AFFIDABILITA DEI SISTEMI STOCASTICI (complessi)

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1 AFFIDABILITA DEI SISTEMI STOCASTICI (complessi) 1 No ecessariamee il verificarsi di u guaso provoca la more del sisema. A vole soo ecessari più guasi el empo, affiché il sisema collassi. Fissao u empo (ad esempio u gioro), la variabile aleaoria che coa il umero di guasi è discrea. Cosa accade se il empo viee fao variare? Si oiee ua v.a. per ogi empo : ossia ua successioe di v.a. idiciae da. { X, I} I al caso si parla di famiglia di variabili aleaorie. PROCESSO STOCASTICO 1

2 Sia N()la v.a. che coa il umero di guasi cui è soggeo il sisema ell iervallo [0,). CASO A: Assumiamo che il sisema muoia quado si verifica u guaso casuale. T PT ( > ) = P[ N = 0] ~exp > = exp ( ) Per ogi, N è di Poisso 3 CASO B: Assumiamo che il sisema muoia co ua cera probabilià p quado si verifica u guaso. PT P[ N 0] P[ N 1](1 p) P[ N ](1 p) > = = + = + = +L λ λ λ λ = e + λe (1 p) + e (1 p) +L = ()~[ ] CASO C: Assumiamo che il sisema muoia quado si verificao almeo r guasi casuali. j r 1 ( λ) PT ( > ) = P[ N r 1] = exp( λ) j! j= 0 j= 0 ( λ) r 1 λ r 1 ( λx) exp( λx) dx= exp λ ( r 1)! j! j 4

3 Media e variaza: r λ r λ [ ] = Var[ X] = E X Esercizio: Suppoiamo che il umero di arrivi a u casello auosradale segua u processo di Poisso co asso medio 0. arrivi al miuo. Sia Til empo di aesa rascorso fio al erzo arrivo. Deermiare media e variaza di T. Calcolare P( T 0) Biomiale Poisso Geomerica Espoeziale Biomiale egaiva Gamma 5 I affidabilià la somma di variabili aleaorie rappresea il empo di via di u sisema i cui u disposiivo co empo di via T i viee sosiuio isaaeamee co u disposiivo aalogo, avee medesimo empo di via (esempio: lampadia ). T = T + T + L+ T 1 T 1 T T 3 T 4!":Siao ), +,, - empi di via espoeziali di paramero.allora ) ha legge gamma di parameri e. 6 3

4 La variabile aleaoria gamma >dgamma(x,shape,scale) λ = (scale) = (shape) Perao la v.a. Gamma rappresea il empo di via di u sisema i cui u disposiivo co empo di via descrio da ua v.a. espoeziale viee sosiuio isaaeamee co u disposiivo aalogo, avee medesimo empo di via (esempio: lampadia ). 7 Il ome deriva dalla fuzioe gamma: >gamma(x) Def : La fuzioe gamma, deoaa co Γ( s), è defiia come segue: Proprieà: 1) Γ ( s) = ( s -1) Γ( s -1); s 1 ( s) exp d, s 0 0 Γ = > ) Γ ( r) = ( r -1)!, r iero 1 3) Γ = π fuz.iegrada codorm.. iegrale 8 4

5 Per ormalizzazioe: X f 1 = Γ ( s) s 1 0 exp( ) > 0 0 alrove Y = X / λ λy 1 s 1 FY ( y) = P( Y y) = P( X λy) = x exp ( x) dx Γ( s) Y f λ s ( λ) 1 exp( λ) > 0 = Γ ( s) Gamma( s, λ) 0 alrove Ua v.a. chi-quadrao si oiee dalla v.a. gamma per λ = 1/, s= / 9 N() è u esempio di processo socasico f 1 S ω 3 ω ω 1 f 3 f U processo socasico X è ua famiglia di v.a. idiciae da I. 10 5

6 Fissao u puo campioario si oiee ua fuzioe del empo S ω 3 ω ω 1 11 Fissao u valore per il empo si oiee ua v.a. f 1 S ω 3 ω ω 1 f 3 f Perao X (, ω ) è ua fuzioe del empo. 3 Mere X (, ω) è ua variabile aleaoria. 1 6

7 13 Per caraerizzare u processo socasico f 1 S ω 3 ω ω 1 f f La v.a. X ( ) dà iformazioi su quello che accade al sisema all'isae. 1 1 La coppia di v.a. ( X ( ), X ( )) dà iformazioi su quello che accade al sisema 1 all'isae e all'isae

8 Esempio di processo socasico sazioario i media realizzazioe di u rumore biaco 15 IL MOTO BROWNIANO Il ermie "moo browiao" deriva dal ome del boaico scozzese Rober Brow, che lo osservò el 187 mere sava sudiado al microscopio le paricelle di pollie i acqua; egli osservò che i grauli di pollie erao i coiuo movimeo e i ogi isae ale moo avveiva lugo direzioi casuali. hp://udersadigheuiverse.umblr.com/pos/ /browia-moio-gif 16 8

9 STAZIONARIETA IN SENSO LATO STAZIONARIETA IN SENSO STRETTO U processo socasico X si dice sazioario i seso sreo se per ogi k fissao e ogi h fissao d ( X + h, X, K, X ) = ( X, X, K, X ) 1 + h k+ h 1 k f 1 f f

10 Sigificao saisico f X x x P x< X x+ x ( x) ( x+ x) ( x) = N N FX ( x) = P X x ( x) = um. di cammii campioari ra gli N che all'isae si rovao al di soo del livello x ( x) N 19 ( 1 ) Nel caso si fissio due isai emporali X( ), X( ) f ( x, ; x, ) x x P x < X( ) x + x ; x < X ( ) x + x (, ) x x N 1, 1 = um. di cammii che all'isae rasiao ell' ( x x + x ) ( x x + x ) iervallo, e all'isae rasiao ell'iervallo,

11 Sazioarieà i seso sreo Sazioarieà i seso lao 1 A meo che il processo o sia gaussiao U processo socasico è gaussiao iff per ogi k e ogi ( K ) < < L< la legge di X, X,, X è gaussiaa La desià cogiua è k 1 k ( π) 1 1 r r Σ Σ T 1 ( µ ) ( µ ) exp x x k/ 1/ ( X X ) i j Σ marice di covariaza, ossia Σ = cov, ij 1 Nel caso di sisemi semplici, quali quello riporao i Figura 1, è possibile schemaizzare il sisema mediae dei blocchi che rappreseao i diversi compoei (Figura ). All iero di queso schema si ricooscoo due diverse ipologie di cofigurazioe del sisema: cofigurazioe i serie ed i parallelo. Alre cofigurazioi si rirovao i schemi più complicai (Affidabilià delle cosruzioi meccaiche, Spriger(009), Berea S.) Per sudiare queso sisema è ecessaria ua rappreseazioe a blocchi. 11

12 3 Esercizio: Si assuma che i collegamei ra ua cerale elerica e ua cià siao cosiuie da re liee collegae i serie i cui empi di fuzioameo soo descrii da variabili aleaorie espoeziali ideicamee disribuie. Quao è affidabile la cerale elerica? R = exp λi λ = λi i= 1 i= 1 Nel caso geerale MTTF 1/ i= 1 MTTF = Ri d Z( s) = Zi( s) R i= 1 i = λi La affidabilià di u sisema i serie è sempre miore o uguale al miimo delle affidabilià dei compoei. R s mi R R LR 1 4 1

13 Ovviamee sisemi i serie fao decremeare l affidabilià del sisema: Suppoiamo di voler icremeare l affidabilià del sisema, araverso u icremeo di affidabilià del compoee i-esimo, R + R = R LR R + R R LR S S 1 i 1 i i i+ 1 5 = R + R R = R + R R Perao j j i S j i j= 1 j= 1, j i j= 1, j i R R S i = R = j= 1, j i Si può scegliere quel compoee che massimizza l icremeo di affidabilià j R R S i R R S i = max i R R S i Bilacio co i cosi 6 13

14 Affidabilià codizioaa Esercizio:Suppoiamo che u sisema sia formao da 3 blocchi A,B,C coessi i serie. Il empo di via del blocco A è descrio da ua legge di Weibullco paramero scala 100 ore e paramero forma 3.. Il empo di via del blocco B è descrio da ua legge gaussiaa di parameri 400 (ore) e deviazioe 3 (ore). Il empo di via del blocco C è descrio da ua legge espoeziale di paramero per ora. Suppoiamo che il sisema sia sopravvissuo per u empo pari a 50 ore. Qual è la probabilià che sopravviva per alre 50 ore? ( ) P T > s+ T > s = R( s+ s) R( s+ ) = R( s) ( > + > ) = P( TA > s+ TA > s) P( TB > s+ TB > s) ( > + > ) P T s T s P T s T s C C Scrivere la fuzioe affidabilià codizioaa ed effeuare u grafico per s=50 7 La fuzioe di affidabilià risula: β β + s s 1 Φ s+ P( T > s+ T > s) = exp λ + α α 1 Φ( s) > rc100<-exp( *100) > rc50<-exp( *50) > rb100<-1-porm(100,400,3) > rb50<-1-porm(50,400,3) > ra100<-1-pweibull(100,3.,100) > ra50<-1-pweibull(50,3.,100) > aff<-(ra100*rb100*rc100)/(ra50*rb50*rc50) > aff [1] > fua<-fucio(x){(1-pweibull(x+50,3.,100))/ra50} > fub<-fucio(x){(1-porm(x+50,400,3))/rb50} > fuc<-fucio(x){exp( *(x+50))/rc50} > x<-seq(0,50,0.1) > y=fua(x)*fub(x)*fuc(x) > plo(x,y,ype='l',col='red',lwd=4) > plo(x,y,ype='l',col='red',lwd=4) > ile('affidabilià codizioaa') > y affidabilià codizioaa x 8 14

15 LIFE EXCHANGE RATE MATRIX No ue le compoei di u sisema hao la medesima uilizzazioe i ermii di empo di via uiario. Ad esempio se ua macchia procede per ore, frizioe e freo operao su diverse uià di misura e dipedoo dalle codizioi della srada. La via di ua ruoa dipede dai chilomeri percorsi. La via di ua frizioe dal umero di cambi di marcia. La via di u freo dal umero di vole che vegoo usai. La via di uo sarer dal umero di accesioi. Per rovare la affidabilià di u sisema che ha compoei co diverse uià di misura, è ecessario ormalizzarle. umero di compoei r = 1 ii LERM r11 r1 L r1 r r L r M M O M r 1 r L r 1 = 9 1 uià di misura del compoee i= r 1 uià di misura del compoee j ij Ore Chilom eri Giri 1 ora = 10 chilomeri 1 ora = 5 giri 1 3 LERM = 1 1 r ji 1 = r ij LERM = 1/10 1 1/ uià di misura del compoee i 1 uià di misura del compoee j r = ij 1 uià di misura del compoee j= r 1 uià di misura del compoee i ji 30 15

16 1 uià di misura del compoee = r 1 uià di misura del compoee 3 3 = r r 1 uià di misura del compoee LERM = 1/10 1 1/ 1/ 5 1 r 1 = r 1 r3 = r31 r = r r ij ik kj Usi della marice LERM 31 Esempio: Suppoiamo che u sisema sia formao da 3 blocchi A,B,C coessi i serie. Il empo di via del blocco A è descrio da ua legge di Weibull co paramero scala 100 ore e paramero forma 3.. Il empo di via del blocco B è descrio da ua legge gaussiaa di parameri 400 cicli e deviazioe 3 cicli. Il empo di via del blocco C è descrio da ua legge espoeziale di paramero per chilomero Si sa che per u ora di fuzioameo, il modulo B effeua 1 cicli e il modulo C effeua 7 chilomeri. Cosruire la marice LERM. Trovare la affidabilià del sisema dopo 40 cicli del modulo B. R 3. A = exp( ( /100) ) 400 RB = 1 Φ 3 R = exp c ore LERM = cicli 1/1 1 6 km 1/ 7 1/ 6 1 R(40) = R (40 r ) R (40 r ) R (40 r ) A 1 B C 3 cicli cicli

17 Esempio: Suppoiamo che il sisema di cui al lucido precedee abbia già operao per complessive 5 ore. Qual è la probabilià che operi per alri 40 cicli? R( s+ s) R( s+ ) = R( s) R (0+ 5 5) perchè abbiamo già viso che 0 ore corrispodoo A a 40 cicli 5 ore corrispodoo a 5 r cicli =5 1 cicli= 300 cicli R ( ) perchè devoo passare alri 40 cicli B 1 5 ore corrispodoo a 5 r chilomeri =5 7 km= 1800 km C 13 R ( ) perchè 1440 km corrispodoo a 40 cicli 33 La affidabilià di u sisema i parallelo è sempre maggiore o uguale al massimo delle affidabilià dei compoei. s max R R R R 1 L 34 17

18 Ovviamee sisemi i parallelo fao aumeare l affidabilià del sisema: Suppoiamo di voler icremeare l affidabilià del sisema, araverso u icremeo di affidabilià del compoee i-esimo, R + R = 1 (1 R ) L(1 R ) 1 R R (1 R ) L(1 R ) P P 1 i 1 i i i = 1 (1 R ) + (1 R ) R = R + (1 R ) R j j i P j i j= 1 j= 1, j i j= 1, j i Perao R R P i 1 R = (1 Rj) = 1 R j= 1, j i P i Si può scegliere quel compoee che massimizza l icremeo di affidabilià R R P i = 1 R max i 1 R P i Bilacio co i cosi 36 18

19 Aggiugere compoei i serie dimiuisce la affidabilià, aggiugere compoei i parallelo aumea la affidabilià. NB: Cosa accade el caso di soosisemi co via espoeziale? Esercizio: il compoee di u sisema ha ua affidabilià pari al 70% per u prefissao periodo di empo. Trovare quae compoei adrebbero coesse i parallelo per raggiugere ua affidabilià del 95%. Teorema: Nel caso di u sisema complesso formao da soosisemi i parallelo, ciascuo co asso di guaso cosae pari a λ, si ha 1 1 MTTF= λ = k k 1 37 Esempio: Si cosideri u sisema i parallelo cosiuio da 3 compoei avei u asso di guaso cosae pari a λ = 1 guaso ogi 100 ore. Ricavare l affidabilià per ua missioe di = 10 ore, ricavare il asso di guaso e calcolare MTTF del sisema Traadosi di u empo di via espoeziale: R (10) = exp( ) = Cosiderado 3 compoei i parallelo R = = 3 P (10) 1 [1 exp( )] Se si cosiderao 1000 missioi da 10 ore, el caso del compoee semplice si avrao circa 100 roure a froe di 1 solo cedimeo per il sisema i parallelo. Si oa come queso aumeo dell affidabilià di due ordii di gradezza si verifichi solo per empi di missioe relaivamee brevi 38 19

20 Per avere la sessa affidabilià co u solo compoee, quao dovrebbevalere il asso di guaso? 39 I mole siuazioi praiche o basa che ci sia almeo u compoee, degli messi i parallelo, che lavori correamee, ma si chiede che almeo k compoei lavorio correamee perché o si verifichi lo shudow del sisema K ou of N Sysem r La affidabilià di u k -ou -of - sysem è R(, k, ) = p 1 p r= k r dove p rappresea la affidabilià di u compoee fio all'isae, ossia p= R( ) Esercizio: U geeraore di poeza i ua azieda ha 6 geeraori ideici, ogi geeraore ha u asso di guaso cosae pari a 1.5 su 1000 ore di fuzioameo. Perché il geeraore fuzioi alla poeza richiesa devoo essere i fuzioe almeo 4 geeraori. Trovare la affidabiliàdel geeraore a 100 ore e la MTTF. 40 r 0

21 Soluzioe: La fuzioe di affidabilià è: 6 6 r 6 r 15 R(100) = p (1 p) dove p= exp 100 r= 4 r 1000 I R: > p<-exp(-1.5/10) > p [1] > 1-pbiom(3,6,p) [1] > = R R R d MTTF = R [ 1 R ] + R [ 1 R ] + R d = SISTEMI IN PARALLELO E IN SERIE Teorema di Dreick(1960) Dao u umero di compoei avei qualsiasi disribuzioe della desià di guaso, al crescere del empo di fuzioameo, la desià di guaso del sisema ede ad assumere u adameo espoeziale (serie). 4 1

22 Il sisema può essere sieizzao da re soosisemi i serie: il primo formao dai due soosisemi-serbaoi i parallelo, il secodo formao dal ubo ed il erzo formao dai due soosisemi razzi i parallelo: dove: R = R R R SIST Serb Tubo Razzi R = [1 (1 R ) ] = e e Serb a a R = [1 (1 R ) ] = e e Razzi Perao si ha: S R c c R = 4exp( [ a+ b+ c] ) exp( [ a+ b+ c] ) + SIST exp( [ a+ b+ c] ) + exp( [a+ b+ c] ) Per calcolare MTTF si ha: 4 1 MTTF = RSIST d = + a+ b+ c a+ b+ c a+ b+ c a+ b+ c 0 43 ossia: 6b a+ b + 7abc+ 6a + 6c + 11ba + 6bc+ 7ac + 7a c+ 11bc MTTF = ( a+ b+ c)( a+ b+ c)( a+ b+ c)(a+ b+ c) Se maca il ubo di derivazioe ed ogi serbaoio è collegao al razzo, si ha u sisema complesso formao da due soosisemi i parallelo. Ogi soosisema è formao da due compoei i serie: u serbaoio e u razzo. Perao dove: R = 1 [1 R ] SIST R = R R = exp( [ a+ c] ) Perao si ha: Serb razzo R = exp( [ a+ c] ) exp( [ a+ c] ) SIST Per calcolare MTTF si ha: 1 3 MTTF = RSIST d = = a+ c ( a+ c) ( a+ c) 0 44

23 GUASTI MULTIPLI Si assuma che il guaso del compoee possa avveire per effeo di due diversi meccaismi di guaso. La desià di guaso i al caso si calcola come =P f = f R + f R 1 1 d = ( (, + d )) ("guaso di ipo A e o di ipo B" o "guaso di ipo B e o di ipo A" ) f P T = P("guaso di ipo A") P("o si verifica il guaso di ipo B") + P("guaso di ipo B") P("o si verifica il guaso di ipo A") Esercizio: Il empo di via di u compoee per effeo del meccaismo di guaso A è descrio da ua v.a. espoeziale di paramero 0.00 (per ore). Il empo di via dello sesso compoee per effeo del meccaismodi guaso B è descrio da ua v.a. espoeziale di paramero (per ore). Deermiare desià di guaso complessiva e fuzioe di affidabilià. (effeuare i grafici) Esercizio: Suppoiamo il asso di guaso di u compoee durae il periodo di rodaggio sia di Weibullco paramero di forma 0.60 e paramerodi scala ore, durae il periodo di fase adula sia di Weibull co paramero di forma 1.00 e paramero di scala 4000 ore e durae la fase di usura sia di Weibullco paramero di forma.50 e paramero di scala 4500 ore. Scrivere la fuzioe desià di guaso. Scrivere la fuzioe desià di guaso f = f R R + f R R + f R R Effeuare u grafico 3