Le basi del calcolo statistico
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- Raimonda Zani
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1 L s dl clcolo sttstco qulro sttstco d prtcll su n stt possl: dscrzon dl sstm: ndvdur l stt possl mcrostt mdnt rltv numr quntc clcolr l nr dll -smo stto clcolr l dnrzon dll -smo stto clcolr l proltà d un crt prtzon coè n qunt mod s possono dsporr prtcll sul n stt consrvndo l nr totl dsposzon proltà d un crt prtzon d stt pots: tutt mcrostt ccssl sono ulmnt prol
2 smpo: mcrostt ccssl prtcll d mss m n un sctol cuc d lto L Mcrostt mcrostt H x + py + pz p m x y z sn k k x p m L o x k m p ml ; k x m y + k x x y xsn k y y m + m + m x p m L + k + m ; H x y z z numr quntc: m x m y m z z y ; k + m z z y ysn k p m L z z z x y z L lvllo nrtco: dnrzon : m x m y m z numro d occupzon:
3 Lvll nrtc smpo: un s d lttron n un cuo d lto -6 m 7 p c Vm 7 o 4 V 6 mc L 5 V m o ++ o -6 V o 4++6 o 4-6 V o o 6-6 V 4 o 9++ o 44-6 V 5 o o 48-6 V 6 o o 56-6 V
4 W conto sttstco scondo Boltzmnn W numro d mod n cu s possono dsporr prtcll sul lvllo W! 4!!! W! Π! s crc l mssmo d lnw con vncol sul numro totl d prtcll l nr totl mssmo vncolto: lnw ln! + ln!!! smpo: proltà dll prtzon! m x m y m z
5 mtodo d moltplctor d Lrn Sttstc d Boltzmnn d lnw d d α β d d d d formul d Strln: lnx! x lnx - x d lnw d ln ln ln ln α β fttor d spzo dll fs + ; C ln β α β l dmnson dll nvrso d un nr / k B T f Bol T -/kt funzon d dstruzon d Boltzmnn C f Bz T
6 smpo: dstruzon su lvll rotzonl d molcol HCl TK rot B rot ll+ con B rot mv k B T6 mv; l l+ Sttstc d Boltzmnn l l rot f Blz rot T l f Blz mv funzon d prtzon Z: Z f Bz T Z» Z proltà d occupzon dllo stto: mv f Bz f Bz Z T
7 nl cso d dstruzon contnu d nr d smpo nr cntc p /m spzo dll fs f cll lmntr dllo spzo dll fs: dx dy dz dp x dp y dp z numro d cll lmntr con nr fr d +: dxdydz dp x dp y dp z V 4π p dp 4πV m 4πV m pr l lttron du stt d spn: 8πV m
8 8πV n cscun nd s clcol prtr dl fondo dll nd v zro ll cm dll nd m p y p ymx pr p>p xmx lo spzo dll fs dsponl s rduc prorssvmnt fno dvntr un punto pr pp mx p mx p xmx p x mx mn spzo dll fs nll nd d nr trz nd mx 5 5 mx V mn scond nd V mx mn prm nd
9 dstruzon d Boltzmnn. f Bz K.8.6 d Bz T f Bz T mv d Bz /. f Bz K.8.6 l cm dll nd cpt nr molto mor dll nr trmc.4. d Bz / mv
10 z x y z p x p y p z y Sttstc quntstc: ndstnultà clssc quntstc x y z p x p y p z ndstnultà clssc: l du prtcll sono dntc lo stto n cu l prtcll ross coordnt x y z p x p y p z l prtcll vrd coordnt x y z p x p y p z è quvlnt llo stto con l prtcll scmt x z y m x y z y n x y z y ndstnultà quntstc: l du prtcll sono dntc lo stto n cu l prtcll d coordnt x y z funzon d ond y n l prtcll d coordnt x y z funzon d ond y m lo stto con l prtcll scmt vnno consdrt ntrm sommt o sottrtt scond dl tpo d prtcll Frmon: r r r r r r m n m n x Boson: r r r r r r m n + m n
11 ndstnultà clssc quntstc In qunt mod s possono dsporr prtcll dntc n cll? m x m y m z m x m y m z m x m y m z pr Boltzmnn: 9! m x m y m z m x m y m z m x m y m z Bos Frm m x m y m z m x m y m z m x m y m z 6 mod mod Boltzmnn
12 Sttstc d Frm - Drc m x m y m z m x m y m z m x m y m z S T U m x m y m z m x m y m z m x m y m z prtcll n cll: f cll pn f - cll vuot W lnw ln ln ln + ln α!! + β! ; + ;! α β d lnw d!! α α + β F / k! β B ; T + α + β +
13 Sttstc d Frm Drc lttron n un nd non pn d F / k B T + f F T T K d f F T f F T F / kbt + f F T T >> K
14 l ntrl sull nr d d/ è pr l numro totl d lttron: L nr d Frm F / kbt + 8πV m F / kbt + T K: n 8 p m V F 6 p m / F F 8m n p / smpo: l rm crc un lttron lro pr tomo dnstà d crc 9 /cm numro d mss A6 mol 6 9 n A d mol Av 6 cm cm cm cm / 4p c n 4 V cm 45 F cm 8 p 6 mc 8 5 V 5 V
15 nr d Frm mtllo F V T F K L T F F /k B k B» 9-5 V K - K 4 4 Cu A Au nr md K: < T F / C 5 / F 5 K > F / / F C 5 F <>
16 Sttstc d Bos - nstn m x m y m z m x m y m z m x m y m z S T U m x m y m z m x m y m z m x m y m z prtcll n cll: f n qunt mod s possono mttr - sprtor fr l prtcll tutt l possl prmutzon d + - ott +! W!! ln ln + + ln α + + α β ; β + α + β ; α + β α + / kbt nl contnuo: α + / k T B d d f B T ; f B T α + / k T B dstruzon d B.. funzon d dstruzon d B..
17 r foton non c è l consrvzon d dl numro totl f / k T B trmn d spzo dll fs pr foton: dxdydz dp x dp y dp z 8pV p dp du stt d polrzzzon 8pV c s d foton dstruzon n nr: dn 8p c / k B T f B dn B spttro d corpo nro d ρ ν d ν 8 p ν c ν / k B T nr mv
18 dstruzon n nr scondo Bos lnck: dn / k B T 8p c / k B T confronto fr l sttstc d Bos d Boltzmnn scondo Boltzmnn Wn: dn / kbt 8p / k c B T f B l d Wn dllo spostmnto λ mx T mk 8 dn Bz 6 dn B dρ l d Wn: ν f ν / T ν dν l d yl-jns 4 f Bz nr mv
19 confronto fr l sttstc d Bos d Boltzmnn 8 scondo lnck spttro d corpo nro K 6 4 scondo Wn 4 5 lmd mcron
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