Il problema del calcolo delle aree. Suddivisione dell intervallo [a,b] in sottointervalli che ne costituiscono una partizione
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- Raffaella Parente
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1 Integrle Dento. Il prolem del clcolo delle ree Suddvsone dell ntervllo [,] n sottontervll che ne costtuscono un prtzone De. Prtzone S chm prtzone P dell ntervllo [,] un nseme d n+ punt =< <..< n =, comunque scelt tr e. S pone:,..,n h De. nmento Un prtzone P è dett essere un rnmento o pù ne dell prtzone P se: P P
![Integrle Dento: Plurrettngol Assummo che l unzone s lmtt nell ntervllo [,].](/docs-images/86/93240147/images/2-0.jpg "Dt un determnt prtzone P d [,] consdermo per ogn ntervllno Δ : m = l estremo nerore ssunto dll unzone n Δ M = l estremo superore ssunto dll unzone n Δ Costrumo l rettngolo nscrtto: d se Δ ed ltezz m")
2 Integrle Dento: Plurrettngol Assummo che l unzone s lmtt nell ntervllo [,]. Dt un determnt prtzone P d [,] consdermo per ogn ntervllno Δ : m = l estremo nerore ssunto dll unzone n Δ M = l estremo superore ssunto dll unzone n Δ Costrumo l rettngolo nscrtto: d se Δ ed ltezz m Ed ssocmo d esso l re che può nche essere negtv se lo è l unzone dt d: Δ m. L nseme de rettngol nscrtt costturà l plurrettngolo o sclode nscrtto. Costrumo l rettngolo crcoscrtto: d se Δ ed ltezz M Ed ssocmo d esso l re che può nche essere negtv se lo è l unzone dt d: Δ M. L nseme de rettngol nscrtt costturà l plurrettngolo o sclode crcoscrtto.
3 Integrle Dento: Somme Superor ed Ineror De. Somme Superor S P, M Costtuscono un pprossmzone per eccesso dell re De. Somme Ineror s P, m Costtuscono un pprossmzone per detto dell re Amo che: s P, S P, E evdente che con pù rnmo l prtzone dell nseme [,], con pù ruscremo d vere un vlutzone precs dell re. Precsmente, pssndo d un prtzone P d un prtzone pù ne P notmo che le somme neror umentno mentre quelle superor dmnuscono rspettndo sempre l relzone. Qund: se P P s P, s P, S P, S P, con s P, S P,
4 Integrle Dento: Somme Superor ed Ineror Aumentndo l numero d punt le somme neror umentno Aumentndo l numero d punt le somme superor dmnuscono 4
5 Integrle Dento d emnn: Costruzone Poché le somme neror sono sempre mnor od ugul lle somme superor, mo che: Sup P s In P S De. Funzone Integrle secondo emnn L unzone è ntegrle secondo emnn, o -ntegrle se e solo se: Sup P s In P S De. Integrle Dento d emnn Il numero rele precedentemente trovto rppresent l ntegrle dento dell unzone sull ntervllo [,] e s scrve: Not. L clsse delle somme neror e delle somme superor sono due clss d numer rel un mnore dell ltr dunque sono clss seprte. Esse possono vere un elemento seprtore l unco numero compreso tr le somme neror e quelle superor. Se tle numero esste l unzone è dett emnn-integrle o -Integrle su [,] 5 e tle numero è, per denzone, l ntegrle d emnn dell unzone dt su [,]. d
6 Integrle Dento d emnn: Osservzon d e sono dett estrem d ntegrzone è detto estremo nerore d ntegrzone è detto estremo superore d ntegrzone è dett unzone ntegrnd Not. L vrle d ntegrzone è un vrle mut. Per cu le seguent espresson ndcno sempre lo stesso numero: d Teorem Un unzone lmtt su [,] è -ntegrle se esste un prtzone P d [,] tle che: t dt SP,-sP, y dy Not. Il teorem precedente erm che le somme neror e superor, per unzon - ntegrl, sono due clss seprte m ndentmente rvvcnte o contgue. ε 6
7 Funzone non -Integrle Not. Non tutte le unzon sono -ntegrl. Dremo pù vnt delle condzon sucent nché un unzone s -Integrle. Occupmoc d un esempo d unzone che NON è -ntegrle: L Funzone d Drchlet M S P, se Q se \Q S consder l ntervllo [,]. Ess è un unzon lmtt. Per ess, consderto l tto che qulunque s l prtzone P, nell ntervllno Δ compono nnt numer rrzonl ed nnt rzonl, vremo: Sccome: m s P, In S P, Sup s P, L unzone non rsult -ntegrle. NB L unzone d Drchlet present un dscontnutà per ogn numero rzonle tr e. Notmo che tl dscontnutà sono nnte e sono numerl poché tl sono numer rzonl: 7
8 Integrle Dento: le somme d emnn Not. Consderndo unzon lmtte non possmo ermre che vlor m ed M sono vlor ssunt dll unzon nell ntervllno Δ. Se l unzone è contnu l teorem d Weerstrss sscur l tto che l unzone ssume n Δ tl vlor, che concdono con l mnmo ed l mssmo dell unzone stess n Δ. Al posto delle somme neror e superor è llor possle consderre le seguent somme d emnn: P, t con t Per esse vle l seguente teorem: De. P M Teorem é -ntegrl e lm P, P nto E vle d lm σp, P 8
9 Integrle Dento: Sgncto Geometrco. Se l unzone ntegrnd è postv su [,] < llor d ppresent l re dell regone d pno delmtt dll sse delle, dl grco dell unzone e dlle rette vertcl = ed =. E rsult: d Se l unzone ntegrnd è negtv su [,] < llor d ppresent l re dell regone d pno n senso lgerco n qunto negtv delmtt dll sse delle, dl grco dell unzone e dlle rette vertcl = ed =. E rsult: d 9
10 Integrle Dento: Sgncto Geometrco. Se l unzone ntegrnd non h segno sso su [,] < llor l ntegrle dento può essere postvo, negtvo o nullo. d d? sen d cos d
11 Integrle Dento: Sgncto Geometrco. d g d Può essere pensto come re dell regone d pno compres tr le due unzon e g. d g d.. g
12 Integrle Dento: Condzon Sucent per l -Integrltà. Teorem. Se l unzone è contnu su [,] llor è -Integrle. Dm. Per l teorem d Weerstrss mmette mssmo M e mnmo m n ogn ntervllno Δ. Esstono qund n Δ due punt t e t * tl che t =m e t * =M. Poché è contnu, dll denzone d lmte mo che: t t m M P s P S,, * t t t t se : * * Fccmo n modo che P <δ llor: * t t Per l teorem l unzone è -Integrle. Scelto:
13 Integrle Dento: Condzon Sucent per l -Integrltà. Teorem 4. Se l unzone è lmtt su [,] e possede un numero nto d dscontnutà llor è -Integrle. Es. Il teorem precedente permette d ermre che unzon come: sn per per Sono -ntegrl sull ntervllo [,]. Qunto scrtto erm l emnn ntegrltà dell unzone e qund l esstenz dell re, non l suo vlore, evdentemente. In reltà un unzone -ntegrle può presentre nche un numero nnto purché l pù numerle d dscontnutà, tuttv quest propretà non può essere generc m legt ll propretà d monoton dell unzone. Vle ntt l seguente teorem:
14 Integrle Dento: Condzon Sucent per l -Integrltà. Teorem 5. Se l unzone è monoton crescente o decrescente su [,] llor è -Integrle. Allor l seguente unzone: n per n per n loor present un nntà numerle d dscontnutà. sult però -ntegrle, per l precedente teorem, propro perché è monoton crescente 4
15 Integrle Dento: Condzone necessr e sucente per l -Integrltà. Inne l seguente teorem enunc un condzone necessr e sucente per essere -ntegrl, legndo l ntegrle d emnn l pù generle ntegrle d Leesgue tle teor vene ormulto ne cors vnzt d nls mtemtc. Teorem 6 d Vtl - Lesegue. S : un unzone lmtt e null l d uor d un nseme lmtto. Allor s equvlgono le condzon seguent: e ntegrle secondo emnn; l'nseme de punt d dscontnutà d é trscurle nullo per l msur d Leesgue. Se vlgono le condzon, llor e msurle e ntegrle nche secondo Leesgue e gl ntegrl secondo emnn e secondo Leesgue concdono. 5
16 Integrle Dento: Propretà Convenzone d d d d Propretà d lnertà Propretà d ddtvtà Propretà d omogenetà g d d g d d d 6
17 Integrle Dento: Propretà d d se d d Propretà d ddtvtà rspetto ll ntervllo d ntegrzone c d d d c Propretà d monoton se n [, ] d d 7
18 Integrle Dento: Teorem dell med ntegrle Teorem 6 dell Med Integrle o d Lgrnge. S consder l unzone contnu n [,]. Allor esste lmeno un punto c n [,] tle che: Dm. d c Sccome è contnu è -ntegrle. Per l teorem d Weerstrss se m ed M sono l mnmo ed l mssmo dell unzone n [,] mo m M vld per ogn n [,]. Dll propretà d monoton dell ntegrle segue:: md d Md m d M m d M d con m M Il teorem d Drou sscur che esste c n [,] tle che c= d c c.v.d. De. Med Integrle d 8
19 Integrle Dento: Funzone Integrle S consder l unzone, -ntegrle su [,]. Consdermo due punt d [,] : ed. Costrumo l seguente ntegrle dento: De. Funzone Integrle t dt Consdermo l unzone che d ogn numero n [,] ssoc l numero rele dento dll relzone precedente: tle unzone è l unzone Integrle d n [,]. S un unzone -ntegrle su [,] s densce unzone ntegrle F d su [,] con orgne n F t dt 9
![Integrle Dento: Teorem d Torrcell-Brrow Teorem 7 d Torrcell - Brrow S un unzone contnu su [,]. Allor l unzone ntegrle F d su [,] con orgne è contnu e dervle n per ogn d [,] e vle F = Dm.](/docs-images/86/93240147/images/20-1.jpg "S consder: h F F h F h t dt t dt t dt t dt h t dt c h con c, h Applcndo l teorem 6 dell med ntegrle. F' lm h F h lm h c h h lm h c Per l contnutà d c.v.d. L unzone ntegrle F rsult nelle potes del teorem contnutà d un prmtv d.")
20 Integrle Dento: Teorem d Torrcell-Brrow Teorem 7 d Torrcell - Brrow S un unzone contnu su [,]. Allor l unzone ntegrle F d su [,] con orgne è contnu e dervle n per ogn d [,] e vle F = Dm. S consder: h F F h F h t dt t dt t dt t dt h t dt c h con c, h Applcndo l teorem 6 dell med ntegrle. F' lm h F h lm h c h h lm h c Per l contnutà d c.v.d. L unzone ntegrle F rsult nelle potes del teorem contnutà d un prmtv d. In generle s può dmostrre che: Teorem 8 teorem Generlzzto d Torrcell-Brrow Se è -ntegrle llor F è contnu Se è contnu llor F è dervle Se è dervle llor F è dervle con dervt contnu
21 Integrle Dento: Teorem ondmentle del clcolo Teorem 9 Fondmentle del Clcolo S un unzone contnu su [,]. S F un su prmtv, llor: Dm. S consder: d d d c.v.d. F F d d d F F F F : F F F d Convenzone
22 Integrle Dento: Vlor Med Es. Vlore medo d =,,, n nell ntervllo [,],] [ d [,] d 4 [,] d [,] n d n n Es. Vlore medo d =sen nell ntervllo [,π] Es. Vlore medo d =sen nell ntervllo [,π] ], [ d sen sen ] [, d sen sen cos sn
23 Integrle Dento e unzon prmtve F : F F d Not. Gl ntegrl delle unzon contnue possono essere clcolt con le unzon prmtve se queste s possono esprmere per v elementre. Se l unzone ntegrnd non è contnu m solo -ntegrle, l prmtv potree non esstere perché, d esempo, non esstono unzon dervl che hnno dervte con dscontnutà slto. Tuttv può esstere l ntegrle. Es. d per per per Non esste tuttv un unzone dervle n tutto [,] che come unzone dervt 6
24 Integrle Dento: Integrzone per prt Teorem ' g d g g' d Es. Clcolre l re compres tr l sse delle e l grco dell unzone ln tr punt d scss e ln d ln d ln d ln ~.86 4
25 d Integrzone per sosttuzone / g t cos t d g' t dt sen t dt rccos rccos cos t sen t dt rccos rccos cos cos t sen t dt t sen t dt sen t dt t sen tcos t 4 Are qurto d cercho d rggo 5
26 Integrzone per sosttuzone / Teorem Sno :[,] contnu, Φ :[,] contnu,dervle,con dervt contnu e con Φ n [,]. Allor se g è l unzone nvers d Φ, mo d g t g' t dt Es. g t sen t rcsen cos d t dt rcsen rcsen sen t sen tcos t t cos t dt rcsen rcsen 4 Are qurto d cercho d rggo 6
27 Integrle Dento: Are tr grc d unzon A g d g A g d d A c d d d d 4 d c d 4 c d 7
28 Integrl mpropr d spece Amo snor prlto d ntegrl d unzon lmtte n prtcolre contnue su ntervll lmtt [,]. Esstono delle estenson s per unzon non lmtte che per ntervll non lmtt. Integrzone Funzon non lmtte su ntervll lmtt Integrl IMPOPI d SPECIE S consder :,] non lmtt d es / n,] tle che s -ntegrle su ogn ntervllo dell orm [+ε,] e tle che : Denmo llor: lm d lm d Se l lmte * esste nto llor s dce ntegrle n [,] e che l ntegrle IMPOPIO d SPECIE è convergente Se l lmte * è ± llor s dce che l ntegrle IMPOPIO d SPECIE è dvergente Se l lmte * non esste llor s dce che l ntegrle IMPOPIO d SPECIE non esste * 8
29 9 Integrl mpropr d spece Es. S clcol: d lm lm lm d Es. S clcol: d ln lm lm d Es. S clcol: d lm lm d lm se se Per Per = ved es. precedente. Glolmente: d se se
30 Integrl mpropr d spece d lm d * Ad es. /- n [, Teorem dvergente se d é convergent e se Vle un rsultto perettmente nlogo per: d L ntegrle converge se l unzone è nnt d ordne < ltrment dverge.
31 Integrl mpropr d spece Anlogmente nel cso n cu s : lm S densce: d lm d ** Ad es. /- n [, Vle un rsultto perettmente nlogo quello enuncto nel teorem : Teorem -s dvergente se d é convergent e se L ntegrle converge se l unzone è nnt d ordne < ltrment dverge.
32 Integrle Dento: Integrl mpropr d spece Integrzone Funzon su ntervll llmtt Integrl IMPOPI d SPECIE S consder : [,+ contnu. Ponmo: d : lm d Anlogmente, se :-,] contnu. Ponmo: d : lm d Se :-,+ contnu. Ponmo: d d : d d lm d lm h h d M nche : d d : lm lm d h h
33 Integrle Dento: Integrl mpropr d spece Es. S clcol: Es. S clcol: Es. S clcol: d lm lm d d Es. S clcol per n : d n lm lm d lm ln lm ln d lm lm lm d n n lm d lm lm n n n n n se n se n n n Per n= ved es. precedente. Glolmente: d n n se n se n L ntegrle converge se l unzone è nntesm d ordne n> ltrment dverge.
34 Integrle Dento: Integrl mpropr d spece Es. Andmento grco 4
35 Integrle Dento: Integrl mpropr d spece 4 Es. S clcol: d lm lm h h h d lm lm rctn lm h lm rctn h rctn h 5
36 Integrle Dento: Integrl mpropr d spece «prtcolr» Ecco nne lcun ntegrl mpropr rgurdnt unzon d cu l prmtv non è esprmle con unzon «elementr» e d sn d sn d / 6
37 Integrl mpropr d spece «prtcolr» e d e d Per l smmetr pr dell unzone ntegrnd e e d? y d dy y d e dy e d? z d dz e z d e dz z e dz 7
38 Integrle Dento: Lunghezz d un curv Consdermo un unzone y=. S un unzone contnu con dervt contnu n [,]. Voglmo clcolre l lunghezz dell curv rppresentt dl grco dell unzone tr punt d scss e. Per ncrement nntesm dell vrle d +d l vrle y h un ncremento dy che possmo pprossmre con dy= d derenzle. Allor l lunghezz nntesm dell curv dl può essere scrtt ttrverso l teorem d Ptgor: dl d dy d ' d d ' dl ' d Ne segue: d dl d dy lunghezz ' d d 8
39 9 Integrle Dento: Lunghezz d un curv Es. Lunghezz Crconerenz d rggo L lunghezz dell crconerenz d rggo vle: d d l 4 ' 4 ' d 4 rcsen rcsen t rcsen Es. Lunghezz Arco d Prol ' 4 ' dy y d d l ~ ln 5 y SettSh y y dt t d 4 4
40 Integrle Dento: Lunghezz d un curv Es. Lunghezz Ctenr curv lungo l qule s dspone un une pesnte omogene, nel cmpo d grvtà, sst gl estrem. Ch ' Sh l Sh d Ch d Sh Sh Sh e e 4
41 Integrle Dento: Superce sold d rotzone dl L superce del soldo d rotzone vene clcolt come somm ntegrle delle superc lterl de tronch d cono nntesm d ltezz d. L superce lterle d un tronco d cono vle: S lt r d Essendo l potem ed, r rgg delle s. Il prmo teorem d Pppo-Guldno sscur che l clcolo dell superce d rotzone può essere ttuto moltplcndo l lunghezz del segmento dl che gener l superce d rotzone per l lunghezz dell crconerenz che l rcentro del segmento percorre durnte l rotzone. Percò: ds lt dl S lt dl ' d 4
42 4 Integrle Dento: Superce sold d rotzone Es. Superce Ser ser d S y ' ' 4 4 d S ser
43 Integrle Dento: Volum sold d rotzone / d Il volume del soldo vene costruto come somm ntegrle d clndrett nntesm s spessore ltezz d e superce d se π []. dv d V d Es. Volume Cono P h, h rett : y V h h V h d h h h h 4
44 44 Integrle Dento: Volum sold d rotzone / Es. Volume Ser ser d d V d dy y 4 y y dy y y
45 45 Integrle Dento: Volum sold d rotzone sse y / c d dy y dy y dv d c dy y V Cmmento d vrle: y y ' d c d c d dy y V ' d c d V
46 y Studo Funzone Fre l grco qulttvo dell unzone e clcolre l vlore dell ntegrle nel trtto Asntot vertcle : =- e = y' y'' Asntot Olquo : y= d d d ln d c ln [ln ln ] ln 5, 5 9
47 Studo Funzone g e y Fre l grco qulttvo dell unzone seguente e clcolre l vlore dell ntegrle nel trtto ' e e y 4 '' e e e e y Flesso per =ln Punto tngente vertcle nell orgne d e d t t d t e dt e t dt t t dt t t t d e c e e rctn c t t dt t dt dt t t rctn
48 Studo Funzone g Fre l grco qulttvo dell unzone seguente e clcolre l vlore dell ntegrle nel trtto y e e d e rctn e e rctn e,78
x = Il problema del calcolo delle aree Suddivisione dell intervallo [a,b] in sottointervalli che ne costituiscono una partizione
![x = Il problema del calcolo delle aree Suddivisione dell intervallo [a,b] in sottointervalli che ne costituiscono una partizione](/thumbs/63/50351543.jpg "x = Il problema del calcolo delle aree Suddivisione dell intervallo [a,b] in sottointervalli che ne costituiscono una partizione")
Integrle Dento. Il prolem del clcolo delle ree Suddvsone dell ntervllo [,] n sottontervll che ne costtuscono un prtzone De. Prtzone S chm prtzone P dell ntervllo [,] un nseme d n+ punt <
x = Il problema del calcolo delle aree Suddivisione dell intervallo [a,b] in sottointervalli che ne costituiscono una partizione
![x = Il problema del calcolo delle aree Suddivisione dell intervallo [a,b] in sottointervalli che ne costituiscono una partizione](/thumbs/89/98520403.jpg "x = Il problema del calcolo delle aree Suddivisione dell intervallo [a,b] in sottointervalli che ne costituiscono una partizione")
Integrle Dento. ( Il prolem del clcolo delle ree Suddvsone dell ntervllo [,] n sottontervll che ne costtuscono un prtzone De. Prtzone S chm prtzone P dell ntervllo [,] un nseme d (n+ punt <
Il problema del calcolo delle aree. Suddivisione dell intervallo [a,b] in sottointervalli che ne costituiscono una partizione
![Il problema del calcolo delle aree. Suddivisione dell intervallo [a,b] in sottointervalli che ne costituiscono una partizione](/thumbs/89/98520470.jpg "Il problema del calcolo delle aree. Suddivisione dell intervallo [a,b] in sottointervalli che ne costituiscono una partizione")
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TEST DI MATEMATICA Funzioni in un, Funzioni in due vriili Integrli Equzioni differenzili ) Il vlore del limite seguente e e e lim è ) Il vlore del limite seguente 5 lim 5 è : ) L derivt prim dell funzione
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Integrli Il concetto di integrle nsce per risolvere due clssi di problemi: clcolo delle ree di figure delimitte d curve, clcolo di volumi, clcolo del lvoro di un forz, clcolo dello spzio percorso,... integrle
Strutture cristalline 1
Chmc fsc de mterl Strutture crstllne Sergo Brutt Impcchettmento comptto n 2D Esstono 2 dfferent mod d rrngre n un pno 2D crconferenze dentche n modo d tssellre n modo comptto lo spzo dmensonle: Impcchettmento
Scrivere 2.1 cm implica dire che la misura sia compresa nell intervallo mm
Il lto d un ddo è pr. cm. Usndo le cfre sgnfctve per stmre l errore clcolre l volume del cuo. Supponendo che l devzone stndrd nell msur del lto s d mm clcolre l devzone stndrd che ssoct ll msur del volume.
Il calcolo integrale. L idea di partenza è semplice. Consideriamo il seguente grafico. Figura 1
Il clcolo tegrle Le dee d Rem sull cocezoe d geometr ho vuto u prood luez scetc, egl h trodotto l ozoe d tegrle deedo quello che o chmmo tegrle d Rem. Il puto d prtez per trodurre l rgometo è estremmete
Teorema fondamentale del calcolo integrale
Clcolo integrle Proprietà dell integrle deinito Teorem dell medi integrle Corollri del Teorem ond. clc. int. Regole di integrzione deinit Clcolo di ree 2 26 Politecnico di Torino 1 Estensione dell integrle
I vettori. Grandezze scalari: Grandezze vettoriali
Grndee sclr: I ettor engono defnte dl loro lore numerco esemp: lunghe d un segmento, re d un fgur pn, tempertur d un corpo, ecc. Grndee ettorl engono defnte, oltre che dl loro lore numerco, d un dreone
Soluzione a) Detta F la forza impulsiva dovuta al corpo, il momento dell impulso, calcolato rispetto al punto di sospensione, è dato da
A) meccnc Un srr omogene d lunghezz l, lrghezz trscurle e mss M è ppes vertclmente d un estremtà mednte un perno ttorno cu puo` ruotre. Contro l estremt` ler dell srr vene scglto un corpo che nell urto
I vettori. Grandezze scalari: Grandezze ve9oriali
I ettor Grndee sclr: engono defnte dl loro lore numerco esemp: lunghe d un segmento, re d un fgur pn, tempertur d un corpo, ecc. Grndee e9orl engono defnte, oltre che dl loro lore numerco, d un dreone
Integrali. all integrale definito all integrale indefinito. Integrali: riepilogo
Integrli ll integrle deinito ll integrle indeinito Indice dell lezione Integrle Deinito Rettngoloide Integrle deinito come re del rettngoloide Esempi e propriet Primitiv Teorem ondmentle del clcolo integrle
Risultati esame scritto Fisica 2 del 03/10/2016 orali: 11/10/2016 alle ore presso aula H
sultt esme scrtto Fsc del //6 orl: //6 lle ore. presso ul H gl student nteresst vsonre lo scrtto sono pregt d presentrs l gorno dell'orle mtrcol voto 98 7 mmesso 8 7 mmesso 7 7 mmesso 6 7 mmesso 9 7 mmesso
Integrali definiti (nel senso di Riemann)
Integrli definiti (nel senso di Riemnn) Problem: cos è l re di un figur pin? come clcolrl? Grficmente concetto intuitivo ed evidente. Tecnicmente ci sono definizioni e formule d hoc per le figure elementri.
Formulario di Analisi Matematica 1
Formulrio di Anlisi Mtemtic Indice degli rgomenti Punti interni, isolti, di ccumulzione e di frontier Alcune costnti Proprietà delle potenze Proprietà degli esponenzili Proprietà dei logritmi Proprietà
Formule di Integrazione Numerica
Formule d Itegrzoe Numerc Itegrzoe umerc: geerltà Prolem: vlutre l tegrle deto: I d F F utlzzo opportue tecce umerce qudo: l prmtv d o e esprmle orm cus d esempo s/, ep- ; dcoltà el clcolre ltcmete l prmtv
Integrale Improprio. f(x) dx =: Osserviamo che questa definizione ha senso dal momento che per ogni y è ben definito l integrale b
Integrle Improprio In queste lezioni riprendimo l teori dell integrzione in un vribile, l ide è di estendere l integrle definito nche in csi in cui l funzione integrnd o l intervllo di integrzione non
CALCOLARE L AREA DI UNA REGIONE PIANA
INTEGRALI Integrle definito e re con segno Primitiv di un funzione e integrle indefinito Teorem fondmentle del clcolo integrle Clcolo di ree Metodi di integrzione: per prti e per sostituzione CALCOLARE
del prodotto cartesiano A B. Diremo che un elemento a A è in relazione con un elemento b B, e scriveremo a b se, e solo se, ( a,
Relzon bnre Un relzone bnr d un nseme A d un nseme B è un sottonseme R del prodotto crtesno A B Dremo che un elemento A è n relzone con un elemento b B, e scrveremo b se, e solo se, (, b) R Rppresentzone
b a 2. Il candidato spieghi, avvalendosi di un esempio, il teorema del valor medio.
Domnde preprzione terz prov. Considert, come esempio, l funzione nell intervllo [,], il cndidto illustri il concetto di integrle definito. INTEGRALE DEFINITO, prendendo in esme un generic funzione f()
Differenziale. Consideriamo la variazione finita, x della variabile indipendente a cui corrisponde una variazione finita della funzione f x, f x y
Differenzile Considerimo l vrizione finit, dell vriile indipendente cui corrisponde un vrizione finit dell funzione f, f y Δf 1 Δ 2 L vrizione dell vriile dipendente puo' essere molto piccol, infinitesim
QUINTA LEZIONE: corrente elettrica, legge di ohm, carica e scarica di un condensatore, leggi di Kirchoff
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Area del Trapezoide. f(x) A f(a) f(b) f(x)
Are del Trpezoide y o A f() trpezoide h B f() f() L're del trpezoide S puo' essere pprossimt dll're del trpezio AB. Per vere un migliore pprossimzione possimo suddividere il trpezio in trpezi piu' piccoli.
Matematica I, Funzione integrale
Mtemtic I, 24.0.2. Funzione integrle Definizione Sino f : A R, funzione continu su A intervllo, e c in A. L funzione che ssoci d ogni in A l integrle di f sull intervllo [c, ], viene dett funzione integrle
Capitolo 5. Integrali. 5.1 Integrali di funzioni a gradinata
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Definizione (primitiva, integrale indefinito). Data una funzione f diremo che una funzione F è una primitiva di f se
Cpitolo 6 Integrli L opertore derivt D ssoci d un funzione f l su derivt: Df f 0 Ci ciedimo se è possiile invertire quest operzione, vle dire trovre un funzione l cui derivt si un funzione ssegnt Definizione
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Volume di un solido di rotazione
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Integrali impropri in R
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Dimostrazione del teorema di Gauss Green nel piano
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. In un pino, riferito d un sistem di ssi crtesini ortogonli (O), sono ssegnte le curve di equzione:, dove, sono prmetri reli con. ) Determinre i vlori di per i quli queste curve hnno un punto di mssimo
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Integrli in senso generlizzto Pol Rubbioni Integrzione su domini non itti Definizione.. Un funzione continu f : [, + [ R si dice integrbile in senso generlizzto (brevemente, G-integrbile) se esiste finito
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Esercitazioni Capitolo 8-9 Impianti di riscaldamento
Eserctzon Cptolo 8-9 Impnt d rscldmento 1) In un locle rscldto (volume V 400 m 3 ) l rnnovo d r è n 5 (1/h). Nell potes d un tempertur estern t e - 5 C qunto vle l flusso termco per ventlzone v. ssumere:
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Liceo Scientifico Sperimentale anno 2002-2003 Problema 1 Bernardo Pedone. ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE PNI anno 2002-2003
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Esercizio : ESERCIZI DI CALCOLO UMERICO Formule di qudrtur Costruire l ormul di qudrtur interpoltori del tipo d ( ) ( ) ( ) clssiicndol e determinndone l ordine di ccurtezz polinomile Mell Per costruzione
Capitolo IV Cenni di calcolo integrale
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Second prov mturit 06 soluzione secondo problem di mtemtic scientifico Skuol.net June, 06 Primo Problem Le tre funzioni proposte sono f () ( ) k f () 6 + 9k + f () cos( π k ). Punto Affinche l funzione
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1 Integrli dipendenti d un prmetro e derivzione sotto il segno di integrle. Considerimo l funzione f(x, t) : A [, b] R definit nel rettngolo A [, b], essendo A un sottoinsieme perto di R e [, b] un intervllo
3.1 Ridisegnando il circuito senza incroci e applicando la trasformazione triangolo-stella si ottengono gli schemi seguenti.
. dsegnndo l crcuto senz ncroc e pplcndo l trsformzone trngolostell s ottengono gl schem seguent. Ω Ω eq Ω Ω Ω Ω Ω Ω eq Ω Ω Ω Ω eq Ω eq // Ω. S trsform l stell edenzt n rosso n un trngolo (le resstenze