Controlli Automatici 2

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1 Controlli Automatici 2 Stefano Miani 1 1 Dipartimento di Ingegneria Elettrica, Gestionale e Meccanica Università degli Studi di Udine tel: miani.stefano@uniud.it web: A.A

2 Testo di riferimento Bolzern, Scattolini, Schiavoni Fondamenti di controlli automatici, McGraw-Hill 37 euro

3 Contenuti del corso Funzione di trasferimento Legame ingresso-uscita Struttura della f.d.t. Cancellazioni Invarianza della f.d.t. Rappresentazioni della f.d.t. F.d.t associata a un ritardo e ad azione proporzionale, integrale e derivativa Risposta impulsiva Risposta al gradino Schemi a blocchi Connessione serie Connessione parallelo Retroazione Realizzazione Passaggio da stato a f.d.t. Passaggio da f.d.t. a stato Forma di stato del sistema serie

4 Legame tra forma di stato e funzione di trasferimento Sistema lineare e stazionario con u IR m, x IR n, y IR p. ẋ = Ax + Bu y = Cx + Du sx (s) x(0) = AX (s) + BU(s) Y (s) = CX (s) + DU(s) X (s) = (si A) 1 x(0) + (si ( A) 1 BU(s) ) Y (s) = C (si A) 1 x(0) + C (si A) 1 + D U(s) } {{ } W (s)

5 X (s) = X el (s) + X ef (s) Y (s) = Y el (s) + Y ef (s) La f.d.t. W (s) contiene informazioni sul solo legame ingresso-uscita u(t) = δ(t) = U(s) = 1 = Y (s) = W (s) funzione di trasferimento = trasformata di Laplace della risposta all impulso g(t) Per u(t) generica vale y ef (t) = t 0 g(t τ)u(τ)dτ

6 Struttura della funzione di trasferimento per sistemi SISO (m = p = 1) W (s) = C (si A) 1 B + D (si A) 1 = adj(si A) det(si A) Numeratore: matrice n n di polinomi di grado al piú (n 1) Denominatore: φ A (s)=polinomio caratteristico della matrice A, di grado n C (si A) 1 B = n 1 (s) di grado (n 1) Cadj(sI A)B det(si A) = n 1(s) φ A (s)

7 W (s) = n 1(s) φ A (s) + d = n 1(s) + dφ A (s) = n(s) φ A (s) φ A (s) d 0 n(s) ha grado n. Se alcuni zeri z i di n(s) coincidono con gli autovalori di A (si dimostri che se ció accade allora ci sono cancellazioni tra gli zeri di n 1 (s) e gli zeri di φ A (s)) grado di W (s) é < n. Effettuate le cancellazioni, zeri del numeratore di W (s)=zeri della f.d.t. zeri del denominatore di W (s)=poli della f.d.t. poli autovalori

8 Invarianza della funzione di trasferimento ẋ = Ax + Bu y = Cx + Du = G(s) = C(sI A) 1 B + D Cambio di base, T invertibile: ˆx = Tx  ˆB {}}{{}}{ ˆx = TAT 1 ˆx + TB u y = CT }{{ 1 } x + }{{} D u ˆD Ĉ Ĝ(s) = Ĉ(sI Â) 1 ˆB + ˆD = CT 1 (si TAT 1 ) 1 TB + D = Ĝ(s) = G(s)

9 Zeri, poli e rappresentazioni Forma poli-zeri Forma di Bode G(s) = ρ i (s + z i) i (s2 + 2ζ i α ni s + α 2 ni ) s g i (s + p i) i (s2 + 2ξ i ω ni s + ω 2 ni ) G(s) = µ i (1 + sτ i) i (1 + 2ζ i α ni s + s2 ) s α 2 ni s g i (1 + st i) i (1 + 2ξ i ω ni s + s2 ) s ω 2 ni

10 ρ: costante di trasferimento g: tipo z i, p i : zeri e poli reali α ni, ω ni : pulsazioni naturali delle coppie di zeri e poli complessi coniugati ζ i, ξ i : smorzamenti delle coppie di zeri e poli complessi coniugati µ: guadagno τ i, T i : costanti di tempo degli zeri e dei poli reali

11 µ = ρ i τ i i α ni i Ti i ω ni τ i = 1 z i, T i = 1 p i

12 Ritardo, proporzionale, integrale e derivativa Dato il segnale u(t), il segnale ritardato di τ > 0 secondi é y(t) = u(t τ). Trasformando entrambi i membri si ottiene Y (s) = e sτ U(S) ovvero la f.d.t. associata al ritardo é G(s) = e sτ. Le f.d.t. associate all azione proporzionale, integrale e derivativa sono: G P (s) = K P G I (s) = 1 s G D (s) = s

13 Risposta impulsiva di sistemi elementari G(s) = K G(s) = ω 2 n s 2 +2ξω ns+ω 2 n g(t) = K K 1 + st g(t) = K T e t/t G(s) = 1 s g(t) = δ 1(t) G(s) = K g(t) = Kδ(t) ω n 1 ξ 2 e ξωnt sin (ω n t ) 1 ξ 2

14 Risposta al gradino di sistemi elementari (U(s) = 1 s ) G(s) = b ms m + b m 1 s m b 0 s n + a n 1 s n a 0 Zeri del numeratore/denominatore: zeri/poli di G(s) G(s) é stabile se tutti i poli hanno parte reale negativa µ i (1 + sτ i) ( ( ) ) 2 s i 1 + 2ξ ni ω ni + s ω ni G(s) = s g i (1 + st i) ( ( ) ) 2 s i 1 + 2ξ di ω di + s ω di

15 G(s) = µ 1+sT y(t) = µ ( 1 e t/t ) 1 Step Response Amplitude Time (sec)

16 G(s) = y(t) = µ µ 1+2ξs/ω+(s/ω) 2 ( ξ 2 e ξωt sin ( ωt ) ) 1 ξ 2 + arccos ξ

17 Schemi a blocchi Sistemi n-dimensionali, m = p = 1 (SISO) W (s) = n(s) (s d(s) = K zi ) (s pi ) r C(s) u P(s) y W ry (s) = P(s)C(s) = C(s)P(s)

18 r + C(s) + y P(s) W ry = C(s) + P(s)

19 r + C(s) P(s) y H(s) W ry (s) = C(s)P(s) 1 + H(s)C(s)P(s)

20 Realizzazione ẋ = Ax + Bu y = Cx + Du É univoco!!! W uy (s) = C(sI A) 1 B + D = Cadj(sI A)B det(si A) + D

21 W (s) di ordine n in forma minima: le forme di stato che la realizzano sono infinite. Le forme di stato di dimensione minima hanno n stati. W (s) = b ns n + b n 1 s n b 0 s n + a n 1 s n a 0 W (s) = d + b1 n 1 sn b0 1 s n + a n 1 s n a A = B =. 0 a 0 a 1 a 2... a n 1 1 C = [ b0 1 b bn 1 1 ] D = d

22 Serie: W 1 (s) = (A 1, B 1, C 1, D 1 ) e W 2 (s) = (A 2, B 2, C 2, D 2 ), u 2 = y 1 [ ] [ ] A1 0 B1 A tot = B B 2 C 1 A tot = 2 B 2 D 1 C tot = [ ] D 2 C 1 C 2 D tot = D 2 D 1 Esercizio: si determinino le forme di stato delle connessioni parallelo e retroazione. Si verifichi che per la connessione in retroazione in generale λ(a tot ) λ(a 1 ) λ(a 2 )

23 r s 3 u s+1 y s+2 s 3 W ry (s) = s + 1 s + 2 Il sistema non e internamente stabile, ovvero esistono c.i. per cui l uscita di evoluzione libera diverge. W 1 (s) : A 1 = 2, B 1 = 1, C 1 = 5, D 1 = 1 W 2 (s) : A 2 = 3, B 2 = 1, C 2 = 4, D 2 = 1 [ ] 2 0 A tot = 5 3

24 Le cancellazioni algebriche introdotte per semplificare la determinazione della fdt sono ammesse. L eventuale cancellazione zero-polo instabile e virtuale. r s+5 s 1 y r + 10 s+5 y 1 1 s 1 y 1 s 1 W ry (s) = 10 (s + 5)(s 1) + 10 W ry1 (s) = 10(s 1) (s + 5)(s 1) + 10 Nota: se il sistema di partenza avesse realmente avuto la rappresentazione con y 1, il sistema complessivo sarebbe risultato instabile internamente.

25 Risposta in frequenza ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t) + Du(t) G(s) = C(sI A) 1 B + D (1) Dato u(t) = e λt+β, ˆx(0) tale che x(t) = ˆx(0)e λt+β? ẋ(t) = λˆx(0)e λt+β = Aˆx(0)e λt+β + Be λt+β λˆx(0)e λt+β = Aˆx(0)e λt+β + Be λt+β (2) ˆx(0) = (λi [ A) 1 B ] y(t) = C (λi A) 1 B + D e λt+β = G(λ)e λt+β

26 Cambio di variabile: Ingresso: u(t) = e λt+β x(t) = x(t) ˆx(0)e λt+β x(0) = x(0) ˆx(0)e β x(t) = ẋ(t) λˆx(0)e λt+β = = Ax(t) + Be λt+β Aˆx(0)e λt+β Be λt+β dove si e utilizzata l espressione (2)

27 Dunque (ricorda: x(t) = x(t) ˆx(0)e λt+β ) x(t) = Ax(t) Aˆx(0)e λt+β = A(x(t) ˆx(0)e λt+β ) = A x(t) A e asintoticamente stabile, allora x(0), ovvero, x(0): x(t) 0 = x(t) ˆx(0)e λt+β Riassumendo: se A e asintoticamente stabile, l uscita corrispondente all ingresso u(t) = e λt+β, per qualsiasi condizione iniziale, é tale che y(t) = Cx(t) + Du(t) ŷ(t) = G(λ)e λt+β

28 u(t) = sin(ωt + ϕ 0 ) = ej(ωt+ϕ0) e j(ωt+ϕ 0) = 2j = eλ 1t+β 1 e (λ 1t+β 1 ) 2j = u 1 u 2 2j Sistema lineare (sovrapposizione effetti) e A asintot. stabile = considero le due risposte asintotiche separatamente: y 1 = G(jω)e j(ωt+ϕ 0), y 2 = G( jω)e j(ωt+ϕ 0) y = y 1 y 2 2j

29 G(s) é la trasformata di un segnale reale: G( jω) = G(jω) G(jω) = G(jω) e G(jω) G( jω) = G(jω) e G(jω) y = y 1 y 2 = G(jω) ej(ωt+ϕ0+ G(jω)) e j(ωt+ϕ 0+ G(jω)) 2j 2j = G(jω) sin(ωt + ϕ 0 + G(jω)) Esercizio: si giunga allo stesso risultato mediante sviluppo di Heaviside della trasformata della risposta forzata. considerando l ingresso U(s) = ω s 2 +ω 2

30 G(λ) = 0 = il segnale e λt viene asintoticamente bloccato + V in + R v in v R v C = 0 v R = Ri R i C = C v C i = i R = i C + C v in Ri R v c = 0 = v in RC v C v c = 0 v c = 1 RC v c + 1 RC v in, v C (0) = 0

31 V C (s) = src V in(s) = G C (s)v in (s) V R (s) = V in (s) V C (s) = src 1 + src V in(s) = G R (s)v in (s) La capacitá si comporta come una circuito aperto in continua, infatti G R (0) = 0, in continua la tensione cade tutta ai capi della capacita.

32 Un segnale periodico f (t) di periodo T ammette uno sviluppo in serie di Fourier F 0 = 1 T T f (t)dt Fn c = 2 2π T T f (t) cos(n T t)dt Fc s = 2 2π T f (t) sin(n T t)dt f (t) = F n=1 T [ ( Fn c cos n 2π ) ( T t + Fn s sin n 2π )] T t

33 Esempio: f (t) = t 0.5, di periodo T = 1. F 0 = 1 4 F c n = 4 (2nπ) 2 (1 ( 1) n )) F s n = 0;

34 f (t) = cos(2πt) cos(6πt) cos(10πt)

35 Si consideri il sistema dinamico P(s) = s con u(t) = f (t) = cos(2πt) cos(6πt) +... ; Il segnale di regime permanente in uscita e la somma dei singoli contributi di regime permanente. y RP (t) = P(j0) P(j2π) cos(2πt + P(j2π))+ P(j6π) cos(6πt + P(j6π)) +... P(0) = 1 P(2jπ) = , P(2jπ) = ( P(6jπ) = ) ỹ RP = cos(2πt ) + [ cos(6πt +... )]

36 Confronto tra la risposta di regime permanente ottenuta con u(t) e con u(t) troncato alla prima armonica

37 Diagrammi di Bode Funzione di trasferimento W (s) stabile u(t) = A sin(ωt + φ) Y (s) = W (s)u(s) I modi del sistema decadono = restano i modi in ingresso y rp (t) = A W (iω) sin (ωt + φ + arg (W (iω))) Se il sistema è stabile si comporta come un guadagno e uno sfasatore (variabili) alle varie frequenze 1 W (s) = (s + 1)(s + 3) u(t) = sin(t) = y(t) = 1 (1i + 1)(1i + 3) sin(t+ 1 (1i + 1)(1i + 3) )

38 G(iω) = G(iω) e i arg(g(iω)) : risposta in frequenza Rappresentazione grafica di modulo e fase G(iω) db = 20 log 10 G(iω) G(iω) db = µ db + j 1 + iωτ j db + j 1 + 2iξ N j ω/ωj N ω 2 /ωj 2 g ω db j 1 + iωt j db j 1 + 2iξ D j ω/ωj D ω 2 /ωj 2 db db arg (G(iω)) = arg(µ) + j arg (1 + iωτ j) + j arg ( ) 1 + 2iξj D ω/ωj D ω 2 /ωj 2 µ 1/s 1/ (1 + st ) 1/ (1 + 2ξs/ω n + s 2 /ω 2 n)

39 { 0 se µ > 0 µ db = 20 log 10 µ arg(µ) = π se µ < 0 ( ) 1 1 (iω) g = 20g log 10 ω arg db (iω) g = g π 2

40 1 1 + iωt = db { 0 se ω 1/ T 20 log 10 ω 20 log 10 T se ω 1/ T ( ) { 1 0 se ω 1/ T arg = 1 + iωt sign(t ) se ω 1/ T π 2

41 { 1 0 se ω ωn 1 + 2ξiω/ω n ω 2 /ωn 2 = ω db 40 log 10 ω n se ω ω n ( ) { 1 0 se ω ωn arg 1 + 2ξiω/ω n ω 2 /ωn 2 = π sign(ξ) se ω ω n