APPENDICE B (Sottospazi ciclici, invarianti e forme compagne)

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1 PPENDICE B (Sottosp cclc, t e foe copge. Cclctà d u tce qudt DEFINIZIONE. (tce qudt cclc I uo spo ettole X d deso fte su u cpo K s defto u edoofso desctto oppotue bse d u tce qudt. Deo che l tce o che lo spo X è cclco se esste leo u ettoe l cu seque d Kylo p,,,... gee tutto lo spo X. OSSERZIONE. L cclctà d uo spo dpede qud dll'edoofso esso defto. l fe d cece le codo pe le qul uo spo (o u tce, l che è lo stesso sult cclco peetto l seguete teoe. TEOREM. Esste sepe leo u ettoe l cu poloo o ψ ( cocde col poloo o d tutto lo spo ψ(. Dostoe E' oo tutto che o può esstee u quluque ettoe l cu poloo o s d gdo supeoe l poloo o d tutto lo spo. Pe doste che esste leo u ettoe l cu poloo o cocde col poloo o d tutto lo spo, costuo l ettoe coe so d utoetto geelt d ode sso elt cscu utoloe dell tce. detto: ( s ( s ( s (B.. u, u,... u u quluque see d utoetto geelt d ode sso (cetete esstet! ssoct gl utolo d (essuo escluso!, l ettoe: (B.. ( s ( s ( s ( s u u... u u h coe suo poloo o l poloo o d tutto lo spo. Bst tl fe doste che o esste lto poloo ulltoe l ettoe d gdo feoe; se ftt esstesse u tle poloo detto ψ'( questo doebbe ee coe sue dc gl utolo d e qud leo u fttoe del tpo (- q co q feoe ll'espoete s co cu tle fttoe cope el poloo o d tutto lo spo. Il poloo ψ'( è qud cetete del tpo: q q q ψ ( ( (...( co q < s [ ] le qud: (B.. ( s ( s ψ ( ψ ( u ψ ( u questo puto s cod che (ed ppedce : se u ettoe pptee d u utospo geelto d u qulche dce k ssocto d u qulche utoloe, llo l podotto d u quluque tce d poloo pe tle ettoe è co u ettoe ppteete tle utospo o è l ettoe ullo; etto ppteet d utosp ssoct d utolo des soo leete dpedet t loo. Teedo coto d tl cosdeo s può ffee che gl dded dell'ult so espess dll (B.. soo t loo cetete leete dpedet se o ull pe cu è suffcete doste che uo d ess è deso dl ettoe ullo pe pote cocludee che tutt l so è des d e qud che l poloo ese ψ'( o può essee poloo ulltoe del ettoe. S ped ese l'ddedo dell (B.. elto ll'utoettoe geelto d ode s ssocto ll'utoloe l qule è dce del poloo ψ'( co olteplctà q <s. Tle ddedo dto d: ( s q q q ( s (B..4 ψ ( u ( I ( I...( I u è cetete o ullo quto:

2 q ( s ( s ( I u è u ettoe o ullo quto l ettoe u è utoettoe geelto d ode s ed è oltplcto sst pe u pote d (- I co espoete feoe s ; olte pptee cetete ll'utospo d ode sso ssocto ll'utoloe che è cetete dsguto d utosp d quluque ode ssoct d utolo des. Il podotto coplesso dto dll (B..4 è qud u ettoe o ullo ppteete co ll'utospo geelto d ode s ssocto ll'utoloe. Il poloo ese qud o può essee u poloo ulltoe l qule qud h coe popo poloo ulltoe l poloo o d tutto lo spo. OSSERZIONE. L dostoe del teoe pecedete cosete l seguete coeto che s pot se po. Il poloo o d u quluque ettoe può essee clcolto el seguete odo: S stblsc ello spo ettole u quluque bse d Jod; s decopog l ettoe lugo tle bse e s cosdeo gl dc q elt gl utoetto geelt d ode sso lugo qul sult o ull l copoete del ettoe ; Il poloo o del ettoe è dto dl podotto: q q q (B..5 ψ ( ( (...( TEOREM. Le deso sse d u quluque sottospo cclco soo ugul l gdo del poloo o d tutto lo spo. Dostoe O dopo l dostoe del pecedete teoe. S lsc l lettoe. TEOREM. Uo spo è cclco se e solo se l suo poloo o cocde col poloo cttestco. Dostoe O! S lsc l lettoe.. Foe copge DEFINIZIONE. U tce qudt s dce fo copg se l su fo è d uo de seguet tp:. fo copg ootle feoe: U tce d ode è fo copg ootle feoe se h l fo: (B.. OI costtut qud d u tce detc d ode - lugo l'tdgole supeoe, d u ettoe ullo d lughe - posto p colo ell pte supeoe e dll'ult g costtut d scl che soo pecedut d u sego egto ell (B..6 pe ot che so ch t poco.. fo copg etcle dest H u fo tspost spetto d u fo copg ootle feoe; oss è del tpo:

3 (B.. D. fo copg ootle supeoe H u fo del tpo: (B.. OS 4. fo copg etcle sst H u fo del tpo: (B..4 S TEOREM. Il poloo cttestco d u tce fo copg (d quluque tpo è ugule l poloo oco d ode ete gl lt coeffcet ugul lle copoet dell g (o colo o detet po; oss: (B ( p Dostoe eà effettut solo pe l fo copg ootle feoe. Le lte te foe o soo u l tspost dell'lt (e qud co lo stesso poloo cttestco o s ottegoo d u d esse edte peuto d ghe e coloe dello stesso ode che costtuscoo tsfoo d sltude e qud lsco lteto l poloo cttestco. S cosde qud l fo copg ootle feoe dt dll (B... Pe ess l dostoe dell (B..5 eà pe duoe coplet sull'ode dell tce. L'ffeoe è o pe ; ftt tl cso l fo copg s duce llo scle [- ] che oete h pe poloo cttestco (. supposto che l (B..5 s e pe u tce fo copg ootle feoe d ode dosto che ess è e che pe u tce dell stess fo d ode. Pe tle tce ftt l poloo cttestco è dto d:

4 ( ( ( ( ( ( det det det det( ( p OI I e l po pe duoe è qud coplett. TEOREM. U tce fo copg ootle feoe è cclc. Dostoe E' suffcete toe u quluque ettoe l cu seque d Kylo gee tutto lo spo. S cosde qud l ettoe [... ] T e clcolo l seque d Kylo d esso geet qudo l tce d ode ese è del tpo (B..:... oe co s tedoo lo oppotu che tutt sulto let pe l pesete dostoe. Gl etto così costut ftt soo cetete leete dpedet t loo pechè l tce qudt le cu coloe soo costtute d tl etto e che s pot qu sotto pe coodtà è cetete osgole: S è qud toto u geetoe cclco d tutto lo spo e qud s può cocludee che l tce (B.. è cclc. OSSERZIONE. S può qud cocludee che u tce fo copg ootle feoe h poloo o ugule l poloo cttestco. (teoe.. Pochè poloo o e poloo cttestco o cbo pe l tspost d u tce s può cocludee edtete che che u fo copg etcle dest (che è l tspost d u fo copg ootle feoe è cclc (l suo poloo o cocde co quello cttestco. Iolte pochè u fo copg ootle supeoe può essee otteut d u fo copg ootle feoe edte puto d ghe e coloe d ugul dce (che costtuscoo qud tsfoo d sltude e pochè polo o e cttestco soo t spetto tsfoo d sltude, s coclude co che u fo copg ootle supeoe è cclc. Ife l fo copg etcle dest è l tspost d u fo copg ootle supeoe pe cu s coclude che che quest'ult fo è cclc.

5 TEOREM. (clcolo d u bse che desce u edoofso fo copg etcle dest S u tce cclc e s u quluque geetoe cclco d tutto lo spo (che esste cetete! ed teoe.. Nell bse dello spo stblt dll seque d Kylo geet d ( odt odo cescete l'edoofso è desctto d u tce fo copg etcle dest. Dostoe S cosde ftt u bse costtut d po etto dell seque d Kylo geet d e l s od u tce qudt U: (B..6 U S tsfo o pe sltude l tce, otteedo: (B..7 U U L'ult colo dell'ult tce dell'ult ugugl è e pochè l poloo o d è l poloo cttestco dell tce (pe l'potes d cclctà dell tce e pe l'ulteoe potes che s u suo geetoe cclco che qu dcho co: (B ( p le oete:... pe cu l (B..7 det: ( D U U (B OSSERZIONE. Se s ssue coe bse d tutto lo spo co l seque d Kylo geet dl ettoe ode eso llo l tsfooe d sltude pot l tce fo copg etcle sst. L gustfcoe d tle ffeoe può essee dt dl ftto che l cbo d ode de etto d u bse duce tsfoo d sltude costtute d peuto d ghe e coloe dello stesso dce, pe cu l cbeto d ode e etto pot l'ult g ell p e l'ult colo ell p, l peult g ell secod e così l peult colo ee pott ell secod e così, otteedo qud d u fo copg etcle dest u fo copg etcle sst. I ltet u dostoe dett è pefettete detc ll pecedete e ee lsct l lettoe. TEOREM. (clcolo d u bse che desce u edoofso fo copg ootle feoe S u tce cclc e s u quluque geetoe cclco d tutto lo spo (che esste cetete! ed teoe.. Il seguete see d etto costuto edte cobo le dell seque d Kylo geet d :

6 (B co { } coeffcet del poloo cttestco d coe dcto ell (B..8, è leete dpedete e tle bse così odt l'edoofso è desctto d u tce fo copg ootle feoe. Dostoe Coco col doste che l'see degl etto dto dll (B.. è leete dpedete. Iftt se s costusce l tce co coloe ugul tle tce può essee espess ell seguete fo: (B.. P U 4 e le due tc qudte secodo ebo soo osgol, l p pechè è u geetoe cclco, l secod pechè è u fo tgole co eleet lugo l'tdgole o ull, pe cu l loo podotto è cetete osgole. Clcolo o l tce tsfot pe sltude. P d effettue l clcolo s osse che oltplcdo cscu ettoe delle (B.. sst pe s ottegoo le seguet elo: (B.. j j j S effettu o l tsfooe d sltude: ( ( OI (B.. OSSERZIONE. U tce cclc qud h s u su fo copg ootle feoe s u fo copg etcle dest. Tl due foe so cetete sl t loo (popetà tst dell eloe d sltude pe cu esste leo u tce osgole che cosete l pssggo pe sltude dll'u ll'lt. U tle tce può essee fclete clcolt pte dlle elo (B..9 e (B..: ( ( U U U U D D OI pe cu l tce che cosete l tsfooe pe sltude è:

7 U. Sottosp t U UP P 4 I sottosp t soo gà stt deft ppedce ; tutt peto qu pe coodtà del lettoe l defoe pott: DEFINIZIONE. (sottospo te U sottospo S s dce te se S che S. I lt fo se: I OSSERZIONE. (B.. ( S / S Coe gà codto tutt sottosp cclc soo cetete t. No è eo l cees, oss o tutt sottosp t soo cclc. Bst cosdee l'teo spo che cetete è te, o è cclco llochè l poloo o bb gdo feoe l poloo cttestco quto og sottospo cclco o può ee deso ggo del gdo del poloo o. TEOREM. Se s ssue coe bse dello spo l'uoe d u bse d u suo sottospo te S dt d {u, u,...u } e dell bse d u suo quluque copleete dt d {u, u,...u }, llo l tce ' che desce l'edoofso ell uo bse, otteut pe sltude dll tce che lo desce ell ecch bse, ssue l fo: (B.. U U oe U è l tce le cu coloe costtuscoo l uo bse: u u u (B.. U u u Dostoe Coe dll'eucto del teoe s {u, u,...u } u bse d S ed {u, u,...u } u copleteto ll bse d tutto lo spo. Nell uo bse desctt dll tce U co coloe ugul pecedet etto: u u u u u U tutt etto ' U - ppteet l sottospo te S ho oete le pe copoet bte e le ulte - copoet cetete ulle e soo qud del tpo: Dee sepe qud lee, st l' del sottospo S l seguete eloe: y U U y E, espedo le ulte - elo s ottee: Pochè tle ugugl dee lee quluque s ' cò sgfc che l go dell tce ' è ullo e qud che l sottotce è costtut d tutt eleet ull. E cò chude l dostoe. OSSERZIONE.

8 Se uo spo ettole X è decoposto ell so dett d due sottosp t S e P: X S P llo l tce può essee tsfot pe sltude edte u bse costtut dll'uoe d bs quluque de due sottosp ed ssue l fo: (B..4 U U L dostoe è' log ll pecedete. S lsc l lettoe. OSSERZIONE. L tsfooe dt dll (B.. è u tsfooe d sltude pe cu gl utolo dell tce soo gl stess (che olteplctà s lgebc che geoetc dell tce ' Se s osse l fo d quest'ult tce s ot che suo utolo possoo ddes due gupp: quell elt ll sottotce qudt ' e quell elt ll sottotce '. DEFINIZIONE. (utolo te ed este d u sottospo te Dto u quluque sottospo te S deo utolo te S gl utolo dell tce ' ed utolo este S gl utolo dell tce ', tc otteute edte u tsfooe d sltude deft coe el teoe.. OSSERZIONE.4 L defoe. è be post. Pe gustfce tle ffeoe bst f edee che due gupp d utolo dell tce dpedoo solo dl sottospo te S e o dll scelt d u su bse. Iftt quluque bse s scelg pe l sottospo te S l tsfooe d sltude elt, otteut coe desctto dl teoe., coduce sepe d u fo dell tce che desce l'edoofso oggetto del tpo (B... Iolte se ' e " soo due tc otteute pe sltude d co due bs dese del tpo (B.. pe l popetà tst dell eloe d sltude " può essee otteut d ' edte oppotu tsfooe d sltude, l chè sgfc sceglee u secod bse u " cu etto soo espess lugo l p bse u ' I p etto dell bse u " qud ho le ulte - copoet cetete ulle ( quto soo etto ppteet d S e cò bst gustfce l ftto che le sottotc ' e " spettete d ' e " soo sl t loo ed ho qud lo stesso see d utolo. Ne cosegue edtete che che le sottotc ' e " ho gl stess utolo. OSSERZIONE.5 S uole o cttee u see te tteso l possbltà d toe u su bse oppotu. P d euce le posse defo e teoe s uol code che: u quluque sottospo che bb pe bse u cte d Jod è u sottospo te, che se l cte d Jod è ple puchè se tle bse cotee u utoettoe geelto d ode k coteg llo che tutt gl utoetto geelt d ode feoe che d esso e tggoo oge secodo l'lgoto desctto ppedce. DEFINIZIONE. (Isee copleto ed copleto d ctee d Jod Dto u see d ctee d Jod costtuet u see leete dpedete (cscu delle qul qud te oge d u utoettoe geelto d ode k e cotee tutt gl utoetto geelt d ode feoe d cu tggoo oge, s dce che tle see è copleto se pe og utoloe le lughee delle ctee d esso ssocte soo u sottosee delle lughee delle ctee d Jod d tutto lo spo, sepe ssocte l edeso utoloe. Deo ece che l'see oggetto è copleto se esste u qulche utoloe spetto l qule l'see delle lughee delle ctee o è u sottosee delle ctee d Jod d tutto lo spo sepe ssocte l edeso utoloe. OSSERZIONE.6 Pochè d og cte (che ple posso ssoce u poloo del tpo (- q oe è l'utoloe ssocto ll cte e q è l lughe dell cte (ed ppedce, l pecedete defoe può essee euct pù stetcete el seguete odo:"cho see copleto d ctee d jod u see d ctee cu polo costtuscoo u sottosee de dso eleet dell tce. Cho ece see copleto d ctee d jod u see d ctee cu polo o costtuscoo u sottosee de dso eleet d. So o gdo d cttee sottosp t edte u loo oppotu bse. le ftt l seguete teoe: TEOREM. U sottospo S è te se e solo se esste u su bse costtut d u see (che copleto d ctee d Jod Dostoe

9 L suffce è d edt dostoe teedo coto d quto detto ell osseoe.5. Pe quto gud l ecessetà (se S è te llo ette u bse costtut d ctee d Jod, bst cosdee che dt l' d S, llo esste u tsfooe d sltude che pot l tce ell fo (B.., co l'dooe d oppotu bse pe tutto lo spo. L tsfooe s pot qu pe coodtà: U U S cosde o u bse d Jod costut pe l sottotce ; le sue ctee d utoetto, qudo cscuo d quest ee copletto co l'oppotuo ueo d copoet ulle costtuscoo che ctee d Jod d tutto lo spo; d cu l coclusoe che esste u bse d S costtut d ctee d Jod. OSSERZIONE.7 Pooc o u ulteoe poble: dto u sottospo te S esste sepe u sottospo d esso copleete ch'esso te? Se tle sottospo esste sepe, llo dto S sà sepe possble toe u tsfooe d sltude che pot l tce ell fo dgole blocch desctt dll (B..4 elt ll'osseoe.. L spost tutt è egt e le posse defo e teoe llusto copletete l poble. DEFINIZIONE.4 (sottospo copleetble U sottospo te S s dce copleetble se esste u lto sottospo te P copleete S. OSSERZIONE.8 Dto u sottospo te S o è detto che sepe esst u suo copleete co te. S cosde d esepo l tce: Gl uc sottosp t soo: u sottospo oodesole dduto dll'utoettoe u[ ] T tutto lo spo X che è bdesole. Peso qud l sottospo te oodesole dduto dgl utoetto d o esste lcu sottospo copleete d esso (e qud ecessete oodesole che s che te. le tutt l seguete teoe: TEOREM. U sottospo te S è copleetble d u sottospo ettole P ch'esso te, se e solo se esste u bse d S costtut d u see copleto d ctee d Jod, (o l che è lo stesso se polo ssoct ll bse d ctee d Jod esstete pe S soo u sottosee de dso eleet dell tce. Dostoe L dostoe oete ee due pt. Se S ette u bse costtut d ctee coplete d Jod llo è copleetble, oss esste u sottospo P te d esso copleete. Iftt tl cso l bse d S è pte d u bse d Jod; se llo s cosde l sottospo P che h p bse tutte le et ctee d Jod, tle sottospo è cetete te quto ette u bse d ctee d Jod e l su so dett co S è ugule tutto lo spo X. Se S (te è copleetto d u sottospo P ch'esso te, llo S ette u bse costtut d ctee coplete d Jod. Iftt se S e P soo sottosp copleet ed t esste leo u bse d S ed u bse d P tl che l loo uoe costtusce u bse d tutto lo spo X e tl olte che tle bse l'edoofso oggetto ssue l fo tcle dt dll (B..4 che qu s pot pe coodtà: U U Se o s effettuo due tsfoo sulle tc ' e ' tl d potle fo d Jod, tl tsfoo o coolgoo le tc poste sull'tdgole che goo ulle e s ottee qud l fo d Jod d tutt l tce. Pe

10 cu dso eleet d tutt l tce soo l'uoe de dso eleet delle due sgole tc. S coclude qud che l bse s S costtut d ctee d Jod h pe dso u sottosee de dso eleet d tutt l tce. OSSERZIONE.9 E' questo puto o che l seguete coclusoe: u sottospo te S è copleetble d u sottospo ettole P (ch'esso te se e solo se l'uoe de blocch d Jod elt lle due sottotc ' e ' d u quluque tce del tpo (B.. otteut pe sltude d u bse coe dcto dl teoe., è ugule ll'see de blocch d Jod dell tce. 4. Sp quoete e decoposoe d uo spo sottosp cclc. DEFINIZIONE 4. (età le S X uo spo ettole ed S u suo sottospo. Deo che è u età lee (o ffe se è u see del tpo: : S OSSERZIONE 4. (B.4. { } L'see defto dll (B.4. lto o è che u pepo pllelo ll'pepo psste pe l'oge (o sottospo che d s ogl desctto d S. Esso è detfcto dl sottospo S e dl ettoe. dll copp qud (,S. Idcheeo d'o po l età lee co l sbolog: (B.4. ( & S. S può qud ffee che, ssegto u sottospo S, esste u pplcoe t etto X e l'see delle età le dotte d S. Tle pplcoe è cetete sugett (bst edee l defoe d età lee, o è tutt bgett eo che S o s l sottospo ble costtuto dl solo ettoe ullo (el qul cso tutte le età le cocdoo co sgol etto e l'pplcoe d cu s pl lto o è che l'pplcoe detc. Esstoo ftt pù etto l cu ge ell pplcoe oggetto è l edes età lee. etto che ho l stess ge soo popo tutt e sol etto ppteeet ll edes età lee, coe s può edee dl seguete teoe: TEOREM 4. Due età le ' (' & S. e " (" & S cocdoo se e solo se ('-" S. Dostoe Se ' (' & S. e " (" & S cocdoo llo ('-" S. Iftt teedo coto che l ettoe ullo pptee cetete l sottospo S llo " " ' pe cu ('-" S,pe l defoe d età lee. Se ('-" S, llo ' (' & S. e " (" & S cocdoo. Iftt s ' (' & S, llo ' * ( * S e qud " ('-" *. E pochè ('-" * S, s può cocludee che ". Rgoeto pefettete "setco" pe doste l'clusoe es. OSSERZIONE 4. Il pecedete teoe cosete d defe le opeo d so e d oltplcoe pe uo scle (ppteete llo stesso cpo su cu è defto lo spo ettole ogo, el odo coe ee ppeeso desctto. DEFINIZIONE 4. (so d età le Fssto u sottospo S dello spo ettole X, ell'see delle età le detete d S s defsce l'opeoe d so el seguete odo: (B.4. (' & S (" & S ('" & S DEFINIZIONE 4. (podotto d u età lee pe uo scle α Fssto u sottospo S dello spo ettole X, ell'see delle età le detete d S s defsce l'opeoe d podotto d u età lee pe lo scle α el seguete odo:

11 OSSERZIONE 4. (B.4.4 α(' & S (α' & S Le defo (B.4. e (B.4.4 soo be poste, el seso che quluque s l ppesetoe delle età le esse do sepe luogo d u'uc età lee. Cosdeo ftt l defoe d so (B.4.; se le due età le egoo ddute d due des etto, spettete l p d ' e y' e l secod d " e y" oete le dffeee (y'-' e (y"-" pptegoo etbe S pe cu pptee S che l loo so (y'y"-'-" e qud l età lee ddut d ('" o d (y'y" è l stess. logete pe l defoe d podotto pe uo scle (B.4.4, se l età lee è ddut d due des etto ' e y' l loo dffee ('-y' pptee S e qud pptee S che l podotto pe uo scle α('-y' pe cu che le età le podotto pe scle ddute d α' e αy' cocdoo. (Il lettoe cod l ecchsso teoe d Tlete d cu quest'ult cosdeoe può essee cosdet u ode esoe!! So qud gdo o d doste che l'see delle età le è u uoo spo ettole. TEOREM 4. (spo ettole quoete L'see delle età le deteto d u sottospo S e dotto delle opeo d so e d podotto pe uo scle coe dlle defoe (B.4. e (B.4.4 h l stuttu d uo spo ettole e ee chto spo ettole quoete odulo l sottospo S e ee dcto co X /S. Dostoe E' ecesso doste che soo efcte le popetà ssotche d uo spo ettole che qu d seguto s codo lscdo l lettoe l fcle dostoe pe l'see ese: popetà ssoct dell so t eleet dello spo ettole. popetà coutt dell so esste dell'eleeto euto spetto ll so ( costtuto dllo stesso sottospo S esste dell'opposto popetà ssoct del podotto lo scle euto è popetà dstbut. OSSERZIONE 4.4 Lo spo ettole quoete è cetete fte deso, quto queste o possoo cetete supee le deso d tutto lo spo. S dosteà o che le deso soo p - oe soo le deso d tutto lo spo e ece le deso del sottospo S. S dà che u odo opeto pe clcole u bse dello spo quoete. TEOREM 4. S P u quluque sottospo copleete S e s {u, u,...u } u su bse. U bse dello spo quoete è dt dlle età le ddute d etto costtuet l bse d P.Iesete se l'see (u & S, (u & S,... (u & S costtusce u bse dello spo quoete llo l'see d etto {u, u,...u } costtusce u bse d u sottospo che copleet S tutto lo spo. Dostoe Pe l p pte bst edee che og età lee ( & S può essee espess e uc coe coboe lee delle età le: (B.4.5 (u & S, (u & S,... (u & S Iftt l ettoe può essee espesso coe coboe lee ( e uc! d u bse d tutto lo spo: { u u,... u, u,... u }, cu p etto costtuscoo u bse d P e gl ult - etto u bse d S. le qud: α u α u... α u α u... α u e qud: (B.4.6 ( & S α u α u & S α ( ( u & S α u & S

12 I te dell'ult soto soo u coboe lee d età le cospodet tutte etto u ppteet d S e qud eleet ull dello spo ettole quoete pe cu l (B.4.6 det: (B.4.7 ( & S ( α u & S d cu l coclusoe che og età lee può essee espess coe coboe lee dell'see (B.4.5. E' fe uc l coboe (B.4.7 che espe ( & S. Se ftt esstesse u lto see d scl β, β, β,...β tl che: ( & S β ( u & S ebbe llo: ( ( ( ( (( ( & S & S α u & S β u & S α β u & S α β u & S d cu s deduce che: ( α β u S e, pochè l'ult espessoe è u coboe lee dell bse d P ess pptee che P d cu s coclude che è cetete l ettoe ullo essedo P dsguto d S. Pe quto gud l secod pte del teoe, bst f edee che se (u & S, (u & S,... (u & S è u bse dello spo quoete, llo l'see d etto {u, u,...u } è leete dpedete, dsguto d S e costtusce qud u bse d u sottospo co teseoe ull co S e che olte le sue deso soo copleet quelled S. Che {u, u,...u } s u see leete dpedete e dsguto d S segue edtete dl ftto che (u & S, (u & S,... (u & S è u see d etto dello spo quoete leete dpedete [se ftt esstesse u see d scl o tutt ull tl che (α u α u...α u S llo sebbe α (u & Sα (u & S... α (u & S coclusoe ssud.]; fe che le deso dello spo quoete so copleet quelle d S dscede dl ftto che se esstesse u ettoe o espble coe coboe lee d u bse d S e dell'see {u, u,...u llo che l età lee ( & S sebbe leete dpedete dll'see d etto (u & S, (u & S,... (u & S, cotete ll'potes che tle see d etto s u bse dello spo quoete. OSSERZIONE 4.5 Quto detto sop s fesce sp ettol geec o dott d lcu edoofso; u stuoe ptcole s efc qudo ello spo X è defto u edoofso desctto dll tce ed l sottospo S spetto cu s clcol lo spo ettole quoete è u sottospo te. I tl cso ftt lgoo le cosdeo desctte dlle seguet defo e teoe. DEFINIZIONE 4.4 (estoe d u edoofso d uo spo quoete S X uo spo ettole oe è defto u edoofso desctto dll tce e s S u sottospo te. L'edoofso duce ello spo quoete odulo S u pplcoe ϕ così deft: y & S ϕ & S & S (B.4.8 ( [( ] ( Tle pplcoe è u uoo edoofso defto ello spo quoete odulo S che ee detto estoe d u edoofso d uo spo quoete OSSERZIONE 4.6 L (B.4.8 defsce effettete u pplcoe se e solo se l sottospo S è te. Iftt se S è te l età lee ge ell (B.4.8 è effettete dpedete dl ettoe che detfc l età lee cu ee pplct ϕ [se ftt ' e " soo due etto che detfco l edes tà lee, llo l loo dffee pptee S e qud che ' e " dffescoo co pe u ettoe ppteete S ed detfco qud l edes età lee]; se ece S o è te llo esste cetete u ettoe * d S tle che * o pptee S pe cu due etto dt d ' e "'* che pu detfco l stess età lee do luogo ϕ due dese età le quto l ettoe '-" o pptee S. Iolte l'pplcoe deft dll (B.4.8 è lee (l seplce dostoe s lsc l lettoe e costtusce qud u uoo edoofso. Re d edee d qule tce è desctto questo uoo edoofso, e cò ee chto dl posso teoe.

13 TEOREM 4.4 Scelt u quluque bse dello spo quoete odulo S [(u & S, (u & S,... (u & S] l estoe dell'edoofso l sottospo quoete è desctto dll sottotce ' elt ll fo (B.. dell'edoofso defto su tutto lo spo e che qu s pot pe coodtà: (B.. U U oe l tce U che dete l uo bse dello spo h pe pe - coloe u bse d S e coe ulte coloe etto {u, u,...u che detfco l bse dello spo quoete (e che detfco che u sottospo P copleete S, coe dostto el teoe 4.. Dostoe Nell bse scelt pe lo spo quoete, l'edoofso oggetto, defto coe dll (B.4.8 è desctto d u tce le cu coloe soo le copoet lugo l bse scelt dell'ge de etto costtuet l bse stess. Peso l geeco ettoe - eso dell bse dellospo quoete: (u & S clcoloe l su ge: y & S ϕ u & S u & S (B.4.9 ( [( ] ( Effettuo peetete l clcolo d u : u UU u U U,, j u, j S, j j, j u j oe co ' hk,j s tede lo scle d dce j, dell tce ' hk.co u S,j s tede lo j-eso ettoe dell bse d S e co u j lo j- eso ettoe dell'see {u, u,...u che detfc l bse dello spo quoete. S osse qud che l ettoe u s copoe d due soe l p delle qul è cetete u ettoe ppteete d S pe cu l età lee ge d u dt dll (B.4.9 ssue l fo: ( y & S ( u & S, ju S, j, ju j & S, ju S, j & S, ju j & S, j ( u j & S j j j j j L'ult espessoe cosete d cocludee che l'ge dell'eleeto -eso dell bse dello spo quoete è u coboe lee dell stess bse secodo coeffcet dt dll -es colo dell tce ', l che chude l dostoe. TEOREM 4.5 Il poloo cttestco dell'edofso estoe d uo spo quoete dotto dl sottospo S è u dsoe del poloo cttestco d tutto lo spo ed è ugule tle poloo cttestco dso d tutt dso eleet ssoct l sottospo S. Dostoe Ble (e s lsc l lettoe u olt che l tce ssue l fo (B.. oppotu bse d S e dello spo quoete. OSSERZIONE 4.7 So o gdo d decopoe u quluque spo X cu è defto u edoofso sottosp cclc dsgut. S cosde tutto u quluque ettoe l cu poloo o cocd col poloo o d tutto lo spo. Tle ettoe esste cetete pe quto pecedeteete sto, e s olte S l sottospo cclco d esso geeto. Tle sottospo è cetete te e copleetble. Iftt ette coe su bse sgole ctee d Jod (u sol pe og utoloe! d lughe ss e qud cetete u see copleto d ctee d Jod. S cosde o lo spo quoete odulo S l cu poloo cttestco è ugule l poloo cttestco d tutto lo spo dso l poloo o. Se tle spo quoete cocde col solo ettoe ullo (S X, o lte pole poloo o ugule l poloo cttestco s è ft l decoposoe, oss tutto lo spo X è gà cclco. ltet s cosde u sottospo P te che copleet S, cetete esstete e s detfch u bse dello spo quoete odulo S co etto d u bse d P.I dett bse sà

14 cetete u ettoe l cu poloo o cocde col poloo o d tutto lo spo quoete otteedo così u secodo sottospo cclco geeto d, che è cetete dsguto dl po. S posegu tle pocedu so toe uo spo quoete cocdete col ettoe ullo, e così l pocedu te edo clcolto u oppotuo ueo d sottosp cclc dsgut l cu so dett dà tutto lo spo. S osse che co tle pocedu l ueo d sottosp cclc otteut è p l sso ueo d blocch d Jod ssoct d u qulche utoloe.