y(t) o complesse non tutte nulle, fa corrispondere un'uscita data dalla:

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1 Capiolo V TRASFORMAZIOI LIEARI DEI SEGALI V. - Defiizioi. Proprieà geerali. x( ) S y() Fig. VI. Trasformazioe di segali S ed è simbolicamee rappreseaa dalla relazioe: y () = S x () I (V..) { } U sisema di elaborazioe dei segali è u disposiivo che effeua su uo o più segali i igresso u isieme di rasformazioi, come ad esempio amplificazioe, filraggio, modulazioe o rivelazioe, rasmissioe, ec. U ale disposiivo è ormalmee rappreseao mediae u blocco fuzioale caraerizzao da u segale i igresso x() e da u segale i uscia y() (vedi Fig. V.). La rasformazioe operaa dal blocco è ideificaa da u operaore Se I è u isieme coiuo (fiio o ifiio) la rasformazioe si dice aalogica; se I è u isieme discreo (fiio o umerabile) la rasformazioe è dea umerica. Il segale i uscia al geerico isae, i geerale, dipede dalla forma dell'igresso x(τ) per τ < (passao), τ= (presee) e τ > (fuuro). Quado y() dipede solo da x() la rasformazioe si dice priva di memoria. La rasformazioe è dea iolre o aicipaiva se y() igresso dipede solo dal segale i x(τ) per τ. I caso corario essa si dirà aicipaiva. auralmee se la rasformazioe S rappresea u sisema fisico la risposa o può sussisere prima che la solleciazioe o sia applicaa all'igresso (Pricipio di causalià); di cosegueza essa deve essere ecessariamee o aicipaiva. Tuavia se l'elaborazioe del segale avviee i empo viruale a mezzo ad esempio di u calcolaore ella cui memoria soo sai già sai iserii i dai x(), la codizioe di causalià può essere rimossa. U'imporae classificazioe delle rasformazioi di segali è basaa sul coceo di liearià. Ua rasformazioe si dice lieare se ad ogi igresso del ipo: (V..) x() = a i x i () I i = cosiuio cioè dalla combiazioe lieare di segali compoei, co le a cosai reali o complesse o ue ulle, fa corrispodere u'uscia daa dalla: (V..3) y ( ) = ai S { xi( ) } I i= Deo i alre parole, la rasformazioe è lieare quado soddisfa il pricipio di omogeeià: i

2 - 5 - G. Mamola: Fodamei di Comuicazioi Eleriche (V..4) S{ } = S { } e di addiivià: x() x() cosae (V..5) S{ x () x () } = S{ x () } S { x () } la risposa all'igresso Ua rasformazioe ifie si dice empo ivariae se dea x(), all'igresso x( τ) corrispode l'uscia: (V..6) S { } y ( τ ) = x ( τ), τ I y() Ciò equivale a dire che ad u riardo el segale i igresso corrispode u ideico riardo el segale i uscia. Esempio E.V. La rasformazioe è discrea, o lieare e priva di memoria. yt ( ) = x( T) Esempio E.V. La rasformazioe: y () = x () è aalogica, lieare, priva di memoria e empo variae giacche è: x( τ) ( τ)x( τ) Esempio E.V.3 La rasformazioe defiia dalla seguee equazioe differeziale: y () α y() = x() è lieare e empo ivariae. Liearià. Per gli igressi x () e x () si ha: y () α y() = x() y () α y() = x() da cui, sommado la prima della precedee moliplicaa per a co la secoda moliplicaa per a, è: [ ay () ay () α [ ay() ay() = ax() ax() che mosra che la risposa del sisema all igresso ax () ax () è ay () ay(). Tempo ivariaza. Effeuado, ell equazioe differeziale, la rasformazioe τ si ha: y ( τ ) αy( τ ) = x( τ ) che mosra che la risposa del sisema all igresso x ( τ ) è y ( τ ). Poiché la y () dipede, iolre, dal segmeo del segale i igresso x( τ ) ( τ ) il sisema è co memoria. I quel che segue è ecessario disiguere le rasformazioi lieari a empo coiuo da quelle lieari a empo discreo.

3 Cap. VI Trasformazioi lieari di segali TRASFORMAZIOI LIEARI A TEMPO COTIUO V. - Sudio el domiio del empo. Per defiire la forma della rasformazioe S, basa parire dall'espressioe: (V..) x() = x(τ)δ( τ)dτ Se la rasformazioe S è lieare, si oiee: (V..) () = { ()} = ( τ) { δ( τ) } y S x x S dτ la quale, poedo: (V..3) h(, τ) = S{ δ( τ) } divea: (V..4) y() = x(τ)h(, τ)dτ La h(, τ), defiia dalla (V..3), corrispode alla risposa del sisema osservaa all'isae ad u impulso di Dirac applicao all'isae τ. Per quesa ragioe la fuzioe h(, τ) è deomiaa risposa impulsiva. el liguaggio proprio delle rasformazioi lieari la fuzioe h(, τ) cosiuisce il cosiddeo ucleo della rasformazioe (V..4). Esempio E.V.4 Il sisema lieare: y () = x () è caraerizzao dalla seguee risposa impulsiva h (, τ ) = δ( τ ) el caso i cui la rasformazioe lieare è empo ivariae, la (V..) diviee: (V..5) S { } essedo h (, τ ) = δ( τ ) = h ( τ) (V..6) h () = S{ δ () } la risposa del sisema alla dela di Dirac applicaa all'origie. Di cosegueza la (V..) divea: (V..7) y() = x(τ)h( τ)dτ = x( τ)h(τ)dτ = x h e cioè: il segale i uscia da u sisema lieare empo ivariae si oiee dalla covoluzioe del segale i igresso co la risposa impulsiva. U sisema lieare è deo sabile se ad ogi igresso limiao corrispode u uscia limiaa (Sabilià BIBO: Bouded Ipu Bouded Oupu). Ciò compora che, co (V..8) x() < Mx si deve avere (V..9) y () < My e queso compora che deve essere: (V..) y () = x() τ h (, τ) dτ M h (, τ) dτ M che equivale a scrivere: x y

4 G. Mamola: Fodamei di Comuicazioi Eleriche (V..) h (, τ) dτ< Se il sisema è empo ivariae è (V..) h () d< e cioè la risposa impulsiva risula assoluamee iegrabile. È da osservare che, el caso di sisemi lieari e empo ivariai, la codizioe (V..) è ache ecessaria. Ifai, si suppoga che sia h () d=. Si scelga u igresso del ipo (V..3) x() = sg [ h( ) Esso è maifesamee limiao; uavia l uscia del sisema, calcolaa i =, è: y() = x( τ) h( τ) dτ = sg h( τ) h( τ) dτ = h( ) d = (V..4) [ Se la risposa impulsiva di u sisema è del ipo (V..5) h (, τ ) =φ() δ( τ ) la risposa ad u igresso x() è daa dalla: (V..6) y () = x( τ) φ() δ( τ) dτ=φ() x () Ciò equivale a dire che il sisema è privo di memoria perchè la risposa dipede solo dall igresso valuao all isae. Se il sisema è empo ivariae, la codizioe (V..5) si mua ella h () = δ() e cioè la risposa impulsiva è proporzioale alla dela di Dirac. V.3. - Sudio el domiio della frequeza. Lo sudio delle rasformazioi lieari può essere codoo efficacemee el domiio della frequeza cosiderado cioè le rasformae di Fourier dei segali di igresso e di uscia. el uovo domiio la (V..4) assume u'alra forma che rappresea la rasformazioe duale. I quel che segue ci si riferisce solo a sisemi empo ivariai per i quali la relazioe igresso uscia è espressa dall iegrale di covoluzie (V..7). Prededo allora le rasformae di Fourier di ambo i membri della (V..7) e ricordado la proprieà 5 della covoluzioe el domiio del empo, si deduce: (V.3.) Y( f) = H( f) X( f ) dove X( f) e Y( f) deoao le rasformae di Fourier di x() e y() rispeivamee e la quaià H( f) defiia dalla: (V.3.) H( f ) = F{ h( )}= h()e jπf d prede il ome di risposa i frequeza del sisema. La rasformazioe duale di ua rasformazioe empo ivariae si riduce al prodoo della X( f) per la risposa i frequeza del sisema. el caso geerale può risulare complicaa la deermiazioe della risposa i frequeza di u sisema lieare. Tuavia el caso di rasformazioi lieari e empo ivariai il calcolo della H( f) risula molo più semplice. Ifai la risposa ad u igresso cisoidale del ipo:

5 Cap. VI Trasformazioi lieari di segali (V.3.3) x () = e jπf vale: (V.3.4) y () = e jπf ( τ) h(τ)dτ = e j πf h(τ)e j πfτ dτ che, ricordado la (V.3.), si scrive: (V.3.5) y () = H( f )x () Ciò sigifica che i ua rasformazioe empo ivariae la risposa alla solleciazioe cisoidale x () risula proporzioale a x () e la cosae di proporzioalià è proprio la risposa i frequeza del sisema. Esempio E.V.5 Si deermii la risposa i frequeza del sisema defiio dalla seguee equazioe differeziale: y () α y() = x() Poedo: x () = e jπf si oiee: dalla quale si deduce: y () = H( f ) e j πf jπf jπf jπf j π fh( f) e α H( f) e = e H( f) = α j π f Esempio E.V.6 Si deermii la risposa i frequeza del filro RC passa basso rappreseao i Fig. E.V. dove x() e y () deoao le esioi applicae ai morsei di igresso e di R uscia rispeivamee. L'equazioe differeziale della ree è x() C y() RCy () y() = x() Poedo: j π f jπf x () x() = e y () y() = H( f) e Fig. E.V. si ha: H( f ) = R j π frc E' da osservare che quao deo equivale a deermiare la risposa del sisema el regime siusoidale permaee; ciò può essere fao direamee sulla base dello schema di Fig. E.V. dove ai compoei R e C X( f ) Y( f) jπfc si soo sosiuii gli operaori R e rispeivamee. Dalla Fig. E.V. Fig. E.V. si deduce ifai: Hf ( ) π π Fig. E.V.3 ϑ(f ) f jπfc Il modulo della H( f) vale: Y( f) = X( f) jπ fc R jπfc H( f ) = ( πfrc) ed il suo argomeo: ϑ ( f ) = arcag( π frc) Come si evice dalla Fig. E.V.3, che ripora gli adamei di H( f ) e di ϑ ( f ) i fuzioe della frequeza, il sisema presea u comporameo del ipo "passa-basso". Esempio E.V.7. Si deermii la risposa impulsiva del sisema lieare e empo ivariae caraerizzao dalla seguee equazioe differeziale: y () y () y() = x()

6 G. Mamola: Fodamei di Comuicazioi Eleriche Meodo direo La risposa impulsiva si oiee dalla soluzioe dell equazioe (a) h () h () h() = δ () Poiché l impulso di Dirac è ideicamee ullo per empi egaivi, la risposa impulsiva può essere cosideraa come ua risposa co igresso zero paredo dall isae =. Queso compora che, dee α e β le soluzioi dell equazioe caraerisica: e cioè la soluzioe co igresso zero è del ipo: (b) s s = α 3 = ± j β 3 3 ( ) ( ) j j α β h () = e e = e e dove le cosai e dipedoo dalle codizioi iiziali a = che soo creae dall impulso di Dirac. A ale proposio si iegri l equazioe (a) da = a =. Si ha: (c) h ( ) h( ) h( ) d = essedo maifesamee h ( ) = ; h( ) = ; δ( ) d =. Poiché la risposa impulsiva o può avere discoiuià i =, perchè queso comporerebbe la preseza della derivaa della disribuzioe dela di Dirac che o è presee el secodo membro della (a), si deve avere: hd () = che compora (d) h ( ) = e quidi dalla (c) si oiee: (e) h ( ) = Le (d) e (d) cosiuiscoo le codizioi iiziali da imporre alla (b). Si perviee così alla seguee e- spressioe: 3 3 j j j j 3 h () = e e u () = e si u () Meodo basao sulla deermiazioe della risposa i frequeza. La risposa impulsiva può essere deermiaa come rasformaa iversa di Fourier della risposa i frequeza. A al proposio poedo () j f x = e π si oiee: jπf jπf jπf jπf ( j π f) H( f) e ( j π f) H( f) e H( f) e = e da cui H( f) = ( j π f) ( j π f) che, poedo adesso p = jπ f, divea H( p) = = p p 3 3 p j p j ( )( ) Espadedo la fuzioe H( p), così oeua, i frai semplici, si oiee: A B H( p) = 3 3 p j p j dove i coefficiei A e B valgoo: A = = j B = = j p j p j Si oiee allora p= j p= j H( f) = j 3 jπ f j 3 jπ f j 3 3 la cui airasformaa coicide co la risposa impulsiva precedeemee deermiaa.

7 Cap. VI Trasformazioi lieari di segali V.4 - Trasmissioe seza disorsioe. Filri ideali. U sisema di rasmissioe si defiisce seza disorsioe quado il segale i uscia è s() T h s( T) F Fig. V. Sisema di rasmissioe seza disorsioe proporzioale a quello i igresso seppur riardao di ua quaià T. (v. Fig. V.). Per u sisema seza disorsioe si ha quidi: (V.4.) y() = h x( T ) dove la cosae h rappresea il guadago (se è h > ) o l aeuazioe (se è h < ) del sisema. Trasformado secodo Fourier ambo i membri della (V.4.) e ricordado la proprieà 8 della raslazioe el domiio del empo, si oiee: (V.4.) Y( f) = h e j πft X( f ) dalla quale si deduce: (V.4.3) f m H( f ) ϑ( f) f m f H( f ) f f f f f ϑ( f) B f a) b) Fig. V.4 - Rispose i frequeza di u filro ideale: a) passa-basso, b) passabada f H( f) = h e j πft Le corrispodei rispose impulsive valgoo: a) filro passa-basso: H( f ) f ϑ( f) Fig. V.3 - Risposa i frequeza di u sisema seza disorsioe I u sisema di rasmissioe seza disorsioe l ampiezza della H( f) è cosae mere il suo argomeo risula proporzioale alla frequeza come è mosrao i Fig. V.3. (V.4.4) h () = h f sic [ f ( T) il cui adameo è riporao i Fig. VI.5. b) filro passa-bada: U sisema di rasmissioe che o iroduce disorsioi ero ua cera bada (fiia) di frequeza ma o permee, al di fuori di essa, la rasmissioe del segale, cosiuisce u filro ideale. A secoda della dislocazioe della bada i filri ideali si disiguoo i filri passa-basso e filri passa-bada. Le rispose i frequeza per filri ideali passa-basso e passa-bada soo riporae ella Fig. V.4. (V.4.5) h () = hbcos [ πf ( T)sic [ B ( T) dove le quaià B e f defiie dalle (V.4.6) m B = f f f = f f m ( ) rappreseao l ampiezza di bada e la frequeza cerale del filro. Come si deduce dalle (V.4.4) e (V.4.5), risula h () < e quidi il pricipio di causalià è violao.

8 G. Mamola: Fodamei di Comuicazioi Eleriche TRASFORMAZIOI LIEARI A TEMPO DISCRETO V.5 - Sudio el domiio del empo. ei sisemi umerici i segali che iervegoo i igresso e i uscia soo dei segali empo discrei rappreseai dalle sequeze umeriche x[ e rasformazioe è perao caraerizzaa dalla seguee relazioe: (VI.5.) y [ = S { x [ } y [ rispeivamee. La Come el caso dei sisemi lieari aalogici, per caraerizzare la rasformazioe S, basa esprimere il segale i igresso ella forma: (VI.5.) x[ = x[ δ[ essedo δ[ la sequeza impulsiva. = Se la rasformazioe S è lieare, risula: (VI.5.3) y[ = x[ { δ[ } la quale, poedo: S = (VI.5.4) h [, = S { δ[ } assume la forma: (VI.5.5) y[ = x[ h[, La sequeza h [, =, defiia dalla (VI.5.4), corrispode alla risposa del sisema quado al suo igresso è applicaa la sequeza impulsiva riardaa di uisce la cosiddea risposa impulsiva del sisema. Se la rasformazioe S è empo ivariae, la (VI.5.5) diviee: (VI.5.6) y[ = x[ h[ = x[ h[ = = passi e perao cosi- essedo: (VI.5.7) h [ = S { δ[ } Ache i queso caso il segale i uscia da u sisema lieare empo ivariae si oiee dalla covoluzioe della sequeza d igresso co la risposa impulsiva h [. el caso di sisemi umerici la codizioe di causalià compora: (VI.5.8,a) h [, per che, el caso di rasformazioi empo ivariai, si semplifica ella: (VI.5.8,b) h [ per Per sisemi causali empo variai la (VI.5.5) divea: (VI.5.9) y[ = x[ h[, = che per sisemi empo ivariai, si semplifica ella: (VI.5.) y[ = x[ h[ = x[ h[ = =

9 Cap. VI Trasformazioi lieari di segali ell'ambio dei sisemi umerici la risposa impulsiva h(, ) può preseare ua duraa fiia o ifiia. Si oegoo così i cosiddei sisemi a risposa impulsiva a duraa fiia (sisemi FIR Fiie Impulse Respose) o i sisemi a risposa impulsiva a duraa ifiia (sisemi IIR Ifiie Impulsive Respose). el caso di sisemi FIR empo ivariai si può porre, seza ledere le geeralià: (VI.5.) h [ per e e queso compora: (VI.5.) y[ = [ h[ = x[ [ h = = Il sisema presea ua memoria fiia giacchè solo valori del segale i igresso coribuiscoo alla deermiazioe dell uscia. Per coro i sisemi IIR soo caraerizzai da ua memoria ifiia. y [ U sisema lieare è sabile (el seso della sabilià BIBO) se ad ogi igresso limiao (VI.5.3) x[ < Mx corrispode l uscia limiaa: (VI.5.4) y [ < My I alri ermii, deve essere: (VI.5.5) y[ = x[ h[, M h[, e cioè M = x = (VI.5.6) h [, < Se il sisema è empo ivariae è = (VI.5.7) h [ < = e cioè la risposa impulsiva risula assoluamee sommabile. È ieressae oare che, ache el caso di sisemi discrei lieari e empo ivariai, la codizioe (VI.5.7) è ache ecessaria. ipo Ifai, si suppoga che sia h [ =. I quese codizioi si scelga u igresso del = (VI.5.8) x[ = sg [ h[ Esso è maifesamee limiao; uavia l uscia del sisema, calcolaa i = (VI.5.9) [ y[ = x[ h[ x[ h[ = sg h[ h[ = h[ = = = = Se la risposa impulsiva di u sisema è del ipo (VI.5.) h [, = φ[ δ[ la risposa ad u igresso x[ vale: (VI.5.) y[ = x[ φ[ δ[ =φ[ x[ = y =, vale

10 - 6 - G. Mamola: Fodamei di Comuicazioi Eleriche Ciò equivale a dire che il sisema è privo di memoria perchè la risposa dipede solo dall igresso valuao i. Se il sisema è empo ivariae, la codizioe (VI..) si mua ella: (VI.5.) h [ = δ [ e cioè la risposa impulsiva è proporzioale alla sequeza impulsiva. V.6 - Sudio el domiio della frequeza. Prededo i cosiderazioe le rasformazioi lieari e empo ivariai, rasformado secodo Fourier la (VI.5.) e ricordado la proprieà della rasformaa della somma di covoluzioe, si oiee: (VI.6.) Y( ϕ ) = X( ϕ) H( ϕ ) dove X ( ϕ ) e Y ( ϕ) deoao le rasformae di Fourier delle sequeze di igresso e di uscia rispeivamee e si è defiia co (VI.6.) la risposa i frequeza del sisema. H( ) he [ ϕ = = jπϕ Come el caso di sisemi a empo coiuo, la risposa i frequeza può essere facilmee calcolaa sulla base della risposa del sisema ad u igresso cisoidale del ipo: (VI.6.3) [ j x = e π ϕ Si ha ifai, per la (VI.5.): (VI.6.4) jπϕ jπϕ j π( ) ϕ [ = [ [ = [ = [ = = = jπϕ = H( ϕ ) e = x[ H( ϕ) = y x h h e e h e La risposa del sisema presea la sessa forma della solleciazioe i igresso, l'ampiezza però dipede dalla risposa i frequeza del sisema Esempio E.V.8. Si deermii la risposa i frequeza del sisema schemaizzao dall'equazioe alle differeze M y[ a y[ = b x[ Basa porre allora Si oiee così: = = j πϕ jπϕ x [ = x[ = e e y [ = y[ = H( ϕ) e H ( ϕ ) = be = M = jπϕ jπϕ ae