12. Matrici Sistemi Trasformazioni

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1 pput jv Cptolo pg.. Mtrc Sstem Trsformzo. Mtrc: defzo e propretà. Defzoe: Mtrce S dce Mtrce rele del tpo m l seme d m umer rel dspost su m rghe ed coloe come segue: Le scrtture [ k ], ( k ) rghe e coloe. Defzoe: Mtrce rettgolre U mtrce è rettgolre se m ; Defzoe: Mtrce qudrt U mtrce è qudrt se m ; m m m, k co m e k soo mod per dcre u mtrce d m Defzoe: Mtrce NULL U mtrce s dce ull se h tutt gl elemet ugul. L s dc stetcmete che co Defzoe: Mtrc dello stesso tpo Due mtrc e B s dcoo dello stesso tpo se ho lo stesso umero d rghe e d coloe. I due mtrc dello stesso tpo gl elemet d ugul posto s dcoo corrspodet. Defzoe: Mtrc EGULI Due mtrc e B s dcoo egul se ho lo stesso umero d rghe e d coloe e tutte le compoet corrspodet detche. L relzoe d eguglz tr mtrc gode delle propretà Rflessv, Smmetrc se B segue B e Trstv se B e B C segue che C. Defzoe: Mtrce RIG e Mtrce COLONN S dce mtrce (o vettore) rg u mtrce co u uc rg, coè u mtrce del tpo. S dce mtrce (o vettore) colo u mtrce co u uc colo, coè u mtrce del tpo m.

2 pput jv Cptolo pg. Defzoe: Dgole prcple e secodr, elemet cougt d u mtrce qudrt, mtrce smmetrc I u mtrce qudrt gl elemet,,, costtuscoo l dgole prcple, gl elemet,, quell secodr. Gl elemet k e k, co gl stess dc m orde verso s dcoo cougt e loro post soo smmetrc rspetto ll dgole prcple. Se gl elemet cougt soo fr loro ugul, coè se k k, llor l mtrce s dce smmetrc. Defzoe: Mtrce dgole S dce mtrce dgole u mtrce qudrt che h tutt term ull tre quell dell dgole prcple. Defzoe: Mtrce trgolre superore (ferore) S dce mtrce trgolre superore (ferore) u mtrce qudrt che h ull term k se >k ( k se <k) Mt. Trgolre superore Mt. Trgolre ferore Defzoe: Mtrce Idettà (o Utà) L mtrce Idettà è u mtrce qudrt del tpo co tutt gl elemet dell dgole prcple ugul e tutt restt ull.

3 pput jv Cptolo pg. 3 Defzoe: Mtrce Trspost S dce Mtrce trspost d del tpo m e l s dc co T l mtrce otteut dll trsformdo ordtmete le rghe d coloe d T che srà del tpo m m m m T m m m Defzoe: Moltplczoe d u mtrce per uo sclre Dt l mtrce d tpo m e u umero rele r s chm prodotto dell mtrce per lo sclre r l mtrce d tpo m otteut moltplcdo per l rele r gl elemet dell mtrc. r r r [ ] Defzoe: ddzoe d mtrc L mtrce somm d due mtrc e B dello stesso tpo m é u mtrce C del tpo m otteut sommdo gl elemet corrspodet delle due mtrc e B. So e B due mtrc dello stesso tpo m e so r e s due umer rel vlgoo le seguet propretà:. r(s) (rs) 4. (r s) r s. r( B) r rb (r) T r T. Propretà delle mtrc rspetto ll ddzoe L seme delle mtrc del tpo m formo u gruppo commuttvo rspetto ll operzoe d ddzoe. Iftt:. L somm è u legge d composzoe ter;. E ssoctv ( B)C (B C) 3. E commuttv B B 4. H per elemeto eutro l mtrce Null 5. Og mtrce è dott d u oppost otteut d cmdo l sego d tutte le compoet e s dc co ( ) tle che ( ) Vle oltre l legge d semplfczoe: se C B C segue che B Defzoe: Moltplczoe tr mtrc L moltplczoe tr le mtrc e B è possle solo se l umero d coloe dell prm mtrce cocde co l umero d rghe dell secod. I ltr term per poter moltplcre per B deve vere dmesoe m p e B p. Il prodotto è l mtrce C del tpo m otteut moltplcdo term d og rg d co corrspodet term delle coloe d B e sommdo prodott otteut. Per esempo 3 3 k (.. ) (.. ) ( ) (.. ) (.. ) ( )

4 pput jv. Cp Sstem 4. Propretà delle mtrc rspetto ll moltplczoe Nell seme delle mtrc l moltplczoe. è u legge d composzoe ter; se l prm mtrce è del tpo m p e l secod del tpo p, l mtrce prodotto è del tpo m ;. è ssoctv ( * B) * C * (B * C) INOLTRE NON vle l propretà COMMUTTIV * B B* (evdete, se d ord m p e p co m dverso d, m o vle che se le mtrc soo ) NON vle l legge d ullmeto del PRODOTTO * B o segue B B * B 3 4 NON vle l legge d semplfczoe B C * B 4 * C Vle l propretà ( * B) T B T * T Vle l propretà dstrutv sstr del moltplczoe rspetto ll ddzoe *(B C)*B*C Vle l propretà dstrutv destr del moltplczoe rspetto ll ddzoe (B C)*B*C*.3 Determte d u Mtrce qudrt Defzoe: Determte d u mtrce qudrt d og mtrce qudrt è ssocto u umero che s chm determte. Il determte dell mtrce s dc co. Defzoe: More complemetre d u elemeto d u mtrce qudrt S dce more complemetre d u elemeto k d u mtrce qudrt d orde e lo s dc co M k l determte dell mtrce qudrt d orde - che s ottee dll elmdo tutt gl elemet dell rg e dell colo cu pprtee k. 3 3 l more compl. d è M l more compl. d è Μ Defzoe: Complemeto lgerco d u elemeto d u mtrce qudrt S dce complemeto lgerco d u elemeto k d u mtrce qudrt d orde e lo s dc co k l more complemetre M k preceduto dl sego postvo se k è pr, egtvo se dspr. k (-) k.m k

5 pput jv. Cp Sstem 5 Il clcolo del determte può essere defto rcorsvmete el seguete modo: Il determte d u mtrce del tpo è l vlore dell su uc compoete e s dc co k Il determte d u mtrce del tpo lo s ottee come somm de prodott d cscu elemeto d u le qulss, rg o colo, per l rspettvo complemeto lgerco. Il determte d u mtrce dgole o d u mtrce trgolre è ugule l prodotto degl elemet dell dgole prcple. Defzoe: Mtrce SINGOLRE U mtrce co determte ullo s dce sgolre o degeere; vcevers u mtrce co determte o ullo s dce o sgolre o regolre..3. PROPRIETÀ de determt Es.. U mtrce qudrt e l su trspost ho lo stesso determte.. Se u rg (o u colo) d u mtrce qudrt h tutt gl elemet ull l determte è. 3. Scmdo fr loro due rghe (o due coloe) l determte cm d sego 4. Se u mtrce qudrt due rghe o due coloe ho gl elemet proporzol l determte è ullo. 5. Se s moltplco gl elemet d u rg o u colo per u costte rele k, l determte dell mtrce rest moltplcto per k. 6. Il determte d u mtrce o cm se d u le s gguge u le prllel moltplct per u umero k. 7. S B u mtrce dello stesso orde d, l determte d B è ugule l prodotto de determt delle due mtrc e B. 8. L somm de prodott degl elemet d u rg (colo) per complemet lgerc d u rg (colo) dvers vle zero (teorem d Lplce). 9. Se gl elemet d u rg (colo ) soo l somm d due (o pù) dded, l determte dell mtrce è ugule ll somm d due (o pù) determt, che s ottegoo dl determte dto coservdo le ltre rghe (coloe) e sosttuedo quell om (polom) u volt prm dded, u'ltr secod dded (e così v).....

6 pput jv. Cp Sstem 6.3. Mtrc qudrte co determte o ullo L seme delle mtrc qudrte del tpo formo u gruppo o commuttvo rspetto ll operzoe d moltplczoe:. l prodotto d due mtrc del tpo è u legge d composzoe ter;. E ssoctv (*B)*C *(B*C) 3. H per elemeto eutro l mtrce Idettà *I I* 4. Og mtrce co determte o ullo è dott d vers che s dc co - tle che - ** - I Ioltre NON vle l propretà COMMUTTIV NON vle l legge d ullmeto del PRODOTTO Se l determte d C o è ullo vle l legge d semplfczoe: *C B*C segue che B Iftt C - esste, qud *C*C - B*C*C - d cu *IB*I d cu B Vle l propretà (*B) - B - * - Vle l propretà dstrutv sstr dell moltplczoe rspetto ll ddzoe *(BC)*B*C Vle l propretà dstrutv destr dell moltplczoe rspetto ll ddzoe (BC)*B*C* Mtrce vers Defzoe: INVERS d u mtrce qudrt S dce vers d u mtrce qudrt d orde l mtrce qudrt d orde, se esste, - che moltplct destr e sstr per l mtrce dt dà l mtrce dettà. Coè: * - - *I. Teorem: d esstez dell vers d u mtrce qudrt. S dmostr che esste l'vers solo delle mtrc o sgolr l'vers d u mtrce qudrt, se esste, è uc; Dt l mtrce co D l'vers è dt d. dove j è l complemeto lgerco d j D D D D D D. D D D Iftt, per l propretà 8 de determt (Teorem d Lplce), s h:

7 pput jv. Cp Sstem 7 D D D * D D D.. D D D Regol per otteere l mtrce vers dell mtrce vete per determte D.. S determ l trspost d. S sosttusce cscu elemeto co l rspettvo complemeto lgerco dvso per D. D D D D D D. D D D Oppure. S sosttusce cscu elemeto d co l rspettvo complemeto lgerco dvso per D.. S determ l trspost dell mtrce otteut. D D D D D D. D D D D D D. D D D D D D Defzoe: Mtrce ggut S dce mtrce ggut dell qudrt d orde e s dc co. Pertto Ioltre D e ( D D) ( Esempo: 3 [α k ] 3 3 Verfcre eseguedo * - I D ) D D I [α k ]

8 pput jv. Cp Sstem 8.4 Progettre jv l clsse mtrc Sull se delle propretà electe s potree relzzre l seguete clsse: - doule[][] ; Mtrce Mtrce(doule[][] ); Mtrce(doule[], t c); Mtrce(t r, t c, doule m, doule m); Mtrce(t r, t c); tostrg():strg; sum(mtrce ): Mtrce; per(mtrce ): Mtrce; opp() : Mtrce; det() : doule; v() : Mtrce; mco() : Mtrce; Esempo : S desder clcolre l determte d u mtrce qudrt modo rcorsvo Per rcordre le modltà co cu s progett u lgortmo rcorsvo, rpredmo l esempo del fttorle d u umero N. Fttorle rcorsvo: Se N; ft(); (oppure N; ft()); Se N>; ft(n)n*ft(n-); S rport l metodo sttco del fttorle Jv: pulc clss M{ pulc sttc log ft(log ) { f () retur ; else retur *ft(-); Esempo d voczoe log RM.ft(7);

9 pput jv. Cp Sstem 9 Rpredmo l defzoe rcorsv del determte: Se segue det(,) [][]; se > segue det(,) k ( ) [][ k] det( k, ) k dove k è l mtrce che s ottee elmdo l rg e l colo cu pprtee l elemeto d poszoe, k. S doule[][] l ttruto dell clsse Mtrce: pulc doule det() { // metodo dmco dell clsse Mtrce doule d ; f (.legth! [].legth) { System.out.prt("Dm. Illegttm"); System.et(); else f (.legth) d[][] ; else for (t c ; c<.legth; c) f (c%) dd[][c]*(mco(,c)).det(); else dd - [][c]*(mco(,c)).det(); retur d; pulc Mtrce mco(t r, t c) { // resttusce l mtrce cougt d (r,c) ; t R.legth; t C[].legth; doule[][] mew doule[r-][c-]; f (r<r && c<c) { for (t ; <r; ) { for (t j; j<c; j) m[][j][][j]; for (t jc; j<c; j) m[][j-][][j]; for (t r; <R; ) { for (t j; j<c; j) m[-][j][][j]; for (t jc; j<c; j) m[-][j-][][j]; else { System.out.prtl("prmetr llegttm."); System.et(); Mtrce Rsew Mtrce(m); retur Rs; Esempo d voczoe doule[][] {{,3,{, 5; Mtrce Mew Mtrce(); doule DM.det(); System.out.prtl(D);

10 pput jv. Cp Sstem.5 Sstem ler. lcue defzo su sstem U sstem s dce lere se tutte le equzo soo d prmo grdo elle cogte. U sstem lere s dce omogeeo se term ot d tutte le equzo soo ull o omogeeo se l terme oto d lmeo u equzoe è dverso d zero comptle o mpossle se l seme delle soluzo è vuoto comptle se l seme delle soluzo o è vuoto. U sstem comptle può essere determto se mmette u ed u sol soluzoe determto se mmette fte soluzo. Rppresetzoe d u sstem lere co le mtrc. U sstem lere d equzo cogte (). può essere rppresetto trmte le mtrc. X B co mtrce de coeffcet, X vettore colo delle cogte, B vettore colo de term ot. I se ll defzoe dell moltplczoe tr mtrc, l sstem () può essere rppresetto dll equzoe mtrcle: coè, esplctdo, *. *XB () Pertto l scrttur () del sstem è equvlete ll (). Esempo d sstem lere due cogte : y 3 Il sstem (3) può essere scrtto come y 5 * y 3 5, eseguedo l y 3 prodotto s ottee: che cocde co l sstem (3). y 5

11 pput jv. Cp Sstem.5. Rsoluzoe de sstem: metodo dell mtrce vers Se l mtrce de coeffcet o è sgolre, coè se det, llor esste l mtrce vers d e s possoo moltplcre sstr etrm memr dell equzoe mtrcle per - otteedo così l vettore delle soluzo del sstem. I smol: Se qud se * X B * X B I * X * B X * B Pertto segue che l soluzoe X d u sstem lere co determte dell mtrce de coeffcet o ullo, s ottee moltplcdo l vers - per l vettore de term ot B. Esempo L soluzoe del sstem (3) segue: y 3 y 5 cosderto precedez l s può otteere come IK mtrce vers [ α ] d cu [ ] determte d - IK α KI pertto l vettore delle soluzo è [ X ] IK ovvero [ α ] IK 3 * 5. Prolem Progettre e relzzre l clsse Sstem che preved l metodo solivers ( ) per l rsoluzoe de sstem ler d equzo cogte utlzzdo l metodo dell mtrce vers. Costrure u m d prov. Idczo per u prototpo dell clsse Sstem: Sstem MC, MN, MCP: Mtrce; Sstem(doule [][], doule []) Sstem(Mtrce, Mtrce ) tostrg( ):Strg; solivers( ):Mtrce;

12 pput jv. Cp Sstem dove MC è l Mtrce de Coeffcet MN è l Mtrce colo de term Not, MCP è l Mtrce Complet S costrure u metodo per esegure l prodotto d mtrc? Qul è l lgortmo per determre l vers d u mtrce?.5. Rsoluzoe de sstem: metodo d Crmer Teorem d Crmer: Se l determte dell mtrce de coeffcet del sstem è dverso d zero, l sstem mmette u ed u sol soluzoe dt d: D D D.. dove umertor D rppreseto determt che s ottegoo dll mtrce de coeffcet sosttuedo l colo -esm co l colo de term ot B. Cosdermo d uovo l soluzoe X *B dell equzoe *XB; D D D D D D *. D D D dove D è l determte dell mtrce de coeffcet, j è l complemeto lgerco d j ; l vlore d è dto d: D D D ( ) D Poché è l complemeto lgerco d, è l complemeto lgerco d, è l complemeto lgerco d, è lo svluppo del determte: Pertto dove D è l determte dell mtrce de coeffcet, metre l D umertore s h l determte dell mtrce otteut dll mtrce de coeffcet sosttuedo ll prm colo l vettore colo de term ot. Il vlore è dto d:

13 pput jv. Cp Sstem 3 D D D ( ) D Poché è l complemeto lgerco d, è l complemeto lgerco d, è l complemeto lgerco d, è lo svluppo del determte Pertto dove D è l determte dell mtrce de coeffcet, metre l D umertore s h l determte dell mtrce otteut dll mtrce de coeffcet sosttuedo ll secod colo l vettore colo de term ot. I geerle l vlore è dto d: D D D D ( ) Poché è l complemeto lgerco d, è l complemeto lgerco d, è l complemeto lgerco d. è lo svluppo del determte Pertto dove D è l determte dell mtrce de coeffcet, D metre l umertore s h l determte dell mtrce otteut dll mtrce de coeffcet sosttuedo ll -sm colo l vettore colo de term ot. S può qud cocludere che l Metodo d Crmer per rsolvere sstem ler d equzo cogte cocde co l Metodo dell Mtrce vers. Esempo Rsoluzoe del sstem (3) co l metodo d Crmer y 3 y 5

14 pput jv. Cp Sstem 4 D D 3 5 y D 3 5 Prolem Progettre e relzzre u progrmm (co le clss ecessre) che coset d rsolvere sstem ler d equzo cogte utlzzdo l metodo d Crmer. Idczo per u prototpo dell clsse Sstem: Sstem MC, MN, MCP: Mtrce; Sstem(doule [][], doule []) Sstem(Mtrce, Mtrce ) sost( t ):Mtrce crmer( ):Mtrce; solivers( ):Mtrce; tostrg( ):Strg; S costrure u metodo sost che sosttusc u vettore colo d u mtrce co l vettore de term ot B? D seguto è rportto lo svluppo del metodo d Crmer: pulc Mtrce crmer() { t NMC.legth; doule DMC.det(); doule []ew doule[n]; doule drs[]ew doule[n]; // determte dell mtrce de coeffcet // vettore che coterrà le soluzo /* vettore l cu elemeto -smo è l determte dell mtrce M, otteut dll mtrce de coeffcet sosttuedo ll -sm colo l vettore colo de term ot*/ doule tutt; for (t ; <N; ){ Mtrce MMC.sost(); drs[]m.det(); tutttuttmth.s(drs[]); // tutt se e solo se og elemeto d drs è zero f (D!) { for (t ; <N; ) []drs[]/d; else f (tutt) { System.out.prtl( Sstem determto. ); System.et(); else { System.out.prtl( Sstem mpossle. ); System.et(); Mtrce Rew Mtrce(,); retur R;

15 pput jv. Cp Sstem 5 Il seguete spezzoe d m() utlzz le clss Mtrce e Sstem: doule[][] {{,, 3,{,,,{, 4, -; doule[] {4,, ; Sstem Sew Sstem(,); System.out.prtl(S); Mtrce rs.crmer( ); System.out.prtl(r);.5.3 Rsoluzoe del sstem: metodo dell sosttuzoe rtroso Se l sstem è ell form,,,,,,,,,,. e l determte dell mtrce de coeffcet è dverso d zero, pertto co,, s può determre l vlore dell cogt dll ultm equzoe, Sosttuedo l vlore trovto ell peultm equzoe s vrà u equzoe ell cogt - rsolvedo l qule s otterrà l vlore dell cogt -,, Sosttuedo rtroso vlor trovt ell equzoe precedete fo ll prm e rsolvedo m mo le equzo s otterro vlor d tutte le cogte; s vrà così l soluzoe del sstem. Il vlore dell _esm cogt è dto d:,,,, co,,, che può essere che scrtto come k k k,, co,,,

16 pput jv. Cp Sstem Rsoluzoe de sstem: metodo dell mtrce Trgolre Superore (Guss)... Se l sstem dto s resce rcodurre ll form, rportt d seguto, ell qule mc l cogt prtre dll secod equzoe, mc l cogt prtre dll terz equzoe e così v; pertto ell ultm equzoe è presete solo l cogt,..,, () per rsolverlo s può pplcre l metodo dell sosttuzoe rtroso. L mtrce de coeffcet del sstem, rdott ell form (), è trgolre superore. Regol d costruzoe dell mtrce trgolre superore:. S scrve l mtrce de coeffcet e s gguge d ess l colo de term ot. SE s scm l rg co u qulss rg vete l prmo elemeto dverso d ZERO (dl puto d vst umerco covee scmre l rg co quell cu l coeffcete d è mssmo vlore ssoluto). Se tutt gl elemet dell prm colo soo zero l sstem è comptle. 3. S moltplco tutt term dell rg per, s sottre l rg così otteut dll secod e s sosttusce l secod rg co l rsultto otteuto; s ottee: * * * 4. Per redere tutt rmet elemet dell prm colo s rpete l procedmeto descrtto; geerle s moltplc l rg per l terme, s sottre l rg così otteut dll k-esm rg e s sosttusce l k-sm rg co l rsultto otteuto; s ottee: K

17 pput jv. Cp Sstem 7 * * * * * * 5. S rpetoo le operzo () () (3) (4) per l sottomtrce estrtt dll precedete elmdo l prm rg e l prm colo, coè quell che z co e per le sottomtrc successve estrtte co lo stesso crtero dll mtrce cosdert precedez, coè quelle che zo prtre d * kk,otteedo u mtrce trgolre superore. L mtrce complet srà pertto dvett: * * * ** ** 6. S pplc qud l metodo d sosttuzoe rtroso, coè s rcv rtroso per rcvre le ltre cogte. Esempo soluzoe sstem (3) y 3 mtrce complet zle y 5 y mtrce complet fle sosttuedo ell rg s rcv ** ** * e s sosttusce lgortmo: Progettre u progrmm (e le clss ecessre) che rsolv sstem ler utlzzdo l metodo d Guss. Idczo per u prototpo dell clsse Sstem: Sstem MC, MN, MCP: Mtrce; Sstem(doule [][], doule []) Sstem(Mtrce, Mtrce ) sost( t ):Mtrce crmer( ):Mtrce; solivers( ):Mtrce; guss( ):Mtrce; tostrg( ):Strg;. S costrure u metodo per otteere d u mtrce COMPLET (,) u mtrce complet cu l sottomtrce de coeffcet s trgolre superore?. S costrure l metodo d sosttuzoe rtroso? 3. I qule clsse collocre metod trgolguss() e sostrtroso() (MTRICE o SISTEM)?, (?).sostrtroso():mtrce; (?).trgolguss(): Mtrce;

18 pput jv. Cp Sstem Rsoluzoe de sstem: metodo dell mtrce Dgole (Guss-Jord). Regol d dgolzzzoe:. S scrve l mtrce de coeffcet e s gguge d ess l colo de term ot, s h:. SE s scm l rg co u qulss rg vete l prmo elemeto dverso d ZERO (dl puto d vst umerco covee scmre l rg co quell cu l coeffcete d è mssmo vlore ssoluto). S dvde po l rg per ; s h: * * * 3. S moltplco tutt term dell rg per ; l rg così otteut s sottre dll secod e s sosttusce l secod rg co l rsultto otteuto; s h: * * * * * * 4. Per redere tutt rmet elemet dell prm colo s rpete l procedmeto descrtto; geerle s moltplc l rg per l terme k,, s sottre l rg così otteut dll k-esm rg e s sosttusce l k-sm rg co l rsultto otteuto; s h: * * * * * * * * * 5. Se s rcerc ell secod colo, prtre dl terzo elemeto, l rg coteete l elemeto dverso d zero (meglo se s rcerc l rg cotetete l elemeto mssmo vlore ssoluto); s scmo le due rghe. 6. S dvde l secod rg per l terme prtre dl secodo elemeto dell rg (l prmo è ugule zero); s h: * * * ** ** * * * 7. S moltplc l secod rg, prtre dl secodo elemeto, per k, co k, l rg così otteut s sottre dll rg k e s sosttuscoo rsultt otteut ell rg k.

19 pput jv. Cp Sstem 9 8. S rpetoo le operzo (5) (6) (7) per tutt rmet elemet dell mtrce, otteedo u mtrce complet co l sottomtrce de coeffcet dgolzzt. Nell colo s vro così vlor delle cogte, coè l vettore soluzoe del sstem. Esempo soluzoe sstem (3) y 3 y 5 e complet zle ** ** ** 3 5 S dvde l prm rg per (ull cm). S moltplc l rg cos otteut per otteedo ( 3). L s sottre dll secod otteedo 3 S dvde l secod rg per, e s ottee ( ). S moltplc l secod rg per (ull cm). S sottre l secod rg cos otteut ( ) dll prm otteedo ( ). L mtrce complet fle srà I vlor delle cogte soo ell terz colo y. lgortmo: Progettre u progrmm (e le clss ecessre) che rsolv sstem ler utlzzdo l metodo d Guss-Jord. Idczo per u prototpo dell clsse Sstem: Sstem MC, MN, MCP: Mtrce; Sstem(doule [][], doule []) Sstem(Mtrce, Mtrce ) sost( t ):Mtrce crmer( ):Mtrce; solivers( ):Mtrce; guss( ):Mtrce; gussjord ( ): Mtrce; tostrg( ): Strg; s costrure u metodo per dgolzzre u mtrce (,) Successvmete s costrure u metodo per estrrre l colo delle soluzo?) qule clsse collocre metod dgolegussjord( ) e getcol(t ) (MTRICE o SISTEM)? (?).dgolegussjord( ):Mtrce; (?).getcol(t ) : Mtrce;

20 pput jv. Cp Sstem.6 Complesstà d clcolo e stltà de sstem. L complesstà Defzoe : S chm complesstà d clcolo tempo d u lgortmo pplcto dt e lo s dc co O() l umero d operzo che è ecessro esegure perché l lgortmo term. Tle umero deve essere espresso fuzoe d. L complesstà vee dstt complesstà mm (cso mglore) complesstà mssm (cso peggore) e complesstà med (cso medo) Esemp: 9. Se s costrusce u lgortmo d rcerc d u elemeto su u rry d compoet l complesstà tempo srà: mm O() (eseguo solo u operzoe d cofroto se l elemeto cercto è l prmo) mssm O() (eseguo cofrot se l elemeto cercto è l ultmo) med O()/ (se eseguo l rcerc per dstruzo csul vrò medmete / cofrot). Se s costrusce u lgortmo d ordmeto ule sort che s terrompe se dopo - cofrot o ho eseguto scm l complesstà tempo srà: mm O()- cofrot) scm (se dt soo ordt) mssm O()(-)(-) () (cofrot) (-)(-) () (scm) ()(-) crc operzo (se dt soo orde verso) med O()srà u vlore medo m sempre dpedete d (se eseguo l rcerc per dstruzo csul) Cocluso: Gl lgortm co complesstà proporzole oppure *log() soo uo lgortm.se l complesstà d clcolo è proporzole ( ) o superore, l crescere d l tempo d clcolo può dvetre molto peste. Se l lgortmo esegue operzoe rtmetche gl error d rrotodmeto possoo dvetre molto sesl. Metod d soluzoe de sstem e complesstà d clcolo: Il clcolo del determte d u mtrce, fcedo uso dell defzoe rcorsv, h u elevt complesstà (e qud tempo elevto ed error sesl l crescere d ). Operzo Somme prodott *(op_more) Detrmte (-)*3! 3 (3-)33*34 3!6 4 (4-)44*4 63 4!4 5 (5-)55*6334 5! 6 (6-)66* !7 Il metodo dell mtrce vers deve fre cot co l clcolo d molt determt (ecessr per trovre l vers) qud, ssez d metod dvers (pù rpd) per vertre u mtrce, domo soprssedere. Per l complesstà d clcolo è opportuo scrtre che Crmer. E sempre ecessro clcolre determt.

21 pput jv. Cp Sstem L complesstà d clcolo del metodo d Guss è quell preferle. z, co l metodo d Guss s può che trovre l determte d u mtrce ssdo otevolmete l complesstà d clcolo rspetto ll utlzzo dell defzoe rcorsv d determte. Il metodo d Guss-Jord esegue u umero crc doppo d operzo rspetto l metodo d Guss m è molto utle per clcolre l vers d u mtrce perché rduce otevolmete l complesstà d clcolo rspetto ll defzoe mtemtc d vers. L stltà che utlzzdo l metodo d Guss s ottego volte rsultt errt ovvero molto dstt d quell corrett. I quest cs s dce che l sstem è stle. U sstem è stle se h u determte molto prossmo llo ZERO. No sempre s resce d evtre tle stltà che se prte d quest può essere ullt ttrverso metod d Guss e GusJord clcoldo prevetvmete l determte del sstem. Cocluso: Per rgo d complesstà d clcolo s scrt l metodo d Crmer perché è sempre ecessro clcolre determt. Rmgoo ccettl ell orde metod d Guss, Guss-Jord e Ivers (ell ultmo cso solo se s determ - co l metodo d Guss-Jord)..6. Tecc per determre l Mtrce Ivers (metodo d Guss- Jord) Il procedmeto llustrto h l prego d ssre l complesstà d clcolo st ell determzoe dell mtrce vers, che per l defzoe mtemtc, mplc l clcolo d molt determt. Prtedo dll mtrce (3,3) seguete: S procede costruedo l mtrce (3, 6) che cotee destr l mtrce dettà: M Or s oper per otteere sstr l mtrce Idettà, l terme de clcol l mtrce (3,3) d destr coterrà l mtrce vers d quell d prtez. Cclo d Colo (colo uo): - - S f pero su per redere ull tutt gl elemet sotto d esso. operzoe: se fosse ZERO occorre scmre tutt l rg co u rg l cu prmo elemeto s dverso d ZERO. operzoe: s ormlzz l rg uo (R ) dvdedo tutt gl elemet per modo che dveg ( questo cso lo è gà)

22 pput jv. Cp Sstem Cclo d rg: (Secod rg) 3 operzoe: s ottee l uov secod rg( R )R -R * Cclo d rg: (Terz rg) 4 operzoe: s ottee l uov terz rg( R )R -R * Cclo d Colo (colo due): S f pero su per redere ull tutt gl elemet sotto e sopr d esso. operzoe: se fosse ZERO occorre scmre tutt l rg co u rg l cu secodo elemeto s dverso d ZERO. operzoe: s ormlzz l rg due (R ) dvdedo tutt gl elemet per modo che dveg ( questo cso s dvde per ) - - 3/ -/ / - Cclo d rg: (Terz rg) 3 operzoe: s ottee l uov terz rg( R )R -R * - - 3/ -/ / - -

23 pput jv. Cp Sstem 3 Cclo d rg: (Prm rg) 4 operzoe: s ottee l uov prm rg( R )R -R * / / / 3/ -/ / - - Cclo d Colo (colo tre): / / / 3/ -/ / - - S f pero su per redere ull tutt gl elemet sopr d esso. operzoe: se fosse ZERO l determte sree ZERO e l procedmeto FINITO. (NON è possle clcolre l vers d u Determte NULLO) operzoe: s ormlzz l rg tre (R ) dvdedo tutt gl elemet per modo che dveg ( questo cso s dvde per -) / / / 3/ -/ / - Cclo d rg: (Secod rg) 3 operzoe: s ottee l uov secod rg( R )R -R * / / / -/ - 3/ - Cclo d rg: (Prm rg) 4 operzoe: s ottee l uov prm rg( R )R -R * / / -/ - 3/ - S è otteut l mtrce dettà e l procedmeto h terme co l seguete rsultto: 3

24 pput jv. Cp Sstem 4.7 Trsformzo el po Il dgrmm seguete dovree mostrre le relzo che tercorroo tr le trsformzo del po: fftà Smltud Isometre Omotete L FFINIT è l clsse pù geerle delle trsformzo ler el po l equzoe geerle srà: X y c () Y d ey f Propretà: Coserv l prllelsmo ovvero trsform lt prllel lt prllel (es. rettgol prllegrmm) Trsform polgo d lt polgo d lt Trsform crcofereze ellss Delt ed ltrmet o è u trsformzoe d e Delt> fftà DIRETT (Coserv l orde de vertc dell fgur orge-trsformt). Delt< fftà INVERS (Cm l orde de vertc dell fgur trsformt). SF ( ) D Delt e d, ovvero l vlore ssoluto d Delt e d è u umero SF ( ) che rppreset l rpporto tr le ree d fgure corrspodet. S(F) è l superfce dell fgur F trsformt d F ed S(F) e l superfce dell fgur orge F ovvero F(F). Le SIMILITUDINI soo u sottseme delle FFINIT el po, l equzoe geerle d u smltude è X y c X y c S oche S Y y f Y y f Propretà: Coserv prllelsmo, gol e rpporto tr lt. Trsform polgo d lt polgo Sml d lt Trsform crcofereze crcofereze Notre l smmetr de coeffcet e. Delt > Smltude DIRETT

25 pput jv. Cp Sstem 5 Delt < Smltude INVERS SF ( ) D Delt, SF ( ) SF ( ) D Delt, rpporto tr ree corrspodet SF ( ) k k D Rpporto dell smltude drett, o rpporto tr lt corrspodet D Rpporto dell smltude vers, o rpporto tr lt corrspodet Le OMOTETIE soo sottseme delle Smltud m soo trsformzo DIRETTE, l equzoe geerle d u omotet e X k c X k c O oche O Y ky f Y ky f Come per le smltud s vrà che Coserv prllelsmo, gol e rpporto tr lt. c f H sempre u puto uto che è l suo cetro C ; k k Notre l smmetr de coeffcet k e come per le smltud k k Delt k > sempre DIRETT k k SF ( ) D Delt k, rpporto tr ree corrspodet SF ( ) K D k Rpporto d omotet o rpporto tr lt corrspodet Le ISOMETRIE soo u sottseme delle Smltud el po, l equzoe geerle d u sometr è X y c X y c I oche I Y y f Y y f Propretà: Coserv lt e gol. Notre l smmetr de coeffcet e Delt > DIRETT Delt < INVERS SF ( ) D Delt k, le fgure soo cogruet e ho l stess re SF ( ) I prtcolre le TRSLZIONI d vettore (c, f) h equzoe X c T( cf,) Y y f

26 pput jv. Cp Sstem 6 Delt S () > sometr sempre Drett I prtcolre u ROTZIONE d cetro (c, yc) e golo α h equzo: R X cos( α) yse( α) c Y se( α) ycos( α) f Poché l cetro d u rotzoe è u puto uto, se s sosttuscoo le coordte c e y c l posto d e y e d X e Y, s ottee c f y c c ( cosα) ( cosα) y c c seα seα Rsolvedo rspetto c e y c s ottegoo le relzo che esprmoo c e y c fuzoe d α, c, f. ( cosα) ( cosα) ( cosα) ( cosα) c fseα c f cseα y c cos( α) se( α) Delt cos α se α > se( α) cos( α) sometr sempre DIRETT e rotzoe torr se α > I prtcolre le SIMMETRIE ORTOGONLI d ss S X X oche S Y y Y y o( ) o( y ) o y sro Delt S () < Delt S (y) < Sempre Isometre Iverse I prtcolre le SIMMETRIE CENTRLI d cetro (,) sro X Sc (, ) Y y Delt S (y) > Sempre Isometre Drette

27 pput jv. Cp Sstem 7.8 Trsformzo el po come modello pplctvo per le mtrc. Rppresetzoe d u trsformzoe co mtrc. U geerc trsformzoe lere h equzo X y c () co e d Y d ey f d e potree essere rppresett dlle seguet mtrc c d e f B y X C Y mtrce complet de coeffcet, B, C vettor colo delle vrl. Scrtte questo modo NON è possle rppresetre l trsformzoe come prodotto d mtrc. Se vece s rscrvoo le tre mtrc co l ggut d u opportu rg TUTTO fuzo : c X c d e f B y C Y che questo cso d e f e d S ot che, sull se delle propretà dell operzoe prodotto defto sulle mtrc, l trsformzoe () può essere rppresett d X c C*B ftt Y d e f * y () Eseguedo l prodotto destr s h X y c Y d ey f L scrttur del sstem () è equvlete ll () se s stre dll ultm rg Esempo: Trslzoe d vettore (, -) : X (3) Y y ottee: può essere scrtt che X Y * y eseguedo l prodotto s X Y y y che equvle ll (3)

28 pput jv. Cp Sstem 8.8. Come s trsform u puto P(,y) co le mtrc ssegto l puto P(, y) per otteere l suo trsformto co l trsformzoe T, smolcmete s scrve P T(P), è suffcete moltplcte l mtrce T d tpo 3 3 dell trsformzoe co l mtrce colo P d tpo 3. S otterrà u Mtrce 3 che rppreset l puto P. X Esempo: ssegto l puto P(,) e l precedete Trslzoe d vettore (, -) T l Y y loro form equvlete co le mtrc dvee: T P d cu moltplcdo T(P) P ' vedere che P (,-) è l corrspodete d P ell trslzoe. S può fclmete.8. Come s Trsform u Fgur co le mtrc U fgur, dsegle su u pello grfco o su u foglo, può sempre essere rppresett d u polgole (,y ); se l fgur è curvle è suffcete predere segmet molto pccol. Ne segue che, se u puto è u mtrce colo del tpo 3, u polgoo (u fgur) è u mtrce del tpo 3 dove è l umero d put o vertc del polgoo. U rettgolo co lt prllel gl ss e vertce sstro-sso (,) srà rppresett dll mtrce 3 4 seguete: 4 4 F 3 3 L fgur trsformt F d F ell smmetr cetrle d ceto (,) S c(,)

29 pput jv. Cp Sstem 9 l s ottee mmedtmete come prodotto d S c F 3 3 F L Mtrce vers d u trsformzoe e l trsformzoe vers. E oto che l prodotto d u trsformzoe geometrc del po per l corrspodete trsformzoe vers geer l trsformzoe detc. Questo ftto corrspode ll defzoe d vers d u mtrce qudrt ell struttur delle mtrc. Ne cosegue che ssegt l mtrce d u trsformzoe T (del tpo 3 3), utlzzdo l vers dell mtrce, s determ l equzoe dell trsformzoe geometrc vers T - d T. Esempo: S rcorderà scurmete che l vers d u trslzoe d vettore (,-) è l trslzoe d vettore (-, ). T (,-) T - (-, ) Ioltre l vers d u smmetr ortogole d sse è cor l smmetr ortogole stess. S () S - () E fcle verfcre, co semplc clcol che T*T - I ed che che S*S - I.8.4 Composzoe d trsformzo. Se le mtrc qudrte del tpo 3 3 formo u gruppo o commuttvo rspetto l prodotto, e segue che le trsformzo ler del po soo u gruppo o commuttvo. Esempo: verfchmo che l composzoe d due trslzo T e T geer u Trslzoe T3 d vettore pr ll somm vettorle de due vettor compoet.

30 pput jv. Cp Sstem 3 3 T (,) T (,) T (3,3) ftt 3 Verfchmo che che l composzoe d due smmetre ortogol co ss perpedcolr tr loro geer u smmetr cetrle d cetro l tersezoe de due ss. S rcord che u smmetr ortogole d sse h equzoe: X X S () qud che l smmetr ortogole d sse y vle S (y) Y y Y y Se compomo due smmetre, u d sse e l ltre d sse y s vrà: S () S (y) Sc (,) ftt Il rsultto è u smmetr cetrle d cetro (,) che h equzoe X vle S c(,) Y y.8.5 Progettre l soluzoe dell seguete stuzoe prolemtc: Sree desderle relzzre u progrmm che coset d rppresetre Fgure su u sstem d ss Crtes e coset d pplcre lle fgure stesse le Trsformzo geometrche studte vsulzzdole. Relzzre l progetto per fs: ls, dsego e codfc fcedo l cso semplfcto el qule s utlzz come uc trsformzoe u Trslzoe. Successvmete geerlzzre l prolem cercdo d relzzre tutte le trsformzo ote del po. CSI D USO (L utete qul fuzoltà desder?) CLSSI (Qul? Rcordte CHI F CHE COS?) Relzo tr le clss (H UN? E UN?)

31 pput jv. Cp Sstem 3 Ipotes d Soluzoe: CSI D USO Cre_fgur Cre_trsform Trsform_fg Cre_p_ss Dsego Clss : CHI F CHE COS Dseg_fgur -Mtrce ; Clsse : Fgur Fgur(doule [][]) Fgur(doule [],doule y[]) get(): Mtrce; tostrg(): Strg Nell clsse Fgur l ttruto è l oggetto Mtrce costruto prtre d u rry dmesole 3 vete le prme due rghe costtute dlle coordte crtese degl put dell fgur e l ultm rg costtut d tutt. L rry dmesole [ ][ ] ( ) rppreset le coordte crtese degl put dell fgur; gl rry moodmesol [ ] ed y[ ] cotegoo rspettvmete le scsse e le ordte degl put dell fgur. Il metodo get( ) resttusce l vlore dell Mtrce, ttruto prvto dell clsse Fgur. -Mtrce ; Clsse : Trsfor Trsfor(doule, doule, doule c, doule d, doule e, doule f) trsfor(fgur F):Fgur; tostrg(): Strg Nell clsse Trsfor l ttruto è l oggetto Mtrce costruto prtre d u rry dmesole 3 3 vete le prme due rghe costtute d coeffcet delle equzo dell trsformzoe e come ultm rg. Il metodo trsfor(fgur F) pplcto d u Fgur F e vocto co u oggetto dell clsse Trsfor, trsform l Fgur F ell su mmge.

32 pput jv. Cp Sstem 3 Codfc: Comcmo dl m(). Sez usre l clsse SSI pulc clss pro_tr{ pulc sttc vod m(strg rg[]) { Fgur F ew Fgur(..); System.out.prtl(F);// stmp le coordte d F per cotrollo Trslzoe Tew Trslzoe(..); System.out.prtl(T); // stmp l mtrce trslzoe per cotrollo Fgur FT.trsl(F); System.out.prtl(F);// stmp le coordte d F per cotrollo Codfc: Comcmo dl m(). CON l clsse SSI pulc clss pro_tr{ pulc sttc vod m(strg rg[]) { doule f[][]{{,,,,,{,3,3,,; Fgur F ew Fgur(f); ss ew ss();.dseg(f); Trslzoe Tew Trslzoe(-3,); Fgur FT.trsl(F);.dseg(F); Clsse : ss eteds JFrme - t L, H, Xm, Xm, Ym, Ym; - ltro??? ss() ss(t lrg, t lt) ss(t lrg, lt, m, m, ym, ym ) dseg(fgur, Color):vod ds_ss():vod.8.6 Progettre u qulfctore d trsformzo Progettre u progrmm (o metodo d serre u opportu Clsse) che qulfch le trsformzo el seso che ssegt u trsformzoe qulss stlsc se: o è u trsformzoe è u fftà drett/vers è u smltude drett/vers d rpporto k è u omotet d rpporto k e cetro c,yc è u sometr drett/vers (S possoo dstguere? qul?)

33 pput jv. Cp Sstem Trcc per l codce dell clsse ss Suppomo che s desder u pello d defult che mostr gl ss CENTRTI ed evdez u grgl d 5 5 per le X e d 5 5 per le Y come l seguete: L clsse ss: mport jv.swg.*; mport jv.wt.*; pulc clss ss eteds JFrme { prvte Imge IMull; // mmge fuor schermo su cu dsegre prvte Grphcs k; // Oggetto "strtto" sul qule s dseg è ssocto ll mmge IM prvte sttc t L3,H3; // dmesoe pllo grfco d defult prvte sttc t m-5,ym-5, m5, ym5; // estrem ss crtes d defult prvte sttc t UL/(m-m), UyH/(ym-ym); // U, Uy umero d pel per utà crtes prvte t cmth.s(m)*u, ycmth.s(ym)*uy; // c,yc coordte cetro pel // COSTRUTTORE pulc ss(t lrg, t lt, t m, t m, t my, t my) { Llrg; Hlt; mm; mm; ymmy; ymmy; UL/(m-m); UyH/(ym-ym); cmth.s(m)*u; ycmth.s(ym)*uy; setgu(); setevet(); // COSTRUTTORE d DEFULT pulc ss() { setgu(); setevet(); prvte vod setgu() { setbouds(,,l,h); setvsle(true); setreszle(flse); ds_ss();

34 pput jv. Cp Sstem 34 prvte vod setevet() { setdefultcloseoperto(jfrme.exit_on_close); prvte vod ds_ss() { IMcreteImge(L,H); // cttur dl Compoet (ths) pel e l cop IM (mmge fuor schermo) kim.getgrphcs(); // costrusce u oggetto "strtto" grphcs ssocto IM sul qule trccre segmet // Dsego ss dseg_seg(color.blck,k,m,,m,); // sse dseg_seg(color.blck,k,,ym,,ym); // sse y // dsego grgl for (t m; <m; ) f (!) dseg_seg(color.green, k,,ym,,ym); // segm. d grgl delle ut X for (t jym; j<ym; j) f (j!) dseg_seg(color.green,k,m,j,m,j); // segm. d grgl delle ut X rept(); // Rdseg gl ss (l IM) chmdo pt() // FINE COSTRUTTORE pulc vod pt(grphcs g) { GrphcsD g(grphcsd) g; f (IM!ull) g.drwimge(im,,,ths); //ll'vvo IMull o dseg // METODO Pulco DISEGN pulc vod dseg(fgur F, Color C) { Color HCk.getColor(); k.setcolor(c); Mtrce ff.get(); // m serve l mtrce (3,) dell fgur doule Xcrt[](f.get())[]; //serve l rg dell'rry (3,) dell fgur doule Ycrt[](f.get())[]; //serve l rg dell'rry (3,) dell fgur t Nf.getCol(); //N umero d put t []ew t[n]; // [], y[] rry ecessr per dsegre t y[]ew t[n]; // co l metodo drwpolyle() o drwpolygo() for (t ; <N; ){ []trx(xcrt[]); // trsformzoe pel y[]try(ycrt[]); k.drwpolygo(,y,n); // dsego del polgoo chuso drwpolgo() polgole pert drwpolyle() rept(); k.setcolor(hc); prvte vod dseg_seg( Color c, Grphcs g, doule, doule y, doule, doule y) { g.setcolor(c); g.drwle(trx(),try(y),trx(),try(y)); prvte t trx(doule ) { t Xp(t) Mth.roud(c*U); retur Xp; prvte t try( doule y) { t Yp(t) Mth.roud(yc-y*Uy); retur Yp;