P (a,a) PROBLEMA 10 . C

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1 PROBLEMA 10 4 FILI LUNGHI CONDUTTORI SONO TRA LORO PARALLELI E DISPOSTI AI VERTICI DI UN QUADRATO DI LATO = 0 cm; IN OGNI FILO CIRCOLA LA CORRENTE i = 0 A, CON I VERSI MOSTRATI IN FIGURA A) CALCOLARE IL CAMPO MAGNETICO B C NEL CENTRO C DEL QUADRATO L figur che segue mostr l disposizione dei 4 fili conduttori: z P (,) 4 C 1 I fili gicciono lungo l sse x (l sse perpendicolre l pino del foglio) e sono stti indicizzti con i numeri d 1 4; nei fili 1 e l corrente h verso uscente dl foglio (ovvero nel verso positivo delle x), nei fili e 4 h verso entrnte nel foglio (ovvero nel verso negtivo delle x) E noto dll teori che un filo conduttore di lunghezz infinit in cui circol un corrente i, produce in un punto P distnte r un cmpo mgnetico pri : (1) dove è il versore individuto dll regol dell mno destr, come mostrto in figur:

2 r B i In definitiv, il cmpo mgnetico generto d un filo in un punto dello spzio distnte r dl filo stesso h l direzione ortogonle ll direzione di r, gice nel pino ortogonle l filo e contenente r, e il verso definito dll regol dell mno destr Nel nostro cso, utilizzndo il principio di sovrpposizione, considerimo il cmpo mgnetico prodotto d ciscun filo nel punto C e poi sommimo gli effetti Il risultto che si ottiene è mostrto in figur (il pedice di richim l indice del filo i corrispondente): z P (,) 4 B 4 B B 1 B C 1

3 Notimo che i 4 fili hnno tutti l stess distnz dl punto C, centro del qudrto, che è pri metà digonle del qudrto, ovvero Quindi i vrnno tutti lo stesso modulo: 1 4 Per sommre i 4 contributi conviene introdurre un sistem di riferimento crtesino centrto nel punto C e con gli ssi prlleli gli ssi e z Per ovvie rgioni di simmetri i 4 vettori formernno con l sse (e quindi nche con l sse z) un ngolo di 45 Lungo l sse si vrà: ( 1 4 Poiché i moduli sono uguli tr loro, il risultto è il vettore nullo Il cmpo mgnetico risultnte non h componente lungo l sse delle Lungo l sse z si vrà: ( 1 4 Il cmpo mgnetico risultnte nel punto C gice completmente lungo l sse z ed h espressione: ( 4 B) CALCOLARE IL CAMPO MAGNETICO B P NEL VERTICE P DEL QUADRATO Per clcolre il cmpo mgnetico nel punto P di coordinte (,) utilizzimo ncor il principio di sovrpposizione, come nel cso precedente: vlutimo i contributi dti singolrmente di fili 1, e nel punto P e poi li sommimo In figur è mostrto il risultto che si ottiene:

4 z B 1 B 4 B P (,) C 1 Utilizzndo l (1), possimo vlutre immeditmente i moduli dei singoli contributi : 1 Per sommre i singoli contributi conviene introdurre un sistem di riferimento crtesino centrto nel punto P e con gli ssi prlleli gli ssi e z Per ovvie rgioni di simmetri il vettore 1 form con l sse (e quindi nche con l sse z) un ngolo di 45 Lungo l sse si vrà: ( 1 Usndo le espressioni ppen scritte per 1 e, si h: ( ( Lungo l sse z si vrà: ( 1 Usndo le espressioni per 1 e, si h:

5 ( ( In definitiv il cmpo mgnetico nel punto P vrà l seguente espressione: 4 4 ( 5 ( 5 () C) LA FORZA PER UNITA DI LUNGHEZZA SUL FILO DISPOSTO IN P E noto dll teori che un filo lungo l percorso d un corrente i e immerso in un cmpo mgnetico risente di un forz l cui espressione è dt d: dove è un vettore con modulo pri i, e verso e direzioni definiti dll corrente i L forz per unità di lunghezz srà: Nel nostro cso bbimo un filo percorso d corrente nel punto P e immerso in un cmpo mgnetico precedentemente stimto nell () In bse l risultto ppen scritto, l forz per unità di lunghezz srà pri : dove il segno meno discende d ftto che l corrente h il verso discorde rispetto ll sse x Sostituendo l () si ottiene: ( ) ( ) ( ) Dlle nozioni elementri sul prodotto vettorile tr versori di un sistem di riferimento crtesino D è noto che: e quindi: ( ( ( 4