Numeri nello spazio n dimensionale

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1 Numeri nello spzio n dimensionle Niol D Alfonso Riertore indipendente niol.dlfonso@hotmil.om Sommrio Questo pper introdue i numeri nello spzio n dimensionle. Vle dire, se nell prim dimensione bbimo i numeri reli e nell seond i numeri omplessi, nelle suessive dimensioni vremo i numeri ompleti qui definiti. Keywords: numeri omplessi, numeri ompleti, numeri reli, spzio n dimensionle, estensione dei numeri Introduzione Definition.. Viene definito numero rele r l posizione dell rett R he si rggiunge prtire d quell unitri ttrverso operzioni di trslzione di posizioni. Possimo osservre in proposito l figur nell pgin seguente. L rett R he ompre nell figur viene definit rett dei numeri reli. Theorem.. I numeri reli possono essere espressi nel seguente modo: r = Dimostrzione. L dimostrzione è immedit e deriv dll orrispondenz biunivo tr l operzione di trslzione di vlore e le posizioni dell rett R dei reli. Per mggiori informzioni sui numeri reli si onsulti [, hpter ]. Definition.3. Viene definito numero omplesso t, θ l posizione del pino RI he si rggiunge prtire d quell unitri ttrverso operzioni di trslzione di posizioni e di rotzione pin di rette. Possimo osservre in proposito l figur nell pgin suessiv. D notre he il vlore t, θ viene rggiunto dll posizione unitri dell rett R prim trslndol di modulo t, e poi ruotndo l rett R dell ngolo θ nel pino RI. L rett I he ompre nell figur viene definit rett dei numeri immginri, e ssieme ll rett R dei numeri reli individu il pino RI dei numeri omplessi.

2 Niol D Alfonso Figur : Rppresentzione rtesin dei numeri reli Figur : Rppresentzione rtesin dei numeri omplessi Theorem.4. I numeri omplessi possono essere espressi nel seguente modo: t, θ = t [os θ + i sin θ] Dimostrzione. Fendo riferimento lle relzioni trigonometrihe evidenzite nell figur 3 fronte si ottiene proprio il risultto spettto. Definition.5. Il simbolo t he indi l distnz di un numero omplesso t, θ dll origine è definito modulo. Theorem.6. Il modulo t possiede l seguente proprietà: t = + b Dimostrzione. Applindo il teorem di Pitgor l tringolo individubile nell figur 3 nell pgin suessiv possimo ottenere l relzione: d ui deriv quell preedente. t = + b Definition.7. Il simbolo θ he esprime l rotzione he deve subire l rett R per llinersi ll rett he ongiunge t, θ ll origine è definit fse pin.

3 Numeri nello spzio n dimensionle 3 Figur 3: Rppresentzione trigonometri dei numeri omplessi Theorem.8. L fse pin θ possiede l seguente proprietà: b θ = rtn Dimostrzione. Fendo riferimento sempre llo stesso tringolo dell figur 3 possimo ottenere l relzione: d ui deriv quell preedente. b = tn θ Theorem.9. I numeri omplessi possono essere espressi nel seguente modo: t, θ = t [os θ + k i sin θ + k 360] per k = 0, ±, ±, ±3... Dimostrzione. L dimostrzione è immedit e deriv dll periodiità delle funzioni sin e os. Theorem.0. I numeri omplessi possono essere espressi nel seguente modo: t, θ =, b = + i b Dimostrzione. L dimostrzione è immedit e deriv dll orrispondenz biunivo tr le operzioni di trslzione e rotzione di vlori t,θ e le posizioni,b del pino RI dei omplessi. Per mggiori informzioni sui numeri omplessi si onsulti [, hpter 3]. Il pssggio dll prim dimensione dei numeri reli ll seond dimensione dei numeri omplessi h rihiesto un operzione di rotzione. Estendendo ulteriormente questo proedimento srà possibile introdurre i numeri n dimensionli e definire le loro operzioni.

4 4 Niol D Alfonso Figur 4: Rppresentzione rtesin dei numeri ompleti Numeri nello spzio tre dimensioni. Introduzione i numeri ompleti Definition.. Viene definito numero ompleto ot, θ, γ l posizione dello spzio RIU he si rggiunge prtire d quell unitri ttrverso operzioni di trslzione di posizioni, di rotzione pin di rette e rotzione spzile di pini. Possimo osservre in proposito l figur 4. D notre he l posizione ot, θ, γ viene rggiunt dll posizione unitri dell rett R prim trslndol di modulo t, poi ruotndo l rett R dell ngolo γ nel pino RU, e infine ruotndo il pino RU dell ngolo θ nello spzio RIU. L rett U he ompre nell figur viene definit rett dei numeri usenti, e ssieme ll rett R dei numeri reli e ll rett I dei numeri immginri individu lo spzio RIU dei numeri ompleti. Theorem.. I numeri ompleti possono essere espressi nel seguente modo: ot, θ, γ = t {[os γ os θ] + i [os γ sin θ] + u [sin γ]} Dimostrzione. Fendo riferimento lle relzioni trigonometrihe evidenzite nell figur 5 fronte si ottengono proprio le relzioni erte.

5 Numeri nello spzio n dimensionle 5 Figur 5: Rppresentzione trigonometri dei numeri ompleti Definition.3. Il simbolo t he indi l distnz di un numero ompleto ot, θ, γ dll origine è definito modulo. Theorem.4. Il modulo t possiede l seguente proprietà: t = + b + Dimostrzione. Applindo il teorem di Pitgor i due tringoli di figur 5 possimo ottenere le seguenti relzioni: dlle quli deriv quell preedente. t = t RI + t RI = + b Definition.5. Il simbolo γ he esprime l rotzione he deve subire l rett R per llinersi ll proiezione he h nel pino RU l rett he ongiunge ot, θ, γ ll origine è definit fse pin.

6 6 Niol D Alfonso Theorem.6. L fse pin γ possiede l seguente proprietà: γ = rtn + b Dimostrzione. Fendo riferimento l primo tringolo dell figur 5 nell pgin preedente possimo srivere: γ = rtn t RI mentre fendo riferimento l seondo tringolo sriveremo: t RI = + b dlle ui espressioni deriv direttmente l relzione ert. Definition.7. Il simbolo θ he esprime l rotzione he deve subire l rett R per llinersi ll proiezione he h nel pino RI l rett he ongiunge ot, θ, γ ll origine è definit fse spzile. Theorem.8. L fse spzile θ possiede l seguente proprietà: b θ = rtn Dimostrzione. Fendo riferimento l seondo tringolo dell figur 5 nell pgin preedente possimo ottenere l relzione: d ui deriv quell preedente. b = tn θ Theorem.9. I numeri ompleti possono essere espressi nel seguente modo: ot, θ, γ = t {[os γ + j 360 os θ + k 360]+ + i [os γ + j 360 sin θ + k 360] + u [sin γ + j 360]} per { j = 0, ±, ±, ±3... k = 0, ±, ±, ±3... Dimostrzione. L dimostrzione è immedit e deriv dll periodiità delle funzioni sin e os.

7 Numeri nello spzio n dimensionle 7 Figur 6: Fsi he identifino le posizioni del semispzio R + IU seondo l rppresentzione stndrd Definition.0. I numeri ompleti non pprtenenti ll rett U vengono definiti in rppresentzione stndrd se dotti delle fsi θ e γ he soddisfno le onvenzioni introdotte qui di seguito. Per le posizioni P,b, del semispzio R + IU non pprtenenti i pini RI, RU, IU le fsi dell rppresentzione stndrd srnno quelle indite nell figur 6. Le fsi mostrte in figur possono essere determinte servendosi delle formule: γ = rtn θ = rtn b + b Per le posizioni P,b, del semispzio R IU non pprtenenti i pini RI, RU, IU le fsi dell rppresentzione stndrd srnno quelle indite nell figur 7 nell pgin suessiv. Le fsi mostrte in figur possono essere determinte servendosi delle formule: γ = rtn θ = rtn b + b D notre he l fse pin γ non è lolt on l formul: γ = rtn + b

8 8 Niol D Alfonso Figur 7: Fsi he identifino le posizioni del semispzio R IU seondo l rppresentzione stndrd Figur 8: Fsi he identifino le posizioni del pino RI seondo l rppresentzione stndrd perhé d ess orrisponderebbe il vlore γ. Per le posizioni P,b, del pino RI non pprtenenti lle rette R e I le fsi dell rppresentzione stndrd srnno quelle indite nell figur 8. Le fsi mostrte in figur possono essere determinte servendosi delle formule: γ = rtn + b θ = rtn b Per le posizioni P,b, del semipino R + U non pprtenenti lle rette R e U le fsi dell rppresentzione stndrd srnno quelle indite nell figur 9 nell pgin suessiv.

9 Numeri nello spzio n dimensionle 9 Figur 9: Fsi he identifino le posizioni del semipino R + U seondo l rppresentzione stndrd Figur 0: Fsi he identifino le posizioni del semipino R U seondo l rppresentzione stndrd Le fsi mostrte in figur possono essere determinte servendosi delle formule: γ = rtn θ = 0 Per le posizioni P,b, del semipino R U non pprtenenti lle rette R e U le fsi dell rppresentzione stndrd srnno quelle indite nell figur 0. Le fsi mostrte in figur possono essere determinte servendosi delle formule: γ = rtn θ = 80

10 0 Niol D Alfonso Figur : Fsi he identifino le posizioni del semipino I + U seondo l rppresentzione stndrd Figur : Fsi he identifino le posizioni del semipino I U seondo l rppresentzione stndrd D notre he l fse pin γ non è lolt on l formul: γ = rtn perhé d ess orrisponderebbe il vlore γ. Per le posizioni P,b, del semipino I + U non pprtenenti lle rette I e U le fsi dell rppresentzione stndrd srnno quelle indite nell figur. Le fsi mostrte in figur possono essere determinte servendosi delle formule: γ = rtn b θ = 90 Per le posizioni P,b, del semipino I U non pprtenenti lle rette I e U le fsi dell rppresentzione stndrd srnno quelle indite nell figur.

11 Numeri nello spzio n dimensionle Figur 3: Fsi he identifino le posizioni dell semirett R + seondo l rppresentzione stndrd Le fsi mostrte in figur possono essere determinte servendosi delle formule: γ = rtn b θ = 70 D notre he l fse pin γ non è lolt on l formul: γ = rtn b perhé d ess orrisponderebbe il vlore γ. Per le posizioni P,b, dell semirett R + le fsi dell rppresentzione stndrd srnno quelle indite nell figur 3. Le fsi mostrte in figur possono essere determinte servendosi delle formule: γ = 0 θ = 0 Per le posizioni P,b, dell semirett R le fsi dell rppresentzione stndrd srnno quelle indite nell figur 4 nell pgin seguente. Le fsi mostrte in figur possono essere determinte servendosi delle formule: γ = 0 θ = 80 Per le posizioni P,b, dell semirett I + le fsi dell rppresentzione stndrd srnno quelle indite nell figur 5 nell pgin suessiv.

12 Niol D Alfonso Figur 4: Fsi he identifino le posizioni dell semirett R seondo l rppresentzione stndrd Figur 5: Fsi he identifino le posizioni dell semirett I + rppresentzione stndrd seondo l Le fsi mostrte in figur possono essere determinte servendosi delle formule: γ = 0 θ = 90 Per le posizioni P,b, dell semirett I le fsi dell rppresentzione stndrd srnno quelle indite nell figur 6 fronte. Le fsi mostrte in figur possono essere determinte servendosi delle formule: γ = 0 θ = 70 Theorem.. L rppresentzione stndrd di un numero ompleto di oordinte,b, non giente sull rett U rihiede di ssegnre ll rdie lgebri + b l seguente soluzione positiv: + b = + b Dimostrzione. Nel so delle rppresentzioni stndrd preedentemente esminte he oprono tutte le regioni dello spzio RIU d eslusione dell rett

13 Numeri nello spzio n dimensionle 3 Figur 6: Fsi he identifino le posizioni dell semirett I rppresentzione stndrd seondo l U l fse γ ssume i vlori previsti dll formul: γ = rtn + b qundo si ssegn ll rdie lgebri + b le sue sole soluzioni positive. E questo dimostr immeditmente l tesi. Definition.. I numeri ompleti non pprtenenti ll rett U vengono definiti in rppresentzione omplementre se dotti di fsi ottenute di vlori θ e γ dell rppresentzione stndrd ttrverso quelle sostituzioni he permettono di individure le stesse posizioni. Theorem.3. Chimte θ e γ le fsi he permettono d un numero ompleto non pprtenente ll rett U e in rppresentzione stndrd di identifire un qulsisi posizione dello spzio RIU, un insieme lterntivo di fsi in grdo di individure l stess posizione è quello vente vlori θ + 80 e 80 γ. Dimostrzione. Poihé vlgono le seguenti relzioni: possimo srivere: os 80 γ os θ + 80 = os γ os θ os 80 γ sin θ + 80 = os γ sin θ sin 80 γ = sin γ ot, θ, γ = ot, θ+80, 80 γ dimostrndo l tesi. Theorem.4. I numeri ompleti non pprtenenti ll rett U sono in rppresentzione omplementre se dotti di fsi ottenute sostituendo i vlori θ e γ dell rppresentzione stndrd on i vlori θ + 80 e 80 γ.

14 4 Niol D Alfonso Figur 7: Fsi he identifino le posizioni del semispzio R + IU seondo l rppresentzione omplementre Dimostrzione. L definizione dei numeri ompleti in rppresentzione omplementre e il teorem.3 provno immeditmente l tesi. Fendo riferimento qunto visto per le rppresentzioni stndrd, le onvenzioni dottte per le fsi delle rppresentzioni omplementri srnno quelle indite qui di seguito. Per le posizioni P,b, del semispzio R + IU non pprtenenti i pini RI, RU, IU le fsi dell rppresentzione omplementre srnno quelle indite nell figur 7. Le fsi mostrte in figur possono essere determinte servendosi delle formule: γ = rtn θ = rtn + b b D notre he l fse pin γ e l fse spzile θ non sono lolte on le formule: γ = rtn + b b θ = rtn perhé queste orrisponderebbero i vlori γ e θ. Per le posizioni P,b, del semispzio R IU non pprtenenti i pini RI, RU, IU le fsi dell rppresentzione omplementre srnno quelle indite nell figur 8 fronte.

15 Numeri nello spzio n dimensionle 5 Figur 8: Fsi he identifino le posizioni del semispzio R IU seondo l rppresentzione omplementre Figur 9: Fsi he identifino le posizioni del pino RI seondo l rppresentzione omplementre Le fsi mostrte in figur possono essere determinte servendosi delle formule: γ = rtn + b b θ = rtn D notre he l fse spzile θ non è lolt on l formul: θ = rtn b perhé d ess orrisponderebbe il vlore θ. Per le posizioni P,b, del pino RI non pprtenenti lle rette R e I le fsi dell rppresentzione omplementre srnno quelle indite nell figur 9.

16 6 Niol D Alfonso Figur 0: Fsi he identifino le posizioni del semipino R + U seondo l rppresentzione omplementre Le fsi mostrte in figur possono essere determinte servendosi delle formule: γ = 80 θ = rtn b D notre he l fse spzile θ non è lolt on l formul: b θ = rtn perhé d ess orrisponderebbe il vlore θ. Per le posizioni P,b, del semipino R + U non pprtenenti lle rette R e U le fsi dell rppresentzione omplementre srnno quelle indite nell figur 0. Le fsi mostrte in figur possono essere determinte servendosi delle formule: γ = rtn θ = 80 D notre he l fse pin γ non è lolt on l formul: γ = rtn perhé d ess orrisponderebbe il vlore γ. Per le posizioni P,b, del semipino R U non pprtenenti lle rette R e U le fsi dell rppresentzione omplementre srnno quelle indite nell figur nell pgin suessiv.

17 Numeri nello spzio n dimensionle 7 Figur : Fsi he identifino le posizioni del semipino R U seondo l rppresentzione omplementre Figur : Fsi he identifino le posizioni del semipino I + U seondo l rppresentzione omplementre Le fsi mostrte in figur possono essere determinte servendosi delle formule: γ = rtn θ = 0 D notre he l fse pin γ non è lolt on l formul: γ = rtn perhé d ess orrisponderebbe il vlore γ. Per le posizioni P,b, del semipino I + U non pprtenenti lle rette I e U le fsi dell rppresentzione omplementre srnno quelle indite nell figur.

18 8 Niol D Alfonso Figur 3: Fsi he identifino le posizioni del semipino I U seondo l rppresentzione omplementre Le fsi mostrte in figur possono essere determinte servendosi delle formule: γ = rtn b θ = 70 D notre he l fse pin γ non è lolt on l formul: γ = rtn b perhé d ess orrisponderebbe il vlore γ. Per le posizioni P,b, del semipino I U non pprtenenti lle rette I e U le fsi dell rppresentzione omplementre srnno quelle indite nell figur 3. Le fsi mostrte in figur possono essere determinte servendosi delle formule: γ = rtn θ = 90 b D notre he l fse pin γ non è lolt on l formul: γ = rtn b perhé d ess orrisponderebbe il vlore γ. Per le posizioni P,b, dell semirett R + le fsi dell rppresentzione omplementre srnno quelle indite nell figur 4 fronte.

19 Numeri nello spzio n dimensionle 9 Figur 4: Fsi he identifino le posizioni dell semirett R + seondo l rppresentzione omplementre Figur 5: Fsi he identifino le posizioni dell semirett R seondo l rppresentzione omplementre Le fsi mostrte in figur possono essere determinte servendosi delle formule: γ = 80 θ = 80 Per le posizioni P,b, dell semirett R le fsi dell rppresentzione omplementre srnno quelle indite nell figur 5. Le fsi mostrte in figur possono essere determinte servendosi delle formule: γ = 80 θ = 0 Per le posizioni P,b, dell semirett I + le fsi dell rppresentzione omplementre srnno quelle indite nell figur 6 nell pgin seguente. Le fsi mostrte in figur possono essere determinte servendosi delle formule: γ = 80 θ = 70

20 0 Niol D Alfonso Figur 6: Fsi he identifino le posizioni dell semirett I + rppresentzione omplementre seondo l Figur 7: Fsi he identifino le posizioni dell semirett I rppresentzione omplementre seondo l Per le posizioni P,b, dell semirett I le fsi dell rppresentzione omplementre srnno quelle indite nell figur 7. Le fsi mostrte in figur possono essere determinte servendosi delle formule: γ = 80 θ = 90 Theorem.5. L rppresentzione omplementre di un numero ompleto di oordinte,b, non giente sull rett U rihiede di ssegnre ll rdie lgebri + b l seguente soluzione negtiv: + b = + b Dimostrzione. Nel so delle rppresentzioni omplementri preedentemente esminte he oprono tutte le regioni dello spzio RIU d eslusione dell rett U l fse γ ssume i vlori previsti dll formul: γ = rtn + b qundo si ssegn ll rdie lgebri + b le sue sole soluzioni negtive. E questo dimostr immeditmente l tesi.

21 Numeri nello spzio n dimensionle Theorem.6. Cisun posizione dell rett U orrisponde d un numero ompleto per ogni vlore ssegnbile ll fse spzile θ. Dimostrzione. Assegnndo ll espressione dei numeri ompleti i vlori γ = ±90 he rtterizzno i numeri usenti dell rett U: ot, θ, ±90 = t {[os ±90 os θ] + i [os ±90 sin θ] + u [sin ±90 ]} si ottiene uno stesso risultto indipendentemente dl vlore dell fse spzile θ: ot, θ, ±90 = t u [sin ±90 ] = ±t u dimostrndo l tesi. Definition.7. I numeri ompleti pprtenenti ll rett U vengono definiti in rppresentzione stndrd se dotti di un fse spzile θ pri zero. Definition.8. I numeri ompleti pprtenenti ll rett U vengono definiti in rppresentzione omplementre se dotti di un fse spzile θ divers d zero. Dl momento he i vlori non nulli dell fse spzile sono illimitti, srnno illimitte nhe le rppresentzioni omplementri legte i numeri ompleti pprtenenti ll rett U. Theorem.9. I numeri ompleti non possono essere espressi nel seguente modo: o, b, = + i b + u ovvero: ot, θ, γ o, b, = + i b + u Dimostrzione. L dimostrzione deriv dl ftto he non è lun orrispondenz biunivo tr le operzioni di trslzione e rotzione di vlori t, θ, γ e le posizioni,b, dello spzio RIU, ome snito dll esistenz delle rppresentzioni omplementri teorem.4. Dt l impossibilità di ssoire i numeri ompleti lle singole posizioni dello spzio, potremo omunque esprimerli in funzione delle loro oordinte,b, ptto di espliitre nhe le fsi oinvolte. Detto in ltre prole dovremo serviri dell seguente notzione: o, b, t,θ,γ = t + i b θ + u γ dove i vlori di t, θ, γ se non già inditi, dovrnno essere riferiti quelli he rtterizzno l rppresentzione stndrd.

22 Niol D Alfonso È omunque possibile introdurre un notzione più sinteti indindo qule rppresentzione si ssoit lle oordinte,b, o, nel so dei numeri usenti, il vlore dell fse spzile θ. In prti per l rppresentzione stndrd vremo: o, b, S = + i b + u S per l rppresentzione omplementre: e infine per i numeri usenti: o, b, C = + i b + u C o, b, θ = u θ Mentre qulsisi ltr notzione del seguente tipo: o, b, = + i b + u priv ioè delle informzioni suffiienti rislire i vlori delle fsi θ e γ srà in grdo di rppresentre solmente le posizioni dello spzio RIU, m non i numeri ompleti.. Addizione Definition.0. Nello spzio RIU viene definit ddizione tr le due posizioni o, b, e o, b, l posizione o + +, b +, + rppresentt nhe on il simbolo o, b, + o, b, he soddisf l seguente ondizione: o + +, b +, + = o + +, b + b, + Quest ondizione equivle prendere l posizione dello spzio RIU dott delle seguenti oordinte: + = + b + = b + b + = + Possimo osservre in proposito l figur 8 fronte. V sottolineto ome l ddizione non si definit in termini di trslzioni e rotzioni e questo signifi he deve essere onsidert un operzione he gise sulle posizioni, e non sui numeri ompleti. Se d un e due dimensioni iò non de è dovuto l ftto he in tli mbiti è un orrispondenz biunivo tr posizioni e numeri reli e omplessi.

23 Numeri nello spzio n dimensionle 3 Figur 8: Rppresentzione dell ddizione tr due numeri ompleti Poihé l ddizione gise sulle posizioni l notzione d utilizzre per i vri termini oinvolti srà l seguente: o, b, = + i b + u Per integrre l operzione di ddizione gente sulle posizioni on le ltre operzioni genti sui numeri ompleti srà suffiiente fre riferimento l numero ompleto he si ottiene ssegnndo ll somm le fsi dell rppresentzione stndrd. Theorem.. Risult neutr rispetto ll ddizione l posizione 0, ovvero per: o, b, = 0 si h: o, b, + o, b, = o, b, Dimostrzione. Essendo,b,,,b, dei numeri reli possimo srivere: dimostrndo l tesi. + = + = + 0 = b + = b + b = b + 0 = b + = + = + 0 =

24 4 Niol D Alfonso Theorem.. Risult oppost rispetto ll ddizione l posizione oppost rispetto ll origine, ovvero per: si h: o, b, = o, b, o, b, + o, b, = 0 Dimostrzione. Essendo,b,,,b, dei numeri reli possimo srivere: dimostrndo l tesi. + = + = = 0 b + = b + b = b b = 0 + = + = = 0 Theorem.3. Vle l proprietà ommuttiv, ovvero: o, b, + o, b, = o, b, + o, b, Dimostrzione. Essendo,b,,,b, dei numeri reli possimo srivere: dimostrndo l tesi. + = + b + = b + b + = + + = + = + b + = b + b = b + b + = + = + Theorem.4. Vlgono le proprietà ssoitive e dissoitive, ovvero per: o, b, = o 3 3, b 3, 3 + o 4 4, b 4, 4 si h: o, b, + o, b, = [o, b, + o 3 3, b 3, 3 ] + o 4 4, b 4, 4 [o, b, + o 3 3, b 3, 3 ] + o 4 4, b 4, 4 = o, b, + o, b, Dimostrzione. Essendo,b,,,b,, 3,b 3, 3, 4,b 4, 4 dei numeri reli possimo srivere: + = + = = = +3+4 b + = b + b = b + b 3 + b 4 = b + b 3 + b 4 = b = + = = = = = = + = + b +3+4 = b + b 3 + b 4 = b + b 3 + b 4 = b + b = b = = = + = + dimostrndo l tesi.

25 Numeri nello spzio n dimensionle 5.3 Sottrzione Definition.5. Nello spzio RIU viene definit sottrzione tr le due posizioni o, b, e o, b, l posizione o, b, rppresentt nhe on il simbolo o, b, o, b, he soddisf l seguente ondizione: o,,..., n + o,,..., n = o,,..., n Quest ondizione definise l sottrzione ome operzione invers rispetto ll ddizione, ed equivle rihiedere: = b = b b = V sottolineto ome l sottrzione non si definit in termini di trslzioni e rotzioni e questo signifi he deve essere onsidert un operzione he gise sulle posizioni, e non sui numeri ompleti. Se d un e due dimensioni iò non de è dovuto l ftto he in tli mbiti è un orrispondenz biunivo tr posizioni e numeri reli e omplessi. Poihé d essere oinvolte sono le posizioni l notzione d utilizzre per i vri termini oinvolti srà l seguente: o, b, = + i b + u Per integrre l operzione di sottrzione gente sulle posizioni on le ltre operzioni genti sui numeri ompleti srà suffiiente fre riferimento l numero ompleto he si ottiene ssegnndo ll differenz le fsi dell rppresentzione stndrd. Theorem.6. Risult neutr rispetto ll sottrzione l posizione 0, ovvero per: o, b, = 0 si h: o, b, o, b, = o, b, Dimostrzione. Essendo,b,,,b, dei numeri reli possimo srivere: dimostrndo l tesi. = = 0 = b = b b = b 0 = b = = 0 =

26 6 Niol D Alfonso Theorem.7. Risult identi rispetto ll sottrzione l stess posizione, ovvero per: o, b, = o, b, si h: o, b, o, b, = 0 Dimostrzione. Essendo,b,,,b, dei numeri reli possimo srivere: dimostrndo l tesi. = = = 0 b = b b = b b = 0 = = = 0 Theorem.8. Vle l proprietà invrintiv, ovvero: o, b, o, b, =[o, b, + o 3 3, b 3, 3 ]+ [o, b, + o 3 3, b 3, 3 ] o, b, o, b, =[o, b, o 3 3, b 3, 3 ]+ [o, b, o 3 3, b 3, 3 ] Dimostrzione. Essendo,b,,,b,, 3,b 3, 3 srivere: dei numeri reli possimo = b = b b = = = = b = b + b 3 b + b 3 = b + b 3 b b 3 = b b = = = 3 3 = 3 3 = = b 3 3 = b b 3 b b 3 = b b 3 b + b 3 = b b 3 3 = 3 3 = = dimostrndo l tesi. Theorem.9. Vle l proprietà di equivlenz ddizione sottrzione, ovvero: o, b, + o, b, = o, b, [ o, b, ] o, b, o, b, = o, b, + [ o, b, ]

27 Numeri nello spzio n dimensionle 7 Dimostrzione. Essendo,b,,,b, dei numeri reli possimo srivere: + = + b + = b + b + = + = = + b = b b = b + b = = + = b = b b = + = + = b + = b + b = b b + = + = dimostrndo l tesi..4 Moltiplizione Definition.30. Nello spzio RIU viene definit moltiplizione tr due numeri ompleti o t, θ, γ e o t, θ, γ il numero o t, θ, γ rppresentto nhe on il simbolo o t, θ, γ o t, θ, γ he soddisf l seguente ondizione: o t, θ, γ = o t t, θ + θ, γ + γ Quest ondizione definise l operzione dell moltiplizione, ed equivle rihiedere: t = t t θ = θ + θ γ = γ + γ Possimo osservre in proposito l figur 9 nell pgin suessiv. Theorem.3. Nel so in ui o t, θ, γ e o t, θ, γ sono in rppresentzione stndrd, e non pprtengono ll rett U, l loro moltiplizione

28 8 Niol D Alfonso Figur 9: Rppresentzione dell moltiplizione tr due numeri ompleti potrà essere espress nel seguente modo: o, b, t,θ,γ = tt + i b θ +θ + u γ +γ dove: = b b + b + b b = b + b + b + b = + b + + b Dimostrzione. L moltiplizione tr due numeri ompleti, ome sppimo, soddisf l seguente formul: o t, θ, γ = t t {[os γ + γ os θ + θ ]+ + i [os γ + γ sin θ + θ ] + u [sin γ + γ ]}

29 Numeri nello spzio n dimensionle 9 mentre per i moduli e le fsi oinvolte vrrnno le seguenti relzioni: t = + b + γ = rtn + b b θ = rtn Ne onsegue he le oordinte he stimo erndo potrnno essere sritte nel seguente modo: [ = + b + + b + os rtn + + b ] [ ] b b + rtn os rtn + rtn + b [ b = + b + + b + os rtn ] [ + rtn sin rtn + b b [ = + b + + b + sin rtn ] + rtn + b + b + rtn + b b + ] + Per proseguire on l dimostrzione è neessrio servirsi delle seguenti relzioni trigonometrihe notevoli: os x + y = os x os y sin x sin y sin x + y = sin x os y + os x sin y [ ] + b os rtn = + b + b + [ ] sin rtn = + b + b + [ ] b os rtn = + b [ ] b b sin rtn = + b

30 30 Niol D Alfonso Per determinre il vlore dell oordint i pssggi d svolgere srnno i seguenti: = + b + + b + + b + b + + b + b b + b + + b + b + + b b = + b + b = + b + b b b + b = + b = b b b b + b = + b = b b + b + b Per determinre il vlore dell oordint b i pssggi d svolgere srnno i seguenti: b = + b + + b + + b + b + + b + b + b + b + b + b + + b b + = + b + b b = + b + b + b + b = + b b = b + b + b + b = + b = b + b + b + b Per determinre il vlore dell oordint i pssggi d svolgere srnno

31 Numeri nello spzio n dimensionle 3 i seguenti: = + b + + b + + b + + b + + b + + b + = + b + + b + + b + + b Queste relzioni hnno vlidità generle, nel preiso senso he sono in grdo di oprire nhe i si in ui i oeffiienti,b, sino nulli purhé si rimng nell mbito di numeri ompleti non situti sull rett U. L loro priniple prtiolrità è però quell di vere l loro interno molte rdii nell form x. Poihé il rdindo x è sempre positivo sppimo he l operzione di rdie lgebri qui onsidert è leit, e quindi srà in grdo di ssumere ome risultto due vlori opposti: uno positivo e uno negtivo. Questo signifi he dl punto di vist mtemtio otterremo un relzione in grdo di soddisfre l regol dell moltiplizione per isun possibile ombinzione di segni ttribuibili lle rdii oinvolte. Ad esempio se per onvenzione ssegnimo lle rdii sempre il vlore positivo ottenimo il seguente risultto: = b = b = ui orrispondernno delle relzioni in grdo di soddisfre l regol dell moltiplizione in funzione del modulo delle oordinte oinvolte. Questo signifi he numeri ompleti distinti srnno in grdo di produrre uno stesso risultto dell moltiplizione se le loro oordinte vrnno lo stesso modulo. Volendo individure delle relzioni he soddisfno l regol dell moltiplizione in funzione delle effettive oordinte possedute di numeri ompleti oinvolti, dovremo ssegnre lle rdii lo stesso segno dei oeffiienti situti l loro interno: = b = b =

32 3 Niol D Alfonso Le relzioni ottenute srnno le seguenti: = b b + b + b b = b + b + b + b = + b + + b. Dl momento he i numeri ompleti oinvolti sono in rppresentzione stndrd, seondo qunto stbilito dl teorem. dovremo fr vlere le seguenti relzioni: + b = + b + b = + b he unite quelle indite dlle formule., dimostrno l tesi. A titolo esemplifitivo del teorem ppen dimostrto, supponimo di dover moltiplire i numeri ompleti in rppresentzione stndrd venti oordinte: = = b = b = = =. Il loro modulo potrà essere lolto nel seguente modo: t = t = + b + = + b + = + + = 3 mentre per le loro fsi dovremo fre riferimento lle formule legte ll rppresentzione stndrd: γ = γ = rtn = rtn + b = + b = rtn 35, 6 b b θ = θ = rtn = rtn = rtn = 45 Applindo l regol dell moltiplizione ottenimo ome risultto il numero ompleto vente i seguenti vlori del modulo e delle fsi: t = t t = 3 γ = γ + γ 70, 5 θ = θ + θ = 90

33 Numeri nello spzio n dimensionle 33 e le seguenti oordinte: = t os γ os θ = 3 os 70, 5 os 90 = 0 b = t os γ sin θ = 3 os 70, 5 sin 90 = = t sin γ = 3 sin 70, 5 = A questo punto possimo verifire ome le formule del preedente teorem fino effettivmente giungere llo stesso risultto: = b b + b + b = = = 0 b =b + b = + b + b = + = = + b + + b = + = Theorem.3. Nel so in ui o t, θ, γ e o t, θ, γ sono in rppresentzione omplementre, e non pprtengono ll rett U, l loro moltiplizione potrà essere espress nel seguente modo: o, b, t,θ,γ = tt + i b θ +θ + u γ +γ dove: = b b + b + b b = b + b + b + b = + b + b Dimostrzione. Dl momento he i numeri ompleti oinvolti sono in rppresentzione omplementre, seondo qunto stbilito dl teorem.5 dovremo fr vlere le seguenti relzioni: + b = + b + b = + b

34 34 Niol D Alfonso he unite quelle indite dlle formule., dimostrno l tesi. A titolo esemplifitivo del teorem ppen dimostrto, supponimo di dover moltiplire i numeri ompleti in rppresentzione omplementre venti oordinte: = = b = b = = =. Il loro modulo potrà essere lolto nel seguente modo: t = t = + b + = + b + = + + = 3 mentre per le loro fsi dovremo fre riferimento lle formule legte ll rppresentzione omplementre: γ = γ = rtn = rtn + b = + b = rtn 44, 73 b b θ = θ = rtn = rtn = rtn = 5 Applindo l regol dell moltiplizione ottenimo ome risultto il numero ompleto vente i seguenti vlori del modulo e delle fsi: e le seguenti oordinte: t = t t = 3 γ = γ + γ 89, 46 θ = θ + θ = 450 = 90 = t os γ os θ = 3 os 89, 46 os 90 = 0 b = t os γ sin θ = 3 os 89, 46 sin 90 = = t sin γ = 3 sin 89, 46 = A questo punto possimo verifire ome le formule del preedente teorem fino effettivmente giungere llo stesso risultto: = b b + b + b = = = 0 b = b + b = + b + b = + = = + b + b = =

35 Numeri nello spzio n dimensionle 35 Theorem.33. Nel so in ui o t, θ, γ è in rppresentzione stndrd mentre o t, θ, γ è in rppresentzione omplementre, ed entrmbe non pprtengono ll rett U, l loro moltiplizione potrà essere espress nel seguente modo: o, b, t,θ,γ = tt + i b θ +θ + u γ +γ dove: = b b + + b + b b = b + b + + b + b = + b + b Dimostrzione. Dl momento he il primo fttore è in rppresentzione stndrd, seondo qunto stbilito dl teorem. dovremo fr vlere le seguenti relzioni: + b = + b mentre essendo il seondo fttore in rppresentzione omplementre in riferimento l teorem.5 vrrnno le seguenti relzioni: + b = + b he unite quelle indite dlle formule., dimostrno l tesi. A titolo esemplifitivo del teorem ppen dimostrto, supponimo di dover moltiplire il numero ompleto in rppresentzione stndrd vente oordinte: = b = = e quello in rppresentzione omplementre vente le medesime oordinte: = b = =. Il loro modulo potrà essere lolto nel seguente modo: t = t = + b + = + b + = + + = 3

36 36 Niol D Alfonso mentre per le loro fsi dovremo fre riferimento si lle formule legte ll rppresentzione stndrd he quell omplementre: γ = rtn = rtn + b 35, 6 γ = rtn = rtn + b 44, 73 b θ = rtn = rtn = 45 b θ = rtn = rtn = 5 Applindo l regol dell moltiplizione ottenimo ome risultto il numero ompleto vente i seguenti vlori del modulo e delle fsi: e le seguenti oordinte: t = t t = 3 γ = γ + γ = 80 θ = θ + θ = 70 = t os γ os θ = 3 os 80 os 70 = 0 b = t os γ sin θ = 3 os 80 sin 70 = 3 = t sin γ = 3 sin 80 = 0 A questo punto possimo verifire ome le formule del preedente teorem fino effettivmente giungere llo stesso risultto: = b b + + b + b = = + = 0 b = b + b + = + b + b = + + = 3 = + b + b = = 0 Theorem.34. Nel so in ui o t, θ, γ è in rppresentzione omplementre mentre o t, θ, γ è in rppresentzione stndrd, ed entrmbe

37 Numeri nello spzio n dimensionle 37 non pprtengono ll rett U, l loro moltiplizione potrà essere espress nel seguente modo: o, b, t,θ,γ = tt + i b θ +θ + u γ +γ dove: = b b + + b + b b = b + b + + b + b = + b + b Dimostrzione. Dl momento he il primo fttore è in rppresentzione omplementre, seondo qunto stbilito dl teorem.5 dovremo fr vlere le seguenti relzioni: + b = + b mentre essendo il seondo fttore in rppresentzione stndrd in riferimento l teorem. vrrnno le seguenti relzioni: + b = + b he unite quelle indite dlle formule., dimostrno l tesi. A titolo esemplifitivo del teorem ppen dimostrto, supponimo di dover moltiplire il numero ompleto in rppresentzione omplementre vente oordinte: = b = = e quello in rppresentzione stndrd vente le medesime oordinte: = b = =. Il loro modulo potrà essere lolto nel seguente modo: t = t = + b + = + b + = + + = 3 mentre per le loro fsi dovremo fre riferimento si lle formule legte ll

38 38 Niol D Alfonso rppresentzione stndrd he quell omplementre: γ = rtn = rtn + b 44, 73 γ = rtn = rtn + b 35, 6 b θ = rtn = rtn = 5 b θ = rtn = rtn = 45 Applindo l regol dell moltiplizione ottenimo ome risultto il numero ompleto vente i seguenti vlori del modulo e delle fsi: e le seguenti oordinte: t = t t = 3 γ = γ + γ = 80 θ = θ + θ = 70 = t os γ os θ = 3 os 80 os 70 = 0 b = t os γ sin θ = 3 os 80 sin 70 = 3 = t sin γ = 3 sin 80 = 0 A questo punto possimo verifire ome le formule del preedente teorem fino effettivmente giungere llo stesso risultto: = b b + + b + b = = + = 0 b = b + b + = + b + b = + + = 3 = + b + b = = 0 Theorem.35. Nel so in ui solo o t, θ, γ pprtiene ll rett U mentre o t, θ, γ è in rppresentzione stndrd, l loro moltiplizione

39 Numeri nello spzio n dimensionle 39 potrà essere espress nel seguente modo: o, b, t,θ,γ = tt + i b θ +θ + u γ +γ dove: = os θ b sin θ + b b = sin θ + b os θ + b = + b Dimostrzione. L moltiplizione tr due numeri ompleti, ome sppimo, soddisf l seguente formul: o t, θ, γ = t t {[os γ + γ os θ + θ ]+ + i [os γ + γ sin θ + θ ] + u [sin γ + γ ]} Dl momento he o t, θ, γ pprtiene ll rett U vrà i seguenti vlori di modulo e fsi: t = γ = sign 90 θ onosiuto rtn b diversmente d o t, θ, γ he vrà invee i seguenti vlori: t = + b + γ = rtn b θ = rtn + b Ne onsegue he le oordinte he stimo erndo potrnno essere sritte

40 40 Niol D Alfonso nel seguente modo: [ ] = + b + os sign 90 + rtn + b [ ] b os θ + rtn [ b = + b + os sign 90 + rtn + b [ ] b sin θ + rtn [ ] = + b + sin sign 90 + rtn + b ] Per proseguire on l dimostrzione è neessrio servirsi delle seguenti relzioni trigonometrihe notevoli: os x + y = os x os y sin x sin y sin x + y = sin x os y + os x sin y [ ] + b os rtn = + b + b + [ ] sin rtn = + b + b + [ ] b os rtn = + b [ ] b b sin rtn = + b os [sign x 90 + y] = sign x siny sin [sign x 90 + y] = sign x osy Per determinre il vlore dell oordint i pssggi d svolgere srnno i seguenti: = sign + b + + b + [ ] b os θ + b sin θ + b = = sign os θ b sin θ + b

41 Numeri nello spzio n dimensionle 4 Per determinre il vlore dell oordint b i pssggi d svolgere srnno i seguenti: b = sign + b + + b + [ ] b sin θ + b + os θ + b = = sign sin θ + b os θ + b Per determinre il vlore dell oordint i pssggi d svolgere srnno i seguenti: = sign + b + + b = sign + b + + b Queste relzioni hnno vlidità generle, nel preiso senso he sono in grdo di oprire nhe i si in ui i oeffiienti,b, sino nulli purhé o, b, rimng nell mbito dei numeri ompleti non situti sull rett U. Volendo individure delle relzioni he soddisfno l regol dell moltiplizione in funzione delle effettive oordinte nei numeri ompleti oinvolti dovremo dottre per tutti i oeffiienti,b, l onvenzione x = x, trnne he per per il qule dovrà vlere l onvenzione x = x. L rgione è presto dett e dipende dl ftto he se pplihimo nhe per l solit onvenzione, vremo: sign = e quindi un risultto dell moltiplizione he dipenderà dl modulo dell oordint. Imponendo invee x = x vremo: sign = e quindi un risultto dell moltiplizione he dipenderà dll effettivo vlore di tle oordint. Le relzioni ottenute srnno le seguenti: = os θ b sin θ + b b = sin θ + b os θ + b = + b.

42 4 Niol D Alfonso Dl momento he il numero o, b, è in rppresentzione stndrd, seondo qunto stbilito dl teorem. dovremo fr vlere l seguente relzione: + b = + b he unit quelle indite dlle formule., dimostrno l tesi. A titolo esemplifitivo del teorem ppen dimostrto, supponimo di dover moltiplire il numero usente di oordint = e fse θ = 30 on un numero ompleto in rppresentzione stndrd vente oordinte: =, b =, =. Il loro modulo potrà essere lolto nel seguente modo: t = + b + = t = = = + b + = + + = 3 mentre per le loro fsi nel so del numero usente bbimo: γ = sign 90 = 90 θ = 30 mentre nel so del numero ompleto dovremo fre riferimento lle formule legte ll rppresentzione stndrd: γ = rtn = rtn 35, 6 θ = rtn + b = rtn b = 45 Applindo l regol dell moltiplizione ottenimo ome risultto il numero ompleto vente i seguenti vlori del modulo e delle fsi: e le seguenti oordinte: t = t t = 3 γ = γ + γ 5, 6 θ = θ + θ = 5 = t os γ os θ = 3 os 5, 6 os 5 0, 97 b = t os γ sin θ = 3 os 5, 6 sin 5 0, 6 = t sin γ = 3 sin 5, 6 =

43 Numeri nello spzio n dimensionle 43 A questo punto possimo verifire ome le formule del preedente teorem fino effettivmente giungere llo stesso risultto: = os θ b sin θ + b = os 30 + sin 30 0, 97 b = sin θ + b os θ + b = sin 30 os 30 0, 6 = + b = Theorem.36. Nel so in ui solo o t, θ, γ pprtiene ll rett U mentre o t, θ, γ è in rppresentzione omplementre, l loro moltiplizione potrà essere espress nel seguente modo: o, b, t,θ,γ = tt + i b θ +θ + u γ +γ dove: = os θ b sin θ + b b = sin θ + b os θ + b = + b Dimostrzione. Dl momento he il numero o, b, è in rppresentzione omplementre, seondo qunto stbilito dl teorem.5 dovremo fr vlere l seguente relzione: + b = + b he unit quelle indite dlle formule., dimostrno l tesi. A titolo esemplifitivo del teorem ppen dimostrto, supponimo di dover moltiplire il numero usente di oordint = e fse θ = 30 on un numero ompleto in rppresentzione omplementre vente oordinte: =, b =, =. Il loro modulo potrà essere lolto nel seguente modo: t = + b + = t = = = + b + = + + = 3

44 44 Niol D Alfonso mentre per le loro fsi nel so del numero usente bbimo: γ = sign 90 = 90 θ = 30 mentre nel so del numero ompleto dovremo fre riferimento lle formule legte ll rppresentzione omplementre: γ = rtn = rtn + b 44, 74 b θ = rtn = rtn = 35 Applindo l regol dell moltiplizione ottenimo ome risultto il numero ompleto vente i seguenti vlori del modulo e delle fsi: e le seguenti oordinte: t = t t = 3 γ = γ + γ 34, 74 θ = θ + θ = 65 = t os γ os θ = 3 os 34, 74 os 65 0, 97 b = t os γ sin θ = 3 os 34, 74 sin 65 0, 6 = t sin γ = 3 sin 34, 74 = A questo punto possimo verifire ome le formule del preedente teorem fino effettivmente giungere llo stesso risultto: = os θ b sin θ + b = os 30 + sin 30 0, 97 b = sin θ + b os θ + b = sin 30 os 30 0, 6 = + b = Theorem.37. Nel so in ui solo o t, θ, γ pprtiene ll rett U mentre o t, θ, γ è in rppresentzione stndrd, l loro moltiplizione

45 Numeri nello spzio n dimensionle 45 potrà essere espress nel seguente modo: o, b, t,θ,γ = tt + i b θ +θ + u γ +γ dove: = os θ b sin θ + b b = sin θ + b os θ + b = + b Dimostrzione. L moltiplizione tr due numeri ompleti, ome sppimo, soddisf l seguente formul: o t, θ, γ = t t {[os γ + γ os θ + θ ]+ + i [os γ + γ sin θ + θ ] + u [sin γ + γ ]} Dl momento he o t, θ, γ pprtiene ll rett U vrà i seguenti vlori di modulo e fsi: t = γ = sign 90 θ onosiuto rtn b diversmente d o t, θ, γ he vrà invee i seguenti vlori: t = + b + γ = rtn b θ = rtn + b Ne onsegue he le oordinte he stimo erndo potrnno essere sritte

46 46 Niol D Alfonso nel seguente modo: [ ] = + b + os rtn + sign 90 + b [ ] b os rtn + θ b = + b + [ sin rtn b = + b + os + θ ] sin [ rtn [ rtn + b + sign 90 ] ] + sign 90 + b Per proseguire on l dimostrzione è neessrio servirsi delle seguenti relzioni trigonometrihe notevoli: os x + y = os x os y sin x sin y sin x + y = sin x os y + os x sin y [ ] + b os rtn = + b + b + [ ] sin rtn = + b + b + [ ] b os rtn = + b [ ] b b sin rtn = + b os [x + sign y 90 ] = sign y sinx sin [x + sign y 90 ] = sign y osx Per determinre il vlore dell oordint i pssggi d svolgere srnno i seguenti: = sign + b + + b + [ ] b os θ + b sin θ + b = = sign os θ b sin θ + b

47 Numeri nello spzio n dimensionle 47 Per determinre il vlore dell oordint b i pssggi d svolgere srnno i seguenti: b = sign + b + + b + [ ] b os θ + b + sin θ + b = b = sign os θ + sin θ + b Per determinre il vlore dell oordint i pssggi d svolgere srnno i seguenti: = sign + b + + b = sign + b + + b Queste relzioni hnno vlidità generle, nel preiso senso he sono in grdo di oprire nhe i si in ui i oeffiienti,b, sino nulli purhé o, b, rimng nell mbito dei numeri ompleti non situti sull rett U. Volendo individure delle relzioni he soddisfno l regol dell moltiplizione in funzione delle effettive oordinte nei numeri ompleti oinvolti dovremo dottre per tutti i oeffiienti,b, l onvenzione x = x, trnne he per per il qule dovrà vlere l onvenzione x = x. L rgione è presto dett e dipende dl ftto he se pplihimo nhe per l solit onvenzione, vremo: sign = e quindi un risultto dell moltiplizione he dipenderà dl modulo dell oordint. Imponendo invee x = x vremo: sign = e quindi un risultto dell moltiplizione he dipenderà dll effettivo vlore di tle oordint. Le relzioni ottenute srnno le seguenti: = os θ b sin θ + b b = sin θ + b os θ + b = + b.3

48 48 Niol D Alfonso Dl momento he il numero o, b, è in rppresentzione stndrd, seondo qunto stbilito dl teorem. dovremo fr vlere l seguente relzione: + b = + b he unit quelle indite dlle formule.3, dimostrno l tesi. A titolo esemplifitivo del teorem ppen dimostrto, supponimo di dover moltiplire il numero numero ompleto in rppresentzione stndrd vente oordinte: =, b =, = on un usente di oordint = e fse θ = 30. Il loro modulo potrà essere lolto nel seguente modo: t = + b + = + + = 3 t = + b + = = = mentre per le loro fsi nel so del numero usente bbimo: γ = sign 90 = 90 θ = 30 mentre nel so del numero ompleto dovremo fre riferimento lle formule legte ll rppresentzione stndrd: γ = rtn = rtn 35, 6 θ = rtn + b = rtn b = 45 Applindo l regol dell moltiplizione ottenimo ome risultto il numero ompleto vente i seguenti vlori del modulo e delle fsi: e le seguenti oordinte: t = t t = 3 γ = γ + γ 5, 6 θ = θ + θ = 5 = t os γ os θ = 3 os 5, 6 os 5 0, 97 b = t os γ sin θ = 3 os 5, 6 sin 5 0, 6 = t sin γ = 3 sin 5, 6 =

49 Numeri nello spzio n dimensionle 49 A questo punto possimo verifire ome le formule del preedente teorem fino effettivmente giungere llo stesso risultto: = os θ b sin θ + b b = sin θ + b os θ + b = + b = = os 30 + sin 30 = sin 30 os 30 0, 97 0, 6 Theorem.38. Nel so in ui solo o t, θ, γ pprtiene ll rett U mentre o t, θ, γ è in rppresentzione omplementre, l loro moltiplizione potrà essere espress nel seguente modo: o, b, t,θ,γ = tt + i b θ +θ + u γ +γ dove: = os θ b sin θ + b b = sin θ + b os θ + b = + b Dimostrzione. Dl momento he il numero o, b, è in rppresentzione omplementre, seondo qunto stbilito dl teorem.5 dovremo fr vlere l seguente relzione: + b = + b he unit quelle indite dlle formule.3, dimostrno l tesi. A titolo esemplifitivo del teorem ppen dimostrto, supponimo di dover moltiplire un numero ompleto in rppresentzione omplementre vente oordinte: =, b =, = on il numero usente di oordint = e fse θ = 30. Il loro modulo potrà essere lolto nel seguente modo: t = + b + = + + = 3 t = + b + = = = mentre per le loro fsi nel so del numero usente bbimo: γ = sign 90 = 90 θ = 30

50 50 Niol D Alfonso mentre nel so del numero ompleto dovremo fre riferimento lle formule legte ll rppresentzione omplementre: γ = rtn = rtn + b 44, 74 b θ = rtn = rtn = 35 Applindo l regol dell moltiplizione ottenimo ome risultto il numero ompleto vente i seguenti vlori del modulo e delle fsi: e le seguenti oordinte: t = t t = 3 γ = γ + γ 34, 74 θ = θ + θ = 65 = t os γ os θ = 3 os 34, 74 os 65 0, 97 b = t os γ sin θ = 3 os 34, 74 sin 65 0, 6 = t sin γ = 3 sin 34, 74 = A questo punto possimo verifire ome le formule del preedente teorem fino effettivmente giungere llo stesso risultto: = os θ b sin θ + b b = sin θ + b os θ + b = + b = = os 30 + sin 30 = sin 30 os 30 0, 97 0, 6 Theorem.39. Nel so in ui si o t, θ, γ he o t, θ, γ pprtengono ll rett U, l loro moltiplizione potrà essere espress nel seguente modo: o, b, t,θ,γ = tt + i b θ +θ + u γ +γ dove: = os θ + θ b = sin θ + θ = 0

51 Numeri nello spzio n dimensionle 5 Dimostrzione. L moltiplizione tr due numeri ompleti, ome sppimo, soddisf l seguente formul: o t, θ, γ = t t {[os γ + γ os θ + θ ]+ + i [os γ + γ sin θ + θ ] + u [sin γ + γ ]} Dl momento he o t, θ, γ e o t, θ, γ pprtengono ll rett U vrnno i seguenti vlori di modulo e fsi: t = t = γ = sign 90 γ = sign 90 b θ onosiuto rtn b θ onosiuto rtn Ne onsegue he le oordinte he stimo erndo potrnno essere sritte nel seguente modo: = os [sign 90 + sign 90 ] os θ + θ b = os [sign 90 + sign 90 ] sin θ + θ = sin [sign 90 + sign 90 ] Considerndo he qundo e hnno segni onordi si ottiene: os [sign 90 + sign 90 ] = os ±80 = = sign sign sin [sign 90 + sign 90 ] = sin ±80 = 0 e he qundo hnno segni disordi si ottiene: os [sign 90 + sign 90 ] = os ±0 = = sign sign sin [sign 90 + sign 90 ] = sin ±0 = 0 potremo srivere: = sign sign os θ + θ b = sign sign sin θ + θ = 0

52 5 Niol D Alfonso Volendo individure delle relzioni he soddisfno l regol dell moltiplizione in funzione delle effettive oordinte nei numeri ompleti oinvolti dovremo dottre per i oeffiienti, l onvenzione x = x. Inftti in questo modo ottenimo: sign = sign = e quindi un risultto dell moltiplizione he dipenderà dll effettivo di tli oordinte. L relzione he ottenimo seguendo queste onvenzioni dimostr l tesi. A titolo esemplifitivo del teorem ppen dimostrto, supponimo di dover moltiplire un numero usente di oordint = e fse θ = 30 on il numero usente di oordint = e fse θ = 30. Il loro modulo potrà essere lolto nel seguente modo: mentre per le loro fsi bbimo: t = + b + = = = t = + b + = = = γ = sign 90 = 90 γ = sign 90 = 90 θ = 30 θ = 30 Applindo l regol dell moltiplizione ottenimo ome risultto il numero ompleto vente i seguenti vlori del modulo e delle fsi: e le seguenti oordinte: t = t t = γ = γ + γ = 80 θ = θ + θ = 60 = t os γ os θ = os 80 os 60 = 3 b = t os γ sin θ = os 80 sin 60 = = t sin γ = sin 80 = 0

53 Numeri nello spzio n dimensionle 53 A questo punto possimo verifire ome le formule del preedente teorem fino effettivmente giungere llo stesso risultto: = os θ + θ = os 60 = 3 b = sin θ + θ = sin 60 = = 0 Theorem.40. Risult nullo rispetto ll moltiplizione il numero 0, ovvero per: o t, θ, γ = 0 si h: o t, θ, γ o t, θ, γ = 0 Dimostrzione. Essendo t,θ,γ,t,θ,γ dei numeri reli possimo srivere: dimostrndo l tesi. t = t t = t 0 = 0 θ = θ + θ = θ + indeterminto = indeterminto γ = γ + γ = γ + indeterminto = indeterminto Theorem.4. Risult neutro rispetto ll moltiplizione il numero ompleto S, ovvero per: o, b, S = S si h: o, b, t,θ,γ o, b, S = o, b, t,θ,γ Dimostrzione. Essendo t,θ,γ,t,θ,γ dei numeri reli possimo srivere: dimostrndo l tesi. t = t t = t = t θ = θ + θ = θ + 0 = θ γ = γ + γ = γ + 0 = γ Theorem.4. Risult inverso rispetto ll moltiplizione il numero ompleto he identifi l posizione invers rispetto ll origine, ovvero per: o t, θ, γ = o t, θ, γ si h: o t, θ, γ o t, θ, γ = S

54 54 Niol D Alfonso Dimostrzione. Essendo t,θ,γ,t,θ,γ dei numeri reli possimo srivere: dimostrndo l tesi. t = t t = t t = θ = θ + θ = θ θ = 0 γ = γ + γ = γ γ = 0 Theorem.43. Vle l proprietà ommuttiv, ovvero: o t, θ, γ o t, θ, γ = o t, θ, γ o t, θ, γ Dimostrzione. Essendo t,θ,γ,t,θ,γ dei numeri reli possimo srivere: t = t t θ = θ + θ γ = γ + γ t = t t = t t θ = θ + θ = θ + θ dimostrndo l tesi. γ = γ + γ = γ + γ Theorem.44. Vlgono le proprietà ssoitive e dissoitive, ovvero per: si h: o t, θ, γ = o 3 t 3, θ 3, γ 3 + o 4 t 4, θ 4, γ 4 [o t, θ, γ o 3 t 3, θ 3, γ 3 ] o 4 t 4, θ 4, γ 4 = o t, θ, γ o t, θ, γ o t, θ, γ o t, θ, γ = [o t, θ, γ o 3 t 3, θ 3, γ 3 ] o 4 t 4, θ 4, γ 4 Dimostrzione. Essendo t,θ,γ,t,θ,γ,t 3,θ 3,γ 3,t 4,θ 4,γ 4 dei numeri reli possimo srivere: t 34 = t t 3 t 4 = t t 3 t 4 θ 34 = θ + θ 3 + θ 4 = θ + θ 3 + θ 4 γ 34 = γ + γ 3 + γ 4 = γ + γ 3 + γ 4 dimostrndo l tesi. t = t t = t t 3 t 4 θ = θ + θ = θ + θ 3 + θ 4 γ = γ + γ = γ + γ 3 + γ 4

55 Numeri nello spzio n dimensionle 55 Theorem.45. Non vle l proprietà distributiv rispetto ll ddizione, ovvero per: o t, θ, γ = o 3 t 3, θ 3, γ 3 + o 4 t 4, θ 4, γ 4 si h: o t, θ, γ o t, θ, γ [o t, θ, γ o 3 t 3, θ 3, γ 3 ]+[o t, θ, γ o 4 t 4, θ 4, γ 4 ] Dimostrzione. Fendo riferimento ll situzione desritt dl teorem.3 e onsiderndo he,b,,,b,, 3,b 3, 3, 4,b 4, 4 sono numeri reli, possimo srivere: = + b + + b [ ] 3+4 = 3 + b b + [ b ] b = [ = 3 + b ] b b = [ = 3 + b ] b b dimostrndo l tesi. Theorem.46. Non vle l proprietà distributiv rispetto ll sottrzione, ovvero per: o t, θ, γ = o 3 t 3, θ 3, γ 3 o 4 t 4, θ 4, γ 4 si h: o t, θ, γ o t, θ, γ [o t, θ, γ o 3 t 3, θ 3, γ 3 ] [o t, θ, γ o 4 t 4, θ 4, γ 4 ] Dimostrzione. Fendo riferimento ll situzione desritt dl teorem.3 e onsiderndo he,b,,,b,, 3,b 3, 3, 4,b 4, 4 sono numeri reli, possimo srivere: = + b + + b [ 3 4 = 3 + b ] b + [ ] 4 + b b = [ = 3 + b ] b b = [ = 3 + b ] b b dimostrndo l tesi.

56 56 Niol D Alfonso.5 Divisione Definition.47. Nello spzio RIU viene definit divisione tr due numeri ompleti o t, θ, γ e o t, θ, γ il numero o, θ, γ rppresentto nhe on il simbolo o t,θ,γ o t,θ,γ he soddisf le seguenti ondizioni:. o t, θ. o t, θ, γ 0, γ o t, θ, γ = o t, θ, γ L prim ondizione definise l divisione ome operzione invers rispetto ll moltiplizione, ed equivle rihiedere he: t θ γ = t t = θ θ = γ γ L seond ondizione tre l su giustifizione nell neessità di definire l divisione in modo univoo. Inftti qundo ess non vle, l espressione: o t, θ, γ 0 = 0 oltre rihiedere un dividendo o t, θ, γ su volt nullo, si troverebbe d essere soddisftt d più vlori di o t, θ, γ. Theorem.48. Nel so in ui o t, θ, γ e o t, θ, γ sono in rppresentzione stndrd, e non pprtengono ll rett U, l loro divisione potrà essere espress nel seguente modo: o, b, t,θ,γ = t t + i b θ θ + u γ γ dove: = + b + + b b + + b + b b = b + b + b + + b + b [ ] = + b + + b + b

57 Numeri nello spzio n dimensionle 57 Dimostrzione. L divisione tr due numeri ompleti, ome sppimo, soddisf l seguente formul: o t, θ, γ = t {[os γ γ os θ θ ]+ t + i [os γ γ sin θ θ ] + u [sin γ γ ]} mentre per i moduli e le fsi oinvolte vrrnno le seguenti relzioni: t = + b + γ = rtn + b b θ = rtn Ne onsegue he le oordinte he stimo erndo potrnno essere sritte nel seguente modo: = + b + + b + [ os rtn [ os rtn rtn + b + b ] b rtn b ] b = + b + + b + [ sin rtn [ os rtn rtn + b + b ] b rtn b ] = + b + + b + [ sin rtn ] rtn + b + b Per proseguire on l dimostrzione è neessrio servirsi delle seguenti