L algoritmo di Euclide generalizzato e la soluzione di equazioni diofantee lineari

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1 Quder d Rcerc Ddttc (Mthetcs),. 7, 7 G.R.I.M. (Deprtet of Mthetcs, Uversty of Plero, Itly) L lgorto d Euclde geerlzzto e l soluzoe d equzo doftee ler Msso Slv sso.slv@struzoe.t Abstrct: I ths pper we descrbe lgorth to solve the ler dophte equto. whch geerlzes the Bchet-Bézout detty to ore th two ukows. The proposed ethod s possbly useful for techg secodry schools wth the help of coputer progrg. The ethod s bsed o the clsscl euclde dvso lgorth tht we geerlze to ore th two tegers by usg trces. The lgorths tht you c fd lterture for solvg ths proble, re usully bsed o the terto of euclde dvso lgorth ppled o two tegers by the so clled Eulero s ethod []. The lgorth tht we propose uses tr opertos tht re esy to be pleeted usg progrg lguge s we propose pped. We propose such lgorth for dfferet fro the oes proposed by other uthors []. Rssuto: I questo rtcolo vee descrtto u lgorto per l rsoluzoe dell equzoe dofte lere. che geerlzz l cosddett dettà d Bchet-Bézout pù vrbl. Il etodo proposto s prest d u percorso d proporre lle scuole superor co l uslo dell progrzoe. Il procedeto è bsto sull lgorto d dvsoe euclde geerlzzto che vee cosderto che for trcle. I geere gl lgort propost per l rsoluzoe d queste equzo s bso su u uso terto dell dvsoe euclde pplct due coeffcet co l etodo d Eulero []. L lgorto che propoo utlzz operzo su trc e be s prest d u pleetzoe u lguggo d progrzoe che propoo ppedce. Tle lgorto vee proposto u for dvers d ltr lgort precedeteete propost d ltr utor e bst su u de sle []. Subject Clssfcto: 97F, 68W, A, D 7

2 Quder d Rcerc Ddttc (Mthetcs),. 7, 7 G.R.I.M. (Deprtet of Mthetcs, Uversty of Plero, Itly). L lgorto eucldeo geerlzzto L de che st ll bse dell lgorto eucldeo dell dvsoe ([3], p. 3), che perette d deterre l sso coue dvsore fr due ter, può essere geerlzzt se d pù d due ter (vedere es. [], [5]). No propoo l seguete lgorto; dto u see d ter, potzzol o ull, che posso pesre coe costtuet u vettore rg C (.. ), cosdero l seguete successoe d operzo :. s cb l sego d tutt coeffcet egtv rededol postv (questo o cb l vlore del sso coue dvsore);. s trov l o fr coeffcet; 3. zdo dl pro coeffcete dverso d zero e dverso dl coeffcete che occup l poszoe del o, s clcol l resto dell dvsoe del coeffcete stesso per l o;. se l resto è ugule s sosttusce tle vlore l coeffcete e s procede co u l coeffcete successvo; 5. se l resto è dverso d, s sosttusce l coeffcete tle vlore, s cosder tle vlore coe l uovo vlore d o e s rprte dl puto 3; 6. s rpetoo le operzo dl puto 3 fo qudo rest u solo coeffcete dverso d. Teore. Al tere del precedete lgorto, l coeffcete dverso d che re el vettore è l sso coue dvsore fr coeffcet zl del vettore C. Dostrzoe. Se dcho co l o vlore de coeffcet e posto, per u deterto dverso dl coeffcete che è l o, q r Poo g cd ( ) ( r ), è suffcete dostrre che cd ( ) cd ( r ) sso coue dvsore che de uov coeffcet. 8., tle uero srà u dvsore che dell see de uov coeffcet, ftt tutt coeffcet tre soo vrt e l uovo coeffcete (l resto dell dvsoe) r è dvsble per g, dto che vle per potes, dvsbl per g. r q e s che (che è uo de coeffcet) soo, Se potzzo, per ssurdo, che esst u uero g dvsore de uov coeffcet tle che g >g, llor s vrebbe che tle uero srebbe u dvsore che d, ftt q r, s che r soo dvsbl per g pertto lo srà che. D questo segue che g o può essere l sso coue dvsore de coeffcet zl cotrddcedo l potes zle che lo fosse, pertto rest dostrto che g srà l

3 Quder d Rcerc Ddttc (Mthetcs),. 7, 7 G.R.I.M. (Deprtet of Mthetcs, Uversty of Plero, Itly) Ad og pssggo l vlore de coeffcet dusce e l lgorto s rrest qudo rest u solo vlore dverso d che srà l sso coue dvsore de coeffcet zl. Osservo che l puto 3 se c soo ltr vlor ugul l o dvduto, verro sosttut co uo. Coe s vede, l lgorto pplcto d u vettore co sol due coeffcet cocde co l oto lgorto eucldeo.. For trcle dell lgorto eucldeo geerlzzto Mostro che l lgorto descrtto el prgrfo precedete è equvlete ll oltplczoe sstr del vettore colo T C per u cert trce qudrt coeffcet ter M d desoe. Tle trce s può costrure cosderdo che og operzoe su coeffcet (vettore C) effettut ell lgorto è equvlete ll oltplczoe sstr per u trce qudrt coeffcet ter d desoe ftt:. cbre l sego d uo de coeffcet è equvlete oltplcre sstr l vettore colo per u trce del tpo :, T C ovvero u trce sull cu dgole c soo tutt tre u - (reltvo ll poszoe del coeffcete l cu sego v cbto) e tutt gl ltr vlor soo. Il deterte d tle tpo trce vle -. b. sostture u coeffcete del vettore co l resto dell dvsoe del coeffcete per (che è uo de coeffcet d C cocdete co o de coeffcet) è equvlete oltplcre sstr l vettore colo T C per u trce del tpo: q ll trsforzoe che lsc vrt tutt coeffcet tre ovvero u trce che corrspode che vee sosttuto co r q, cu r e q soo rspettvete l resto e l quoto dell dvsoe fr e. Il deterte d tle tpo d trce vle. Dlle precedet cosderzo segue che l lgorto, pplcdo sequez le trsforzo del tpo suddetto, è equvlete ll oltplczoe sstr del vettore 9 T C d u uc trce M dt dl prodotto

4 Quder d Rcerc Ddttc (Mthetcs),. 7, 7 G.R.I.M. (Deprtet of Mthetcs, Uversty of Plero, Itly) delle dverse trc reltve lle sgole trsforzo. Per coodtà l tere del precedete lgorto posso scbre l poszoe de coeffcet fl del vettore C odo che l sso coue dvsore occup l pr poszoe del vettore e gl ltr so tutt ull. Quest operzoe equvle oltplcre sstr l vettore scbo fr due eleet del vettore d trce vle -. T C per u trce qudrt, ch ess d desoe T C. Tle trce è del tpo, che esegue lo. Il deterte d tle tpo Osservo che l trce M, sfruttdo l teore d Bet, h deterte che vle o -, dto che è otteut dl prodotto d trc che ho deterte oppure - (s trtt d trsforzo uodulr). 3. Rsoluzoe dell equzoe:. d D quto dscusso fo questo puto, dto l vettore C de coeffcet dell equzoe (*). d, posso costrure, sfruttdo l lgorto eucldeo geerlzzto, u cd(,, ) trce M tle che : M (*) Quest equzoe trcle corrspode u sste d equzo l pr delle qul c forsce u soluzoe prtcolre dell equzoe. cd (, ), etre le ret soo soluzo prtcolr dell equzoe.. A questo puto so grdo d eucre l seguete e oto [6] : Teore. L equzoe dofte cd, ). (. d è rsolvble se e solo se d è dvsble per Dostrzoe. L codzoe è ecessr, ftt, esso che l equzoe bb u soluzoe ' '. ' d, dcdo co g l sso coue dvsore de coeffcet, s può scrvere

5 Quder d Rcerc Ddttc (Mthetcs),. 7, 7 G.R.I.M. (Deprtet of Mthetcs, Uversty of Plero, Itly) g( ' ' ' '. ' ' ) d, cu uov coeffcet soo gl ter dvsble per g. ' g, qud d deve essere L suffcez dell codzoe segue dll equzoe (*), che forsce u soluzoe prtcolre el cso che d s ugule cd, ). Se d è u ultplo d cd, ), poedo d k cd, ) s ( ( ( ottee u soluzoe oltplcdo per k cscuo degl d cd, ). ( che rsolvoo l equzoe el cso Osservo che l teore vle che el cso d. Iftt tl cso è sepre dvsble per cd, ) e u soluzoe esste sepre ed è dt d. ( Se cosdero l dettà d Bchet-Bézout., l precedete teore perette d cocludere che tle equzoe è rsolvble se e solo se coeffcet soo pr fr loro. Prtedo dll equzoe (*) so grdo d trovre tutte le soluzo dell equzoe. d qudo d cd, ). ( Se defo l vettore rg X (.. ) M, vle l seguete: e dcho co R l -es rg dell trce Teore 3. Tutte e sole le soluzo dell equzoe. cd (, ) soo dte d X R λ R λ R, (*3) dove pretr Dostrzoe. λ possoo ssuere tutt possbl vlor ter. Dll lertà dell equzoe segue fclete che per og see d vlor de pretr s ottee u soluzoe d. cd (, ), ftt se esplcto M posso scrvere : ( λ λ λ λ. λ λ ) X R λ R λr, e sosttuedo vlor trovt ell equzoe (*) e cosderdo le equzo (*) s ottee:

6 Quder d Rcerc Ddttc (Mthetcs),. 7, 7 G.R.I.M. (Deprtet of Mthetcs, Uversty of Plero, Itly) ( λ λ ) ( λ λ ) ( λ λ). λ ( ). ( ) d. λ. λ d λ Rest d dostrre che, dt u soluzoe quluque d. cd (, ), tle soluzoe è otteble dll espressoe (*3) co opportu vlor ter de pretr λ. Idcho co l ' vettore X ( '.. ' ) ' che tle vettore è esprble ell for l see de vlor d u soluzoe prtcolre, voglo dostrre X ' R λ R λ R co prtcolr vlor ter de pretr λ. A questo scopo è coveete, dopo vere trodotto u pretro ggutvo λ, scrvere l precedete relzoe sotto for d sste (usdo l trce trspost d M): λ ' λ ' λ ' I tle sste pretr equzoe. Dobbo ostrre che pretr Crer [7] posso clcolre l geerco λ : λ soo le cogte d deterre e vlor ' λ esstoo e soo ter e che λ soo ter ot d cscu. Usdo l etodo d det λ det ' ' ' l deotore l deterte d pertto vlor T M è ugule l deterte d M [7] che, coe vsto vle o -, λ esstoo e soo ter. Per cocludere l dostrzoe è suffcete sostture le espresso che forscoo le soluzo ell equzoe (*): ( λ λ ) ( λ λ ) ( λ λ )

7 Quder d Rcerc Ddttc (Mthetcs),. 7, 7 G.R.I.M. (Deprtet of Mthetcs, Uversty of Plero, Itly) 3 ( ) ( ) ( ).. λ λ λ d d.. λ λ λ qud s ottee d d λ e, dto che suppoo d, deve essere λ. Nturlete l equzoe ), (. cd può essere rcodott ll equzoe equvlete '. ' ' (dettà d Bchet-Bézout) co coeffcet pr fr loro, dvdedo due ebr per ), ( cd.. U esepo Applcho l etodo descrtto per rsolvere l equzoe 7 3 Nell seguete tbell evdezo le trsforzo operte sul vettore de coeffcet utlzzdo l lgorto, le reltve trc e l trce fle M otteut oltplcdo tutte le sgole trc. cbo del sego 3c c c c c c 3 3 c c c versoe delle rghe trce M Abbo che cd(,-7,), qud l equzoe è rsolvble. Utlzzdo l Teore 3 posso rcvre tutte le soluzo: ( ) ( ) ( ) ( ) λ λ

8 Quder d Rcerc Ddttc (Mthetcs),. 7, 7 G.R.I.M. (Deprtet of Mthetcs, Uversty of Plero, Itly) oppure 3 7λ λ λ λ cu pretr λ e λ 3 possoo ssuere tutt vlor ter 3 λ Il cso geerle Il Teore 3 è l puto d prtez per trovre tutte le soluzo d d è u ultplo d cd ( ) (qud che zero).. d e cs cu Cosdero coe el Teore 3 le soluzo dell equzoe. cd (, ), che soo dte d X R λ R λ R, llor posso dostrre l seguete: Teore. Tutte e sole le soluzo dell equzoe. (*) soo dte d X ' λ R λ R, dove pretr deft coe el precedete Teore 3. Dostrzoe. Coco ostrdo che vettor d ter dt d λ possoo ssuere tutt possbl vlor ter e R,.R soo X ' λ R λ R soo soluzo d.. Per quto dostrto el Teore 3 sppo che X R λ R λ R soo soluzo d. cd (, ), prtcolre R è l soluzoe che otteo poedo tutt λ. Posso scrvere X ' X R, s vede che ' X è u soluzoe d *, ftt se esplcto due vettor e scrvo X,, ) e R r, r, r ), sppo che (. cd (, ) e r r. r cd (, ) e qud, sottredo ebro ebro, posso scrvere ( ( r ). ( r r. r ) ( r ) ( r ) che equvle dre che l vettore X ' X R è u soluzoe d. C rest d provre che og soluzoe d * è esprble ell for vlor ter. X ' λ R λ R co opportu λ. A questo proposto cosdero u soluzoe X ( ', ', ' ) d *, s vrà '

9 Quder d Rcerc Ddttc (Mthetcs),. 7, 7 G.R.I.M. (Deprtet of Mthetcs, Uversty of Plero, Itly) '. ', se defo vettore X X R ( ' r, ' r,, ' r ), questo srà u ' ' soluzoe dell equzoe. cd (, ), ftt posso sostture e otteere ' r ) ( ' r ). ( ' r ) ( ' '. ' ) ( r r. r ) cd (, ( ) Per l Teore 3 sppo che esstoo degl ter X R λ R λ λ tl che l soluzoe trovt s può scrvere R, questo puto è suffcete sostture for cerct X X ' R per otteere ' X ell R λr λ R X ' R d cu s ottee subto X ' λ R λ R. Se cosdero l cso pù geerle dell equzoe, ovvero. k cd (, ) co k tero, dostro l seguete: Teore 5. Tutte e sole le soluzo dell equzoe. k cd (, ) (*5) soo dte d X kr λ R λ R, dove pretr λ possoo ssuere tutt possbl vlor ter e R,.R soo deft coe el precedete Teore 3. Noto che cs k e k cocdoo co rsultt dostrt rspettvete el Teore 3 e el Teore. Dostrzoe Ache questo coco ostrdo che og vettore dell for u soluzoe dell equzoe *5. Iftt sppo dl Teore che 5 X kr λ R λ R forsce X ' λ R λ R è u soluzoe d., qud qudo sosttuo X ell equzoe *5 tl ter s ullo e l equzoe dvet kr kr. kr k( r r. r ) k cd (, ) che è verfct dto che l vettore R è u soluzoe d. cd (, ) e qud s h r r. r cd (, ).

10 Quder d Rcerc Ddttc (Mthetcs),. 7, 7 G.R.I.M. (Deprtet of Mthetcs, Uversty of Plero, Itly) Or ostro che quluque soluzoe X d *5 è esprble ell for X,, ) è u soluzoe s h che vle ( X kr λ R λ R. Se. k cd (, ), sppo che che vle r r. r cd (, ) e qud kr kr. kr k cd (, ) se sottro ebro ebro s ottee ( kr ). ( kr kr. kr ) ( kr ) ( kr ) che equvle dre che l vettore kr X è u soluzoe d.. Per l Teore posso dre che esstoo degl ter X kr λ R λ R d cu s ottee fe X kr λ R λ R. λ tl che s può scrvere 6. U lgorto d rsoluzoe per l equzoe. Sfruttdo teore precedet so grdo d proporre u lgorto per l equzoe geerle. d cu stetzzo pss e propoo Appedce u possble pleetzoe lguggo d progrzoe C.. Dt coeffcet dell equzoe,., utlzzo l lgorto descrtto per otteere s l sso coue dvsore d tl coeffcet che vettor rg R,.,R. Se l tere oto dell equzoe o è dvsble per l.c.d. l equzoe o è rsolvble, l cotrro è rsolvble e qud procedo clcolre l vlore k cd (,., ) 3. Tutte le soluzo dell equzoe soo dte dl vettore X kr λ R λ R cu copre l k clcolto l puto, vettor R,.,R trovt l puto e pretr ter λ. 7. Note coclusve I due precedet rtcol bbo gà proposto u odo geoetrco per dostrre l dettà d Bchet- Bézout due cogte, evdezdoe le potezltà ddttche ([8], [9]). Abbo trovto che per pssre pù cogte rsult coveete u etodo lgebrco bsto sulle trc. Tle etodo h, 6

11 Quder d Rcerc Ddttc (Mthetcs),. 7, 7 G.R.I.M. (Deprtet of Mthetcs, Uversty of Plero, Itly) secodo o, che u vlez ddttc utlzzble egl ult dell scuol superore dove soo prevst lo studo delle trc e dell progrzoe (codg). Ioltre c sebr teresste ostrre coe l lgebr delle trc s poss sfruttre utlete che ell bto dell rtetc superore. Rferet bblogrfc [] Dveport H. (99), Artetc superore:u troduzoe ll teor de uer, Zchell. [] Koshy T. (998). Ler Dophte equtos, ler cogrueces d trces, Mth. Gz. 8, [3] Brozz G.C. (6), Artetc : u pprocco coputzole, Zchell. [] Glbert W.J., Pthr A., Ler Dophte Equtos [5] Rosser B. (9). A geerlzto of the Euclde lgorth to severl desos, Duke Mthetcl Jourl 7, [6] Mordell L.J. (969), Dophte Equtos, Acdec Press. [7] Mltsev A.I. (98), Fodet d lgebr lere, Edtor Rut. [8] Slv M. (). U dostrzoe geoetrc dell dettà d Bchet- Bézout, Archede, 3-9. [9] M. Slv d P. Mlc (3). Lbortoro d tetc clsse: due uove cche per proble el cotuo e el dscreto. Quder d Rcerc Ddttc (Mthetcs) 3, 5. 7

12 Quder d Rcerc Ddttc (Mthetcs),. 7, 7 G.R.I.M. (Deprtet of Mthetcs, Uversty of Plero, Itly) Appedce Il seguete progr C rchede d trodurre pr l tere oto dell equzoe., successvete coeffcet,.,, per terre l ssoe s deve dgtre l vlore. Ad esepo, per rsolvere l equzoe 7 s devoo dgtre uer (vo), (vo), -7 (vo), (vo), (vo). 3 /* PROGRAMMA PER LA RISOLUZIONE DI EQUAZIONI DIOFANTEE LINEARI IN INCOGNITE */ /* Autore: Msso Slv sso.slv@struzoe.t */ #clude <ostre> #clude <stdo.h> #clude <stdlb.h> #clude <coo.h> #clude <strg.h> #clude <sstre> usg espce std; strg ttostrg(t vlue) strgstre ss; ss << vlue; retur ss.str(); #defe DM //* desoe ss del vettore t Tere; t Vettore[DM]; t NuEleet; t U [DM][DM]; strg strapp, strid, str; vod Moltplc ( t T[DM][DM]); 8

13 Quder d Rcerc Ddttc (Mthetcs),. 7, 7 G.R.I.M. (Deprtet of Mthetcs, Uversty of Plero, Itly) t () t K,,j, z, quo, tapp,w, ItT; t Pos; t MVet; t MVet; t NuMo; t Cot, cotm; t Od [DM][DM]; MVet; /* Cclo d ssoe del tere oto e coeffcet dell'equzoe */ //rchede l tere oto K; cout << "\ Iserre l tere oto dell'equzoe' :"; c >> Tere; NuMo; //cclo d sereto de coeffcet whle (NuMo!) cout << "\ Iserre l coeffcete "<<K<< " dell'equzoe ' :"; c >> NuMo; f (NuMo!) Vettore[K]NuMo; K; NuEleetK-; cout << "\"; 9

14 Quder d Rcerc Ddttc (Mthetcs),. 7, 7 G.R.I.M. (Deprtet of Mthetcs, Uversty of Plero, Itly) //* zlzzzoe dell trce U for (;<NuEleet;) //* zlzzzoe dell trce trsforzoe coe trce dettà for (j;j<nueleet;j) f (j) U [][j]; else U [][j]; /* Algorto Eucldeo geerlzzto pplcto l vettore Vettore cotepore costruzoe dell trce U */ //* gl eleet egtv del vettore vegoo res postv for (j;j<nueleet;j) f (Vettore[j]<) U [j][j]-; Vettore[j]-Vettore[j]; MVet; for (K;K<NuEleet;K) 3

15 Quder d Rcerc Ddttc (Mthetcs),. 7, 7 G.R.I.M. (Deprtet of Mthetcs, Uversty of Plero, Itly) //* deter l uero ggore de coeffcet vlore ssoluto f (Vettore[K]>MVet ) MVetVettore[K]; MVetMVet; Pos; //*Cerc l o ( vlore ssoluto) del vettore dverso d zero for (K;K<NuEleet;K) f (Vettore[K]<MVet & Vettore[K]!) MVetVettore[K] ; PosK; //* cclo che ter qudo vlor del vettore dvers d zero soo tutt ugul do //ItT; K; do f (Vettore[K]! && K!Pos) tappvettore[k] % MVet; quo(vettore[k]-tapp)/mvet; Vettore[K]tApp; //* costruzoe dell trce reltv ll trsforzoe 3

16 Quder d Rcerc Ddttc (Mthetcs),. 7, 7 G.R.I.M. (Deprtet of Mthetcs, Uversty of Plero, Itly) trce dettà for (;<NuEleet;) //* zlzzzoe dell trce trsforzoe coe for (j;j<nueleet;j) f (j) Od [][j]; else Od [][j]; //* sereto d u opportuo eleeto per otteere l trsforzoe Od[K][Pos]-quo; Moltplc(Od); // se l resto dell dvsoe è dverso d zero cbo l vlore d MVet e d Pos f (tapp!) MVettApp; PosK; K-; K; whle (K!NuEleet); //* coto gl eleet dvers d Cot; 3

17 Quder d Rcerc Ddttc (Mthetcs),. 7, 7 G.R.I.M. (Deprtet of Mthetcs, Uversty of Plero, Itly) for (K;K<NuEleet;K) f (Vettore[K]! ) Cot; whle (Cot!); //* L'eleeto dverso d del vettore (cd) vee posto coe pro eleeto del vettore //* costruzoe dell trce reltv ll trsforzoe for (;<NuEleet;) //* zlzzzoe dell trce trsforzoe coe trce dettà for (j;j<nueleet;j) f (j) Od [][j]; else Od [][j]; //* vo scbte le poszo uero e uero Pos del vettore se cd o s trov pr poszoe f (Pos!) Od[Pos][Pos]; Od[][]; Od[Pos][]; Od[][Pos]; 33

18 Quder d Rcerc Ddttc (Mthetcs),. 7, 7 G.R.I.M. (Deprtet of Mthetcs, Uversty of Plero, Itly) Moltplc(Od); /* cotrollo che l tere oto s dvsble per cd de coeffcet e cso ffertvo vegoo scrtte le soluzo */ f (Tere % MVet) //se è dvsble trovo k e oltplcho per k l pr rg dell trce U tapptere/mvet; f (tapp!) for (j;j<nueleet;j) U[][j]tApp*U[][j]; // se u cogt dpede d u solo pretro egtvo cbo seg dell rg for (;<NuEleet;) //* colo dell trce U Cot; cotm; Pos; for (j;j<nueleet;j) //* rg dell trce U f (U[j][]!) Cot; f (U[j][]< ) cotm; Posj; 3

19 Quder d Rcerc Ddttc (Mthetcs),. 7, 7 G.R.I.M. (Deprtet of Mthetcs, Uversty of Plero, Itly) f(cotm && Cot) for (z;z<nueleet;z) U[Pos][z]-U[Pos][z]; //scrttur delle soluzo for (;<NuEleet;) //* colo dell trce U stridttostrg(); str "X"strId ""; strapp""; f (U[][]!) strappttostrg(u[][]); str strstrapp ; for (j;j<nueleet;j) //* rg dell trce U // costruzoe dell strg f (U[j][]) strapp" "; strstrstrapp; else f (U[j][]>) f (U[j][]!) strappttostrg(u[j][]); else strapp""; 35

20 Quder d Rcerc Ddttc (Mthetcs),. 7, 7 G.R.I.M. (Deprtet of Mthetcs, Uversty of Plero, Itly) strstr" " strapp; stridttostrg(j); strstr "K" strid; else f (U[j][]!-) strappttostrg(u[j][]); else strapp"-"; strstr" " strapp; stridttostrg(j); strstr "K" strid; cout <<str; cout << "\"; cout << "\"; else cout << "\ L'equzoe o ette soluzo tere "; retur ; vod Moltplc ( t T[DM][DM]) t Upp [DM][DM]; 36

21 Quder d Rcerc Ddttc (Mthetcs),. 7, 7 G.R.I.M. (Deprtet of Mthetcs, Uversty of Plero, Itly) t, j, z; // oltplczoe sstr dell trce U co l trce Od for (;<NuEleet;) //* rg dell trce Od for (j;j<nueleet;j) //* colo dell trce U Upp[][j];//*zlzzzoe del vlore dell trce for (z;z<nueleet;z) //* colo dell trce Od Upp[][j]Upp[][j](U[z][j]*T[][z]); for (;<NuEleet;) //* vlor d Upp vegoo trsfert su U for (j;j<nueleet;j) U[][j]Upp[][j]; 37