Controlli automatici per la meccatronica

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1 Corolli aomaici per la meccaroica Sisemi di corollo Prof. Paolo Rocco

2 variabili di igresso Che cos è sisema diamico? S variabili di scia U sisema diamico si ierfaccia co il reso del modo per mezzo di a serie di variabili che defiiremo di igresso ed alre che defiiremo di scia. Defiiamo di igresso le variabili co ci dall esero si ifleza il comporameo del sisema di scia qelle che caraerizzao il comporameo del sisema e slle qali soffermiamo il osro ieresse (ipicamee perché cosiiscoo l obieivo del corollo). La relazioe che sssise ra variabili di igresso e di scia è di casa-effeo e o ha lla a che vedere co relazioi di afflsso ed efflsso di maeria o eergia (la poraa di scia i serbaoio pò essere variabile di igresso per il sisema se per esempio è comadaa da a pompa). Corolli aomaici per la meccaroica - Sisemi di corollo - P. Rocco []

3 L ordie del sisema C i variabili di igresso v S variabili di scia igresso: = i scia: = v E sfficiee descrivere il comporameo diamico di sisema mediae relazioi algebriche ra i soi igressi e le se scie? Qasi sempre o per de moivi: occorre cooscere i valori assi dalle variabili di igresso a parire dall isae iiziale ed occorre cooscere a o più codizioi iiziali. C& () = () () = ( 0) + ( ) C τ d τ Occorre qidi cooscere il valore iiziale della esioe e l adameo della corree dall isae iiziale. Il mero miimo di codizioi iiziali che occorre assegare per deermiare e le scie del sisema oi gli adamei degli igressi a parire dall isae iiziale prede il ome di ordie del sisema: lo si idica co. 0 Corolli aomaici per la meccaroica - Sisemi di corollo - P. Rocco [3]

4 Corolli aomaici per la meccaroica - Sisemi di corollo - P. Rocco [4] Lo sao Lo sao Lo sao del sisema ad dao isae riassme a la soria passaa del sisema fio a qell isae ed è qidi qao occorre cooscere per calcolare le scie da qell isae i poi oi gli igressi. Per qao affermao sopra lo sao si pò esprimere per mezzo di variabili idicae co i simboli... che predoo il ome di variabili di sao. Sia m il mero delle variabili di igresso e p il mero di variabili di scia. Si irodcoo i re veori: = = = p m M M M

5 Corolli aomaici per la meccaroica - Sisemi di corollo - P. Rocco [5] Defiizioe di sisema diamico Defiizioe di sisema diamico Irodoe le de fzioi veoriali: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = m p m m m m m g g g f f f M M g f la formlazioe veoriale del sisema diamico è la segee : ( ) ( ) ( ) ( ) () () () ( ) g f = = &

6 Il sisema diamico: esempi Oscillaore meccaico: ( ) = Mv& ( ) + Dv( ) Kp( ) F + K D p M F igresso: = F scia: = p var. di sao: = p = v & ( ) = ( ) & ( ) = K ( ) D ( ) + ( ) M ( ) ( ) = ( ) Pedolo: τ τ ( ) = ml ω& ( ) + mgl si( ϑ( ) ) ϑ l mg igresso: = τ scia: = ϑ var. di sao: = ϑ = ω & ( ) = ( ) & g ( ) = si ( ) + l ml ( ) ( ) ( ) = ( ) Corolli aomaici per la meccaroica - Sisemi di corollo - P. Rocco [6]

7 Il sisema diamico: classificazioi Si dicoo SISO (Sigle Ip Sigle Op) i sisemi per ci m=p= geericamee MIMO (Mliple Ip Mliple Op) gli alri. Si dicoo lieari i sisemi i ci e le eqazioi di sao e e le rasformazioi di scia soo fzioi lieari delle variabili di sao e delle variabili di igresso o lieari i gli alri. Oscillaore meccaico: SISO lieare Pedolo: SISO o lieare Corolli aomaici per la meccaroica - Sisemi di corollo - P. Rocco [7]

8 Movimeo Assegaa a codizioe iiziale all isae 0 : = ( 0 ) 0 e a fzioe di igresso a parire da 0 : = () ( ) 0 diciamo movimeo dello sao () la solzioe delle eqazioi di sao corredae dalla codizioe iiziale assegaa: & = f () ( ( ) ()) ( 0 ) = 0 e movimeo dell scia la cosegee scia ricavabile dalla rasformazioe d scia: = g () ( ( ) ()) Corolli aomaici per la meccaroica - Sisemi di corollo - P. Rocco [8]

9 Eqilibrio I paricolari movimei cosai el empo associai a igressi cosai predoo il ome di eqilibri. La ricerca di eveali sai di eqilibrio associai all igresso si codce allado le derivae elle eqazioi di sao e ricercado le eveali solzioi dell eqazioe veoriale implicia i : f ( ) = 0 Pedolo: ϑ τ l igresso: = τ scia: = ϑ var. di sao: = ϑ = ω g l si ( ) + ml = 0 = 0 mg Se = 0 si hao i pi di eqlibrio: = 0 = 0 = π = 0 Corolli aomaici per la meccaroica - Sisemi di corollo - P. Rocco [9]

10 Sisemi lieari Qado e le eqazioi del sisema soo lieari elle varibili di sao e di igresso il sisema è lieare ed è descrio dalle eqazioi: & () = A( ) + B( ) () = C() + D() Oscillaore meccaico: ( ) ( ) K M F D p & = & ( ) = K ( ) D ( ) + ( ) M ( ) = ( ) ( ) 0 A = K M C = [ 0 ] D = 0 0 D B = M M U sisema lieare si pò ache oeere per liearizzazioe di sisema o lieare ell ioro di so sao di eqilibrio: f A = B = f C = g D = g Corolli aomaici per la meccaroica - Sisemi di corollo - P. Rocco [0]

11 δ ε Sabilià Movimeo sabile La sabilià è la proprieà dei movimeo movimei del sisema di reagire a perrbao ε perrbazioi che iervegoo sllo sao iiziale dado logo ad movimeo omiale movimeo perrbao che o si alloaa idefiiamee da qello omiale. 0 Movimeo isabile movimeo perrbao ε Movimeo asioicamee sabile movimeo perrbao ε δ ε 0 movimeo omiale δ ε 0 movimeo omiale Corolli aomaici per la meccaroica - Sisemi di corollo - P. Rocco []

12 Sabilià ei sisemi lieari I geerale la sabilià è a proprieà dei sigoli movimei. Per i sisemi lieari si dimosra che la discssioe della sabilià di ogi movimeo pora all aalisi delle solzioi dell eqazioe: δ& co: δ ( ) = Aδ( ) δ( 0) = δ. 0 ( ) = ( ) ( ) δ : =. : p 0 p0 0 Poiché il rislao di qesa aalisi è lo sesso qalqe sia il movimeo di pareza si pò cocldere che i i movimei del sisema soo sabili o isabili o asioicamee sabili. La sabilià è qidi a proprieà del sisema. Corolli aomaici per la meccaroica - Sisemi di corollo - P. Rocco []

13 Crierio degli aovalori Dall aalisi delle solzioi dell eqazioe: δ& ( ) = Aδ( ) δ( 0) = δ. 0 si possoo rarre le segei coclsioi (valide per marice A diagoalizzabile). U sisema diamico lieare è: asioicamee sabile: se e solo se i gli aovalori di A hao pare reale egaiva; sabile: se e solo se i gli aovalori di A hao pare reale egaiva o lla e e esisoo a pare reale lla; isabile: se e solo se esisoo aovalori di A a pare reale posiiva Corolli aomaici per la meccaroica - Sisemi di corollo - P. Rocco [3]

14 Fzioe di rasferimeo Si cosideri sisema lieare: & () = A() + B( ) () = C() + D() E oo che a rappreseazioe aleraiva del sisema si oiee irodcedo i veori U(s) e Y(s) rispeivamee veori delle rasformae di Laplace degli igressi e delle scie del sisema diamico. () eq. differeziali () rasformaa airasformaa U(s) eq. algebriche Asso lo sao iiziale del sisema llo il legame ra i de veori è espresso dalla fzioe di rasferimeo (marice p m): ( s) = C( si A) B D G + Y(s) Corolli aomaici per la meccaroica - Sisemi di corollo - P. Rocco [4]

15 Calcolo della fzioe di rasferimeo Dal sisema (SISO) i... al sisema i s & ( ) = a( ) + a( ) a( ) + b ( ) & ( ) = a( ) + a( ) a( ) + b( ) M & ( ) = a( ) + a( ) a( ) + b( ) ( ) = c( ) + c ( ) c ( ) + d ( ) sx( s) = ax( s) + ax( s) ax ( s) + bu ( s) sx() s = ax() s + ax() s ax() s + bu() s M sx() s = ax() s + ax() s ax() s + bu() s Ys () = cx() s+ cx() s cx() s+ dus () Si risolve il sisema i s: () s G = Y U ( s) () s f.d.. Corolli aomaici per la meccaroica - Sisemi di corollo - P. Rocco [5]

16 Srra della fzioe di rasferimeo () s G = () s () N D s La fzioe di rasferimeo è razioale (rapporo di poliomi). G () s ( s z )( s z ) L( s zm ) ( s p )( s p ) L( s p ) = ρ ρ: cosae di rasferimeo z i : zeri p i : poli m Se il deomiaore è di grado si hao poli (el campo complesso) G () s = µ s g ( + sτ )( + sτ ) L( + sτm~ ) ( + st )( + st ) L( + st~ ) g coa il mero di poli o zeri i s = 0 µ: gadago g: ipo T i τ i : cosai di empo Corolli aomaici per la meccaroica - Sisemi di corollo - P. Rocco [6]

17 Sabilià e f.d.. Il deomiaore della fzioe di rasferimeo coicide a meo di cacellazioi co il poliomio caraerisico della marice A. Perao l aalisi di sabilià pò essere codoa ache si poli della fzioe di rasferimeo: Ti i poli a pare reale egaiva as. sabilià Almeo polo a pare reale posiiva isabilià Corolli aomaici per la meccaroica - Sisemi di corollo - P. Rocco [7]

18 Sisemi del e ordie U sisema del ordie: rispose allo scalio T > 0 G () s µ = + st /T Im Re µ T > 0 T U sisema del ordie: G () s = µ s + ω ζωs + ω ζω ω α Im Re ζ = cos(α) µ M µ ζω µ(+e ) T = π/ω * ζω µ( e ) Corolli aomaici per la meccaroica - Sisemi di corollo - P. Rocco [8]

19 La risposa i freqeza Impoiamo ad sisema diamico igresso sisoidale: U G(s) Y ( ) = Asi( ω + ϕ) ϕ/ω T = π/ω Se il sisema è asioicamee sabile esario rasiorio iiziale ache l scia è sisoidale co la sessa plsazioe della sisoide i igresso e risla i paricolare: ( ) = Bsi( ω + ψ) ( jω) B = AG ψ = ϕ + G ( jω) ( jω) ω > 0 Corolli aomaici per la meccaroica - Sisemi di corollo - P. Rocco [9] G Risposa i freqeza

20 Diagrammi di Bode La risposa i freqeza è a fzioe a valori complessi. U modo per rappresearla graficamee è riporare il modlo e la fase al variare di ω: db gradi 0 0 Diagramma di Bode - Modlo Diagramma di Bode - Fase 0-50 Modlo -ascissa: ω i scala log. -ordiaa: G ( jω) = 0log G( jω) db 0 Fase -ascissa: ω i scala log. -ordiaa: fase i gradi Corolli aomaici per la meccaroica - Sisemi di corollo - P. Rocco [0]

21 I sisemi i aello chiso I sisemi di corollo prevedoo di orma la chisra di aelli di reroazioe + R(s) G(s) R(s): regolaore G(s): sisema soo corollo + L(s) L(s) = R(s) G(s) : f.d.. d aello () s () s L = F() s = + ( s) L() s F(s) : f.d.. i aello chiso Sl sisema di corollo i aello chiso si possoo compiere aalisi di sabilià (omiale e robsa) e presazioi (saiche e diamiche) Corolli aomaici per la meccaroica - Sisemi di corollo - P. Rocco []

22 Il crierio di sabilià di Bode Ipoesi s L(s) gadago posiivo ess polo a pare reale posiiva + L(s) db 0 0 Diagramma di Bode - Modlo ω c ω c : plsazioe criica ϕ c : fase criica ϕ m : margie di fase gradi Diagramma di Bode - Fase 0-00 ϕ c ϕ m ϕ m = 80 ϕ c Sisema as. sabile ϕ m >0 Corolli aomaici per la meccaroica - Sisemi di corollo - P. Rocco []

23 Il logo delle radici Dao sisema di corollo: + L(s) L () s = ρ ( s + z )( s + z ) L( s + zm ) ( s + p )( s + p ) L( s + p ) Come variao i poli del sisema i aello chiso al variare di ρ? logo direo ρ > 0 Im s logo iverso ρ < 0 Im Esisoo regole per racciare rapidamee i loghi z Re z Re p 4 p 3 p p p 4 p 3 p p Qado almeo ramo è el semipiao desro il sisema i aello chiso è isabile. Corolli aomaici per la meccaroica - Sisemi di corollo - P. Rocco [3]

24 Presazioi saiche i aello chiso + e L(s) L () s = µ s L g ( + sτ )( + sτ ) L( + sτm ) ( + st )( + st ) L( st ) L + Qao vale l errore a regime qado si perrba? g 0 L = A Asca() Aram( ) Apar( ) ( + µ ) 0 L A µ 0 0 L A µ L L errore dipede da gadago e ipo di L Perché l errore sia llo qado è o scalio occorre almeo polo i s = 0 (g L > 0). ram() = 0 par() = / 0 Corolli aomaici per la meccaroica - Sisemi di corollo - P. Rocco [4]

25 Presazioi diamiche i aello chiso 0 Diagramma di Bode - Modlo + e L(s) 0 Bada passae Diagramma di Bode - Fase 0 ω c -00 ϕ Co che rapidià isege? Le rispose i aello chiso oscillao o soo smorzae? c Se ϕ m è elevao le rispose soo smorzae e si esariscoo i empo pari a 4 5 vole /ω c Es: ω c =00 rad/s τ a 5/ω c = 50 ms ϕ m /ω c Corolli aomaici per la meccaroica - Sisemi di corollo - P. Rocco [5]

26 Siesi del corollore + R(s) G(s) La siesi (o progeo) del corollore cosise el deermiare la fzioe di rasferimeo R(s) del corollore daa la fzioe di rasferimeo G(s) del sisema soo corollo i modo da soddisfare alce specifiche di progeo: Sabilià Presazioi saiche Presazioi diamiche Reiezioe di disrbi Specifiche addizioali (srra di R(s) vicoli all azioe di corollo ) I qeso corso ci occperemo del progeo del corollore per problemi di corollo del moo. Corolli aomaici per la meccaroica - Sisemi di corollo - P. Rocco [6]

27 Corollori PID Nei problemi di corollo del moo si ilizzao molo i corollori PID (ad azioe Proporzioale Iegrale e Derivaiva). La legge di corollo PID el domiio del empo è la segee: P I dτ + 0 () = K e() + K e( τ) I aleraiva: T () = K e() + e() τ P I 0 K dτ + T D D de( ) d de d ( ) I ermii di fzioe di rasferimeo: T I KP = (empo iegrale) K I KD T D = (empo derivaivo) K P ( ) Rs K I KP + st + s T T = KP + + KDs= KP + + std = s st T s I I I I D Corolli aomaici per la meccaroica - Sisemi di corollo - P. Rocco [7]