APPUNTI DI DINAMICA DELLE STRUTTURE

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1 APPUNTI DI DINAMICA DELLE STRUTTURE Giacomo Navarra Università degli Studi di Enna "Kore" FACOLTÁ DI INGEGNERIA ED ARCHITETTURA

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3 INDICE Introduzione vii PARTE I ELEMENTI DI DINAMICA DETERMINISTICA 1 Vibrazioni libere di oscillatori elementari Vibrazioni libere di oscillatori non smorzati non forzati Approccio energetico alle vibrazioni libere di oscillatori non smorzati non forzati Vibrazioni libere di oscillatori smorzati non forzati 7 2 Vibrazioni forzate di oscillatori elementari Vibrazioni forzate per forzanti armoniche Funzioni di risposta al gradino unitario ed all impulso unitario Risposta di un oscillatore ad una forzante generica Soluzione in termini di variabili di stato Formulazione integrale Formulazione incrementale Analisi sismica di sistemi ad un grado di libertà Equazioni del moto di un oscillatore elementare soggetto a moto sismico Spettri di risposta e spettri di progetto elastico 28 iii

4 iv INDICE 3 Vibrazioni libere di sistemi a più gradi di libertà Equazioni del moto di sistemi a più gradi di libertà Vibrazioni libere non smorzate di sistemi a più gradi di libertà Autovalori ed autovettori e loro proprietà Vibrazione libere come combinazione dei modi di vibrare Vibrazioni libere di strutture classicamente smorzate Equazioni del moto di sistemi smorzati a più gradi di libertà Modellazioni classiche della matrice di dissipazione Legge oraria delle vibrazioni libere di strutture classicamente smorzate 48 4 Vibrazioni forzate di sistemi a più gradi di libertà Metodo della sovrapposizione modale Risposta di sistemi a più gradi di libertà a forzanti generiche Formulazione integrale Formulazione incrementale Metodi di correzione modale Metodi alternativi all analisi modale Il metodo di Newmark Il metodo di Runge-Kutta Analisi sismica di sistemi a più gradi di libertà Equazioni del moto di un sistema a più gradi di libertà soggetto a moto sismico Analisi modale con spettro di risposta 60 PARTE II ELEMENTI DI DINAMICA ALEATORIA 5 Elementi di teoria delle probabilità e variabili aleatorie Definizioni di base Teoria assiomatica della probabilità Funzione distribuzione cumulativa e funzione densità di probabilità Momenti di una variabile aleatoria Funzione caratteristica Log-funzione caratteristica e cumulanti Variabili aleatorie gaussiane Variabili aleatorie bidimensionali 75 6 Elementi di teoria dei processi aleatori Descrizione probabilistica dei processi aleatori Definizioni di base Medie a tempi multipli e correlazioni 84

5 INDICE v Processi aleatori stazionari Processi aleatori Gaussiani stazionari Funzioni di autocorrelazione Densità spettrale di potenza Interpretazione energetica della densità spettrale di potenza Classificazione dei processi gaussiani stazionari Processo aleatorio sinusoidale Processo aleatorio a banda stretta Processo aleatorio a banda larga Processo aleatorio bianco 94 7 Analisi aleatoria di sistemi lineari forzati da processi gaussiani Introduzione Risposta aleatoria dell oscillatore elementare Risposta dell oscillatore elementare nel dominio della frequenza Caratterizzazione del processo risposta Risposta aleatoria dei sistemi a più gradi di libertà Analisi aleatoria mediante trasformazione modale Analisi aleatoria nello spazio fisico Cenni di affidabilità strutturale Valutazione dei valori di picco massimo Simulazione Monte Carlo 110 A La trasformata di Fourier 115 A.1 Definizioni e proprietà 115 A.2 Interpretazione energetica della trasformata di Fourier 117 B Analisi sismica di strutture multi-piano intelaiate 119 B.1 Descrizione geometrica della struttura ed ipotesi di calcolo 119 B.2 Analisi dei carichi 122 B.3 Costruzione della matrice delle masse 122 B.4 Costruzione della matrice di rigidezza 125 B.5 Soluzione del problema agli autovalori 128 B.6 Determinazione dello spettro elastico di Risposta 129 B.7 Calcolo delle risposte modali massime 129 B.8 Combinazioni modali e combinazioni spaziali 130 B.9 Metodi di calcolo alternativi all analisi modale 132

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7 INTRODUZIONE Lo scopo principale del corso di Dinamica delle Strutture è quello di presentare i metodi di analisi per la determinazione delle deformazioni e degli stati tensionali indotte in ogni tipo di struttura quando questa è soggetta ad un carico dinamico qualsiasi. In un certo senso, ciò può essere considerato una estensione dei metodi standard di analisi strutturale che normalmente considerano solo la presenza di carichi statici. I metodi di soluzione statici e dinamici sono intrinsecamente diversi e nel seguito di questa trattazione il termine dinamico designerà semplicemente una grandezza che varia nel tempo. Così, un carico dinamico potrà essere definito come un qualsiasi carico la cui intensità, posizione e/o direzione cambia con il tempo. In modo analogo, la risposta strutturale connessa ad un carico dinamico (ad esempio in termini di spostamenti e tensioni interne) sarà anch essa dinamica. Per la valutazione della risposta strutturale ai carichi dinamici sono disponibili due approcci fondamentali: quello deterministico e quello aleatorio. La scelta di quale metodo usare dipende da come il carico è definito. Se la variazione del carico nel tempo è pienamente nota, anche se altamente irregolare, ci si riferirà ad esso come un carico dinamico assegnato e l analisi della risposta strutturale sarà chiamata analisi deterministica. D altra parte, se l andamento nel tempo del carico non è noto, ma può essere definito in senso statistico, il carico verrà denotato come aleatorio, così come la risposta strutturale sarà determinata mediante una analisi aleatoria. La prima parte del corso sarà dedicata allo sviluppo delle analisi di tipo deterministico. Verranno descritte le peculiarità dei sistemi dinamici e le grandezze che li caratterizzano a partire dal sistema più semplice, il cosiddetto oscillatore elementare, fino a generalizzare gli strumenti analitici per sistemi qualsiasi. Verranno determinate le risposte in presenza e in assenza di carichi dinamici esterni mediante metodi sia analitici che numerici. vii

8 viii INTRODUCTION La seconda parte del corso sarà invece dedicata alle analisi di tipo aleatorio. Sarà necessario, quindi, introdurre i concetti relativi alla caratterizzazione statistica di fenomeni casuali e gli strumenti analitici propri dell analisi aleatoria. Ancora una volta si farà riferimento a sistemi semplici per cogliere il significato intimo dei concetti introdotti, per poi generalizzare i risultati ottenuti a sistemi strutturali qualsivoglia. Sebbene la materia si presta ad essere usata in senso trasversale in tutti i settori della meccanica dei solidi, nel presente corso si farà spesso esplicito riferimento a problemi legati all ingegneria civile ed alla ingegneria sismica in particolare.

9 PARTE I ELEMENTI DI DINAMICA DETERMINISTICA

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11 CAPITOLO 1 VIBRAZIONI LIBERE DI OSCILLATORI ELEMENTARI La Scienza delle Costruzioni studia il comportamento delle strutture in equilibrio con sistemi di forze esterne chiamate carichi. Il processo di caricamento è detto quasi statico perché avviene con incrementi infinitesimi del carico. In altri termini, si studia il comportamento delle strutture dopo un tempo infinitamente lungo dall applicazione del carico. Un esempio di ciò è illustrato nella Figura 1.1 in cui è riportato il diagramma di corpo libero relativo alle condizioni di equilibrio di un sistema massa-molla, detto oscillatore elementare, soggetto ad una forza esterna F. Sotto l effetto della forza F si perviene all equilibrio quando lo spostamento relativo delle due estremità della molla x = x x 0, che avviene in seguito ad incrementi infinitesimi della forza, è tale da suscitare una reazione della molla k x pari proprio alla forza esterna F, in cui k è la rigidezza lineare della molla. È vero, però, che in molte situazioni i carichi agenti sulle strutture non possono considerarsi statici ma dinamici, ed è pertanto necessaria una cosiddetta analisi dinamica in cui si devono determinare le condizioni di equilibrio istante per istante durante tutto il segmento temporale in cui sono presenti i carichi. A tale fine, bisognerà tenere in conto anche la presenza delle forze inerziali che si destano in virtù della variazione temporale degli spostamenti. Supponiamo che ad un certo istante t la massa m si trovi in una posizione x (t) diversa da quella di riposo della molla. In questo caso, l equilibrio dinamico del sistema massa molla si scrive come kx (t) mẍ (t) + F (t) = 0 Appunti di Dinamica delle Strutture, I revisione. By Giacomo Navarra

12 4 VIBRAZIONI LIBERE DI OSCILLATORI ELEMENTARI x (t ) k m F(t) kx(t) m F(t).. mx(t) Figura 1.1 Equilibrio di un sistema massa molla soggetto ad una forza esterna. La soluzione del problema e, quindi, espressa attraverso la conoscenza delle leggi orarie degli spostamenti x (t) e delle sue derivate temporali successive x (t) e x (t). 1.1 Vibrazioni libere di oscillatori non smorzati non forzati Il caso piu semplice di sistema dinamico da cui partire, e quello illustrato nella Figura 1.1, costituito da un sistema massa molla in assenza di attrito tra la massa ed il suolo e di altre forze dissipative, ed in assenza di forzante esterna. In questo caso, l equilibrio dinamico del sistema massa molla si scrive come kx (t) = mx (t) ovvero nella forma mx (t) + kx (t) = 0 che esprime l equazione del moto delle oscillazioni libere di un sistema ad un grado di liberta non smorzato e non forzato. Dividendo entrambi i membri per la massa m si ottiene l equazione del moto in forma canonica: x (t) + ω02 x (t) = 0 (1.1) in cui si e posto r ω0 = k m (1.2) definita come pulsazione naturale del sistema massa-molla. La pulsazione e una quantita reale e maggiore di zero in quanto sia la rigidezza k che la massa m lo sono. La (1.1) e una equazione differenziale del secondo ordine a coefficienti costanti, lineare ed omogenea e, pertanto, ammette una soluzione appartenente alla classe: x (t) = c eλt

13 VIBRAZIONI LIBERE DI OSCILLATORI NON SMORZATI NON FORZATI 5 che, derivata due volte, fornisce la: ẍ (t) = λ 2 c e λt Sostituendo nella eq.(1.1) si ottiene ( ) c λ 2 + ω0 2 e λt = 0 t Affinché questa ultima relazione possa essere soddisfatta, occorre che sia nulla la quantità tra parentesi: λ 2 + ω 2 0 = 0 λ = ±iω 0 La soluzione dell eq.(1.1) è quindi: Ricordando la formula di Eulero e sostituendo nella eq.(1.3), si ottiene: x (t) = c 1 e iω0t + c 2 e iω0t (1.3) e ir = cos r + i sin r x (t) = (c 1 + c 2 ) cos ω 0 t + i (c 2 c 1 ) sin ω 0 t c 1, c 2 C In generale, quindi, è possibile esprimere le costanti c 1 e c 2 come c 1 = a+ib e c 2 = c+id. La soluzione cercata, però, deve avere significato fisico, ovvero deve essere espressa da funzioni reali nel tempo. Perché ciò accada è necessario che: { Im (c 1 + c 2 ) = 0 Re (c 2 c 1 ) = 0 { b = d c = a Le due costanti, dal momento che hanno parte reale uguale e parte immaginaria opposta, sono complesse coniugate c 2 = c 1. La soluzione ricercata, quindi, potrà essere scritta nella forma x (t) = A 1 cos ω 0 t + A 2 sin ω 0 t (1.4) in cui A 1 = 2a e A 2 = 2b. Le costanti di integrazione A 1 ed A 2 possono essere determinate imponendo le condizioni iniziali (C.I.) del moto, ovvero la posizione e la velocità della massa al tempo t = 0. x (0) = x 0 = A 1 ẋ (0) = ẋ 0 = A 2 ω 0 Per cui si trova il significato fisico delle costanti di integrazione: A 1 coincide con la posizione al tempo t = 0, mentre A 2 rappresenta il rapporto tra la velocità iniziale e la pulsazione del sistema. Tenendo conto di questi ultimi risultati, la soluzione dell equazione del moto dell oscillatore elementare non smorzato non forzato assume la forma: x (t) = x 0 cos ω 0 t + ẋ0 ω 0 sin ω 0 t (1.5)

14 6 VIBRAZIONI LIBERE DI OSCILLATORI ELEMENTARI La soluzione dell eq.(1.5) e rappresentata in Figura 1.2 per due possibili casi. Nel primo, rappresentato dalla linea continua, si e posto x 0 = 0 e la soluzione e del tipo x (t) = x0 cos ω0 t. Il moto che ne risulta e periodico con periodo naturale T0 = 2π ω0 in cui ω0 e la pulsazione naturale. Un altra grandezza atta a descrivere il moto armonico dell oscillatore elementare e la sua frequenza naturale, che puo essere definita come l inverso del periodo: 1 ω0 f0 = = T0 2π Pertanto, il periodo esprime la durata di una oscillazione completa e si misura in secondi, mentre la frequenza esprime il numero di oscillazioni al secondo e si misura in Hertz. Dalla definizione (1.2) discende che le vibrazioni sono tanto piu rapide (il periodo e tanto piu piccolo) quanto piu grande e la rigidezza k e quando piu piccola e la massa m. x (t ) x0. x0 r0 j0/w0 t T0 Figura 1.2 Legge oraria di un oscillatore non smorzato non forzato. Se il sistema possiede velocita iniziale non nulla x 0 6= 0, la soluzione e rappresentata dalla curva in tratteggio della Figura 1.2, in cui la tangente in t = 0 non e piu orizzontale, ma e proporzionale alla velocita iniziale. Si nota che l ampiezza massima del moto non e piu uguale a x0. Infatti, attraverso una manipolazione algebrica, e possibile esprimere la eq.(1.5) nel seguente modo: x (t) = ρ0 cos (ω0 t + ϕ0 ) in cui s ρ0 = x20 + x 0 ω0 2 ; tan ϕ0 = x 0 ω0 x0 Le quantita ρ0 e tan ϕ0 rappresentano, rispettivamente, l ampiezza massima dell oscillazione e l angolo di fase che, diviso per la pulsazione ω0, rappresenta l istante in cui si verifica il massimo della risposta piu vicino all asse t = 0.

15 APPROCCIO ENERGETICO ALLE VIBRAZIONI LIBERE DI OSCILLATORI NON SMORZATI NON FORZATI Approccio energetico alle vibrazioni libere di oscillatori non smorzati non forzati In questo paragrafo si vuole fornire una interpretazione energetica al moto dell oscillatore elementare non forzato e non smorzato. Dal punto di vista energetico, quindi, le forme di energia in gioco sono: a) l energia potenziale elastica della molla; b) l energia cinetica posseduta dalla massa. Continuando ad esaminare le condizioni ideali di sistema non smorzato e non forzato, poiché non vi saranno nè fonti di energia nè perdita della stessa, dovrà sussistere un equilibrio dinamico tra l energia potenziale e quella cinetica. La quota di energia presente nel sistema dipenderà, quindi dalle condizioni iniziali del moto: E T = 1 2 kx mẋ2 0 (1.6) Ad ogni istante del moto, l energia totale è composta dalle due parti potenziale e cinetica: E p (t) = 1 2 kx2 (t) ; E c (t) = 1 2 mẋ2 (t) Sostituendo le leggi orarie eq.(1.5) si ottiene: E p (t) = 1 [ ] 2 2 k x 0 cos ω 0 t + ẋ0 sin ω 0 t ω 0 E c (t) = 1 2 mω2 0 [ x 0 sin ω 0 t + ẋ0 ω 0 cos ω 0 t Sommando membro a membro queste ultime due equazioni e utilizzando la (1.2) e note identità trigonometriche, è immediato dimostrare che l energia totale del sistema non dipende dal tempo ed è pari a quella iniziale espressa dalla eq.(1.6). La Figura 1.3 mostra l andamento nel tempo delle leggi orarie in termini di spostamento e di velocità e i corrispondenti andamenti delle aliquote di energia cinetica e potenziale. ] Vibrazioni libere di oscillatori smorzati non forzati Il caso dell oscillatore non smorzato e non forzato trattato finora è certamente un caso ideale. Infatti, l esperienza ci mostra che tutti i sistemi reali presentano delle forme di dissipazione dell energia tali da far decadere nel tempo le oscillazioni libere fino ad annullarsi. La modellazione matematica delle forze dissipative responsabili di tale decadimento è particolarmente complessa e di non univoca rappresentazione. Usualmente si rinuncia ad una trattazione rigorosa, traendo beneficio dall ipotesi che le forze dissipative siano di tipo puramente viscoso, ovvero direttamente proporzionali alla velocità. L equazione di equilibrio che regge il moto di un oscillatore smorzato non forzato, come quello descritto in Figura 1.4, quindi, assume la forma: mẍ (t) + cẋ (t) + kx (t) = 0 in cui c è detta costante di dissipazione viscosa. Una espressione in forma canonica, analoga alla eq.(1.1) si ottiene dividendo per la massa m: ẍ (t) + 2ζ 0 ω 0 ẋ (t) + ω 2 0x (t) = 0 (1.7)

16 8 VIBRAZIONI LIBERE DI OSCILLATORI ELEMENTARI 6. x (t ). x0 4 x (t ) 2 x0 t ET(t) Ec(t) 10 Ep(t) 5 t 0.5 Figura Legge oraria dell energia di un oscillatore non smorzato non forzato. in cui e stato introdotto il rapporto di smorzamento viscoso ζ0, definito come: ζ0 = c 2mω0 (1.8) L equazione (1.7) e una equazione differenziale del secondo ordine, completa, a coefficienti costanti, lineare ed omogenea. La sua soluzione, quindi, appartiene alla classe: x (t) = c eλt Sostituendo quest ultima e le sue derivate successive nella eq.(1.7) si ottiene c λ2 + 2ζ0 ω0 λ + ω02 eλt = 0 t

17 VIBRAZIONI LIBERE DI OSCILLATORI SMORZATI NON FORZATI 9 x (t ) k m c kx(t). cx(t) m.. mx(t) Figura 1.4 Equilibrio di un sistema massa molla smorzato. Affinche questa ultima relazione possa essere soddisfatta, occorre che sia nulla la quantita tra parentesi: λ2 + 2ζ0 ω0 λ + ω02 = 0 (1.9) La eq.(1.9) ammette in generale due soluzioni in campo complesso: q λ1,2 = ζ0 ω0 ± ω0 ζ02 1 In funzione del valore di ζ0, quindi, sono possibili i tre casi seguenti: sistema sovrarmorzato ζ0 > 1. Le due soluzioni λi sono reali e distinte e la legge oraria del moto, soluzione della eq.(1.7), assume la forma: x (t) = c1 eλ1 t + c2 eλ2 t in cui c1 e c2 sono due costanti che dipendono dalle condizioni iniziali. Si vuole sottolineare che in ogni caso le λi sono negative, per cui la soluzione complessiva sara del tipo esponenziale decrescente. Nel caso particolare in cui x (0) = x0 e x (0) = 0 si puo ricavare che il valore delle costanti ci e pari a: p p ζ0 + ζ02 1 ζ0 ζ02 1 p c1 = x 0 ; c2 = p 2 x0 2 ζ ζ0 1 Il moto decade con legge esponenziale verso la posizione di equilibrio della molla e non sono presenti oscillazioni. In altri termini, le forze viscose sono talmente grandi da dissipare l intera energia iniziale prima che il sistema passi dalla configurazione per cui x = 0. Un esempio di sistema sovrarmorzato e costituito dagli ammortizzatori degli autoveicoli. sistema con smorzamento critico ζ0 = 1. Le due soluzioni λi sono coincidenti e la legge oraria del moto, soluzione della eq.(1.7), assume la forma: x (t) = (c1 + c2 t) eλt

18 10 VIBRAZIONI LIBERE DI OSCILLATORI ELEMENTARI La legge oraria del moto x (t) e qualitativamente simile al caso precedente e non vi sono oscillazioni. Lo smorzamento critico puo essere considerato come il piu piccolo valore di smorzamento che inibisce completamente la presenza di oscillazioni e rappresenta lo spartiacque tra il moto oscillatorio e quello non oscillatorio. Sovrasmorzato, z0=2 Smorzamento critico, z0=1 x0 t Sottosmorzato, z0=0.1 T0 Figura 1.5 Oscillazioni libere di sistemi smorzati. sistema sottosmorzato ζ0 < 1. Le due soluzioni λi sono complesse e coniugate e la soluzione della eq.(1.9), assume la forma: λ1,2 = ζ0 ω0 ± iω 0 p in cui con ω 0 = ω0 1 ζ02 si indica la cosiddetta pulsazione smorzata. Di conseguenza, puo anche definirsi un periodo smorzato T 0 = 2π ω 0 La legge oraria del moto, soluzione della eq.(1.7), puo scriversi come: x (t) = c1 eλ1 t + c2 eλ2 t = e ζ0 ω0 t c1 eiω 0 t + c2 e iω 0 t Ricordando la relazione di Eulero ed imponendo, in maniera analoga a quanto visto prima, che la legge oraria del moto sia reale, si ottiene la forma seguente: x (t) = e ζ0 ω0 t c 1 cos (ω 0 t) + c 2 sin (ω 0 t) (1.10) in cui c 1 e c 2 sono due costanti che si determinano in funzione delle condizioni iniziali del moto x (0) = x0 e x (0) = x 0 : c 1 = x0 ; c 2 = x 0 + ζ0 ω0 x0 ω 0 Anche in questo caso e possibile operare delle manipolazioni algebriche in modo da scrivere la eq.(1.10) in forma polare: x (t) = ρ 0 e ζ0 ω0 t cos (ω 0 t + ϕ 0 )

19 VIBRAZIONI LIBERE DI OSCILLATORI SMORZATI NON FORZATI in cui ρ 0 e tan ϕ 0 valgono: s 2 x 0 + ζ0 ω0 x0 2 ; ρ 0 = x0 + ω 0 tan ϕ 0 = 11 x 0 + ζ0 ω0 x0 ω 0 x0 In definitiva, l effetto della dissipazione e duplice. Essa rallenta il moto, in quanto il periodo smorzato risulta essere maggiore rispetto al periodo naturale, e dissipa energia facendo estinguere il moto. Nella Figura 1.5 vengono descritti qualitativamente gli andamenti temporali della funzione spostamento x (t) nei tre casi di sistemi sovrasmorzati, con smorzamento critico e sottosmorzati, a partire dalla medesima condizione iniziale x0 = 1 e per ω0 = 5 rad/s. L effetto di dissipazione puo essere evidenziato dall esame della Figura 1.6 nella quale viene mostrato il bilancio energetico di un oscillatore smorzato. La presenza di forze t ET(t) 10 8 Ec(t) Ep(t) t 0.5 Figura Bilancio energetico di un oscillatore elementare smorzato in vibrazioni libere.

20 12 VIBRAZIONI LIBERE DI OSCILLATORI ELEMENTARI dissipative di tipo viscoso fa sì che l energia meccanica totale tenda a diminuire e così il moto si estingue nel tempo. Le strutture civili e meccaniche sono nella loro quasi totalità sottosmorzate per cui nel seguito ci si riferirà sempre a questo tipo di sistema. Per tali sistemi, è stato ricavato che le leggi orarie del moto possono essere definite in termini di funzioni armoniche ed il loro comportamento è quindi oscillatorio.

21 CAPITOLO 2 VIBRAZIONI FORZATE DI OSCILLATORI ELEMENTARI In questo capitolo si affronterà il problema del moto di oscillatori elementati soggetti ad una forzante esterna dipendente dal tempo. Riferendoci alla Figura 2.1 le equazioni del moto in presenza di forzante possono essere ricavate applicando il principio di D Alembert. Secondo questo principio, in ogni istante la risultante delle forze attive deve eguagliare la variazione della quantità di moto, ovvero: F i = d ( m dx ) i dt dt Se si considera la massa costante nel tempo, la relazione precedente si riconduce alla seconda legge della dinamica: i F i = m d2 x dt 2 = mẍ Le forze attive da considerare sono le forze esterne F (t) agenti sulla massa m, le forze di richiamo elastico kx (t) e le forze dissipative viscose cẋ (t). Ne consegue che l equazione di equilibrio dinamico della massa m è rappresentata dalla: mẍ (t) + cẋ (t) + kx (t) = F (t) Dividendo entrambi i membri per la massa m si ottiene l equazione del moto in forma canonica: ẍ (t) + 2ζ 0 ω 0 ẋ (t) + ω0x 2 (t) = F (t) (2.1) m Appunti di Dinamica delle Strutture, I revisione. By Giacomo Navarra

22 14 VIBRAZIONI FORZATE DI OSCILLATORI ELEMENTARI x (t ) k m F(t) c kx(t). cx(t) m F(t).. mx(t) Figura 2.1 Equilibrio dinamico di un oscillatore elementare smorzato in presenza di forzante. L equazione del moto dell oscillatore forzato e una equazione differenziale del secondo ordine, completa, a coefficienti costanti, lineare ma non omogenea. In via del tutto generale, la soluzione della eq. (2.1) puo essere considerata come la sovrapposizione della soluzione dell equazione omogenea associata e di un integrale particolare, che dipende dalla specifica forma della forzante: x (t) = xom (t) + xp (t) (2.2) La soluzione dell omogenea associata, gia determinata per il caso delle oscillazioni libere eq. (1.10), e caratterizzata dal fatto che, dopo un certo intervallo di tempo, essa decade e tende ad estinguersi. La soluzione particolare, invece, da contributi fin che perdura la forzante esterna. La legge oraria complessiva, pertanto, sara caratterizzata da una porzione iniziale, detta transitoria o transiente, in cui sara visibile il contributo della omogenea associata e delle condizioni iniziali, e da una seconda fase in cui la risposta va a regime. Ovviamente, la ricerca di soluzioni analitiche analoghe a quelle determinate per le oscillazioni libere sara possibile solo per forzanti dalla struttura analitica semplice come le sinusoidi, le funzioni gradino o impulso. Nel seguito, quindi, verra inizialmente studiato il caso relativo all oscillatore smorzato in presenza di forzanti di tipo armonico. I risultati ottenuti saranno quindi estesi al caso di forzanti generiche introducendo metodi di analisi esatti e approssimati numerici. 2.1 Vibrazioni forzate per forzanti armoniche In questo paragrafo si vuole studiare la risposta di un oscillatore smorzato soggetto ad una forzante esterna di tipo armonico con pulsazione Ω e che, quindi, abbia forma generica: F (t) = F0 eiωt = F0 (cos Ωt + i sin Ωt) L integrale particolare xp (t) deve soddisfare l equazione del moto x p (t) + 2ζ0 ω0 x p (t) + ω02 xp (t) = F0 eiωt m (2.3)

23 VIBRAZIONI FORZATE PER FORZANTI ARMONICHE 15 e pertanto verrà ricercato all interno della classe: x p (t) = Ae iωt, A C Sostituendo quest ultima e le sue derivate successive nella eq. (2.3) si determina la relazione ( ) A ω0 2 Ω 2 + 2iζ 0 ω 0 Ω e iωt = F 0e iωt t m da cui si ricava il valore dell ampiezza complessa della risposta A = F 0 m 1 ω0 2 Ω2 + 2iζ 0 ω 0 Ω = F 0 H (Ω) (2.4) m in cui si è introdotta la funzione di trasferimento dell oscillatore che è una funzione complessa che dipende solo dalle caratteristiche dinamiche dell oscillatore. H (Ω) = 1 ω 2 0 Ω2 + 2iζ 0 ω 0 Ω È interessante esplicitare la parte reale e la parte immaginaria dell ampiezza complessa della risposta: Re [A] = F ( 0 ω0 2 Ω 2) H (Ω) 2 m Im [A] = F 0 m 2ζ 0ω 0 Ω H (Ω) 2 in cui la funzione H (Ω) 2, definita nel campo dei numeri reali, viene denotata come funzione di trasferimento dell energia ed ha la seguente espressione: H (Ω) 2 = 1 ( ω 2 0 Ω 2) 2 + (2ζ0 ω 0 Ω) 2 La soluzione dell integrale particolare può allora essere scritta come: x p (t) = Ae iωt = ( Re [A] + iim [A] ) (cos Ωt + i sin Ωt) (2.5) svolgendo i prodotti e separando la parte reale dalla parte immaginaria si ottiene: Re [ x p (t) ] = Re [A] cos Ωt Im [A] sin Ωt Im [ x p (t) ] = Re [A] sin Ωt + Im [A] cos Ωt Il significato fisico della parte reale dell integrale particolare Re [ x p (t) ], quindi, è la risposta alla forzante F 0 (cos Ωt), mentre la parte immaginaria dell integrale particolare Im [ x p (t) ] rappresenta la risposta alla forzante F 0 (sin Ωt). A titolo di esempio si riporta la soluzione generale dell eq. (2.1) per una forzante sinusoidale F 0 (sin Ωt): x (t) = e [ c ζ0ω0t 1 cos (ω 0 t) + c 2 sin (ω 0 t) ] + + F [ 0 (ω 2 m 0 Ω 2) ] H cos Ωt 2ζ 0 ω 0 Ω sin Ωt (Ω) 2 (2.6)

24 16 VIBRAZIONI FORZATE DI OSCILLATORI ELEMENTARI x (t ) 0.02 Regime Transitorio Decadimento 0.01 t Figura 2.2 Legge oraria di un oscillatore elementare smorzato in presenza di forzante sinusoidale (ω0 = 7 rad/s, ζ0 = 0.02, Ω = 1.35 rad/s, F0 = 1, condizioni iniziali in quiete). in cui le costanti di integrazione c i si determinano imponendo le condizioni iniziali. Dall esame della eq. (2.6) si deduce che la risposta di un oscillatore elementare smorzato ad una forzante di tipo sinusoidale e la sovrapposizione di due aliquote. La prima di esse puo essere vista come una sinusoide sfasata (e la sovrapposizione di una sinusoide e di una cosinusoide) di pulsazione ω 0 e ampiezza decrescente in modo esponenziale. Inoltre, questa prima aliquota risente delle condizioni iniziali del moto. La seconda aliquota, invece, puo essere considerata come una sinusoide sfasata (si ha ancora la sovrapposizione di una sinusoide e di una cosinusoide) di pulsazione Ω ed ampiezza costante A. Pertanto, come mostrato nella Figura 2.2, nella fase iniziale (fase transitoria) il moto risentira delle condizioni iniziali e saranno presenti sia armoniche con pulsazione pari a quella smorzata dell oscillatore ω 0 che armoniche con pulsazione pari a quella della forzante Ω. Al crescere del tempo t il contributo della omogenea associata diverra trascurabile ed il moto entrera nella sua fase di regime, caratterizzata dalla sola presenza di armoniche con pulsazione pari a quella della forzante Ω ed ampiezza costante A. Se ad un certo istante la forzante cessa di agire si ha una fase, detta di decadimento del moto, in cui il sistema si muovera in regime di oscillazioni libere, ovvero con sinusoidi aventi pulsazione pari a quella smorzata dell oscillatore ω 0 ed ampiezza decrescente in modo esponenziale. Volendo fissare adesso l attenzione sull integrale particolare di un oscillatore smorzato forzato da una cosinusoide, nella Figura 2.3 viene mostrato il confronto tra l andamento temporale della forzante F0 F (t) = cos Ωt m e la corrispondente la risposta a regime xp (t) = Re [A] cos Ωt Im [A] sin Ωt

25 VIBRAZIONI FORZATE PER FORZANTI ARMONICHE 17 Come gia evidenziato, la risposta a regime e una sinusoide con la stessa pulsazione della forzante ma con, in generale, ampiezza diversa ed un tempo di ritardo, ovvero al massimo della forzante non corrisponde il massimo della risposta. Per quanto riguarda l ampiezza della risposta a regime, essa puo esprimersi come q F q A = Re [A] + Im [A] = 2 m 2 ω02 Ω2 + (2ζ0 ω0 Ω) Mettendo in evidenza a denominatore la quantita ω02 e ricordando la eq. (1.2), e possibile esprimere l ampiezza come: A = 1 F0 q k 2 2 (1 β 2 ) + (2ζ0 β) in cui si e indicato con β = Ω/ω0 il rapporto tra la pulsazione della forzante e quella naturale del sistema. Con riferimento ancora alla Figura 2.3, e possibile definire il tempo di ritardo come: tω = ϕp ; Ω con tan ϕp = 2ζ0 ω0 Ω 2ζ0 β = ω02 Ω2 1 β2 in cui ϕp e detto angolo di sfasamento. Definendo la cosiddetta risposta pseudo-statica, quella cioe ottenuta ipotizzando nulle le forze di inerzia e dissipative F0 (t) k e possibile confrontare la ampiezza della risposta dinamica a regime con la corrispondente risposta pseudo-statica, pervenendo alla definizione del fattore di amplificazione o magnificazione dinamica D: 1 (2.7) D= q 2 2 (1 β 2 ) + (2ζ0 β) x st (t) = x (t ) forzante risposta a regime A F0 m t tempo di ritardo Figura 2.3 Confronto tra forzante e risposta a regime di un oscillatore elementare smorzato in presenza di forzante sinusoidale.

26 18 VIBRAZIONI FORZATE DI OSCILLATORI ELEMENTARI 8 D z0=0.0 6 z0=0.1 luogo dei massimi 4 2 z0=0.2 z0=0.3 z0=0.5 z0=1.0 risposta statica z0=0.7 b Figura 2.4 Fattore di magnificazione dinamica D in funzione del rapporto tra le pulsazioni β e del valore del rapporto di smorzamento ζ0. Effettuando uno studio sistematico sul fattore di magnificazione D in funzione del rappporto β ed al variare del rapporto di smorzamento ζ0, e possibile dedurre delle importanti considerazioni sugli andamenti dei valori massimi della risposta a regime in caso di forzante armonica. Questo studio e riportato nella Figura 2.4. per β 0 la forza varia molto lentamente rispetto al periodo naturale T0 e non si destano effetti inerziali. La massa segue quindi la forza e non si hanno differenze apprezzabili rispetto al caso statico (D = 1), e cio avviene per ogni valore di smorzamento ζ0 ; per β 1 e ζ0 = 0 (assenza di smorzamento) la risposta dinamica presenta un asintoto verticale. Questo caso e detto di risonanza illimitata ed e molto pericoloso per l integrita strutturale; per β 1 e 0 < ζ0 < 1/ 2 (sistema sottosmorzato) si ha sempre una zona di risonanza in cui la risposta dinamica a regime e maggiore della risposta statica. Al decrescere di ζ0 il fattore D cresce; per β > 2 il fattore di magnificazione D e sempre minore di uno, ovvero la risposta dinamica a regime e sempre minore della risposta statica; per β la forzante varia cosı rapidamente rispetto al periodo naturale T0 che la massa non riesce a seguirla e rimane in quiete, ed il fattore di magnificazione D 0; per valori del rapporto di smorzamento ζ0 > 1/ 2 il massimo del fattore D e pari ad 1 e cio si verifica per β = 0. In corrispondenza di ogni valore del rapporto di smorzamento ζ0 il massimo del fattore di magnificazione Dmax si verifichera per un valore di β = βmax dato dalle βmax = p 1 2ζ02 ; Dmax = 1 1 p = 2 2ζ0 2ζ0 1 ζ0 (2.8)

27 FUNZIONI DI RISPOSTA AL GRADINO UNITARIO ED ALL IMPULSO UNITARIO 19 Analoghe considerazioni possono essere svolte nei riguardi dell angolo di sfasamento ϕp utilizzando i diagrammi contenuti nella Figura 2.5. jp p z0=0.0 3/4 p z0=1.0 p/2 z0=0.7 z0=0.5 z0=0.3 z0=0.2 z0=0.1 p/ b Figura 2.5 Angolo di sfasamento ϕp in funzione del rapporto tra le pulsazioni β e del valore del rapporto di smorzamento ζ0. ϕ = 0 (tempo di ritardo nullo) per β 0 oppure se si ha ζ0 = 0 e β < 1; ϕ = π/2 (tempo di ritardo pari ad 1/4 del periodo della forzante) per β 1 e per qualsiasi valore dello smorzamento ζ0 ; ϕ = π per β 1 e ζ0 6= 0 oppure per β > 1 e ζ0 = 0. In questo caso la forzante e la risposta sono in opposizione di fase, ovvero l una raggiunge il massimo quando l altra presenta il valore minimo e viceversa. 2.2 Funzioni di risposta al gradino unitario ed all impulso unitario Al fine di procedere verso la soluzione dell oscillatore elementare in presenza di forzanti generiche, hanno un ruolo notevole le risposte a due funzioni particolari dette gradino unitario U (t t0 ) ed impulso unitario δ (t t0 ). Tali funzioni sono definite nel modo seguente: ( t < t0 0 0 t 6= t0 U (t t0 ) = (2.9) 1/2 t = t0 ; δ (t t0 ) = + t = t0 1 t > t0 Nella Figura 2.6 si fornisce una rappresentazione grafica di queste funzioni. Per quanto riguarda il loro significato fisico, si puo fare riferimento ad una massa unitaria che colpisce la massa dell oscillatore elementare; la funzione U (t t0 ), detta anche funzione gradino di Heaviside, rappresenta il caso di un urto perfettamente anelastico in cui la massa unitaria diviene parte del sistema dopo l urto, mentre la funzione δ (t t0 ),

28 20 VIBRAZIONI FORZATE DI OSCILLATORI ELEMENTARI U(t-t0) d(t-t0) 1 1/2 b) t a) t t0 Figura 2.6 t0 a) funzione gradino unitario; b) funzione impulso unitario. nota anche come delta di Dirac, e rappresentativa del caso di un urto perfettamente elastico in cui la massa unitaria rimbalza via dopo l urto. Le due funzioni descritte dalla eq. (2.9) sono in realta legate dalle seguenti relazioni: δ (t t0 ) = d U (t t0 ) ; dt U (t t0 ) = Rt δ (t t0 ) dτ (2.10) ovvero la funzione delta di Dirac puo essere pensata come la derivata formale e della funzione gradino unitario. Inoltre, per la funzione delta di Dirac si possono dedurre le seguenti proprieta : La proprieta integrale: Z + δ (t) dt = 1 e la proprieta campionatrice: Z + δ (t t0 ) f (t) dt = f (t0 ) Si vuole adesso determinare la risposta di un oscillatore elementare forzato da una funzione gradino unitario con condizioni iniziali nulle. L equazione del moto e quindi: x (t) + 2ζ0 ω0 x (t) + ω02 x (t) = F0 U (t) ; m x 0+ = 0; x 0+ = 0 (2.11) La soluzione della eq. (2.11), cosı come prescritto dalla eq. (2.2), e sempre somma della soluzione dell omogenea associata eq. (1.10) e di un integrale particolare che apparterra alla classe xp (t) = AU (t) Derivando successivamente quest ultima e sostituendo nella eq. (2.11), si ottiene che l integrale particolare deve valere xp (t) = F0 U (t) mω02 (2.12)

29 FUNZIONI DI RISPOSTA AL GRADINO UNITARIO ED ALL IMPULSO UNITARIO 21 x (t ) F0 k t F( t ) t Figura 2.7 Risposta di un oscillatore elementare alla funzione gradino. La soluzione complessiva vale allora F0 U (t) x (t) = e ζ0 ω0 t c 1 cos (ω 0 t) + c 2 sin (ω 0 t) + mω02 Imponendo le condizioni iniziali riportate nella (2.11) si ottiene c 1 = F0 ; mω02 c 2 = ζ0 F0 mω0 ω 0 per cui la soluzione complessiva puo essere posta nella forma x (t) = F0 1 ζ0 ω0 h (t) ω 0 g (t) U (t) 2 mω0 (2.13) in cui si sono introdotte le seguenti notazioni: h (t) = 1 ζ0 ω0 t e sin (ω 0 t) ; ω 0 g (t) = 1 ζ0 ω0 t e cos (ω 0 t) ω 0 (2.14) La Figura 2.7 riporta il grafico della legge oraria descritta dalla eq. (2.14). Si nota che il moto e oscillatorio con ampiezza decrescente in modo logaritmico e tende alla soluzione statica F0 /k = F0 /mω02. Si studi adesso la risposta di un oscillatore elementare forzato da una funzione impulso unitario con condizioni iniziali nulle. L equazione del moto e espressa nella forma: x (t) + 2ζ0 ω0 x (t) + ω02 x (t) = F0 δ (t) ; m x 0 = 0; x 0 = 0 (2.15) Ricordando che l equazione differenziale del moto di un oscillatore elementare sollecitato da un gradino unitario puo essere posta nella forma riportata nella eq. (2.11), derivando entrambi i membri rispetto al tempo e ricordando la eq. (2.10), si ottiene... (t) + ω 2 x (t) = F0 δ (t) x (t) + 2ζ0 ω0 x 0 m

30 22 VIBRAZIONI FORZATE DI OSCILLATORI ELEMENTARI x (t ) t F( t ) t Figura 2.8 Risposta di un oscillatore elementare alla funzione impulso. e da quest ultima, operando la sostituzione x = x, e possibile ottenere la eq. (2.15). Pertanto, la risposta in termini di spostamenti dell oscillatore elementare all impulso unitario coincidera con la risposta in termini di velocita dell oscillatore elementare al gradino unitario. La soluzione della eq. (2.15) e ottenibile derivando rispetto al tempo la eq. (2.13): x (t) = i F0 h ζ0 ω0 h (t) ω 0 g (t) U (t) 2 mω0 (2.16) Verificando che le derivate temporali delle funzioni h (t) e g (t) assumono la seguente forma h (t) = ζ0 ω0 h (t) + ω 0 g (t) ; g (t) = ζ0 ω0 g (t) ω 0 h (t) (2.17) e sostituendo nella eq. (2.16), dopo semplici passaggi matematici si ottiene la soluzione cercata: F0 h (t) U (t) x (t) = m per cui la funzione h (t) viene spesso chiamata funzione risposta all impulso unitario. La legge oraria del moto di un oscillatore elementare soggetto ad un impulso e rappresentata nella Figura 2.8. Il moto e di tipo esponenziale decrescente e tende ad estinguersi. Nel caso in cui il gradino o l impulso non occorressero all instante t = 0 ma all istante t = t0, e immediato verificare che le risposte dell oscillatore elementare si modificano nel seguente modo: F0 gradino x (t) = 1 ζ0 ω0 h (t t0 ) ω 0 g (t t0 ) U (t t0 ) mω02 impulso x (t) = F h (t t0 ) U (t t0 ) m

31 RISPOSTA DI UN OSCILLATORE AD UNA FORZANTE GENERICA Risposta di un oscillatore ad una forzante generica Nel paragrafo precedente sono stati introdotti gli strumenti analitici della funzione gradino unitario e della funzione impulso unitario. Il loro utilizzo è finalizzato allo studio della risposta di un oscillatore elementare soggetto ad una forzante generica F (t). In generale si può affermare che, come riportato nella eq. (2.2), la soluzione sarà la sovrapposizione dell integrale dell equazione omogenea associata, che contiene le costanti di integrazione, e dell integrale particolare: x (t) = c 1 h (t) + c 2 g (t) + x p (t) (2.18) in cui si sono utilizzate le notazioni introdotte nel paragrafo precedente. In questo paragrafo verrà dapprima introdotta la notazione in termini di variabili di stato, quindi saranno ricavate due soluzioni, una in termini integrali, utili quando la forzante assume espressioni analitiche semplici, e la seconda di tipo incrementale adatta all implementazione numerica Soluzione in termini di variabili di stato Nel presente paragrafo viene riportata una formulazione della risposta di sistemi ad un grado di libertà forzati in modo generico in cui si tiene esplicitamente conto delle condizioni iniziali. Inoltre, poiché si adotta una notazione matriciale, tale metodo si presta bene ad essere implementato per il calcolo automatico. Riferendosi alla eq. (2.18), la soluzione dell eq. (2.1) in termini di spostamenti x (t) e velocità ẋ (t) può essere posta in forma matriciale compatta nel seguente modo Z (t) = W (t) c + Z p (t) (2.19) in cui il vettore Z (t) raccoglie lo spostamento e la velocità del sistema e viene chiamato vettore delle variabili di stato, c è un vettore che contiene le costanti di integrazione e Z p (t) è un vettore che contiene l integrale particolare e la sua derivata temporale: Z (t) = [ x (t) ẋ (t) ] ; c = [ c 1 c 2 ] ; Z p (t) = [ x p (t) ẋ p (t) mentre W (t) è una matrice wronskiana costruita in modo tale che, se moltiplicata per c, fornisce la soluzione dell omogenea associata in termini di spostamenti e velocità: [ ] h (t) g (t) W (t) = ḣ (t) ġ (t) ] Essendo la eq. (2.19) valida per ogni istante t, essa sarà valida anche per l istante t = t 0 nel quale si impongono le condizioni iniziali del moto Z (t 0 ) Z (t 0 ) = W (t 0 ) c + Z p (t 0 ) Da quest ultima equazione è possibile ricavare il vettore delle costanti di integrazione c c = W (t 0 ) 1 [ Z (t 0 ) Z p (t 0 ) ]

32 24 VIBRAZIONI FORZATE DI OSCILLATORI ELEMENTARI e, sostituendo nella eq. (2.19), si ottiene la risposta in termini di variabili di stato: Z (t) = Θ (t t 0 ) [ Z (t 0 ) Z p (t 0 ) ] + Z p (t) (2.20) in cui la matrice Θ (t t 0 ) è nota come matrice di transizione dell oscillatore elementare, in quanto governa la fase transitoria della risposta. Si può dimostrare che la matrice di transizione è definita come: [ ] Θ (t t 0 ) = W (t) W (t 0 ) 1 ζ 0 ω 0 h (t t 0 ) + ω 0 g (t t 0 ) h (t t 0 ) = ω0h 2 (t t 0 ) ḣ (t t 0 ) (2.21) Si nota che, dal momento che vale la seguente relazione, ζ 0 ω 0 h (t t 0 ) + ω 0 g (t t 0 ) = ω0h 2 (t t 0 ) dt allora anche la matrice di transizione è un Wronskiano. Poiché nella eq. (2.20) non compaiono le costanti di integrazione, attraverso questa è possibile esprimere la risposta dell oscillatore elementare in modo esplicito in termini sia di spostamento x (t) che di velocità ẋ (t). Si riportano alcune importanti proprietà della matrice di transizione che saranno utili nel seguito. a) Θ (0) = I, Θ (+ ) = 0 b) Θ (kt) = Θ k (t) c) Θ 1 (t 1 t 2 ) = Θ (t 2 t 1 ) in cui I è la matrice identità e 0 è la matrice nulla Formulazione integrale Si supponga che la forzante abbia un andamento come quello schematizzato nella Figura 2.9, tale cioè che abbia valore nullo per t < 0 e assuma un andamento qualsiasi per t 0. Si supponga adesso di considerare un istante temporale τ (0, t), così come mostrato nella Figura 2.9, ed un suo incremento dτ. Nell intervallo (τ, τ + dτ) la forzante è assimilabile all impulso infinitesimo di intensità I n = F (τ) dτδ (t τ). Nell intero dominio temporale, quindi, sarà possibile considerare la forzante F (t) come una sequenza di impulsi infinitamente brevi. Poiché il sistema in oggetto è lineare, sarà possibile applicare il principio di sovrapposizione degli effetti. Esso prescrive che, una volta scomposta la forzante F (t) in un numero n di impulsi elementari I n (t), è possibile determinare separatamente le risposte x n (t) ai singoli impulsi, per ottenere infine la soluzione complessiva come la sovrapposizione delle risposte x n (t). La risposta all istante t dell oscillatore elementare ad uno di questi impulsi, quello che arriva all istan-te τ di intensità F (τ) dτ, così come dedotto nel paragrafo precedente, vale [ ] F (τ) x n (t) = m dτ h (t τ) U (t τ)

33 RISPOSTA DI UN OSCILLATORE AD UNA FORZANTE GENERICA 25 x (t ) F ( t) dtd(t-t) F (t ) t t Figura 2.9 xn ( t ) Modellazione della forzante generica come sequenza di impulsi. L integrale particolare complessivo dell oscillatore al tempo t e la somma delle risposte a tutti gli impulsi che sono avvenuti fino allo stesso tempo t, Quindi: Z xp (t) = 0 t F (τ ) h (t τ ) dτ m (2.22) Questo integrale e detto di convoluzione in quanto la variabile esterna t appare sia come estremo di integrazione che all interno dell integrale. La funzione che lega la variabile esterna alla variabile interna τ, ovvero h (t τ ) e detta nucleo o kernel dell integrale di convoluzione. La eq. (2.22) e detta anche integrale di Duhamel ed esprime l integrale particolare della risposta di un oscillatore elementare ad una forzante qualsiasi, secondo la cosiddetta formulazione integrale. Si vuole porre l attenzione sul fatto che, se le condizioni iniziali dell oscillatore elementare sono nulle, allora le costanti di integrazione nella eq. (2.18) sono pari a zero e la soluzione complessiva coincide con l integrale particolare (2.22); se invece le condizioni iniziali sono diverse da zero, bisognera imporle sulla (2.18), ottenendo: Z x (t) = (x 0 + ζ0 ω0 x0 ) h (t) + ω 0 x0 g (t) t F (τ ) h (t τ ) dτ m (2.23) Formulazione incrementale Nel paragrafo precedente e stata determinata la risposta di un oscillatore elementare ad una forzante qualunque mediante la cosiddetta formulazione integrale, che assume rilievi pratici solo in caso di forzanti esprimibili mediante forme analitiche semplici. Nella maggior parte dei casi pratici cio non avviene e, come nel caso delle registrazioni di accelerazioni sismiche, spesso non si hanno a disposizione funzioni analitiche ma campionamenti in un numero discreto di istanti temporali.

34 26 VIBRAZIONI FORZATE DI OSCILLATORI ELEMENTARI Esistono in letteratura numerosi metodi per pervenire a soluzioni numeriche approssimate di equazioni differenziali e, nel seguito del presente paragrafo, si presenterà il cosiddetto metodo di integrazione al passo. Esso consiste nei seguenti passi: 1. si suddivide l intervallo temporale (0, t N ] nel quale si cerca la risposta in un numero finito N di intervalli temporali di ampiezza costante t, scelti in modo che si abbia t 0 = 0, t 1 = t,..., t k = k t, t k+1 = (k + 1) t,..., t N = N t; 2. si interpola la forzante in modo opportuno all interno dei vari intervalli di ampiezza t; 3. si determina la risposta negli istanti t k+1 nota che sia quella all istante precedente t k (k = 0, 1,..., N 1). L applicazione della procedura di integrazione al passo avviene attraverso due categorie di metodi numerici. I metodi impliciti sono quelli che assumono delle ipotesi sull andamento della soluzione all interno del passo, (ad esempio viene postulato che le accelerazioni del sistema siano costanti, lineari, quadratiche, etc.). A tala categoria appartengono i metodi di Wilson, di Newmark e di Huboult. Il difetto di tali metodi consiste in alcuni problemi di instabilità. D altra parte, i metodi espliciti ipotizzano l andamento della forzante all interno del singolo passo (ad esempio si ipotizza che la forzante sia costante, lineare, etc.). La precisione di questi metodi risiede nella scelta del passo temporale di integrazione e può, quindi, essere stabilita a priori. Inoltre, tali metodi forniscono in generale soluzioni incondizionatamente stabili. In questa sede si vuole riportare un metodo di integrazione al passo ottenuto ipotizzando l andamento costante della forzante all interno del passo e sfruttando la soluzione dell oscillatore in termini di variabili di stato riportata nei paragrafi precedenti. Si ipotizzi di conoscere la risposta Z (t k ) dell oscillatore elementare al tempo t k e di volere determinare l andamento della risposta Z (τ) nell intervallo t k < τ < t k+1 in cui la forzante assume il valore costante F (t k ). In tale intervallo il moto dell oscillatore elementare è assimilabile a quello di un sistema soggetto alla funzione gradino F (τ) = F (t k ) U (τ t k ) e condizioni iniziali Z (t k ) imposte all istante t 0 = t k. Tale risposta può essere ricavata dalla eq. (2.20), che fornisce la soluzione esplicita in termini di variabili di stato per forzanti generiche: Z (τ) = Θ (τ t k ) [ Z (t k ) Z p (t k ) ] + Z p (τ), t k < τ < t k+1 Inoltre, ricordando che, nel caso in esame di forzante gradino, l integrale particolare Z p (t) assume la forma riportata nella eq. (2.12), dopo brevi passaggi algebrici si ottiene: Z (τ) = Θ (τ t k ) Z (t k ) + F (t k) mω0 2 L (τ t k ), t k < τ < t k+1 (2.24) in cui l operatore L (τ t k ) è detto vettore di carico in quanto contiene il contributo alla risposta dovuto alla forzante considerando nulle le condizioni al contorno. Il vettore di carico assume la forma: L (τ t k ) = ( I Θ (τ t k ) ) [ ] 1 0

35 ANALISI SISMICA DI SISTEMI AD UN GRADO DI LIBERTÀ 27 Nell ottica di voler stabilire una procedura per la soluzione al passo dell equazione del moto di un oscillatore elementare soggetto ad una forzante generica, si è interessati a valutare non tanto l andamento della risposta all interno del passo di integrazione, quanto la risposta alla fine del passo Z (t k+1 ) in modo da poterla assumere come condizione iniziale al passo successivo. È immediato riconoscere che la eq. (2.24) assume allora la forma: Z (t k+1 ) = Θ ( t) Z (t k ) + F (t k) mω0 2 L ( t) (2.25) in cui è evidente la convenienza nel campionare la forzante ad intervalli temporali di ampiezza costante t. In questo modo, infatti, il valore della matrice di transizione Θ ( t) e del vettore di carico L ( t) non devono essere calcolati ad ogni passo, dipendendo solo dal valore di t scelto all inizio, secondo le seguenti espressioni: [ ] ζ 0 ω 0 h ( t) + ω 0 g ( t) h ( t) Θ ( t) = (2.26) ω0h 2 ( t) ζ 0 ω 0 h ( t) + ω 0 g ( t) L ( t) = [ 1 ζ 0 ω 0 h ( t) ω 0 g ( t) ω 2 0h ( t) ] (2.27) mentre i vari valori di Z (t k ) vengono calcolati all interno di un ciclo in cui avviene la progressiva lettura della forzante F (t k ). Il metodo proposto è incondizionatamente stabile e l unica imprecisione consiste nello approssimare la forzante costante all interno del passo, la precisione del metodo, comunque, può essere sempre migliorata scegliendo valori più piccoli di t. Significativi miglioramenti possono essere raggiunti ipotizzando che la forzante vari in modo lineare all interno del passo. 2.4 Analisi sismica di sistemi ad un grado di libertà Nel presente paragrafo si vuole affrontare il problema della valutazione della risposta strutturale di un sistema ad un grado di libertà soggetto ad un moto del suolo. Verranno descritte le equazioni del moto connesse con tale sistema e verranno utilizzati i concetti esposti nei precedenti paragrafi per la determinazione della risposta strutturale. Infine, verranno introdotti gli importanti concetti di spettro di risposta di una storia di accelerazioni sismiche e di spettro di progetto elastico. Per gli scopi attuali, non ci si soffermerà sulle cause dei terremoti e si fisserà l attenzione solamente sugli effetti in termini delle sole componenti ondulatorie del moto Equazioni del moto di un oscillatore elementare soggetto a moto sismico Si supponga di considerare il sistema costituito dal telaio riportato in Figura Sotto le ipotesi semplificative di montanti indeformabili assialmente, privi di massa e di rigidezza complessiva k e di traverso infinitamente rigido e avente massa pari a m, è possibile determinare compiutamente la risposta di questo sistema considerando solo un grado di libertà, ad esempio coincidente con lo spostamento orizzontale x (t) del baricentro del traverso.

36 28 VIBRAZIONI FORZATE DI OSCILLATORI ELEMENTARI x (t ).... mx(t)+mug(t) m m k kx(t). cx(t) c ug(t) Figura 2.10 Oscillatore elementare soggetto a moto sismico. Sotto tali ipotesi, se l oscillatore e soggetto ad un moto del terreno di fondazione ug (t) le azioni che si generano sulla massa ad ogni istante del moto sono: a) una forza di inerzia proporzionale all accelerazione assoluta da esso sperimentata m u g (t) + x (t) ; b) una forza di richiamo elastico proporzionale allo spostamento relativo del traverso rispetto la fondazione kx (t); c) una forza dissipativa viscosa proporzionale alla velocita relativa del traverso rispetto la fondazione cx (t). Queste forze devono, istante per istante, farsi equilibrio, per cui e possibile scrivere: m u g (t) + x (t) + cx (t) + kx (t) = 0 la quale puo anche essere riscritta nella seguente forma: mx (t) + cx (t) + kx (t) = mu g (t) (2.28) in cui e chiaro che le azioni indotte dallo spostamento del suolo sulla struttura possono essere considerate equivalenti a quelle prodotte da una forza agente sul traverso di intensita proporzionale alla massa del traverso ed alla accelerazione al piede. Nella eq. (2.28) il segno meno del secondo membro indica che le forze sono opposte alle accelerazioni del terreno di fondazione. Inoltre e evidente come strutture di peso diverso risentano in maniera differente degli effetti di un terremoto. L eq. (2.28) puo essere posta in forma canonica nella seguente forma: x (t) + 2ζ0 ω0 x (t) + ω02 x (t) = u g (t) e per essa valgono tutte le considerazioni ed i metodi di soluzione esaminati nel presente capitolo. In particolare, ad essa sono di norma associate le condizioni iniziali di quiete x (0) = 0 e x (0) = 0 in quanto si suppone che nell insorgenza di un terremoto non vi siano altri effetti dinamici in corso Spettri di risposta e spettri di progetto elastico In precedenza si e dimostrato che le forze sismiche sono proporzionali alle accelerazioni al piede della struttura. Pertanto, al fine di determinare la risposta sismica e necessario

37 ANALISI SISMICA DI SISTEMI AD UN GRADO DI LIBERTÀ 29 conoscere le caratteristiche degli accelerogrammi di un evento sismico, registrati in prossimità della struttura stessa. Nella Figura 2.11 è riportato il confronto tra alcuni accelerogrammi registrati in siti diversi durante eventi sismici particolarmente significativi. Gli eventi sismici, per loro stessa natura, sono connotati da una forte irregolarità e le storie temporali di accelerazioni dipendono da diversi fattori di difficile determinazione quali la natura del meccanismo di rottura, il percorso compiuto dalle onde sismiche, le proprietà meccaniche degli strati di terreno attraversati. Pertanto, le storie temporali di accelerazione riportate nella Figura 2.11 appaiono notevolmente diverse le une dalle altre. Figura 2.11 Accelerogrammi registrati in siti diversi. D altra parte, ai fini ingegneristici, occorre conoscere gli effetti del terremoto sulle strutture in quanto la stessa accelerazione sismica può indurre sollecitazioni completamente differenti su strutture con proprietà dinamiche diverse. Nell ingegneria sismica a tale scopo si utilizza uno strumento analitico detto spettro di risposta che è in grado di sintetizzare gli effetti di sismi noti sulle strutture. Una grandezza direttamente legata alle sollecitazioni indotte dal sisma sulla struttura è sicuramente il picco massimo assoluto dello spostamento dell oscillatore elementare. Ad un oscillatore elementare di pulsazione naturale ω 0 e di rapporto di smorzamento ζ 0 con condizioni iniziali nulle e soggetto ad una accelerazione sismica ü g (t) di durata t f sarà associato un valore di picco massimo assoluto di spostamento che può essere determinato mediante integrazione numerica, o definito simbolicamente dalla: ( ) x max tf = max x (t) tf = max h (t τ) ü 0 t t f g (τ) dτ 0

38 30 VIBRAZIONI FORZATE DI OSCILLATORI ELEMENTARI Ricordando la definizione nella eq. (2.14), quest ultima relazione mostra che il valore di picco massimo assoluto di spostamento dipende, oltre che dall accelerogramma assegnato, anche dalle proprieta dinamiche dell oscillatore in termini di pulsazione naturale ω0 e di rapporto di smorzamento ζ0. Al variare di queste ultime, infatti, variera sia il valore di xmax tf sia l istante in cui esso si verifica. Un esempio di cio e riportato nella Figura 2.12 con riferimento alla storia temporale di accelerazione registrata durante il terremoto del Friuli del 1976 alla stazione di Tolmezzo (UD). x (t ) w0 = 20 rad/s T0 = s z0 = 0.05 xmax = 1.85 cm t x (t ) w0 = 10 rad/s T0 = s z0 = 0.05 xmax = 3.44 cm t x (t ) 0.10 w0 = 5 rad/s T0 = s z0 = 0.05 xmax = 6.85 cm 0.05 t Figura 2.12 Risposte in termini di spostamento al variare del periodo strutturale di un oscillatore soggetto all accelerogramma del sisma di Tolmezzo. Per un assegnato valore del rapporto di smorzamento e per dato accelerogramma e possibile costruire un diagramma che riporti il valore del picco massimo assoluto di spostamento al variare della pulsazione naturale, o meglio, del periodo naturale T0. Tale dia-

39 ANALISI SISMICA DI SISTEMI AD UN GRADO DI LIBERTÀ 31 gramma è detto spettro di risposta in termini di spostamento dell oscillatore e può essere rappresentato dalla seguente equazione: S D (ω 0, ζ 0 ) S D (T 0, ζ 0 ) = max 0 t t f x (t) (2.29) In modo analogo possono essere definiti lo spettro di riposta in termini di velocità e lo spettro di risposta in termini di accelerazione totale: S V (ω 0, ζ 0 ) S V (T 0, ζ 0 ) = max 0 t t f ẋ (t) (2.30) S A (ω 0, ζ 0 ) S A (T 0, ζ 0 ) = max ẍ (t) + üg (t) 2ζ0 = max ω 0 ẋ (t) + ω 2 0x (t) 0 t t f 0 t t f (2.31) Si noti che la scelta delle accelerazioni totali piuttosto che quelle relative è dovuta al fatto che le forze sismiche sono proporzionali alle accelerazioni totali. Questo spettro, quindi, fornisce a meno della massa le massime forze sismiche che si destano su un oscillatore elementare di assegnate proprietà dinamiche. Nella Figura 2.13 sono riportati gli spettri di risposta in termini di spostamento, velocità ed accelerazione ricavati per l accelerogramma di Tolmezzo per diversi valori del rapporto di smorzamento. Gli spettri di risposta riportati nella Figura 2.13 e definiti in modo generale dalle eq. (2.29)-(2.31) si prestano alle seguenti considerazioni: Per ω 0 +, ovvero T 0 0, si ha un oscillatore infinitamente rigido, che segue i movimenti del terreno. Per cui lo spostamento, la velocità e l accelerazione relativa del traverso dell oscillatore rispetto al suolo sono nulli. L accelerazione totale, invece, coincide con l accelerazione di picco del suolo (PGA) ü g0, per cui si ha: lim S D (T 0, ζ 0 ) = 0; T 0 0 lim S V (T 0, ζ 0 ) = 0; T 0 0 lim S A (T 0, ζ 0 ) = ü g0 T 0 0 Per ω 0 0, ovvero T 0 +, si ha un oscillatore infinitamente deformabile che non risente affatto degli spostamenti del suolo. Lo spostamento e la velocità relativi coincideranno quindi con quelli massimi del suolo, rispettivamente indicati con u g0 e u g0, mentre l accelerazione assoluta della massa sarà nulla: lim S D (T 0, ζ 0 ) = u g0 ; T 0 + lim S V (T 0, ζ 0 ) = u g0 ; T 0 + lim S A (T 0, ζ 0 ) = 0 T 0 + Nell ingegneria sismica sono in uso anche altre due quantità derivate dallo spettro di spostamento dette spettro di pseudo-velocità S pv (T 0, ζ 0 ) e spettro di pseudo-accelerazione S pa (T 0, ζ 0 ) rispettivamente definite come: S pv (T 0, ζ 0 ) = ω 0 S D (T 0, ζ 0 ) = 2π T 0 S D (T 0, ζ 0 )

40 32 VIBRAZIONI FORZATE DI OSCILLATORI ELEMENTARI SD(T0) [m] T0 SV(T0) [m/s] z0 = 0.01 z0 = z0 = 0.05 z0 = T0 SA(T0) [m/s2] T Figura 2.13 Spettri di risposta di spostamento, velocita ed accelerazione totale per l accelerogramma del sisma di Tolmezzo. Spa (T0, ζ0 ) = ω02 SD (T0, ζ0 ) = 2π T0 2 SD (T0, ζ0 ) Nel caso comune di oscillatori elementari dotati di un basso valore del rapporto di smorzamento ζ0, dalla eq. (2.31) si ricava che lo spettro di risposta in termini di accelerazione SA (T0, ζ0 ) e approssimabile con lo spettro di pseudo-accelerazione Spa (T0, ζ0 ), molto piu facile da calcolare. Lo strumento analitico dello spettro di risposta costituisce un valido ausilio nella determinazione immediata dei massimi della risposta per una storia temporale di accelerazioni gia avvenuta, ma ha lo svantaggio di dipendere fortemente dall accelerogramma scelto. Una conseguenza di cio e che non e possibile utilizzare le registrazioni dei terremoti e i relativi spettri di risposta per predire le risposte massime di un terremoto futuro.

41 ANALISI SISMICA DI SISTEMI AD UN GRADO DI LIBERTÀ 33 Non volendo rinunciare alla facilità d uso dello spettro di risposta, la maggior parte delle normative sismiche internazionali propongono una modellazione della azione sismica di progetto attraverso gli effetti che tale azione provocherebbe sulle strutture, ovvero mediante la definizione di spettri di risposta elastici di progetto. A differenza degli spettri di risposta relativi ad eventi sismici registrati, gli spettri di risposta di progetto sono redatti utilizzando metodologie di tipo statistico, mediando spettri di risposta riferiti a sismi avvenuti in passato ed addolcendo le curve così ottenute. Pertanto, malgrado si possa dire che la rappresentazione dell azione sismica mediante spettri di risposta di progetto sia del tutto convenzionale, essi rappresentano un efficace strumento per la progettazione antisismica. Nel seguito ci si riferisce agli spettri di risposta di progetto definiti nella vigente normativa italiana, descrivendo i parametri che vi compaiono. Secondo l approccio contenuto nel D.M. del 14 gennaio 2008 Nuove norme tecniche per le Costruzioni (nel seguito NTC2008), le azioni sismiche sono definite a partire dalla cosiddetta pericolosità sismica di base definita in funzione della localizzazione geografica del sito e del tempo di ritorno T R connesso con lo stato limite considerato e con l importanza dell opera, attraverso i seguenti tre parametri: l accelerazione orizzontale massima al sito, a g ; il valore massimo del fattore di amplificazione dello spettro in accelerazione orizzontale, F o ; il periodo di inizio del tratto a velocità costante dello spettro in accelerazione orizzontale, T C. La pericolosità sismica di base è definita per un sito pianeggiante su suolo roccioso (di tipo A) e sono previsti dei coefficienti che tengono conto di altre tipologie di suolo e topografiche. La modellazione dell azione sismica è espressa attraverso la definizione degli spettri di risposta elastici di progetto S e (T 0 ) in termini di accelerazioni spettrali, descritti dalla: [ T 0 S e (T 0 ) = a g SηF o + 1 ( 1 T ) ] 0 0 T 0 T B T B ηf o T B S e (T 0 ) = a g SηF o ( ) TC S e (T 0 ) = a g SηF o T 0 ( ) T C T D S e (T 0 ) = a g SηF o T0 2 T B T 0 T C T C T 0 T D T 0 T D (2.32) in cui i periodi T B = T C /3 e T C = C C TC sono i limiti del tratto ad accelerazione spettrale costante, T D = 4a g /g è il periodo che delimita il tratto a velocità costante da quello a spostamento costante, S = S S S T è un fattore che tiene conto delle diverse condizioni del suolo, η tiene conto di valori del rapporto di smorzamento diverso dal 5% secondo la relazione 0.10 η = ζ 0

42 34 VIBRAZIONI FORZATE DI OSCILLATORI ELEMENTARI mentre i coefficienti SS ST e CC, che compaiono nelle relazioni precedenti, sono definite nelle seguenti Tabella 2.1 e Tabella 2.2. Nella Figura 2.14 sono riportati i grafici degli spettri di risposta eslatici di progetto definiti dalle NTC2008 per le varie tipologie di suolo e normalizzate rispetto l accelerazione di picco attesa al suolo. Se(T0)/g suolo A suolo B suolo C suolo D suolo E T0 1 Figura 2.14 NTC Spettri di risposta elastici di progetto in termini di accelerazione definiti dalle Tabella 2.1 Espressioni di SS e CC. Cat. sottosuolo SS CC A TC 0.33 TC 0.50 TC 0.40 TC B C D E ag g ag Fo g ag Fo g ag Fo g Fo Tabella 2.2 Cat. topografica T1 T2 T3 T Espressioni di ST. Caratteristiche della superficie topografica ST superficie pianeggiante o con inclinazione i 15 pendii con inclinazione media i > 15 rilievi con inclinazione media 15 < i <30 rilievi con inclinazione media i >

43 CAPITOLO 3 VIBRAZIONI LIBERE DI SISTEMI A PIÙ GRADI DI LIBERTÀ Nella maggior parte dei casi pratici le strutture sono sistemi complessi il cui moto non può essere descritto attraverso la determinazione della storia temporale di un solo parametro, ma è necessario conoscere l andamento nel tempo di un certo numero di parametri indipendenti detti gradi di libertà del sistema. In realtà qualsiasi sistema materiale è intrinsecamente un sistema continuo, in cui le masse, e di conseguenza le forze inerziali, sono distribuite sulla struttura, ma in prima approssimazione è possibile considerare le masse come concentrate in opportuni punti della struttura e descrivere il moto del sistema attraverso un numero finito di gradi di libertà. Nel primo caso ideale di masse distribuite si perverrà ad equazioni del moto differenziali alle derivate parziali, mentre nel caso pratico di masse concentrate, si avrà un sistema di equazioni differenziali ordinarie. Poiché è intuitivo riconoscere che, anche discretizzando il sistema in un numero relativamente piccolo di nodi, il moto di ognuno di essi sarà influenzato da quelli adiacenti, il sistema di equazioni differenziali cui si perviene è solitamente di difficile soluzione e presenta equazioni tra loro accoppiate, cioè non è possibile in generale risolvere le equazioni del moto singolarmente, così come descritto nei capitoli precedenti. In questo capitolo si affronterà il problema della determinazione della risposta di sistemi dinamici a più gradi di libertà soggetti a vibrazioni libere. Si scriveranno le equazioni del moto e si studieranno metodi algebrici per rendere le equazioni disaccoppiate, tali cioè che in ogni equazione compaia solo una incognita. Si studierà dapprima il caso delle vibrazioni non smorzate, per poi estendere i risultati alla presenza di meccanismi dissipativi. Appunti di Dinamica delle Strutture, I revisione. By Giacomo Navarra

44 36 VIBRAZIONI LIBERE DI SISTEMI A PIU GRADI DI LIBERTA m2 x2 ( t ) m2.. m2x2 k2(x2-x1) k2 k2(x2-x1) m1 x1 ( t ) k1x1 k1 Figura m1.. m1x1 Schema strutturale di un telaio a due gradi di liberta. Equazioni del moto di sistemi a piu gradi di liberta Si consideri lo schema strutturale riportato nella Figura 3.1 che rappresenta un telaio piano a due impalcati e si supponga inizialmente di trascurare la presenza di eventuali forze dissipative e di forzanti esterne. Considerando che la maggior parte della massa sara concentrata a livello degli impalcati, tale sistema potra essere ragionevolmente considerato come un sistema a due masse concentrate m1 e m2. Nell ipotesi di montanti indeformabili assialmente e di impalcato rigido sara, inoltre, possibile descrivere tutte le configurazioni cinematiche del sistema attraverso due soli parametri lagrangiani che possono essere identificati con gli spostamenti orizzontali di piano x1 (t) e x2 (t). Il complesso delle aste (nel caso in esame i due montanti) che si oppongono alle traslazioni orizzontali relative di piano daranno luogo alle rigidezze di piano che sono indicate con k1 e k2. La scrittura delle equazioni di equilibrio di questo sistema puo essere effettuata considerando i diagrammi di corpo libero delle due masse, riportate sempre in Figura 3.1, ed applicando il principio di D Alembert: ( m1 x 1 + k1 x1 k2 (x2 x1 ) = 0 m2 x 2 + k2 (x2 x1 ) = 0 E immediato verificare che il sistema costituito da due masse e due molle riportato nella Figura 3.2 ammette le stesse equazioni del moto una volta che le rigidezze delle due molle vengano denotate con k1 e k2. In generale per sistemi a masse discrete e conveniente descrivere le equazioni del moto nella cosiddetta forma matriciale: MX + KX = 0 (3.1)

45 VIBRAZIONI LIBERE NON SMORZATE DI SISTEMI A PIU GRADI DI LIBERTA x1( t ) k1 x2( t ) k2 m1 Figura m2 Schema strutturale di un telaio a due gradi di liberta. in cui X e il vettore degli spostamenti, M e la matrice delle masse e K e la matrice delle rigidezze. Per lo schema strutturale di Figura 3.1 essi assumono la seguente forma: " # " # " # x1 m1 0 k1 + k2 k2 X= ; M= ; K= ; x2 0 m2 k2 k2 La scrittura delle equazioni di equilibrio nella forma della eq. (3.1) e stata condotta a partire dal semplice esempio di Figura 3.1. Esse sono, pero, del tutto generali e nel seguito si fara largo uso della notazione matriciale per una descrizione delle proprieta e dei metodi di soluzione delle equazioni del moto. In primo luogo, possono essere evidenziate alcune proprieta delle matrici del sistema. Per un sistema a n gradi liberta sara sempre possibile scrivere n equazioni di equilibrio per cui le matrici M e K saranno sempre quadrate. Inoltre, se viene usata l ipotesi di masse puntiformi e concentrate ai nodi e semplice rendersi conto che la matrice delle masse sara diagonale. Si possono dimostrare le seguenti proprieta : la matrice delle masse M e definita positiva; la matrice delle rigidezze K e simmetrica e definita positiva; Si ricorda che una matrice A e definita positiva se YT AY > 0 Y Rn. Nel caso della matrice delle masse basta sostituire il generico vettore Y con un vettore di velocita X per rendersi conto che X T MX rappresenta il doppio dell energia cinetica del sistema ed e pertanto una quantita intrinsecamente positiva. Lo stesso risultato si ottiene per la matrice delle rigidezze considerando un qualsiasi vettore di spostamento X e verificando che XT KX e il doppio dell energia potenziale elastica del sistema, anch essa intrinsecamente positiva. Infine, la simmetria della matrice delle rigidezze K e assicurata dal Teorema di Betti. 3.2 Vibrazioni libere non smorzate di sistemi a piu gradi di liberta In questo paragrafo ci si vuole occupare in dettaglio delle vibrazioni libere non smorzate di sistemi a piu gradi di liberta, il cui moto e retto dall equazione differenziale (3.1).

46 38 VIBRAZIONI LIBERE DI SISTEMI A PIÙ GRADI DI LIBERTÀ Autovalori ed autovettori e loro proprietà Le soluzioni del sistema di equazioni differenziali (3.1) possono essere ricercate nella classe di funzioni vettoriali X = φe λt in cui φ è un vettore costante rispetto al tempo e e λt è una funzione scalare del tempo. Derivando due volte si ottiene: Ẍ = λ 2 φe λt sostituendo queste due ultime equazioni nella (3.1) si ottiene il seguente sistema di equazioni ( ) λ 2 M + K φe λt = 0 t Perché questa relazione possa essere soddisfatta identicamente ad ogni istante t, è necessario che sia ( ) λ 2 M + K φ = 0 (3.2) È possibile porre la eq. (3.2) nella forma in cui si è definita la matrice dinamica D come: Dφ = γφ (3.3) D = K 1 M e si è posto γ = 1/λ 2. Si noti che la definizione della matrice dinamica è sempre possibile in quanto la matrice delle rigidezze K, essendo simmetrica e definita positiva, è sempre invertibile. La eq. (3.3) rappresenta un classico problema agli autovalori in cui si cercano le condizioni per cui il generico operatore D applicato al vettore φ restituisca un vettore parallelo a φ. Se ciò si verifica, γ è detto autovalore dell operatore D e risulta essere associato all autovettore φ. Il sistema di equazioni (3.3) può essere riscritto nella forma (D γi n ) φ = 0 in cui I n è una matrice identità di ordine pari al numero dei gradi di libertà del problema. Il sistema che si determina è lineare ed omogeneo ed ammette come soluzione banale φ = 0 di nessun interesse fisico. Per ottenere altre soluzioni diverse da quella banale è necessario imporre, come prescritto dal teorema di Rouche-Capelli, che sia nullo il determinante della matrice dei coefficienti: det (D γi n ) = 0 Lo sviluppo del determinante porta alla scrittura del polinomio P (γ) = γ n + A n 1 γ n A 1 γ + A 0 detto polinomio caratteristico di grado n nell incognita γ, che ammetterà, in virtù del teorema fondamentale dell Algebra, n radici γ i C. In corrispondenza di ogni autovalore, ovvero per ognuna delle radici γ i, sarà possibile ricavare il corrispondente autovettore φ i, a meno di una costante di proporzionalità. La

47 VIBRAZIONI LIBERE NON SMORZATE DI SISTEMI A PIÙ GRADI DI LIBERTÀ 39 soluzione dell equazione differenziale (3.1) è quindi esprimibile come combinazione lineare degli autovettori: n X = c i φ i e λit i=1 in cui λ i = 1/γ i e le n costanti di integrazione c i C si determinano imponendo le n condizioni iniziali in termini di spostamento e n condizioni iniziali in termini di velocità. Si possono dimostrare le seguenti importanti proprietà di autovalori ed autovettori. Teorema 3.1 Gli autovalori e gli autovettori associati alla equazione del moto (3.1) sono reali. Dimostrazione: Assumiamo per assurdo che la k-sima radice γ k del polinomio caratteristico sia complessa. Dal teorema fondamentale dell Algebra si può dedurre che anche γk, complessa e coniugata di γ k, sarà soluzione del problema agli autovalori. Siano φ k e φ k i corrispondenti autovettori. Allora, in corrispondenza di queste due soluzioni l eq. (3.3) diventa { Dφ k = γ k φ k Dφ k = γ k φ k Moltiplicando entrambi i membri delle due equazioni per K dopo semplici passaggi si trova { Mφ k = γ k Kφ k Mφ k = γ k Kφ k Adesso, premoltiplicando la prima per φ T k e la seconda per φ T k e trasponendo l ultima equazione ottenuta si ha: { { φ T k Mφ k = γ k φ T k Kφ k φ T k φ T k Mφ k = Mφ k = γ k φ T k Kφ k γ k φt k Kφ k Mφ k = γk φ TKφ k in cui si è sfruttata la simmetria delle matrici M e K. Sottraendo membro a membro queste ultime si ottiene: 0 = (γ k γk) φ T k Kφ k e pertanto, poiché in generale φ T k Kφ k 0, deve aversi necessariamente γ k = γk, da cui discende immediatamente γ k R e φ k R n. Poiché per questa dimostrazione si è scelta una generica radice del polinomio caratteristico, si può affermare che tutte gli autovalori γ k associati alla eq. (3.1) sono reali, così come i corrispondenti autovettori φ k. φ T k Teorema 3.2 Gli autovalori associati alla equazione del moto (3.1) sono positivi. Dimostrazione: A partire dalla eq. (3.3) e ricordando la definizione di matrice dinamica si può ottenere la relazione Mφ k = γ k Kφ k (3.4) in cui il pedice k è stato scelto in modo generico. Premoltiplicando entrambi i membri per la quantità φ T k si ha φ T k Mφ k = γ k φ T k Kφ k Dal momento che le matrici M e K sono definite positive ne discende che anche l autovalore γ k deve essere positivo. Se ne deduce che, avendo dimostrato l assunto per il generico autovalore γ k, allora tutti gli autovalori sono positivi. k

48 40 VIBRAZIONI LIBERE DI SISTEMI A PIÙ GRADI DI LIBERTÀ Teorema 3.3 Gli autovettori associati ad autovalori distinti sono ortogonali tra loro rispetto le matrici M e K. Dimostrazione: Si ricorda che nello spazio R n due vettori A e B sono ortogonali rispetto la matrice C se A T CB = 0. Pertanto la tesi da dimostrare si traduce nelle seguenti equazioni: φ T i Mφ j = 0, φ T i Kφ j = 0, i j Si particolarizzi la eq. (3.4) in corrispondenza della i-sima e j-sima coppia di autovalori e autovettori soluzioni del problema (3.3): { Mφ i = γ i Kφ i Mφ j = γ j Kφ j premoltiplicando la prima equazione per φ T j e la seconda per φt i, trasponendo la seconda delle relazioni così ottenute e ricordando la simmetria delle matrici M e K si ottiene: { φ T j Mφ i = γ i φ T j Kφ i φ T j Mφ i = γ j φ T j Kφ (3.5) i Sottraendo queste ultime relazioni membro a membro si ottiene 0 = ( γ i γ j ) φ T j Kφ i e poichè gli autovalori sono distinti (γ i γ j ) deve dedursi che φ T j Kφ i = 0 e cioè che ad autovalori distinti corrispondono autovettori ortogonali rispetto alla matrice delle rigidezze. Se invece si dividono le relazioni (3.5) per le quantità γ i e γ j, rispettivamente si ottiene: 1 φ T j γ Mφ i = φ T j Kφ i i 1 γ j φ T j Mφ i = φ T j Kφ i Sottraendo ancora membro a membro si ha: ( ) 1 1 φ T j Mφ i = 0 γ i γ j e dal momento che gli autovalori sono distinti (1/γ i 1/γ j ) deve dedursi che φ T j Mφ i = 0 e cioè che ad autovalori distinti corrispondono autovettori ortogonali rispetto alla matrice delle masse. Nello spazio Euclideo R n si definisce norma del vettore A la quantità scalare: A = A T IA = A T A in cui I è la matrice identità di ordine n ed il vettore A si dice normalizzato se la sua norma è unitaria. Nel seguito verrà invece usata una definizione alternativa di norma, basata sulla metrica di Riemann, secondo la quale la norma del vettore A rispetto alla matrice metrica M è data dalla quantità scalare A = A T MA

49 VIBRAZIONI LIBERE NON SMORZATE DI SISTEMI A PIÙ GRADI DI LIBERTÀ 41 ed il vettore A si dice normalizzato rispetto alla matrice M se la sua norma di Riemann rispetto ad M è unitaria. Gli autovettori della matrice dinamica D sono stati definiti a meno di una costante, che può essere, ad esempio, determinata in maniera tale da rendere la loro norma unitaria rispetto alla matrice delle masse M. In questo modo gli autovettori si dicono ortogonali rispetto alla matrice delle rigidezze ed ortonormali rispetto alla matrice delle masse. Utilizzando la classica notazione di Kronecker { 1 i = j δ i,j = 0 i j le condizioni di ortonormalità rispetto alla matrice delle masse e di ortogonalità rispetto alla matrice delle rigidezze assumono rispettivamente la forma: φ T j Mφ i = δ i,j (3.6) φ T j Kφ i = 1 δ i,j (3.7) γ i Introducendo le matrici di ordine (n n) Φ, detta matrice modale [ ] Φ = φ 1, φ 2,..., φ j,..., φ n e Ω 2 detta matrice spettrale { Ω 2 = Diag ω1, 2 ω2, 2..., ωj 2,..., ω2 n } le eq. (3.6) e (3.7) possono essere riscritte in notazione compatta matriciale come Φ T MΦ = I n (3.8) Φ T KΦ = Ω 2 (3.9) in cui si è posto ωi 2 prossimo paragrafo. = 1/γ i con significato fisico di pulsazione che sarà chiarito nel Vibrazione libere come combinazione dei modi di vibrare In questo paragrafo si forniranno i significati fisici degli autovalori e degli autovettori associati alla matrice dinamica D e si utilizzeranno le proprietà determinate nel precedente paragrafo al fine di trovare la soluzione delle vibrazioni libere di strutture non smorzate a più gradi di libertà. Secondo la teoria degli spazi vettoriali, gli autovettori costituiscono, quindi una base dello spazio R n in cui sono definite le soluzioni dell equazione del moto (3.1) X (t) che, quindi, possono essere espresse come combinazione lineare degli autovettori mediante i coefficienti y i (t) variabili nel tempo: X (t) = n y i (t) φ i (3.10) i=1

50 42 VIBRAZIONI LIBERE DI SISTEMI A PIÙ GRADI DI LIBERTÀ Lo spazio in cui sono definite le soluzioni X (t) è detto spazio fisico o spazio nodale, mentre quello in cui operano le coordinate Y (t), con [ Y (t) = y 1 (t), y 2 (t),..., y n (t) è detto spazio modale. La trasformazione (3.10) dallo spazio nodale allo spazio modale (detta trasformazione modale) avviene attraverso la matrice modale Φ e si può esprimere in notazione matriciale compatta come: X = ΦY (3.11) L utilizzo della trasformazione modale (3.11) ha conseguenze di fondamentale importanza nella Dinamica delle Strutture che possono essere messe in luce dalle seguenti operazioni. Derivando l eq. (3.10) due volte rispetto al tempo e sostituendo nella equazione del moto (3.1) si ottiene: n n ÿ i (t) Mφ i + y i (t) Kφ i = 0 i=1 i=1 Premoltiplicando quest ultima equazione per φ T j e ricordando le eq. (3.6) e (3.7) si ottiene la j-sima equazione del sistema: ÿ j (t) + ω 2 j y j (t) = 0 (3.12) che è una equazione differenziale omogenea a coefficienti costanti nella sola variabile y j (t), del tutto simile alla eq. (1.1) già risolta in precedenza. La trasformazione modale, quindi, nel caso di vibrazioni libere non smorzate diagonalizza contemporaneamente sia la matrice delle masse che la matrice delle rigidezze e consente di pervenire ad un sistema di equazioni differenziali disaccoppiate in cui, cioè, compare una sola incognita per ogni equazione. In altri termini, operando la trasformazione modale è possibile studiare un sistema di n gradi di libertà come un insieme di n oscillatori elementari indipendenti nelle coordinate modali y i (t), per i quali valgono tutte le considerazioni svolte nel Capitolo 1. La Figura 3.3 illustra questo concetto con riferimento ad un sistema a due gradi di libertà. Una volta trovate le risposte degli oscillatori modali la risposta del sistema nello spazio nodale può essere ricomposta utilizzando nuovamente la trasformazione (3.11). L autovettore φ i viene detto i-sima forma modale, mentre l i-esimo termine della matrice spettrale ω 2 i, legato all i-esimo autovalore γ i, è detto i-sima pulsazione naturale della struttura. Infine, la i-sima pulsazione naturale e la i-sima forma modale caratterizzano insieme l i-esimo modo di vibrare della struttura. Tornando alla eq. (3.12), secondo la eq. (1.4) la soluzione dell i-esimo oscillatore può essere espressa come y j (t) = A j cos ω j t + B j sin ω j t e la soluzione della eq. (3.1) nello spazio nodale, attraverso la eq. (3.10), vale: X (t) = n [A i cos ω i t + B i sin ω i t] φ i (3.13) i=1 in cui le costanti di integrazione A i e B i devono essere determinate dall imposizione delle condizioni iniziali nello spazio nodale. Sfruttando la trasformazione modale (3.10) è pos- ] T

51 VIBRAZIONI LIBERE NON SMORZATE DI SISTEMI A PIU GRADI DI LIBERTA x2 ( t ) m2 y1 ( t ) 2 1 w k2 m=1 x1 ( t ) m1 y2 ( t ) w2 k1 Figura m=1 Disaccoppiamento delle equazioni del moto in seguito alla trasformazione modale. sibile esprimere le condizioni iniziali X (0) = X0 e X (0) = X 0 come segue: X0 = n X yi (0) φi, X 0 = i=1 n X y i (0) φi i=1 Premoltiplicando queste ultime relazioni per la quantita φt j M e ricordando le proprieta di ortonormalita degli autovettori si ottiene φt j MX0 = n X yi (0) φt j Mφi = i=1 φt j MX 0 = n X i=1 n X yi (0) δij = yj (0) i=1 y i (0) φt j Mφi = n X y i (0) δij = y j (0) i=1 dalle quali, ricordando la eq.(1.4) e immediato ricavare in modo diretto le costanti di integrazione: φt j MX 0 Aj = φt Bj = j MX0, ωj Sostituendo nella eq. (3.13) si ottiene la soluzione delle vibrazioni libere di strutture a piu gradi di liberta non smorzate: " # n X φt i MX 0 T sin ωi t φi (3.14) X (t) = φi MX0 cos ωi t + ωi i=1 Il significato fisico delle forme di vibrare e messo in evidenza dal seguente ragionamento. Si supponga che il sistema al tempo t = 0 sia posto in una configurazione di spostamenti descritta dal generico autovettore φk con velocita iniziale nulla. A partire da queste condizioni iniziali X0 = φk e X 0 = 0 si rilascia la struttura e si valuta il moto secondo la eq. (3.14). Sostituendo le condizioni iniziali nella eq. (3.14) e

52 44 VIBRAZIONI LIBERE DI SISTEMI A PIÙ GRADI DI LIBERTÀ ricordando le eq. (3.6) si ottiene immediatamente X (t) = n φ T i Mφ k cos ω i tφ i = i=1 n δ ik cos ω i tφ i = cos ω k tφ k in altri termini, il sistema vibra di moto armonico semplice con pulsazione coincidente con quella relativa alla forma modale assunta come condizione iniziale e con ampiezza sempre proporzionale al corrispondente autovettore, senza variare la forma della sua deformata. Nello spazio modale ciò si traduce nel fatto che tutti gli oscillatori modali restano in quiete, tranne il k-esimo che oscilla di moto armonico semplice con condizioni iniziali y k (0) = 1 e ẏ k (0) = 0. Queste proprietà degli autovettori giustificano la denominazione di forma modale. Se, invece, le condizioni iniziali non coincidono con una forma modale, allora il moto risultante sarà una combinazione di tutte le forme modali. i=1 3.3 Vibrazioni libere di strutture classicamente smorzate Nel presente paragrafo verrà affrontato il problema della determinazione della risposta delle oscillazioni libere di un sistema a più gradi di libertà in cui sono presenti anche forze di tipo dissipativo. Ferme restando le considerazioni svolte sulla origine delle forze dissipative quando è stato analizzato l oscillatore elementare, al fine di pervenire a trattazioni analitiche semplici si continuerà ad utilizzare la modellazione della dissipazione viscosa, secondo cui le forze dissipative sono proporzionali alla velocità dei punti materiali del sistema. Nel seguito verranno dapprima descritte le equazioni del moto di sistemi a più gradi di libertà in presenza di dissipazione e verranno discussi i problemi che ne risultano. Quindi, verranno mostrate alcune modellazioni classiche della matrice di dissipazione che conducono a soluzioni approssimate ma di grande utilità pratica; infine, verranno determinate le risposte relative alle oscillazioni libere di sistemi a più gradi di libertà smorzati Equazioni del moto di sistemi smorzati a più gradi di libertà In tutti i sistemi reali sono presenti delle forze dissipative che tendono ad estinguere il moto in assenza di forzanti esterne. Le cause più frequenti della dissipazione di energia sono le forze d attrito, il comportamento isteretico dei materiali e le resistenze al moto dovute alla presenza di un fluido (aria, acqua) all interno del quale è immerso il sistema oscillante. Come già affermato in precedenza, al fine di semplificare la trattazione analitica, le forze dissipative vengono solitamente rappresentate attraverso delle forze viscose, cos come mostrato nella Figura 3.4, per cui l equazione del moto delle oscillazioni libere di un sistema a più gradi di libertà smorzato assume la seguente forma MẌ + CẊ + KX = 0 (3.15) che rappresenta un sistema omogeneo di equazioni differenziali ordinarie, lineari ed accoppiate in cui la matrice C di ordine n n è detta matrice di dissipazione viscosa. In genere, data la difficoltà di cogliere il significato fisico delle diverse fonti di dissipazione, non si perviene ad una descrizione diretta della matrice di dissipazione ma piuttosto ad una sua valutazione in base a ragioni di opportunità di calcolo che saranno mostrate nel prossimo paragrafo.

53 VIBRAZIONI LIBERE DI STRUTTURE CLASSICAMENTE SMORZATE x2 ( t ) m2 k2 c2 Figura 3.4 m2.. k2(x2-x1) c2(x2-x1).. k2(x2-x1) c2(x2-x1) x1 ( t ) m1 k1.. m2x2 45 m1.. m1x1 k1x1. c1x1 c1 Sistema a piu gradi di liberta in oscillazioni libere smorzate. Se, invece, in alcuni punti concentrati della struttura sono presenti dispositivi come i dissipatori viscosi, il loro contributo puo essere valutato attraverso metodi diretti (ad es. metodo degli spostamenti). Operando la trasformazione modale (3.11) sulla eq. (3.15), premoltiplicando per la trasposta della matrice modale Φ e ricordando le proprieta di ortogonalita (3.8) e (3.9), si ottiene: Y + ΛY + Ω2 Y = 0 (3.16) in cui Λ = ΦT CΦ e detta matrice di dissipazione modale. In generale la matrice Λ non e diagonale, ovvero il passaggio dallo spazio nodale allo spazio modale non disaccoppia il sistema di equazioni. In altri termini, la matrice modale Φ e ortogonale sia alla matrice delle masse che alla matrice delle rigidezze, ma in generale non e ortogonale alla matrice di dissipazione. E chiaro che in questo caso si vanificano tutti i vantaggi descritti nel paragrafo precedente. Esaminando la matrice di dissipazione modale possono presentarsi due casi: i) gli elementi fuori diagonale sono trascurabili rispetto agli elementi sulla diagonale principale e la matrice di dissipazione modale puo essere considerata in prima approssimazione come diagonale; ii) gli elementi fuori diagonale della matrice di dissipazione sono dello stesso ordine di grandezza di quelli della diagonale principale e l approssimazione di cui sopra non e piu lecita. Nel primo caso e possibile trascurare gli elementi fuori diagonale e il sistema cui si perviene e detto classicamente smorzato. In questo caso e ancora vantaggioso riportarsi nello spazio modale attraverso la cosiddetta analisi modale classica. Nel secondo caso, il sistema viene detto non classicamente smorzato e, al fine di pervenire ad un disaccoppiamento delle equazioni del moto e necessaria una cosiddetta analisi modale generalizzata in cui si ricercano autovalori ed autovettori complessi. Tale metodo esula dagli scopi del presente corso. Dal punto di vista fisico l analisi modale classica e lecita ogni qualvolta la struttura e costituita da materiali omogenei e non vi sono forti interazioni suolo-struttura. In caso contrario l analisi modale generalizzata rappresenta l unica via percorribile. I risultati

54 46 VIBRAZIONI LIBERE DI SISTEMI A PIÙ GRADI DI LIBERTÀ Tabella 3.1 Rapporti di smorzamento ζ 0 per varie tipologie strutturali. Tipologia costruttiva ζ 0 Telaio di acciaio, saldato con tutte le pareti flessibili 0.02 Telaio di acciaio, saldato o imbullonato, con tamponamento esterno rigido e pareti interne flessibili 0.05 Telaio di acciaio, saldato con tutte le pareti di controvento di calcestruzzo 0.07 Telaio di calcestruzzo, con tutte le pareti flessibili 0.05 Telaio di calcestruzzo, con tamponamento esterno rigido e tutte le pareti in interne flessibili 0.07 Telaio di calcestruzzo, con pareti di taglio in calcestruzzo o muratura 0.10 Edifici con pareti di taglio in calcestruzzo o muratura 0.10 Struttura a pareti di taglio in legno 0.15 delle due tipologie di analisi differiscono anche per il fatto che, mentre in presenza di dissipazione classica gli autovettori sono indipendenti dal tempo, nel caso di strutture non classicamente smorzate le forme di vibrare variano nel tempo e si verifica la cosiddetta migrazione dei nodi e dei ventri delle forme modali Modellazioni classiche della matrice di dissipazione Nel presente paragrafo verranno mostrate alcuni metodi di modellazione della matrice di dissipazione tali da pervenire ad equazioni del moto disaccoppiate nello spazio modale. Il primo metodo di modellazione è anche il più semplice e consiste nell imporre direttamente nello spazio modale che la matrice Λ sia diagonale, in modo da soddisfare la relazione: { } Λ = Φ T CΦ = Diag 2ζ 1 ω 1, 2ζ 2 ω 2,..., 2ζ i ω i,..., 2ζ n ω n (3.17) in cui, in analogia con quanto visto per l oscillatore elementare, l i-esimo elemento della diagonale principale è espresso nella forma Λ ii = 2ζ i ω i. I valori degli smorzamenti modali possono essere ricavati sperimentalmente o assunti uguali per tutti i modi in funzione della tipologia costruttiva della struttura, come suggerito nella Tabella 3.1. Una volta costruita la matrice di dissipazione modale Λ, si può determinare la matrice di dissipazione C invertendo la relazione Λ = Φ T CΦ: ( C = Φ T) 1 ΛΦ 1 = MΦΛΦ T M (3.18) in cui è stata utilizzata la relazione di ortonormalità (3.8). In questo caso la matrice modale Φ, oltre ad essere ortogonale alla matrice delle masse ed alla matrice delle rigidezze, è ortogonale anche alla matrice di dissipazione. Affinché questo accada in generale è stato dimostrato da Caughey e O Kelly che deve essere verificata la seguente relazione CM 1 K = KM 1 C Il metodo di modellazione diretto presenta lo svantaggio di richiedere il calcolo preventivo della matrice modale. D altra parte, affinché la matrice di dissipazione si mantenga ortogonale alla base di autovettori che diagonalizza contemporaneamente la matrice delle masse e la matrice delle rigidezze, il modo più semplice per ottenerla è di esprimerla come combinazione lineare di queste ultime: C = α 0 M + α 1 K (3.19)

55 VIBRAZIONI LIBERE DI STRUTTURE CLASSICAMENTE SMORZATE 47 z prop. massa prop. rigidezza mod. Rayleigh z0 w w1 Figura 3.5 w2 Rapporto di smorzamento nella modellazione di Rayleygh della matrice di dissipazione. L eq. (3.19) rappresenta la modellazione di Rayleigh della matrice di dissipazione. Lo smorzamento dell i-esimo modo si ottiene premoltiplicando e postmoltiplicando la eq. (3.19) rispettivamente per φt i e per φi : T T φt i Cφi = α0 φi Mφi + α1 φi Kφi Ricordando la eq. (3.17) e le condizioni di ortogonalita (3.6) e (3.7) si ottiene: ζi = α1 ωi α0 + 2ωi 2 (3.20) Il primo termine, proporzionale alla matrice delle masse, tende asintoticamente a zero al crescere della pulsazione naturale, mentre il secondo termine, proporzionale alla matrice delle rigidezze, varia linearmente con la pulsazione naturale. Entrambi questi comportamenti sono in contrasto con le evidenze sperimentali che mostrano un andamento pressoche costante dello smorzamento al variare della frequenza. La Figura 3.5 mostra sia l andamento dei due contributi in modo separato, che l andamento risultante dalla loro combinazione. Risulta evidente come, attraverso la modellazione di Rayleigh, si possa ottenere un andamento quasi costante in range di pulsazioni limitato. Le costanti di proporzionalita α0 e α1 possono, quindi, essere calcolate imponendo che i rapporti di smorzamento in corrispondenza dei due modi che delimitano il campo di frequenze di interesse, per esempio il j-simo ed il k-esimo, abbiano valori assegnati, ad esempio ζj e ζk. Cosı facendo si viene a determinare un sistema di due equazioni nelle due incognite α0 e α1 che ha soluzione: 2ωj ωk ζk ωj ζj ωk 2ζj ωj 2ζk ωk α0 = ; α1 = ωj2 ωk2 ωj2 ωk2 Nel caso particolare in cui ζj = ζk = ζ0 si ottiene: α0 = ζ0 2ωj ωk ; ωj + ωk α1 = ζ0 2 ωj + ωk

56 48 VIBRAZIONI LIBERE DI SISTEMI A PIÙ GRADI DI LIBERTÀ Una estensione della modellazione di Rayleigh della matrice di dissipazione consiste nella possibilità di assegnare il rapporto di smorzamento in un numero maggiore di modi attraverso la cosiddetta modellazione di Caughey della matrice di dissipazione: n 1 ) r C = α 0 M + α 1 K + M α r (M 1 K (3.21) Premoltiplicando e postmoltiplicando la eq. (3.21) rispettivamente per φ T i e per φ i dopo semplici passaggi matematici si ottiene lo smorzamento dell i-esimo modo nella forma: ζ i = 1 2 r=0 r=2 n 1 α r ω 2r 1 i (3.22) in cui le costanti α r possono essere determinate imponendo il valore dei rapporti di smorzamento per diversi modi di vibrare. La modellazione di Caughey può presentare problemi di condizionamento dei sistemi risolventi e può portare alla determinazione di rapporti di smorzamento negativi di nessun senso fisico. Va rilevato che, ponendo r = 2 nella (3.21) o nella (3.22) la modellazione di Caughey si riconduce alla modellazione di Rayleigh Legge oraria delle vibrazioni libere di strutture classicamente smorzate Il problema delle vibrazioni libere di strutture classicamente smorzate si pone nella forma MẌ (t) + CẊ (t) + KX (t) = 0; X (0) = X 0; Ẋ (0) = Ẋ0 (3.23) Supponendo che la struttura sia classicamente smorzata è possibile operare la trasformazione modale (3.11), premoltiplicare per Φ T e ottenere le equazioni del moto e le condizioni iniziali nello spazio modale nella forma seguente: Ÿ (t) + ΛẎ (t) + Ω2 Y (t) = 0; Y (0) = Φ T MX 0 ; Ẏ (0) = Φ T MẊ0 Poichè la matrice di dissipazione modale Λ è adesso diagonale, il sistema di equazioni è disaccoppiato, ovvero la j-sima equazione contiene solo la j-sima coordinata modale incognita y j (t): ÿ j (t) + 2ζ j ω j ẏ j (t) + ω 2 j y j (t) = 0; y j (0) = φ T j MX 0 ; ẏ j (0) = φ T j MẊ0 Lo studio delle vibrazioni libere di un sistema a più gradi di libertà classicamente smorzato può, quindi, essere ricondotto a quello di n oscillatori elementari smorzati in vibrazioni libere con condizioni iniziali assegnate. Tale problema è stato già affrontato nei capitoli precedenti, vedasi eq. (1.7), trovando la soluzione riportata nella eq. (1.10) che, nel caso del j-esimo oscillatore modale diventa: y j (t) = e ζjωjt [ Ā j cos ( ω j t ) + B j sin ( ω j t )] (3.24) in cui ω j = ω j 1 ζj 2 è la j-sima pulsazione modale ridotta. Le costanti di integrazione Ā j e B j possono essere determinate imponendo le condizioni iniziali, per cui si ha: Ā j = φ T j MX 0, Bj = 1 ω ) φ T j M (Ẋ0 + ζ j ω j X 0 j

57 VIBRAZIONI LIBERE DI STRUTTURE CLASSICAMENTE SMORZATE 49 Sostituendo queste ultime nella eq. (3.24) e ricordando la trasformazione modale nella forma (3.10) si ottiene la soluzione esplicita delle vibrazioni libere di una struttura classicamente smorzata a più gradi di libertà in funzione delle condizioni iniziali: X (t) = n i=1 ) ] e ζiωit φ T i M [X 0 cos ( ω i t) + 1 ωi (Ẋ0 + ζ i ω i X 0 sin ( ω i t) φ i (3.25) Si supponga adesso che il sistema al tempo t = 0 sia posto in una configurazione di spostamenti pari al generico autovettore φ k e velocità nulla, ovvero che si abbia: X 0 = φ k e Ẋ0 = 0. Dalla eq. (3.25) si ricava la soluzione [ X (t) = e ζ kω k t cos ( ω k t) + ζ ] kω k sin ( ω k t) φ k ω k che mostra come la struttura si muove di moto armonico secondo la k-sima pulsazione naturale della struttura e la risposta in termini di spostamento si mantiene proporzionale al k-esimo autovettore, smorzandosi nel tempo in ragione dello smorzamento ζ k.

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59 CAPITOLO 4 VIBRAZIONI FORZATE DI SISTEMI A PIÙ GRADI DI LIBERTÀ In questo capitolo verranno trattati i metodi per la valutazione della risposta strutturale di sistemi a più gradi di libertà soggetti a carichi dinamici deterministici, ovvero la cui posizione ed evoluzione temporale è perfettamente nota. I risultati della trasformazione modale, descritti nel capitolo precedente, verranno dapprima utilizzati per valutare la risposta di sistemi classicamente smorzati. Seguendo lo stesso percorso logico utilizzato per l oscillatore elementare, verranno poi trovate le soluzioni per forzanti di natura generica, operando sia secondo la cosiddetta formulazione integrale, che secondo la formulazione incrementale. Verranno poi mostrati dei metodi per tenere conto di un numero ridotto di modi di vibrare ed alcuni algoritmi numerici per l integrazione diretta delle equazioni del moto. Infine, verrà esaminato il caso ricorrente di forzanti di natura sismica. 4.1 Metodo della sovrapposizione modale Si consideri una struttura a n gradi di libertà classicamente smorzata soggetta ad un vettore forzante f (t). Le equazioni del moto nello spazio fisico, unitamente alle condizioni iniziali, possono essere scritte nella forma: MẌ (t) + CẊ (t) + KX (t) = f (t) ; X (0) = X 0; Ẋ (0) = Ẋ0 (4.1) La Figura 4.1 mostra il caso esemplificativo di sistema a due gradi di libertà. La eq.(4.1) rappresenta un sistema di equazioni differenziali ordinarie del secondo ordine accoppiate. Esso può essere risolto mediante metodi numerici, ovvero attraverso l applicazione della trasformazione modale, mostrata nel capitolo precedente. Appunti di Dinamica delle Strutture, I revisione. By Giacomo Navarra

60 52 VIBRAZIONI FORZATE DI SISTEMI A PIU GRADI DI LIBERTA f2 ( t ) x2 ( t ) m2 k2 f1 ( t ) Figura m2x2 c2.. k2(x2-x1) c2(x2-x1).. k2(x2-x1) c2(x2-x1) x1 ( t ) m1 k1 f2 ( t ) m2 m1.. m1x1 k1x1 f1 ( t ). c1x1 c1 Sistema a due gradi di liberta in oscillazioni forzate e smorzate. Una volta determinata la soluzione del problema agli autovalori associato alle matrici delle masse M e delle rigidezze K, si puo proiettare l eq (4.1) in un nuovo spazio vettoriale definito dalla trasformazione di coordinate (3.10). X (t) = ΦY (t) = n X yj (t) φj j=1 Sostituendo quest ultima nella eq. (4.1) e premoltiplicando per φt j si ottiene l equazione del moto del j-esimo oscillatore elementare modale: y j (t) + 2ζi ωi y j (t) + ωj2 yj (t) = φt j f (t) = pj (t) (4.2) Nel valutare la (4.2) si sono utilizzate le relazioni di ortogonalita tra autovettori (3.6) e (3.7) ed inoltre, dato che la struttura e classicamente smorzata, si e posto φt j Cφi = 2ζi ωi δi,j. I termini pj (t) prendono il nome di coefficienti di partecipazione modale e forniscono le proiezioni del vettore forzante sugli oscillatori modali. Si nota, quindi che la soluzione del problema (4.1) e stato riportato alla soluzione di n equazioni differenziali disaccoppiate (4.2) che possono essere affrontate con le tecniche mostrate nel Capitolo 2. Una volta valutate le risposte degli oscillatori modali yj (t), la risposta della struttura nello spazio fisico puo essere ricostruita utilizzando nuovamente la trasformazione modale (3.10). Nel seguito del presente Capitolo si illustreranno le tecniche analitiche e numeriche per condurre le valutazioni della risposta strutturale di sistemi a piu gradi di liberta classicamente smorzati, qui accennati soltanto in via concettuale. 4.2 Risposta di sistemi a piu gradi di liberta a forzanti generiche Questo paragrafo e dedicato alla estensione al caso dei sistemi a piu gradi di liberta delle soluzioni mostrate nel Capitolo 2 per i sistemi ad un grado di liberta. Verranno presentati

61 RISPOSTA DI SISTEMI A PIÙ GRADI DI LIBERTÀ A FORZANTI GENERICHE 53 sia metodi di natura integrale, che di natura incrementale che si prestano alla implementazione in codici di calcolo Formulazione integrale Nel paragrafo precedente è stato mostrato che il problema (4.1) è stato ricondotto ad un sistema di n equazioni differenziali disaccoppiate, di cui la j-sima assume la forma: ÿ j (t) + 2ζ i ω i ẏ j (t) + ω 2 j y j (t) = p j (t) ; y j (t 0 ) = φ T j MX 0 ; ẏ j (t 0 ) = φ T j MẊ0 La soluzione di tale equazione del moto è formalmente identica alla eq. (2.23), che qui viene riscritta come: y j (t) = [ ζ j ω j h j (t t 0 ) + ω j g j (t t 0 ) ] y j (t 0 ) + +h j (t t 0 ) ẏ j (t 0 ) + t t 0 p j (τ) h j (t τ) dτ (4.3) Introducendo il vettore delle variabili di stato modali Q j (t) ed il vettore v, definiti come: [ ] [ ] y j (t) 0 Q j (t) = v = ẏ j (t) 1 e scrivendo la soluzione (4.3) anche in termine delle velocità, si ottiene la soluzione del j-esimo oscillatore modale in termini di variabili di stato: t Q j (t) = Θ j (t t 0 ) Q j (t 0 ) + p j (t) Θ j (t t 0 ) vdτ (4.4) t 0 la quale rappresenta l estensione al caso di sistemi a più gradi di libertà della eq. (2.20). Nella definizione delle equazioni (4.3) e (4.4) si sono introdotte la matrice di transizione del j-esimo oscillatore modale Θ j (t t 0 ) e le funzioni h j (t t 0 ) e g j (t t 0 ), definite come: [ ] ζ j ω j h j (t t 0 ) + ω j g j (t t 0 ) h j (t t 0 ) Θ j (t t 0 ) = ωj 2h j (t t 0 ) ḣ j (t t 0 ) h j (t) = 1 ω j e ζjωit sin ( ω i t) ; g j (t) = 1 ω j e ζjωjt cos ( ω j t ) nelle quali ω j, ζ j e ω j sono rispettivamente la pulsazione modale, il rapporto di smorzamento e la pulsazione ridotta del j-esimo modo. Una volta definita la risposta (4.3) del j-esimo oscillatore modale, assemblando opportunamente tutte le risposte, è possibile pervenire alla risposta in forma integrale nello spazio modale in notazione compatta: t Y (t) = Ψ (t t 0 ) Y (t 0 ) + hẏ (t 0) + h (t τ) p (τ) dτ t 0 (4.5) in cui le matrici Ψ (t) e h (t) sono delle matrici diagonali di ordine n n in cui i j-esimi termini della diagonale principale sono definiti come: [Ψ] jj (t) = ζ j ω j h j (t) + ω j g j (t) ; [h] jj (t) = h j (t)

62 54 VIBRAZIONI FORZATE DI SISTEMI A PIÙ GRADI DI LIBERTÀ In termini di variabili di stato Q (t), la risposta (4.4) degli oscillatori modali in forma compatta si può scrivere come: t Q (t) = Θ M (t t 0 ) Q (t 0 ) + Θ M (t τ) V M f (τ) dτ t 0 (4.6) in cui il vettore delle variabili di stato Q (t) e le matrici Θ M (t), di ordine 2n 2n, e V M, di ordine 2n n, sono definite come: [ ] [ ] [ ] Y (t) Ψ (t) h (t) 0 Q (t) = ; Θ M (t) = Ẏ (t) h (t) Ω 2 ḣ (t) ; V M = ; Φ T La matrice Θ M (t) viene detta matrice di transizione nello spazio modale. Infine, la risposta nello spazio fisico in termini di variabili di stato viene calcolata effettuando una trasformazione modale inversa. Ricordando le proprietà della matrice modale, dopo alcuni passaggi si ottiene la relazione: t Z (t) = Θ N (t t 0 ) Z (t 0 ) + Θ N (t τ) V N f (τ) dτ t 0 (4.7) in cui il vettore delle variabili di stato nello spazio nodale Z (t), la matrice di transizione nello spazio nodale Θ N (t) ed il vettore V N sono definiti come: [ ] [ ] X (t) 0 Z (t) = ; V N = ; Ẋ (t) M 1 Θ N (t) = [ ΦΨ (t) Φ T M Φh (t) Φ T K Φh (t) Φ T M Φḣ (t) ΦT M ] ; Formulazione incrementale Nel paragrafo precedente è stata determinata la risposta di un sistema a più gradi di libertà ad un vettore di forzanti qualunque f (t) mediante la cosiddetta formulazione integrale, che assume rilievi pratici solo in caso di forzanti esprimibili mediante forme analitiche semplici. Nella maggior parte dei casi pratici ciò non avviene e, come nel caso delle registrazioni di accelerazioni sismiche, spesso non si hanno a disposizione funzioni analitiche ma campionamenti in un numero discreto di istanti temporali. Nel seguito del presente paragrafo, si presenterà l estensione ai sistemi a più gradi di libertà del cosiddetto metodo di integrazione al passo, esposto nel Capitolo 2. Come già evidenziato con riferimento all oscillatore elementare, il metodo perviene alla soluzione all istante t k+1, nota che sia la soluzione all istante t k ed ipotizzando il vettore di forzanti costante all interno del passo. Particolarizzando l eq. (4.7) per t 0 = t k e per t = t k+1, ed ipotizzando le forzanti costanti all interno del passo con valore f (t k ), si ha: ( ) tk+1 Z (t k+1 ) = Θ N ( t) Z (t k ) + Θ N (t τ) dτ V N f (t k ) t k

63 METODI DI CORREZIONE MODALE 55 L integrale tra parentesi, applicando una proprietà delle matrici di transizione, può essere riscritto come: tk+1 t k Θ N (t τ) dτ = L N ( t) in cui l operatore L N (t), chiamato vettore dei carichi, è definito come: L N (t) = [ Θ N (t) I ] D 1 N e la matrice D 1 N è definita nel seguente modo: D 1 N = [ K 1 C K 1 M I 0 ] In definitiva, l espressione da utilizzare per implementare un algoritmo di integrazione al passo diventa: Z (t k+1 ) = Θ N ( t) Z (t k ) + L N ( t) V N f (t k ) (4.8) Nella eq. (4.8), così come accadeva nel caso dell oscillatore elementare, le due quantità Θ N ( t) e L N ( t) possono essere calcolate una sola volta all inizio della procedura se si ha l accortezza di campionare la forzante e la risposta strutturale a intervalli costanti t. Va segnalato che il metodo appena esposto è valido a rigore solo per sistemi lineari. 4.3 Metodi di correzione modale Si è più volte affermato che nel caso di strutture classicamente smorzate la risposta in termini di spostamenti X (t) di una struttura a più gradi di libertà è esprimibile come la combinazione lineare delle risposte di n oscillatori elementari, il j-esimo dei quali possiede pulsazione naturale e rapporto di smorzamento pari, rispettivamente, a ω j e ζ j, essendo ω j l inverso della radice quadrata della j-esima soluzione del problema agli autovalori (3.3). Usualmente, nella Dinamica delle Strutture, si fa l ipotesi che il rapporto di smorzamento sia costante per tutti i modi. In questo caso, l argomento della funzione esponenziale, che compare nella (3.25), cresce in valore assoluto al crescere di ω j ; ne segue che il contributo alle vibrazioni libere ed alla fase transiente della risposta fornito dai modi ad alta frequenza si attenua più velocemente rispett a quello dei modi a bassa frequenza. Tenendo anche conto del fatto che le forzanti hanno generalmente contenuto in energia più elevato alle basse frequenze, nella Dinamica delle Strutture hanno un ruolo determinante i primi modi di vibrare, cioè quelli corrispondenti alle frequenze più basse. Tra questi, il modo avente la frequenza più piccola, è detto modo fondamentale di vibrare della struttura e la pulsazione corrispondente ω 1 è detta pulsazione naturale fondamentale della struttura. Di conseguenza T 1 = 2π/ω 1 e f 1 = ω 1 /2π sono detti rispettivamente periodo fondamentale e frequenza fondamentale della struttura. Inoltre, nella realtà operativa, i modelli agli elementi finiti di strutture complesse possono avere anche migliaia di gradi di libertà ed è quindi impossibile determinare tutti gli autovalori ed autovettori. D altra parte, nella valutazione della risposta per via numerica, la scelta del passo di integrazione t implica che di fatto si trascurino tutti i modi con ω j > 2π/8 t. Per tutte le precedenti considerazioni, segue che, in generale, lo spazio modale viene assunto di dimensioni ridotte rispetto a quello nodale. La trasformazione di coordinate

64 56 VIBRAZIONI FORZATE DI SISTEMI A PIÙ GRADI DI LIBERTÀ (3.10) va, quindi coerentemente modificata come segue: m ˆX (t) = ˆΦŶ (t) = y j (t) φ j (4.9) nella quale m denota il numero di modi presi in esame e il segno ˆ indica che gli spostamenti nodali, immagine incompleta nello spazio ad n dimensioni di quelli modali valutati nello spazio modale ad m dimensioni (m < n), sono una soluzione approssimata delle equazioni del moto (4.1). Nella (4.9), la matrice modale ˆΦ, che definisce la trasformazione lineare, è una matrice rettangolare di ordine n m ed il vettore delle coordinate modali Y (t) è di ordine m. Applicando la trasformazione di coordinate (4.9) al sistema di equazioni differenziali del moto (4.1), si opera il cosiddetto troncamento modale, pervenendo, nello spazio modale, al seguente sistema di m equazioni differenziali del secondo ordine: j=1 Ŷ (t) + ˆΛ Ŷ (t) + ˆΩ 2 Ŷ (t) = ˆΦ T f (t) ; Ŷ (0) = ˆΦ T MX 0 ; Ŷ (0) = ˆΦ T MẊ0 (4.10) Tale sistema è disaccoppiato e la sua soluzione può essere determinata con i metodi descritti ai paragrafi precedenti. Una volta valutata la risposta nello spazio modale Ŷ (t), si può risalire alla risposta approssimata nello spazio fisico attraverso la eq. (4.9). In realtà la soluzione ottenuta considerando solamente i primi m modi può essere migliorata applicando uno dei cosiddetti metodi di correzione modale, che consistono generalmente nel considerare dei termini correttivi che tengono conto in modo semplificato del contributo offerto dai modi superiori, inizialmente scartati. Il metodo di correzione modale più usato nella pratica è il metodo delle accelerazioni modali. Tale metodo fa discendere la derivazione del termine correttivo dall idea che per i modi superiori il contributo alla soluzione è di tipo quasi statico. Per rendersi conto di ciò, si supponga che la forzante al sistema sia di tipo sinusoidale. Dall esame della eq. (2.7) e della Figura 2.4 è facile intuire che, per i modi superiori, il rapporto β tra la pulsazione della forzante e la pulsazione naturale del modo in esame tende a essere molto piccolo. In tal caso, la risposta ottenuta è quella pseudo-statica, ovvero quella in cui le forze inerziali e dissipative sono trascurabili. Il termine correttivo, quindi deve considerare la risposta pseudo-statica dei modi ad alta frequenza. Tale termine sarà esprimibile come la differenza tra la risposta pseudo-statica di tutti i modi X ST,n e la risposta pseudo-statica dei primi m modi X ST,m. Il primo termine si può ottenere annullando nella equazione del moto i termini inerziali e dissipativi: X ST,n (t) = K 1 f (t) Allo stesso modo, il secondo termine si può calcolare a partire dalla valutazione della risposta pseudo-statica dei primi m modi nello spazio modale: Ŷ ST,m (t) = ( ˆΩ 2) 1 ˆΦ T f (t) Tale contributo va riportato nello spazio fisico attraverso la trasformazione (4.9): X ST,m = ˆΦŶ ST,m (t) = ˆΦ ( ˆΩ 2) 1 ˆΦ T f (t) In definitiva, applicando il termine di correzione X ST,n X ST,m, la risposta del sistema assume la forma: [ ( ˆX (t) = ˆΦŶ (t) + K 1 ˆΦ ˆΩ 2) ] 1 ˆΦ T f (t) (4.11)

65 METODI ALTERNATIVI ALL ANALISI MODALE Metodi alternativi all analisi modale L analisi modale resta senza dubbio la tecnica maggiormente impiegata nella Dinamica delle Strutture per valutare la risposta di strutture lineari. Essa, però, richiede la soluzione preliminare del problema agli autovalori in termini di modi di vibrare e pulsazioni naturale, e la successiva soluzione delle equazioni del moto nello spazio modale, il quale può risultare ridotto rispetto a quello fisico. In letteratura, sono stati proposti diversi metodi alternativi all analisi modale che non richiedono la soluzione di onerosi problemi agli autovalori. Tali metodi possono classificarsi in metodi di integrazione diretta e metodi di analisi mediante vettori di Ritz. I metodi di integrazione diretta riconducono le equazioni differenziali del moto ad un sistema algebrico, dopo aver introdotto delle ipotesi sull andamento della soluzione. Tra tali metodi sono da ricordare il metodo delle differenze centrali, il metodo di Newmark, il metodo di Houbolt ed il metodo teta di Wilson. I metodi di analisi mediante vettori di Ritz, richiedono il calcolo preliminare dei vettori di Ritz i quali devono formare una base completa nello spazio R n. Tali vettori vengono scelti in modo da soddisfare le condizioni geometriche al contorno. Utilizzando i vettori di Ritz è possibile proiettare le equazioni del moto della struttura in un nuovo spazio, che può avere dimensioni ridotte rispetto a quello originale. Ovviamente, gli autovettori appartengono ad una sottoclasse dei vettori di Ritz. In questo paragrafo verranno riportati due metodi di integrazione diretta, il già citato metodo di Newmark e il metodo di Runge-Kutta. Ambedue i metodi non richiedono il calcolo delle frequenze proprie della struttura, per cui si perdono quelle informazioni utili alla progettazione strutturale connessa all interpretazione fisica dei primi modi di vibrare Il metodo di Newmark Il metodo di Newmark fa parte dei metodi di integrazione diretta. Secondo tale metodo, la soluzione delle equazioni del moto viene determinata per via algebrica, una volta introdotte delle ipotesi sull andamento delle accelerazioni all interno del passo t in cui è stato suddiviso l asse temporale. Sotto particolari condizioni, il metodo è incondizionatamente stabile. In questi casi, il passo di integrazione t viene scelto in funzione dell accuratezza desiderata e non sulla base delle frequenze proprie della struttura il cui calcolo non è richiesto. Nel metodo di Newmark, la soluzione in termini di spostamento e velocità all istante t k+1 viene espressa in funzione dei valori noti di spostamento, velocità ed accelerazione che si hanno all istante precedente t k e dell accelerazione, incognita, che si ha all istante t k+1, come segue: ] X (t k+1 ) = X (t k ) + Ẋ (t) t + [ (1 2 β ) Ẍ (t k ) + βẍ (t k+1) Ẋ (t k+1 ) = Ẋ (t k) + t 2 [Ẍ (tk ) + Ẍ (t k+1)] t 2 (4.12) Il parametro β che compare nella (4.12) ha il seguente significato: quando assume valore β = 1/4 si sta assumendo l accelerazione costante nel passo di integrazione, mentre per β = 1/6 si è nell ipotesi di accelerazione lineare all interno del passo.

66 58 VIBRAZIONI FORZATE DI SISTEMI A PIÙ GRADI DI LIBERTÀ Una volta definite le eq. (4.12), la soluzione numerica dell equazione del moto (4.1) può essere determinata riscrivendo quest ultima per t = t k+1 : MẌ (t k+1) + CẊ (t k+1) + KX (t k+1 ) = f (t k+1 ) (4.13) Sostituendo in quest ultima le eq. (4.12) si ottiene: [ M + t ] 2 C + β t2 K Ẍ (t k+1 ) = [ = f (t k+1 ) C Ẋ (t k ) + t ] [ 2 Ẍ (t k) K X (t k ) + tẋ (t k) + ( ) ] 1 2 β t 2 Ẍ (t k ) (4.14) La soluzione del sistema algebrico della (4.14), in cui l incognita è rappresentata dal vettore di accelerazioni Ẍ (t k+1), consente di valutare la risposta in termini di spostamenti e velocità all istante t k+1 una volta che Ẍ (t k+1) sia stata sostituita nella (4.12). Il metodo di Newmark è incondizionatamente stabile per β = 1/4 ed il suo onere computazionale è legato all inversione di una matrice di ordine n n. L accuratezza del metodo di Newmark dipende dall andamento nel tempo della forzante e dal periodo proprio fondamentale della struttura. Il metodo di Newmark non richiede il calcolo delle frequenze proprie di vibrare, pertanto, è opportuno scegliere il passo di integrazione verificando l accuratezza della risposta per successivi tentativi Il metodo di Runge-Kutta Il metodo di Runge-Kutta fa parte dei metodi di integrazione diretta. Il metodo di Runge- Kutta fa parte dei metodi di integrazione diretta. Il metodo di Runge-Kutta fa parte dei metodi di integrazione diretta. Il metodo di Runge-Kutta fa parte dei metodi di integrazione diretta. Il metodo di Runge-Kutta fa parte dei metodi di integrazione diretta. Il metodo di Runge-Kutta fa parte dei metodi di integrazione diretta. Il metodo di Runge-Kutta fa parte dei metodi di integrazione diretta. Il metodo di Runge-Kutta fa parte dei metodi di integrazione diretta. Il metodo di Runge-Kutta fa parte dei metodi di integrazione diretta. Il metodo di Runge-Kutta fa parte dei metodi di integrazione diretta. Il metodo di Runge-Kutta fa parte dei metodi di integrazione diretta. Il metodo di Runge-Kutta fa parte dei metodi di integrazione diretta. Il metodo di Runge-Kutta fa parte dei metodi di integrazione diretta. Il metodo di Runge-Kutta fa parte dei metodi di integrazione diretta. Il metodo di Runge-Kutta fa parte dei metodi di integrazione diretta. Il metodo di Runge-Kutta fa parte dei metodi di integrazione diretta. Il metodo di Runge- Kutta fa parte dei metodi di integrazione diretta. Il metodo di Runge-Kutta fa parte dei metodi di integrazione diretta. Il metodo di Runge-Kutta fa parte dei metodi di integrazione diretta. Il metodo di Runge-Kutta fa parte dei metodi di integrazione diretta. Il metodo di Runge-Kutta fa parte dei metodi di integrazione diretta. Il metodo di Runge-Kutta fa parte dei metodi di integrazione diretta. Il metodo di Runge-Kutta fa parte dei metodi di integrazione diretta. Il metodo di Runge-Kutta fa parte dei metodi di integrazione diretta. Il metodo di Runge-Kutta fa parte dei metodi di integrazione diretta. Il metodo di Runge-Kutta fa parte dei metodi di integrazione diretta. Il metodo di Runge-Kutta fa parte dei metodi di integrazione diretta. Il metodo di Runge-Kutta fa parte dei metodi di integrazione diretta. Il metodo di Runge-Kutta fa parte dei metodi di integrazione diretta. Il metodo di Runge-Kutta fa parte dei metodi di integrazione diretta. Il metodo di Runge-Kutta fa parte dei metodi di integrazione diretta. Il metodo di

67 ANALISI SISMICA DI SISTEMI A PIU GRADI DI LIBERTA 59 Runge-Kutta fa parte dei metodi di integrazione diretta. Il metodo di Runge-Kutta fa parte dei metodi di integrazione diretta. Il metodo di Runge-Kutta fa parte dei metodi di integrazione diretta. Il metodo di Runge-Kutta fa parte dei metodi di integrazione diretta. Il metodo di Runge-Kutta fa parte dei metodi di integrazione diretta. 4.5 Analisi sismica di sistemi a piu gradi di liberta Nel presente paragrafo si vuole determinare la risposta strutturale di sistemi a piu gradi di liberta soggetti ad un moto del suolo. Verranno descritte le equazioni del moto connesse con tali sistemi e verranno utilizzati i concetti esposti nei precedenti paragrafi per la determinazione della risposta strutturale. Infine, verranno estesi ai sistemi a piu gradi di liberta le tecniche di soluzione mediante gli spettri di risposta. Per gli scopi attuali, ci si soffermera sui sistemi piani, rimandando alla esercitazione progettuale l estensione ai sistemi tridimensionali Equazioni del moto di un sistema a piu gradi di liberta soggetto a moto sismico Si supponga di considerare il sistema costituito dal telaio riportato in Figura 4.2. Sotto le ipotesi semplificative di montanti indeformabili assialmente, privi di massa e di rigidezza complessiva k1 alla prima elevazione e k2 alla seconda elevazione, e di traversi infinitamente rigidi e avente massa pari a m1 al primo impalcato e m2 al secondo impalcato, rispettivamente, e possibile determinare la risposta di questo sistema considerando solo due gradi di liberta, coincidenti con gli spostamenti orizzontali x1 (t) e x2 (t) dei baricentri dei traversi. x2 ( t ) m2 k2.... m2x2(t)+m2ug(t) c2 k1.. k2(x2-x1) c2(x2-x1).. k2(x2-x1) c2(x2-x1) x1 ( t ) m1 m2.... m1x1(t)+m1ug(t) m1 k1x1. c1x1 c1 ug(t) Figura 4.2 Sistema a due gradi di liberta soggetto a moto sismico. Sotto tali ipotesi, se il sistema e soggetto ad un moto del terreno di fondazione ug (t), le azioni che si generano sulle masse durante tale moto sono: a) delle forze di inerzia

68 60 VIBRAZIONI FORZATE DI SISTEMI A PIÙ GRADI DI LIBERTÀ proporzionali alle accelerazioni assolute sperimentate dalle masse; b) delle forze di richiamo elastico proporzionali agli spostamenti relativi dei traversi rispetto a quelli adiacenti; c) delle forze dissipative viscose proporzionali alle velocità relative dei traversi rispetto a quelli adiacenti. La Figura 4.2 riporta la determinazione delle forze agenti nel caso di un sistema a due gradi di libertà. Le forze appena descritte devono essere in equilibrio dinamico tra loro, per cui è possibile scrivere le equazioni del moto come: MẌa (t) + CẊ (t) + KX (t) = 0 nella quale è stato introdotto il vettore delle accelerazioni assolute, il quale può essere posto anche nella forma: Ẍ a (t) = Ẍ (t) + ü g (t) τ in cui il vettore τ, detto vettore di incidenza dei carichi indica come il j-esimo grado di libertà risente dell accelerazione del suolo. Per strutture piane i cui gradi di libertà sono spostamenti nella medesima direzione del moto del suolo, esso sarà un vettore di dimensione n 1, i cui termini sono tutti uguali ad uno. Sostituendo quest ultima espressione nella equazione del moto, essa può scriversi come: MẌ (t) + CẊ (t) + KX (t) = Mτ ü g (t) (4.15) in cui è chiaro che le azioni indotte dallo spostamento del suolo sulla struttura possono essere considerate equivalenti a quelle prodotte da delle forze agenti sui traversi di intensità proporzionale alla massa del traverso in oggetto ed alla accelerazione al piede della struttura. Nella eq. (4.15) il segno meno del secondo membro indica che le forze sono opposte alle accelerazioni del terreno di fondazione. Inoltre è evidente come strutture di massa diversa risentano in maniera differente degli effetti di un terremoto. Va, infine, sottolineato che le analisi sismiche vengono di norma condotte in condizioni iniziali di quiete X (0) = 0 e Ẋ (0) = 0 in quanto si suppone che nell insorgenza di un terremoto non vi siano altri effetti dinamici in corso. Una volta ricondotte le azioni sismiche ad un vettore di forzanti, al fine di determinare la risposta strutturale, possono essere utilizzate le tecniche esaminate nel presente capitolo. In particolare, se si è interessati alla determinazione della risposta dinamica per accelerogrammi noti, è possibile ricorrere alle tecniche di integrazione al passo, sia utilizzando il metodo della sovrapposizione modale, che mediante l integrazione diretta delle equazioni del moto Analisi modale con spettro di risposta Nel caso comune di struttura classicamente smorzata, significativi vantaggi analitici possono essere raggiunti attraverso la proiezione delle equazioni del moto nello spazio modale. Operando la trasformazione modale definita dalla eq. (3.10) e ricordando le proprietà di ortogonalità degli autovettori, si ottengono le equazioni del moto nello spazio modale: Ÿ (t) + ΛẎ (t) + Ω2 Y (t) = pü g (t) (4.16) in cui si è utilizzata la seguente definizione del vettore dei coefficienti di partecipazione modale: p = Φ T Mτ (4.17)

69 ANALISI SISMICA DI SISTEMI A PIÙ GRADI DI LIBERTÀ 61 La equazione del moto del j-esimo oscillatore modale vale quindi: ÿ j (t) + 2ζ i ω i ẏ j (t) + ω 2 j y j (t) = p j ü g (t) (4.18) Il significato dei coefficienti di partecipazione modale è, quindi, quello di esprimere come la forzante sismica viene proiettata sui singoli oscillatori modali. A partire dal valore di p j può determinarsi quanto il j-esimo modo contribuirà alla risposta strutturale. Infatti, ricordando la definizione riportata nella eq. (4.17) e sfruttando la proprietà degli autovettori per cui ΦΦ T = M 1 (che può derivarsi dalle condizioni di ortogonalità), si perviene alla seguente relazione: p T p = τ T MΦΦ T Mτ = τ T Mτ = M tot in cui M tot è la massa totale della struttura coinvolta dal moto sismico nella direzione considerata. A partire da questa relazione, è possibile definire la massa partecipante del j-esimo modo come: ɛ (j) = p2 j = p2 j M tot p T p (4.19) Generalmente, il criterio su cui è basata la scelta del numero di modi da considerare per applicare il troncamento modale è basato sul concetto di massa partecipante. La maggior parte delle normative sismiche più avanzate stabiliscono che il numero minimo di modi di vibrare da tenere in considerazione è tale da eccitare in ogni direzione almeno l 85% delle masse. Come già ribadito per l analisi sismica dell oscillatore elementare, ai fini ingegneristici, necessita spesso conoscere gli effetti massimi del terremoto sulle strutture. A tale scopo, nel prosieguo del presente paragrafo si vuole estendere la tecnica dello spettro di risposta alle strutture a più gradi di libertà, sfruttando i vantaggi dell analisi modale. Nel caso dell oscillatore elementare la tecnica dello spettro di risposta era in grado di fornire direttamente il valore del picco massimo assoluto della risposta relativo ad uno spettro di progetto elastico. Nel caso di strutture a più gradi di libertà è semplice risalire al valore degli spostamenti massimi degli oscillatori modali applicando la tecnica dello spettro di risposta. Ma, poiché i valori massimi della risposta vengono raggiunti dagli oscillatori modali in istanti temporali diversi, non è immediato risalire agli spostamenti massimi nello spazio fisico, ed è necessario definire delle regole di combinazione dei massimi spostamenti modali. In altri termini, si vuole affermare che la tecnica dello spettro di risposta è a rigori esatta solo per sistemi lineari e ad un grado di libertà. Ogni volta che si vuole estendere la validità di tale metodo oltre questi confini, è necessario introdurre delle approssimazioni. Sembra opportuno ribadire le limitazioni dello strumento spettro di risposta per, in un certo senso, controbilanciare il ruolo che esso riveste nelle normative tecniche, in cui è considerato il metodo normale sia per la modellazione dell azione sismica, che per la determinazione della risposta strutturale alle azioni indotte dal terremoto. Ad esempio, si consideri il j-esimo oscillatore modale soggetto a moto al piede, retto dalla eq. (4.18). Se si indica con S D (T, ζ 0 ) lo spettro di progetto elastico in termini di spostamento, il valore dello spostamento di picco massimo dell oscillatore elementare di periodo T j e rapporto di smorzamento ζ 0 può essere valutato attraverso la seguente relazione: Y j,max = max 0 t t f y j (t) = p j S D ( ωj, ζ 0 ) pj S D ( Tj, ζ 0 )

70 62 VIBRAZIONI FORZATE DI SISTEMI A PIÙ GRADI DI LIBERTÀ Nello spazio fisico, quindi, è possibile valutare il seguente vettore: X (j) max = Y j,max φ j = p j S D ( Tj, ζ 0 ) φj il quale contiene i picchi massimi degli spostamenti nodali dovuti al j-esimo modo. Al variare del modo considerato (j = 1, 2,..., m), gli spostamenti nodali conseguenti X (j) max non avverranno al medesimo istante e, pertanto, non sarà possibile applicare la trasformazione modale (3.10) per ottenere il vettore degli spostamenti massimi assoluti nodali. Per ovviare a questo problema in letteratura sono stati proposti diversi metodi approssimati. Il primo di essi consiste nel considerare che lo spostamento massimo del r-esimo nodo possa essere valutato come la somma dei valori assoluti massimi (ABS) degli spostamenti dovuti ad ogni modo. In termini analitici può scriversi: X r,abs = m j=1 j=1 X (j) r,max = m ( ) p j φ rj S D Tj, ζ 0 j=1 (4.20) La procedura descritta dalla eq. (4.20) certamente sovrastima gli spostamenti modali massimi e viene utilizzata sono in casi eccezionali (centrali nucleari, etc.). Applicando concetti di analisi statistica, Rosenblueth (1951) dimostrò che il valore più probabile del picco massimo assoluto si ottiene, in via approssimata, calcolando la radice quadrata della somma dei quadrati (SRSS, dall inglese Square Root of Sum of Squares) dei valori di picco modali: m ( ) 2 m X r,srss = X r,max (j) ( ) = Tj, ζ 0 (4.21) j=1 p 2 j φ2 rj S2 D Questa procedura è ancora molto utilizzata ed è adottata in tutte le normative tecniche internazionali. I suoi limiti sono costituiti dal fatto che i singoli modi sono considerati statisticamente indipendenti e, inoltre, si nota una perdita di accuratezza quando i modi della struttura in esame sono ravvicinati tra loro. Più recentemente, Wilson et al. (1981) hanno proposto una combinazione alternativa che si chiama Combinazione Quadratica Completa (CQC), espressa dalla: m m X r,cqc = ρ jk X r,maxx (j) r,max (k) (4.22) j=1 k=1 La CQC supera i limiti della SRSS tenendo conto in maniera approssimata delle correlazioni statistiche tra i modi attraverso la definizione dei coefficienti di combinazione modale ρ jk, definiti nella: ( ) 8ζ 2 3/ rjk r jk ρ jk = ( ) 2 ( ) ; r jk = ω j (4.23) 1 rjk 2 + 4ζ 2 2 ω k rjk per j=k ( r jk = 1 ) il coefficiente di combinazione modale ρ jk = 1. La tecnica di combinazione CQC è adesso contemplata in numerose normative tecniche come l Eurocodice 8 e le nostre NTC2008. In alcuni casi, descritti dalle norme, la CQC è la sola combinazione utilizzabile.

71 PARTE II ELEMENTI DI DINAMICA ALEATORIA

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73 CAPITOLO 5 ELEMENTI DI TEORIA DELLE PROBABILITÀ E VARIABILI ALEATORIE In natura sono molti i fenomeni fisici che hanno un carattere casuale ed alcuni di essi sono importanti per l ingegneria strutturale. Basti pensare alle vibrazioni indotte sulle strutture dal vento, dal moto ondoso o da un evento sismico. Scopo della Dinamica Aleatoria è quello di pervenire alla caratterizzazione in senso statistico della risposta strutturale, nota che sia la struttura e la caratterizzazione in senso statistico della forzante. La Teoria della Probabilità nasce nella seconda metà del XVII secolo al fine di descrivere in mordo rigoroso alcune regolarità osservate in diversi esperimenti, non altrimenti descrivibili dalle leggi analitiche tradizionali. Ciò accade, ad esempio, quando i risultati di diverse osservazioni di uno stesso esperimento, pur avendo un carattere casuale, all aumentare del numero delle osservazioni tendono a distribuirsi secondo particolari leggi che possono essere descritte con i metodi propri della statistica. Per meglio comprendere le implicazioni strutturali della Teoria della Probabilità, si consideri una struttura, assimilabile dal punto di vista dinamico ad un oscillatore elementare, sollecitata dall azione del vento. Si immagini, inoltre, di disporre delle misure dell andamento delle velocità del vento tramite un anemometro posto nelle vicinanze. Osservando una registrazione fornita dall anemometro, è possibile determinare la risposta dell oscillatore elementare, calcolare le sollecitazioni indotte dal vento e trarne tutte le conseguenze in termini di sicurezza. Osservando una registrazione relativa ad un diverso arco temporale, però, ci si trova davanti ad un andamento completamente diverso a causa della aleatorietà del fenomeno vento. È lecito chiedersi se la struttura in esame, in sicurezza per una generica storia Appunti di Dinamica delle Strutture, I revisione. By Giacomo Navarra

74 66 ELEMENTI DI TEORIA DELLE PROBABILITÀ E VARIABILI ALEATORIE temporale del vento esaminata, lo sarà anche per tutte le altre. La risposta è ovviamente negativa. Si supponga per assurdo di conoscere tutte le registrazioni del vento in un periodo di tempo lungo (qualche decennio) e di riuscire a calcolare per via deterministica tutte le risposte strutturali alle storie temporali registrate. Qual è il grado di sicurezza di una struttura dimensionata per resistere a tutte le sollecitazioni così determinate? Sicuramente non si può garantire un livello assoluto di sicurezza in quanto ciò che è accaduto nel passato non è detto che si ripeta in futuro nelle stesse modalità. Questo esempio, quindi, mette in luce due aspetti: il primo riguarda la necessità di trovare metodi alternativi per la caratterizzazione di fenomeni casuali, in grado di tenere conto concettualmente di infinite registrazioni del fenomeno; il secondo aspetto riguarda il concetto di sicurezza che, per eventi casuali non può che essere esso stesso definito in termini probabilistici. Nel presente capitolo verranno introdotti i concetti basilari della Teoria della Probabilità e gli strumenti analitici per la caratterizzazione statistica delle grandezze casuali. 5.1 Definizioni di base Un fenomeno, o evento, è detto deterministico se l insieme dei risultati di esperimenti o misure, che lo caratterizzano, sono prevedibili in modo certo. Una variabile è detta deterministica quando descrive matematicamente i risultati di un evento deterministico. Se un evento può accadere o non accadere sotto identiche condizioni e se non è prevedibile prima che esso si verifichi, allora l evento è detto aleatorio o casuale. Si definisce variabile aleatoria o casuale uno strumento matematico capace di descrivere i risultati dei fenomeni aleatori. Alla variabile aleatoria si associa una quantità che esprime una valutazione sulla probabilità del verificarsi dell evento, detta probabilità dell evento. Secondo la definizione classica di Laplace la probabilità di un evento è il rapporto tra il numero dei casi favorevoli al verificarsi dell evento ed il numero dei casi possibili, purchè siano tutti ugualmente possibili. La definizione classica, tuttavia, non permette di determinare la probabilità di eventi non ugualmente possibili. La definizione statistica o frequentista, attribuita a Von Mises, si basa, invece, sull osservazione empirica. Secondo tale definizione, in presenza di un numero grande, ma finito, di esperimenti, la probabilità del verificarsi di un determinato evento E è pari alla sua frequenza relativa o statistica, ovvero al rapporto tra il numero di volte M in cui l evento favorevole si è manifestato ed il numero totale N degli esperimenti. Questa definizione nasce dall osservazione secondo la quale nel verificarsi o meno di un determinato evento, il rapporto M/N tende a stabilizzarsi ad un valore costante all aumentare del numero di esperimenti. La definizione frequentista di probabilità presenta dei limiti evidenti qualora si voglia elaborare una teoria partendo da essa. Tali limiti sono stati superati dalla teoria assiomatica della probabilità (Kolmogorov, 1933), la quale consente la costruzione formale della Teoria della probabilità prescindendo dal significato da attribuire al termine probabilità, ma introducendo alcuni assiomi per la sua valutazione. La teoria assiomatica della probabilità ricorre ai concetti della teoria degli insiemi per stabilire le relazioni tra gli eventi di uno spazio campione. A tale scopo, è utile la rappresentazione tramite i cosiddetti diagrammi di Venn, riportati in Figura 5.1.

75 TEORIA ASSIOMATICA DELLA PROBABILITA A W evento elementare A B W A 67 W W evento particolare A B b) W B B c) W B d) W a) A B W A A e) f) Figura 5.1 B-A g) B A h) Operazioni elementari sugli insiemi (diagrammi di Venn). Si chiamera spazio degli eventi o spazio campione Ω l insieme di tutti i possibili esiti dell esperimento, con evento particolare si denota il sotto insieme dello spazio campione che contiene l esito di un esperimento. Si definisce evento elementare il sottoinsieme dello spazio campione che contiene solo un elemento (vedi Figura 5.1-a). Ad esempio, quando si lancia un dado non truccato lo spazio degli eventi e costituito dai possibili esiti [1, 2, 3, 4, 5, 6], un evento particolare potrebbe essere l uscita di un numero pari [2, 4, 6], mentre un evento elementare e l uscita del numero 3. Due eventi si dicono disgiunti quando l occorrenza di uno esclude l altro (ad esempio l uscita del numero 3 e l uscita del numero 2). Un evento si dice composto se e formato da piu eventi elementari. Detti A e B due eventi appartenenti allo stesso spazio Ω (Figura 5.1-b,c), e possibile definire l evento unione dei due eventi A B come quello tale che o si verifica l evento A o si verifica l evento B (Figura 5.1-d). L evento intersezione A B corrisponde alla circostanza che si verifichino contemporaneamente gli eventi A e B (Figura 5.1-e). Le operazioni di sottrazione, come quella B A indicata in Figura 5.1-f, corrisponde all evento dato dal fatto che si verifichi l evento A, ma non l evento B. L operazione A B (Figura 5.1-g) corrisponde al fatto che l evento A implica il verificarsi dell evento B, ma non viceversa. Infine, si definisce evento complementare A (Figura 5.1-h) dell evento A quell evento tale che A + A = Ω. Ovviamente si puo verificare che A e A sono eventi disgiunti, ovvero che A A = Teoria assiomatica della probabilita La teoria assiomatica della probabilita associa ad ogni evento casuale A, sottoinsieme dello spazio degli eventi Ω, un numero reale P [A], chiamato probabilita, tale da rispettare i seguenti tre assiomi fondamentali o assiomi di Kolmogorov: 1. la probabilita di un evento A e un numero compreso tra 0 e 1: 0 P [A] 1;

76 68 ELEMENTI DI TEORIA DELLE PROBABILITÀ E VARIABILI ALEATORIE 2. la probabilità dell evento certo è pari all unità: P [A Ω] = 1; 3. la probabilità dell evento unione di due eventi mutuamente esclusivi è pari alla somma delle probabilità dei singoli eventi: P [A B] = P [A]+P [B] se [A B] = 0; Il primo assioma indica che la probabilità associata ad un evento è strettamente positiva ed è un numero compreso tra 0 (evento impossibile) ed 1 (evento certo). Il secondo assioma evidenzia il fatto che se l evento coincide con lo spazio degli eventi si ha l evento certo. Partendo dagli assiomi fondamentali è possibile costruire, per mezzo di sole deduzioni logiche, l intera teoria matematica della probabilità. Ad esempio, possono dimostrarsi i seguenti teoremi fondamentali: 1. teorema della probabilità di eventi mutuamente esclusivi: P [ Ā ] = 1 P [A]; 2. teorema della probabilità totale: P [A B] = P [A] + P [B] P [A B]; 3. teorema della probabilità composta: P [ A B ] = nella quale P [ A B ] è detta probabilità condizionata. P [A B] P [B] con P [B] > 0, Due eventi A e B non mutuamente esclusivi (A B 0) si dicono indipendenti se: P [A B] = P [A] P [B] 5.3 Funzione distribuzione cumulativa e funzione densità di probabilità Una variabile è detta aleatoria quando descrive in senso matematico l esito di un evento casuale. Sono sinonimi di variabile aleatoria anche variabile casuale o variabile stocastica. Le variabili aleatorie possono essere continue o discrete in funzione dell insieme dei numeri in cui è definito lo spazio degli eventi. Ad esempio, l esito del lancio di un dado è una variabile aleatoria discreta, mentre il valore di rottura a trazione di un tondino d acciaio è una variabile aleatoria continua. Nella Figura 5.2 sono riportati due esempi relativi a variabili aleatorie di tipo continuo e discreto. Nel caso di Figura 5.2-a si ha un disco suddiviso in dieci parti uguali da dei perni e lo spazio degli eventi è fatto dai numeri interi compresi tra 1 e 10. Nel caso di 5.2-b, invece, non vi sono perni che limitano il movimento del disco e l esito dell esperimento può essere rappresentato dall angolo, ovviamente compreso tra 0 e 360, rispetto ad una posizione di riferimento. In questo ultimo caso la variabile aleatoria sarà di tipo continuo. Nel seguito la variabile aleatoria sarà denotata con una lettera maiuscola (ad esempio, X), mentre i valori che essa può assumere, ovvero gli elementi dello spazio degli eventi, saranno denotati con la corrispondente lettera minuscola (ad esempio x). Si definisce funzione distribuzione cumulativa di probabilità, F X (x), detta anche funzione distribuzione di probabilità, la seguente funzione: F X (x) = P [X x] (5.1) Il significato della funzione distribuzione di probabilità è che essa rappresenta la probabilità che la variabile aleatoria X assuma valori non superiori ad un numero reale x. È evidente che la funzione distribuzione di probabilità possiede le seguenti proprietà: 0 F X (x) 1;

77 FUNZIONE DISTRIBUZIONE CUMULATIVA E FUNZIONE DENSITA DI PROBABILITA a) b) Figura 5.2 a) Variabile aleatoria discreta; b) Variabile aleatoria continua. lim FX (x) = 0; x lim FX (x) = 1; x + FX (x) e una funzione non decrescente, cioe FX (x + h) FX (x) per h > 0; Si definisce funzione densita di probabilita quella funzione per cui: Z b px (x) = P [a < X b] (5.2) a Il significato della funzione densita di probabilita e di esprimere la probabilita che la variabile aleatoria ricada all interno di un intervallo (a, b]. Poiche, per il terzo assioma, questa quantita puo scriversi anche come P [a < X b] = P [X b] P [X a] = FX (b) FX (a) si evidenzia il rapporto tra la funzione distribuzione di probabilita e la funzione densita di probabilita, espresso dalle seguenti relazioni: Z x dfx (x) FX (x) = px (ρ) dρ; px (x) = (5.3) dx ovvero come la funzione densita di probabilita rappresenta la derivata della funzione distribuzione di probabilita. Cio giustifica anche la denominazione di densita. In funzione degli assiomi fondamentali e delle proprieta della funzione distribuzione di probabilita, possono ricavarsi le seguenti proprieta della funzione densita di probabilita : px (x) 0, essendo FX (x) non decrescente; R + p (x) dx = 1, essendo lim FX (x) = 1; X x +

78 70 ELEMENTI DI TEORIA DELLE PROBABILITA E VARIABILI ALEATORIE R a+h h 0 a P [X = a] = lim P [a X a + h] = lim h 0 px (x) dx = 0 Quest ultima proprieta, che deriva direttamente dalla definizione di densita di probabilita, consente di affermare che nel caso di variabili aleatorie continue, la probabilita che X assuma un determinato valore e zero. Questo risultato potrebbe sembrare sorprendente; tuttavia, esso e in accordo con la definizione delle quantita continue introdotte in Fisica. Ad esempio, nel caso della distribuzione di massa di un corpo, la massa di un particolare punto e idealmente pari a zero. Le definizioni di FX (x) e di px (x) sono state fornite con espresso riferimento a variabili aleatorie continue, ma esse, con opportuni accorgimenti, valgono anche per le variabili aleatorie discrete. Nella Figura 5.3 vengono rappresentate le funzioni distribuzione di probabilita con riferimento alle variabili aleatorie discrete e continue dell esempio di Figura 5.2, mentre nella Figura 5.4 sono illustrate le corrispondenti funzioni densita di probabilita. FX ( x) FX ( x) 1 a) x b) x Figura 5.3 Funzioni distribuzioni di probabilita : a) Variabile aleatoria discreta; b) Variabile aleatoria continua. 5.4 Momenti di una variabile aleatoria Le proprieta statistiche di una variabile aleatoria X sono compiutamente definite dalla conoscenza della funzione distribuzione di probabilita FX (x) o, alternativamente, della funzione densita di probabilita px (x). Tuttavia, spesso si utilizzano degli indici sintetici, detti momenti, per caratterizzare la variabile aleatoria. Se Y e una variabile aleatoria legata alla variabile aleatoria X mediante un legame funzionale Y = f (X), si dimostra che e possibile valutare il valore medio di Y attraverso la relazione: Z + E [Y ] = E f (X) = f (x) px (x) dx (5.4) in cui l operatore E [ ] prende il nome di operatore media stocastica. Esso e un operatore lineare e consente di valutare i cosiddetti momenti statistici della variabile aleatoria X. In

79 MOMENTI DI UNA VARIABILE ALEATORIA px ( x) px ( x) 1 10 a) Figura 5.4 continua b) 0 x 360 x Funzioni densita di probabilita : a) Variabile aleatoria discreta; b) Variabile aleatoria particolare, il momento di ordine k di una variabile aleatoria puo essere calcolato come la media stocastica della variabile aleatoria X k : h i Z + mk [X] = E X k = xk px (x) dx (5.5) I primi momenti hanno dei significati geometrici precisi che si vogliono qui sottolineare. Il momento di ordine zero e pari all area sottesa dalla funzione densita di probabilita : Z + m0 [X] = px (x) dx = 1 Il momento di ordine uno coincide con la media della variabile aleatoria: Z + m1 [X] = E [X] = xpx (x) dx = µx e rappresenta la distanza dall asse x = 0 del baricentro della figura descritta dalla px (x). Questa grandezza e detta anche valore atteso della variabile aleatoria o speranza matematica. Il momento di ordine due e il valor quadratico medio della variabile aleatoria: h i Z + m2 [X] = E X 2 = x2 px (x) dx = ϕ2x e rapppresenta il momento di inerzia rispetto l asse x = 0 della figura descritta dalla px (x). In funzione della media e del valor quadratico medio si definisce la varianza di una variabile aleatoria secondo la relazione: Z σx = ϕ2x µ2x = (x µx ) px (x) dx

80 72 ELEMENTI DI TEORIA DELLE PROBABILITÀ E VARIABILI ALEATORIE Si noti che la varianza, così come il valor quadratico medio, sono quantità sempre positive. Si definisce scarto quadratico medio o deviazione standard, σ X, la radice quadrata positiva della varianza. Sia la varianza che la deviazione standard misurano la dispersione della variabile aleatoria attorno al valore medio. Se σ X 0 allora la variabile aleatoria X tende ad una variabile deterministica di valore µ X. Si vuole sottolineare che, ponendo f (x) = (x µ X ) k nella eq. (5.4), si ottengono i cosiddetti momenti centrali di ordine k della variabile aleatoria. È immediato rilevare che il primo momento centrale è nullo, mentre il secondo momento centrale coincide con la varianza. Le definizioni dei momenti statistici m k [X] e degli indici sintetici sono state formulate con espresso riferimento a variabili aleatorie continue, ma esse, con opportuni accorgimenti, valgono anche per le variabili aleatorie discrete. 5.5 Funzione caratteristica Si definisce funzione caratteristica, M X (θ) di una variabile aleatoria X la media stocastica della funzione e iθx, essendo i = 1 l unità immaginaria e θ un parametro reale: [ M X (θ) = E e iθx] = + e iθx p X (x) dx (5.6) Dalla eq. (5.6) si evince, quindi, che la funzione caratteristica è la trasformata di Fourier della funzione densità di probabilità (vedi Appendice A) ed è in generale una funzione complessa. Operando lo sviluppo in serie di Taylor della funzione caratteristica rispetto al punto iniziale θ = 0, si ha: M X (θ) = [ M X (θ) ] [ ] + dmx (θ) θ + 1 θ=0 dθ θ=0 2! [ ] d 2 M X (θ) dθ 2 θ (5.7) θ=0 D altra parte, le derivate successive della funzione caratteristica possono essere espresse nella forma: d k M X (θ) + dθ k = ( i) k x k e iθx p X (x) dx per cui le stesse derivate, valutate per θ = 0, forniscono: [ ] d k M X (θ) + [ dθ k = ( i) k x k p X (x) dx = ( i) k E X k] = ( i) k m k [X] θ=0 Per cui, ricordando che il momento di ordine 0 vale m 0 [X] = 1, la eq. (5.7) si può riscrivere come: M X (θ) = 1 + ( i) m 1 [X] θ + ( i)2 m 2 [X] θ 2 + = 2! ( i) j m j [X] θ j (5.8) j! Questa equazione indica che i momenti di una variabile aleatoria, a meno del coefficiente ( i) j, rappresentano i coefficienti dello sviluppo in serie di Taylor della funzione caratteristica. j=0

81 LOG-FUNZIONE CARATTERISTICA E CUMULANTI 73 Ne segue che, noti i momenti, è possibile valutare la funzione caratteristica e, operando una trasformata inversa di Fourier, è possibile calcolare la funzione densità di probabilità: p X (x) = 1 2π e iθx M X (θ) dθ La descrizione statistica di una variabile aleatoria, pertanto, è ottenibile in modo completo attraverso la conoscenza dei momenti. Va rilevato che sono necessari tutti i momenti fino all ordine infinito. 5.6 Log-funzione caratteristica e cumulanti Un altra grandezza fondamentale nella descrizione di una variabile aleatoria è la logfunzione caratteristica ln M X (θ), definita come il logaritmo naturale della funzione caratteristica M X (θ). Lo sviluppo in serie di Taylor della log-funzione caratteristica è espresso nella forma: ] ln M X (θ) = [ ln M X (θ) ] [ d ln + MX (θ) θ=0 dθ [ ] + 1 d 2 ln M X (θ) 2! dθ 2 θ 2 + = θ=0 j=0 θ+ θ=0 θ j j! [ ] d j ln M X (θ) dθ j θ=0 (5.9) I coefficienti di tale svilluppo, a meno del coefficiente ( i) j, vengono definiti cumulanti k j [X] della variabile aleatoria X. In particolare, il j-esimo cumulante è definito dalla: k j [X] = 1 ( i) j [ d j ln M X (θ) dθ j ] θ=0 (5.10) Sostituendo nella eq. (5.9) i cumulanti appena definiti e verificando che ln M X (0) = 0, la log-funzione caratteristica si può esprimere come: ( i) j ln M X (θ) = k j [X] θ j j! j=1 dalla quale è possibile ricavare la funzione caratteristica eseguendo l esponenziale di entrambi i membri: M X (θ) = exp ( i) j k j [X] θ j (5.11) j! j=1 In definitiva, se sono noti tutti i cumulanti fino all ordine infinito della variabile aleatoria X, la funzione caratteristica è nota e, attraverso la trasformata di Fourier della eq. (5.11), lo è anche la funzione densità di probabilità. Pertanto, la conoscenza dei cumulanti implica la completa caratterizzazione statistica della variabile aleatoria X. Per quanto riguarda il significato geometrico dei cumulanti, si può facilmente verificare che il primo cumulante coincide con la media k 1 [X] = µ X, mentre il secondo cumulante coincide con la varianza k 2 [X] = σx 2. Il terzo ed il quarto cumulante danno informazioni sulla forma della funzione densità di probabilità. In particolare, il terzo cumulante k 3 [X] dipende dalla simmetria della funzione p X (x) mentre il quarto cumulante k 4 [X] dipende dall appiattimento della densità di probabilità rispetto ad una particolare funzione p X (x) detta normale, che sarà descritta nel prossimo paragrafo.

82 ELEMENTI DI TEORIA DELLE PROBABILITA E VARIABILI ALEATORIE Variabili aleatorie gaussiane La funzione densita di probabilita definita come normale caratterizza una variabile aleatoria tale che tutti i cumulanti di ordine maggiore del secondo sono nulli. Ne segue che, applicando la eq. (5.11), la funzione caratteristica di questa variabile aleatoria puo essere espressa come: j X 1 ( i) kj [X] θj = exp ik1 θ k2 θ2 (5.12) MX (θ) = exp j! 2 j=1 La corrispondente funzione densita di probabilita px (x) puo essere calcolata tramite la trasformata inversa di Fourier della eq. (5.12), che e possibile valutare in forma chiusa come: # # " " (x k1 ) (x µx ) = (5.13) exp exp px (x) = 2 2 k2 2σX 2πk2 2πσX La relazione (5.13) definisce analiticamente la funzione densita di probabilita normale, detta anche funzione densita di probabilita gaussiana. La variabile aleatoria avente come funzione caratteristica la (5.12) e come funzione densita di probabilita la (5.13) e detta variabile aleatoria normale o gaussiana ed e caratterizzata solamente dal valore medio e dalla varianza. Nella Figura 5.5 sono descritte graficamente le funzioni densita di probabilita e distribuzione di probabilita per una variabile aleatoria gaussiana. La px (x) e una funzione continua e derivabile infinite volte, definita nell intervallo (, + ); essa presenta punti di flasso per x = µx ± σx, tende asintoticamente a zero per x ± ed e simmetrica rispetto l asse x = µx, dove raggiunge il suo massimo pari a 1/ 2πσX. FX ( x) px ( x) s x a) Figura 5.5 gaussiana. mx x b) mx Funzioni densita di probabilita e distribuzione di probabilita per una variabile aleatoria La distribuzione normale o Gaussiana e certamente la piu importante tra quelle impiegate

83 75 VARIABILI ALEATORIE BIDIMENSIONALI nella teoria delle probabilita. Tale importanza e usualmente attribuita ai risultati enunciati nel Teorema del Limite Centrale, secondo il quale se una variabile aleatoria X e generata da una somma di un gran numero di variabili aleatorie tra loro indipendenti, allora la variabile aleatoria X avra una distribuzione Gaussiana qualunque siano le distribuzioni delle variabili aleatorie che compaiono nella somma (Freeman, 1963). Ad esempio, gli errori di misura nel valutare qualunque quantita fisica hanno una distribuzione prossima a quella Gaussiana qualunque sia l origine degli errori. Nei problemi di progetto in cui e necessario valutare i valori estremi che una grandezza fisica aleatoria puo assumere, usualmente si assume che la variabile aleatoria abbia distribuzione gaussiana, per cui e semplice stimare le probabilita che tale variabile sia contenuta in intervalli predefiniti. Ad esempio, nella Figura 5.6 sono riportate le probabilita per cui la variabile aleatoria X sia contenuta negli intervalli [µx kσx, µx + kσx ] con k = 1, 2, 3: P [µx σx, µx + σx ] = P [µx 2σX, µx + 2σX ] = P [µx 3σX, µx + 3σX ] = In particolare, in ambito civile si utilizza spesso un valore k = corrispondente ad px ( x) s a) px ( x) px ( x) 2s x mx b) x mx x 3s c) mx Figura 5.6 Probabilita che una variabile aleatoria gaussiana sia contenuta in intervalli assegnati: a) [µx σx, µx + σx ]; b) [µx 2σX, µx + 2σX ]; c) [µx 3σX, µx + 3σX ]. una probabilita di successo del 90%, mentre in ambito mecccanico si utilizza il cosidetto metodo 3σ, che consiste nel progettare elementi strutturali riferendosi a grandezze di calcolo pari a µx ± 3σX, il che corrisponde ad una probabilita di successo superiore al 99%. 5.8 Variabili aleatorie bidimensionali Le definizioni e le relazioni introdotte nei paragrafi precedenti hanno riguardato il caso di variabili aleatorie monodimensionali, in quanto le funzioni densita e distribuzione di probabilita caratterizzano le proprieta statistiche di una singola variabile aleatoria. Tuttavia, nelle situazioni reali si ha spesso a che fare con piu variabili aleatorie.

84 76 ELEMENTI DI TEORIA DELLE PROBABILITA E VARIABILI ALEATORIE In questo paragrafo, vengono sintetizzate le proprieta salienti delle variabili aleatorie bidimensionali e si lascia l estensione dei concetti esposti alle variabili aleatorie multidimensionali all approfondimento in testi specialistici. Una coppia di variabili aleatorie X1 e X2 e completamente definita da un punto di vista probabilistico, se e nota la funzione densita di probabilita bidimensionale px1 X2 (x1, x2 ) o la corrispondente funzione distribuzione di probabilita bidimensionale FX1 X2 (x1, x2 ). Le funzioni px1 X2 (x1, x2 ) e FX1 X2 (x1, x2 ) possono essere anche denominate, rispettivamente, funzione densita e distribuzione di probabilita congiunta delle variabili aleatorie X1 e X2. Le due funzioni sono legate tra loro dalle seguenti relazioni: 2 FX X (x1, x2 ) (5.14) x1 x2 1 2 Z x1 Z x2 px1 X2 (ρ1, ρ2 ) dρ1 dρ2 (5.15) FX1 X2 (x1, x2 ) = P [X1 x1 X2 x2 ] = px1 X2 (x1, x2 ) = Dovendo rispettare la teoria assiomatica della probabilita, le due funzioni px1 X2 (x1, x2 ) e FX1 X2 (x1, x2 ) devono soddisfare le seguenti relazioni: 0 FX1 X2 (x1, x2 ) 1; FX1 X2 (x1, x2 ) e una funzione non decrescente px1 X2 (x1, x2 ) 0; R + R + lim FX1 X2 (x1, x2 ) = 1 px1 X2 (x1, x2 ) dx1 dx2 = 1; x1,x2 + P [a1 X1 b1 a2 X2 b2 ] = R b1 R b2 a1 a2 px1 X2 (x1, x2 ) dx1 dx2 ; Dalle proprieta precedenti si ricava che la funzione densita di probabilita bidimensionale e una superficie dello spazio O (x1, x2, p) e che la probabilita congiunta che contemporaneamente X1 cada nell intervallo (a1, b1 ] e X2 cada nell intervallo (a2, b 2 ] e pari al volume sotteso alla funzione px1 X2 (x1, x2 ) nell intervallo bidimensionale (a1, b1 ], (a2, b2 ], come illustrato in Figura 5.7. x1 x2 Figura 5.7 px X ( x1,x2 ) 1 2 Probabilita congiunta tra due variabili aleatorie x1 e x2.

85 VARIABILI ALEATORIE BIDIMENSIONALI 77 Una volta assegnate le funzioni distribuzione e densità di probabilità congiunte è possibile determinare le funzioni distribuzione e densità di una delle variabili aleatorie; tali funzioni sono dette marginali. Ad esempio, la funzione distribuzione di probabilità marginale della variabile aleatoria X 1 è data da: F X1 (x 1 ) F X1X 2 (x 1, + ) = P [X 1 x 1 X 2 + ] = = x1 + p X1X 2 (ρ 1, ρ 2 ) dρ 1 dρ 2 (5.16) mentre la funzione densità di probabilità marginale corrispondente vale: p X1 (x 1 ) = + p X1X 2 (x 1, x 2 ) dx 2 (5.17) Vale la pena di sottolineare che le funzioni distribuzioni e densità di probabilità congiunte contengono più informazioni delle corrispondenti funzioni marginali delle singole variabili. Due variabili aleatorie si dicono indipendenti se vale la seguente relazione: p X1X 2 (x 1, x 2 ) = p X1 (x 1 ) p X2 (x 2 ) mentre si diranno correlate se esiste un qualsiasi legame di dipendenza tra esse. Si definisce momento di ordine k di una variabile aleatoria bidimensionale, avente per componenti le variabili aleatorie X 1 e X 2, la seguente quantità: E [X r 1X s 2] = + + x r 1x s 2p X1X 2 (x 1, x 2 ) dx 1 dx 2 ; r + s = k (5.18) In particolare, i momenti del primo, del secondo e del terzo ordine della variabile aleatoria bidimensionale sono definiti come segue: E [X 1 ] E [X 2 ] E [ ] X1 2 E [X 1 X 2 ] E [ ] X2 2 E [ ] X1 3 E [ ] X1 2 X 2 E [ ] X 1 X2 2 E [ ] X2 3 La precedente relazione mostra che i momenti del primo ordine di una variabile aleatoria bidimensionale coincidono con le medie delle singole variabili, dette anche medie marginali µ X1 e µ X2 ; i momenti del secondo ordine di una variabile bidimensionale sono i valori quadratici medi delle singole componenti (detti anche momenti marginali del secondo ordine ϕ 2 X 1 e ϕ 2 X 2 ) ed il momento incrociato fra X 1 e X 2, ϕ X1X 2 ; infine, i momenti del terzo ordine della variabile bidimensionale sono rispettivamente quelli del terzo ordine delle singole componenti (momenti marginali del terzo ordine) ed i momenti incrociati E [ X 2 1 X 2 ] e E [ X1 X 2 2 ]. Una volta noti i momenti del primo e secondo ordine è possibile determinare le due varianze marginali e la covarianza tra X 1 e X 2 come segue: σ 2 X 1 = ϕ 2 X 1 µ 2 X 1 ; σ 2 X 2 = ϕ 2 X 2 µ 2 X 2 σ X1X 2 = E [X 1 X 2 ] E [X 1 ] E [X 2 ] = ϕ X1X 2 µ X1 µ X2

86 78 ELEMENTI DI TEORIA DELLE PROBABILITÀ E VARIABILI ALEATORIE La covarianza σ X1X 2 fornisce una misura del legame esistente tra le due variabili aleatorie. Una misura normalizzata di tale legame si ottiene attraverso l introduzione del coeffciente di correlazione: ρ X1X 2 = σ X 1X 2 σ X1 σ X2 che è una quantità adimensionale il cui valore assoluto è compreso tra zero ed uno. Il coefficiente di correlazione misura il grado di associazione lineare tra le componenti X 1 e X 2 della variabile bidimensionale. In particolare, se il valore assoluto del coefficiente di correlazione ρ X1X 2 = 1, allora le due componenti sono perfettamente correlate linearmente; se ρ X1X 2 = 0 le due variabili non sono correlate linearmente anche se possono essere tra loro dipendenti; cioè, ρ X1X 2 = 0 è una condizione necessaria ma non sufficiente per l indipendenza delle due componenti della variabile aleatoria bidimensionale. Due variabili aleatorie X 1 e X 2 sono dette congiuntamente Gaussiane o normali se la loro densità di probabilità congiunta è una Gaussiana bidimensionale; cioè se essa è esprimibile nella forma seguente: 1 1 p X1X 2 (x 1, x 2 ) = exp ) 2πσ X1 σ X2 1 ρ 2 X 1X 2 2 (1 ρ 2X1X2 ( ) (x 1 µ X1 ) 2 σx 2 2ρ X 1X 2 (x 1 µ X1 ) (x 2 µ X2 ) + (x 2 µ X2 ) 2 1 σ X1 σ X2 σx 2 2 (5.19) La relazione (5.19), pertanto, assicura che una variabile aleatoria bidimensionale Gaussiana è perfettamente definita una volta note le due medie marginali µ X1 e µ X2, le due varianze marginali σx 2 1 e σx 2 2, e la covarianza σ X1X 2. Se le due variabili aleatorie X 1 e X 2 sono incorrelate, ovvero se ρ X1X 2 = 0, allora esse sono anche indipendenti. Infatti sostituendo ρ X1X 2 = 0 nella (5.19) si ottiene: [ ] 1 p X1X 2 (x 1, x 2 ) = exp (x 1 µ X1 ) 2 2πσX1 2σX 2 1 [ ] (5.20) 1 exp (x 1 µ X1 ) 2 2πσX2 2σX 2 =p X1 (x 1 ) p X2 (x 2 ) 1 In molti casi pratici le variabili aleatorie considerate hanno distribuzione Gaussiana e sono a media nulla. In tal caso, la loro descrizione completa dal punto di vista statistico può essere ottenuta dalla sola conoscenza delle varianze marginali e della covarianza. In questi casi può esser utile riassumere tutti i parametri della variabile aleatoria bidimensionale in una matrice della matrice di covarianza Σ, il cui elemento generico vale Σ i,j = E [ X i X j ], per cui la matrice di covarianza assume la forma seguente: Σ = [ σ 2 X 1 σ X1X 2 σ X1X 2 σ 2 X 2 I risultati ottenuti per le variabili aleatorie bidimensionali possono essere facilmente estesi alle variabili aleatorie n-dimensionali. Va rilevato che, sebbene dal punti di vista concettuale non vi siano differenze, l interpretazione geometrica dei momenti e delle quantità determinate risulta più complessa. Inoltre, la notazione matematica delle funzioni relative ]

87 VARIABILI ALEATORIE BIDIMENSIONALI 79 alle variabili aleatorie n-dimensionali è particolarmente complicata. Essa, però, può essere notevolmente semplificata facendo ricorso alla cosiddetta algebra di Kroenecker, la cui trattazione esula dagli scopi del presente corso.

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89 CAPITOLO 6 ELEMENTI DI TEORIA DEI PROCESSI ALEATORI La variabile aleatoria, introdotta nel capitolo precedente, descrive, secondo le leggi della probabilità, un evento aleatorio non dipendente dal tempo. In molti problemi ingegneristici, tuttavia, si è in presenza di eventi aleatori dipendenti dal tempo, quali ad esempio le forze indotte su una struttura dall azione del vento, l accelerazione del terreno a seguito di un terremoto, etc. In tutti questi casi la variabile aleatoria dipende anch essa dall istante di osservazione e costituisce una funzione aleatoria, cioè una variabile aleatoria dipendente dal tempo. Tale funzione è nota in letteratura col nome di processo aleatorio. Più in generale, si definisce processo aleatorio o stocastico monodimensionale una funzione aleatoria dipendente da un parametro deterministico. Nella Dinamica delle Strutture, ovviamente, tale parametro si identifica col tempo. Talvolta, la variabile aleatoria dipende da più parametri deterministici, in questo caso il processo aleatorio è detto multidimensionale. Nel seguito, anche quando non espressamente specificato, si farà riferimento a processi aleatori monodimensionali. Nel presente capitolo si forniranno le definizioni di base della teoria dei processi aleatori e se ne fornirà una descrizione dal punto di vista statistico, con particolare riferimento ai cosiddetti processi aleatori Gaussiani. 6.1 Descrizione probabilistica dei processi aleatori Un esempio di processo aleatorio monodimensionale, particolarmente rilevante nella Dinamica delle Strutture, è costituito dall insieme delle accelerazioni, funzioni del tempo, Appunti di Dinamica delle Strutture, I revisione. By Giacomo Navarra

90 82 ELEMENTI DI TEORIA DEI PROCESSI ALEATORI (1) X (t ) (1) X ( t1 ) t t1 (2) X (t ) t t1 (2) X ( t1 ) (N) X (t ) t1 t (N) X ( t1 ) Figura 6.1 Campioni di un processo aleatorio X (t) e variabile aleatoria estratta all istante t1. rilevate da un accelerometro in un determinato sito. Una volta fissato l istante temporale di osservazione, infatti, le accelerazioni registrate a quell istante rappresentano le realizzazioni di una variabile aleatoria Definizioni di base Nella letteratura scientifica di settore e nel seguito del testo, i processi aleatori vengono indicati con una lettera maiuscola X (t), mentre le differenti realizzazioni del processo, dette campioni del processo aleatorio, vengono indicate con X (r) (t) (r = 1, 2,..., ). Un processo aleatorio X (t) e detto a parametro discreto o continuo a seconda che il parametro t sia definito in un dominio discreto o continuo. Usualmente, le azioni del vento o del terremoto sulle strutture sono rappresentate mediante processi aleatori continui.

91 DESCRIZIONE PROBABILISTICA DEI PROCESSI ALEATORI 83 Nella Figura 6.1 sono riportati alcuni campioni di un processo aleatorio X (t) e viene evidenziata la variabile aleatoria estratta ad un fissato istante temporale generico t 1. Alla variabile aleatoria X (t 1 ) X 1 possono essere applicate tutte le nozioni della teoria probabilistica delle variabili aleatorie presentate nel capitolo precedente e, in particolare, essa potrà essere completamente caratterizzata una volta note alternativamente la funzione distribuzione di probabilità F X1 (x 1 ), o la funzione densità di probabilità p X1 (x 1 ), così definite: F X1 (x 1 ) = P [X 1 x 1 ] = P [ X (t 1 ) x 1 ] ; px1 (x 1 ) = x 1 F X1 (x 1 ) (6.1) In generale, la caratterizzazione di una sola variabile aleatoria estratta dal processo non è sufficiente per una descrizione completa delle caratteristiche statistiche dell intero processo, per cui è necessario estrarre dal processo continuo X (t) un certo numero s di variabili aleatorie X (t s ) X s, ai diversi istanti t 1, t 2,..., t s. Una volta raccolte tale variabili aleatorie in un vettore X s si perviene alla determinazione di una variabile aleatoria multidimensionale: [ ] T [ ] T X s = X (t 1 ) X (t 2 )... X (t s ) = X 1 X 2... X s La descrizione probabilistica del vettore X s segue le regole già descritte nel capitolo precedente e, in particolare, essa avverrà tramite le funzioni distribuzione e densità di probabilità congiunta: F Xs (x s ) =P [X 1 x 1 X 2 x 2 X s x s ] ; s p Xs (x s ) = F Xs (x s ) x 1 x 2... x s nella quale si è indicato con x s il seguente vettore: [ ] T x s = x 1 x 2... x s (6.2) i cui elementi sono i valori che possono essere assunti dalle corrispondenti componenti di X s. In modo alternativo, così come mostrato nel capitolo precedente, la descrizione del processo X (t) può essere condotta attraverso la funzione caratteristica multidimensionale: [ ( ) ] M Xs (θ s ) =E exp iθs T X s = = nella quale θ s è il vettore di parametri reali dato da: [ ] T θ s = θ 1 θ 2... θ s ] (6.3) exp [ iθ s T x s p Xs (x s ) dx 1 dx 2... dx s Estendendo al caso multidimensionale quanto già dimostrato nel capitolo precedente, la funzione caratteristica multidimensionale M Xs (θ s ) può essere espressa in funzione dei momenti delle variabili aleatorie: M Xs (θ s ) = ( i) j j=0 j! m j [X s ] T θ [j] s (6.4)

92 84 ELEMENTI DI TEORIA DEI PROCESSI ALEATORI nella quale m T j [X s] è un vettore di ordine s j che contiene tutti i momenti di ordine j della variabile aleatoria multidimensionale X s. La funzione caratteristica può esser espressa anche in funzione dei cumulanti: M Xs (θ s ) = exp ( i) j j! j=1 k j [X s ] T θ [j] s (6.5) in cui k j [X s ] è un vettore di ordine s j che raccoglie tutti i cumulanti del j-esimo ordine della variabile aleatoria multidimensionale X s. Si vuole sottolineare che nella scrittura delle equazioni (6.4) e (6.5) si è utilizzata la notazione di prodotto e di potenza di Kroenecker e si rimanda ai testi specialistici per i doverosi approfondimenti. Poiché in un processo aleatorio continuo X (t) le variabili che possono esser estratte sono infinite, la descrizione probabilistica risulta essere completa solo quanto s tende ad infinito Medie a tempi multipli e correlazioni Nel paragrafo precedente si è giunti alla conclusione che, secondo la teoria delle variabili aleatorie multidimensionali, la caratterizzazione di un processo aleatorio dal punto di vista probabilistico è completa se è nota la funzione densità di probabilità congiunta p Xs (x s ) o la funzione caratteristica M Xs (θ s ), con s che tende ad infinito. Alternativamente, lo stesso risultato può ottenersi attraverso la conoscenza dei vettori dei momenti m j [X s ] o dei cumulanti k j [X s ], sempre con s che tende ad infinito. Per meglio chiarire il significato dei vettori m j [X s ] e k j [X s ] appena introdotti, si consideri di estrarre solamente due variabili aleatorie (s = 2) dal processo X (t) agli istanti t 1 e t 2 : X 1 X (t 1 ) e X 2 X (t 2 ). In Figura 6.2 è fornita una rappresentazione grafica di tale operazione. Il vettore dei momenti del primo ordine, che coincide con quello dei cumulanti del primo ordine, ha la seguente forma: m 1 [X 2 ] = k 1 [X 2 ] = [ E [X 1 ] E [X 2 ] e contiene le medie stocastiche delle due variabili aleatorie estratte dal processo. Il vettore dei momenti del secondo ordine, invece, sarà dato dall espressione: E [ ] X1 2 m 2 [X 2 ] = E [X 1 X 2 ] E [X 2 X 1 ] E [ ] X2 2 e le sue componenti rappresentano le medie stocastiche del prodotto di due variabili aleatorie estratte dal medesimo processo a due istanti t 1 e t 2. Il generico elemento di questo vettore è rappresentato dalla funzione E [ X (t k ) X (t l ) ] E [X k X l ] con k, l = 1, 2. Quando k l la funzione E [X k X l ] è detta media a tempi multipli del secondo ordine. Nel caso ]

93 85 DESCRIZIONE PROBABILISTICA DEI PROCESSI ALEATORI (1) X (t ) (1) X ( t2 ) (1) X ( t1 ) t t1 t2 (2) X (t ) X(2)( t2 ) t t1 t2 (2) X ( t1 ) (N) X (t ) t t1 t2 (N) X ( t1 ) X(N)( t2 ) Figura 6.2 Variabili aleatorie estratta agli istanti t1 e t2 dal processo aleatorio X (t). bidimensionale in oggetto, essa puo essere definita come: N 1 X (i) X (tk ) X (i) (tl ) = N N i=1 Z + Z + = xk xl pxk xl (xk, xl ) dxk dxl ; E [Xk Xl ] = lim (6.6) k, l = 1, 2; k 6= l nella quale X (i) (tk ) e X (i) (tl ) sono le i-esime realizzazioni delle variabili aleatorie X (tk ) e X (tl ).

94 86 ELEMENTI DI TEORIA DEI PROCESSI ALEATORI Una volta valutate le medie a tempi multipli è possibile definire il vettore dei cumulanti del secondo ordine che, nel caso di specie, assume al seguente forma: E [ ] X1 2 E [X1 ] 2 k 2 [X 2 ] = E [X 1 X 2 ] E [X 1 ] E [X 2 ] E [X 2 X 1 ] E [X 2 ] E [X 1 ] E [ ] X2 2 E [X2 ] 2 in cui i seguenti elementi del vettore k 2 [X 2 ] vengono definite correlazioni del secondo ordine del processo aleatorio X (t): k 2 [X k, X l ] R (2) X (t 1 k, t l ) = lim N N N i=1 [ X (i) (t k ) X (i) (t l ) X N (t k ) X ] N (t l ) = =E [ X (t k ) X (t l ) ] µ X (t k ) µ X (t l ) ; k, l = 1, 2; k l nella quale si è indicato con X N ( tj ), j = k, l, la seguente media aritmetica: X N ( tj ) = 1 N N X (i) ( ) t j i=1 (6.7) Per k = l si ottengono le varianze marginali del processo aleatorio X (t). Allo stesso modo possono essere definiti i vettori dei momenti e dei cumulanti di ordine superiore al secondo Processi aleatori stazionari Si consideri un processo aleatorio X (t) dal quale si estrae una coppia di variabili aleatorie X 1 = X (t 1 ) e X 2 = X (t 2 ) tali che la distanza temporale tra le due variabili aleatorie della coppia è pari a τ, ovvero tali che valga t 2 t 1 = τ. Se la densità di probabilità marginale e quella congiunta di tali variabili soddisfano le seguenti relazioni: p X1 (x 1 ) = p X2 (x 2 ) p X (x) p X1X 2 (x 1, x 2 ) = p X(t1+ t)x(t 2+ t) (x 1, x 2 ) t (6.8) allora il processo si definisce debolmente stazionario o stazionario fino al secondo ordine. In questo caso si può dimostrare con facilità che il valor medio è indipendente dal tempo e che tutte le statistiche del secondo ordine dipendono dal parametro τ e non da t 1 e t 2 presi singolarmente: µ X1 = µ X2 = µ X E [X ( t 1 + t ) X ( t 2 + t )] = E [ X (t 1 ) X (t 2 ) ] E [ X (t 1 ) X (t 1 + τ) ] R (2) ( X t1 + t, t 2 + t ) = R (2) X (t 1, t 2 ) = R (2) X (t 1, t 1 + τ) = R (2) X (τ) (6.9) Inoltre, i momenti marginali di qualsiasi ordine non dipendono dal parametro t e le medie a tempi multipli e le correlazioni di qualsiasi ordine dipendono solo da τ.

95 PROCESSI ALEATORI GAUSSIANI STAZIONARI 87 Se valgono relazioni simili alle (6.8) che coinvolgono m variabili aleatorie, allora il processo si dirà stazionario fino all ordine m. La stazionarietà sino all ordine m implica la stazionarietà sino all ordine m 1. Se un processo è stazionario sino all ordine m, per qualsiasi valore di m, allora il processo si definisce fortemente stazionario o stazionario in senso stretto. Si noti che i processi aleatori stazionari sono una idealizzazione di processi reali. Infatti, per soddisfare alla sola stazionarietà del primo ordine, che richiede l indipendenza della media dal tempo, il processo aleatorio X (t) non può avere un istante iniziale t 0 prima del quale si abbia X (t) = 0. I processi aleatori stazionari devono essere, quindi, processi di durata illimitata. Tali processi, ovviamente, non hanno riscontro nella realtà fisica dei problemi strutturali. È stato dimostrato, tuttavia, che i processi aleatori, che descrivono fenomeni fisici naturali quali il vento od il terremoto, possono essere trattati con buona approssimazione, ed entro certi limiti, come processi aleatori stazionari. Nell ambito dell attività sperimentale sui processi aleatori è importante verificare se è possibile estrarre le quantità statistiche di un processo aleatorio analizzando una singola registrazione, piuttosto che un numero elevato di campioni. Se ciò è verificato il processo aleatorio si dice ergodico. Ovviamente, dalla definizione di ergodicità di un processo si deduce che un processo aleatorio ergodico è anche stazionario. Ovviamente la stazionarietà del processo non implica l ergodicità, per cui i processi ergodici sono una sotto classe di quelli stazionari. 6.2 Processi aleatori Gaussiani stazionari Nella dinamica delle Strutture assume un ruolo di grande importanza il cosiddetto processo aleatorio gaussiano. Un processo è detto gaussiano se tutti i cumulanti e le correlazioni di ordine superiore al secondo sono nulli. In tal caso il processo è pienamente descritto qualora si conoscano, ad ogni coppia di istanti t k e t l, le seguenti funzioni deterministiche: µ X (t k ) = E [X k ] ; µ X (t l ) = E [X l ] ϕ (2) X (t k, t l ) = E [X k X l ] R (2) X (t k, t l ) = E [X k X l ] E [X k ] E [X l ] (6.10) Essendo nulle tutte le correlazioni di ordine superiore al secondo, tutte le medie a tempi multipli si ordine superiore al secondo sono funzione delle medie µ X (t k ) e delle medie a tempi multipli del secondo ordine ϕ (2) X (t k, t l ). Per un processo gaussiano l ipotesi di debole stazionarietà, dal momento che sono nulle tutte le correlazioni di ordine superiore al secondo, implica la stazionarietà fino all ordine infinito, ovvero la debole stazionarietà coincide con la forte stazionarietà. Pertanto, un processo gaussiano stazionario è definito in modo completo dalle seguenti quantità: E [ X (t i ) ] = µ X = cost. R (2) X (t k, t l ) = R (2) X (t k t l ) = R (2) X (τ) (6.11) Ne segue che una completa caratterizzazione dal punto di vista probabilistico di un processo aleatorio gaussiano stazionario può essere otttenuta attraverso la conoscenza di un numero (la media) e di una funzione deterministica di una sola variabile (la correlazione del secondo ordine).

96 88 ELEMENTI DI TEORIA DEI PROCESSI ALEATORI RX(t) 2 sx t Figura 6.3 nulla) Funzione di autocorrelazione per un processo aleatorio gaussiano stazionario (a media Funzioni di autocorrelazione Per una migliore comprensione del significato delle funzioni riportate nella eq. (6.11), si osserva che la costanza della media esprime il fatto che la media delle variabili aleatorie estratte dal processo ai vati istanti ti e sempre la stessa. Inoltre, la dipendenza della correlazione del secondo ordine dal solo parametro τ, qualunque sia l istante ti, esprime la similarita tra il processo X (t) ed il medesimo processo traslato di τ. La correlazione del secondo ordine di un processo aleatorio Gaussiano stazionario e una funzione pari, per cui si ha: (2) (2) RX (τ ) = RX ( τ ) (6.12) In generale al crescere di τ la correlazione tra X (t) e X (t + τ )decresce. Cio e attribuibile al fatto che il processo aleatorio all istante t + τ tende a dimenticare il valore assunto all istante t, per cui la correlazione del secondo ordine puo essere interpretata come una misura della memoria del processo aleatorio. La funzione di correlazione tende generalmente a zero per τ ed assume in τ = 0 il suo valore massimo, che e pari alla 2 : varianza σx h i 2 (2) 2 RX (0) = E X 2 (t) E X (t) σx (6.13) Nel seguito per processi aleatori gaussiani stazionari, la media sara indicata con µx e la correlazione del secondo ordine, meglio nota come funzione di autocorrelazione del processo X (t), sara indicata con RX (τ ). Nella Figura 6.3 e descritta una generica funzione di autocorrelazione di un processo aleatorio gaussiano stazionario Densita spettrale di potenza Si definisce densita spettrale di potenza di un processo gaussiano stazionario X (t) la seguente funzione: Z + 1 RX (τ ) e iωτ dτ (6.14) SX (ω) = 2π

97 PROCESSI ALEATORI GAUSSIANI STAZIONARI 89 la quale, coincide, a meno del fattore 1/2π, con la trasformata di Fourier della funzione di autocorrelazione. In questo caso, l antitrasformata di Fourier della relazione (6.14) si scrive: R X (τ) = S X (ω) e iωτ dω (6.15) Le relazioni (6.14) e (6.15) prendono il nome di relazioni di Wiener-Khinchine e sono di importanza fondamentale nella Dinamica Aleatoria, in quanto mettono in relazione, per processi stazionari, il dominio del tempo con il cosiddetto dominio delle frequenze. Dal momento che la funzione di autocorrelazione R X (τ) è una funzione reale pari, anche la densità spettrale di potenza del processo X (t) è una funzione reale pari. Infatti, ricordando le formule di Eulero, la (6.14) si può scrivere come: S X (ω) = 1 2π + R X (τ) cos ωτdτ i 2π + R X (τ) sin ωτdτ Dal momento che R X (τ) è una funzione pari, mentre sin ωτ è una funzione dispari, il secondo integrale è nullo e la funzione densità spettrale di potenza può determinarsi applicando la cosiddetta trasformata coseno alla funzione di autocorrelazione: S X (ω) = 1 2π + R X (τ) cos ωτdτ; S X ( ω) = S X (ω) (6.16) In modo analogo può mostrarsi che la funzione di autocorrelazione può ottenersi dalla trasformata coseno della funzione densità spettrale di potenza: R X (τ) = + S X (ω) cos ωτdω; (6.17) La varianza del processo può essere calcolata ponendo τ = 0 nella (6.17), ottenendo: σ 2 X = R X (0) = + S X (ω) dω (6.18) Da questa relazione si evince che la varianza del processo è pari all area sottesa alla funzione densità spettrale di potenza. In conclusione, nel dominio del tempo, le grandezze sufficienti a caratterizzare dal punto di vista probabilistico un processo aleatorio gaussiano sono la media µ X e la funzione di autocorrelazione R X (τ). Considerando, inoltre, il legame tra la funzione di autocorrelazione e la funzione densità spettrale di potenza, si deduce che un processo aleatorio gaussiano stazionario è pienamente caratterizzato, nel dominio della frequenza, dalla conoscenza della media µ X e della funzione densità spettrale di potenza S X (ω). Si noti che l unità di misura della densità spettrale di potenza è pari a quella della quantità X 2 (t) moltiplicata per l unità di misura del tempo (o per l inversa dell unità di misura della frequenza circolare) Interpretazione energetica della densità spettrale di potenza Al fine di dare una interpretazione energetica della funzione densità spettrale di potenza, si indichi con x (t) la registrazione di una funzione deterministica reale di durata t f (che potrebbe essere, ad esempio, un accelerogramma, la risposta di un oscillatore elementare

98 90 ELEMENTI DI TEORIA DEI PROCESSI ALEATORI etc.). La definizione di energia della funzione x (t) e la sua relazione con la trasformata di Fourier della funzione x (t) sono fornite in Appendice A. Si consideri adesso un processo aleatorio stazionario a media nulla X (t). Tale processo può pensarsi come l insieme di infiniti campioni aventi valor medio e valor quadratico medio costanti (indipendenti dal tempo). L energia di un processo stazionario può valutarsi come la media stocastica delle energie dei singoli campioni e, in accordo alla uguaglianza di Parseval, può essere determinato come segue: [ ] [ + ] E x = αe X 2 (t) dt = α + 2π E + X (ω) 2 dω = α ϕ 2 Xdt = + (6.19) Da quest ultima relazione si evince che un processo stazionario, essendo costante il suo valor quadratico medio, possiede energia infinita. Inoltre, la quantità E [ X (ω) 2] dω rappresenta, quindi, a meno di α/2π, il contributo all energia totale fornito da quelle componenti del processo aleatorio con frequenza circolare compresa tra ω e ω + dω. Nella Dinamica Aleatoria si preferisce rappresentare graficamente la potenza specifica o densità spettrale di potenza di un processo aleatorio stazionario piuttosto che l energia specifica. Pertanto, una volta introdotta la trasformata finita di Fourier di X (t) nell intervallo ( T, T ): X (ω, T ) = T T X (t) e iωt dt (6.20) la densità spettrale di potenza, dimensionalmente pari al rapporto tra l energia specifica ed un tempo, si definisce come segue: { 1 α [ X S X (ω) = lim T 2T 2π E ]} (ω, T ) 2 = α 2π lim T { 1 [ X ]} E (ω, T ) 2 2T (6.21) Nella quale 2T è l intervallo temporale in cui sono definiti i campioni del processo aleatorio stazionario X (t). La funzione S X (ω) è sempre positiva e coincide con la trasformata di Fourier della funzione di autocorrelazione del processo aleatorio stazionario R X (τ), definita nella (6.14). Una volta introdotta la densità spettrale di potenza S X (ω), è possibile valutare la potenza totale del processo aleatorio stazionario sommando tutti i contributi, S X (ω) dω. In accordo alla (6.18), la potenza totale di un processo aleatorio stazionario coincide con la varianza dello stesso; ne segue che il processo aleatorio stazionario ha potenza totale finita quando tale processo possiede varianza finita. A conclusione di questo paragrafo si vuole far osservare che la densità spettrale di potenza S X (ω) è una funzione continua che caratterizza i processi aleatori stazionari, i quali posseggono, come i segnali periodici, energia totale infinita. 6.3 Classificazione dei processi gaussiani stazionari attraverso la forma della densità spettrale di potenza In questo paragrafo si vuole classificare i processi aleatori gaussiani stazionari in funzione della forma della densità spettrale di potenza. Come già dimostrato in precedenza, la funzione densità spettrale di potenza S X (ω) è una funzione reale continua, pari e sempre positiva della variabile indipendente frequenza circolare ω.

99 CLASSIFICAZIONE DEI PROCESSI GAUSSIANI STAZIONARI 91 GX(w) SX(w) w Figura 6.4 Funzioni densita spettrale di potenza bilaterale ed unilaterale. Nei paragrafi precedenti si e affermato che un processo aleatorio gaussiano e stazionario X (t) e perfettamente caratterizzato dal punto di vista probabilistico quando siano noti la sua media µx e alternativamente la sua funzione di autocorrelazione RX (τ ) nel dominio del tempo, o la sua funzione densita spettrale di potenza SX (ω) nel dominio delle frequenze. Si definisce densita spettrale di potenza unilaterale GX (ω) la seguente funzione, illustrata in Figura 6.4: ( 2SX (ω) 0 ω + GX (ω) = (6.22) 0 ω<0 La densita spettrale di potenza unilaterale GX (ω) e, quindi, una funzione reale sempre positiva definita nel dominio [0, + ) e sottende un area pari all area sottesa dalla densita spettrale di potenza bilaterale SX (ω), definita invece nel dominio (, + ). Si definiscono momenti spettrali (Vanmarcke, 1972) λi,x i momenti della densita spettrale di potenza unilaterale rispetto all asse ω = 0: Z + λi,x = ω i GX (ω) dω (6.23) 0 In particolare λ0,x, che rappresenta l area sottesa dalla funzione GX (ω), coincide con la varianza del processo X (t), mentre in accordo con la teoria della geometria delle aree, l ascissa del baricentro della stessa area ω1,x si puo calcolare come: R + ωgx (ω) dω λ1,x ω1,x = R0 + = (6.24) λ0,x GX (ω) dω 0 in cui λ1,x e il momento spettrale del primo ordine. Cosı, il raggio giratore ω2,x dell area sottesa alla funzione GX (ω), rispetto all asse ω = 0, si determina come: v s u R + 2 u ω GX (ω) dω λ2,x 0 t ω2,x = = (6.25) R + λ0,x GX (ω) dω 0

100 92 ELEMENTI DI TEORIA DEI PROCESSI ALEATORI Il raggio giratore baricentrico ω 2,X di un area, che e una misura della dispersione dell area attorno al suo baricentro, puo essere definita nella forma seguente: ω 2,X v u u 1 =t λ0,x λ21,x λ0,x λ2,x! = qx ω2,x (6.26) nella quale: s qx = 1 λ21,x ; λ0,x λ2,x 0 qx 1 (6.27) e un parametro adimensionale, compreso tra 0 e 1, che cresce al crescere della banda della densita spettrale di potenza. Un valore piccolo di qx caratterizza una densita spettrale di potenza a banda stretta; mentre un valore grande di qx sta ad indicare una densita spettrale di potenza a banda larga. Per tali motivi il parametro qx e definito in letteratura come parametro della larghezza di banda dello spettro di potenza unilaterale. I casi limite qx = 0 e qx = 1 caratterizzano, rispettivamente, una densita spettrale di potenza concentrata, ed una uniformemente distribuita. Nella Figura 6.5 sono illustrati i significati geometrici dei parametri appena determinati in funzione dei momenti spettrali. GX(w) l0,x l w22,x= l2,x 0,X w22,x=(qxw2,x) 2 w l w1,x= l1,x 0,X Figura 6.5 Significato geometrico dei momenti spettrali. Nel seguito verranno brevemente descritti alcune tipologie di processi aleatori di frequente utilizzo. Per semplicita di trattazione, ci si riferira esplicitamente a processi aleatori a media nulla Processo aleatorio sinusoidale Un processo aleatorio stazionario a media nulla e detto sinusoidale se il suo generico campione e dato dalla: X (k) (t) = A sin ω0 t + θ(k)

101 CLASSIFICAZIONE DEI PROCESSI GAUSSIANI STAZIONARI 93 Figura 6.6 Processo aleatorio sinusoidale. a) generico campione; b) funzione di autocorrelazione; c) funzione densità spettrale di potenza. in cui la fase Θ è una variabile aleatoria uniformemente distribuita tra 0 e 2π. Esso è illustrato nella Figura 6.6. Per tale processo il parametro della larghezza di banda vale q X = Processo aleatorio a banda stretta Un processo aleatorio è detto a banda stretta se la densità spettrale di potenza è diversa da zero solo in un campo limitato di frequenza di ampiezza B = ω 2 ω 1. In Figura 6.7 è riportata la storia temporale di un campione di un processo aleatorio a banda stretta, insieme con la funzione di autocorrelazione e la funzione densità spettrale di potenza. Se la densità spettrale di potenza di un processo aleatorio a banda stretta è data dalla seguente relazione: { S 0 ω 1 ω ω 2 S X (ω) = 0 altrove il processo è detto aleatorio ideale a banda stretta. Si noti che i processi aleatori a banda stretta sono caratterizzati dal possedere potenza preponderante ad una particolare frequenza ω c. Ne segue che i campioni di tali processi sono rappresentati da storie temporali aventi predominante la frequenza circolare ω c. Inoltre, se B 0 il processo aleatorio ideale a banda stretta tende ad un processo aleatorio sinusoidale. Il valore del parametro della larghezza di banda q X assume un valore molto basso e tende a zero se B Processo aleatorio a banda larga Un processo aleatorio è detto a banda larga se la densità spettrale di potenza è diversa da zero in un intervallo ampio. In altre parole un processo aleatorio è a banda larga se l ampiezza di banda B della densità spettrale di potenza è grande. Alla classe dei processi

102 94 ELEMENTI DI TEORIA DEI PROCESSI ALEATORI aleatori a banda larga appartengono i processi con densità spettrale di potenza uniforme, come quello illustrato in Figura 6.8, noti in letteratura come processi aleatori ideali a banda larga. La funzione di autocorrelazione diminuisce rapidamente al crescere di B. Pertanto, la conoscenza di parte del processo non aiuta a predirne l andamento futuro. Il campione di un processo aleatorio ideale a banda larga presenta, infatti, un andamento irregolare Processo aleatorio bianco In analogia all Ottica un processo aleatorio X (t) che ha potenza specifica costante a tutte le frequenze, prende il nome di processo aleatorio bianco W (t). La densità spettrale di potenza del processo bianco è una funzione costante: S X (ω) = S W ω. Il processo bianco si può interpretare come il caso limite di un processo a banda larga per B. La corrispondente funzione di autocorrelazione è proporzionale alla delta di Dirac. Tale processo è molto irregolare, in quanto ciò che succede in un istante non ha alcuna dipendenza statistica con ciò che succede in un istante anche infinitamente vicino (ma non coincidente); inoltre, poiché l area sottesa dalla funzione densità spettrale di potenza è infinita, la potenza impegnata e la varianza di tale processo sono infinite. Ciò implica che un processo siffatto non può esistere fisicamente ed è pertanto una pura astrazione matematica. Tuttavia, il processo bianco è di fondamentale importanza nella Dinamica Aleatoria in quanto consente spesso di pervenire a soluzioni analitiche che approssimano bene il reale comportamento dei sistemi dinamici. Per la particolare espressione analitica della funzione di autocorrelazione, il processo aleatorio bianco prende anche il nome di processo aleatorio delta correlato. In Figura 6.9 sono riportati un campione, la funzione di auto correlazione e la densità spettrale di potenza di un processo bianco. Figura 6.7 Processo aleatorio a banda stretta. a) generico campione; b) funzione di autocorrelazione; c) funzione densità spettrale di potenza.

103 CLASSIFICAZIONE DEI PROCESSI GAUSSIANI STAZIONARI 95 Figura 6.8 Processo aleatorio a banda larga. a) generico campione; b) funzione di autocorrelazione; c) funzione densità spettrale di potenza. Figura 6.9 Processo aleatorio bianco. a) generico campione; b) funzione di autocorrelazione; c) funzione densità spettrale di potenza.

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105 CAPITOLO 7 ANALISI ALEATORIA DI SISTEMI LINEARI FORZATI DA PROCESSI GAUSSIANI 7.1 Introduzione In questo capitolo si affronta il problema della determinazione della risposta di sistemi dinamici soggetti a forzanti casuali, le quali possono essere modellate mediante processi aleatori. Per gli scopi del corso, si tratterà il caso ricorrente di sistemi lineari a parametri invarianti nel tempo. Ciò significa che le caratteristiche dinamiche dei sistemi sotto esame saranno note dal punto di vista deterministico, mentre la aleatorietà coinvolgerà solamente la descrizione della forzante. Sembra opportuno sottolineare che un sistema deterministico forzato da un processo aleatorio darà luogo ad una risposta anch essa aleatoria, che potrà essere, pertanto, modellata a sua volta come un processo aleatorio. La Dinamica Aleatoria, quindi, ha come scopo quello di determinare dal punto di vista statistico il processo di risposta, note che siano le caratteristiche dinamiche del sistema e la caratterizzazione probabilistica della forzante. In altri termini, scopo della Dinamica Aleatoria è la determinazione di tutte le grandezze (momenti, cumulanti, funzioni densità o distribuzione di probabilità, funzioni di autocorrelazione o densità spettrali di potenza, etc.) utili alla caratterizzazione statistica del processo di risposta. Data la complessità dell argomento nella sua generalità, nella presente trattazione si farà riferimento soltanto al caso di processi aleatori gaussiani e stazionari, per i quali la descrizione analitica è particolarmente semplice, come già si era affermato nel precedente capitolo. Un altro motivo per cui sovente si modellano i fenomeni fisici casuali mediante processi aleatori risiede nel fatto che una combinazione lineare di processi gaussiani è Appunti di Dinamica delle Strutture, I revisione. By Giacomo Navarra

106 98 ANALISI ALEATORIA DI SISTEMI LINEARI FORZATI DA PROCESSI GAUSSIANI ancora un processo gaussiano. Se ne deduce che sistemi lineari forzati da un processo gaussiano ammetteranno risposta anch essa gaussiana e quindi facilmente caratterizzabile dalla conoscenza della media e della funzione di autocorrelazione nel dominio del tempo, o alternativamente dalla media e della funzione densità spettrale di potenza nel dominio della frequenza. Infine, si mostrerà che operare nel dominio della frequenza comporterà notevoli vantaggi analitici. 7.2 Risposta aleatoria dell oscillatore elementare In questa sezione verranno determinate le relazioni fondamentali per la caratterizzazione stocastica della riposta di un oscillatore elementare soggetto ad una forzante aleatoria. Dal momento che si trae un grosso beneficio nell operare nel dominio della frequenza, tale argomento verrà trattato preliminarmente. Va notato che la soluzione dell oscillatore elementare nel dominio della frequenza rimane valida anche in caso di forzante deterministica Risposta dell oscillatore elementare nel dominio della frequenza Sia data l equazione del moto di un oscillatore elementare in cui la forzante generica f (t) è funzione del tempo: ẍ (t) + 2ζ 0 ω 0 ẋ (t) + ω 2 0x (t) = f (t) (7.1) Sotto opportune condizioni, sono definite le trasformate di Fourier sia della forzante f (t) che della risposta x (t) (vedi Appendice A). In particolare, si indichi con F (ω) la trasformata di Fourier della forzante e con X (ω) la trasformata di Fourier della risposta. Applicando, quindi, la trasformazione di Fourier ad entrambi i membri della eq. (7.1), si ottiene la seguente relazione: Ẍ (ω) + 2ζ 0 ω 0 Ẋ (ω) + ω 2 0X (ω) = F (ω) Ricordando le proprietà della trasformata di Fourier, si possono esprimere le trasformate della velocità e della accelerazione in funzione della trasformata dello spostamento: Ẋ (ω) = F [ ẋ (t) ] = iωx (ω) Ẍ (ω) = F [ ẍ (t) ] = (iω) 2 X (ω) = ω 2 X (ω) Effettuando le opportune sostituzioni e raccogliendo i termini in X (ω), si ottiene la seguente relazione: ( ) ω 2 + 2iζ 0 ω 0 ω + ω0 2 X (ω) = F (ω) che può essere posta nella notevole forma: X (ω) = H (ω) F (ω) (7.2) una volta introdotta la funzione di trasferimento dell oscillatore elementare, già definita nella eq. (2.4), ed avente espressione: 1 H (ω) = ω 2 + 2iζ 0 ω 0 ω + ω0 2 (7.3)

107 RISPOSTA ALEATORIA DELL OSCILLATORE ELEMENTARE 99 La equazione (7.2) assicura che, attraverso la trasformazione nel dominio della frequenza, l equazione differenziale del moto (7.1) può essere ricondotta ad una equazione algebrica, molto più semplice da risolvere. Si vuole adesso fornire una interpretazione fisica della funzione di trasferimento. Nei capitoli precedenti è stata determinata la risposta nel dominio del tempo all equazione del moto (7.1). Essa è rappresentata analiticamente dall integrale di convoluzione (2.22), detto anche integrale di Duhamel che, nel caso di segnali stazionari, può essere riscritto come: x (t) = t f (τ) h (t τ) dτ Operando la trasformata di Fourier di entrambi i membri di quest ultima relazione e ricordando la proprietà per cui la trasformata di un integrale di convoluzione diventa un prodotto di funzioni trasformate, si può scrivere: X (ω) = Ĥ (ω) F (ω) (7.4) nella quale si sono indicati con X (ω) e F (ω) le trasformate della risposta e della forzante, rispettivamente, e con Ĥ (ω) la trasformata di Fourier della funzione h (t), risposta all impulso unitario. Dal confronto della eq. (7.2) con la eq. (7.4) si deduce che la funzione di trasferimento dell oscillatore elementare altro non è che la trasformata di Fourier della funzione di risposta all impulso unitario Caratterizzazione del processo risposta La determinazione della risposta dell oscillatore elementare nel dominio della frequenza risulta essere utile anche per la caratterizzazione del processo di risposta dell oscillatore soggetto ad una forzante aleatoria. Come affermato nel capitolo precedente, il processo di risposta di un oscillatore lineare forzato da un processo gaussiano e stazionario sarà ancora un gaussiano e stazionario e, al fine della sua completa caratterizzazione, sarà necessario conoscere la sua media e, nel dominio della frequenza, la sua funzione densità spettrale di potenza. Per quanto riguarda la media del processo risposta, essa può essere determinata applicando l operatore di media stocastica ad entrambi i membri della eq. (7.1), pervenendo alla seguente relazione: ] ] E [Ẍ (t) + 2ζ 0 ω 0 E [Ẋ (t) + ω0e 2 [ X (t) ] = E [ F (t) ] = µ F (7.5) nella quale si è indicato con µ F la media della forzante, non dipendente dal tempo in virtù della stazionarietà del processo forzante. Dal momento che l operatore media stocastica E [ ] è un operatore lineare, esso commuta con l operatore derivata, ovvero valgono le seguenti relazioni: ] [ ] dx (t) E [Ẋ (t) = E = d dt dt E [ X (t) ] = 0 [ ] ] d E [Ẍ 2 X (t) (t) = E dt 2 = d2 dt 2 E [ X (t) ] = 0

108 100 ANALISI ALEATORIA DI SISTEMI LINEARI FORZATI DA PROCESSI GAUSSIANI nelle quali l uguaglianza a zero vale ancora in virtù della stazionarietà della risposta. Sostituendo queste due espressioni nella eq. (7.5) si ricava: ω 2 0E [ X (t) ] = E [ F (t) ] µ X = µ F ω 2 0 (7.6) la quale fornisce il valore della media della risposta in funzione della media della forzante e della pulsazione dell oscillatore. Va rilevato che la media della risposta coincide con la risposta statica di un oscillatore soggetto ad una forza costante pari alla media della forzante. Nel caso particolare, ma ricorrente, di forzante a media nulla, anche il processo risposta sarà a media nulla. Per completare la caratterizzazione probabilistica del processo risposta, si vuole adesso determinare la funzione densità spettrale di potenza della risposta S X (ω). A tal scopo, si ricorda la definizione di S X (ω), riportata nella eq. (6.21), e che può essere scritta come: S X (ω) = α 2π lim T S X (ω) = α 2π lim T 1 2T 1 2T { E [ X (ω) X (ω) ]} (7.7) Ricordando la relazione tra forzante e risposta dell oscillatore elementare nel dominio della frequenza (7.2) e sostituendola opportunamente nella eq. (7.7), si ottiene: { E [ H (ω) F (ω) H (ω) F (ω) ]} (7.8) Poiché il sistema è invariante nel tempo ed i suoi parametri - raccolti nella funzione di trasferimento H (ω) - sono deterministici, la precedente relazione può essere scritta come: S X (ω) = H (ω) H (ω) α 2π lim 1 {E [ F (ω) F (ω) ]} T 2T e, ricordando la definizione di funzione densità spettrale di potenza della forzante, si ottiene la cosiddetta relazione input-output che lega la densità spettrale di potenza della risposta a quella della forzante, attraverso la funzione di trasferimento dell energia: S X (ω) = H (ω) 2 SF (ω) (7.9) La funzione di autocorrelazione della risposta R X (τ), utile per la caratterizzazione del processo X (t) nel dominio del tempo, può essere ricavata agevolmente utilizzando la seconda delle relazioni di Wiener-Khinchine (6.15): R X (τ) = + S X (ω) e iωτ dω = + H (ω) 2 S F (ω) e iωτ dω (7.10) La varianza in termini di spostamento σx 2 può essere ricavata dalla eq. (7.10) ponendo τ = 0: + σx 2 = R X (0) = H (ω) 2 S F (ω) dω (7.11) La caratterizzazione completa della risposta implica la conoscenza anche delle caratteristiche del processo di risposta in termini di velocità Ẋ (t). Esso è a media nulla, come già dimostrato, ed è quindi noto una volta determinata la funzione densità spettrale di potenza SẊ (ω), definita dalla: SẊ (ω) = α { 2π lim 1 ] E [Ẋ } (ω) Ẋ (ω) T 2T

109 RISPOSTA ALEATORIA DEI SISTEMI A PIÙ GRADI DI LIBERTÀ 101 Ricordando ancora le proprietà della trasformata di Fourier, per cui Ẋ (ω) = iωx (ω) e Ẋ (ω) = iωx (ω), la funzione densità spettrale di potenza in termini di velocità viene riscritta come: SẊ (ω) = ω 2 α 2π lim 1 { E [ X (ω) X (ω) ]} = ω 2 S X (ω) (7.12) T 2T È immediato constatare che i primi momenti spettrali della risposta hanno i seguenti significati: λ 2,X = + 0 λ 0,X = + 0 ω 2 G X (ω) dω = G X (ω) dω = + + ω 2 S X (ω) dω = S X (ω) dω = σ 2 X + SẊ (ω) dω = σ 2 Ẋ e possono essere legati alle varianze del processo di risposta in termini di spostamento e velocità, rispettivamente. Nel caso di processo forzante rumore bianco, sono disponibili alcune soluzioni in forma chiusa per le varianze, che si riportano di seguito: σx 2 = πs W 2ζ 0 ω0 3 ; σ 2 Ẋ = πs W (7.13) 2ζ 0 ω 0 nelle quali si è indicato con S W l intensità costante della densità spettrale di potenza della forzante. Infine, si vuole porre l attenzione sulla interpretazione delle espressioni (7.2) e (7.9). Entrambe asseriscono che il contenuto in frequenza della risposta di un sistema lineare forzato da un processo gaussiano è dato dal prodotto tra il contenuto in frequenza della forzante e una funzione che contiene le caratteristiche dell oscillatore. In altri termini, il sistema dinamico opera come un filtro il quale blocca le frequenza della forzante lontane dalla propria pulsazione naturale, ed esalta le componenti della forzante vicine alla propria. La Figura 7.1 fornisce una rappresentazione grafica di questo concetto con riferimento ad una forzante di tipo sismico (colonna di sinistra) e ad una forante rumore bianco (colonna di destra). 7.3 Risposta aleatoria dei sistemi a più gradi di libertà Nella presente sezione, le relazioni tra le caratteristiche statistiche del processo forzante e le conseguenti grandezze caratterizzanti il processo risposta vengono estese al caso dei sistemi a più gradi di libertà. Si presenteranno due diversi approcci e verranno sottolineati i vantaggi e gli svantaggi di entrambi. In generale il problema delle vibrazioni aleatorie di un sistema a più gradi di libertà può essere posto nella seguente forma: [ ] MẌ (t)+cẋ (t)+kx (t) = τ F (t) ; P X (t 0 ) = x 0 Ẋ (t 0) = ẋ 0 = 1 (7.14) nella quale le condizioni iniziali deterministiche sono state espresse secondo la teoria delle probabilità. Sotto l ipotesi che il processo forzante sia gaussiano, stazionario e a media nulla, data la linearità del sistema strutturale, supposto a parametri invarianti nel tempo, anche la risposta sarà gaussiana, stazionaria e a media nulla. Di conseguenza, essa verrà

110 102 ANALISI ALEATORIA DI SISTEMI LINEARI FORZATI DA PROCESSI GAUSSIANI SF(w) SF(w) a) w H(w) b) a) 2 H(w) w b) SX(w) c) w 2 w SX(w) w c) w Figura 7.1 Risposta di un oscillatore elementare nel dominio della frequenza. a) contenuto in frequenza della forzante; b) funzione di trasferimento dell energia; c) contenuto in frequenza della risposta. compiutamente descritta attraverso la conoscenza delle sole funzioni di autocorrelazione RX (τ ) o delle sole funzioni densita spettrale di potenza SX (ω). Si vuole sottolineare il fatto che il problema dinamico riportato nella eq. (7.14) appartiene ad una ben definita sottoclasse. Infatti, l equazione del moto ci assicura che tutti i gradi di liberta sono forzati dal medesimo processo aleatorio monodimensionale, semplicemente scalato attraverso le componenti del vettore di incidenza dei carichi τ. La risposta, invece, e formata da un vettore di processi aleatori X (t) tra di loro statisticamente dipendenti. Il processo di risposta in questo caso viene detto multivariato-monocorrelato. Nel seguito della trattazione ci si limitera a questo caso, frequente nella pratica, in quanto la rimozione di queste ipotesi porta a formulazioni analitiche molto complesse ed ancora

111 RISPOSTA ALEATORIA DEI SISTEMI A PIÙ GRADI DI LIBERTÀ 103 in fase di definizione nella letteratura scientifica. Come detto in precedenza, si seguiranno due approcci, uno definito nello spazio modale e l altro che opera direttamente nello spazio fisico Analisi aleatoria mediante trasformazione modale A partire dalla conoscenza delle matrici che descrivono le caratteristiche dinamiche del sistema, attraverso le tecniche descritte nel Capitolo 3, è possibile definire la trasformazione di coordinate modale (3.11): X (t) = ΦY (t) Effettuando tale sostituzione nella equazione del moto (7.14) ed applicando le proprietà di ortogonalità degli autovettori (3.8) e (3.9), il problema può essere posto nella forma: Ÿ (t) + ΛẎ (t) + Ω2 Y (t) = pf (t) ] P [Y (t 0 ) = Φ T Mx 0 Ẏ (t 0) = Φ T Mẋ 0 = 1 (7.15) in cui si è indicato con p = Φ T τ il vettore dei coefficienti di partecipazione. Sotto l ipotesi di struttura classicamente smorzata la matrice di dissipazione modale Λ è diagonale ed il sistema di equazioni (7.15) è disaccoppiato. La j-esima equazione di tale sistema può scriversi, quindi, come: [ ÿ j (t) + 2ζ j ω j ẏ j (t) + ωj 2y j (t) = p j F (t) ] P y j (t 0 ) = φ T j Mx 0 ẏ j (t 0 ) = φ T j Mẋ 0 = 1 (7.16) Una volta eseguita la trasformazione modale, è possibile trattare il generico oscillatore modale con le tecniche descritte nel paragrafo precendente. In particolare, è possibile descriverne l equazione del moto nel dominio della frequenza: Y j (ω) = H j (ω) p j F (ω) ; H j (ω) = 1 ω 2 j ω2 + 2iζ j ω j ω (7.17) nella quale con H j (ω) si è indicata la funzione di trasferimento del j-esimo oscillatore. Seguendo il percorso descritto nel paragrafo precedente, la funzione densità spettrale di potenza della risposta del j-esimo oscillatore modale assume la forma: S Yj (ω) = α 2π lim T 1 2T { [ ] } E Y j (ω) Yj (ω) Sostituendo la prima delle (7.17) e ricordando che le funzioni di trasferimento sono quantità deterministiche, dopo dei semplici passaggi algebrici, analoghi a quelli validi per l oscillatore elementare, si ricava la seguente relazione: S Yj (ω) = p 2 j H j (ω) 2 S F (ω) (7.18) che esprime il legame input-output del j-esimo oscillatore modale. In precedenza si è osservato che il processo di risposta, anche in termini di oscillatori modali, è multivariato. Pertanto, per la sua completa caratterizzazione probabilistica è necessario conoscere anche le cosiddette statistiche incrociate, che nel caso in esame possono essere limitate alla conoscenza della funzione densità spettrale di potenza incrociata tra gli

112 104 ANALISI ALEATORIA DI SISTEMI LINEARI FORZATI DA PROCESSI GAUSSIANI oscillatori modali S YjY k (ω). Tale funzione, che nella letteratura scientifica viene anche indicata come cross-spectrum, può essere ricavata nel seguente modo. Si consideri che l equazione del moto del k-esimo oscillatore modale nel dominio della frequenza abbia la forma: 1 Y k (ω) = H k (ω) p k F (ω) ; H k (ω) = ωk 2 ω2 + 2iζ k ω k ω La funzione densità spettrale di potenza incrociata S YjY k (ω) è definita come: S YjY k (ω) = α 2π lim 1 { E [ Y j (ω) Yk (ω) ]} T 2T Sostituendo le espressioni di Y j (ω) e Y k (ω) e ricordando che alcune grandezze coinvolte sono deterministiche, con semplici passaggi si arriva alla seguente relazione: S YjY k (ω) = p j p k H j (ω) H k (ω) S F (ω) (7.19) La funzione densità spettrale di potenza incrociata S YjY k (ω) è quindi una funzione pari complessa che, come è facile dimostrare, gode della seguente proprietà: S YjY k (ω) = S Y k Y j (ω) Per semplicità di rappresentazione, quindi, tutte le funzioni del tipo S YjY k (ω) possono essere raccolte in una matrice delle funzioni densità spettrali di potenza S YY (ω) che, in virtù della proprietà appena esposta, sarà una matrice Hermitiana: S Y1Y 1 (ω) S Y1Y 2 (ω)... S Y1Y n (ω) S Y2Y 1 (ω) S Y2Y 2 (ω)... S Y2Y n (ω) S YY (ω) =. (7.20)..... S YnY 1 (ω) S YnY 2 (ω)... S YnY n (ω) Una volta nota la matrice delle funzioni densità spettrali di potenza, il processo risposta è perfettamente definito e possono essere derivate da essa le quantità di interesse ingegneristico come ad esempio le covarianze: σ YjY k = + S YjY k (ω) dω (7.21) Ricordando che il processo di risposta è a media nulla, le covarianze σ YjY k coincidono con le correlazioni del secondo ordine E [ ] X j X k e possono essere raccolte nella cosiddetta matrice di covarianza: σy 2 1 σ Y1Y 2... σ Y1Y n [ Σ YY = E YY T] σ Y2Y 1 σy σ Y2Y n =. (7.22)..... σ YnY 1 σ YnY 2... σy 2 n È evidente che gli elementi sulla diagonale principale rappresentano le varianze degli oscillatori modali, mentre i restanti termini rappresentano le covarianze o varianze incrociate.

113 RISPOSTA ALEATORIA DEI SISTEMI A PIÙ GRADI DI LIBERTÀ 105 Sembra opportuno sottolineare che, in virtù del fatto che le funzioni densità spettrali di potenza sono funzioni pari, le covarianze ottenute tramite la eq. (7.21) sono reali. Una volta ottenuta la matrice di covarianza nello spazio modale, è possibile ricavare le corrispondenti grandezze nello spazio fisico ricordando la trasformazione modale (3.11). In particolare si ha: [ Σ XX = E XX T] [ = E ΦYY T Φ T] [ = ΦE YY T] Φ T = ΦΣ YY Φ T (7.23) Una espressione analoga vale anche per trasformare la matrice delle funzioni densità spettrali di potenza degli oscillatori modali S YY (ω) nella matrice delle funzioni densità spettrali di potenza nello spazio fisico S XX (ω): S XX = ΦS YY (ω) Φ T (7.24) in cui il generico termine S XjX k (ω) può essere anche ottenuto come: S XjX k (ω) = n j=1 k=1 n p j p k H j (ω) Hk (ω) S F (ω) φ T j φ k Analisi aleatoria nello spazio fisico In alternativa al metodo mostrato nel paragrafo precedente, è possibile operare direttamente nello spazio nodale o spazio fisico. Nel seguito verrà presentata la formulazione analitica di questo approccio e saranno discussi vantaggi e svantaggi derivanti dall applicazione dei due metodi. Ritornando al problema dinamico posto con l equazione del moto (7.14), è possibile operare una trasformazione nel dominio della frequenza, applicando la trasformata di Fourier ad entrambi i membri della eq. (7.14) e ricordando le proprietà di trasformazione delle derivate: ω 2 MX (ω) + iωcx (ω) + KX (ω) = τ F (ω) la quale, raccogliendo i termini in X (ω), può essere posta nella forma notevole: X (ω) = H (ω) τ F (ω) (7.25) in cui l espressione H (ω) = [ ω 2 M + iωc + K] 1 (7.26) rappresenta la matrice delle funzioni di trasferimento nello spazio nodale. La definizione della matrice delle funzioni densità spettrali di potenza nello spazio nodale può essere facilmente ottenuta tramite la seguente espressione: S XX (ω) = α { 2π lim 1 [ E X (ω) X (ω)] } T (7.27) T 2T Sostituendo le relazioni (7.25) e ricordando che le quantità deterministiche non dipendono dall operatore di media stocastica, si ottiene la seguente equazione: S XX (ω) = H (ω) τ τ T H (ω) T S F (ω) (7.28)

114 106 ANALISI ALEATORIA DI SISTEMI LINEARI FORZATI DA PROCESSI GAUSSIANI che lega direttamente la densità spettrale di potenza della forzante alla matrice delle funzioni densità spettrali di potenza della risposta, attraverso la matrice delle funzioni di trasferimento del sistema. Vale la pena di sottolinare che, in caso di forzante di natura sismica, la (7.28) può essere scritta con riferimento alla definizione delle equazioni del moto riportate in (4.15) come: S XX (ω) = H (ω) Mτ τ T MH (ω) T S F (ω) (7.29) Una volta nota la S XX (ω), il calcolo della matrice di covarianza nello spazio fisico Σ XX si effettua per semplice integrazione. Il generico elemento della matrice di covarianza vale: σ XjX k = + S XjX k (ω) dω (7.30) Il metodo descritto nel paragrafo precedente è caratterizzato da una complessità analitica superiore dovuta all onere del passaggio nello spazio modale e della conseguente trasformazione a ritroso delle grandezze di interesse ingegneristico nello spazio fisico. Esso può essere applicato solamente per strutture classicamente smorzate o quando non si conosce la matrice di dissipazione e la si modella direttamente nello spazio modale. Esso ha, però, il pregio di consentire un troncamento modale e di operare solamente con i modi significativi, pervenendo ad una elevata efficienza computazionale. Le matrici delle funzioni densità spettrali di potenza e di covarianza nello spazio modale avranno dimensioni molto ridotte e, quindi, il numero dei termini da calcolare è ridotto. D altro canto, l approccio diretto nello spazio fisico è connotato da una formulazione analitica molto semplice e può essere applicato anche per strutture non classicamente smorzate o, comunque, per una matrice di dissipazione assegnata. Esso, però, richiede il calcolo completo della matrice delle funzioni di trasferimento tramite la combinazione delle matrici del sistema e l inversione, ad ogni frequenza, di una matrice n n. Il seguente esempio dà conto dell onere computazionale richiesto dai due metodi. Per strutture di una certa complessità il numero di gradi libertà può essere nell ordine delle migliaia, per cui ad esempio la matrice di covarianza può contenere milioni di elementi. Per la stessa struttura, invece, i modi significativi saranno nell ordine delle decine e la matrice di covarianza nello spazio modale conterrà centinaia di elementi. 7.4 Cenni di affidabilità strutturale Il progetto strutturale consiste nel dimensionare gli elementi di una struttura in modo che, sotto l effetto di carichi esterni, siano soddisfatti i requisiti di sicurezza, servizio, durabilità. Il principale obbiettivo di un ingegnere strutturista è quello di progettare e realizzare strutture affidabili, che siano cioè in grado di svolgere il compito per il quale sono state progettate sotto condizioni prefissate e durante tutta la loro vita utile. Poiché, però, alcune grandezze connesse con il calcolo strutturale sono per loro stessa natura incerte, vi è la necessità di caratterizzare e misurare tale affidabilità all interno di un contesto statistico. Le incertezze, infatti, possono risiedere nella stima delle azioni cui la struttura è soggetta, nelle effettive proprietà meccaniche dei materiali che la costituiscono, ovvero nella configurazione geometrica adottata nella sua effettiva costruzione. Per ottenere una stima numerica dell affidabilità di una struttura, essa può essere definita come la misura della probabilità di successo p S della stessa, ovvero come il complemento ad uno della probabilità di fallimento p C. In tale contesto probabilistico, in funzione delle

115 CENNI DI AFFIDABILITA STRUTTURALE 107 pr(r) pr, pa pa(a) pc Figura 7.2 r, a Distribuzione statistica delle Sollecitazioni e delle Resistenze. diverse fonti di incertezza, e possibile descrivere statisticamente la distribuzione di probabilita delle Resistenze R e delle Azioni A, cosı come mostrato in Figura 7.2. La verifica strutturale consiste, quindi nel determinare se la struttura abbia un livello di affidabilita maggiore rispetto ad un livello assegnato, ovvero misurare la probabilita che le resistenze R siano maggiori delle Azioni A. Nel caso di forzanti di natura dinamica, diventa essenziale modificare i concetti precedenti per includere in essi anche la variabilita temporale sia delle azioni sia, in generale, delle resistenze. Inoltre, e opportuno fissare un intervallo temporale [0, Ts ] all interno del quale deve essere valutata l affidabilita. Il fallimento potrebbe avvenire per diverse cause, tra le quali si possono citare il superamento della sollecitazione limite in un punto della struttura, l accumulo di danno in un elemento strutturale, la progressiva degradazione delle proprieta meccaniche della struttura. Per gli scopi della presente trattazione, si puo semplificare il problema riducendolo al primo caso, che puo essere rappresentato analiticamente confrontando il generico processo di risposta strutturale X (t), con un corrispondente valore limite B all interno del periodo di osservazione [0, Ts ]. Il processo X rappresenta una grandezza legata alla affidabilita, quale ad esempio lo spostamento di un punto della struttura od il valore di tensione o sollecitazione in un elemento strutturale. Dal punto di vista analitico, l affidabilita, ovvero la probabilita di successo, puo essere definita come: ps (Ts, B) = P h X (t) B; i 0 t Ts P Xmax (Ts ) B (7.31) avendo indicato con Xmax (Ts ) il massimo del valore assoluto del processo risposta nell intervallo [0, Ts ], detto picco massimo assoluto della risposta. Cio, ovviamente, corrisponde a definire una cosiddetta barriera bilaterale ±B che individua una regione detta dominio di sicurezza. La Figura 7.3 illustra graficamente questo concetto. Nel caso di processi multivariati, come ad esempio la risposta di un sistema dinamico a n gradi di liberta, il dominio di sicurezza D e una regione dello spazio Rn in cui Xi (t) Bi, i = 1, 2,..., n

116 108 ANALISI ALEATORIA DI SISTEMI LINEARI FORZATI DA PROCESSI GAUSSIANI X(r)(t) B t Ts -B Figura 7.3 Processo di risposta e dominio di sicurezza. la corrispondente probabilita di successo puo essere definita come: ps (Ts, D) = P X (t) D; 0 t Ts (7.32) Le equazioni (7.31) e (7.32) indicano che la valutazione della affidabilita strutturale non puo prescindere dalla conoscenza dei valori di picco massimo assoluto della riposta. Nel prossimo paragrafo saranno indicati alcuni metodi per la valutazione del picco massimo assoluto della risposta Valutazione dei valori di picco massimo Il calcolo della probabilita di successo necessita della caratterizzazione dal punto di vista statistico del processo Xmax (Ts ), la quale puo essere considerata come una funzione aleatoria del parametro continuo Ts. Il legame funzionale che lega il processo di risposta X (t) al processo Xmax (Ts ) e fortemente non lineare. Pertanto, anche se il sistema strutturale ha comportamento lineare e la forzante viene modellata come un processo gaussiano, il processo risposta e ancora gaussiano, ma il processo Xmax (Ts ) non lo e. Per comprendere il legame funzionale tra la risposta X (t) e il valore di picco massimo assoluto Xmax (Ts ) e utile la costruzione geometrica nota come rainflow ed illustrata in Figura 7.4. Si supponga di conoscere un generico campione della storia temporale del pro(s) cesso risposta X (s) (t) e di calcolarne il valore assoluto X (s) (t). La funzione Xmax (Ts ) coincide col percorso che farebbe una goccia d acqua percorrendo il profilo X (s) (t) pensando l asse del tempo rivolto in verticale verso il basso. (s) La trattazione rigorosa per il calcolo analitico della funzione Xmax (Ts ) e delle proprieta statistiche del processo Xmax (Ts ) e particolarmente complessa ed ancora oggetto di ricerca nella comunita scientifica. Nel seguito, pero, verranno presentati due approcci semplificati che forniscono le distribuzioni statistiche del processo Xmax (Ts ). In particolare, verranno determinati i valori del frattile inferiore di ordine p del massimo assoluto della risposta XTs,p, ovvero quel valore della barriera bilaterale che ha probabilita p di non essere superato nell intervallo [0, Ts ].

117 CENNI DI AFFIDABILITA STRUTTURALE X(k)(t), X(k)(t), Xmax(Ts) 109 X(k)(t), Xmax(Ts) Xmax(Ts) X(k)(t) X(k)(t) Xmax(Ts) t,ts X(k)(t) t,ts Figura 7.4 Processo di risposta e valore di picco massimo assoluto. In generale, tale valore puo esprimersi come p P Xmax (Ts ) XTs,p = p XTs,p = ηx (Ts, p) λ0,x ; (7.33) in cui λ0,x = σx e il momento spettrale di ordine zero del processo di risposta che coincide con la sua deviazione standard, e ηx (Ts, p) e il cosiddetto fattore di picco del processo aleatorio. Nei due approcci che verranno presentati il fattore di picco verra calcolato in maniera diversa in funzione delle ipotesi assunte. Ipotesi di attraversamenti indipendenti Si abbia un processo aleatorio stazionario ed a media nulla X (t) ed una barriera bilaterale ±B. Se il livello della barriera e abbastanza elevato, si puo ipotizzare che gli attraversamenti di tale barriera da parte dei campioni del processo siano eventi piuttosto rari e tra di loro statisticamente indipendenti. Sotto tale ipotesi e stata sviluppata una teoria approssimata secondo la quale il fattore di picco puo essere espresso mediante la cosiddetta formula di Davenport: ln ln (p) ηx (Ts, p) = C1,X (Ts ) (7.34) C1,X (Ts ) in cui il parametro C1,X (Ts ) vale: r C1,X (Ts ) = h i + 2 ln 2νX Ts (7.35) + e si e indicato con νx il numero medio degli attraversamenti dello zero con pendenza positiva nell unita di tempo del processo X (t) s 1 ω λ2,x 2,X + = (7.36) νx = 2π 2π λ0,x essendo λi,x il momento spettrale di ordine i del processo di risposta. Ad esempio, se si vuole calcolare il valore medio del picco massimo assoluto della risposta del processo

118 110 ANALISI ALEATORIA DI SISTEMI LINEARI FORZATI DA PROCESSI GAUSSIANI X (t) nell intervallo [0, T s ], si perviene alla relazione: µ Xmax (T s ) = E [ X max (T s ) ] ( ) = C 1,X (T s ) λ0,x (7.37) C 1,X (T s ) Va sottolineato che il termine è diverso da quello che si otterrebbe sostituendo il valore p = 0.5 nella eq. (7.34), e ciò è dovuto al fatto che la funzione densità di probabilità dei valori di picco massimo assoluto non è simmetrica e, quindi, la sua media non coincide con la sua mediana. Ipotesi di attraversamenti a grappoli Per strutture poco smorzate, caso frequente nell ingegneria civile, il processo di risposta è a banda stretta. In questo caso i campioni del processo risposta sono abbastanza regolari (sono formati dalla sovrapposizione di poche armoniche significative) e gli attraversamenti della barriera bilaterale ±B sono statisticamente correlati. Essi, infatti, tendono ad avvenire a distanza temporale pari al periodo corrispondente alla frequenza centrale ω 1,X del processo di risposta. L ipotesi di attraversamenti della barriera indipendenti va, quindi, in difetto e può essere formulata la cosiddetta ipotesi di attraversamento a grappoli della barriera ±B. Ciò porta a ridefinire il valore del fattore di picco secondo la teoria approssimata di Vanmarcke, ovvero come: η X (T s, p) = 2 ln 2ν + X T [ ] s ln (p) 1 exp qx 1.2 2ν + π ln X T s ln (p) (7.38) in cui q x è il parametro della larghezza di banda del processo risposta, definito dalla eq. (6.27). Nonostante sia una formula approssimata, la relazione di Vanmarcke si è dimostrata essere molto accurata nella determinazione della distribuzione statistica dei valori di picco massimo assoluto della risposta. Anche in questo caso valgono le considerazioni svolte in precedenza per quanto riguarda il valore medio e la mediana del picco, però nella letteratura scientifica di solito si calcola il valor medio del picco massimo assoluto della risposta valutando la (7.38) per il valore p = Simulazione Monte Carlo Nell ultimo paragrafo è stata determinata la distribuzione delle statistiche del picco massimo assoluto della risposta in funzione delle caratteristiche probabilistiche del processo. Questo approccio è possibile quando la caratterizzazione stocastica del processo risposta, in termini di media, varianza, funzione densità spettrale di potenza o momenti spettrali, è agevole. Ciò avviene nel caso di sistemi lineari soggetti a forzanti stazionarie e gaussiane. Quando tutte queste ipotesi non sono verificate, o comunque in modo alternativo, è disponibile un metodo per la valutazione delle statistiche della risposta, detto metodo Monte Carlo o simulazione Monte Carlo. Il metodo è basato su opportuni algoritmi per la generazione casuale di campioni del processo e prende il nome dal celebre casinò. Sebbene l origine del metodo può essere fatta risalire al 1944, esso fu utilizzato concretamente solo a partire dagli anni Sessanta del secolo scorso, in seguito alla diffusione dei calcolatori elettronici in grado di soddisfare il grande onere computazionale richiesto dal metodo.

119 CENNI DI AFFIDABILITA STRUTTURALE 111 Generazione dei campioni Analisi Dinamica deterministica Costruzione delle statistiche della risposta numero di campioni: nc Figura 7.5 Simulazione Monte Carlo. Il vantaggio del metodo Monte Carlo e quello di potere affrontare dal punto di vista probabilistico qualunque problema, anche fortemente non lineare, di cui sia nota una soluzione deterministica, anche per via numerica. Attualmente il metodo Monte Carlo e l unico approccio disponibile per sistemi non lineari o per valutare la correttezza di soluzioni analitiche esatte o approssimate. La soluzione di un problema tramite simulazione Monte Carlo consiste nei tre passi fondamentali illustrati nella Figura 7.5 e che verranno di seguito commentati in dettaglio. Generazione dei campioni La generazione dei campioni della forzante e un passo fondamentale nel metodo Monte Carlo. Questi da un lato devono essere aleatori, dall altro devono rispettare le caratteristiche in termini di probabilita del processo forzante. In questa sede si affronta solo il caso della generazione di campioni di processi monovariati gaussiani, stazionari e a media nulla F (s) (t). Il processo forzante F (t) e definito compiutamente dal punto di vista statistico dalla funzione di autocorrelazione RF (τ ) o dalla corrispondente funzione densita spettrale di potenza unilaterale GF (ω). Una volta assegnata la funzione densita spettrale di potenza del processo forzante da generare, la varianza di tale processo puo essere calcolata come: Z + 2 σf = GF (ω) dω 0 In genere, e possibile identificare una frequenza ωc, detta frequenza di taglio o frequenza di cut-off, tale che i contributi alla varianza di tutte le frequenze superiori siano trascurabili (vedi Figura 7.6). In altri termini, per procedere ad una simulazione numerica bisogna dapprima scegliere una ωc tale che sia: Z ωc σˆf2 = GF (ω) dω = σf2 0 Per applicazioni sismiche, ad esempio, la potenza del processo si concentra alle basse frequenze per cui e lecita una scelta di ωc = 100 rad/sec. Una volta definito l intervallo

120 112 ANALISI ALEATORIA DI SISTEMI LINEARI FORZATI DA PROCESSI GAUSSIANI GF(w) sk2=gf(w)dw Dw w1 Figura 7.6 wk wc w Frequenza di taglio e campionamento della densita spettrale di potenza della forzante. di frequenze di interesse [0, ωc ], esso puo essere diviso in un numero mc di intervalli di ampiezza costante ω = ωc /mc, tali che il k-esimo intervallo abbia frequenza centrale ωk e dia un contributo alla varianza del processo pari a σk2 = GF (ω) ω. Si puo dimostrare che l r-esimo campione di un processo aleatorio monovariato gaussiano, stazionario e a media nulla, avente funzione densita spettrale di potenza pari a GF (ω) puo essere ottenuto dalla notevole formula di Shinozuka: F (r) (t) = mc X p (r) 2GF (ω) ω sin ωk t + θk (7.39) k=1 (r) in cui gli mc valori di fase θk che compaiono nel generico campione F (r) (t) sono le r-esime realizzazioni di mc variabili aleatorie θk indipendenti tra loro e aventi funzione densita di probabilita uniforme nell intervallo [0, 2π], come mostrato in Figura 7.7. Sembra opportuno sottolineare lo stretto legame esistente tra la formula di Shinozuka e la serie trigonometrica di Fourier. Tale legame ci assicura che il contenuto in frequenza del segnale generato mediante la (7.39) sia deterministicamente noto e pari alla funzione densita spettrale di potenza assegnata, mentre la casualita dei vari campioni e garantita dall aleatorieta delle fasi θk. Il numero di armoniche mc che compongono il segnale, inoltre, deve essere quanto piu grande possibile. In questo modo il valore di ω risultera essere molto piccolo e il campionamento della funzione GF (ω), ovvero la sua approssimazione mediante intervalli ad ampiezza costante, sara quanto piu preciso possibile. Analisi dinamica deterministica In corrispondenza di ogni campione del processo forzante F (r) (t) e possibile determinare un campione del processo di risposta X (r) (t) utilizzando una delle tecniche numeriche o analitiche mostrate nei capitoli precedenti. Il numero di campioni da generare, denotato come nc dipende dalle caratteristiche del sistema sotto studio e dallo scopo che ha l analisi. In generale, piu campioni si considerano,

121 CENNI DI AFFIDABILITA STRUTTURALE 113 meglio si caratterizza la risposta, ma spesso il numero massimo di campioni da considerare e dettato da problemi di ordine computazionale. Va sottolineato che, al fine di rendere correttamente il contenuto in frequenza della risposta, il passo di integrazione nel dominio del tempo t va scelto accuratamente. In particolare, le armoniche a frequenza piu elevata devono essere campionate in maniera corretta; un criterio di scelta del passo di integrazione puo essere quello di campionare con almeno otto punti l armonica a frequenza piu elevata, pari alla frequenza di taglio ωc. Da tale criterio discende, con ovvio significato dei simboli, che: Tc = π 2π > 8 t t < ωc 4ωc Costruzione delle statistiche della risposta Una volta calcolati gli nc campioni della risposta, essi costituiscono una approssimazione del processo di risposta X (t), che e costituito in teoria da infiniti campioni. A partire da essi e possibile valutare le grandezze statistiche di interesse del processo risposta mediante i metodi classici della statistica. Ad esempio, la stima del valore medio o del valore quadratico medio possono essere condotti, rispettivamente, come: nc 1 X E X (t) = X (i) (t); nc i=1 nc h i 1 X E X 2 (t) = X (i)2 (t) nc i=1 in cui E [ ] rappresenta la stima della grandezza E [ ]. I due valori coincideranno solo quando l approssimazione del processo di risposta tramite la simulazione Monte Carlo sara completa, ovvero solo per nc. Nella pratica di calcolo, pero, i valori approssimati delle statistiche tendono asintoticamente ai loro valori teorici e, ad esempio, considerando un migliaio di campioni si ottengono gia delle ottime stime. Supponiamo adesso di volere valutare la funzione densita di probabilita della risposta ad un X (t) in un assegnato istante t = t0. Dapprima deve essere valutato l intervallo di pqk 1 2p 0 Figura 7.7 2p qk Funzione densita di probabilita delle variabili aleatorie θk.

122 114 ANALISI ALEATORIA DI SISTEMI LINEARI FORZATI DA PROCESSI GAUSSIANI variazione della risposta [x 1, x 2 ] in cui: x 1 = min r [1,...n c] X(r) (t 0 ) ; x 2 = max r [1,...n c] X(r) (t 0 ) Tale intervallo va poi suddiviso in un numero n x di intervalli di ampiezza costante x tale che x = (x 2 x 1 ) /n x e che il k-esimo intervallo abbia valore centrale pari a x k. La probabilità che X (t 0 ) ricada all interno del k-esimo intervallo può essere stimata come: p X(t0) (x k ) = N k n c ; k = 1, 2,..., n x (7.40) in cui N k indica il numero dei campioni di X (t) che all istante t = t 0 erano contenuti nel k-esimo intervallo. Valutando la eq. (7.40) per tutti i valori di k si ottiene una stima numerica della funzione densità di probabilità p X(t0) (x). Ovviamente, quanto più è piccolo il valore di x, tanto più è grande n x e migliore è la precisione con cui si effettua la stima della p X(t0) (x). Bisogna però ricordare che all aumentare del numero di intervalli n x è necessario considerare un numero di campioni n c maggiore, con tutti gli oneri computazionali connessi.

123 APPENDICE A LA TRASFORMATA DI FOURIER A.1 Definizioni e proprietà Data una funzione arbitraria non periodica f (t) che soddisfa le condizioni di Dirichlet nell intervallo temporale (, + ), cioè possiede un numero finito di massimi e di discontinuità nell intervallo, si definisce trasformata di Fourier di f (t) la seguente funzione: F [ f (t) ] = F (ω) = + f (t) e iωt dt (A.1) nella quale il simbolo F [ ] indica la trasformata di Fourier della quantità tra parentesi. Si definisce, inoltre, trasformata inversa di F (ω), detta anche antitrasformata di Fourier, la seguente funzione: F 1 [ F (ω) ] = f (t) = 1 2π + F (ω) e iωt dt (A.2) Affinché esista la trasformata di Fourier della funzione f (t) deve essere verificata la seguente condizione: + f (t) dt < Le equazioni (A.1) e(a.2) consentono di dare una interpretazione fisica alla funzione F (ω), trasformata di Fourier di f (t). A tal fine si ricorda che la serie esponenziale di Appunti di Dinamica delle Strutture, I revisione. By Giacomo Navarra

124 116 LA TRASFORMATA DI FOURIER Fourier di una funzione periodica di periodo T 0 si può scrivere nella forma seguente: f (t) = f (t + T 0 ) = + n= F n e iωnt ; ω n = n 2π T 0 essendo F n l n-esima componente armonica di f (t). Si osservi che se il periodo T 0 cresce, la distanza ω = ω n+1 ω n, tra due armoniche consecutive, decresce ed al limite tende a zero se T 0 +, ovvero se la f (t) è aperiodica. Da queste considerazioni segue che una funzione non periodica è esprimibile come somma di un numero infinito di funzioni circolari la cui ampiezza, infinitesima, F (ω) dω/2π è detta componente armonica di f (t). Si può, quindi, affermare che la funzione F (ω) rappresenta la distribuzione delle componenti armoniche della funzione f (t) sull asse delle frequenze circolari ed è correntemente indicata come spettro di f (t). Applicando la nota relazione di Eulero è possibile riportare la re. (A.1) nella forma: F (ω) = + f (t) cos ωtdt + i + f (t) sin ωtdt in cui si evidenziano le cosidette trasformata seno e trasformata coseno. La F (ω) è pertanto una funzione in generale complessa. Ricordando la proprietà per cui l integrale su un dominio simmetrico rispetto all origine di una funzione dispari è nullo, se ne deduce che la trasformata di una funzione pari conterrà solo la parte coseno della trasformata e sarà, quindi, reale. La trasformata di Fourier gode delle seguenti principali proprietà: linearità: F [ a 1 x 1 (t) + a 2 x 2 (t) ] = a 1 X 1 (t) + a 2 X 2 (t); simmetria: F [ x ( t) ] = X ( ω), F [ x (t) ] = X ( ω); traslazione nei tempi: F [ x (t t 0 ) ] = e iωt0 X (ω); traslazione nelle frequenze: F [ x (t) e iω0t] = X (ω ω 0 ); [ ] dx (t) derivazione nel tempo:f = iωx (ω); dt convoluzione F [ f (t) g (t τ) dτ ] = F (ω) G (ω) In definitiva l importanza della trasformata di Fourier risiede: a) nel definire una corrispondenza biunivoca tra il cosiddetto dominio dei tempi e quello trasformato detto dominio delle frequenze; b) nella sua proprietà di trasformare le equazioni differenziali in equazioni algebriche; c) nel trasformare gli integrali di convoluzione in semplici prodotti di funzioni. Nel corso del testo sono presentate le applicazioni della trasformata di Fourier alla soluzione di sistemi dinamici sia deterministici che aleatori.

125 INTERPRETAZIONE ENERGETICA DELLA TRASFORMATA DI FOURIER 117 A.2 Interpretazione energetica della trasformata di Fourier Si indichi con x (t) una funzione deterministica reale di durata t f ; si definisce energia della funzione x (t) la seguente grandezza: ( ) tf E x tf = α x 2 (t) dt 0 (A.3) nella quale la costante di proporzionalità α ha dimensioni tali che il secondo membro della (A.3) abbia effettivamente le dimensioni di un energia. Si ricorda, inoltre, che una funzione è detta periodica se si ripete identicamente dopo un determinato intervallo di tempo T p, detto periodo della funzione. Una funzione periodica può essere rappresentata dalla serie trigonometrica di Fourier: x (t) = 1 2 a 0 + [a k cos ( kω p t ) + b k sin ( kω p t )] k=1 nella quale i coefficienti a k e b k si determinano attraverso le seguenti espressioni: a k = 2 Tp/2 x (t) cos ( kω p t ) dt; T p T p/2 b k = 2 Tp/2 x (t) sin ( kω p t ) dt T p T p/2 Nelle precedenti relazioni ω p = 2π/T p è la cosiddetta frequenza circolare fondamentale della funzione periodica x (t); le altre frequenze circolari, che sono tutte multiple della fondamentale, vengono dette armoniche della funzione periodica; il termine a 0 è detto componente continua. Sostituendo queste ultime relazioni nella (A.3) è possibile, a meno della costante α, determinare l energia della funzione periodica, nel periodo T p, come segue: E x ( Tp ) = Tp a k=1 a 2 k + b2 k 2 (A.4) dalla quale si evince che l energia di una funzione periodica in un intervallo di lunghezza pari ad un periodo T p è somma delle energie associate alla componente continua, alla frequenza fondamentale, ed alle frequenze delle varie armoniche. Ne segue che l energia di una funzione periodica è una quantità finita in un periodo, mentre risulta essere una quantità infinita nell intervallo temporale ( ; + ). Per rappresentare graficamente l energia associata alle varie frequenze, multiple di quella fondamentale, si introduce, in analogia all Ottica, lo spettro di energia della funzione periodica, che è un diagramma in cui le ordinate sono date dall energia, nel periodo T p, associata alle varie frequenze (rappresentate nelle ascisse) in cui è stata decomposta, attraverso la serie di Fourier, la funzione periodica. Alternativamente, anziché valutare l energia della funzione nel periodo T p, si preferisce determinare l energia della funzione nell unità di tempo. Tale quantità, pari dimensionalmente al rapporto tra un energia ed un tempo, è nota in Fisica col nome di potenza: S x (T p) = E ( ) x Tp T p = a k=1 a 2 k + b2 k 2 (A.5) Ciascun termine della (A.5) rappresenta, quindi, il contributo alla potenza totale della funzione periodica da parte del corrispondente termine dello sviluppo in serie di Fourier. La

126 118 LA TRASFORMATA DI FOURIER rappresentazione grafica di tali termini, in funzione delle frequenze delle varie armoniche, costituisce lo spettro di potenza della funzione periodica x (t). Sarà, quindi, possibile evidenziare in quali frequenze è concentrata la maggiore energia, in un periodo T p, della funzione periodica. Se la funzione x (t) è una funzione non periodica è ancora possibile determinare lo spettro della funzione eseguendone la trasformata di Fourier: X (ω) = + x (t) e iωt dt = + x (t) [cos ωt + i sin ωt] (A.6) La trasformata di Fourier è in generale una quantità complessa, avente parte reale ed immaginaria pari, rispettivamente, alla trasformata coseno ed alla trasformata seno: Re [ X (ω) ] = + x (t) cos ωtdt; Im [ X (ω) ] = + x (t) sin ωtdt mentre il modulo della trasformata di Fourier è fornito dalla seguente relazione: C x (ω) = X (ω) = X (ω) X (ω) = Re [ X (ω) ] 2 [ ] 2 + Im X (ω) Applicando la cosiddetta uguaglianza di Parseval, l energia della funzione nell intervallo di tempo ( ; + ) è pari a: E x = α 2π + C 2 x (ω) dω (A.7) Dalla (A.7) si evince che, se esiste la trasformata di Fourier di una funzione continua non periodica, quest ultima risulta avere energia finita. Inoltre, la funzione C 2 x (ω), rappresenta, a meno di un fattore di proporzionalità, il contributo dato all energia totale della funzione da parte dell armonica di x (t) la cui frequenza circolare è contenuta tra ω e ω + dω; ne segue che, a meno di una costante dimensionale, C 2 x (ω) rappresenta lo spettro dell energia specifica, detto anche densità spettrale di energia della funzione x (t). La densità spettrale di energia descrive, quindi, il contenuto in energia specifica della funzione x (t) alle varie frequenze. Il diagramma della radice quadrata dell energia specifica C x (ω) X (ω) caratterizza il cosiddetto spettro di Fourier di una funzione continua. Per quanto detto, l ordinata dello spettro di Fourier di una funzione continua ad una certa frequenza è legata al contenuto di energia che la stessa funzione possiede a quella frequenza. Esistono, quindi, due differenze principali tra la rappresentazione spettrale di una funzione (deterministica) periodica e non periodica, definite nel dominio ( ; + ): le funzioni periodiche, al contrario di quelle continue, possiedono uno spettro discontinuo; per le funzioni periodiche l energia totale è finita in un periodo T p, mentre è infinita nell intervallo di tempo ( ; + ); di conseguenza, è più opportuno rappresentare le proprietà spettrali di tali funzioni attraverso lo spettro di potenza; per le funzioni continue non periodiche, che posseggono trasformata di Fourier, l energia totale è finita, per cui è possibile rappresentare le proprietà spettrali di tali funzioni o mediante la densità spettrale di energia C x (ω) 2 o attraverso lo spettro di Fourier X (ω).

127 APPENDICE B ANALISI SISMICA DI STRUTTURE MULTI- PIANO INTELAIATE In questa appendice verranno discusse le ipotesi semplificative ed i metodi di analisi per pervenire alla determinazione della risposta strutturale in termini cinematici (massimi spostamenti) e meccanici (massime sollecitazioni) di una struttura civile di tipo intelaiata soggetta ad una azione sismica. Lo scopo della metodologia di analisi presentata nel seguito è quella di ottenere un buon compromesso tra l affidabilità dei risultati ottenuti e la semplicità di calcolo, ai fini della redazione della esercitazione progettuale del Corso di Dinamica delle Strutture. Nel seguito l analisi sismica verrà sviluppata con riferimento ad una specifica struttura intelaiata, ma le formulazioni ed i metodi proposti sono di carattere del tutto generale. B.1 Descrizione geometrica della struttura ed ipotesi di calcolo Sia data la struttura intelaiata in cemento armato di un edificio civile, la cui rappresentazione grafica è riportata nella Figura B.1. La struttura è stata scelta in modo da presentare delle irregolarità sia in pianta che in elevazione, in modo da potere generalizzare i metodi di calcolo. Nella seguente Figura B.2 è riportata una pianta di un impalcato tipo, con indicata la numerazione e la dimensione dei pilastri, le dimensioni delle travi e la direzione di ordi- Appunti di Dinamica delle Strutture, I revisione. By Giacomo Navarra

128 120 ANALISI SISMICA DI STRUTTURE MULTI-PIANO INTELAIATE Figura B.1 Assonometria della struttura intelaiata. tura dei solai e degli sbalzi. Le piante degli altri livelli potrebbero presentare riseghe e variazioni, inoltre si considerano note le altezze degli interpiani. Ai fini della determinazione dei carichi e delle azioni di progetto si considerino le seguenti ipotesi sulla destinazione d uso e sui dettagli costruttivi utilizzati: È nota l ubicazione della struttura e la sua altitudine s.l.m.; È nota la classificazione del terreno di fondazione; Sono note le destinazioni d uso del piano terra, dei piani superiori, ed è noto se l ultimo solaio è una copertura praticabile o meno; Gli elementi strutturali sono realizzati in calcestruzzo armato di classe nota, così come si conosce la tipologia e la sezione dei solai, dei balconi e dei tamponamenti esterni; Nel seguito, al fine di pervenire ad un numero di gradi di libertà dinamicamente significativi tale da potere essere gestito senza l ausilio di programmi di calcolo, il comportamento dinamico della struttura tridimensionale viene descritto introducendo nel modello strutturale le seguenti ipotesi: I pilastri sono considerati inestensibili, ovvero indeformabili per azioni assiali; Le masse sono concentrate al livello dei solai, ovvero i telai sono pensati privi di massa; La struttura è costituita da impalcati infinitamente rigidi per forze agenti nel proprio piano, la deformabilità è quindi concentrata nei pilastri; I solai sono infinitamente deformabili per forze perpendicolari al piano, ovvero viene tenuta in conto la rigidezza dei telai solamente nel piano del telaio stesso; Nel Capitolo 4 si sono derivate le equazioni del moto per i sistemi a più gradi di libertà soggetti ad azione sismica, esprimendo il sistema delle equazioni differenziali di equilibrio nella forma matriciale: MẌ (t) + CẊ (t) + KX (t) = Mτ ü g (t) (B.1)

129 DESCRIZIONE GEOMETRICA DELLA STRUTTURA ED IPOTESI DI CALCOLO Figura B Impalcato della elevazione tipo. in cui i parametri descrittivi dei gradi di liberta venivano raggruppati in un vettore X e comparivano rispettivamente la matrice delle masse, la matrice di dissipazione e la matrice di rigidezza. In virtu delle ipotesi appena enunciate, il numero dei gradi di liberta significativi dal punto di vista dinamico si riduce a tre per ogni impalcato, ovvero quelli necessari a descrivere il moto di un corpo rigido nel piano. Una volta introdotto un sistema di riferimento cartesiano per la descrizione degli spostamenti, la configurazione deformata del j-esimo impalcato puo essere determinata univocamente attraverso i due spostamenti uj e vj di un suo punto, generalmente coincidente con l origine del sistema di riferimento scelto, e dalla rotazione rigida dell intero impalcato ϕj. Detto N il numero degli impalcati (nel caso in esame N = 4), tali parametri lagrangiani, dipendenti dal tempo, possono essere raccolti in un vettore X detto vettore dei gradi di liberta del sistema, organizzato nel modo seguente: u1 (t)... u (t) N u (t) v1 (t) =... X (t) = (B.2) v (t) ϕ (t) vn (t) ϕ1 (t)... ϕn (t)

130 122 ANALISI SISMICA DI STRUTTURE MULTI-PIANO INTELAIATE Esso esprime le configurazioni deformate della struttura in un sistema di riferimento globale. I vettori u e v raccolgono rispettivamente gli spostamenti in direzione x ed in direzione y degli N impalcati, mentre il vettore ϕ raccoglie le rotazioni rigide degli N impalcati. Di conseguenza, il vettore delle forze inerziali è espresso come F I = MẌ, il vettore delle forze elastiche vale F E = KX ed il vettore delle forze dissipative assume il valore F D = CẊ. Nel seguito si determineranno le matrici M, C e K in relazione alla tipologia strutturale in esame. B.2 Analisi dei carichi Lo scopo della appendice non è quello di determinare le sollecitazioni sotto carichi di natura statica, ma solo quelle legate alle azioni di tipo dinamico. Queste ultime, come è noto, sono legate all intensità delle accelerazioni sperimentate dalla struttura ed alle masse presenti. Secondo quanto prescritto dalle vigenti normative, le masse da considerare sono quelle associate ai carichi gravitazionali determinati attraverso l utilizzo della espressione G 1 + G 2 + j ψ 2j Q kj (B.3) in cui G 1 sono i carichi dovuti al peso proprio degli elementi strutturali, G 2 rappresenta il peso proprio di tutti gli elementi non strutturali (carichi permanenti), con Q kj si indicano i valori caratteristici associati alle varie tipologie di carichi variabili presenti ed i coefficienti di combinazione ψ 2j sono utili a ricavare i valori quasi permanenti di tali carichi variabili. Tali valori possono essere determinati una volta noti i materiali e le tipologie costruttive utilizzate, attraverso una analisi dei carichi. Con riferimento alla struttura in oggetto, si possono predisporre le analisi dei carichi per gli elementi strutturali principali, come riportato nella seguente tabella di esempio. Tabella B.1 Analisi dei carichi. Descrizione G 1 G 2 Q 1 massa trave 30x60 cm 4.50 kn/m kg/m trave 80x20 cm 4.00 kn/m kg/m pilastro 30x60cm 4.50 kn/m kg/m pilastro 30x30cm 2.25 kn/m kg/m solaio tipo 16+4 cm (cat. A - ψ 21 = 0.30) 2.90 kn/mq 2.80 kn/mq 2.00 kn/mq kg/mq solaio copertura 16+4 (cat. H - ψ 21 = 0.00) 2.90 kn/mq 1.80 kn/mq 0.50 kn/mq kg/mq Balcone soletta piena (cat. C - ψ 21 = 0.60) 3.75 kn/mq 1.85 kn/mq 4.00 kn/mq kg/mq Tamponamenti esterni 2.55 kn/mq 0.89 kn/mq kg/mq il carico neve è da considerarsi a parte, ma non partecipa al calcolo della massa associata ai carichi. B.3 Costruzione della matrice delle masse In questa sezione si vuole determinare l espressione della matrice delle masse con riferimento alla tipologia strutturale descritta in precedenza. In seguito alla descrizione dei gradi

131 COSTRUZIONE DELLA MATRICE DELLE MASSE 123 di libertà assunto, il vettore delle forze inerziali ha la seguente forma: F Ix,1 (t)... F Ix,N (t) F Ix (t) F Iy,1 (t) F I (t) = F Iy (t) =... M IO (t) F Iy,N (t) M IO,1 (t)... M IO,N (t) (B.4) in cui gli elementi dei vettori F Ix e F Iy raccolgono le risultanti delle forze inerziali dei vari impalcati in direzione x ed in direzione y, rispettivamente, mentre il vettore M IO raccoglie i momenti risultanti delle forze inerziali ai vari impalcati rispetto all origine del sistema di riferimento. Ogni elemento infinitesimo di massa diffuso sull impalcato subisce una accelerazione e genera, pertanto, una forza di inerzia infinitesima proporzionale al valore della massa stessa e all accelerazione subita. Con riferimento alla Figura B.3, la massa dm, appartenente all i-esimo impalcato ed associata al punto materiale P di coordinate x P e y P, dà luogo alle seguenti forze inerziali: df Ix,i = ü p dm = (ü i ϕ i y P )dm df Iy,i = v p dm = ( v i + ϕ i x P )dm (B.5) dm IO,i = df Ix,i y P + df Iy,i x P in cui si è introdotta l ipotesi di impalcato rigido, per cui è possibile esprimere gli spostamenti del generico punto P in funzione degli spostamenti u i e v i e della rotazione ϕ i dell i-esimo impalcato e delle coordinate del punto P stesso: u p = u i ϕ i y P v p = v i + ϕ i x P (B.6) Integrando su tutto l i-esimo impalcato, si ottengono le risultanti delle forze di inerzia all i-esimo impalcato: F Ix,i = A i (ü i ϕ i y P )dm = M i ü i S X,i ϕ i F Iy,i = A i ( v i + ϕ i x P )dm = M i v i + S Y,i ϕ i (B.7) M IO,i = A i df Ix,i y P + df Iy,i x P = S X,i ü i + S Y,i v i + I O,i ϕ i in cui S X,i e S Y,i sono i momenti statici delle masse dell i-esimo impalcato rispetto agli assi x e y del sistema di riferimento e I O,i è il momento di inerzia polare delle masse dell i-simo impalcato rispetto all origine del sistema di riferimento. Il vettore delle risultanti delle forze inerziali in direzione x per tutti gli impalcati, F Ix, può essere costruito a partire dalla prima delle (B.7) come: F Ix = M t ü S X ϕ

132 124 ANALISI SISMICA DI STRUTTURE MULTI-PIANO INTELAIATE dfiy,i dm xp dfix,i P yp y O x Figura B.3 Forze inerziali elementari. In maniera analoga e possibile costruire i vettori FIy, contenente le risultanti delle forze inerziali in direzione y per tutti gli impalcati, ed il vettore MIO, contenente i momenti risultanti delle forze inerziali rispetto all origine del riferimento per tutti gli impalcati: FIy = Mt v + SY ϕ MIO = SX u + SY v + IO ϕ in cui Mt e una matrice diagonale contenente le masse degli impalcati, SX e SY sono delle matrici diagonali contenenti rispettivamente i momenti statici delle masse degli impalcati rispetto gli assi x e y, e IO e una matrice diagonale contenente i momenti di inerzia polare rispetto all origine del riferimento degli impalcati. Le ultime tre relazioni possono ancora essere espresse in una forma piu compatta ricordando la definizione del vettore dei gradi di liberta (B.2) e quella del vettore delle forze inerziali (B.4): Mt 0 SX u (t) FI (t) = MX (t) = (B.8) Mt SY 0 v (t) SX SY IO ϕ (t) dalla quale e evidente la struttura della matrice delle masse, la quale risulta essere ancora una matrice quadrata e simmetrica ma, in virtu del fatto che sono presenti masse distribuite, non e piu diagonale.

133 COSTRUZIONE DELLA MATRICE DI RIGIDEZZA 125 B.4 Costruzione della matrice di rigidezza In questa sezione si vuole determinare l espressione della matrice di rigidezza della struttura. In seguito alla conformazione del vettore dei gradi di libertà X, il vettore delle forze elastiche assume la forma seguente: F Ex,1 (t)... F Ex,N (t) F E (t) = F Ex (t) F Ey (t) M EO (t) = F Ey,1 (t)... F Ey,N (t) M EO,1 (t)... M EIO,N (t) (B.9) in cui gli elementi dei vettori F Ex e F Ey raccolgono le risultanti delle forze elastiche dei vari impalcati in direzione x ed in direzione y, rispettivamente, mentre il vettore M EO contiene i momenti risultanti delle forze inerziali ai vari impalcati rispetto all origine del sistema di riferimento. Secondo il modello strutturale descritto dalle ipotesi iniziali, le forze elastiche originano dalle forze di richiamo con cui le colonne dei telai si oppongono agli spostamenti imposti nel piano stesso del telaio. Il procedimento con cui si ricaveranno tali forze elastiche può essere così sintetizzato: determinazione delle matrici di rigidezza dei singoli telai, espresse nel sistema di riferimento locale del telaio; trasformazione delle matrici di rigidezza nel sistema di riferimento globale, rispetto al vettore dei gradi di libertà; assemblaggio della matrice di rigidezza dell intera struttura nel riferimento globale; Risulta utile disporre di uno strumento analitico per trasformare gli spostamenti dal sistema locale a quello globale e viceversa. Una volta numerati i telai progressivamente, è immediato osservare che è possibile legare gli spostamenti degli N piani del j-esimo telaio, δ (j), con il vettore X dei gradi di libertà attraverso la relazione δ (j) = R (j) X (B.10) in cui R (j) è la matrice di trasformazione di del j-esimo telaio, di dimensioni (N 3N), definita come: [ ] R (j) = cos α j I N sin α j I N ( d (j) y cos α j + d (j) x sin α j )I N (B.11) dove d (j) x e d (j) y sono le componenti secondo gli assi cartesiani, prese con segno, della distanza d (j), rispetto all origine del sistema di riferimento, del j-esimo telaio, mentre I N è la matrice identità di ordine N.

134 126 ANALISI SISMICA DI STRUTTURE MULTI-PIANO INTELAIATE La determinazione della matrice di rigidezza del j-simo telaio può essere condotta utilizzando uno dei metodi noti in letteratura come ad esempio il metodo degli spostamenti. Nel caso in esame, in virtù dell ipotesi di traverso infinitamente rigido, il comportamento della struttura è detto shear-type, ovvero le forze di richiamo elastico dei telai nascono solamente in funzione della rigidezza a taglio dei pilastri. Tali rigidezze sono sempre del tipo k p = 12EI x h 3 i in cui I x è il momento di inerzia del pilastro nella direzione contenuta nel piano del telaio e h i è l altezza dell i-esimo interpiano. La rigidezza complessiva del j-esimo telaio alla, sarà data dalla somma delle rigidezze a taglio di tutti i pilastri presenti a quella elevazione. La matrice di rigidezza del j-esimo telaio nel riferimento locale può, quindi essere espressa come: i-esima elevazione, k (j) i K (j) = k (j) 1 + k (j) 2 k (j) k (j) 2 k (j) 2 + k (j) k (j) N 1 + k(j) N k (j) N k (j) N k (j) N Le forze di richiamo elastico del j-esimo telaio nel riferimento locale valgono quindi: (B.12) F (j) E = K(j) δ (j) (B.13) Tra il vettore delle forze elastiche dovute al j-esimo telaio nel riferimento globale e quello nel riferimento locale vale la seguente relazione che coinvolge ancora la matrice di trasformazione: F (j) E (j) = R(j)ˆF E che, sfruttando la proprietà di ortogonalità delle matrici di rotazione, secondo cui: R (j) 1 = R (j)t può essere scritta come: ˆF (j) E = R(j)T F (j) E Sostituendo la (B.10) e la (B.13) nella (B.14) si ottiene: (B.14) ˆF (j) E = R(j)T K (j) R (j) X dalla quale la matrice di rigidezza del j-esimo telaio nel riferimento globale, ˆK (j) può essere espressa dalla equazione: ˆK (j) = R (j)t K (j) R (j) (B.15) La matrice di rigidezza complessiva della struttura nel riferimento globale può, infine, essere ottenuta assemblando le matrici ˆK (j) provenienti da tutti i telai: K = j ˆK (j) (B.16)

135 COSTRUZIONE DELLA MATRICE DI RIGIDEZZA 127 Tale procedura, esposta nel caso più generale, risulta essere notevolmente semplificata nel caso ricorrente in cui i telai sono tra loro ortogonali e paralleli agli assi del sistema di riferimento globale. In questo caso, infatti, è opportuno suddividere i telai tra quelli che hanno direzione x e quelli diretti lungo y. Per i primi, vedi ad esempio il telaio 5-8 in Figura B.4, la relazione tra gli spostamenti nel riferimento locale e quello globale assume la forma semplificata: δ (j) = u ϕd (j) y mentre per quelli disposti in direzione y la stessa relazione vale: δ (j) = v + ϕd (j) x (B.17) (B.18) Partendo dalla considerazione che i telai forniranno solamente forze di richiamo elastico nella direzione del telaio stesso, è possibile esprimere le risultanti delle forze elastiche in direzione x a tutti gli impalcati come: n x n x n x F Ex = K (j) δ (j) = K (j) u K (j) d (j) y ϕ (B.19) j j in cui la sommatoria è estesa a tutti gli n x telai in direzione x. Allo stesso modo le risultanti delle forze elastiche in direzione y a tutti gli impalcati valgono: n y n x F Ey = K (j) δ (j) = K (j) v + j n y j j j K (j) d (j) x ϕ (B.20) in in cui la sommatoria è estesa a tutti gli n y telai in direzione y. Infine, i momenti risultati delle forze elastiche a tutti gli impalcati possono essere espressi come: n x M EO = K (j) δ (j) d (j) j y + n y j K (j) δ (j) d (j) x = n x n x n x = K (j) d (j) y u + + K (j) d (j) x v + K (j) d (j)2 j Introducendo le seguenti notazioni: n x K xϕ = K (j) d (j) y ; K yϕ = j j j y + n x K xx = K (j) ; K yy = K (j) ; K xy = 0; j n x j n y j K (j) d (j) x ; K ϕϕ = n x j n y K (j) d (j)2 ϕ j K (j) d (j)2 n y y + le relazioni (B.19), (B.20) e (B.21) possono scriversi nella forma matriciale F Ex K F E = KX; F Ey = xx K xy K xϕ u K xy K yy K yϕ v M EO K xϕ K yϕ K ϕϕ ϕ in cui si evidenzia la struttura a blocchi della matrice di rigidezza. j x (B.21) K (j) d (j)2 x ; (B.22)

136 128 ANALISI SISMICA DI STRUTTURE MULTI-PIANO INTELAIATE B.5 Soluzione del problema agli autovalori Una volta determinate le matrici delle masse e di rigidezza, è possibile risolvere il problema agli autovalori in una delle due forme alternative: ( ) ω 2 M + K φ = 0; (D γi n ) φ = 0 essendo D = K T M la cosiddetta matrice dinamica, definita nel Capitolo 3. La soluzione del problema agli autovalori può essere perseguita sfruttando consolidate tecniche numeriche ormai implementate in tutte le piattaforme di calcolo come, ad esempio, Mathemathica R o MATLAB R in termini di un vettore di autovalori ed una matrice contenente gli autovettori. In genere, per potere attribuire senso fisico sia agli autovalori che agli autovettori sarà necessario esprimerli in termini di pulsazioni naturali del sistema e forme di vibrare. Vale appena la pena di sottolineare che l interpretazione fisica delle forme di vibrare dovrà essere fatta coerentemente alla forma scelta per il vettore dei gradi di libertà X, quindi, i primi N valori del j-esimo autovettore rappresenteranno gli spostamenti in direzione x dei vari impalcati, i successivi N valori saranno gli spostamenti in direzione y e gli ultimi N valori rappresenteranno le rotazioni degli impalcati per la j-esima forma di vibrare. In particolare, sarà necessario procedere alla normalizzazione degli autovettori rispetto la matrice delle masse, così come descritto nel Capitolo 3. Una volta ottenuto il vettore delle pulsazioni ω e la matrice modale Φ è possibile costruire la matrice di dissipazione nello spazio fisico, come mostrato nel paragrafo in modo che ad ogni modo sia attribuito un valore dello smorzamento critico (ad esempio è possibile utilizzare per tutti i modi il valore ζ = 0.05) e pervenire, così, ad un sistema classicamente smorzato. Le equazioni del moto della struttura in oggetto, soggetta ad un azione sismica, possono essere poste nella forma della eq.(b.1) in cui il vettore di incidenza dei carichi τ indica come ogni grado di libertà risenta dell azione sismica. Dal momento che le analisi sismiche devono essere condotte con riferimento a due componenti orizzontali ortogonali dell azione sismica, tutti i calcoli seguenti dovranno essere svolti due volte: la prima con riferimento al sisma agente in direzione x, e la seconda per sisma agente in direzione y. I vettori di incidenza da utilizzare, rispettivamente, nei due casi sono i seguenti: τ X = ; τ Y = in cui si sono indicati con 1 e con 0 dei vettori di dimensione (N 1) in cui tutti gli elementi valgono 1 o 0, rispettivamente. Il passo successivo è quello di calcolare i coefficienti di partecipazione modale e le masse eccitate da ognuno dei modi per ognuna delle direzioni del sisma considerate. Ciò può essere fatto applicando rispettivamente le eq. (4.17) e (4.19) ed ottenendo i coefficienti di partecipazione modale: p X = Φ T Mτ X ; ; p Y = Φ T Mτ Y e la massa eccitata dal k-esimo modo per ogni direzione del sisma: p2 X,k ɛ X,k = p T X p X ; ɛ Y,k = p2 Y,k p T Y p Y

137 DETERMINAZIONE DELLO SPETTRO ELASTICO DI RISPOSTA 129 Questi ultimi valori sono funzionali per la determinazione del numero di modi da considerare nell applicazione di un eventuale troncamento modale (vedi paragrafo 4.3). B.6 Determinazione dello spettro elastico di Risposta Secondo la maggior parte delle normative sismiche vigenti la modellazione della azione sismica viene fornita attraverso spettri di risposta di pseudo-accelerazione. Nel caso in oggetto si farà riferimento agli spettri prescritti dal D.M. del 14 gennaio 2008 Nuove norme Tecniche per le Costruzioni e già descritti nella eq. (2.32). La determinazione degli spettri può essere condotta facendo riferimento ad uno dei tanti strumenti messi a disposizione dalle case produttrici di software o direttamente dal Consiglio Superiore dei Lavori Pubblici. In questo ultimo caso è disponibile per il download un foglio di calcolo Excel R che fornisce i valori delle ordinate spettrali una volta definiti: a) il sito su cui sorgerà la costruzione, attraverso le sue coordinate o il nome del comune; b) la strategia di progettazione, ovvero in altri termini la tipologia della costruzione ed la sua vita nominale; c) la classificazione del tipo di suolo. si vuole sottolineare che nel seguito verrà utilizzato il cosiddetto spettro di risposta elastico S e (T ), ovvero quello ottenuto in corrispondenza di un fattore di struttura unitario (q 0 = 1) ottenuto in corrispondenza dello stato limite di salvaguardia della vita (SLV) e per un valore di smorzamento pari a quello ipotizzato (usualmente ζ = 0.05). Tipici esempi di spettri di risposta elastico sono stati mostrati nella Figura B.7 Calcolo delle risposte modali massime In seguito alla soluzione del problema agli autovalori è possibile definire la trasformazione di coordinate X = ΦY, applicando la quale è possibile definire le equazioni del moto della struttura nello spazio modale, come mostrato nel Capitolo 4. In virtù delle ipotesi assunte tale sistema risulterà essere disaccoppiato e la equazione del moto del k-esimo oscillatore modale per ognuna delle direzione di provenienza del sisma assume la forma riportata in eq. (4.18): ÿ k (t) + 2ζ k ω k ẏ k (t) + ω 2 ky k (t) = p k ü g (t) Il picco assoluto della risposta in termini di spostamento del k-esimo oscillatore modale e la sua proiezione nello spazio fisico valgono rispettivamente: ( ) 2 Tk Y k,max = p k S D (T k ) = p k S e (T k ) 2π ( ) 2 Tk X k = Y k,max φ k = p k S e (T k ) φ k (B.23) 2π in cui T k = 2π/ω k è il periodo associato al k-esimo modo. In sostanza, il k-esimo modo di vibrare contribuirà alla risposta complessiva della struttura con una configurazione di spostamenti il cui valore massimo vale X k e con le conseguenti sollecitazioni, determinate come mostrato nel seguito. I valori di calcolo degli

138 130 ANALISI SISMICA DI STRUTTURE MULTI-PIANO INTELAIATE spostamenti e delle sollecitazioni, utili per le verifiche strutturali, saranno il risultato delle combinazioni di questi valori. Per prima cosa, è utile risalire dagli spostamenti degli impalcati agli spostamenti dei telai nel sistema di riferimento locale e alle sollecitazioni così provocate. Il contributo del k-esimo modo agli spostamenti del j-simo telaio può essere valutato tramite l espressione δ (j) k = R (j) X k in cui R (j) è la matrice di trasformazione del j-esimo telaio, riportata in eq. (B.10). Nel caso ricorrente di telai ortogonali, possono usarsi la eq. (B.17) per i telai disposti in direzione x e la eq. (B.18) per i telai orientati secondo la direzione y. Una volta ottenuti gli spostamenti nel riferimento locale, le forze di richiamo elastico massime F (j) E,k esercitate dal j-esimo telaio per effetto del k-esimo modo possono essere ricavate secondo la eq. (B.13): F (j) E,k = K(j) δ (j) k Per quanto riguarda le sollecitazioni indotte da ogni modo di vibrare sui telai, le ipotesi sulla cinematica della struttura sono tali che le travi dei telai non subiranno nessuna deformazione e, pertanto, su di esse non graveranno sollecitazioni. Per determinare le sollecitazioni sui montanti sarà necessario dapprima calcolare il cosiddetto tagliante di piano. (j) Al piano i-esimo del j-esimo telaio il tagliante ˆT i,k dovuto al contributo del k-esimo modo è definito come la risultante di tutte le forze esterne (sismiche) applicate sul piano medesimo e ai piani superiori: N ˆT (j) i,k = F (j) E,k,p p=i in cui si è indicato con F (j) E,k,i l i-esimo termine del vettore F(j) E,k, ovvero la forza elastica di richiamo esercitata all i-esimo piano del j-esimo telaio per effetto del k-esimo modo. (j) Ad ogni elevazione il tagliante di piano ˆT i,k dovrà essere distribuito tra tutti i pilastri di quella elevazione in ragione proporzionale alla loro rigidezza k p. Supponendo che all iesimo piano del j-esimo telaio siano presenti n p pilastri e che ognuno di essi abbia una rigidezza pari a k (j) p,i,r con ( ) r = 1,..., n p, il taglio (ovvero l aliquota del tagliante) dell resimo pilastro varrà: T (j) i,r,k = ˆT (j) i,k k (j) p,i,r np r=1 k(j) p,i,r (B.24) Come mostrato in Figura B.4, affinché il pilastro stesso sia equilibrato sotto l effetto delle forze di taglio appena determinate, è necessario che vi siano anche dei momenti flettenti alla testa ed al piede del pilastro, i quali avranno valore: M (j) i,r,k = T (j) h (j) i,r i,r,k 2 essendo h (j) i,r l altezza dell r-esimo pilastro all i-simo piano del j-esimo telaio. (B.25) B.8 Combinazioni modali e combinazioni spaziali Una volta eseguite le valutazioni riportate nelle eq. (B.23), (B.24) e (B.25) per tutti i telai e per ognuno dei modi di vibrare, è possibile procedere alla valutazione degli spostamenti o delle sollecitazioni di calcolo combinando tali risultati.

139 COMBINAZIONI MODALI E COMBINAZIONI SPAZIALI 131 Ti Mi hi Mi Ti Figura B.4 Equilibrio del pilastro generico soggetto alle forze elastiche di richiamo. Cio puo essere fatto applicando una delle regole di combinazione modale riportate alla fine del Capitolo 4. In particolare, se le frequenze dei modi di vibrare sono tali che ognuna differisce da quelle adiacenti per piu del 10%, sara possibile applicare la regola di combinazione modale SRSS riportata in eq.(4.21), in caso contrario dovra essere applicata la regola CQC descritta nella eq.(4.22). Detta Vk una qualsiasi grandezza (ad es. spostamento ad un grado di liberta, sollecitazione di taglio o di momento flettente in un pilastro, etc.) valutata per effetto del k-esimo modo, allora il valore di calcolo valutato, ad esempio, secondo la combinazione SRSS vale: v um ux 2 Vd,SRSS = t (Vk ) k=1 mentre la stessa grandezza valutata secondo la combinazione CQC vale: v ux m um X Vd,CQC = t ρjk Vj Vk j=1 k=1 in cui i coefficienti di combinazione ρjk sono ottenuti tramite la eq. (4.23). Nelle relazioni precedenti la sommatoria potrebbe essere estesa ad un numero di modi m < N qualora fosse applicato un troncamento modale. Il valore di calcolo appena ottenuto e riferito all azione del sisma in una determinata direzione, per cui in realta si avranno due valori di calcolo della grandezza V, uno Vd,X per effetto del sisma in direzione x e uno Vd,Y per effetto del sisma in direzione y. Tali valori andranno ancora una volta combinati in senso spaziale per ottenere il valore di calcolo definitivo che servira per esprimere le verifiche di sicurezza secondo uno degli stati limite utilizzati. La combinazione in senso spaziale puo essere effettuata secondo una delle regole di seguito esposte. Secondo la prima di esse il valore di calcolo e ottenuto come: q 2 +V2 Vd = Vd,X d,y

140 132 ANALISI SISMICA DI STRUTTURE MULTI-PIANO INTELAIATE mentre secondo la seconda regola di combinazione spaziale il valore di calcolo è dato da: { V d,x + 0.3V d,y V d = max V d,y + 0.3V d,x B.9 Metodi di calcolo alternativi all analisi modale Nella redazione della esercitazione progettuale viene richiesto di pervenire alla determinazione della risposta della struttura anche attraverso l applicazione di due metodologie di calcolo alternative all analisi modale: Analisi al passo con un set di accelerogrammi assegnato; Analisi aleatoria con funzione densità spettrale di potenza assegnata; Secondo il primo metodo, una volta ottenuta l equazione del moto della struttura nello spazio nodale riportata in (B.1) ed assegnate le storie temporali di accelerazione ü g (t), la risposta della struttura può essere valutata attraverso una delle tecniche numeriche di integrazione al passo riportate nel Capitolo 4. Si veda a tal proposito lo schema di integrazione al passo riportato in eq. (4.8). Nel compiere questa operazione è necessario ricordare le seguenti cose: a) tutti gli accelerogrammi forniti contengono due colonne di dati: la prima contiene il tempo in secondi, mentre la seconda contiene le accelerazioni del suolo espresse in m/s 2 ; b) gli accelerogrammi hanno, in generale, durata e intervallo di campionamento dt diversi tra loro. Nello scrivere una routine di integrazione al passo, pertanto, occorre fare in modo che questi parametri possano essere facilmente modificati; c) al fine di confrontare le risposte della struttura ottenute dall integrazione al passo degli accelerogrami con i risultati ottenuti applicando l analisi modale con spettro di risposta, è necessario SCALARE il valore massimo dell accelerazione di ogni accelerogramma al valore Sa g (ovvero la pseudo-accelerazione al periodo T = 0) dello spettro di risposta elastico utilizzato. Il secondo metodo di calcolo da utilizzare richiede la determinazione del processo aleatorio di risposta della struttura, note che siano le caratteristiche dinamiche della stessa, attraverso la determinazione delle equazioni del moto, e la caratterizzazione in termini probabilistici della forzante, fornita tramite la definizione della funzione densità spettrale di potenza del sisma. I calcoli richiesti per determinare la PSD della risposta possono essere condotti con riferimento a quanto descritto nel Capitolo 7 ed in particolare può essere utilizzata la formulazione riportata nella eq. (7.28). Una volta nota la PSD della risposta, i valori medi di picco massimo della risposta possono essere ottenuti tramite la formulazione di Vanmarcke riportata nella eq. (7.38).