Metodologie informatiche per la chimica

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1 Metodologie informtihe per l himi Dr. Sergio Brutti Mtrii

2 Determinnti: metodo dei minori Dt un mtrie n n on elementi ij Il suo erminnte srà dto dll somm dei erminnti di tutti i suoi minori (n-) (n-) ottenuti nellndo isun elemento j dell rig (e l orrispondente olonn j ) e moltipliti per (-) +j j nn n n n n A Con i numero di rig e j numero di olonn nn n n n n nn n n nn n n A

3 Mtrii e erminnti Dt un mtrie B Il suo erminnte srà dto dl prodotto roe tr i suoi elementi B Nel so di un mtrie :

4 Mtrii e erminnti - esempio Dt un mtrie Il suo erminnte srà dto dl prodotto roe tr i suoi elementi 7 Nel so di un mtrie l fine di lolrne il erminnte si può usre il osidto metodo generle: 5

5 Mtrie trspost Dt un mtrie d L su mtrie trspost si otterrà smindo le righe on le olonne d Nel so di un mtrie il menismo è lo stesso: trspost

6 Mtrie trspost - esempio Dt un mtrie L su mtrie trspost è Nel so di un mtrie llo stesso modo: trspost

7 Mtrie identità definiione e proprietà Si definise mtrie identità un mtrie n n i ui elementi sono tutti nulli trnne quelli gienti sull digonle priniple. Questi ultimi sono tutti unitri. L mtrie identità gode di lune proprietà prtiolri: Il suo erminnte è unitrio L su mtrie trspost è sempre pri ll mtrie identità trspost

8 Prodotto vettorile tr vettori Dti due vettori v e u di equione Desritti di seguenti vettori-olonn Il prodotto vettorile tr i due vettori è dto dl erminnte dell seguente mtrie : v v u u u v w Il risultto è un nuovo vettore he non pprtiene llo spio vettorile di prten

9 Prodotto vettorile tr vettori - esempio Dti due vettori v e u di equione Desritti di seguenti vettori-olonn Il prodotto vettorile tr i due vettori è dto dl erminnte dell seguente mtrie : v v u u u v w

10 Prodotto vettorile tr vettori Dti due vettori nello spio rtesino Di norm (modulo) pri : Il modulo del vettore ottenuto dl prodotto vettorile dei due vettori è dto d v u u v w In ui è l ngolo formto dlle due direioni/versi di ppliione dei due vettori. v u sen u v w Similmente qunto de per il prodotto slre nhe nel so del prodotto vettorile le due formule he onsentono di rivrne il risultto onsentono di ottenere indirettmente l ngolo tr i vettori.

11 Prodotto vettorile tr vettori - esempio Considerimo i due vettori u e v dell esempio preedente Il prodotto vettorile tr i due vettori d un nuovo vettore di modulo: v u w u v w Il modulo del nuovo vettore è nhe dto d sen w sen sen v u w D ui si riv he:. rsen sen sen w

12 eserii

13 Prodotto tr mtrii d Dte mtrii Il prodotto delle due mtrii produe un nuov mtrie on un numero di righe pri l numero di righe dell mtrie e numero di olonne pri l numero di olonne dell mtrie. Il prodotto tr mtrii è possiile solo se il numero di olonne dell mtrie orrisponde l numero di righe dell mtrie. e g e d g f f e g h d h f h Ciò he si f è un somm di prodotti rig-olonn ' d ' e d' ' e'... d d' d'' ' d d' e e e' e'' '

14 Prodotto tr mtrii Dte mtrii non qudrte in ui il numero delle righe dell mtrie orrisponde l numero delle olonne dell mtrie. d e d' e' d e Il prodotto delle due mtrii è d ' e d ' e d ' e d' ' e' d' ' e' d' ' e' d ' e d ' e d ' e L mtrie finle è un mtrie qudrt (sempre) he h ome numero di righe e olonne il numero di righe dell mtrie (o il numero di olonne dell mtrie )

15 Prodotto tr mtrii - esempio Dte mtrii Il prodotto delle due mtrii è 5 Dte mtrii non qudrte Il prodotto delle due mtrii è 9 5

16 Rngo di un mtrie Dt un mtrie Si definise rngo dell mtrie il numero mssimo di olonne o righe linermente indipendenti dell mtrie stess. Condiioni di linerità tr olonne o righe. d e e d d Il rngo di un mtrie può essere solo minore o ugule l minore tr il numero di righe e olonne.

17 Rngo di un mtrie - esempio Dt un mtrie Si definise rngo dell mtrie il numero mssimo di olonne o righe linermente indipendenti dell mtrie stess. Condiioni di linerità tr olonne o righe Il rngo dell mtrie preedente è

18 Rngo di un mtrie - esempio Dt un mtrie Si definise rngo dell mtrie il numero mssimo di olonne o righe linermente indipendenti dell mtrie stess. Condiioni di linerità tr olonne o righe. Il rngo dell mtrie preedente è

19 Orlti di un mtrie Dt un mtrie E possiile lolre il suo rngo on il teorem degli orlti o di Kroneker Il rngo di un mtrie è pri ll ordine dell mtrie qudrt (numero di righe=numero di olonne=ordine) più grnde on erminnte non nullo. Quttro minori di ordine dell mtrie onsidert Solo due di essi si definiso orlti ovvero minori linermente indipendenti

20 Orlti di un mtrie - esempio Dt un mtrie E possiile lolre il suo rngo on il teorem degli orlti o di Kroneker Poihé esiste lmeno un minore on il rngo è lmeno. Considero i quttro minori di ordine dell mtrie onsidert. Solo due di essi si definiso orlti ovvero minori linermente indipendenti poihé ontengono il minore on Se entrmi vessero erminnte nullo, neessrimente nhe gli ltri due sreero nulli

21 Rngo di un mtrie Dt un mtrie Il rngo dell mtrie srà se lmeno tr i due erminnti degli orlti onsiderti è non nullo. oppure Nel so in ui fossero entrmi nulli llor si dovree verifire l esisten di lmeno un minor dell mtrie originle il ui erminnte è non nullo.

22 Orlti di un mtrie - esempio Dt un mtrie Dti due dei quttro minori di ordine (orlti) Entrmi gli orlti hnno erminnte non sullo Il rngo dell mtrie è

23 Mtrie invers Si definise mtrie invers di un mtrie qudrt n n, un divers mtrie qudrt di dimensioni n n he moltiplit per l mtrie di prten produe ome mtrie risultnte l mtrie identità ' ' ' '' '' '' d e f In generle non esiste un lgoritmo semplie he onsente di lolre qundo esiste l invers di un dt mtrie. Esistono lgoritmi non nli ome quello dei ofttori o il Guss- Jordn. Seondo il metodo dei ofttori per le mtrii (e solo per esse) vle: d' e' f ' d'' e'' f '' A d A A d

24 Mtrie invers metodo dei ofttori Dt un mtrie qudrt i j A, i,, j i, j A L su mtrie invers è dt d: A of of A, of A,, A, of A, i,, j i, j T In ui (A) è il erminnte dell mtrie A, T indi l operione di trsposiione e of(a, i,j ) è definito dll seguente relione: of i j A,, minor A,i, j i j (minor(a,i,j)) è il erminnte del minore dell mtrie A ottenuto nellndo l rig i e l olonn j.

25 Mtrie invers esempio Dt un mtrie qudrt A L su mtrie invers è dt d: T A A A

26 Mtrie invers esempio Svolgendo i prodotti L su mtrie invers è dt d: T T A A A

27 eserii