IL METODO DELLA MASSIMA VEROSIMIGLIANZA. Sia D un insieme di dati osservati e sia M ( θ ) un modello di probabilità caratterizzato dal vettore di

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1 IL METODO DELLA MASSIMA VEROSIMIGLIANZA Sa D u see d dat osservat e sa M ( θ ) u odello d probabltà caratterzzato dal vettore d paraetr θ = ( θ, θ,..., θ k ) defto sull see Θ. La fuzoe d θ [ θ ] L( θ ) = cpr D; proporzoale, attraverso ua quattà scalare c dpedete da θ, alla probabltà d osservare dat D sotto l odello M ( θ ), è detta fuzoe d verosglaza. I partcolare, se X è ua v.a. co fuzoe (destà) d probabltà p( ; θ ), e se (,,..., ) è u capoe casuale d deterazo d X, la fuzoe d verosglaza è defta da Lθ cp θ p θ p ( ) = ( ; ) ( ; ) ( ; θ ) La fuzoe d verosglaza forsce uo strueto per fare fereza sul paraetro cogto θ alla luce del dato speretale.

2 S defsce, fatt, sta d assa verosglaza (SMV) d θ, l valore ˆ θ Θ che rede assa la fuzoe L( θ ) sullo spazo Θ L( ˆ θ ) = sup L( θ ) ˆ θ Θ Il crtero della asszzazoe della fuzoe d verosglaza s foda sulla cosderazoe che la sta tal odo otteuta rappreseta l valore del paraetro cogto che dà la assa probabltà a fatt osservat, sotto l odello M ( θ ). Assuedo che le dervate parzal della fuzoe d verosglaza esstao e che l asso d tale fuzoe o sa sul cofe dello spazo Θ, el puto d asso le dervate parzal pre devoo essere ulle. Pertato, le SMV vao rcercate tra le soluzo del sstea d k equazo L( θ ) θ elle k cogte θ =,..., k. = 0 =,..., k

3 S osserv che, a f della rcerca del asso, soo fluet, e qud possoo essere elate, le quatttà oltplcatve che etrao ell espressoe d L( θ ) e che o cotegooθ. Ioltre, poché cercare l asso d ua fuzoe equvale a cercare l asso d ua sua trasforazoe ootoa, è d solto coveete operare sulla trasforazoe d tpo logartco L ( θ ) = log L( θ ). I olt cas, per deterare le SMV è rchesto l uso d etod d calcolo uerco, o essedo le ste esprbl esplctaete coe fuzoe de dat capoar. Il etodo della MV ha, tuttava, l otevole prego d essere estreaete versatle, quato è pratca applcable alla totaltà d odell d dstrbuzoe e d sche d capoaeto d teresse applcatvo. 3

4 Le SMV, terpretate coe fuzo delle varabl capoare, soo a loro volta delle v.a. (stator) el capoaeto rpetuto. La coosceza della loro dstrbuzoe cosete d valutare la precsoe della procedura d sta, attraverso la forulazoe d u tervallo d cofdeza. La dstrbuzoe degl stator d MV per fto dpede ovvaete dalla dstrbuzoe della v.a. X e dal tpo d capoaeto, e va qud dvduata (ove possble) caso per caso. Tuttava, gl stator d MV godoo della propretà geerale d essere cosstet ed astotcaete effcet. Ioltre, la loro dstrbuzoe coverge astotcaete ad ua dstrbuzoe Norale. 4

5 Sa η = g( θ ) ua fuzoe buvoca del paraetro θ. Il etodo della MV gode della propretà che, se ˆ θ è la SMV d θ, allora ˆ η = g( ˆ θ ) è la SMV d η (propretà d varaza delle SMV). Questa propretà trova applcazoe, ad esepo, ella sta dell affdabltà. Ifatt, se la fuzoe affdabltà Rθ ( ; ) è buvoca θ, la SMV dell affdabltà corrspodeza della ssoe d durata rsulta seplceete R ˆ( ) = Rθ ( ; ˆ). Il etodo della MV trova applcazoe ache stuazo dfferet dal caso d prove dpedet su dvdu dvers, o couque stuazo tal da poter essere rcodotte allo schea cocettuale d varabl aleatore..d. Ad esepo ua stuazoe d teresse è quella relatva all aals d dat orgat da u sstea rparable, sotto l potes che l processo goverate l feoeo sa d tpo Posso No Oogeeo, stuazoe questa o rcoducble allo schea d varabl aleatore..d. 5

6 Qu d seguto vegoo presetat alcu esep d applcazoe del etodo della MV relatvaete al caso della sta de paraetr del odello Boale, del odello Norale e del odello Espoezale. Modello Boale Sa X la v.a. Boale che cota l uero totale d evet successo che s presetao ell esecuzoe d esperet Beroulla dpedet d paraetroθ. Detto l uero d evet osservat, la fuzoe d verosglaza relatva a tale odello è data da! L( θ ;, ) = ( )!( )! θ θ Nella rcerca del asso d questa fuzoe può essere elata la quattà oltplcatva!/[!( )!], quato o cotee l paraetro. Operado la trasforazoe logartca, la fuzoe da asszzare rsulta L ( θ ) = log θ + ( )log( θ) e la sta MV del paraetro θ è la soluzoe della seguete equazoe da cu s rcava L( θ) = = 0 θ θ θ ˆ θ = 6

7 Modello Norale S cosder l caso d ua v.a. X dstrbuta secodo l odello Norale M ( θ ) N( μσ ; ) d cu s voglao stare due paraetr cogt θ = μ e θ = σ. Poché ( μ) p ( ; θ) = ep < μ < ; 0 πσ σ σ > dato l capoe casuale copleto d osservazo (,,..., ), s ha L ( μ) ( μ) πσ σ πσ σ ( μσ, ; ) = ep ep ( μ) σ ep π = σ = Nella rcerca del asso d questa fuzoe può essere elata la quattà oltplcatva /( π ) /, quato o cotee paraetr. Operado la trasforazoe logartca, e paraetrzzado ter d θ e θ, la fuzoe da asszzare rsulta ( θ) L ( θ, θ) = log( θ) θ = 7

8 Le ste d MV ˆ θ e ˆ θ soo le soluzo del seguete sstea d due equazo due cogte L( θ, θ) = ( θ) = 0 θ θ = L( θ, θ) = + ( ) = θ θ ( θ ) Dalla pra equazoe s rcava e dalla secoda ˆ θ ˆ θ = = = ˆ μ ( ˆ) μ = = θ 0 ˆ σ S osserv che, vrtù della propretà d varaza, la SMV della devazoe stadard σ è data da oeto che σ = σ. ˆ σ ˆ = σ, dal Le SMV ˆμ e ˆ σ de paraetr μ e σ cocdoo, pertato, co le ste atural X e Ŝ. 8

9 Modello Espoezale Sa X la v.a. rappresetatva della durata d vta d ua certa utà e s suppoga che X sa dstrbuta secodo l odello d probabltà Espoezale. Sa, pertato f θ θ θ θ ( ; ) = ep( / ) 0; > 0 la destà d probabltà della v.a. X, co θ (vta eda) paraetro cogto da stare. Sa (,..., ) u capoe copleto d deterazo della v.a. X. La fuzoe d verosglaza rsulta L( θ) = θ ep( / θ) = θ ep θ = = e T = = è la statstca suffcete per θ. Il logarto d L( θ ) rsulta L ( θ ) = logθ T θ Dervado rspetto a θ ed uguaglado a zero, s ottee l equazoe θ + T θ = 0, che ha coe soluzoe ˆ T θ = = Qud la SMV d θ cocde co la eda capoara, coereteete co l fatto che θ rappreseta l valore atteso della v.a. X. = 9

10 La stuazoe d capoaeto copleto rappreseta l caso lte del capoaeto cesurato d II tpo cu vegoo osservat pr tep d guasto. Sa ( (),..., ( ) ) l capoe d deterazo speretal orgato da ua prova d durata co cesura e guast. La fuzoe d verosglaza rsulta L! ( θ) = θ ep( () / θ) ep( ( ) / θ) ( )! =! = θ ep θ ( ) ( ) ( )! + = Se, coe precedeza, dchao co T = + ( ) = () ( ) la statstca suffcete, e tralascao la costate oltplcatva, la fuzoe d verosglaza rsulta { T } L( θ ) = θ ep θ Cosderado, coe el caso precedete, la dervata del logarto d L( θ ) ed uguaglado a zero, la SMV rsulta ˆ T θ = = = + ( ) () ( ) S osserv che la quattà T può essere terpretata coe l tepo coplessvo d prova delle utà (total te o test). 0

11 Cosderao ora l caso d cesura d I tpo, e suppoao per aggore geeraltà che sa assegato u tepo d durata assa della prova τ j dverso per cascua della utà prova. Sa (,..., ; τ,..., τ ) l capoe osservato d tep d guasto e d ( ) tep d sopravvveza τ j. La fuzoe d verosglaza rsulta Posto L ( θ ) = θ ep( / θ) ep( τ j / θ) = j= = + θ ep θ τ j = j= T = + τ = j= j la fuzoe d verosglaza può essere scrtta coe { T } L( θ ) = θ ep θ Questa espressoe è foralete aaloga alle precedet e, pertato, la SMV è data da ˆ T θ = = = j= che ha ua struttura aaloga al caso d capoaeto cesurato e guast. + τ j

12 S ot tuttava che questo caso è ua v.a. e la SMV rsulta defta solo el caso cu. > 0 Le v.a. e T forao l see ale d statstche suffcet perθ. Quato detto vale ache el caso d capoaeto co cesura sgola ( τ = τ =,..., ), el qual caso T = + ( ) τ = I deftva, osservado rsultat relatv a dvers tp d capoaeto cosderat, s può afferare che, dpedeteete dal tpo d capoaeto, la SMV del paraetro θ s ottee og caso dvdedo l tepo d prova accuulato da tutt gl eseplar per l uero ( ) d eseplar che s soo guastat. Coe gà osservato, tuttava, l tpo d capoaeto flueza le propretà statstche d tal ste.