Geometria Analitica. Parabola (asse verticale) Geometria Analitica La retta. ; y2. x = y = y = ax parabola passante per l origine e con asse l asse y

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1 Geometr Anlt Dstnz tr due punt nel pno rtesno P ( x x ) + ( y ) P y Punto medo d due punt nel pno rtesno M x + x y + ( x ; y ) ; M M y Are d un trngolo nel pno rtesno prtre dlle oordnte de suo x y punt A ( x ; y ), B ( x ) ; y e C ( x 3 ; y 3 ) : A x y x y Geometr Anlt L rett Equzone dell rett n form esplt: 3 y mx + q Equzone dell rett n form mplt: x + x + 0 Equzone dell rett vertle: Equzone dell rett orzzontle: x h y q Equzone dell sse delle ordnte (sse y): x 0 Equzone dell sse delle ssse (sse x): y 0 Equzone dell gener rett pssnte per l orgne: Equzone dell rett settre del I-III qudrnte: Equzone dell rett settre del II-IV qudr.: Rette prllele Rette perpendolr 3 y mx y x oppure x y 0 y x oppure x + y 0 y mx + q, y m' x + q' : m m' y mx + q, y m' x + q' : m m' Equzone del fso propro d rette pssnt per P 0 è: y y m ( x ) 0 x 0 Equzone dell rett pssnte per due punt P ( x ; y ) e P ( x ; y ) y y x x y y x x dstnz d un punto d un rett y0 ( mx0 + q) x d d + m Prol (sse vertle) Equzone n form non 0 + y y x + x + Convtà: Se > 0 onvtà rvolt verso l lto Se < 0 onvtà rvolt verso l sso Equzone dell sse: Coordnte del verte: V ; 4 Coordnte del fuoo: F Equzone dell rett drettre: + ; 4 y 4 Coordnte del punto d ntersezone on l sse y: I y ( 0 ;) Coordnte de punt d ntersezone on l sse x: I x ;0 I x Cs prtolr: 0 y x + l sse dell prol onde on l sse y 0 y x + x prol pssnte per l orgne 0 x + y x prol pssnte per l orgne e on sse l sse y ;0

2 Ellsse x y Equzone n form non + Coordnte de vert: A (-; 0 ), A ( ; 0), B ( 0; -), B ( 0; ). Coordnte de fuoh: F (-; 0 ) e F (; 0 ). Relzone tr,, e ( > ) : Eentrtà: e oppure Equzone esplte: y ± x Cmpo d esstenz delle (funzon) equzon esplte: Codomno delle (funzon) equzon esplte: Iperole x y Equzone n form non Coordnte de vert: A (-; 0 ), A ( ; 0). Coordnte de fuoh: F (-; 0 ) e F (; 0 ). Relzone tr,, e : + oppure + Eentrtà: e + Equzone esplte: y ± x y + Cmpo d esstenz delle (funzon) equzon esplte: Codomno delle (funzon) equzon esplte: R x x U x Cronferenz equzone prtre dl entro ( ) ( x x ) + ( y y ) 0 0 r equzone non: x + y + x + y + 0 entro prtre dll equzone non: C( x y ) rggo prtre dll equzone non: r + 4 x0 + y0 Cs prtolr: 0 x + y + y + 0 entro sull sse y 0 x + y + x + 0 entro sull sse x C x 0 ; y 0 e dl rggo r: 0 ; 0 on x0 e y0 0 x + y + x + y 0 ronferenz pssnte per l orgne 0 x + y + 0 entro nell orgne 0 x + y + y 0 entro sull sse y, r. pssnte per l orgne 0 x + y + x 0 entro sull sse x, r. pssnte per l orgne Gonometr Defnzone d rdnte: RAD ) ) L AP R O A L R Conversone Angol (DMS) Rdnt: RAD d grd rd.: RAD π d rd. grd: π

3 Lunghezz dell ro d ronferenz: L Cronferenz gonometr: x + y I denttà fondmentle: + sn sn II denttà fondmentle: tg os Cotngente: otg sn RAD Segn delle funzon gonometrhe ne 4 qudrnt Qudrnte os ( ) sn ( ) tg ( ) otg ( ) I II III IV Perodtà delle funzon gonometrhe: os ( 360 ) sen sen tg 80 tg otg + 80 otg + ; ( ) ( + ) ; ( ) Domno delle funzon gonometrhe: Domno(oseno) R oppure R Domno(seno) R oppure R Domno(tngente) R { 90 + k80, on } k80, on Domno(otngente) R { } R Vlor delle funzon gonometrhe ne prnpl ngol ng. ( ) ng. (rd) ( 0 π/6 π/4 π/3 π/ π 3π/ π os 3 / / / 0-0 sn 0 / / 3 / 0-0 tg 0 otg Espressone d due delle funzon gonometrhe qundo ne è not un terz A prtre dl oseno: sn ± A prtre dl seno: ± os sn A prtre dll tngente: tg sen ± + tn sn ± tg sen tg ± ± os sen sen + tg Codomno delle funzon gonometrhe: ; Codomno(oseno) [- + ] Codomno(seno) [- ; + ] Codomno(tngente) R. Codomno(otngente) R. 3

4 ngol esplementr: ; os(360 - ) os sn(360 - ) - sn tg(360 - ) - tg otg(360 -) - otg os(π - ) os sn(π - ) - sn tg(π - ) - tg otg(π-) - otg ngol supplementr: ; 80 - os(80 - ) - os sn(80 - ) sn tg(80 - ) - tg otg(80 - ) - otg ngol omplementr: ; 90 - sn(90 - ) os os(90 - ) sn tg(90 - ) otg otg(90 - ) tg os(π - ) - os sn(π - ) sn tg(π - ) - tg otg(π - ) - otg sn(π/ - ) os os(π/ - ) sn tg(π/ - ) otg otg(π/ - ) tg ngol he dffersono d 90 : ; 90 + os(90 + ) - sn os(π/ + ) - sn sn(90 + ) os sn(π/ + ) os tg(90 + ) - otg tg(π/ + ) - otg otg(90 + ) - tg otg(π/ + ) - tg ngol he dffersono d 80 : ; 80 + os(80 + ) - os os(π + ) - os sn(80 + ) - sn sn(π + ) - sn tg(80 + ) tg tg(π + ) tg otg(80 + ) otg otg(π + ) otg Angol Assot ngol oppost: ; - os(-) os() sn(-) - sn tg(-) - tg otg(-) - otg 4 Formule d ddzone os + os sn sn sn + sn os + sn tn + tn tn( + ) tn tn ( ) ( )

5 Formule d sottrzone os os + sn sn sn sn os sn tn tn tn( ) + tn tn ( ) ( ) Formule d duplzone os sn os sn sn sn ; tn tn tn Formule d sezone + os ± ; sn ± ; tn ± Equzon gonometrhe elementr Equzon n oseno os x x + k 360 x + k 360 Equzon n seno sn x x + k 360 x 80 + k 360 Equzon n tngente tn x x + k 80 γ + Trgonometr Rsoluzone de trngol rettngol Teorem d Ptgor: + ; formule drette formule nverse - formule nverse - os / / sen sen / / sen tg tg / / tg Rsoluzone de trngol gener Teorem de Sen sn sn sn γ Il teorem de sen può essere utlzzto per l rsoluzone de trngol gener qundo sono not: ) lto e ngol; ) lt e l ngolo non ompreso fr ess. Teorem d Crnot o del Coseno + + os + osγ Il teorem d Crnot può essere utlzzto per l rsoluzone de trngol gener qundo sono not: ) lt e l ngolo ompreso fr ess. ) 3 lt. A γ C B 5

6 Shem opertvo per l rsoluzone de trngol rettngol Pro. potenus ngolo dt not Pro. teto ngolo opposto Pro. 3 teto ngolo dente sen 90 tg tg Pro. 4 teto potenus Pro. 5 teto potenus Pro. 6 teto teto sen sen 90 sen 90 + tg 90 Shem opertvo per l rsoluzone de trngol gener dt not Prolem Prolem Prolem 3 Prolem 4 lto e ngol dent e lt e e l ngolo non ompreso lt e e l ngolo ompreso γ 3 lt, e sn sn γ sn sn γ sn γ + osγ sn 80 ( + γ ) sn sn sn snγ os γ γ 80 γ 80 γ γ 80 6