VETTORI. Prodotto di un vettore per un numero reale. Dati il numero reale λ e il vettore x ), il prodotto λ x è definito ponendo:

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1 VETTORI S dce vettore u eupl ordt d uer rel U vettore s rppreset coe colo o coe rg:, ( ) L see d tutt vettor co copoet rel s dc co R Nell'see R s possoo defre le seguet operzo Prodotto d u vettore per u uero rele Dt l uero rele λ e l vettore (,,, ), l prodotto λ è defto poedo: ( λ λ λ ) λ,,, (Qud l vettore λ s ottee d oltplcdoe tutte le copoet per λ) So tr vettor Dt vettor (,,, ), (,,, ), l vettore so è: ( ) +,,, (Qud l so tr due vettor vet lo stesso uero d copoet s esegue sodo tr d loro le copoet che occupo l stess poszoe) Propretà dell so Propretà couttv Propretà ssoctv + + ( + ) + z + ( + z ) Esste u eleeto d R, dcto co 0 e detto vettore ullo, tle che: + 0 R 4 Per og vettore esste u vettore, detto vettore opposto d e dcto co, tle che: + 0

2 Per quto rgurd l prodotto per uo sclre, vlgoo le seguet le propretà (β dc uo sclre): (α β) α (β ) (α + β) α + β 4 λ ( + ) λ + λ S defsce spzo vettorle (sul cpo uerco R) u see d eleet per qul soo defte due operzo tere: l prodotto tr u uero rele ed u vettore e l so tr due vettor vedo defto tl operzo co le rspettve propretà sul ostro see d vettor R, posso cocludere che R è uo spzo vettorle S dce cobzoe lere de vettor c, c,, c R, l vettore :,,, R,, co coeffcet + c + + c c I vettor,,, R s dcoo lerete dpedet se è possble esprere uo, per esepo, coe cobzoe lere degl ltr ( ): oss: equvlete : c c 0, c 0, dove, prtcolre, s osserv che l coeffcete c del vettore è ugule S può, qud, forulre l defzoe che ell seguete for equvlete: vettor,,, R s dcoo lerete dpedet qudo esste u loro cobzoe lere co coeffcet o tutt ull ugule l vettore ullo Per cotro, vettor,,, R s dcoo lerete dpedet qudo l uc cobzoe lere ugule l vettore ullo h coeffcet tutt ull:, c 0 c 0, S dcoo vettor fodetl d R gl vettor:

3 e e (,0,,0 ), ( 0,,,0 ), e ( 0,0,,) Il vettore geerco vettore e k h tutte le copoet ulle, tre l k-es ugule E fcle verfcre che per og vettore d R vle: (,,, ) (,0,,0) + ( 0,,,0) + + ( 0,0,, ) (,0,,0) + ( 0,,,0) + + ( 0,0,,) e + e + + e L uguglz otteut ostr che og vettore d R s può scrvere uo e u solo odo coe cobzoe lere de vettor:fodetl e, e,, e, e coeffcet dell cobzoe lere o soo ltro che le copoet d stesso Pertto, s dce che:gl vettor fodetl, tr loro lerete dpedet, costtuscoo u bse d R e che R h desoe Dt due vettor (,, ) e (,, ), sclre (o tero) d per l uero:, + + +, s ch prodotto Propretà del prodotto sclre ) Il prodotto sclre del vettore ullo per qulss ltro vettore dà coe rsultto 0: 0 0, R ) Il prodotto sclre o gode dell propretà d ulleto del prodotto: 0 o plc ( 0 oppure 0) Esepo (,, 0 ) (,, 0 ) 0 I vettor e s dcoo ortogol se: 0 Dt due vettor d R, v e w, s dce prodotto vettorle d v e w l vettore v w così defto ) Il odulo d v w è dto d: v w v w sα

4 4 w v α dove α è l golo forto d due vettor v e w (co 0 α π); geoetrcete, l odulo d v w è l re del prllelogr costruto su vettor v e w; ) v w è perpedcolre l po d v e w; ) v, w e v w, ell orde, foro u ter destrors d vettor Propretà del prodotto vettorle ) Il prodotto vettorle è tcouttvo, oss: v w w v b) Il prodotto vettorle è dstrbutvo rspetto ll so, oss: u (v w) u v + u w c) Il prodotto v v 0, essedo α 0 D quest propretà s deduce che : v è prllelo w se e solo se v w 0 Rscrtt vettor v e w ter de vettor fodetl,, k: k w k v, l prodotto vettorle ter delle copoet de vettor è dto d: ( ) ( ) ( ) k k w v v w v w v α

5 oss può essere espresso coe svluppo sbolco, lugo l pr rg, del seguete deterte: v w k Se 0, s ottee: d cu: v w k v w det Rcorddo l sgfcto geoetrco del odulo del prodotto vettorle, s deduce che l odulo del deterte cocde co l re del prllelogr costruto su vettor p: (, ), ( ) v w, Se u,v e w soo tre vettor ello spzo trdesole, s defsce prodotto sto l uero rele: u (v w) L pretes è reltà superflu, quto (u v) w o h sgfcto e, qud, s può scrvere seplceete: u v w S verfc che l odulo del prodotto sto rppreset l volue del prlleleppedo costruto su vettor v, w e u Vle: u (v w) 0 u, v, w soo coplr, oss se u, v, w soo lerete dpedet Cosdert vettor: 5

6 v + u z + z w + + k + k + z k,,, vle l forul: z u v w z z Rcorddo l sgfcto geoetrco del prodotto sto, s rcv che l odulo del deterte dcto rppreset l volue del prlleleppedo costruto su vettor u, v e w MTRICI S dce trce d tpo (,) sull see uerco R u see d uer pprteet d R, dspost u tbell d rghe (orzzotl) ed coloe (vertcl) U geerc trce d tpo (,) può essere scrtt usdo l otzoe doppo dce: [ ],,,,,,, U trce s dce qudrt (d orde ) se l uero delle rghe ugugl l uero delle coloe: I u trce qudrt gl eleet,,, [ ],,,,,,,, costtuscoo l dgole prcple, gl eleet, ( ), ( ),, l dgole secodr U trce qudrt s dce trgolre lt (o bss) se l d sotto (o l d sopr) dell dgole prcple h solo eleet ull; u trce qudrt s dce dgole se l d fuor dell dgole prcple h solo eleet ull U trce qudrt s dce trce dettà se è dgole ed, oltre, gl eleet dell dgole prcple soo tutt ugul uo; l trce dettà è dct co I, dove dc l'orde Per esepo: 6

7 0 0 e 0 0 I [ e e e ] e 0 0 e U trce s dce setrc se per og copp d dc,, rsult,, e, qud,l trce è u tbell setrc rspetto ll dgole prcple S ch trce trspost T d u trce d tpo (,) l trce d tpo (,) che s ottee d scbdo le rghe co le coloe [ ] T [ ] Due trc s dcoo sl se soo dello stesso tpo:,,, [ ] e B [ b ],,,, Dte due trc sl e B, soo ugul se b, Dte due trc sl e B, l loro so è u trce sle C tle che c + b, Il prodotto d u trce per uo sclre k è dto d: ( k ) k, Scrvo l trce d tpo (, ) coe ccosteto d vettor rg: e l trce B d tpo (, p) coe ccosteto d vettor colo: b b b p b b b p p B [ b b b ] b b b p Se l uero d coloe dell trce cocd col uero d rghe dell trce B, le trc e B soo coforbl (per l prodotto) S può llor defre l prodotto tr le trc e B: è l trce C co rghe (coe ) e p coloe (coe B) l cu 7

8 geerco eleeto c s ottee eseguedo l prodotto sclre del vettore rg l vettore colo b : co oss: c b b C B b b b + b b b b + + p b p b p b b b k k Il prodotto d trc preset lcue dverstà rspetto l prodotto tr uer rel; prtcolre: o è couttvo, oss geerle B B; o s coserv l legge d ulleto del prodotto: B 0 0 B 0 og trce qudrt è possble ssocre u uco uero, detto deterte e dcto co det oppure co Per, coè per u trce costtut dl solo eleeto, l deterte è per defzoe l eleeto stesso Per, coè per u trce qudrt d orde : k vle: det oss det è l prodotto degl eleet dell dgole prcple eo l prodotto degl eleet dell dgole secodr Per l deterte el cso geerle co qulss, è opportuo trodurre due defzo S dce ore copleetre M dell'eleeto d u trce l deterte dell trce otteut ccelldo l rg e l colo dll trce Per esepo, dt: vle M det Ioltre, s dce copleeto lgebrco dell'eleeto l uero ( ) M Osservo che: Nel precedete esepo: + ( ) se + è pr, + ( ) se + è dspr + 8

9 + ( ) M det Posso or dre l defzoe d deterte dell trce qudrt el cso geerle (teore d Lplce): l deterte d s ottee sodo prodott degl eleet d u quluque le (rg o colo) per loro copleet lgebrc I forule, ssegt l trce e dvdut l rg k, co k (oppure l colo, ): k k k k vle (lugo l rg k): det k k + + k k + + k k oppure (lugo l rg ): det Propret del deterte ) Vle det 0 e seguet cs: h u rg o u colo d zer; h due rghe o due coloe ugul; h due rghe o due coloe proporzol; h u rg (colo) cobzoe lere d ltre rghe (coloe) D quest propretà s deduce che gl vettor rg (o colo) dell trce soo: lerete dpedet det 0 lerete dpedet det 0 ) Se è trgolre (dgole) vle: det ) Vle det I k 4) Scbdo due rghe (coloe), l deterte cb sego 5) Moltplcdo per c R gl eleet d u rg (colo), l deterte vee oltplcto per c 6) Moltplcdo per c R gl eleet d og rg (colo), l deterte vee oltplcto per c k 9

10 7) Se u rg (o colo) s gguge u quluque cobzoe lere delle ltre rghe (o coloe), l deterte re vrto 8) Teore d Bet Dte e B trc qudrte d orde, vle det B det det ( ) B Esepo Dte due trc d orde, e B tl che det 5, det B 0, clcolo detert delle trc C B e D Per l teore d Bet s h che: det C det det B , det D (det ) 5 5 U trce qudrt s dce o sgolre se l suo deterte è o ullo S dce trce vers d u trce o sgolre l trce, ch'ess qudrt e sle d, tle che: I Propretà dell trce vers ) Se esste, è uc ) ( ) ) ( ) B B se, B vertbl det det I det det det det 4) ( ) Il seguete teore forsce u etodo d clcolo dell trce vers Codzoe ecessr e suffcete ffché esst l trce vers è che o s sgolre, oss det 0 Sotto tle codzoe vle l forul: dove gl, co det,,,,, soo copleet lgebrc degl eleet d SISTEMI LINERI Cosdero u sste lere d equzo cogte: T b b b 0

11 S dce trce de coeffcet l trce: Itroducedo vettor colo (rspettvete vettore delle cogte e vettore de ter ot): b b b b l sste dto può essere scrtto ell for trcle: b Teore d Crer Il sste b d equzo cogte ette u e u sol soluzoe se e solo se det 0 Dostrzoe Se det 0, esste Moltplcdo sstr etrb lt d b s h: ( ) b d cu, grze ll propretà ssoctv del prodotto fr trc: ( ) b otteedo fe, poché I e I : b Dt u trce d tpo (, ) e u tero k {,}, s dce ore d orde k estrtto dll trce l deterte d u qulss sottotrce qudrt d orde k estrtt d S dce rgo d l sso orde de or o ull che s possoo estrrre d Pertto rgo ( ) r se e solo se esste leo u ore d orde r o ullo, etre tutt or d orde (r + ) soo ull Esepo L trce

12 4 6 0 h r, poché og trce del terzo orde estrtt d h deterte ullo; ftt, dte: 6 0, 4 6, 4 0, , vle det det det det 4 0, essedo tutte l pr e l terz rg proporzol Ioltre esste leo u trce del secodo orde estrtt d co deterte o ullo, per esepo: 0 5 det co Il rgo d u trce rppreset l sso uero d rghe o d coloe lerete dpedet Per seplfcre l clcolo del rgo, è spesso utle l seguete teore (d Kroecker) Se l trce d tpo (, ) ) possede u ore d orde r ( r < {,}) o ullo e ) tutt or d orde (r + ) che s ottegoo orldo tle ore co u quluque rg o colo d soo ull llor l rgo dell trce è r Esepo Cosdero d uovo l precedete trce: ) è possble estrrre u ore o ullo d orde, ; ) or d orde otteut orldo l ore d orde o ullo co le ret rghe o coloe soo ull:

13 qud r() 6 0 0, 0, 6 4 Dto l sste lere: b co trce d tpo (,), b R s dce trce coplet del sste l trce otteut orldo l trce col vettore b: b b b [ b] Se s rppreset l trce coe lleeto d vettor colo: [ ], l trce coplet (co rghe ed + coloe) s ottee ccostdo d l colo de ter ot b: [ b] [ b] Teore d Rouche - Cpell Il sste b è possble se e solo se: rgo d rgo d b oss se l rgo r dell trce de coeffcet ugugl l rgo r dell trce coplet b Dostrzoe Mettedo evdez le coloe d, l posto d b s può scrvere: b che rppreset l vettore b coe cobzoe lere de vettor,,, co coeffcet dt dlle copoet del vettore Il sste, qud, ette soluzo se e solo se b è cobzoe lere delle coloe dell trce Or l vettore b è cobzoe lere delle coloe d se e solo se gl se d vettor {,,, } e {,,,, b} cotegoo lo stesso uero d vettor lerete dpedet Tle crcostz è equvlete ll uguglz de rgh r ed r

14 DISCUSSIONE DI UN SISTEM ssegto u sste lere d equzo cogte: b, se: rgo < rgo b, l sste è possble, oss o h lcu soluzoe; ) ( ) ( ) ) rgo ( ) rgo( b), l sste è possble e deterto, oss ette u'uc soluzoe; ) rgo ( ) rgo( b) r <, l sste è possble e deterto, oss ette fte soluzo dpedet d ( - r) pretr Il sste oogeeo 0 è sepre possble I prtcolre, se: ) rgo ( ), l sste è possble e deterto e l'uc soluzoe è dt d 0 ; ) rgo ( ) rgo( b) r <, l sste è possble e deterto PROCEDIMENTO PER L SOLUZIONE DI UN SISTEM LINERE Dto l sste ( b) e ugul ( r r' ) b co trce (, ), so rgh r ed r delle trc ) S estre dll trce u ore M r d orde r o ullo; ) del sste s cosdero soltto le r equzo corrspodet lle r rghe del ore M r ; le ltre r equzo vegoo elte, perché o sgfctve (soo utotcete soddsftte qudo lo soo le pre r); ) l pro ebro d og equzoe del sste s tegoo le r cogte cu coeffcet costtuscoo le r coloe del ore M r, etre ter coteet le ltre r cogte s porto l secodo ebro e s trtto coe pretr; 4) s ottee così u sste d r equzo r cogte, rsoluble pplcdo l teore d Crer: se r l sste ette u uc soluzoe, etre se r < le fte soluzo dpedoo d r pretr che possoo ssuere vlor rbtrr (le cogte portte l secodo ebro) TRSFORMZIONI LINERI S dce trsforzoe (o fuzoe) d R d R u corrspodez L che ssoc og vettore R u uco vettore L () R ; è dett ge d trte LI prtcolre l trsforzoe L s dce lere se α R e,, R vlgoo le propretà: ) L( + ) L( ) + L( ) (ddtvtà); ) L(α ) α L() (oogeetà) Osservzoe Le propretà ), ) s possoo ufcre ell forul: L (α +α ) α L( ) +α L( ) α,α R 4

15 Cosdero or u trce qudrt d orde Ess trsfor, edte l prodotto, u vettore d R u ltro vettore d R ; ftt: (, ) R R oss R è trsforto el vettore R D'ltr prte, u trce rettgolre d orde (, ) trsfor edte l prodotto u vettore d R u vettore d R ; ftt: (, ) R R oss R è trsforto el vettore R L trsforzoe d R R, dt d è lere Iftt, utlzzdo le propretà delle trc, s h: (α + α ) (α ) + (α ) α ( ) + α ( ) Per esepo, R : dte,, ' ' ', s h Teore d rppresetzoe Og trsforzoe lere L : R R è dvdut d u trce d tpo (, ), essedo L(), R Ioltre l trce è uc, u volt fsste le bs R ed R Vcevers, og fuzoe del tpo L() dvdu u trsforzoe lere UTOVLORI E UTOVETTORI DI UN MTRICE C s poe l seguete dod: dt u trce d desoe, u vettore v R o ullo può essere trsforto u vettore λv R prllelo v? tl fe deve essere soddsftt l equzoe: v λv dove λ è geere u uero rele Poché I v v, s ottee: v λ I v v λ I v 0 d cu fe: ( λi )v 0 sste lere oogeeo d equzo cogte, co v vettore cogto, λ uero rele cogto ffché essto vettor soluzoe v o ull deve essere soddsftt l codzoe: det[ λi ] 0 dett equzoe crtterstc dell trce e dct che co: D(λ) 0 5

16 Nel cso prtcolre, s h: det[ λi ] 0, dove [ λi ] λ 0 0 λ λ, d cu: ( + ) λ + 0 λ equzoe d secodo grdo ell cogt λ Tordo l cso geerle: s dcoo utovlor dell trce uer λ che soddsfo l equzoe crtterstc D(λ) 0 S dcoo utovettor dell trce vettor v che, corrspodez d u certo utovlore λ, soddsfo l equzoe v λv 6