fuzioi, abbiamo lim x lim x X D ' D' Vediamo degli esempi imporai di rasformaa di Fourier. Trasformaa della pora xu aua La fuzioe è ua pora di ampiezza a e può essere ache riscria el seguee equivalee modo xu aua p a a a Vogliamo calcolare la rasformaa di Fourier: xu aua u auae j d il quale è u iegrale abbasaza semplice da calcolare, i quao, ricordado le proprieà della pora, può essere riscrio el seguee modo x a a e j d a j e ja j e ja e j a Quesa è la rasformaa di Fourier che cercavamo. Proviamo adesso a scriverla i u'alra forma operado sugli espoeziali Trasformaa della pora - Pag.3

129 Capuzzo Alessadro - Trasformaa di Fourier x j e j a e ja j e ja e ja si a j sia j Vediamo i u grafico l'adameo di quesa fuzioe, molo imporae, dea pora. a a Trasformaa della campaa razioale Cosideriamo la seguee famiglia di segali (dipedei dal paramero ) x I quali grafici, al variare di soo i seguei 7 4 Vogliamo fare la rasformaa di Fourier per fissao, ovvero x e j d Queso è u iegrale abbasaza complesso da calcolare araverso il meodo radizioale, ma se ricordiamo il capiolo svolo circa il calcolo degli iegrali impropri araverso il meodo dei residui, ricorderemo sez'alro che è già sao affroao. Se oi pesiamo di esedere la variabile reale al campo complesso, el seguee modo Trasformaa della campaa razioale - Pag.4

130 Capuzzo Alessadro - Trasformaa di Fourier z jy, l'iegrale improprio si può fare co i residui. No dimeichiamo comuque che il risulao dipede dal sego di, dobbiamo disiguere i due casi. Per brevià, riscriviamo l'iegrado el seguee modo F z Abbiamo z e j z x d e j j R Fz j =... = e j R Fz j =... = e Possiamo riscrivere il risulao oeuo i maiera più semplice ed efficace el seguee modo x e X Vediamo il grafico della rasformaa di Fourier 7 4 Osserviamo che al crescere di, ci si avvicia sempre più alla rea y. Trasformaa della dela di Dirac Vogliamo fare la rasformaa di ua disribuzioe molo imporae X La prima cosa che va dea è che o è possibile fare la rasformaa di ua disribuzioe. Dobbiamo quidi pesare di approssimare la dela co ua successioe di fuzioi, il cui limie el seso delle disribuzioi ci dia proprio la dela di Dirac, così facedo poremo rasformare ali fuzioi e poi fare il limie del risulao oeuo (sempre el seso delle disribuzioi). La prima cosa da fare è duque scegliere ua famiglia di fuzioi che approssimi la dela. Scegliamo proprio la successioe dell'esempio precedee. Possiamo ifai osservare, come abbiamo viso quado abbiamo parlao della dela, che Trasformaa della dela di Dirac - Pag.5

131 lim D ' Capuzzo Alessadro - Trasformaa di Fourier Fare la rasformaa di Fourier della dela di Dirac, è quidi possibile el seguee modo lim D ' lim D' Il calcolo di ali rasformae è sao fao ell'esempio precedee, possiamo quidi uilizzarlo e sosiuire lim e D ' Osservado il grafico di ali rasformae abbiamo viso che al crescere di ci si avviciava sempre più alla rea y. Quidi la rasformaa di Fourier della dela di Dirac è la fuzioe cosae uguale ad. x Trasformaa della cosae A queso puo bisoga sare molo aei perché, oosae ci roviamo di froe ad ua semplice fuzioe cosae, o è possibile fare la rasformaa come fuzioe, ma bisoga ecessariamee erare ell'ambio disribuzioale. Vediamo cosa succederebbe se provassimo a svolgere l'iegrale seza predere queso accorgimeo. Oerremmo u iegrale che o coverge, ifai x e d j j e j Osserviamo adesso che e j è u espoeziale complesso, o u espoeziale decrescee, e va riscrio come segue x j e j j cossi Possiamo adesso osservare che il risulao oeuo o esise, quidi l'iegrale o coverge. Siamo obbligai ad erare i ambio disribuzioale, dobbiamo cercare ua famiglia di fuzioi che eda ad uo. Possiamo predere la seguee famiglia di fuzioi. x e D ' Dovremo quidi calcolare la rasformaa di quesa famiglia di fuzioi e poi passare al limie el seso delle disribuzioi. Vediamo prima la rasformaa: e e e j d E' opporuo spezzare queso iegrale i due iegrali ra meo ifiio e zero e ra zero e più ifiio, così da poer ogliere il modulo e semplificare i calcoli, el seguee modo Trasformaa della cosae - Pag.6

132 e = j j e = j Capuzzo Alessadro - Trasformaa di Fourier e j d e j j d e j j e j j j j d e d = j j = Osserviamo che gli espoeziali, pur essedo complessi, edoo ad uo per che ede a zero, mere edoo a zero per che ede a più o meo ifiio i quao soo modulai i ampiezza. Abbiamo quidi effeuao il calcolo della rasformaa di Fourier che risula essere X Se oi adesso la riscriviamo el seguee modo X possiamo osservare che la pare cerchiaa corrispode alla famiglia delle campae razioali che per che ede a più ifiio edoo alla dela di Dirac el seso delle disribuzioi. Cocludedo abbiamo X Airasformaa di Fourier Suppoiamo di avere la rasformaa X di u segale x che però o coosciamo. Coosciamo appuo solo la ua rasformaa e vogliamo sapere, di quale fuzioe. Passare dalla rasformaa alla fuzioe di cui essa è la rasformaa, è possibile araverso l'operazioe di airasformazioe, ovvero facedo l'airasformaa di Fourier. Quesa si calcola el seguee modo x Xe j d Dobbiamo ovviamee porci el caso i cui l'iegrale coverge. Per dimosrare la formula dell'airasformaa, possiamo riscrivere la rasformaa ella sua espressioe geerale e sosiuirla ell'espressioe dell'airasformaa, come segue x Xe j d xe j de j d a queso puo, la prima cosa a cui dobbiamo sare aei è che la variabile è d'iegrazioe per l'iegrale iero, ma o per quello esero, dove è ua cosae. Per o fare cofusioe possiamo cambiargli ome ell'iegrale iero (uilizzeremo ) x xe j de j d Airasformaa di Fourier - Pag.7

133 Capuzzo Alessadro - Trasformaa di Fourier abbiamo così u iegrale che può essere viso come u iegrale doppio e così riscrio x xe j e j d d xe j d d = = x e j dd A queso puo il calcolo dell'iegrale iero risulerebbe complicaissimo (o dimeichiamo che abbiamo a che fare co espoeziali complessi), ma se lo guardiamo i ambio disribuzioale possiamo osservare che alro o è che la rasformaa della fuzioe cosae uguale ad uo. e j d Possiamo quidi scrivere x xd xdxx Abbiamo oeuo u prodoo di covoluzioe, ma essedo la dela l'elemeo uià di ale prodoo, l'uguagliaza è verificaa. Proprieà della rasformaa di Fourier Le proprieà della rasformaa di Fourier soo molo imporai. Per capire l'imporaza facciamo u paragoe co le derivae: esse soo sae irodoe come limie del rapporo icremeale, e dopo avere calcolaa qualcua i queso modo, e soo sae irodoe le proprieà (derivaa di ua somma, derivaa di u prodoo, derivaa di ua fuzioe composa, ec.), uilizzado le quali, isieme alle poche derivae calcolae come limie del rapporo icremeale, siamo sai i grado di operare la derivazioe. Aalogamee faremo adesso co le rasformae. Proprieà di liearià. La rasformaa di Fourier è lieare, ovvero risula a x b ya x b x Esempio di rasformaa di Fourier calcolaa co la proprieà di liearià. 5u u 7 Ricoosciamo ra gli addedi fuzioi di cui abbiamo già calcolao la rasformaa: abbiamo ua pora di ampiezza ed ua campaa razioale. Sfruado la proprieà di liearià possiamo adare a predere i risulai già oeui ed iserirli el osro calcolo 5u u 7 5 p 7 si 5 7e Proprieà della rasformaa di Fourier - Pag.8

134 Capuzzo Alessadro - Trasformaa di Fourier Iviiamo il leore, se o le ricorda, ad adarsi a rivedere le rasformae uilizzae. Le prossime due proprieà le sudieremo i coppia i quao vi è ua cera simmeria ra esse. - Traslare el domiio dei empi sigifica moliplicare per u espoeziale complesso el domiio delle frequeze - Traslare el domiio delle frequeze sigifica moliplicare per u espoeziale complesso el domiio dei empi Proprieà di raslazioe el empo Suppoiamo che la seguee fuzioe abbia la seguee rasformaa x X Suppoiamo adesso di voler fare la rasformaa di Fourier di ua raslaa a desra della osra fuzioe. La proprieà di raslazioe el domiio dei empi ci dice che essa è uguale a x e j X Esempio di rasformaa di Fourier calcolaa co la proprieà di raslazioe el domiio dei empi. uu5 p 5 5 Abbiamo ua pora di ampiezza 5 o ceraa rispeo all'asse vericale ma raslaa a 5 desra di. Applicado la proprieà di raslazioe el domiio dei empi possiamo scrivere p 5 5 e 5 j p 5 La rasformaa di Fourier della pora è ua delle rasformae fodameali che coosciamo, o ci soo duque problemi a scrivere 5 e j 5 si 5 p 5 e j Che è la osra rasformaa, voledola poi scrivere i maiera più compaa, possiamo riscrivere il seo i forma espoeziale 5 e j 5 p 5 e j si e j e j 5 e j j j5 e j Proprieà della rasformaa di Fourier - Pag.9

135 Capuzzo Alessadro - Trasformaa di Fourier Proprieà di raslazioe i frequeza. Suppoiamo ivece adesso di avere u segale che viee moliplicao da u espoeziale, la sua rasformaa risulerà raslaa el domiio delle frequeze, el seguee modo e j x X Esempio di rasformaa di Fourier calcolaa co la proprieà di raslazioe i frequeza. u usi = Possiamo scrivere il seo di come combiazioe di espoeziali complessi oeedo = p e j e j j = applicado la proprieà di liearià abbiamo = j p e j j p e j = possiamo osservare che abbiamo oeuo due rasformae di pore moliplicae per u espoeziale, che provocao ua raslazioe i frequeza. Quese rasformae, grazie alla proprieà di raslazioe i frequeza delle rasformae, sarao le seguei (i queso caso ) = j si j si Suppoiamo che sia oa la rasformaa x X Proprieà di riscalameo La proprieà di riscalameo ci permee, ramie il paramero a, di calcolare (facedo quidi u riscalameo e, el caso di a egaivo, ache ua simmeria) la rasformaa oeua, el seguee modo xa a X a Esempio di applicazioe della proprieà di riscalameo. 3 Ricordiamo che a oi è oa la seguee e Proprieà della rasformaa di Fourier - Pag.3

136 Capuzzo Alessadro - Trasformaa di Fourier ma è sao fao u riscalameo, al poso di c'è 3, quidi applichiamo la proprieà di riscalameo 3 3 e 3 Le prossime due proprieà soo le più imporai e ache ra loro c'è ua cera aalogia, sarà duque bee osservarle co occhio aeo, così da compredere le simmerie e le differeze. Si raa di derivaa el empo e derivaa i frequeza. Salvo u faore moliplicaivo, derivare el empo corrispode a moliplicare per la variabile i frequeza derivare i frequeza corrispode a moliplicare per la variabile el empo. Proprieà di derivaa el domiio dei empi Abbiamo la seguee uguagliaza x ' j X Esempio di applicazioe della proprieà di derivaa el empo. Proviamo a calcolare la rasformaa di Fourier della derivaa di ua pora u 5u5' Vediamo iaziuo come si presea il grafico della fuzioe x x ' Abbiamo ua doppia dela di Dirac. Riscriviamo la rasformaa da calcolare Proprieà della rasformaa di Fourier - Pag.3

137 u 5u5' p' Capuzzo Alessadro - Trasformaa di Fourier che grazie alla proprieà di derivaa el empo può essere così riscria e calcolaa p ' j p j si 5 j si 5 Proprieà di derivaa el domiio delle frequeze Abbiamo la seguee uguagliaza j x X ' Esempio di applicazioe. uu3 Abbiamo ua pora moliplicaa per ua fuzioe di. Per prima cosa dobbiamo riscrivere la fuzioe i modo da poer evideziare u faore j, el seguee modo uu3 j j p 3 3 adesso applichiamo la liearià j j p 3 3 j j p 3 3 la derivaa i frequeza j j p 3 3 j la raslazioe el empo j d d p 3 3 j d d p 3 3 d d e 3 j d p 3 j de 3 si 3 j possiamo adesso scrivere il seo soo forma espoeziale d j de 3 si 3 j j che è la rasformaa di Fourier che si cercava. d d e3 j j d d e3 j 3 j e3 j e 3 j Proprieà di simmeria Suppoiamo di avere u segale di cui ci è oa la rasformaa di Fourier, che è ua fuzioe di variabile reale. Proprieà della rasformaa di Fourier - Pag.3

138 Capuzzo Alessadro - Trasformaa di Fourier x X Per comodià cambiamo il ome della variabile della rasformaa da a e ci poiamo il problema di fare la rasformaa di X. La proprieà di simmeria ci dice che essa sarà X x Abbiamo quidi ua vera e propria simmeria, fao salvo u faore moliplicaivo ed u sego. Esempio di applicazioe della proprieà di simmeria Cosideriamo il segale u u p Abbiamo già viso che la sua rasformaa di Fourier è la seguee p si si Vogliamo adesso, cambiado ome alla variabile della fuzioe, calcolare la rasformaa si di Fourier di Grazie alla proprieà di simmeria o è ecessario fare queso calcolo i quao è sufficiee adare a vedere quale fuzioe ci ha porao a si, el seguee modo si p p ed essedo la pora ua fuzioe pari si p p p La proprieà di simmeria ci ha quidi permesso di calcolare ua rasformaa che o sarebbe saa per iee agevole da calcolare el modo classico. Proprieà di coiugazioe Il problema che ci poiamo è quello di vedere cosa succede rasformado il coiugao di u segale. Suppoiamo di avere u segale a valori complessi di cui ci è oa la sua rasformaa di Fourier x X La proprieà di coiugazioe ci dice che è vera la seguee uguagliaza x * X * Proprieà della rasformaa di Fourier - Pag.33

139 Capuzzo Alessadro - Trasformaa di Fourier Esempio di applicazioe della proprieà di coiugazioe. Ci propoiamo di fare la seguee rasformaa cos j si quesa può essere visa, grazie alla formula di Eulero, el seguee modo cos j si e j * Cerchiamo di ricordarci di cosa è la rasformaa di Fourier di e j di uo raslaa i frequeza: e j e j, abbiamo la rasformaa Del risulao che abbiamo oeuo dobbiamo fare il complesso coiugao e calcolarlo i. Abbiamo cos j si e j * * adesso ci dobbiamo ricordare della proprieà della dela che dice che è ua fuzioe pari ed è quidi possibile cambiare il sego del suo argomeo. Iolre essedo di froe ad ua fuzioe di soli valori reali, il suo coiugao è uguale alla fuzioe sessa cos j si e j * * * Sia il segale x reale e pari. Proprieà di realà e parià U umero complesso è reale quado è uguale al suo complesso coiugao xx * U segale è pari se xx Se adesso facciamo la rasformaa di Fourier dei sigoli membri di quese uguagliaze, abbiamo xx* xx X X * X X riscriviamo i modo più ordiao X X * X X X * X è u riscalameo (di idice -) Quidi possiamo cocludere che se il segale è pari, la sua rasformaa è pari, se u segale è reale, la sua rasformaa è reale. Esempio. Proprieà della rasformaa di Fourier - Pag.34

140 Cosideriamo x p u 5u5 La sua rasformaa di Fourier è si 5 p Capuzzo Alessadro - Trasformaa di Fourier Il segale di pareza è u segale reale e pari, la sua rasformaa di Fourier è il rapporo ra due fuzioi reali dispari, quidi ua fuzioe reale e pari. Proprieà di disparià Sia il segale x reale e dispari. Abbiamo X X * xx* xx X X ovvero X X * X X X * X Si vede che fare l'operazioe di coiugazioe della rasformaa di u segale dispari sigifica fare l'opposo, quidi essa è u immagiario puro. Per cui se u segale è reale dispari, la sua rasformaa è u immagiario puro dispari. Esempio. x p Facciamo la rasformaa. La prima cosa che osserviamo è che abbiamo la variabile come faore moliplicaivo. Facciamo comparire u -j così da poer sfruare la proprieà di derivaa i frequeza p j j p j d d p j d si d j cossi Si vede subio che abbiamo oeuo ua fuzioe dispari che è immagiario puro (c.v.d.). Proprieà del prodoo di covoluzioe Se oi abbiamo da rasformare il seguee prodoo di covoluzioe xy x yd quesa proprieà ci dice che alro o è che il prodoo ordiario delle rasformae Proprieà della rasformaa di Fourier - Pag.35

141 Capuzzo Alessadro - Trasformaa di Fourier xy x yd X Y Esempio. p p' La proprieà del prodoo di covoluzioe ci dice che ale rasformaa è p p' p p' si j si 5 U'alra via per fare quesa rasformaa sarebbe saa fare il calcolo del prodoo di covoluzioe e poi rasformare il risulao. Proprieà del prodoo ordiario Abbiamo viso che la rasformaa di u prodoo di covoluzioe è u prodoo ordiario. La rasformaa di u prodoo ordiario è, fao salvo ua cosae moliplicaiva, u prodoo di covoluzioe. Ovvero x y X Y Esempio. p si si p Alre rasformae Fiora abbiamo fao le rasformae di Fourier della pora, della dela di Dirac, della campaa razioale e della cosae. Quese o soo sufficiei come bagaglio, ci maca la rasformaa del gradio uiario. Per arrivare ad essa e faremo u paio di prologo. Calcoliamo e j d Se osserviamo il segale, per va ad ifiio e l'iegrale o è calcolabile i u ioro dello zero (co meodi elemeari). Per poer calcolare l'iegrale siamo cosrei a passare i campo complesso, poedo l'uguagliaza z jy co pare reale di z. L'iegrale divea, z e j z dz Alre rasformae - Pag.36

142 Capuzzo Alessadro - Trasformaa di Fourier Vediamo che ello zero l'iegrado ha u polo del ordie. Osserviamo adesso che il polo si rova sul cammio d'iegrazioe (ricordiamo che siamo passai ad u iegrale di liea dove la liea è il cammio d'iegrazioe e corrispode all'asse reale). Ricordiamo che quado si rovao delle sigolarià di ipo polare sul cammio di iegrazioe si può dare u sigificao più allargao all'iegrale, che viee defiio del valor pricipale secodo Cauchy e le sigolarià, che appuo si rovao sul cammio di iegrazioe coribuiscoo all'iegrale co mezzo residuo. Siamo quidi el caso i cui si può applicare il lemma di Jorda. Dobbiamo valuare dove ede a zero l'espoeziale e j z e j jy e j y e y segue che se l'espoeziale ede a zero per y se l'espoeziale ede a zero per y Decompoiamo l'iegrale i due rai, uo i cui (ed i queso caso il lemma di Jorda ci dice di chiudere il cammio el semipiao iferiore) ed uo i cui (ed i queso caso il lemma di Jorda ci dice di chiudere il cammio el semipiao superiore) j R f z j j sg j R f z j Vogliamo adesso fare la rasformaa di Fourier della fuzioe sego di. sg rasformaa impossibile da calcolare co l'iegrale e se o si riesce ad uilizzare qualche proprieà delle rasformae, si deve passare alle disribuzioi. Osserviamo però che proprio ell'esempio precedee abbiamo oeuo j sg Possiamo quidi applicare la proprieà di simmeria che ci dice che j sg j sg sg j Osserviamo ache che la fuzioe di pareza era reale e dispari e la sua rasformaa è immagiaria pura e dispari (come impogoo le proprieà delle rasformae). Quesi esempi soo servii per irodurre la Spesso i queso ipo di calcoli fuzioi come vegoo prefisse dai simboli p.f. (pseudo fuzioe) che sao ad idicare proprio che porerebbero ad iegrali o covergei e quidi o calcolabili, i quali vegoo prefissi a loro vola dai simboli v.p. (el seso del valor pricipale) che idicao proprio che devoo essere ierpreai i maiera più allargaa. Alre rasformae - Pag.37

143 Capuzzo Alessadro - Trasformaa di Fourier Trasformaa del gradio uiario Comiciamo a pesare che la fuzioe gradio uiario può essere visa el seguee modo u sg ovvero raslado verso l'alo la fuzioe sego di e dividedola poi per. Possiamo quidi, per fare la rasformaa di Fourier del gradio uiario, sfruare la rasformaa del sego e le proprieà di liearià delle rasformae. Oeiamo u sg sg sg Se oi quidi adiamo a ripredere le rasformae che abbiamo già calcolao oeiamo u j j Osserviamo che la rasformaa di Fourier del gradio ha sia ua pare reale (che è u ermie impulsivo), che ua pare immagiaria, ifai il gradio o è é pari é dispari. Facciamo il seguee esercizio u u Possiamo osservare che si sa richiededo la rasformaa di ua pora, cosa che già coosciamo, ma lo si vuole risolvere diversamee, proprio per imparare a maeggiare le proprieà delle rasformae. Applichiamo la proprieà di liearià u u u u Osserviamo adesso che si voglioo rasformare delle u raslae, applichiamo quidi la proprieà di raslazioe el empo u u u ue j ue j u ue j e j = = u j si j si j si jsi Osserviamo che il risulao o sembrerebbe coicidere co quello che ci aspeavamo. Abbiamo ifai u primo addedo di roppo. Ma proviamo ad ierprearlo: se oi ci ricordiamo la proprieà della dela di Dirac che dice che xx (se x è coiua) ovvero xx ma el osro caso il seo di zero è zero, per cui uo l'addedo è ullo. Trasformaa del gradio uiario - Pag.38

144 Vogliamo risolvere l'equazioe j X Y Capuzzo Alessadro - Trasformaa di Fourier Equazioi el domiio delle disribuzioi NOTA: abbiamo usao la variabile per soolieare il fao che opereremo sulle equazioi proprio el domiio delle frequeze. Siao Y il ermie oo X l'icogia. Se operassimo el campo delle sole fuzioi, risolvere l'equazioe sarebbe semplice: X Y j ma el campo delle disribuzioi la soluzioe è la seguee X Y j k Verifichiamolo: j Y j k Y jk Ricordado che xx si ha j Y j k Y jky jky Si può iolre facilmee dimosrare che per quesa equazioe quelle calcolae soo ue le soluzioi possibili. Cosideriamo adesso u caso più geerale P X Y Se oi avessimo come iformazioe che l'icogia sarebbe X Y P X è ua fuzioe, la soluzioe evideemee ei pui i cui il poliomio si aulla, si avrao delle sigolarià o delle sigolarià apparei. Per rappreseare ue le soluzioi i ambio disribuzioale ivece, dobbiamo comiciare col porci ella seguee ipoesi: P ha soluzioi disie 3... si può allora affermare che ue le soluzioi i ambio disribuzioale soo dae dalla soluzioe i ambio fuzioale sommaa ad dela di Dirac cerae egli zeri del Equazioi el domiio delle disribuzioi - Pag.39

145 poliomio X Y P Capuzzo Alessadro - Trasformaa di Fourier k k k k Dimosriamo adesso che quella sopra è sicuramee ua soluzioe dell'equazioe (o dimosreremo ivece che è ache ue le soluzioi possibili, ache se sarebbe molo semplice farlo). Procediamo iversamee moliplicado la osra soluzioe co il poliomio P P Y P P k P k P k ricordiamo adesso la proprieà della dela x x e applichiamola Y P k P k P k osservado adesso che i ermii si ha Y (c.v.d.) p, p,..., p erao gli zeri del poliomio, e Se ivece ci poiamo ell'ipoesi i cui P ha degli zeri mulipli, comparirao ache delle derivae, ma queso o ci ieressa per il osro corso. Facciamo u esempio di applicazioe, vogliamo fare la seguee rasformaa di Fourier u u Osserviamo che o è u esercizio uovo, lo abbiamo già risolo i due modi diversi: co la defiizioe di rasformaa e araverso la rasformaa della u. Adesso lo vogliamo risolvere proprio ramie le equazioi i campo disribuzioale. Il grafico della fuzioe è la solia pora che ha per derivaa ua somma di due dela di Dirac. Si ha x ' 5 e possiamo osservare che è molo semplice fare la rasformaa di Fourier di x ' perché si raa di rasformare la somma di due dela x ' essedo che si hao delle raslazioi el empo si procede come segue x 5 5 x ' 5 Equazioi el domiio delle disribuzioi - Pag.4

146 x 'e j e j Capuzzo Alessadro - Trasformaa di Fourier ed essedo la rasformaa della dela uguale ad uo x 'e j e j j si Abbiamo così oeuo la rasformaa di Fourier della derivaa prima della osra fuzioe, ma se ricordiamo adesso, la proprieà delle rasformae che dice che x ' j X possiamo scrivere j X j si che è u'equazioe i ambio disribuzioale la quale possiamo risolvere co i meodi che abbiamo viso i queso capiolo, ovvero X j si j k si k No ci resa che da deermiare il valore di k. Possiamo farlo co il seguee ragioameo: se oi siamo sicuri che la rasformaa della fuzioe o è ua disribuzioe, besì ua fuzioe (e lo siamo perché è calcolabile araverso l'iegrale della rasformaa [ifai il segale è ullo all'esero di u iervallo limiao, quidi l'iegrale coverge]) allora possiamo dire che k=. Esempi di rasformae di Fourier Esercizio a x a Si vuole fare la rasformaa di Fourier di u segale che possiamo chiamare riagolo. Il suo grafico è quello riporao i figura e la sua rasformaa può essere faa i moli differei modi. Noi sceglieremo ua srada che o è forse la più semplice, ma può essere isruiva. Vogliamo seguire il procedimeo di fare le derivae grafiche della fuzioe. Possiamo osservare che la fuzioe è coiua, co dei pui agolosi. Esempi di rasformae di Fourier - Pag.4

147 Capuzzo Alessadro - Trasformaa di Fourier x ' a a a Facedoe la derivaa prima avremo quidi delle discoiuià i ali pui, come mosrao i figura, oeedo ua fuzioe coiua a rai. a a a x ' ' a Possiamo ache pesare di fare la derivaa secoda (sempre el seso delle disribuzioi) e vediamo che si oiee ua somma di re dela di Dirac cerae ei re pui di discoiuià, come mosrao i figura, la cui equazioe è la seguee: a x ' ' a a a a a Divea allora molo semplice fare la rasformaa di Fourier del segale x ' ' che risula essere x ' ' a a a a a Ricordado adesso che raslazioe el domiio dei empi vuol dire moliplicazioe per u espoeziale complesso el domiio delle frequeze oeiamo x ' ' a e j a a a e ja ed essedo la rasformaa della dela uguale ad : x ' ' a e j a a a e ja a e ja e ja e j a e j a a Osserviamo che ell'ulimo passaggio si soo ierpreai i re ermii come il quadrao di u biomio. I defiiiva si ha x ' ' e j a e j a a a j si a Applicado la proprieà delle derivae della rasformaa si ha j x ' x ' ' a j si a ovvero, riorado alle equazioi i campo disribuzioale Esempi di rasformae di Fourier - Pag.4

148 x ' a a j si j Capuzzo Alessadro - Trasformaa di Fourier k eveuali ermii impulsivi Ma se adesso oi osserviamo l'adameo della fuzioe x ' vediamo che è ulla al di fuori di u cero iervallo fiio. Siamo duque sicuri che la sua rasformaa di Fourier si può calcolare co l'iegrale e che si raa duque di ua fuzioe, ovvero o soo presei ermii impulsivi, per cui k. Proseguedo si ha j x x ' a x a a j si a j si k j Ma ache i queso caso la fuzioe x vediamo che è ulla al di fuori di u cero iervallo fiio (-a,a). Siamo duque sicuri che la sua rasformaa di Fourier si può calcolare co l'iegrale e che si raa di ua fuzioe, per cui k. Si ha x a a j si 4si a a a x a Esercizio Cosideriamo il seguee segale, che è ua pora moliplicaa per ua rea el seguee modo x p a a Vogliamo calcolare la rasformaa di Fourier. Lo si porebbe fare i vari modi, applicado le proprieà della rasformaa. Noi scegliamo u meodo u po' diverso, sempre per mosrare allo sudee le varie possibilià che ci soo per risolvere quesi esercizi. Esempi di rasformae di Fourier - Pag.43

149 Capuzzo Alessadro - Trasformaa di Fourier a x ' a a Facciamo la derivaa prima disribuzioale del segale, ed è quella mosraa i figura, co due pui di discoiuià ed ua dela di Dirac. Se volessimo rappreseare la derivaa secoda, si avrebbero dei problemi per rappreseare graficamee la derivaa della dela, che comuque qualcuo rappresea co ua freccia spezzaa. a x ' ' a Il suo grafico è duque quello rappreseao i figura e la sua equazioe la seguee x ' ' a a a a'a a a Voledo fare la rasformaa di Fourier di queso segale, la prima cosa che facciamo è applicare la liearià x ' ' a a 'a a a adesso ci dobbiamo ricordare che la rasformaa di ua dela raslaa è la moliplicazioe di u espoeziale per la rasformaa della dela che è. x ' ' a e j a a e j a je j a ja j sia je a x ' ' j sia je ja a Abbiamo oeuo la rasformaa di Fourier della derivaa secoda del osro segale. Risaliamo adesso col solio meodo j x ' x ' ' j sia je j a a j x ' j sia je j a a Ache i queso caso si raa di ua fuzioe (i ermii impulsivi soo ulli), per cui possiamo scrivere x ' j si a j a e ja sia a e j a Risaliamo acora, ricordadoci acora che ache i queso caso i ermii impulsivi soo Esempi di rasformae di Fourier - Pag.44

150 ulli j x x ' j si a j a Capuzzo Alessadro - Trasformaa di Fourier e j a sia a e ja che è la rasformaa di Fourier del segale che ci eravamo proposi. x si a j a e ja j Cosideriamo il seguee segale a x a Esercizio 3 x si a j a e ja j uasia j a e j a j e j a Possiamo osservare che è u segale uguale a quello dell'esercizio precedee, al quale dobbiamo però aggiugere ua u() raslaa i a x p a a ua osserviamo che il prodoo dell'espoeziale per la dela fa = si a j a e ja j e j a j sia j a La rasformaa di Fourier di queso segale sarà duque uguale alla somma della rasformaa oeua ell'esercizio precedee e della rasformaa di ua, ovvero j = Osserviamo adesso che la rasformaa oeua o è ua fuzioe, ma ua disribuzioe. Abbiamo ifai u ermie impulsivo che può essere spiegao dal fao che se oi prediamo il segale iiziale, ci accorgiamo che o era rasformabile araverso l'iegrale, il quale o coverge. Osserviamo adesso che se avessimo ivece voluo risolvere l'esercizio seguedo il meodo precedeemee usao, ci saremmo accori che la derivaa prima disribuzioale del segale è ua pora, la cui rasformaa è la seguee x ' si a a che pora, araverso il meodo delle equazioi disribuzioali, alle seguei j X x ' si a a X si a j a k Seguedo quesa srada però, il problema è che o abbiamo ulla che ci dice quao vale la cosae k (i realà ci sarebbero dei procedimei che ci permeerebbero di darle u valore, ma oi o li affroeremo). Esempi di rasformae di Fourier - Pag.45

151 Vogliamo fare la seguee rasformaa si Meiamo il seo i forma espoeziale si e j e j j Capuzzo Alessadro - Trasformaa di Fourier Esercizio 4 e ricordado la proprieà di liearià oeiamo si e j e j j j e j j e j ricordado adesso che la moliplicazioe per u espoeziale complesso el domiio dei empi dà luogo ad ua raslazioe el domiio delle frequeze, possiamo osservare che dobbiamo fare delle rasformae di e raslarle di, come segue si j e j j e j j j si j Osserviamo che il segale è reale e dispari e la sua rasformaa è immagiaria pura e dispari, così come dicoo le proprieà della rasformaa. Vogliamo fare la seguee rasformaa cos Meiamo il coseo i forma espoeziale cos e j e j Esercizio 5 e ricordado la proprieà di liearià oeiamo cos e j e j e j e j cos e j e j cos Osserviamo che i queso caso il segale di pareza è reale e pari così come la sua rasformaa. Esempi di rasformae di Fourier - Pag.46

152 Vogliamo fare la seguee rasformaa usi Meiamo il seo i forma espoeziale usi u e j e j j e per la proprieà di liearià abbiamo Capuzzo Alessadro - Trasformaa di Fourier Esercizio 6 usi u e j e j j j ue j j ue j la moliplicazioe per espoeziali complessi dà luogo a raslazioe el domiio delle frequeze usi j j j j NOTA: Normalmee si usa sommare gli addedi che o coegoo ermii impulsivi isieme e gli addedi che coegoo ermii impulsivi isieme, come segue usi j Vogliamo fare la seguee rasformaa ucos Meiamo il coseo i forma espoeziale ucos u e j e j Esercizio 7 e procededo come ell'esercizio precedee oeiamo ucos Ovvero j ucos j j Esempi di rasformae di Fourier - Pag.47

153 Capuzzo Alessadro - Trasformaa di Fourier Esercizi iroduivi alle disribuzioi limiae e a crescia lea Vogliamo adesso fare alcui esercizi che ci iroducoo a qualche riflessioe criica sulle rasformae di Fourier e ermiare dicedo quado ua disribuzioe è rasformabile secodo Fourier e quado o. Si vuole rasformare il segale ue Esercizio 8 Comiciamo col rifleere sul paramero, esso è complesso e per fare il grafico del segale dobbiamo resrigere il campo di ale paramero a diversi casi, suppoiamo di predere la sua pare reale e che essa sia maggiore di zero. Allora la rasformaa di Fourier del segale è ue Re ue ue e j d e d j j e j Re Adesso dobbiamo vedere come si compora l'espoeziale per che ede a più ifiio. Ua prima riflessioe da fare è pesare che ha lo sesso comporameo del proprio modulo (essedo u espoeziale complesso). Possiamo quidi, osservado che la pare immagiaria perde di sigificao e che abbiamo fao l'ipoesi che la pare reale di è posiiva, scrivere lim e j lim e Re Torado alla rasformaa possiamo scrivere ue j e j j co Re Vediamo adesso cosa succede se Re. Il segale divea Im j xue e la sua rasformaa è facilmee calcolabile i quao è la rasformaa di ua u raslaa, oppure, voledo vedere l'espoeziale come somma di sei e cosei, si avrebbe la rasformaa di sei e cosei come egli esercizi svoli el capiolo precedee. Esercizi iroduivi alle disribuzioi limiae e a crescia lea - Pag.48

154 Capuzzo Alessadro - Trasformaa di Fourier Vediamo cosa succederebbe se Re. Il grafico risulerebbe quello mosrao i figura, ovvero per si avrebbe u espoeziale crescee. Mere se volessimo compleare il grafico, ovvero icludere ache la pare immagiaria, quidi fare il grafico della fuzioe xue Re e Im j si oerrebbe u'oscillazioe modulaa i ampiezza da u espoeziale crescee e ci si accorgerebbe che la rasformaa di Fourier el caso Re o esise. ue Re ue Re e Im j Re Re Riassumedo le re possibili siuazioi abbiamo Re j ue Im Re j Im NON ESISTE Re Verificao che è delicao a vole capire quado ua rasformaa è calcolabile o o, bisogerebbe però essere i grado di capirlo seza crearsi roppe preoccupazioi, Esercizio 9 Queso esercizio è sreamee legao al precedee. Cosideriamo la fuzioe xue si Esercizi iroduivi alle disribuzioi limiae e a crescia lea - Pag.49

155 Capuzzo Alessadro - Trasformaa di Fourier x Per poer vedere il grafico dobbiamo fare qualche ipoesi sulle cosai che iervegoo, prediamo e vediamo che abbiamo u espoeziale decrescee che modula u seo. Mere se vogliamo fare la rasformaa di Fourier, dobbiamo esprimere il seo come combiazioe di espoeziali complessi, el seguee modo xue e j e j j j ue j j ue j Si vede che erambi gli addedi rierao ella ipologia dell'esercizio precedee, el momeo i cui si vuole fare la rasformaa di Fourier del segale, (sempre che ). Osserviamo adesso che se ivece la rasformaa esise, ma o è calcolabile araverso l'iegrale, besì araverso le proprieà delle rasformae; mere se la rasformaa o esise. Ricapiolado, co la modulazioe di ampiezza da pare di u espoeziale, si hao re casi, - se l'ampiezza è decrescee, la rasformaa esise ed è calcolabile co l'iegrale, - se l'ampiezza è cosae, la rasformaa esise ma o è calcolabile co l'iegrale, - se l'ampiezza è crescee, la rasformaa o esise. Prediamo il segale xue cos Esercizio Meiamoci el caso i cui. Siamo i ua siuazioe aaloga alla precedee. Riscriviamo la fuzioe xue e j e j ue j ue j e vediamo che calcolado la rasformaa di Fourier si oiee j ue cos j Esise i ambio disribuzioale NON ESISTE Esercizi iroduivi alle disribuzioi limiae e a crescia lea - Pag.5

156 Capuzzo Alessadro - Trasformaa di Fourier Disribuzioi limiae Noi sappiamo cos'è ua fuzioe limiaa, è quella fuzioe che, i valore assoluo, è miore di ua cosae, cioè il cui grafico è uo compreso i ua sriscia orizzoale del piao. Nel caso delle disribuzioi le cose si complicao u po', perché c'è la preseza della dela di Dirac che è approssimaa da fuzioi o limiae. Per capire quado ua disribuzioe è limiaa bisoga uilizzare il seguee meodo: si prede la disribuzioe e si fa la covoluzioe co ua fuzioe di prova (ricordiamoci che la fuzioe di prova deve essere ifiie vole derivabile e ulla all'esero di u cero iervallo fiio, per defiizioe) x xd Il risulao di ale prodoo di covoluzioe è ua fuzioe ifiie vole derivabile. Se adesso diamo u ome al prodoo di covoluzioe, ovvero diciamo che h x allora possiamo soseere che se h è limiaa come fuzioe allora x è limiaa i D'. Prediamo come primo esempio la dela di Dirac.... ricordado che la dela è l'elemeo uià del prodoo di covoluzioe. Il risulao del prodoo di covoluzioe è ua fuzioe limiaa, duque ache la dela è ua disribuzioe limiaa. Osserviamo che ache ogi raslaa della dela è ua disribuzioe limiaa: a a NOTA: Il fao di rappreseare ei grafici la dela co ua freccia di be precise dimesioi (l'ampiezza del salo) idica bee la limiaezza della dela, el seso che abbiamo appea viso. Disribuzioi a crescia lea Ua disribuzioe x è emperaa o a crescia lea se esise m ale che x m sia ua disribuzioe limiaa. NOTA: I realà a deomiaore avremmo pouo uilizzare u qualsiasi poliomio, ma quello che abbiamo usao è il più comodo perché o aulla mai il deomiaore. Queso sigifica che la disribuzioe ha ua crescia di ipo poliomiale. Abbiamo appea irodoo le disribuzioi emperae che soo proprio il coeso i cui si opera co le rasformae di Fourier e la ragioe di ciò ci viee daa da u eorema che caraerizza le disribuzioi emperae. Esso dice che Disribuzioi a crescia lea - Pag.5

157 Capuzzo Alessadro - Trasformaa di Fourier Ua disribuzioe x è emperaa se risula xd y co y x m iegrabile i modulo, coiuo e limiao. Se oi ifai vogliamo fare la rasformaa di Fourier di u segale di queso ipo abbiamo x D y e sapedo che y è iegrabile per defiizioe, quidi sempre rasformabile, poi o ci resa che applicare le proprieà delle rasformae. x j D m Y Quidi ua disribuzioe di queso ipo è sempre rasformabile. Treo di impulsi Iroduciamo le rasformae di disribuzioi periodiche, la più sigificaiva delle quali è proprio il reo di impulsi, che è ache ua disribuzioe limiaa. s T T Quesa disribuzioe, che è ua sommaoria di dela di Dirac raslae, ha due caraerisiche imporai: è periodica ovvero s T s T T (oare che è valida la sessa defiizioe di periodicià che si uilizzava per le fuzioi; i queso caso, aziché pesare alle fuzioi si pesa ai fuzioali) è limiaa. Per verificare che effeivamee ci roviamo di froe ad ua disribuzioe limiaa facciamo la covoluzioe co ua fuzioe di prova s T T ricordado che covolvere ua sommaoria vuol dire covolvere ciascu addedo della sommaoria, possiamo scrivere s T T osserviamo adesso che la covoluzioe co ua dela raslaa ci dà la raslaa della fuzioe che covolve la dela, ovvero s T T T s T T T Treo di impulsi - Pag.5

158 Capuzzo Alessadro - Trasformaa di Fourier Ricordiamoci adesso che è ua fuzioe ifiie vole derivabile e diversa da zero i u iervallo fiio. Noi e dobbiamo predere la sommaoria e verificare che o eda mai ad ifiio così da poer verificare che è limiaa. No abbiamo u'iformazioe precisa sul periodo, ci soo comuque due possibili casi: Tba e Tba Nel primo caso la sommaoria sarà daa da u uico addedo, che sarà quello i cui la raslaa, per quel valore della è diversa da zero. Nel secodo caso ci sarao delle sovrapposizioi, ma o porao che essere i umero fiio, così come è fiio il valore dell'iervallo ab. Quidi il risulao della sommaoria o può che o essere il risulao di ua fuzioe limiaa. Vedi grafici. Tab a b Tab a b Cerchiamo adesso di calcolare la rasformaa di Fourier del reo di impulsi. s T T essedo la rasformaa di Fourier lieare, possiamo scrivere s T T T ma la rasformaa di ua raslaa è a oi oa s T T e T j ed essedo la rasformaa della dela uguale ad uo s T e T j Vorremmo adesso poer esprimere la sommaoria i ua forma più chiara. Per far ciò dobbiamo fare alcue osservazioi: La rasformaa di Fourier del reo di impulsi è periodica di periodo. Queso T perché ogi ermie della sommaoria è periodico di periodo. Per verificarlo, T prediamo u ermie sommao al supposo periodo Treo di impulsi - Pag.53

159 Capuzzo Alessadro - Trasformaa di Fourier e T T j e T j e T j e j e T j e T j abbiamo oeuo il ermie di pareza e verificao la periodicià. Ma dire che ogi ermie è periodico di periodo muliplo di ale periodo, quidi ui i ermii soo periodici di periodo T sigifica dire che è periodico di ogi Nulla ci viea di riscrivere la rasformaa facedo u cambiameo di idice come segue s T e T j T j e la quale ideià ci pora a poer scrivere s T e T j e T j e T j e T j e T j ovvero e T j e T j e T j e T j se adesso meiamo i evideza la sommaoria oeiamo e T j e T j! rasf. del reo di impulsi T e T j e T j Si vede quidi che la rasformaa del reo di impulsi soddisfa quesa equazioe disribuzioale. Quado ei capioli precedei abbiamo affroao le equazioi disribuzioali, abbiamo viso che come faore moliplicaivo dell'icogia (che adesso è la rasformaa del reo di impulsi) c'era u poliomio, mere adesso abbiamo il ermie e T j. Ma la cosa ieressae di quel poliomio era che aveva degli zeri del primo ordie. Se oi adesso osserviamo il ermie e T j ha zeri del primo ordie quado e T j ovvero quado T k cioè co k T k Soluzioe dell'equazioe disribuzioale è duque e T j e T j k A k k T ovvero la rasformaa del reo di impulsi è la sommaoria delle dela di Dirac raslae egli zeri del ermie e T j e moliplicae per opporui coefficiei e T j A k k k T Riassumiamo adesso i risulai delle osre osservazioi. Treo di impulsi - Pag.54

160 - s T è periodica di periodo T - s T A k k Capuzzo Alessadro - Trasformaa di Fourier k T s T A k k k La prima osservazioe ci dice che la fuzioe è periodica, per cui i ermii della sommaoria della secoda osservazioe devoo essere ui uguali, compresi i coefficiei A k. Possiamo duque svicolarli e vederli semplicemee come coefficiee A oeedo s T A k k Siamo quidi giui alla coclusioe che la rasformaa di Fourier di u reo di impulsi è a sua vola u reo di impulsi ella variabile che ha come periodo la frequeza agolare del reo di pareza s T A s No ci resa adesso che la deermiazioe della cosae A. Cerchiamo di farlo paredo da u segale periodico che già coosciamo. Se prediamo la cosae e la pesiamo come u segale che vale ra - e + e che ha periodo, abbiamo sempre la cosae di pareza, ma lea come fuzioe periodica. Abbiamo p k adesso, grazie alle proprieà del prodoo di covoluzioe, la pora raslaa può essere visa come ua pora o raslaa covolua co la dela raslaa, el seguee modo p k Facciamo le rasformae di Fourier di ambo i membri. La rasformaa di la coosciamo, ed è, mere la rasformaa del secodo membro la possiamo oeere araverso le proprieà della rasformaa del prodoo di covoluzioe ed è k p p k ma osserviamo che il ermie dao dalla sommaoria alro o è che la rasformaa di Fourier di u reo di impulsi di periodo T, che per i ragioamei appea fai ci dà s A s. L'ideià ci pora duque a si A s si k A osserviamo adesso che per le proprieà della dela si ha Treo di impulsi - Pag.55

161 si si se se i base a quese cosiderazioi oeiamo Capuzzo Alessadro - Trasformaa di Fourier (cosiderado il limie) si A s si A A A k A Se pesiamo adesso che siamo giui a queso risulao paredo da u periodo di, possiamo cocludere che A T Trovao il coefficiee A, possiamo fialmee scrivere i modo compleo la rasformaa di Fourier del reo di impulsi s T s. Trasformaa di Fourier di disribuzioi periodiche Abbiamo deo che ua disribuzioe è periodica se coicide co ua sua raslaa di u periodo T. x xx T E' ache vero che ua disribuzioe è periodica se coicide co ua sua raslaa di u muliplo del periodo T. T T xx T Prediamo adesso u segale periodico, ad esempio l'oda riagolare, co periodo T, ma cosideriamo solo u sigolo periodo di ale segale, meedolo a zero ella sua rimaeza. x x x T " T T opp. # T T T Ricavao queso segale, proviamo adesso a fare delle raslae. Proviamo ad esempio a raslarla a desra di T. Allo sesso modo si porebbe raslare a siisra o diversamee, ad esempio raslare di mulipli del periodo. Si può visivamee osservare che il segale di Trasformaa di Fourier di disribuzioi periodiche - Pag.56

162 Capuzzo Alessadro - Trasformaa di Fourier pareza può essere viso come somma dei segali raslai soosai. Possiamo quidi pesare al segale periodico come ad u segale che è possibile decomporre el seguee modo x x T x T 3 T Quesa è u'operazioe che può essere faa per ogi segale periodico. Ricordiamo adesso la proprieà della covoluzioe che dice che u segale covoluo co ua dela raslaa alro o è che il segale sesso raslao allo sesso modo. Ragioado iversamee possiamo quidi soseere che u segale raslao può essere riscrio come segale o raslao covoluo co ua dela raslaa. Ne risula che u segale periodico può essere così riscrio x x Tx T Ma osserviamo che abbiamo oeuo il segale x covoluo proprio co u reo di impulsi. Possiamo scrivere xx s T Possiamo quidi cocludere che u segale periodico si può preseare come la covoluzioe del segale sesso preso i u solo periodo e ullo all'esero, co u reo d'impulsi. Vogliamo adesso fare la rasformaa di Fourier di u segale periodico x x s T se ricordiamo la proprieà delle rasformae, che dice che la rasformaa di u prodoo di covoluzioe si raduce i u prodoo ordiario delle rasformae, oeiamo x x s T Possiamo osservare che, avedo oi be presee quao vale la rasformaa di Fourier del reo d'impulsi, abbiamo ricodoo il calcolo della rasformaa di u segale periodico, al calcolo della rasformaa del segale i u uico periodo x x s T X s I alre parole u segale periodico è ua fuzioe che modula il reo d'impulsi. Facedo due coi possiamo iolre scrivere x X s X X e dall'ulima formula ricavaa comprediamo che la rasformaa di Fourier di u segale periodico è ua somma di dela di Dirac cerae ei mulipli della frequeza agolare del segale periodico, ciascuo di essi moliplicao per u opporuo coefficiee: X. Da ciò asce ache l'uso comue el dire che i segali periodici hao uo spero a righe T Trasformaa di Fourier di disribuzioi periodiche - Pag.57

163 Capuzzo Alessadro - Trasformaa di Fourier (le rispeive rasformae soo appuo delle somme di dela co degli opporui coefficiei [cerai ei mulipli della frequeza agolare] ). Cosideriamo adesso u segale che sia ua fuzioe periodica e scriviamolo sia come serie di Fourier, sia come prodoo di covoluzioe e ricordiamo che o, poi T facciamoe le rasformae xx s T $ x c e j T X c T Riscriviamo la prima rasformaa i modo più opporuo X X E' facile pesare che se siamo parii da due modi diversi di descrivere lo sesso segale, le due rasformae di Fourier soo uguali X c T Osserviamo adesso che abbiamo ua sommaoria di dela i erambi i membri, esaamee cerae i mulipli di. Dovrao quidi essere uguali i loro coefficiei X c Abbiamo rovao u legame molo sreo ra i coefficiei delle serie di Fourier ed i coefficiei delle dela di Dirac della rasformaa di Fourier c X T X T Se adesso specifichiamo la rasformaa da calcolare oeiamo c T X T T x e d j T osserviamo adesso che il segale vale zero al di fuori di u cero iervallo: x x T " T T opp. # T e riscriviamo gli esremi dell'iegrale Trasformaa di Fourier di disribuzioi periodiche - Pag.58

164 Capuzzo Alessadro - Trasformaa di Fourier c T T T xe j T d Abbiamo rirovao esaamee l'espressioe del coefficiee di ua serie di Fourier paredo da cosiderazioi sulle rasformae di Fourier. Esempi di rasformae di Fourier di segali periodici Vediamo adesso alcui esempi, che soo esaamee gli sessi esempi che avevamo fao quado si parlò delle serie di Fourier. Si ivia duque il leore a meere i paragoe i modi diversi di procedere. Esempio Prediamo i cosiderazioe l'oda riagolare co periodo ed adiamo a cosiderare il segale i u uico periodo x x T T T T Proviamo a descrivere il segale ei due soo iervalli (ra ) x p 4 p 4 e zero e ra zero e Vogliamo duque fare la rasformaa di Fourier di queso segale. No vogliamo cero meerci a calcolare l'iegrale, per cui cercheremo di uilizzare ua rasformaa oa e le proprieà delle rasformae. La rasformaa oa i queso caso è quella della pora e le proprieà da uilizzare soo quella di raslazioe el empo e di derivaa el domiio delle frequeze. Per far comparire la raslazioe dobbiamo però usare la malizia di aggiugere e ogliere 4. x 4 p 4 p 4 4 p 4 p 4 Propoedoci adesso di fare la rasformaa possiamo immediaamee applicare la Esempi di rasformae di Fourier di segali periodici - Pag.59

165 Capuzzo Alessadro - Trasformaa di Fourier proprieà di raslazioe el empo x e j 4 p e j 4 p j e 4 p e j 4 p Ricordiamo che per avere la derivaa i frequeza c'è da cosiderare u faore cosae che è j, ma se oi moliplichiamo per j e per j, ricordado che j j, possiamo scrivere x e j 4 j j p x e j 4 j j j e 4 x j e j 4 e j 4 e j 4 p j e j p e j 4 j e j p x j j si 4 j p x 4 si 4 dsi d cos Facciamo adesso il calcolo della derivaa x 8 si 4 x 8 si 4 x x si 4 cos 4 4si 4 cos cos 4 si 4 4 cos 4 si 4 4 j j p 4 p cos 4 p cos 4 p 4 si 4 8si 4 8si 4 si 4 cos 4 si 4 cos 4 si 4 cos 4 j e 4 p Ed abbiamo rovao il segale che modula il reo d'impulsi. E ricordado che el osro caso risula si ha x X X s X Per avere i coefficiei della sommaoria dobbiamo adesso calcolare X ei mulipli di, ricordado la formula dei coefficiei c X T X T Esempi di rasformae di Fourier di segali periodici - Pag.6

166 Capuzzo Alessadro - Trasformaa di Fourier Il caso che geeralmee bisoga fare a pare è quello per, i quao si ha u limie lim X e risula c Cerchiamo adesso il valore di X ei mulipli di. X X 4si 4 cos 4 4si cos 8si 8si 4 Ma osserviamo che el umeraore del primo ermie, quado il seo vale il coseo vale zero, e viceversa, per cui il suo coribuo è sempre ullo. Possiamo scrivere 8si X Osserviamo che co pari abbiamo zero, mere co dispari abbiamo X 8 Possiamo riassumere il uo co la seguee oazioe X 4 e ricordado la formula dei coefficiei si ha c X Esempio Prediamo i cosiderazioe l'oda quadra di periodo T e quidi di frequeza agolare e cosideriamoe u sigolo periodo ra e Esempi di rasformae di Fourier di segali periodici - Pag.6

167 Capuzzo Alessadro - Trasformaa di Fourier x x T T T T Vogliamo fare la rasformaa di Fourier di x. La srada da percorrere sarà quella di fare la rasformaa di Fourier di x. Come ormai è oo, si ha ifai x x T X o Cerchiamo di dare u sigificao algebrico al segale x. Osserviamo che è dao dalla differeza di due pore. x p p e la sua rasformaa è X e j p e j p j X e e j p X j si si X 4 j si (e quesa è la fuzioe modulae) Ricordiamo la formula dei coefficiei c X ed essedo, c X si ha 4 j si c Osserviamo adesso che per vale zero, perché ache se o è defiia, è prolugabile per coiuià ed il limie ede a zero. Mere per si ha 4 j si j si c j Esempi di rasformae di Fourier di segali periodici - Pag.6

168 Capuzzo Alessadro - Trasformaa di Fourier Esempio 3 Si vuole cosiderare l'oda a dee di sega di ampiezza e periodo, quidi co frequeza agolare e cosideriamo il periodo compreso ra e. Dobbiamo ecessariamee osservare che fio ad ora avevamo cosiderao i sigoli periodi ra T e T, mere adesso (per ua maggiore comodià ella descrizioe del segale) siamo cosiderado u periodo ra e T. Queso o è u problema i quao ue le cosiderazioi fae per u periodo simmerico rispeo all'origie soo valide ache per u periodo raslao rispeo ad essa. x x T Voledo fare la rasformaa di Fourier di x dobbiamo quidi risolvere la seguee x x T X o che i queso osro esempio risula essere x X o Dobbiamo quidi adesso descrivere e rasformare il segale el sigolo periodo: x p Ache i queso caso, come ell'esercizio, è uile poer leggere prima ua raslazioe e poi ua derivaa. Procediamo j X p p e j p e j p e d d j si si cossi X e j j si j j cos e si si Oeua la rasformaa, lasciamo al leore il compio di compleare l'esercizio, procededo aalogamee agli esercizi precedei. Si oiee c c j e j Esempi di rasformae di Fourier di segali periodici - Pag.63

169 Capuzzo Alessadro - Trasformaa di Fourier Esempio 4 Cosideriamo adesso il segale che ci forisce il reo d'impulsi di periodo. xs Si raa di ua disribuzioe periodica e el periodo ra T e T dela di Dirac abbiamo ua sola x x Abbiamo immediaamee che X e la rasformaa di Fourier di uo il reo d'impulsi risula essere, essedo T o X X s Abbiamo rirovao le cosiderazioi che avevamo già fao: la rasformaa di u reo d'impulsi è u alro reo d'impulsi che ha per periodo la frequeza agolare del segale di pareza ed il faore moliplicaivo è la frequeza agolare. Ciò che vogliamo fare adesso è l'airasformaa del reo di impulsi che abbiamo appea oeuo. X e j e j A queso puo qualcuo porebbe osservare che essedo che abbiamo, araverso l'airasformazioe, oeuo il segale di pareza, il osro risulao porebbe rappreseare la serie di Fourier di u reo d'impulsi, ma i realà la sommaoria oeua è ua serie che o coverge el seso delle eergie, el seso puuale o uiformemee, ma è ua serie che coverge el seso delle disribuzioi, il quale è ieso i modo molo più ampio. Dobbiamo comuque farvi delle riflessioi. Osserviamo che i coefficiei della serie soo ui uguali ad, è quesa è ache la ragioe per cui la serie o coverge, mere per ui i segali che abbiamo viso egli esempi precedei il comporameo dei coefficiei era il seguee Esempio : comporameo del ipo c % Esempi di rasformae di Fourier di segali periodici - Pag.64

170 Capuzzo Alessadro - Trasformaa di Fourier Esempi e 3: comporameo del ipo c % Si può osservare che più è regolare il segale e più i coefficiei decrescoo rapidamee. Se cosideriamo u segale che o sia solao coiuo (come lo era l'oda riagolare dell'esempio ) ma che abbia ache derivaa coiua, ad esempio "" x "" "" alrove possiamo osservare che i suoi coefficiei si comporao come c O 3 (lasciamo al leore l'esercizio di fare i calcoli, dado solo il suggerimeo di rasformare la derivaa del segale i quao è più coveiee). Riassumedo la decrescia per che ede ad ifiio dei coefficiei è legaa alla regolarià del segale che oi rasformiamo: se siamo i ambio disribuzioale, cioè se o abbiamo covergeza della serie di Fourier el seso delle eergie, si hao dei coefficiei che possoo o decrescere se si hao delle discoiuià di prima specie, ci soo decrescie del ipo se si hao pui agolosi ci soo decrescie del ipo se si hao fuzioi coiue e derivabili ci soo decrescie del ipo 3. Esempi di rasformae di Fourier di segali periodici - Pag.65

171 Capuzzo Alessadro - Trasformaa di Laplace Trasformaa di Laplace Iizieremo queso argomeo parlado ampiamee della rasformaa di Laplace bilaera che è quella che ha dei legami più srei co la rasformaa di Fourier. Successivamee parleremo della rasformaa di Laplace uilaera che ivece è quella maggiormee uilizzaa elle applicazioi. Trasformaa di Laplace bilaera Si vuole rasformare il segale x e si oiee ua fuzioe ella variabile s che è complessa. Defiizioe : xfsf j xe s d xe e j d Ma se osserviamo la secoda forma possiamo oare che la rasformaa di Laplace può essere visa come la rasformaa di Fourier del segale moliplicaa per e Defiizioe : x xe Possiamo cocludere che si hao due defiizioi di rasformaa di Laplace. La prima è valida per le fuzioi, la secoda è valida ache per le disribuzioi. Possiamo quidi dire che u segale x viso come fuzioe ha rasformaa di Laplace se l'iegrale xe è j d coverge; u segale x viso come disribuzioe ha rasformaa di Laplace se xe ha rasformaa di Fourier. Osserviamo adesso che ella defiizioe l'iegrale coverge o meo i base al valore di, mere ella defiizioe la rasformaa di Fourier esise o meo i base al valore di (la rasformaa di Laplace è duque legaa al suo domiio). Se adesso ricordiamo che si è deo che ua disribuzioe ha rasformaa di Fourier se e solo se è ua disribuzioe a crescia lea, si può cocludere che x e ha rasformaa di Laplace se è ua disribuzioe a crescia lea. Vediamo adesso come si oiee il domiio della rasformaa di Laplace. Trasformaa di Laplace bilaera - Pag.66

172 Capuzzo Alessadro - Trasformaa di Laplace Se oi abbiamo u ed u per i quali la rasformaa di Laplace sicuramee esise, allora esise ache i ui i. Ma cerchiamo di capire perché queso è vero. Abbiamo deo che per le fuzioi xe e xe la rasformaa di Laplace esise. Queso vuol dire che soo erambe fuzioi o disribuzioi a crescia lea. Noi possiamo scrivere, sommado e soraedo all'espoee xe e e x I praica si ha u isieme formao da srisce vericali. Se adiamo a vedere cosa succede per che ede a più ifiio, il secodo ermie è a crescia lea per ipoesi, e viee moliplicao per u espoeziale che decresce i quao, quidi il osro segale, per che ede a più ifiio, è a crescia lea. Ma possiamo ache scrivere xe e e x Se adiamo a vedere cosa succede per che ede a meo ifiio, il secodo ermie è a crescia lea per ipoesi, e viee moliplicao per u espoeziale che decresce i quao, quidi il osro segale, per che ede a meo ifiio, è a crescia lea. Globalmee quidi, il segale è a crescia lea e la rasformaa di Laplace è defiia all'iero di quesa sriscia vericale. Fodameale è duque il valore della pare reale ( ), mere o icide il valore della pare immagiaria ( ). Possiamo cocludere che la rasformaa di Laplace è defiia se esise almeo ua rea vericale per la quale il segale è a crescia lea, o meglio, se esisoo due valori, uo superiore ed uo iferiore, della pare reale di s ( ), per i quali ciò avviee. A queso puo u problema che ci dobbiamo porre è di capire quali soo quesi pui che defiiscoo la massima sriscia di esiseza della rasformaa di Laplace e che oi defiiamo come domiio della rasformaa di Laplace: domiio xs: dove ' x Re s ' ' x ' x if esremo iferiore del domio (viee defiio ascissa di covergeza) ' ' x sup esremo superiore del domiio Suppoiamo adesso che x per a (viee defiio segale a supporo desro). Trasformaa di Laplace bilaera - Pag.67

173 Capuzzo Alessadro - Trasformaa di Laplace Vogliamo chiederci quado xe è a crescia lea. Osserviamo che la crescia lea è deermiaa dal comporameo a più o meo ifiio della fuzioe. Ma per a la fuzioe è sempre ulla, quidi il suo comporameo o dipede da. Possiamo cocludere che i queso caso a x ' ' x sup ovvero il domiio della rasformaa di Laplace è u semipiao desro. Poremmo chiederci adesso quao vale, queso dipede da come è faa la x. Porebbe ache succedere che e quidi i realà il semipiao sia uo u piao. Nelle applicazioi molo spesso si ha a che fare co segali che iiziao da u cero isae a e quidi co rasformae di Laplace che hao come domiio u semipiao desro. A livello puramee accademico poremmo chiederci cosa succede se x per a e le coclusioi che e rarremmo sarebbero perfeamee simmeriche a quelle che abbiamo appea viso. Vediamo qualche esercizio di esempio. Vogliamo calcolare la rasformaa di Laplace del seguee segale x p a. Vogliamo risolvere queso primo esempio araverso il calcolo dell'iegrale. Ricordiamo che Esempio x x xè s d a a per cui, iseredo il segale della pora si oiee x p a e s d a a e s d a s esa esa e sa sihsa s s Cofroiamo adesso rasformaa di Fourier e rasformaa di Laplace bilaera della pora X sia Trasformaa di Laplace bilaera - Pag.68

174 X sihsa s Capuzzo Alessadro - Trasformaa di Laplace Come possiamo osservare le aalogie soo moleplici. Ma il legame è acora più sreo. Se oi prediamo ifai, della variabile s solo l'asse immagiario, ovvero poiamo s j oeiamo sih j a X j se adesso ricordiamo i legami che abbiamo raao ra seo iperbolico e seo circolare, sappiamo che sih j a j si a, possiamo quidi scrivere X j si a si a j e vediamo che la rasformaa di Fourier della pora alro o è che la rasformaa di Laplace calcolaa sull'asse immagiario. Dobbiamo sare aei a o geeralizzare. Quesa è ua paricolarià che è legaa a quesa fuzioe e a ue quelle fuzioi che come vedremo devoo possedere cere caraerisiche. Di quese vogliamo dare u ceo dicedo che è imporae il domiio della rasformaa di Laplace. I queso caso il domiio, per le cosiderazioi fae, è uo il piao complesso. Queso è uo di quei casi che rierao ella seguee defiizioe: Il seguee legame X j X sussise ue le vole che l'asse immagiario si rova all'iero del domiio della rasformaa di Laplace bilaera. (NOTA: all'iero e o sul cofie, perché il domiio della rasformaa di Laplace è sempre u isieme apero) Esempio Vogliamo fare la rasformaa di Laplace del gradio uiario. Osserviamo che quado abbiamo parlao della rasformaa di Fourier queso segale è sao molo faicoso da irodurre, ed è sao possibile solo dopo alcui capioli. Vogliamo duque fare la seguee rasformaa di Laplace u ue s d e s d s es Il prossimo passo è cercare di capire come si comporao gli espoeziali per che ede a più ifiio. Ricordiamoci che e s e e j e cos j si quidi a più ifiio e s ede ad u valore fiio se e è u'espoeziale decrescee, quidi e s, per (domiio della rasformaa, zero è l'ascissa di covergeza della rasformaa bilaera di Laplace) Trasformaa di Laplace bilaera - Pag.69

175 Capuzzo Alessadro - Trasformaa di Laplace che è la codizioe ecessaria perché l'iegrale coverga e la rasformaa sia calcolabile come segue u s es s che è la rasformaa di Laplace del gradio uiario. Osserviamo adesso che i queso esempio l'asse immagiario o è compreso all'iero del domiio della rasformaa di Laplace, ma si rova sul cofie, o si può quidi uilizzare l'uguagliaza X j X, che i queso caso o è correa. Se ricordiamo quao valeva la rasformaa di Fourier del gradio uiario, ovvero u j possiamo osservare che oerremmo solo ua pare di essa, perché la rasformaa di Fourier ha dei ermii impulsivi che o oerremmo araverso queso passaggio semplice Esempio 3 Vediamo u esempio di rasformaa di Laplace i ambio disribuzioale. Vogliamo rasformare la dela di Dirac. Uilizzeremo quidi la secoda defiizioe x xe ovvero e Ricordiamoci che quado la dela moliplica ua fuzioe coiua selezioa di quesa fuzioe il suo valore ell'origie, che i queso caso è, per cui si ha e Dobbiamo solo fare aezioe al fao che i queso caso abbiamo la cosae uo di ua fuzioe complessa, che quidi è siuaa el piao complesso e o sull'asse reale. Vediamo adesso qual'è il domiio della rasformaa. Se osserviamo che la dela è ulla all'ifuori dello zero comprediamo subio che è ua disribuzioe a crescia lea per ogi ed il suo domiio è uo il piao complesso. I queso caso il passaggio alla rasformaa di Fourier secodo l'uguagliaza X j X è possibile ed addiriura baale, i quao, essedo ua cosae, è sufficiee pesarla uguale ad uo sull'asse immagiario. Vogliamo cocludere il capiolo co la seguee osservazioe. Le rasformae che abbiamo calcolao ei re esempi soo risulae essere ue fuzioi aaliiche (beieso el loro domiio) e queso discorso è vero i geerale ovvero La rasformaa di Laplace Xs del segale x è ua fuzioe aaliica el suo domiio. Trasformaa di Laplace bilaera - Pag.7

176 Capuzzo Alessadro - Trasformaa di Laplace Proprieà della rasformaa di Laplace Le proprieà della rasformaa di Laplace bilaera soo molo legae alle proprieà della rasformaa di Fourier, soo circa ua decia ed ogua di esse ha la sua corrispeiva ra le proprieà della rasformaa di Fourier. E' bee fare u cofroo per farsi u'idea più geerale. Proprieà di liearià. a xb ya xbx Proprieà di raslazioe el domiio dei empi. Traslare el domiio dei empi sigifica moliplicare per u espoeziale complesso el domiio della variabile complessa s. x e s X s Proprieà di raslazioe el domiio della variabile complessa s. Traslare el domiio delle frequeze sigifica moliplicare per u espoeziale complesso el domiio dei empi e s x X ss Proprieà di riscalameo. xa a X s a co a Proprieà di derivaa el domiio dei empi. Derivare el empo corrispode a moliplicare per la variabile s el domiio delle rasformae di Laplace. x's X s Proprieà della derivaa della rasformaa di Laplace. Derivare el domiio delle rasformae di Laplace corrispode a moliplicare per la variabile - el domiio dei empi. x d ds X s Quado abbiamo fao la rasformaa di Fourier abbiamo viso che a queso puo c'era la proprieà di simmeria. La rasformaa di Fourier pora ifai ad ua fuzioe di variabile reale, che è uovamee rasformabile. La rasformaa di Laplace pora ivece ad ua fuzioe di variabile complessa, che o è più rasformabile. Quesa proprieà quidi maca per la rasformaa di Laplace. Proprieà di coiugazioe. Se x X s allora x * X * s * Se il segale di pareza è u segale reale la sua rasformaa è Hermiiaa. Dobbiamo parire da u segale reale xx *. La sua rasformaa è la seguee x X s e per la proprieà di coiugazioe si ha x * X * s * se e ricava che X s X * s * Ua fuzioe di variabile complessa che goda di quesa proprieà è dea Hermiiaa. Proprieà della rasformaa di Laplace - Pag.7

177 Capuzzo Alessadro - Trasformaa di Laplace Ciò equivale a dire che la rasformaa di Laplace assume valori reali per valori reali della variabile s. Proprieà del prodoo di covoluzioe. x y X sy s Esempi Proprieà di liearià. Vogliamo rasformare il segale x3u5 Si ha x3u53 s 5 Ogi vola che si fa ua rasformaa di Laplace bisoga però fare sempre aezioe al domiio. La rasformaa del gradio uiario è defiia per pare reale di s maggiore di zero, la dela è defiia ivece su uo il piao complesso; è chiaro che la loro somma è defiia solao per pare reale di s maggiore di zero. Proprieà di raslazioe el domiio dei empi. Vogliamo calcolare u la proprieà ci dice che ue s u es s Il domiio del segale raslao è lo sesso del segale o raslao perché la regioe di covergeza o è modificaa da ua raslazioe el empo. Proprieà di raslazioe el domiio della variabile complessa s. Vogliamo calcolare e s u la proprieà ci dice che e s u ss ricordadoci sempre che s è ua variabile complessa e come ale va raaa Proprieà di riscalameo. Proprieà della rasformaa di Laplace - Pag.7

178 Vogliamo calcolare p la proprieà ci dice che p sih s s Capuzzo Alessadro - Trasformaa di Laplace Proprieà di derivaa el domiio dei empi. Si vuole fare la seguee rasformaa D p NOTA: D d d La proprieà ci dice che D p s sih s sih s s Possiamo osservare la semplicià di quesa proprieà, che è quella che ha i qualche modo provocao il successo della rasformaa di Laplace: il fao che u operaore di derivazioe si rasformi i ua variabile, così da rasformare u'equazioe differeziale i u'equazioe algebrica. Proprieà della derivaa della rasformaa di Laplace. Si vuole fare la seguee rasformaa u Uilizziamo prima la proprieà di liearià per far comparire u meo davai alla e poi applichiamo la proprieà u u d ds u d ds s s Osserviamo che il domiio della rasformaa è acora lo sesso domiio del gradio, solo che prima i zero c'era u polo del primo ordie, adesso c'è u polo del secodo ordie. Proprieà di coiugazioe. Vogliamo fare la seguee rasformaa ue j * La proprieà ci dice che ue j * * s * j j j * Proprieà della rasformaa di Laplace - Pag.73

179 Capuzzo Alessadro - Trasformaa di Laplace ricordado che fare il coiugao di u quoziee vuol dire coiugare il umeraore ed il deomiaore, per cui si ha ue j * j j s j Se il segale di pareza è u segale reale la sua rasformaa è Hermiiaa. Vogliamo fare la rasformaa di u segale reale p sih s s La proprieà ci dice che possiamo sosiuire s co ua variabile reale p sih e la rasformaa è ua fuzioe che dà valori reali. Proprieà del prodoo di covoluzioe. Si vuole fare la seguee rasformaa uu La proprieà ci dice che uuuu s s s Osserviamo che quado abbiamo fao la rasformaa di per il gradio abbiamo oeuo lo sesso risulao. I effei se ricordiamo che uu uud osservado che se è uo ullo e se si ha ua pora ra zero e. si ha uu uudu d u quidi uu u Facciamo adesso la seguee osservazioe. I geerale si ha a che fare co segali che soo ulli prima di u cero isae, ovvero segali che soo diversi da zero a desra di u cero valore. Avevamo osservao che il domiio di quesi segali è u semipiao desro. Bee, per calcolare il domiio della rasformaa, sabilio queso, si può semplicemee dire che la rasformaa di Laplace ha domiio i u semipiao desro, ed ua vola calcolaa, si va a vedere dove soo le sue sigolarià. Il domiio della rasformaa sarà duque il massimo semipiao desro che o coiee delle sigolarià. Nell'ulimo esempio, la sigolarià è ell'origie, quidi il domiio è il semipiao desro formao dalle pari reali di s sreamee maggiori di zero. Proprieà della rasformaa di Laplace - Pag.74

180 Capuzzo Alessadro - Trasformaa di Laplace Cocludiamo il capiolo co u ulimo esercizio che ci cosea di fare acora qualche riflessioe. Vogliamo fare la seguee rasformaa ue Abbiamo ua raslazioe ue s Cerchiamo il domiio della rasformaa Osserviamo che la fuzioe è ulla per, quidi sarà u semipiao desro. La rasformaa è ua fuzioe razioale che ha u polo del primo ordie el puo, quidi il suo domiio sarà l'isieme dei umeri complessi che hao pare reale sreamee maggiore di. Osserviamo che il domiio o comprede l'asse immagiario. I quesi casi si è ceri che la rasformaa di Fourier del segale o c'è. D'alrode se oi adiamo a vedere il grafico del segale osserviamo che vale zero fio all'origie e poi ha ua crescia espoeziale, cioè o è a crescia lea. La rasformaa di Laplace cosee di rasformare ache segali che hao crescie espoeziali. Si vuole fare la seguee rasformaa ucos o Esercizi su rasformae fodameali Esercizio Abbiamo duque da rasformare u segale che è ullo fio allo zero e che poi ha u adameo siusoidale di periodo T. Queso segale lo vogliamo rasformare uilizzado le proprieà che abbiamo viso el capiolo precedee. Esercizi su rasformae fodameali - Pag.75

181 Capuzzo Alessadro - Trasformaa di Laplace Scriviamo iaziuo il coseo soo forma di espoeziali complessi ucos o u e jo e j o applicado la proprieà di liearià si ha ucos o u e j o e j o ue j o ue j o ricordiamo adesso che la moliplicazioe per u espoeziale complesso dà luogo ella variabile s ad ua raslazioe e ricordado che u s ucos o ue j o ue j o si ha s j s j La rasformaa di Laplace è ermiaa ma proviamo a presearla meglio, facedo il m.c.d. ucos o s j s s j s Facciamo adesso qualche riflessioe sul domiio. Abbiamo u segale ullo per, per cui il suo domiio sarà u semipiao desro e per idividuarlo adiamo a cercare le sigolarià della rasformaa ella variabile s. Osserviamo che essa ha due poli semplici i j, allora il massimo semipiao desro possibile è il semipiao co pari reali di s sreamee maggiori di zero dom Re s. Osserviamo che duque i queso caso o è possibile passare alla rasformaa di Fourier i modo semplice. Iviiamo il leore ad adare a vedere quella che era la rasformaa di Fourier di queso segale per verificare che vi soo delle dela di Dirac. Osserviamo iolre che la rasformaa di Fourier esise perché la fuzioe è a crescia lea. Il fao che il domiio della rasformaa di Laplace para dall'asse immagiario ifai o implica ecessariamee che la rasformaa di Fourier esisa (ache se è codizioe ecessaria che ale asse faccia pare del domiio). Esercizio Si vuole fare la seguee rasformaa: usi o Esercizi su rasformae fodameali - Pag.76

182 Capuzzo Alessadro - Trasformaa di Laplace Abbiamo duque da rasformare u segale che è ullo fio allo zero e che poi ha u adameo siusoidale di periodo T. Queso segale lo vogliamo rasformare uilizzado le proprieà che abbiamo viso el capiolo precedee. Scriviamo il seo i forma espoeziale usi o u e j o e j o j applichiamo la liearià usi o j ue j o j ue j o applichiamo la proprieà delle raslazioi el domiio della variabile s e ricordado che u si ha s usi o j s j j s j s Il domiio della rasformaa è u semipiao desro che icora la prima sigolarià ell'origie. Si ha ifai che essa ha due poli semplici i j, allora il massimo semipiao desro possibile è il semipiao co pari reali di s sreamee maggiori di zero dom Re s. Ache i queso caso o possiamo passare i modo semplice alla rasformaa di Fourier e valgoo le sesse cosiderazioi dell'esercizio precedee. Si vuole fare la seguee rasformaa ue o cos o Esercizio 3 Abbiamo duque da rasformare u segale che è ullo fio allo zero e che poi ha u adameo espoeziale. Queso segale lo vogliamo rasformare uilizzado le proprieà che abbiamo viso el capiolo precedee. Meiamo al solio il coseo i forma espoeziale ed applichiamo la liearià ue o cos o ue o e j o e j o ue o j o ue o j o uilizziamo adesso la proprieà di moliplicazioe per u espoeziale el domiio dei empi che provoca ua raslazioe el domiio della variabile s, si ha Esercizi su rasformae fodameali - Pag.77

183 ue o cos o Capuzzo Alessadro - Trasformaa di Laplace s j s j evideziado i deomiaori el seguee modo possiamo raccogliere a faor comue come ua differeza di quadrai ue o cos o s j s j ue o cos o s j s j s s s ed abbiamo oeuo la rasformaa di Laplace del osro segale. s s Abbiamo già viso quado abbiamo parlao della rasformaa di Fourier che ogi esercizio può essere fao i più modi differei. Queso poeva essere fao seguedo ua via molo rapida. Se oi pesavamo alla rasformaa ue o cos o come alla rasformaa di ucos o raslaa el domiio della variabile s si oeeva subio s ue o cos o s (ricordiamo che raslare el domiio della variabile s sigifica aggiugere la raslazioe ovuque compare la s). Vogliamo adesso fare alcue imporai cosiderazioi circa il domiio di quesa rasformaa di Laplace. Per far queso, dobbiamo rifleere sul grafico del segale di pareza. Queso si può preseare i due diversi modi a secoda del sego di. Se l'espoeziale è decrescee quado ede a più ifiio, se ivece l'espoeziale è crescee. Osserviamo che il segale è ullo per per cui la rasformaa di Laplace avrà come domiio u semipiao desro. Dobbiamo però cercare di capire come è fao queso semipiao desro i quesi casi. Dobbiamo sempre chiederci dove soo le sigolarià della rasformaa Esercizi su rasformae fodameali - Pag.78

184 Capuzzo Alessadro - Trasformaa di Laplace ue s o cos o s è semplice osservare che il deomiaore si aulla i j, per cui il semipiao desro parirà dalla rea parallela all'asse immagiario passae per. Nei due casi avremo j j j j Duque il segale ha sempre rasformaa di Laplace, ma a secoda del valore di il suo domiio è formao da semipiai che compredoo l'asse immagiario o che o lo compredoo (ci sarebbe acora da discuere il caso di ma è esaamee il caso discusso el primo esercizio). Osserviamo quidi che per l'asse immagiario è compreso el domiio, il segale di pareza è u segale a crescia lea e quidi ha sicuramee rasformaa di Fourier. La quale si oiee semplicemee poedo al poso di s, j. Quado ivece l'asse immagiario o sa é dero é sul cofie del domiio, quidi siamo ceri che il segale o ha rasformaa di Fourier. I queso caso o è ifai u segale a crescia lea ma è u segale a crescia espoeziale crescee. Esercizio 4 Vogliamo fare la rasformaa di Laplace del segale ue o si o Abbiamo duque da rasformare u segale che è ullo fio allo zero e che poi ha u adameo espoeziale. Queso segale lo vogliamo rasformare uilizzado le proprieà che abbiamo viso el capiolo precedee. Vogliamo però i queso caso richiamare quella che era la rasformaa usi o e pesare all'espoeziale come a quell'elemeo che ci provoca ua raslazioe el domiio della variabile s. Abbiamo immediaamee ue o si o s Ache per queso segale facciamo delle riflessioi aaloghe a quelle fae per l'esercizio precedee per quao riguarda il domiio e la possibilià di rasformare secodo Fourier. Esercizi su rasformae fodameali - Pag.79

185 Capuzzo Alessadro - Trasformaa di Laplace Esercizio 5 Vogliamo fare adesso la rasformaa di Laplace della gaussiaa. e Osserviamo a iolo iformaivo che il faore moliplicaivo viee iserio ella gaussiaa perché così l'iegrale della curva ra meo ifiio e più ifiio è uguale ad. Il calcolo di ques rasformaa cosise el fare il seguee iegrale e e e s d Osserviamo adesso che e e s e e s d può essere riscrio el seguee modo e e s e s s 4 e possiamo quidi scrivere s e s 4 d s e e s 4 d e 4 s e e s Poiamo adesso s u e facedo alcue riflessioi che i queso caso rascuriamo possiamo scrivere s e 4 e s e u du e 4 e Ed abbiamo oeuo la rasformaa di Laplace della gaussiaa. Facciamo adesso qualche cosiderazioe sul domiio. s 4 L'iegrale coverge per qualsiasi valore di s. perché è si vero che dero l'iegrale abbiamo u espoeziale che o a più ifiio o a meo ifiio cresce( e s ), ma cresce molo meo di quao decresce l'alro espoeziale presee ell'iegrale che ivece decresce sempre ( e ). Quidi il domiio di quesa rasformaa di Laplace è uguale a uo il piao complesso. Ma se coiee uo il piao complesso coiee ache l'asse immagiario, per cui possiamo ricavarci ache la rasformaa di Fourier co u semplice passaggio e j e 4 4 e d Esercizi su rasformae fodameali - Pag.8

186 Capuzzo Alessadro - Trasformaa di Laplace Queso è u risulao abbasaza ieressae perché possiamo osservare che abbiamo fao la rasformaa di Fourier di ua gaussiaa ed abbiamo oeuo acora ua gaussiaa. Trasformaa di Laplace uilaera Quado si scrive il simbolo di ua rasformaa di Laplace o si specifica se si raa di ua rasformaa di Laplace bilaera od uilaera, perché soo ricooscibili erambe, ma oi, iroducedole separaamee, adoeremo il simbolo per la rasformaa uilaera. La sua espressioe è la seguee x xe s d xe e j d Possiamo osservare che la differeza ra i due ipi di rasformae sa esclusivamee egli esremi d'iegrazioe. Se la fuzioe x è ulla per ra rasformaa di Laplace uilaera e bilaera o c'è essua differeza. U modo per ierpreare la rasformaa uilaera araverso la bilaera è il seguee x u xe s d sarà ifai il gradio a resrigere gli esremi d'iegrazioe. U po' più impegaiva è la defiizioe di rasformaa di Laplace uilaera quado abbiamo a che fare co le disribuzioi, perché i al caso o sempre è defiio il prodoo u x. Comiciamo col dire che il problema di queso prodoo sussise solo quado la disribuzioe è diversa da zero ello zero, ovvero i quei casi i cui moliplichiamo per dela di Dirac o sue derivae cerae ello zero. I ali casi si può comuque procedere el seguee modo: si fa prima la rasformaa di quelle disribuzioi che soo diverse da zero solao ell'origie (dela e derivae), e di quese siamo sicuri che la rasformaa uilaera coicide co la rasformaa bilaera e poi si moliplica ciò che rimae del segale per il gradio e si rasforma (a queso puo seza ermii impulsivi). Ci vogliamo adesso chiedere quali proprieà caraerizzao queso ipo di rasformaa. La proprieà è ua sola (le alre soo ue uguali alla bilaera) ma è almee imporae che grazie ad essa elle applicazioi molo spesso si preferisce uilizzare quesa rasformaa. Proprieà della derivaa. x 'sx u sx - Per x - si iede il limie da siisra del segale ello zero. Airasformaa di Laplace Qualche capiolo fa abbiamo defiio la rasformaa di Laplace el seguee modo x xe X Il pedice ella X idica la dipedeza del segale dal paramero. Avevamo Airasformaa di Laplace - Pag.8

187 Capuzzo Alessadro - Trasformaa di Laplace ache osservao che l'isieme dei per i quali è defiia quesa fuzioe è u iervallo dell'asse reale. Se oi adesso cosideriamo come la pare reale e come la pare immagiaria di u umero complesso s, possiamo scrivere x xe X X s co s j ed ecco che s così defiia, cosiuisce proprio il domiio (ua sriscia vericale) della osra rasformaa di Laplace. Se e può cocludere che e x X xe X formula per le disribuzioi purché sia preso all'iero del domiio della rasformaa di Laplace. Si può iolre dimosrare che il valore dell'airasformaa o dipede dal valore di (sempre purché sia all'iero del domiio). Suppoiamo adesso che sia possibile calcolare l'airasformaa co l'iegrale e vediamo come divea l'espressioe xe X e j d e porado l'espoeziale dero l'iegrale x X se j d osserviamo che siamo iegrado lugo ua parallela dell'asse immagiario che passa per. Riscriviamo adesso l'iegrale el seguee modo x j X se j j d ed osserviamo che j d d j, quidi x j j j X se s ds dove dom che è la formula di iversioe della rasformaa di Laplace di Riema Fourier ed è valida ovviamee se l'iegrale è calcolabile. Esempio di calcolo dell'airasformaa di Laplace uilizzado la defiizioe. Vogliamo fare la seguee airasformaa di Laplace s dove dom Re s Prediamo duque u ed applichiamo la formula Airasformaa di Laplace - Pag.8

188 Capuzzo Alessadro - Trasformaa di Laplace s j j j s e s ds Abbiamo duque u iegrale che viee calcolao lugo u cammio parallelo all'asse immagiario che può essere risolo araverso il lemma di Jorda. Come è solio fare quado si uilizza il lemma di Jorda è bee rifleere sul modulo dell'espoeziale e s e espoeziale che ede a zero i due casi e s e e s e i ciascuo di quesi due casi il lemma di Jorda ci dice i quale dei due semipiai bisoga chiudere il cammio d'iegrazioe per applicare il eorema dei residui. Se il semipiao è quello per per cui chiuderemo il cammio d'iegrazioe araverso ua semicircofereza a desra del cammio d'iegrazioe. Osserviamo subio che i quesa regioe la fuzioe s aaliica, quidi il risulao è zero. Se il semipiao è quello per per cui chiuderemo il cammio d'iegrazioe araverso ua semicircofereza a siisra del cammio d'iegrazioe. Osserviamo subio che i queso caso la fuzioe ha u polo del primo ordie per cui, applicado il eorema dei residui si ha s j j j s e s ds j j R es s Il risulao è quidi u gradio uiario (risulao che già cooscevamo ma che abbiamo voluo raggiugere araverso la formula di airasformazioe). è Esercizi di airasformazioe Nei seguei esercizi si voglioo calcolare le airasfromae, o araverso l'iegrale, besì ricooscedo delle rasformae oe e giugedo all'airasformaa araverso le proprieà della rasformaa. Esercizio Vogliamo fare l'airasformaa del seguee segale X s 3 s 6 s3 s s A prima visa o sembrerebbe di ricooscere essua rasformaa oa. Esercizi di airasformazioe - Pag.83

189 Capuzzo Alessadro - Trasformaa di Laplace Il meodo per poer ricooscere delle rasformae oe è quello di decomporre la frazioe i frai semplici (iviiamo il leore ad adarsi a rileggere i capioli che e parlao). La prima cosa da fare è quidi cercare gli zeri del deomiaore. Si oegoo due poli semplici s s e la decomposizioe dà il seguee risulao X s 3 s 6 s3 s s 3 s s Osserviamo adesso che i ermii dell'ulimo membro soo ue rasformae oe. Si ha ifai 33 perché si ha la rasformaa della dela che è uo moliplicaa per 3; s e u perché si ha la rasformaa del gradio raslaa di + ella variabile s e moliplicaa per ; s e u perché si ha la rasformaa del gradio raslaa di - ella variabile s. I coclusioe si oiee la seguee airasformazioe 3 s 6 s3 s s x 3e ue u Esercizio Vogliamo airasformare u segale che presea u polo doppio X s s3 5 s s3 s3 5 s s3 s 3 s s s E' ua fuzioe razioale che ha i seguei poli s s Si oiee polo doppio polo semplice X s s3 5 s s3 s 3 s 3 s s 4 s Che pora alle airasformae oe Esercizi di airasformazioe - Pag.84

190 Capuzzo Alessadro - Trasformaa di Laplace s3 5 s s3 s 3 s x 3 uu4 e u Esercizio 3 Vogliamo airasformare u segale che presea poli complessi coiugai X 3 s s 3 s4 s 9 I poli soo i complessi coiugai s j3 e la decomposizioe i queso caso, se ricordiamo, viee espressa i maiera u po' diversa X 3 s s 3 s4 s 3 s 9 s s 3 risula quidi x 3 3ucos35 usi3 Vogliamo airasformare la fuzioe X 4 s s s74 s 4 s9 I poli soo s j5 si ha Esercizio 4 X 4 s s s74 s 4 s9 3 s s 5 5 s 5 x 4 3ucos5e ue si5 Esercizio 5 Vogliamo adesso fare l'airasformaa di u poliomio razioale moliplicao per u espoeziale complesso. Osserviamo che la moliplicazioe per l'espoeziale provoca ua raslazioe el empo (si rasla la variabile ovuque compare). X 5 s s s s e5 s I poli soo s s Esercizi di airasformazioe - Pag.85

191 Si ha X 5 s s s s e5 s s 3 Capuzzo Alessadro - Trasformaa di Laplace s e5 s a queso puo si risolvoo le rasformae come al solio eedo però coo della raslazioe x 5 5u5e 5 3u5e 5 Esercizio 6 I queso esercizio vogliamo airasformare u segale che presea espoeziali complessi. I quesi casi si fa molo uso di sei e cosei circolari e iperbolici, che alro o soo che combiazioi lieari appuo di espoeziali complessi. X 6 s s sih s Si porebbe vedere subio che quesa è ua rasformaa oa, ma suppoiamo di o accorgercee per procedere co meodo. Meiamo il seo i forma espoeziale e applichiamo le proprieà di liearià e raslazioe X 6 s s sih s s es e s x 6 s e s s es u u p X 7 s cosh s s s es e s X 6 s es s Esercizio 7 es s x 6 ue ue Osserviamo che l'espoeziale è provocao dalla raslazioe el domiio delle s mere la raslazioe el domiio dei empi è provocaa dal fao che si ha il prodoo co u espoeziale. Trasformaa di Laplace per segali periodici per >= U alro modo per defiire queso ipo di segali è quello di pesare alla rasformaa uilaera di Laplace di u segale periodico. Trasformaa di Laplace per segali periodici per >= - Pag.86

192 Capuzzo Alessadro - Trasformaa di Laplace Suppoiamo di avere u segale di queso ipo x x T o T E suppoiamo che il segale x sia oeuo araverso la somma di raslae di mulipli posiivi di T. Ovvero il segale di cui siamo parlado è uguale a x! x kt k Suppoiamo ad esempio che il segale sia l'oda riagolare riporaa soo. x x a a x a x 4 a E' facile osservare che u alro modo per descrivere la somma di quese raslae (è u discorso aalogo a quello che si faceva quado si è parlao di segali periodici ra più e meo ifiio), è di pesare alla raslaa come il prodoo di covoluzioe del segale o raslao per ua dela raslaa x! k x ktx! kt k Quesa è duque l'espressioe dei segali che vogliamo rasformare. Ma se vogliamo fare la rasformaa di Laplace di u prodoo di covoluzioe, sappiamo che per le sue proprieà è uguale al prodoo ordiario delle rasformae, ovvero xx! kt k Vogliamo duque capire quao vale Trasformaa di Laplace per segali periodici per >= - Pag.87

193 Capuzzo Alessadro - Trasformaa di Laplace! kt k i quao l'alra rasformaa che compare è u caso ormai ampiamee raao. Uilizzado la liearià e la coiuià della rasformaa di Laplace possiamo scrivere! k kt! kt k Essedo la rasformaa della dela uguale ad uo, possiamo scrivere, eedo coo che ua raslazioe el domiio dei empi dà luogo ad ua moliplicazioe per u espoeziale el domiio della variabile s, la seguee uguagliaza! k kt! k kt! e kts k Osserviamo iaziuo che il domiio della rasformaa di Laplace è u semipiao posiivo sreamee maggiore di zero e cerchiamo quidi di capire cosa rappresea quesa sommaoria adado a vedere come varia il modulo dell'espoeziale e kts e kt j kt e kt e quidi essedo kt (il domiio è il semipiao desro sreamee posiivo) si ha che e kts e kt j kt e kt per cui possiamo cosiderare la sommaoria come ua serie geomerica di ragioe e Ts. Ne risula, sapedo calcolare il valore di ua serie geomerica, che! k kt e Ts per cui la rasformaa di Laplace di ua disribuzioe periodica per è la seguee xx e Ts Esempio Vediamo u esempio uilizzado proprio u'oda riagolare di periodo T a ed ampiezza. La prima cosa da fare è la rasformaa di Laplace del segale x. Lasciamo al leore il compio di calcolare ale rasformaa, oi ci limieremo a dare il valore X 4sih sa s e as as La rasformaa del segale periodico è duque la seguee 4sih sa x e as as as e Trasformaa di Laplace per segali periodici per >= - Pag.88

194 Capuzzo Alessadro - Trasformaa di Laplace Il domiio della rasformaa di Laplace è il seguee dom s:re s Ifai il fao che il segale di pareza è ullo per fa si che il domiio sia sicuramee u semipiao desro. Se poi osserviamo il ermie dao da X s possiamo vedere che i realà ell'origie abbiamo ua sigolarià apparee, i quao sia umeraore che deomiaore vi hao u polo del ordie. Quidi le sigolarià della rasformaa soo dae dal secodo ermie che ha ifiii poli del ordie sull'asse immagiario. Dal domiio possiamo osservare che di queso segale si poeva fare la rasformaa di Fourier (che i effei a suo empo abbiamo già calcolao), ma che o sarebbe saa calcolabile co l'iegrale e che adava faa el seso delle disribuzioi i quao compaioo delle dela di Dirac (l'asse immagiario è al cofie del domiio). Per ali ragioi si deduce che o è eache possibile passare dalla rasformaa di Laplace a quella di Fourier co u semplice passaggio. Cosiderazioi praiche Vorremmo adesso fare delle osservazioi che ci permeao di fare delle cosiderazioi su di u segale avedoe la rasformaa, seza dover ecessariamee calcolare l'airasformaa, cioè semplicemee sulla base di alcue sue caraerisiche. Suppoiamo di avere ua rasformaa che sia u prodoo di ua fuzioe razioale per degli espoeziali, ovvero X syse s i co Ys razioale e che gli s k siao i poli di Y s. Osserviamo che l'espoeziale è ua fuzioe aaliica i uo il piao complesso. E' semplice fare le seguei cosiderazioi. Se la pare reale di ui i poli è miore di zero allora il segale, ovvero l'airasformaa, ede espoezialmee a zero per che ede a più ifiio. Se ivece ci soo ache delle sigolarià sull'asse immagiario e se ali sigolarià soo poli del ordie, allora l'airasformaa è limiaa per che ede a più ifiio. Se ivece ci soo ache delle sigolarià sull'asse immagiario e almeo ua di quese è u polo del ordie, oppure esise almeo ua sigolarià co pare reale sreamee maggiore di zero, allora l'airasformaa o è limiaa per che ede a più ifiio. Avere queso ipo di iformazioi è esremamee imporae elle applicazioi. Teorema del valor fiale Qualche iformazioe più precisa sul comporameo del segale per che ede a più ifiio ce la da il eorema del valor fiale. Teorema del valor fiale - Pag.89

195 Capuzzo Alessadro - Trasformaa di Laplace Teorema del valor fiale Se X s è aaliica per Re s ecceo al più u polo del primo ordie sull'asse immagiario allora lim xsxs s Teorema del valore iiziale Qualche iformazioe più precisa sul comporameo del segale per che ede a + ce la dà ivece il eorema del valore iiziale. Teorema del valore iiziale Se il comporameo di x è del ipo k per +, e se X s è ua somma di fuzioi razioali proprie moliplicae per degli espoeziali el seguee modo Xs! X i se s i co i i allora lim xlim sxs co arg sk + s lim x lim s Xs co arg sk + s Uso della rasformaa di Laplace ei modelli differeziali Cocludiamo il corso co qualche applicazioe della rasformaa di Laplace ai modelli differeziali. Prediamo i cosiderazioe dei modelli che possoo essere descrii da equazioi differeziali ordiarie a coefficiei cosai. Per equazioe differeziale ordiaria iediamo la seguee a d d a d d...a d d a y cioè abbiamo u operaore differeziale del ipo descrio applicao ad u segale icogio y. A secodo membro possiamo iserire il segale di igresso del osro modello od i ermii più maemaici il ermie oo dell'equazioe differeziale ma, elle applicazioi, molo spesso o compare il solo ermie oo, besì u operaore differeziale che agisce su di esso, el seguee modo a d d a d d...a d d a y b d m m d mb d m m d m...b d d b x Uso della rasformaa di Laplace ei modelli differeziali - Pag.9

196 Capuzzo Alessadro - Trasformaa di Laplace U modello differeziale di queso ipo ha ue le buoe proprieà dei modelli che abbiamo descrio ell'apposio capiolo (coiuià, liearià, ivariaza per raslazioi emporali, causalià) e vi si possoo quidi applicare ui i meodi legai ache al prodoo di covoluzioe. Facciamo adesso u esempio u po' più cocreo di equazioe differeziale. Suppoiamo di avere l'equazioe y ' '3 y ' y3 x ' equazioe che può ache essere riscria el seguee modo D 3 D y3 Dx Cerchiamo adesso di capire cosa succede quado a queso modello applichiamo la rasformaa di Laplace. La prima cosa che dobbiamo verificare è che erambi i membri siao rasformabili. Se ci ricordiamo la proprieà di derivazioe delle rasformae, quesa dice che l'operaore di derivazioe viee rasformao i ua moliplicazioe per la variabile s, quidi facedo la rasformaa di Laplace ell'equazioe geerale del modello oeiamo a s a s...a sa Ysb m s m b m s m...b sb X s equazioe che i modo più sieico può essere così riscria sys s X s uilizzado quesa forma si può ache riscrivere il modello di pareza D y D x Adesso dobbiamo sare aei al fao abbiamo applicao la proprieà seza aver euo coo delle codizioi iiziali, mere abbiamo viso che ale proprieà si differezia fra rasformaa di Laplace bilaera ed uilaera per il fao che i ques'ulima iee coo ache delle codizioi iiziali. Se oi i queso esempio ci meiamo elle codizioi di avere codizioi iiziali ulle, o abbiamo più differeze e possiamo adare avai seza problemi. Siamo duque el caso di segali che comiciao all'isae zero e vegoo applicai ad u modello dalle codizioi iiziali ulle. Deo queso, oriamo alla osra equazioe D y D x sys s X s Osserviamo che, mere risolvere u'equazioe differeziale è u'operazioe piuoso complessa, risolvere lo sesso modello rasformao è diveaa ua ormale equazioe ella variabile s, la seguee Ys s s X s e poi, facedo l'airasformaa y Ys oerremo la soluzioe dell'equazioe differeziale. Torado al osro esempio cocreo avremo Uso della rasformaa di Laplace ei modelli differeziali - Pag.9

197 Capuzzo Alessadro - Trasformaa di Laplace D 3 D y3 Dx s 3 sys3 sx s 3 s Ys s 3 s X s A queso puo o ci resa che fare l'airasformaa per avere la soluzioe dell'equazioe differeziale. Applicazioe ad u modello cocreo Prediamo i cosiderazioe l'rc passa basso cioè u circuio formao da ua resiseza ed u codesaore, che abbia come igresso u geeraore di esioe e come uscia la esioe sul codesaore. Le leggi cosiuive del circuio ci dicoo che v R C v C vrri icv ' C vv C v R Quidi abbiamo RCv ' C v C v E quesa è l'equazioe differeziale del modello cocreo che abbiamo oeuo a parire dalle sue leggi cosiuive. Se idichiamo co TRC yv C xv l'equazioe diviee Ty ' yx o se vogliamo TD yx Se adesso facciamo la rasformaa di Laplace abbiamo TsY X No dimeichiamo mai che i queso caso abbiamo fao la rasformaa di Laplace bilaera e quidi ci dobbiamo porre i codizioi iiziali ulle, ovvero co il circuio i quiee. Applicazioe ad u modello cocreo - Pag.9

198 A queso puo si oiee facilmee Y Ts X Capuzzo Alessadro - Trasformaa di Laplace e baserà airasformare per oeere il segale cercao. Proviamo adesso a predere come segale i igresso ua dela di Dirac, cioè u impulso. Allora, se oi idichiamo co h la risposa all'impulso, l'equazioe differeziale che descrive il modello RC passa basso divea Th'h Facciamo la rasformaa di Laplace ed abbiamo TsHsHs Hs Ts T s T Essedo Hs la rasformaa di Laplace di u segale che oi cosideriamo ullo fio a quado o iizia la sua risposa alla dela di Dirac, il suo domiio sarà u semipiao desro che si esederà fio ad icorare la prima sigolarià che i queso caso è i T. Se adesso facciamo l'airasformaa oeiamo h T ue T h Segale che rappresea molo semplicemee il codesaore che si scarica dopo essere sao caricao da u impulso che è sao dao all'isae zero. T Vediamo u alro esempio. Applichiamo le cosiderazioi fae ad u circuio che abbia come igresso ua pora x p a a Vogliamo cercare la risposa Ty ' y p a a y. Abbiamo l'equazioe La rasformaa di Laplace di quesa equazioe è la seguee Applicazioe ad u modello cocreo - Pag.93

199 Capuzzo Alessadro - Trasformaa di Laplace TsYs sihsa e as s pesado poi al seo iperbolico come combiazioe di espoeziali complessi TsYs sihsa e as eas e as e as as e s s s as e Ys sts che allo scopo di fare l'airasformaa scriviamo ella forma Ys sts e as sts oeiamo, dopo la scomposizioe i frai semplici Ys T Ts s T Ts e as s eas ed airasformado si oiee yue T uu ae a T u a Osserviamo che la risposa è uguale alla somma dei primi due ermii fio all'isae a, dopodiché si aggiugoo gli alri due ermii. E' di ieresse osservare il grafico della risposa: il codesaore si carica fio all'isae a, che è l'isae i cui il segale della pora cessa di esisere, dopodiché comicia a scaricarsi. y a Separazioe dei ermii di rasiorio e di regime Spesso ei modelli viee iserio u segale d'igresso che è periodico per. Abbiamo viso come si fa la rasformaa di u segale di queso ipo. Osserveremo adesso che la risposa ad u segale di queso ipo si può facilmee decomporre i due addedi Separazioe dei ermii di rasiorio e di regime - Pag.94

200 Trasiorio Regime Capuzzo Alessadro - Trasformaa di Laplace Prediamo uovamee i cosiderazioe il circuio RC passa basso e come segale d'igresso il reo d'impulsi per. x! (abbiamo delle dela cerae egli ieri posiivi) Cerchiamo la risposa al segale Ty ' y! La rasformaa di Laplace è TsYs e s e si ricava Ys Ts e s Fare l'airasformaa di queso segale o è ua cosa immediaa. Possiamo però adoare il seguee meodo: decompoiamo il primo ermie come se fosse u addedo e giugiamo alla seguee Ys R Ys T Y Regime T e s dove Y Regime è ua fuzioe icogia che possiamo oeere, avedo oi ui gli alri ermii. Essedo R Ys T T e T cerchiamo la Y Regime Y Regime s T s T che ha la seguee espressioe e s T e adesso è possibile airasformare y Regime T T ue T e T s T T ue T T e T ue T Co qualche coo si può osservare che y Regime " solo per (dove, ricordiamo, è il periodo che avevamo dao al reo di impulsi). Torado quidi alla Separazioe dei ermii di rasiorio e di regime - Pag.95

201 rasformaa Ys R Ys T Y Regime T e s Capuzzo Alessadro - Trasformaa di Laplace osserviamo che il secodo addedo è u segale periodico (il periodo è dao dal deomiaore, essedo periodico l'espoeziale). Il primo addedo è ivece il rasiorio, che come abbiamo viso, quado viee airasformao pora ad u espoeziale che modifica, i maiera ache abbasaza cosisee, la risposa al segale, quado si è vicii allo zero, ma che poi va via via scemado fio ad approssimarsi allo zero i maiera defiiiva. Separazioe dei ermii di rasiorio e di regime - Pag.96