Fisica II - Ing. Marittima e Sicurezza, prof. Schiavi A.A Foglio di Esercizi n. 1

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Vittore Orlando
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1 Fisic II - Ing. Mrittim e Sicurezz, prof. Schivi A.A Foglio i Esercizi n (**) Un cric elettrosttic è istribuit uniformemente, con ensità linere, su un semirett che gice sull sse i un riferimento crtesino ortogonle e si estene = ll infinito. Clcolre l forz esercitt su un cric q, post nell origine el suetto sistem i riferimento. Dti: = 1 µc/m; q = 10 µc; = 10 cm. [Rispost: F = ( i)(1/4π )q/, ove i è il versore ell sse ; F = 0.9 N] Consierimo un trtto infinitesimo i semirett compreso tr e + contenente l quntità i cric q =. Il contributo ll forz totle F nell origine è pri F = q 4π 2 ( i). Sommno (integrno) su tutti i contributi infinitesimi, ottenimo l forz totle F = semirett F = q q ( i) = ( i) 4π 2 4π [ ] 1 = ( i) q 4π. Il moulo i F vle F = 4π = 0.9N (**) Due sfere conuttrici ientiche con cric rispettiv q 1 > 0 e q 2 < 0, tenute ferme nel vuoto istnz (fr i centri elle sfere stesse) = 13.3 cm, si ttrggono con un forz i moulo F 1 = 1 N. Le sfere vengono poi collegte con un filo conuttore. Quno il filo viene rimosso le sfere si respingono con un forz i moulo F 2 = F 1 /8. Determinre q 1 e q 2. [Rispost: q 1 = 2 µc e q 2 = 1 µc oppure q 1 = 1 µc e q 2 = 2 µc] Quno le ue sfere vengono collegte, un prte ell cric viene neutrlizzt. L cric nett che rimne è pri q = q 1 q 2 = q 1 +q 2. Poichè le sfere sono ientiche, l cric q si riistribuisce equmente fr le ue sfere, ciscun elle quli vrà un cric pri q/2 = (q 1 + q 2 )/2. Pertnto F 1 = q 2q 1 4π 2 ; F 2 = [(q 1 + q 2 )/2] 2 4π 2 F 2 = (q 1 + q 2 ) 2 = 1 F 1 4q 1 q 2 8 q q 2 q 1 + q 2 2 = 0 q 1 = 5 4 q 2 ± 1 4 q 1q 2 = q q 1q 2 + q q2 2 q2 2 che h come soluzioni q 1 = 2q 2 e q 1 = 1 2 q 2. Sostitueno nell equzione che efinisce F 1, ottenimo rispettivmente F 1 = 2q2 2 4π 2 e F 1 = q2 2 /2 4π 2, cui q 2 = 0.99µC ; q 1 = 1.98µC oppure q 2 = 1.98µC ; q 1 = 0.99µC.

2 1.3. (**) Un moello molto semplificto i tomo con numero tomico Z consiste in un cric elettric negtiv ( Ze), con e pri l moulo ell cric ell elettrone, corrisponente ll insieme egli elettroni orbitnti, uniformemente istribuit ll interno i un sfer i rggio R, l cui centro è post un cric puntiforme (+Ze), corrisponente l nucleo. Ricvre l espressione el cmpo elettrico in funzione ell istnz r l centro. L ensità volumetric i cric ssocit gli elettroni è { Ze r R ρ() = 4/3 πr 3 0 r > R Applichimo l legge i Guss un superficie sferic i rggio r centrt sul nucleo. Per r R 4πr 2 E(r) = 1 r ] [Ze + ρ(r )4πr 2 r = Ze [ ] 1 r3 0 R 3 cui E(r) = { [ ] Ze 1 4π r r 2 R r R 3 0 r > R 1.4. (**) In un pino gicciono un filo inefinitmente lungo e un sbrrett i lunghezz L, entrmbi i sezione trscurbile, crichi con ensità linere uniforme pri 1 e 2 rispettivmente. L sbrrett, il cui centro si trov istnz l filo, è inclint rispetto l filo stesso i un ngolo α (vei figur). Clcolre l forz cui è sottopost l sbrrett. Dti: 1 = 1 nc/m; 2 = 1 µc/m; L = 1 cm, = 10 cm; α = 30. [Rispost: F = (L/2)sin α ln sin α (L/2)sin α = N; F y = 0; F z = 0 ] Il cmpo E generto l filo rettilineo infinito è prllelo ll sse e il suo moulo in un punto che ist R l filo vle y 1 α 2 E(R) = 1 R. L forz che gisce su un elemento i sbrrett l istnz R l filo è irett come l sse e vle F = E(R)q = E(R) 2 l. Dett l l istnz tr un elemento ell sbrrett e il centro ell stess, l istnz l filo può essere scritt come R = + l sin α. Sommno tutti i contributi ovuti gli elementi ell sbrrett, ottenimo l forz elettric totle cui è sottopost l sbrrett F = L/2 L/2 F = 1 2. Sostitueno i ti numerici, ottenimo L/2 L/2 l + l sinα = 1 2 sinα ln + L 2 sin α L 2 sin α F = N; F y = 0; F z = (**) Due conuttori cilinrici i rggio, rettilinei, prlleli fr loro, i lunghezz infinit, isposti nel vuoto, hnno ensità i cric ugule in moulo, m i segno opposto. Se è l istnz tr i ue ssi e V è l ifferenz i potenzile fr i ue conuttori, eterminre l espressione el moulo ell cric per unità i lunghezz presente su ciscuno ei ue conuttori. [Rispost: = π V/ln[( )/]]

3 2 2 Ricorimo che il cmpo elettrico i un filo infinito i rggio è rile e, per r, h moulo E(r) = / r. Sull sse (vei figur) il cmpo è quini prllelo ll sse stesso e pri ll somm (lgebric) ei contributi ovuti i ue fili. In prticolre, nell intervllo si h E () = ( ) = L ifferenz i potenzile V è quini cui si ottiene V = E () = ( ). ( ln ln = π V ln. ) = ln π, = = (**) Dto nel vuoto uno strto inefinito i spessore D, uniformemente crico, con ensità i volume ρ, compreso fr un pino π 1 i sciss 1 = D/2 e un pino π 2 i sciss 2 = D/2, ricvre l espressione ell ifferenz i potenzile ) fr un punto O el pino i mezzeri e un punto A el pino π 2 ; b) fr il pino π 1 e il pino π 2. [Rispost: V O V A = ρd 2 /8 ; b) V 1 V 2 = 0] Per l simmetri el problem il cmpo elettrico è iretto prllelmente ll sse. Inoltre E () = E ( ) e E (0) = 0. Dti ue punti P e Q i sciss P e Q, rispettivmente, si h llor: P V P V Q = Q E P l = E (). (1) Q Applicno il teorem i Guss un cilinro interno llo strto, con un bse nel pino i simmetri ( = 0) e l ltr in un generic posizione (con D/2 D/2), si h E (0)S + E ()S = ρs, cui E () = ρ. Insereno quest ultim espressione nell (??) ottenimo =0 ρ V 0 V A = = 1 =D/2 2 ρ 2 D/2 0 = 1 ρd 2 e V 1 V 2 = Un protone (mss m p = kg, cric q = C) e un eutone (mss m = 2m p, cric q = C), nel vuoto, entrno seprtmente con un stess velocità v 0 irett lungo l orizzontle, in un zon ello spzio ove esiste un cmpo elettrico verticle uniforme. Tle cmpo è prootto ue pistre orizzontli, prllele fr loro e i estensione molto grne, fr cui è pplict un..p. V. Le prticelle entrno ciscun in moo trovrsi equiistnti lle ue pistre. Trovre l..p. V 2 che eve essere pplict fr le pistre quno pss il eutone perché esso colpisc l pistr negtiv nello stesso punto in cui v il protone quno fr le pistre è pplict un..p. V 1 = 100 Volt. [Rispost: V 2 = 2 V 1 = 200 V] Per entrmbe le prticelle il moto nello spzio compreso tr le ue pistre è rettilineo uniforme nell irezione orizzontle (E = E y, quini F = qe = 0). Nell irezione verticle vremo invece

4 un moto uniformemente ccelerto. L ccelerzione el protone vle 1 = F 1y /m p = q E 1 /m p, ove E 1 = V 1 / e è l istnz tr le pistre. Anlogmente per il eutone vremo 2 = F 2y /m = q E 2 /2m p = q V 2 /(2m p ). Il protone colpisce un elle pistre opo un tempo t 1 = / 1 l momento in cui entr nell zon con cmpo elettrico non nullo. Il punto imptto h sciss 1 = v 0 t 1. Per poter colpire l pistr nello stesso punto, nche il eutone eve vere un tempo i volo pri t 1, inftti 2 = 1 implic t 2 = t 1, l momento che v = v 0 = costnte. Di conseguenz le ccelerzioni evono essere le stesse t 1 = / 1 = t 2 = / 2 1 = 2. Quini e ottenimo V 2 = 2V 1 = 200 Volt. 1 = 2 = qe 2 m p = E 2 = V 2 = V 2 1 2m p qe 1 2E 1 2V 1 2V (**) Un cric q = 20 nc è istribuit uniformemente, nel vuoto, lungo un circonferenz i rggio R = 9 cm; l centro O ell circonferenz è post un cric puntiforme Q = 100 nc. Clcolre il lvoro L necessrio per portre l cric Q l punto O l punto P, posto sull sse ell circonferenz, istnz = 3R O. [Rispost: L = Qq/8π R = 100 µj] Il lvoro che si eve compiere ll esterno per spostre l cric Q l punto O l punto P è to L = Q[V (P) V (O)], (2) ove V è il potenzile elettrico. Il potenzile generto un cric puntiforme q istnz r ll cric stess, e ssumeno nullo il potenzile ll infinito, è V (r) = q/4π r. Nel cso in esme, con istribuzione linere i cric = q/2πr, sull sse ell circonferenz si h (vei figur) V (z) = 1 l 4π circ r = 1 2πR = 1 q 4π r 4π r = 1 q 4π z 2 + R 2. Nei punti P (z = = 3R) e O (z = 0) il potenzile è quini V (P) = q 1 4π 2 + R = 2 q 4π 1 2R ; V (O) = q 4π 1 R. R O l r z P Sostitueno nell Eq. (??) si h L = Q q [ 1 4π 2R 1 ] = Qq 1 = R 2R 4π = 10 4 J = 100 µj (***) Un prticell i mss m = 1 g e cric q 0 = 100 pc è post, nel vuoto, l centro i un nello i rggio R = 10 cm, su cui è istribuit uniformemente l cric q = 10 nc. L prticell viene spostt i un trtto 0 = 0.5 cm lungo l sse ell nello e quini viene bbnont. Dimostrre che l prticell si muove lungo l sse e oscill con moto rmonico ttorno ll origine (centro ell nello); eterminre inoltre il perioo T elle oscillzioni.

5 [Rispost: T = 2π[4π mr 3 /q 0 q ] 1/2 = 66 s] In un generico punto sull sse il cmpo elettrico è to E 0 (,0,0) = (E,0,0), con E () = 2πR 0 l 4π r 2 r = 2πR 4π r 3 = q 4π ( 2 + R 2 ) 3/2 q 4π R 3, ove l ultimo pssggio è giustificto ll ipotesi R. L prticell è quini soggett ll forz, irett lungo l sse, F = q 0 E () e il suo moto è escritto ll equzione mẍ = q 0 E (), ovvero ẍ + q 0 q 4π mr3 = 0, l cui soluzione è un moto rmonico i perioo T = 2π ω = 2π 4π mr 3 q 0 q = 66 s (**) Nell situzione mostrt in figur, nel vuoto sono isposti un filo rettilineo molto lungo, crico con ensità linere uniforme, e un σ c sottile lstr rettngolre, complnre con il filo, con un lto prllelo l b filo, cric con ensità superficile uniforme σ. Determinre l espressione ell forz che si esercit sull lstr. [Rispost: F y = F z = 0; F = σb ln ( ) +c c ] L forz esercitt sull lstr è il risultnte elle forze elettriche F = q E che giscono sulle criche presenti sull lstr per effetto el cmpo elettrico generto l filo. Poichè il cmpo el filo è rile, l forz F vrà solo un componente non null: Erile F y = F z = 0. Il cmpo i un filo infinito è E () =. Suiviimo l pistr in strisce verticli (ovvero irette lungo y) i spessore e lunghezz b. Su un strisci compres tr e +, l forz elettric ovut l filo vle Sommno su tutt l lstr, ottenimo F = =c+ =c F = E()q = F = c+ c (σ b). σ b = σb ( ) + c ln c

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