2. Indipendenza lineare
|
|
- Ambrogio Papa
- 4 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 Idpedez lere Sere tr l ltro geerlzzre l ostro spzo d prtez R llo spzo R Cosdermo u -pl d ettor {,,, } Defmo l somm d ettor per sclr così Def ) U seme d ettor è detto lermete dpedete (LI) se e solo se l uco modo ffché l somm sopr dt d l ettore ullo è che so ull tutt coeffcet per tutt gl I smbol, se ccde ( ) llor ettor soo LI 75
2 Iftt, se uo de coeffcet o fosse ullo, per esempo S ottee Def Uo spzo ettorle V è -dmesole se mmette l mssmo ettor lermete dpedet ' poedo ' Coè l ettore s scre come combzoe lere degl ltr Teor Dto u seme d ettor lermete dpedet, og ltro ettore V può essere scrtto come u combzoe lere d quest I questo cso gl ettor che rcoproo lo spzo V formo u bse e le compoet dell espsoe d s chmo coeffcet 76
3 Dmostrzoe del teorem precedete Dt sclr e ettor, per defzoe d dp lere d ettor, dee lere l seguete relzoe co qulche derso d : ltrmet, se tutt gl sclr fossero ull, remmo ettor LI uo spzo -dmesole, l che è mpossble per l def I pù è o ullo, perché ltrmet, cus l defzoe d dlere d ettor, (def ), c srebbe qulche sclre ell sommtor derso d, cò che cotrst co l potes che ettor so LI (def Ne segue che, poedo ' ' s h 77
4 Teor I coeffcet dell espsoe d, dt ettor fsst dell bse, soo uc So b per ssurdo due derse espso d Sottredo, s h - ( b) Se o s esse b per tutt gl, gl ettor o srebbero LI, cotro l potes del teorem; tl cso essterebbe ftt uo sclre derso d tr gl sclr - b S ot che questo rsultto d uctà le rspetto u bse fsst, e o cotrddce qud l esprmbltà multpl d uo stesso ettore bs derse st sopr 78
5 Il prossmo cocetto, quello d opertore lere, c serrà specfcre l ozoe d osserble d u sstem qutstco 79
6 Opertor ler su spz ettorl U opertore che gsce su u seme d ettor h u ettore come put e u ettore come output: : V V U opertore è lere se soddsf due ssom seguet: ( w) w () () 8
7 Esemp d opertor ler R Opertore d proezoe P P ' w P proett sull sse, zzerdo l coordt d quluque ettore P w P 8
8 Il cteto rosso d u trg rett è ugule ll poteus per l seo dell golo opposto (quello blu è ugule ll poteus per l coseo dell golo dcete) r se θ θ cos θ 8
9 Le mtrc U mtrce è u geerlzzzoe d u ettore, che è su olt l geerlzzzoe d umero I geerle, u mtrce rghe e coloe è ftt d elemet (qu 4) Il prodotto tr due mtrc e B s effettu rghe per coloe e g s f t e c r b t g c b d ;B e g f h ;B e bg ce dg f bh cf dh 8
10 U opertore d rotzoe R φ mut l oretmeto d u ettore d u golo θ, m lsc ltert l su lughezz No cofodere R φ co u proezoe R θ cos(θ φ) (cosθcosφ sθsφ) cosθ sθ s(θ φ) (sθcosφcosθsφ) θ φ sθ cos θ mtrce R θ ' ' ' cosθ sθ sθ cosθ def cosθ sθ sθ cosθ 84
11 Ne segue che l opertore d rotzoe R θ R corrspode buocmete ll seguete mtrce qudrt R θ cos s θ θ s cos θ θ L corrspodez questoe è geerle: og opertore lere d R è esprmble trmte u mtrce d umer rel e, ceers, u mtrce soddsf le due codzo d u opertore lere 85
12 Opertore d rflessoe ttoro ll sse Eserczo: Trore l mtrce (opertore) corrspodete S b S c d ' S c b ; b d c ; d - S 86
13 Esercz: trore le mtrc corrspodet ll opertore d dettà I, S, P e P Impomo che P c b d S h llor ' c b d {{ b { e b c d c d P 87
14 Prodotto tr opertor (mtrc): scoprmo l o-commutttà c b d ;B e g f h ;B e ce bg dg f cf bh dh No sempre l prodotto tr due opertor è commutto: l commuttore [, B] def B - B può essere derso d zero Per esempo, se θ e θ π R θ P cosθ sθ -sθ cosθ θ P R θ cos sθ -sθ cosθ Il prodotto destr proett sull sse, metre se θ o è o π, per quello sstr 88 questo o è ero
15 Opertore d proezoe P θ su u geerc le L che pss per l orge m ders d e P θ cos θ cosθsθ cosθsθ sθ L L L Perché le l espressoe d cu sopr? (suggermeto: P θ R θ P R θ P θ L θ NB L drezoe torr d rotzoe h per coezoe l sego e gl opertor s pplco dl pù estero l pù tero 89
16 9 Solgmeto dell eserczo precedete s cos s s cos cos s cos cos s s cos cos s s cos s cos cos s s cos cos s s cos ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ PR R P R PR P R
17 Lo spzo delle mtrc è uo spzo ettorle! Poché l ddzoe tr due mtrc (oero, due opertor ler e B) è fclmete defble (l prmo elemeto lto sstr dell mtrce somm C è l somm de due elemet corrspodet delle mtrc ddede e B), e l prodotto d u mtrce per uo sclre obbedsce lle legg ler ste per l struttur d uo spzo ettorle, che lo spzo delle mtrc è uo spzo ettorle lere c b d B e g f h C e c g b d f h () () r t s r t s 9
18 4 utolor e utoettor U ettore o ullo è u utoettore d u opertore co utolore se e solo se I questo cso, l zoe dell opertore sul suo utoettore produce u multplo d (), dto dll moltplczoe d per l utolore sclre 9
19 I ; I è l opertore dettà, co utolore Nel secodo esempo, è u utoettore dell opertore rppresetto d, co utolore I e soo mtrc smmetrche (oero gl elemet fuor dgole soo ugul) No tutt gl opertor ho utoettor Studre gl utoettor d questo opertore : ; (l effetto d è prm d trplcre, po d ruotre d 9 seso torro e po rflettere ttoro ll sse ) 9
20 94 Impossble sulzzre l'mmge L memor del computer potrebbe essere suffcete per prre l'mmge oppure l'mmge potrebbe essere deggt Rre l computer e prre d uoo l fle Se ee sulzzt d uoo l ross, potrebbe essere ecessro elmre l'mmge e serrl d uoo ; h utoettor solo se è tle che (e l utolore ) e gce lugo l bsettrce del prmo qudrte, oppure se gce lugo quell del secodo qudrte (l utolore è -) I geerle, per mtrc smmetrche cosfftte s h: L utolore questo cso è L utolore questo cso è - form u golo d 45 form u golo d 4595
21 S S ' S Qul soo gl utoettor e gl utolor d S? utolore: (per ) e - (per ) Qul quell d R θ? Rsp: per θ, per θ8 L θ9 - o è utoettore d P θ P θ L L L P θ L9 L9 L θ L θ P θ (che proett lugo L θ ) h solo due utolor: e (che è mmssble) e suo utoettor soo tutt lugo 95 L e L9
22 Rssumedo, bbmo tre tp d opertor (Hughes p4) lcu, come R θ (se s eccettu R e R 8 ) geere o ho lcu utoettore (per θ, R Ι e l utolore è metre per θ8 ο l utolore è ) I ltr cs, come per S, P θ e gl utoettor soo su due lee dstte e tr loro ortogol (per le mtrc smmetrche) e bbmo due utolor dstt Per l opertore dettà I e per R 8 tutt ettor dello spzo soo utoettor et l medesmo utolore (rspettmete e -) 96
23 P θ cosθ cosθsθ Esprmmo or questo opertore, che come bbmo sto h utoettor lugo 45 e 5, come somm d ltr due opertor d proezoe, moltplct per relt utolor cosθsθ sθ P 45 P 5 / / / / / / / / cos45s45 s5 - cos5 / / Studmo l opertore P P P45 ( ) 5 P / / / / / / / / / / / / / / / / NB Questo tpo d decomposzoe P P le se e solo se è smmetrco, coè se 97
24 Teorem d decomposzoe spettrle R Se è u opertore smmetrco su R, esstoo due opertor d proezoe P e P che proetto su due drezo mutumete ortogol, e tl che P P Se due utolor soo dstt l decomposzoe d è uc e tutt gl utoettor sto o sull le su cu proett P o su quell su cu proett P co rspett utolor Se due utolor soo ugul, l decomposzoe o è uc, e tutt ettor del po soo utoettor d 98
25 5 Ce su umer compless Importz d estrrre rdc d umer egt: o h soluzo rel: l sstem de rel o è chuso rspetto I umer compless possoo essere deft prtre d coppe ordte d umer rel (,b) S chm umero complesso u copp d umer rel che soddsf queste codzo Uguglz (, b) (c, d) sse c e b d ddzoe (, b) (c, d) (c, bd) Moltplczoe (, b)(c, d) (c-bd, dbc) I (, b), l prm compoete è l prte rele del umero, b è l prte mmgr Le due operzo ste soo commutte, ssocte e dstrbute 99
26 Il umero (,) è l elemeto eutro per l ddzoe, così come (,) è l elemeto eutro per l moltplczoe I umer compless soo u estesoe d quell rel, che soo tutte e sole le coppe dell form (, ), co umero rele qulss, oero le coppe co prte mmgr ull L seme de rel C è u sottoseme d C Il umero (,) è dcto co (,) (,)(,) (-,) (-,) Per esempo: 6 6 ± 6
27 S ot che b b (b,)(,) (, b) Qud (, b) (, )(, b) (, )[(b,)(,)] b Og umero complesso (, b) è esprmble ell form b Po complesso r θ rcosθ z(r cosθ, r sθ) rsθ r modulo del umero z ( ) / Se r, z cosθ sθ e θ (ed pg success)
28 Se z, z * è detto complesso cougto d z zz * ()( ) z modulo qudro d z (z z ) * z * z * Notmo che s - /! 5 /5! - (sluppo sere d McLur) che cos /! 4 /4! - e che e /! /! 4 /4! Sosttuedo θ ell ultmo sluppo, per ettor compless utr (r ) ottemo l seguete, oteole relzoe d Eulero: e θ cosθ sθ che Fem defsce come l formul pù oteole dell mtemtc (Fem Lectures o Phscs, ol, cp ) Per umer compless qulss s h z r e θ
29 Esercz Mettere () / e / ell form b Clcolre l modulo de seguet umer 4 /- Determre umer rel che soddsfo - L prossm ozoe, quell d prodotto sclre, serrà defre l ozoe d probbltà
30 6 Prodotto sclre defto V sopr u cmpo (corpo) complesso F U prodotto sclre, dcto co < u > bse ll otzoe d P Drc, è u fuzoe che ssoc coppe d ettor u, uo sclre e che soddsf seguet tre ssom: () ( solo se ) () u u * () u bw u b u w Il prodotto è lere el secodo ettore 4
31 Utlzzmo () e () per mostrre che l prodotto sclre è tlere el prmo ettore u b w wu b () * ( ) ( ( w u b w ) * * w u * b * w * ( ) * u w b * w Se u Per defzoe, è l orm d u Se llor è ortogole u u u u l ettore è ormlzzto ozo d rcordre (ed p46) 5
32 I R, per due ettor u e s h u-c u u u ; u u u uu u u u u u uu u θ c Poedo u speghmo l dell pg precedete teorem d Ptgor Determmo u umero c tle che < u-c > <u > - c < > > c <u >/ < > Poché c u cosθ > c cosθ u / Ugugldo due lor d c s h cosθ u / <u >/, oero <u > u cosθ; se θπ/, <u > perché cos(π/) (ed l dell pg 6 precedete: due ettor u e soo ortogol)
33 U seme d ettor e, e, e è detto ortoormle sse e e δ δ se ltrmet <u, > ucosθ, doe θ è l golo compreso tr due ettor Se, Pcosθ P P cosθ ()(cos θ cosθ è u probbltà! ) θ P Eserczo: Teedo preset gl ssom, erfcre che ' ' ' * ' 7
34 Se l posto d due qulss, o complr, utlzzmo due ettor ortoorml e, e ettor, s scroo e e e e e ' Il seso del secodo ssom <u/)</u)*, che mplc l tlertà, è dto dll esgez d ere, che V (C), u orm post: og ettore R (C ) è esprm come e e co complesso Se, term soo rel, come de essere per delle orme, metre o soo ecessrmete post per complesso: * * ' e e * ' 8
35 Due teorem solo euct ) L dsuguglz d Schwrz u u I R h u terpretzoe o, se s tolgoo qudrt e s cosder che u u cosθ u ) L dsuguglz trgolre u u I R h u terpretzoe o: l lughezz d u somm d ettor (d u lto d u trgolo) è ferore ll somm degl ltr due lt 9
36 7 L otzoe d Dr c Dt u bse, u ettore V è corrspodez buoc co u -pl d coeffcet compless dt u bse trspoedo e pssdo l cougto complesso ( ) *, *,,,, * ' ' ( *, *) *,,,, * ' ' ' dt u bse
37 ( *, *) *,,,, è defto come br è defto come ket br ket Lo spzo de br è detto dule d quello de ket e c è u corrspodez buoc tr gl elemet corrspodet
38 Vettore colo e ket br e (,,,,,,,) Per u bse ortoormle, s h e *e * Vettore rg Br e ket s corrspodoo come u umero e l suo complesso cougto, e, come sppmo, < > è l complesso cougto d < >, oero < > < >* b * ' '' ''' ''' '' ' c'''' b* ''' c* Iertedo l orde del prodotto sclre e de fttor, cougdo coeffcet compless ottemo l equzoe ggut ll prm
39 Moltplcdo sclrmete etrmb lt per l br s h δ Iftt l ultm sommtor è ders d solo per u lore d, quello ugule Poché l -esm compoete del ettore è dt d rscrmo l prm formul lto sstr sosttuedo l posto dell - esm compoete d l suo lore espresso come prodotto sclre L ultm uguglz dell equzoe qu sopr s gustfc co l ftto che l moltplczoe tr l coeffcete complesso < e l su bse è commutt e s può qud ertre l orde > e
40 * * * Prore trore l ggut dell seguete equzoe ggut Come s ede, l regol è l seguete: s trsform u ket u br e ceers, s erte l orde de fttor (oero s pss l complesso cougto del prodotto sclre), e s cougo gl 4 eetul coeffcet compless, qu sset
41 ESERCIZIO Teorem d Grm-Schmdt:,, Dt u quluque -pl d ettor LI possmo sempre trore ettor ortoorml,,,,, costruedo opportue combzo ler Ide dell dmostrzoe: prm s costruscoo ettor mutumete ortogol ', ',, ' e po s ormlzzo,otteedo >, >, > esempo co ; ; 5 Tre ettor LI ' ; ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' 5
42 I R l proezoe del ettore > su > t >, è u multplo d >, ed è ugule l prodotto sclre tr due ettor < > dso l modulo d > θ t > > > > t > > > Moltplcdo per < t< > < > < > S ot che > > - t > è ortogole > qud t < >/< >, perché < > L proezoe d su, t > ( > < >)/ < > 6
43 7 5 ; ; ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ; ' ' ' ' ' ' ' ' ' Come s ede, > e > soo ortogol 9 ' ' ) ( '
44 ' 5 ( 5) ' / ' ' 9 ' / 5 ' / 5 /5 ' /5 / 5 ' 4/ 5 / 5 / 5 / / ( 4) /5 /5 Normlzzzoe ( > è utro) e (< >) / Verfcre che tre ettor >, > e > soo due due ortogol e che ho orm utr 8
45 lcue osserzo D quest procedur costrutt segue che l mssmo umero d ettor due due ortogol egugl l umero mssmo d ettor LI (prore l sserto erfcdo ztutto che u seme d ettor due due ortogol è LI) Dto uo spzo ettorle V, u sottoseme d suo elemet che formo ess stess uo spzo ettorle s chm sottospzo Deotmo l sottospzo -esmo d dmesoe co V Dt due sottospz V e l loro somm s defsce V m m V V V m k k e cotee tutt gl elemet de due sottospz e delle loro combzo ler I V, l sottospzo costtuto dl po per esempo è dto d V 9
46 Prm d rrre ll ozoe d gguto d u opertore lere, rscrmo lcu opertor ot el lguggo d Drc uo spzo dmeso Itto, opertor ler possoo gre su kets > > o su brs < < Suppomo che l zoe d su > s >! > > l zoe d u opertore lere è completmete determt dll su zoe su ettor d bse Scrmo le compoet dell uo bse fuzoe d quell orgle, oero le proezo de r > su ' '
47 Le compoet del ket trsformto d soo esprmbl term d u mtrce Pomo che s > > ' ' Le compoet dell prm colo dell mtrce soo le proezo del prmo ettore dell bse d sull bse d, oero le compoet del prmo ettore > dell bse d rspetto ll bse orgr > d ; tl compoet (proezo) rsulto dll zoe dell opertore sul prmo ettore dell bse, < > < >, < > < >, etc ' ' '
48 Esempo: s l opertore d rotzoe d 9 grd ttoro ll sse z R(z π/) R(z π/) > > > è l prm colo d R R(z π/) > > - > è l secod colo d R R(z π/) > > è l terz colo d R z π R R R R R R R R R /) R(z Quest ultm mtrce esprme quto detto sopr ; ; > > >
49 Rpetmo l p 5) V V V V V δ δ Pochè < V> sosttumo questo lore ell secod espressoe lto sstr L ultm uguglz s speg perché l prodotto tr lo sclre e l bse è commutto Rpetmo l p 5) u t Impossble sulzzre l'mmge L memor del computer potrebbe essere suffcete per prre l'mmge oppure l'mmge potrebbe essere deggt Rre l computer e prre d uoo l fle Se ee sulzzt d uoo l ross, potrebbe essere ecessro elmre l'mmge e serrl d uoo
50 4 L opertore d dettà form mtrcle è L opertore d proezoe: poché l prm uguglz qu sotto le per og, l oggetto tr pretes è l proettore dettà I I δ P è l proettore per l ket > I P Equzoe d completezz I P P P I
51 P è l compoete d lugo, oero l su proezoe lugo U ettore è qud l somm delle sue proezo lugo drezo Gl opertor P gscoo che su brs * P * PP δ δ P L opertore d proezoe è dempotete (PPP), come due fltr polrzztor co ugule drezoe ello spzo Per l secodo proettore d lo sclre, come due fltr polrzztor ortogol l uo rspetto ll ltro 5
52 6 Scrmo P >< form mtrcle ( ) Metre < > è uo sclre, è u opertore L opertore d proezoe P h solo u elemeto derso d, u sull -esmo elemeto dell dgole Sommdo gl ltr proettor, sppmo che s dee otteere l dettà e ftt l dgole dell mtrce somm srà costtut d tutt P P P I
53 8 L gguto d u opertore Così come u ket (ettore colo) s trsform el br che gl corrspode (ettore rg) co u trsposzoe e cougzoe compless de suo coeffcet, che u opertore è legto modo logo l suo gguto * * Quest eguglz le per defzoe Mostrmo or che l mtrce corrspodete ll gguto d u opertore, oero è l mtrce trspost (scmbo rghe co coloe) e compless cougt d ( ) * * ( ) * ( ) ( ) * 7
54 8 cougdo trspoedo t esempo ( ) B B CB BC (BC) BC C(B) (B)C BC Dm Dll e espressoe segue l Trore l ggut d * B * * * B Rspost
55 Opertor hermt, t-hermt e utr (I MQ prm rppreseto le osserbl) U opertore è hermto se U opertore è t-hermto se Come u umero complesso, u opertore hermto s può screre come u somm d u prte purmete rele e d u purmete mmgr 9
56 Esempo: s u opertore su compless C e u ket Notmo che è u utoettore d co utolore 4, che è u umero rele ()() ( )( ) 4 4 ( )() ()( ) 4( ) * ( T) * Poché è ugule l suo gguto, llor è u opertore hermto, e corrspode e compless u mtrce smmetrc R : suo elemet fuordgole soo l uo l complesso cougto dell ltro, metre gl elemet sull dgole soo rel e, come edremo, ho u somm, che s chm trcc, che è ugule ll somm degl utolor ssoct d
57 Vedmo or perché Gl utolor d u opertore hermto soo umer rel moltplc do scl per etrmb membr Pssmo or ll equzoe ggut, s ottee * * PER DEFINIZIONE DI OPERTORE HERMITINO, e qud le che ; sottredo le due equzo membro membro s h ( *) * è rele perché ugule l suo *
58 Rssumedo, u opertore lere su V s dce hermto se per og e u, s h u u U opertore lere su V s dce d proezoe se è () hermto e () dempotete, oero L seme d proettor P è corrspodez buoc co l seme d sottospz d V su cu r P proetto Dmostrmo or u relzoe estremmete mportte che cotreremo dopo S P u opertore d proezoe; llor le l seguete: P P P demp P hermtctà PP P
59 Esercz: Se e B soo hermt, che cos s può dre d () B; ()BB;()[, B] ; [, B]? L regol per pssre gl ggut è (oltre ertre l orde de fttor) sostture: * () R sì solo se [B] (NB: gg() gguto d ) gg(b) gg(b)gg() (per hermtctà) B geerle derso d B R () sì gg(bb)gg(b)gg(b)gg(b)gg()gg()gg(b)bbbb () gg(b-b)gg(b)gg()- gg()gg(b)b-b -(B-B) t-hermto ()gg([, B]) -(gg(b)-gg(b))- (gg(b)gg()- gg()gg(b)) -(B-B) - B B (B-B) [, B] oero [,B] è ugule l suo gguto e qud è hermto
60 Opertor utr U opertore U è utro se UU I Quest equzoe c dce che U e U soo l uo l erso dell ltro Poché s dmostr che qudo u opertore h u erso le - - I che per U s h U U I log umer compless utr, u e θ per qul le uu* e θ e -θ e Eserczo: Mostrre che l prodotto d opertor utr è utro 4
61 So U e U due opertor utr llor UU I U U e U U I U U Dobbmo dmostrre che UU (UU ) I Poché s h (UU ) U U (p68), UU (UU ) U U U U M dto che U è utro, possmo screre U U I e s h UU (UU ) U I U U U I, doe l peultm uguglz le perché I U U (I è l opertore dettà) Gl opertor utr presero l prodotto sclre tr ettor su qul gscoo ' ' U U ' U ' UU U 5
62 Gl opertor utr soo qud u geerlzzzoe V (C) degl opertor d rotzoe R, qul ultm presero l lughezz de ettor e l prodotto sclre Poché l mtrce che esprme l gguto d u opertore è l cougt dell mtrce trspost, el cso d u cmpo rele come R l prte mmgr d og umero è ull e l ers d U, che è U è semplcemete l su trspost: U U T (rcordmo che qudo spz rel R T I, s dce mtrce ortogole) Teorem: Le coloe e le rghe d mtrc utre U, se ste come compoet d ettor, soo ortoorml (ortog e d orm ) Dm poché () l colo -esm dell mtrce che rppreset U è l mmge del ettore d bse > dopo l pplczoe d U, e () og ettore dell bse è ortogole gl ltr, e () U preser l prodotto sclre de ettor su cu gsce, llor che l colo dell mtrce che rppreset U srà ortogole ll colo Or cosdermo che le coloe dell mtrce U, che è esso stesso corrspodete u rotzoe, soo, prte u fttore d cougzoe compless, le rghe d U: poché bbmo gà dmostrto che le coloe d ettor d rotzoe come U soo ortogol, lo sro che le rghe d U QED 6
63 U dmostrzoe ltert del teorem precedete Le due potes soo U U I ; I k k k Rcord l Eq d completezz p 6 δ I U U U IU U kuk Uk* Uk k U k ku k k l rre dell dce d rg k d, per derso d l colo -esm e quell -esm possoo essere peste come le coordte d due ders ettor colo u e che formo l mtrce U Per l loro ortogoltà, bst mostrre che l prodotto sclre tr due ettor <u > è ullo; oero che le somme Σ k u k * k de prodott delle cougte complesse delle compoet d u k U k * per le compoet d k U k è, propro come ee sopr Per, moltplchmo sclrmete l ettore colo per sé stesso (Σ k u k *u k ), determdo qud l modulo qudrto del ettore u; m poché, per come è defto δ tle prodotto dee lere, l ettore questoe è ormlzzto I ettor colo dell mtrce U soo duque ortoorml Per le rghe, bst utlzzre l ltr relzoe UU I per derso d
64 ssumere che () det det (b) det (B) det det B det c b d d cb Eserczo: Prore che l determte ( det ) d u mtrce utr è u umero complesso d modulo utro Verfcre che queste due mtrc soo utre, che l loro determte è dell form e θ e edere se soo hermte / L trcc d u mtrce è, come l fuzoe determte, u fuzoe che ssoc d uo sclre L trcc, deott co Tr, è ugule ll somm degl elemet dgol dell mtrce stess: Tr( ) 8
65 Mostrre che ) Tr (B) Tr (B) Esercz ) Tr(BC) Tr(BC)Tr(CB) ) L trcc d u opertore è rte per cmbo utro d bse > U>; ltertmete, mostrre che Tr()Tr(U U) 4) Mostrre lo stesso per u determte Det()Det(U U), oero che l determte d u mtrce è rte per cmbo d bse utro 9
66 9 Equzoe crtterstc per mtrc fte Se è u trsformzoe lere (u opertore lere dello spzo V), l equzoe gl utolor () può (portdo sstr del sego d l terme e ggugedo l opertore dettà), scrers ell form ( - I )() Trore le soluzo d quest equzoe è equlete trore gl utoettor e gl utolor d u opertore lere qulss S può dmostrre che quest equzoe h soluzo derse dll utoettore se e solo se l mtrce - I o è ertble, oero se o esste u mtrce ers (-I) - tle che -I per l su ers s l dettà I L o ertbltà, su olt, è equlete ll seguete codzoe sul determte dell mtrce d cu sopr (s ed T postol, Geometr, ol, p, oppure Lg, p ) det (- I) 4
67 4 det det det det Esempo d determzoe d utoettor d u opertore : Impomo che det (-I) L ultm sommtor s ottee clcoldo l determte d -I come dcto ell prm rg: l polomo che e rsult, detto crtterstco, è d grdo pr ll dmesoe dello spzo cu è defto l opertore Il polomo crtterstco è u equzoe d grdo che h come soluzo o rdc propro gl utolor d I ssez d degeerzoe (oero qudo o s erfc che uo stesso utolore s ssocto d utoettor dstt) gl utolor soo tt qut le rdc dell equzoe det det c
68 Per og opertore hermto V esste lmeo u bse d ettor ortoorml I quest utobse l opertore è dgole e h come elemet dgol propro gl utolor dell opertore ffrotmo prm l cso (o degeere) cu tutt gl utolor soo dstt Dto l opertore hermto, scrmo prm l equzoe crtterstc det ( - I ) >, rcorddoc che l clcolo del determte c forsce l polomo crtterstco gà trodotto: Σ c Tle polomo, grze l teorem fodmetle dell lgebr, h lmeo u rdce, oero u utolore, chmmolo I corrspodez tle utolore, dee esstere u utoettore o ullo >, perché ltrmet l mtrce ( - I ) srebbe ertble e cò è escluso dll potes che l suo determte s ullo (ed l presetzoe sull equzoe crtterstc) Predmo desso cosderzoe l sottospzo V - _ costtuto d ettor tutt ortogol > e sceglmo u bse costtut dll utoettore ormlzzto > e d ltr - ettor ortoorml scelt el sottospzo V - _ ; quest bse l opertore h l form seguete: 4
69 L mmge del ettore > dopo che esso pplchmo è l prm colo, che h tutt zer sotto l utolore perché le sue compoet rspetto gl ltr ettor dell bse del sottospzo ortogole > soo ulle: < > < > e cò per l potes d ortogoltà Lo stesso dcs per l prm rg, dto che è hermto, coè ( T )*, coscché l prm colo è ugule ll prm rg prte Prtedo d det(-i), che mplc l uo equzoe crtterstc è ( - ) det(mtrce el bo), oero c ( ) c NB: Gl ltr term corrspodet ll equzoe lto p 8 soo ftt tutt ull perché l prm rg e l prm colo soo ull tre Dto che l polomo d grdo - dee su olt geerre u rdce e u utoettore ormlzzto > per le rgo gà ste proposto d, s può defre l sottospzo V -_ cu ettor soo tutt ortogol > Iterdo l procedur per > fo s ottee l seguete mtrce: c 4
70 Come s ede l mtrce che esprme l opertore hermto è dgolzzt (tutt tre sull dgole, doe tromo tutt gl utolor d ) C può essere pù d u bse che dgolzz, e questo ccde qudo c è degeerzoe Suppomo che per due ders ettor ortoorml e ; llor s h: ; [ α β ] α β [ α β ] Poché soo ortogol, ess geero u sottospzo bdmesole chmto utospzo cu elemet soo tutt utoettor d co lo stesso utolore Quluque copp d ettor otteut d u rotzoe rgd d soo u possble utobse per : el cso degeere bbmo duque u ftà d bs ortoorml Se l polomo crtterstco h u rdce d molteplctà m, l dmesoe del sottospzo l cu uco utolore è srà dt propro d m 44
71 45 Vedmo or l cso degeere co u esempo, cu bbmo u opertore hermto qulche bse dt Determmo l equzoe crtterstc mpoedo ( ),, ) ( ] )[ ( )] ( [ ] ) )( )[( ( det I Per determre l utoettore corrspodete d, dobbmo determre u equzoe che c s utle llo scopo
72 46 Scrmo l ultm relzoe u bse, moltplcdo per < e rcorddo che l dettà I s può decomporre I Σ > < ( ) I Sosttumo or ell espressoe del bo rosso lor dell esempo precedete per determre l utoettore d coordte (,, z), corrspodet ll utolore z z z z z Quluque ettore co z- bee e dt l lbertà d scl, sceglmo ; se moltplchmo per u ettore orm, bee lo stesso ( ) ( ) ) )( ( δ I
73 Per le ltre due rdc (utolor) cocdet,, s ottee u uc equzoe, come coseguez dell degeerzoe S troo per eserczo le tre seguet codzo seguedo l flsrg dell esempo precedete: z z Le codzo z e rbtrro () defscoo u seme d ettor che è ortogole l prmo utoettore > gà troto, e che gccoo u po ortogole l prmo ettore gà troto > Scegledo per l prmo utoettore corrspodete d ( o poe lcu codzoe), z e ormlzzdo, s h ' 6 Il terzo ettore è scelto modo che s ortogole l secodo Og dstt scelt dell frzoe /z c dà coppe dstte d utoettor co l medesmo utolore 47
74 48 Teorem: (Metre) gl utolor (d u opertore hermto soo rel, quell) d u opertore utro U soo umer compless d modulo, e suo utoettor soo mutumete ortogol ssummo dpprm che o c s degeerzoe (utolor tutt dstt): ggut U U U * Moltplchmo sclrmete l ggut dell secod equzoe per l prm ) * ( * * I U U * ) ( Poché gl utolor soo tutt dstt, e og utoettore è derso dl ettore ullo, bbmo due cs )
75 ) cso ( ) Moltplco etrmb membr per * ( ) ( ( )) * * * ( * ) * Se U è degeere, per l teorem p 76 (che fferm che le coloe e le rghe d mtrc utre U, se ste come compoet d ettor, soo ortoorml), e rpetedo l dmostrzoe p 8-8, l somm de modul qudr degl elemet d og rg dee dre (ortoormltà de ettor rg); se sceglmo l prmo utoettore co orm utr, tutt gl ltr elemet dell prm rg soo ull Iterdo l procedur per le ltre rghe s ottee l coclusoe 49
76 Dgolzzzoe d mtrc hermte grze cmbmet utr dell bse Cosdermo u bse ortogole per u opertore hermto V,,,, quest bse possmo sempre pplcre u trsformzoe U tle che per og ettore ortoormle > c d propro l bse (utobse) > U >, che è quell che dgolzz l mtrce Tle trsformzoe U, preserdo gl gol, srà utr, e d bs ortoorml port bs ortoorml Ne segue che per og hermto esste u mtrce utr U tle che U U è dgole Trore u bse che dgolzz equle duque rsolere l problem degl utolor, coè trore possbl lor delle osserbl d u sstem 5
77 5 Eserczo () Trore gl utolor e gl utoettor ormlzzt dell opertore ; ) stblre se l mtrce è hermt e se ) suo utoettor soo ortogol 4 () det (-I) ()determmo l utoettore No c soo codzo sull prm compoete, metre le ltre due soo ulle Sceglmo qud, z 4 ) det z z z z z z z I ( - w 4 ; ; )] )(4 )[( ( 4 ) - det I (
78 5 5 z z z z z 5 Normlzzmo due ettor dededol per l rspetto modulo w 4 ) det z z I ( ) det z z I ( - 9 w z
79 4 No è smmetrc e duque o è hermt, dto che l trspost d o è detc d w ( z ) w z No le l ortogoltà ()Cosderdo l seguete mtrce B, stblre se è hermt, trore suo utolor e utoettor e chmdo U l mtrce d utoettor d B, erfcre che U BU è dgole B cosφ sϕ sϕ cosϕ () Verfcre che C è utr, mostrre che suo utolor soo d modulo (e φ e -φ ) e trore suo utoettor, mostrdo che soo ortogol Verfcre che U BU è dgole, poedo U ugule ll mtrce degl utoettor d C C 5
80 Teorem: Se e B soo due opertor hermt commutt, esste lmeo u bse d utoettor comu che l dgolzz etrmb Dmostrmo solo l cso cu lmeo uo de due opertor (per es ) s o degeere (per og utolore c è u solo utoettore ) Per u dmostrzoe cu etrmb soo degeer, ed R Shkr, pp48-5 B B( ) B [,B] B - B (B ) B (B ) Ne segue che B >è u utoettore d co utolore Poché dgl esercz sppmo che gl utoettor soo ddut meo u fttore d scl b, s può screre: B b Questo mostr che > è che u utoettore d B co utolore b ; poché og utoettore d è che u utoettore d B, ed esste u uc bse per (perché è o-degeere), llor l bse 54 > dgolzzerà etrmb gl opertor
Dispense per il corso di Filosofia della Fisica (parte I)
Dspese per l corso d Flosof dell Fsc (prte I) Muro Dorto, Dprtmeto d Flosof, Uerstà d Rom NB Le ote che seguoo soo per uso strettmete ddttco. S preg qud d o fr crcolre l mterle che segue e d o usrlo per
DettagliSistemi lineari: generalità
Sstem ler: geerltà Prolem: rsolvere u sstem lere d grd dmeso N, I form comptt: A B M M M M A [ ] R vettore de coeffcet B [ ] R vettore de term ot [ ] R vettore delle cogte Sstem ler: soluzoe Teorem Rouché-pell):
DettagliE definito prodotto di due cracoviani W V un cracoviano A il cui generico elemento vale
Rsoluzoe de sstem ler co l metodo d Bchewcz U semplce e effcete metodo per rsolvere sstem d equzo ler è quello recetemete proposto d Bchewcz che cosete d rsolvere sstem geerc smmetrc e o smmetrc che sez
DettagliSistemi lineari: generalità
Sstem ler: geerltà Problem: rsolvere u sstem lere d grd dmeso N b b L L b, b b L M M M M I form comptt: b I form comptt: A [ ] R vettore de coeffcet B AX B [ b ] R vettore de term ot X [ ] R vettore delle
DettagliVARIABILI ALEATORIE (v.a.) DISCRETE
Corso d Sttstc, Lure Ecoom Azedle, Uverstà C. Ctteo, Cstellz, 7 Ottobre 008. 008 R. D Agò VARIABILI ALEATORIE: SIMBOLOGIA, DEFINIIONI, PROPRIETA VARIABILI ALEATORIE (v.. DISCRETE pgg. -3 VARIABILI ALEATORIE
DettagliINFORMATICA 3 LEZIONE 10 FONDAMENTI DI MATEMATICA
INFORMATICA 3 LEZIONE FONDAMENTI DI MATEMATICA Isem e relzo Iseme: collezo d membr o elemet dstt d u tpo d bse. U membro può essere u elemeto prmtvo d u tpo d bse oppure u seme. U seme o cotee elemet duplct.
DettagliLezione 8. Risultanti e discriminanti.
Lezoe 8 Prerequst: Rdc d polo Cp d spezzeto Lezoe 5 Rsultt e dscrt I quest sezoe studo crter eettv per stlre qudo due polo coecet u cpo ho rdc cou S F u cpo Proposzoe 8 I polo o ull, ] ho u rdce coue u
DettagliVETTORI. Prodotto di un vettore per un numero reale. Dati il numero reale λ e il vettore x ), il prodotto λ x è definito ponendo:
VETTORI S dce vettore u eupl ordt d uer rel U vettore s rppreset coe colo o coe rg:, ( ) L see d tutt vettor co copoet rel s dc co R Nell'see R s possoo defre le seguet operzo Prodotto d u vettore per
DettagliIntegrazione numerica
Cludo Esttco cludo.esttco@usur.t Itegrzoe umerc Itegrzoe Numerc Itegrzoe umerc Formule d qudrtur. Grdo d esttezz. 3 Metodo de coecet determt. 4 Formule d Newto-Cotes semplc. Formule d Newto-Cotes composte.
DettagliCalcolo numerico 2. Analisi matriciale: le Fattorizzazioni UNIVERSITA DEGLI STUDI DI CAGLIARI FACOLTA DI INGEGNERIA
UNIVERSIT DEGI STUDI DI CGIRI FCT DI INGEGNERI Corso d ure Igeger Elettroc Clcolo umerco Prof. Guseppe Rodrguez ls mtrcle: le Fttorzzzo cur d: ur rcs 3794 Rt Perr 38796 o ccdemco 8/9 Idce Rsoluzoe d sstem
DettagliPROBLEMI DI TRASPORTO
Metod e modell per l supporto lle decso Prof Ferddo Pezzell - Ig Lug De Gov PROBLEMI DI TRSPORTO OFFERT IMPINTI UTENTI DOMND ( ) (org) (destzo) ( b ) (5) (8) (2) 2 2 (2) (3) 3 3 (9) 4 (9) c COSTO UNITRIO
DettagliAPPUNTI DI CALCOLO NUMERICO
PPUNTI DI CLCOLO NUMERICO Rchm d lger lere Sstem ler Cosdermo mtrc qudrte U mtrce s dce dgole se se j U mtrce s dce trgolre superore se se > j U mtrce s dce trgolre ferore se se < j U mtrce D s dce dgole
DettagliCalcolo di autovalori
lcolo d utolor Dt l trce deterre l uero e ettore o ullo tl che l l utolore utoettore Esepo 9 9 b 8 b 8 b geerle o è ultplo d. Se però oero c soo due dreo lugo le qul fuo coe se fosse oltplcto per uo sclre.
DettagliVALORI MEDI (continua da Lezione 5)
VALORI MEDI (cotu d Lezoe 5) Dott.ss Pol Vcrd 6. L ed rtetc è lere coè è vrte per trsforzo ler de dt. S u dstrbuzoe utr d ed A. Effettuo u trsforzoe lere delle osservzo coè b c d dove c e d soo due costt
Dettagli1 Matrici. 1. Generalità.
rc.. Geerlà. D m e, umer er posv s dce mrce d m rghe e d coloe, o mrce d po ( m,, d eleme rel u seme d m umer rel ) ( =,,..., m;,,..., ) dspos secodo l seguee bell regolre Gl m umer rel Nell'elemeo = m
DettagliZeri e radici di equazioni non lineari e sistemi di equazioni non lineari
Zer e rdc d equzo o ler e sstem d equzo o ler Equzo o ler: geerltà Prolem: rcvre le rdc o zer d u uzoe evetulmete o lere e/o trscedete coè trovre quel o que vlor tle che: Se l soluzoe o è esprmle orm chus
DettagliCon una rappresentazione parametrica, una curva c è data come una funzione a valori vettoriali di un singolo parametro reale:
Co u rppresetzoe prmetrc, u curv c è dt come u fuzoe vlor vettorl d u sgolo prmetro rele: c : D R E t.c. c( u o ( x ( u... x ( u I cu o è l orge del rfermeto, D geere cocde co l tervllo [,] e x soo le
DettagliSuccessioni. (0, a 0 ), (1, a 1 ), (2, a 2 ),...
Successioi U successioe di umeri reli e u legge che ssoci ogi umero turle = 0, 1, 2, u umero rele, i breve: e u fuzioe N R, Puo essere rppresett co l isieme delle coppie ordite (0, 0 ), (1, 1 ), (2, 2
Dettagli( ) ( ) ( ) Equazioni non lineari: generalità
Equzo o ler: geerltà Prolem: rcvre le rdc o zer d u uzoe evetulmete o lere e/o trscedete coè trovre quel o que vlor tle che: Se l soluzoe o è esprmle orm chus l prolem può essere rsolto umercmete Molteplctà
DettagliEsercizi 12/10/2007. oppure B 0. In modo del tutto analogo AB 0 se e solo se. oppure B 0 B 0. Studio del segno di una disequazione polinomiale.
Esercz 2/0/2007 Dsequazo Sego d u prodotto. Voglamo studare l sego d u prodotto d due umer real. I altr term vedere qual soo le codzo affché due umer real A e B soddsfo AB 0. Ragoamo come segue: rcoducamo
DettagliUn quadro della situazione. Lezione 5 Aritmetica in virgola mobile (1) Dove siamo nel corso. Un ripasso. Dove siamo. Dove stiamo andando..
U qudro dell stuzoe Lezoe 5 Artmetc vrgol moble () Vttoro Scro Archtettur Corso d Lure Iformtc Uverstà degl Stud d Slero Iput/Output Sstem d Itercoessoe Regstr Cetrl Processg Ut Memor Prcple Itercoessoe
DettagliCorso di Matematica - Algebra. Algebra
Corso d Mtemtc - Alger Alger Oerzo Algerche Tell de Seg Proretà Algerche delle Oerzo Somm e d Prodotto tr Numer Assoctvtà dell dvsoe Uguglze Pssgg lgerc Regole memoche Prodotto croce Rduzoe Fttor Rduzoe
DettagliUn quadro della situazione. Lezione 5 Aritmetica in virgola mobile (1) Dove siamo nel corso. Un ripasso. Dove siamo. Dove stiamo andando..
U qudro dell stuzoe Lezoe 5 Artmetc vrgol moble () Vttoro Scro Archtettur Corso d Lure Iformtc Uverstà degl Stud d Slero Iput/Output Sstem d Itercoessoe Regstr Cetrl Processg Ut Memor Prcple Itercoessoe
DettagliFormule di Integrazione Numerica
Formule d Itegrzoe Numerc Itegrzoe umerc: geerltà Prolem: vlutre l tegrle deto: I d F F utlzzo opportue tecce umerce qudo: l prmtv d o e esprmle orm cus d esempo s/, ep- ; dcoltà el clcolre ltcmete l prmtv
DettagliIntegrazione di funzioni
tegrzoe d uzo l prolem dell tegrzoe umerc d u uzoe cosste el clcolre l vlore dell tegrle deto d prtre d umeros vlor dell uzoe tegrd l clcolo umerco d u tegrle semplce v sotto l ome d qudrtur meccc quello
DettagliFunzioni di più variabili Massimi e Minimi una funzione definita in un insieme E. Un punto ( x0, y0)
Massm e Mm Fuzo d pù varabl Massm e Mm Dezoe: Sa z = (, ) ua uzoe deta u seme E U puto (, E s dce puto d massmo (rsp mmo) relatvo per (, ) se esste δ > tale che ((, ) B((, ), δ ) E (, ) (, ) (rsp (, )
DettagliVariabili Aleatorie vettoriali
Vrbl letore vettorl Vrbl letore vettorl Vrbl letore vettorl: Itroduzoe Vrbl letore dpedet Idc d poszoe per V vettorl rsorzo d V vettorl Idc d dspersoe: Moet Mtrce d Covrz Propzoe dell Covrz V.. VORILI
DettagliUniversità della Calabria
Uverstà dell Clbr FACOLTA DI INGEGNERIA Corso d Lure Igeger Cvle CORSO DI IDROLOGIA N.O. Prof. Psqule Versce SCHEDA DIDATTICA N 0 ISOIETE E TOPOIETI A.A. 200- ISOIETE Il metodo delle soete, o lee d ugule
DettagliI vettori. Grandezze scalari: Grandezze vettoriali
Grndee sclr: I ettor engono defnte dl loro lore numerco esemp: lunghe d un segmento, re d un fgur pn, tempertur d un corpo, ecc. Grndee ettorl engono defnte, oltre che dl loro lore numerco, d un dreone
DettagliUNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI BARI CATTEDRA DI MATEMATICA PER L'ECONOMIA DIPARTIMENTO DI SCIENZE ECONOMICHE E METODI MATEMATICI
FASCICOLO FUORI COMMERCIO DISTRIBUITO GRATUITAMENTE AGLI STUDENTI DEL CORSO DI MATEMATICA PER L'ECONOMIA ANNO ACCADEMICO 008-009 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI BARI CATTEDRA DI MATEMATICA PER L'ECONOMIA DIPARTIMENTO
DettagliIntegrazione numerica
Itegrzoe uerc (/5 Prole: Clcolre l seguete tegrle Itegrzoe uerc ( d co e costt rel e ( uzoe cotu. (cotu Itegrzoe uerc (/5 Itegrzoe uerc (/5 No sepre è possle trovre or esplct l prtv. Ache el cso cu l s
DettagliLezione 3. Gruppi risolubili.
Lezoe 3 Prerequst: Lezo 1 2 Class d cougo e cetralzzat rupp rsolubl I questo captolo troducamo ua ozoe che come vedremo seguto fuge da raccordo tra la teora de grupp e la teora de camp Defzoe 31 Dato u
DettagliANALISI DELLA REGRESSIONE ANALISI BIVARIATA DELLA REGRESSIONE
ANALII DELLA REGREIONE L Al dell Regreoe rgurd lo tudo delle relzo etet r o pù crtter qutttv o vrl. L rcerc de legm etet r pù vrl poe come rcerc delle relzo uzol che pogoo come grdezz dpedete d u ere d
DettagliUNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI BARI CATTEDRA DI MATEMATICA PER L'ECONOMIA DIPARTIMENTO DI SCIENZE ECONOMICHE E METODI MATEMATICI
FASCICOLO FUORI COMMERCIO DISTRIBUITO GRATUITAMENTE AGLI STUDENTI DEL CORSO DI MATEMATICA PER L'ECONOMIA ANNO ACCADEMICO 0-0 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI BARI CATTEDRA DI MATEMATICA PER L'ECONOMIA DIPARTIMENTO
DettagliApprossimazione di dati e funzioni: generalità
Arossmzoe d dt e uzo: geertà Probem: rossmzoe d u uzoe : ot g { } vor che uzoe ssume e ut { } s vuoe otteere u rresetzoe tc de uzoe u tervo [b] geere coteete g { }; esressoe tc de è ot m comct er e oerzo
DettagliIntegrazione numerica
tegrzoe umer Formule d Newto-Cotes Trpez Smpso Puto medo Composte Formule d Guss Sere Morg Dprtmeto Mtemt Uverstà d Bolog tegrzoe umer PROBLEMA: S u uzoe det sull tervllo [,], d u soo ot vlor u seme to
DettagliSistemi e Tecnologie della Comunicazione
Sstm olog dll Comuzo Complmt : sr trsformt d Fourr Formul d prostfrs L formul d prostfrs sprmoo l vlor d so o d somm d gol prodott d s d gol gol, vvrs: ( α β ) ( α ) ( β ) ( α ) ( β ) ( α β ) ( α ) ( β
DettagliDerivazione numerica. Derivazione numerica (II) Derivazione numerica (III) Introduzione al calcolo numerico
F. Amroso/E. Vrc Corso d ormtc A.A. -5 troduzoe l clcolo umerco Dervzoe terzoe Soluzoe d equzo F. Amroso/E. Vrc Corso d ormtc A.A. -5 Dervzoe umerc l clcolo dell dervt d u uzoe u puto mplc u processo l
DettagliI vettori. Grandezze scalari: Grandezze ve9oriali
I ettor Grndee sclr: engono defnte dl loro lore numerco esemp: lunghe d un segmento, re d un fgur pn, tempertur d un corpo, ecc. Grndee e9orl engono defnte, oltre che dl loro lore numerco, d un dreone
DettagliAlgebra di Boole Forme normali P ed S
Corso d Cloltor Elettro I A.A. 0-03 Alger d Boole Forme orml ed rof. Roerto Coo Uverstà degl tud d Npol Federo II Dprtmeto d Igeger Elettr e delle Teologe dell Iformzoe Corso d Lure Igeger Iformt (llev
DettagliAlgebra di Boole Forme normali P ed S. Variabili e funzioni booleane
3/03/0 Corso d Cloltor Elettro I A.A. 0-0 Alger d Boole Forme orml ed Lezoe 6 rof. Roerto Coo Uverstà degl tud d Npol Federo II Foltà d Igeger Corso d Lure Igeger Iformt (llev A-DA) Corso d Lure Igeger
DettagliSi definisce prodotto di A e B la matrice data da:
MRICI Ua matrce Mat(m,) è ua tabella ordata d umer dspost m rghe ed coloe. Idchamo co aj l'elemeto d posto j che può essere reale o complesso. Operazo d matrc: ) (α)j α aj α C 2) (+ B)j aj + bj Propretà
DettagliLezione 13. Anelli ed ideali.
Lezoe 3 Prerequst: Aell e sottoaell. Sottogrupp. Rfermet a test: [FdG] Sezoe 5.2; [H] Sezoe 3.4; [PC] Sezoe 4.2 Aell ed deal. Rcordamo la seguete defzoe, data el corso d Algebra : Defzoe 3. S dce aello
DettagliRaccolta Formule e Dimostrazioni
Rccolt Formule e Dmostrzo B. o uò essere usto durte l rov scrtt Med rtmetc K er dstruzo d frequez s h K K Med rmoc Mr er dstruzo d frequez s h: Mr Med geometrc g M K er dstruzo d frequez: g M K. Med qudrtc
DettagliSistemi lineari di m equazioni in n incognite
Sste ler d equo ogte U sste lere d equo ogte è u srttur del geere seguete: ove s tede he l-pl X* * * * è u soluoe del sste se sosttuedo l posto d rspettvete * * * s ottegoo ugugle. tre è dett tre oplet
DettagliAPPLICAZIONI LINEARI
APPLICAZIONI LINEARI 1. DEFINIZIONE DI APPLICAZIONE LINEARE. Sio V e W due spzi vettorili su u medesimo cmpo K. Si :V W u ppliczioe di V i W. Si dice che l è u ppliczioe liere di V i W se soo veriicte
DettagliPROGETTO SIRIO PRECORSO di MATEMATICA Teoria
Vi Aldo Mo ro, 1097-300 15 Chioggi (VE) t el. 0414 965 81 1 - fx 0 414 96 54 3 - ww w. itisri ghi.com POTENZA i N... DIVISIBILITÀ e NUMERI PRIMI...3 MASSIMO COMUN DIVISORE e MINIMO COMUNE MULTIPLO...3
DettagliANALISI DELLA REGRESSIONE ANALISI BIVARIATA DELLA REGRESSIONE
ANALII DELLA REGREIONE L Al dell Regreoe rgurd lo tudo delle relzo etet r o pù rtter qutttv o vrl. L rer de legm etet r pù vrl poe ome rer delle relzo uzol he pogoo Y ome grdezz dpedete d u ere d vrl dpedet
DettagliSTUDIO DELLA STABILITA' DEI SISTEMI IN RETROAZIONE CON IL METODO DEL LUOGO DELLE RADICI
STUDIO DELLA STABILITA' DEI SISTEMI IN RETROAZIONE CON IL METODO DEL LUOGO DELLE RADICI U sste d cotrollo s defsce retrozoe, o cte chus, se oper utlzzdo, oltre l segle d rfereto solo forzo che rgurdo l
DettagliRendite a rate costanti posticipate in regime di interessi composti
Redte rte cott regme d tere compot Redte rte cott potcpte regme d tere compot /32 Redte rte cott potcpte regme d tere compot 2/32 Redte rte cott potcpte regme d tere compot VALORE ATTUALE DI UNA RENDITA
DettagliControlli Automatici A
Cotroll Automatc A Cors d laurea treal Igegera Elettroca, Iformatca, Telecomucazo a.a. 200/2002 Docete: Prof. Aurelo Pazz Emal: aurelo@ce.upr.t http://www.ce.upr.t/people/pazz/ Cotroll Automatc A Prof.
DettagliLE SUCCESSIONI. ovvero: 1, 2, 1.5, 1., 1.6, 1.625,... I valori ottenuti si avvicinano alla sezione aurea: =
Si cosideri l seguete sequez di umeri:,,, 3, 5, 8, 3,, 34, 55, 89, 44, 33, detti di Fibocci. Ess rppreset il umero di coppie di coigli preseti ei primi mesi i u llevmeto! Si cosideri l sequez otteut dividedo
DettagliLA CONCENTRAZIONE equidistribuzione massima concentrazione
Corso d Sttstc (cle D) Dott.ss. Vcrd L CONCENTRZIONE Fssmo l ttezoe su crtter qutttv trsferbl. Rcordo che u crttere è trsferble se possmo mmgre che u utà poss cedere prte del crttere che possede d u ltr
DettagliAritmetica 2016/2017 Esercizi svolti in classe Quarta lezione
Artmetca 06/07 Esercz svolt classe Quarta lezoe Rcorreze o lear Sa a c a cq ua rcorreza dove {c }, c C e c 0. Sa P C[λ] l polomo caratterstco della rcorreza. Allora ua soluzoe partcolare della rcorreza
DettagliSECONDA PROVA INTERMEDIA DI STATISTICA CLEA gennaio 2005 COMPITO C2
Cogome Numero d matrcola SECONDA PROVA INERMEDIA DI SAISICA CLEA 07 7-77-08 geao 00 Nome COMPIO C A f della valutazoe s terrà coto solo ed esclusvamete d quato rportato egl appost spaz. Al terme della
DettagliIl calcolo integrale. L idea di partenza è semplice. Consideriamo il seguente grafico. Figura 1
Il clcolo tegrle Le dee d Rem sull cocezoe d geometr ho vuto u prood luez scetc, egl h trodotto l ozoe d tegrle deedo quello che o chmmo tegrle d Rem. Il puto d prtez per trodurre l rgometo è estremmete
Dettagli13. Determinante di una matrice quadrata
Determite di u mtrice qudrt Defiizioe Dti umeri reli,,,,, (-), (-), col simbolo i idiceremo l loro somm ( + + + + + (-) + (-) + ) Quidi, i i := + + + + + (-) + (-) + i Esempio y i = y + y + y + y + + y
DettagliL equazione del reticolo cristallino
Chmc sc supror Modulo L quzo dl rtcolo crstllo Srgo Brutt Rchmo d mtmtc: l sr d ourr U quluqu uzo () può ssr rpprstt spso d Tylor purchè l uzo () s drzbl - volt : ( )!... Nl cso cu ()=g() s u uzo prodc
DettagliLE SUCCESSIONI. ovvero: 1, 2, 1.5, 1., 1.6, 1.625,... I valori ottenuti si avvicinano alla sezione aurea: =
LE SUCCESSIONI Si cosideri l seguete sequez di umeri:,,, 3, 5, 8, 3,, 34, 55, 89, 44, 33, detti di Fibocci. Ess rppreset il umero di coppie di coigli preseti ei primi mesi i u llevmeto! Si cosideri l sequez
DettagliUniversità degli studi di Cagliari. Corso di Laura Specialistica in Ingegneria Elettrica ed Elettronica
Uverstà degl stud d Cglr Corso d Lur Speclstc Igeger Elettrc ed Elettroc ESIN DI CLCOLO NUMERICO Oggetto: NLISI DEI MEODI DI RISOLUZIONE DEI SISEMI LINERI Docete Studet GIUSEPPE RODRIGUEZ ROBERO SECI mtr
DettagliAnalisi Matematica A
http://www.g.o.too.t Als Mtemtc A Dto u umero turle o ullo, ssumerà seguet vlor ordt {,,,,...}. S desce ttorle o ttorle d :! ( )! quest ormul è corrett solo se >, poché! Quest dezoe è dett per rcorrez,
DettagliApprofondimenti sui diagrammi di Bode
Approfodmet su dagramm d ode L espressoe (4.4) d ua fuoe d trasfermeto m m N( s) ams + am s +... + a = = D( s) b s + b s +... + b può essere rscrtta el seguete modo: ( )( )...( ) ( z)( z)...( ) z z ( p
DettagliTeoremi su correnti e tensioni
Teorem su corrent e tenson 1) ombnzone lnere efnzone: n un crcuto, ogn corrente e tensone è dt un combnzone lnere d genertor: V = K 1 $ g 1 K 2 $ g 2 K 3 $ g 3... I = K 1 $ g 1 K 2 $ g 2 K 3 $ g 3... oe
DettagliApprossimazione di dati e funzioni: generalità
Arossmzoe d dt e uzo: geertà Proem: rossmzoe d u uzoe : ot g { } vor che uzoe ssume e ut { } s vuoe otteere u rresetzoe tc de uzoe u tervo [] geere coteete g { }; esressoe tc de è ot m comct er e oerzo
DettagliLaboratorio di FISICA 2. Misura della resistenza di un conduttore con il ponte di Wheatstone R + R R 3 + R4 E, (2) =, (3) i 2 V B = R 3 = V AC
Lortoro d FISICA Msur dell resstez d u coduttore co l pote d Whetstoe Il pote d Whetstoe è u crcuto dtto ll msur dell resstez d u coduttore per cofroto co ressteze ote. ello schem d Fgur l tter E lmet
DettagliMetodi diretti: generalità
etod drett: geertà Soo st s trsforzoe de sste gerco ze o eqvete d strttr pù sepce. X ~ X ~ sozoe è ottet ero fto d pss ed ssez d error d rrotodeto s otterree sozoe estt. Soo ppct proe pcco e des. Effcez
Dettagli12. Matrici Sistemi Trasformazioni
pput jv Cptolo pg.. Mtrc Sstem Trsformzo. Mtrc: defzo e propretà. Defzoe: Mtrce S dce Mtrce rele del tpo m l seme d m umer rel dspost su m rghe ed coloe come segue: Le scrtture [ k ], ( k ) rghe e coloe.
Dettagli3.1 Ridisegnando il circuito senza incroci e applicando la trasformazione triangolo-stella si ottengono gli schemi seguenti.
. dsegnndo l crcuto senz ncroc e pplcndo l trsformzone trngolostell s ottengono gl schem seguent. Ω Ω eq Ω Ω Ω Ω Ω Ω eq Ω Ω Ω Ω eq Ω eq // Ω. S trsform l stell edenzt n rosso n un trngolo (le resstenze
DettagliIstogrammi e confronto con la distribuzione normale
Istogramm e cofroto co la dstrbuzoe ormale Suppoamo d effettuare per volte la msurazoe della stessa gradezza elle stesse codzo (es. la massa d u oggetto, la tesoe d ua pla, la lughezza d u oggetto, ecc.):
DettagliLE SUCCESSIONI RICORSIVE
. U prolem d prolà LE SUCCESSIONI RICORSIVE U sgore h due cppell, uo co ed uo gllo. Og goro doss l pù uo solo de cppell. Per decdere se e qule dossre segue quese regole: Se l goro prm h dosso l cppello
DettagliPropagazione di errori
Propagazoe d error Gl error e dat possoo essere amplfcat durate calcol. Rspetto alla propagazoe degl error s può dstguere: comportameto del problema - codzoameto del problema: vedere come le perturbazo
DettagliMetodi diretti: generalità
etod drett: geertà Soo st s trsforzoe de sste gerco ze o eqvete d strttr pù sepce. X ~ X ~ sozoe è ottet ero fto d pss ed ssez d error d rrotodeto s otterree sozoe estt. Soo ppct proe pcco e des. Effcez
DettagliIn questo capitolo vedremo solamente un caso di rendita, che useremo poi per generalizzare le rendite e dedurre tutti gli altri casi.
7. Redte I questo captolo edremo solamete u caso d redta, che useremo po per geeralzzare le redte e dedurre tutt gl altr cas. S defsce redta ua successoe d captal (rate) tutte da pagare, o tutte da rscuotere,
DettagliLaboratorio di Sperimentazione di Fisica CdL Matematica PARTE II. Dr. Riccardo Cerulli
Lortoro d Speretzoe d Fsc CdL Mtetc ART II Dr. Rccrdo Cerull http://users.lgs.f.t/~cerull/ddttc.htl Msur d u grdezz fsc: V-M 0 Icertezze ell sur Als sttstc de dt L sur è soggett feoe csul. L sgol sur è
Dettaglidove il Sia p( x ) un polinomio di grado n. Si dimostri che la sua derivata n esima è coefficiente a è il coefficiente di
Quesiti ord 010 Pgi 1 di 5 Si p( ) u poliomio di grdo. Si dimostri che l su derivt esim è coefficiete è il coefficiete di ( p ) ( ) =! dove il 1 Si p( ) = + 1 +... + 0 Applicdo l regol di derivzioe delle
DettagliMATEMATICA FINANZIARIA 3. RENDITE
MATEMATICA FINANZIAIA Prof. Adre Berrd 999 3. ENDITE Coro d Mtetc Fzr 999 d Adre Berrd Sezoe 3 ENDITA Operzoe fzr copot, crtterzzt d cdeze (,,...,,...,, rcuotere quelle cdeze,,...,,...,, t e d port d pgre
DettagliLez.9 Teoremi sulle reti 2. Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A , Elettrotecnica. Lezione 9 Pagina 1
Lez.9 Teorem sulle ret 2 Unverstà d Npol Federco II, CdL Ing. Meccnc, A.A. 207-208, Elettrotecnc. Lezone 9 Pgn Teorem d non mplfczone In un rete costtut d sol pol, n cu è presente un unco polo che erog
DettagliI Appello di Calcolo delle Probabilità Cognome: Laurea Triennale in Matematica 2011/12 Nome: 1 febbraio
I Appello d Calcolo delle Probabltà Cogome: Laurea Treale Matematca / Nome: febbrao Emal: Quado o è espressamete dcato l cotraro, per la soluzoe degl esercz è possble usare tutt rsultat vst a lezoe (compres
Dettagli2 Sistemi di equazioni lineari.
Sistemi di equzioi lieri. efiizioe. Si dice equzioe liere elle icogite equzioe dell form () + +...+ = o che (') i= i i = ove,,..., R si chimo coefficieti e R termie oto.,,..., ogi efiizioe. Si dice soluzioe
DettagliLezione 20. Campi numerici ed anelli di Dedekind.
Lezoe 0 Prerequst: Lezo 9 Dom ad deal prcpal Camp umerc ed aell d Dedekd Defzoe 0 S dce campo umerco og estesoe fta d Q coteuta C Osservazoe 0 Essedo Q u campo perfetto (poché è d caratterstca 0 ved la
DettagliAllocation (PRA) Tecniche e Modelli di Rete - Prof. Marco Listanti - A.A. 2014/2015. DIET Dept
Pek Rte Determstc Allocto PRA Pek Rte Allocto PRA Pek Rte bdwdth d Rssgmet PRA Ad u flusso vee ssegt u bd c mggore o ugule l suo bt rte d pcco p, ovvero c p Nel cso cu c =p, l regol d lloczoe PRA è dt
DettagliElementi di Calcolo delle probabilità
Elemet d Clcolo delle probbltà PERCHÉ I TUDIA IL CALCOLO DELLE PROAILITÀ? Clcolo delle probbltà tto d certezz I cu s formo le decso Espermeto csule - prov U espermeto csule è u feomeo del modo rele per
DettagliCIRCUITI IN REGIME SINUSOIDALE PERMANENTE
U N EGME SNUSODAE PEMANENE rsformzoe delle equzo d Krchhoff form smbolc trsformt d Stemetz rppreset uo strumeto essezle per lo studo d crcut elettrc ler regme susodle l metodo utlzzto tl fe, detto metodo
DettagliScuole italiane all estero (Santiago del Cile) 2010 Quesiti QUESITO 1
www.mtefili.it Scuole itlie ll estero (Stigo del Cile) 21 Quesiti QUESITO 1 Si f(x) = { x2 5, se x 3 x + 2, se x > 3 Si trovi: lim f(x) ; x 3 lim f(x) ; x 3 + lim f(x). x 3 lim f(x) = lim x 3 x 3 (x2 5)
DettagliESERCITAZIONE PER LA QUARTA PROVA DELL' ESAME DI STATO PER L'ABILITAZIONE ALLA PROFESSIONE DI INGEGNERE CIVILE E AMBIENTALE Autore: Marina Roma
hp://svolgmeorcceesme.lervs.org/ ESECITAZIONE PE LA UATA POVA ELL' ESAME I STATO PE L'ABILITAZIONE ALLA POFESSIONE I INGEGNEE CIVILE E AMBIENTALE Auore: Mr om Il presee documeo rpor lo svolgmeo, pssggo
DettagliRELAZIONI TRA 2 FENOMENI QUANTITATIVI
RELAZIONI TRA FENOMENI QUANTITATIVI Mrco R RELAZIONI TRA FENOMENI QUANTITATIVI V è u relzoe tr le vrbl oggetto d studo? D quto vro vlor d u vrble qudo cmbo vlor dell ltr? CORRELAZIONE REGRESSIONE LA REGRESSIONE
DettagliEsercitazioni di Calcolo delle Probabilità (16/12/2011) Soluzioni
Eserctazo d Calcolo delle Probabltà (16/1/011) Soluzo Eserczo 1 1. S trov l valore del parametro θ per cu la tabella seguete defsce la fuzoe d probabltà d ua v.c. udmesoale X e la s rappreset grafcamete.
Dettaglia b a b, infatti: a, b
Numr complss_03 Cosdrmo l'sm I. dfmo du opro, b c, d c, b d, dchmo l'opro smplcmt co scrvmo: Elmto utro: Opposto d 0,0, b c, d c, b d, b è, b, ftt:, b, b 0,0 Tl opro è commuttv ssoctv, b c, d c bd, d bc
DettagliI t n er e po p l o a l z a io i n o e Interpolazione Analitica
Itepolzoe Dopo ve ccolto u cet popolzoe d dt sttstc eltv d u ceto feomeo d lzze dopo vel ppesett gfcmete ed ve stetzzto tmte oppotu dc d poszoe d dspesoe d fom dt d u cttee qutttvo è possle utlzze delle
DettagliLiceo Classico di Trebisacce Classe IV B - MATEMATICA. Prof. Mimmo Corrado. Numeri naturali [ ] ( ) ( ) Numeri razionali
Mtemtic www.mimmocorrdo.it Liceo Clssico di Treiscce Clsse IV B - MATEMATICA Esercizi per le vcze estive 0 Prof. Mimmo Corrdo Numeri turli Clcol il vlore delle segueti espressioi. 0 ( ) [ ] ( ) [ ] 0 [
DettagliCAPITOLO 2 APPROSSIMAZIONE DELLE FUNZIONI
REVISIONATO 0 mrzo 04 CAPITOLO APPROSSIMAZIONE DELLE FUNZIONI. INTRODUZIONE Approssmzoe co polom lgebrc. Sebbee o smo cpc d operre comuemete co fuzo del tpo se(x), cos(x), e x, th(x), x ecc, quto e cooscmo
DettagliIntegrali indefiniti
Primitiv di u fuzioe Itegrli idefiiti U fuzioe F() si die primitiv di u fuzioe i u itervllo I se, per ogi I: F = U fuzioe mmette ifiite primitive, he differisoo u dll ltr per u ostte dditiv. L fmigli delle
DettagliMatematica elementare art.1 di Raimondo Valeri
Matematca elemetare art. d Ramodo Valer I questo artcolo voglamo provare che esste ua formula per calcolare l umero de dvsor d u dato umero aturale seza cooscere la scomposzoe fattor prm del umero stesso.
Dettagli3. PROGRAMMAZIONE LINEARE E ALTRE TECNICHE DI RICERCA OPERATIVA
. PROGRAAZIONE LINEARE E ALTRE TECNICHE DI RICERCA OPERATIVA. Progrmmzoe lere due vrbl: rsoluzoe grfc Izmo l seguete cptolo rsolvedo u eserczo d ottmzzzoe vcolt teedo presete l procedmeto seguto per trovre
DettagliGeneralmente sia l ampiezza che il valore medio della sollecitazione sono variabili nel tempo.
È molto raro che u compoete meccaco sa sollectato a fatca da u carco cclco ad ampezza costate. Geeralmete sa l ampezza che l valore medo della sollectazoe soo varabl el tempo. max a a max m m m m Tempo
DettagliNumeri complessi Pag. 1 Adolfo Scimone 1998
Numer compless Pag. Adolfo Scmoe 998 NUMERI COMPLESSI Come sappamo, o esstoo el campo de umer real le radc d dce par de umer egatv. Ammettamo pertato l esstea della radce quadrata del umero. Questo uovo
DettagliUnità Didattica N 35 I sistemi lineari
Uità Didttic N 5 Uità Didttic N 5 ) Sistem liere di equioi i icogite: teorem di Crmer ) Sistem liere di m equioi i icogite ) Teorem di ouchè-cpelli 4) Sistem di m equioi lieri omogeee i icogite 5) isoluioe
DettagliDOTTORATO DI RICERCA IN GEOFISICA-XXIIICICLO/ EQUAZIONI ALLE DERIVATE PARZIALI (Prof. BONAFEDE)
DOTTORATO DI RICERCA IN GEOFISICA-XXIIICICLO/ EQUAZIONI ALLE DERIVATE PARZIALI (Prof. BONAFEDE) Mggi C. & Bccesci P. Soluzioe problem V Puto 1: T Clcolre l soluzioe stziori dell (1) euivle d imporre l
Dettagli