VALUTAZIONI DI ERRORE

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Agnolo Ceccarelli
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1 CORSO DI PROGETTAZIONE ASSISTITA DELLE STRUTTURE MECCANICHE PARTE IIIA VALUTAZIONI DI ERRORE

2 VALUTAZIONE DELL ERRORE Il mtodo EF fornsc soluzon approssmat. S l f.n d forma rspttano dtrmnat condzon, l mtodo rsulta tuttava convrgnt all aumntar dl n d g.d.l. Rsulta d partcolar ntrss: analzzar la vloctà d convrgnza analzzar la possbltà d fornr stm a postror dll rror assocato ad un dtrmnato modllo stablr com modfcar un modllo pr rdurr l rror ntro lmt prstablt

3 DEFINIZIONI DI ERRORE Valor satto Error sullo spostamnto U = ( u uˆ ) Error sull tnson σ = ( σ ˆ σ ) Enrga assocata all rror 1 T 1 ( ) ( ) T lm. w = σ ˆ σ ε ˆ ε dω = ( σ ˆ σ ) D( σ ˆ σ ) dω 2 Ω 2 Ω total W = w Norma dll nrga assocata all rror (Error Enrgy Norm) lmnto = Ω σ ˆ σ dω T ( σ ˆ σ ) D( ) 1 2 total E =

4 Nll vcnanz d un nodo s può smpr pnsar d rapprsntar la funzon d spostamnto com una polnomal, ad smpo attravrso un spanson n sr d Taylor: u u x u y u x u y 2 2 = u ( x, y ) + ( x x ) + ( y y ) + ( x x ) + ( y y ) +... S la f.n d forma è d grado p nll coordnat, ssa consntrà d rapprsntar fno al trmn dl polnomo d grado p;l rror l ch s ottn, su una dstanza par all dmnson h dll lmnto troncando la sr n qusto modo è dll ordn d: U 0 h ( p+ 1) Qullo sull tnson, proporzonal alla drvata m-sma dgl spostamnt, è nvc dll ordn d: σ 0 ( p +1 1 m h )

5 ORDINI DI INFINITESIMO DELL ERRORE Error sullo spostamnto ( p+ 1 0 ) U h ( p+ 1 m ) Error sull tnson σ 0 h ( 2( p+ 1 m) ) Enrga assocata all rror w 0 h Norma dll nrga assocata all rror (Error Enrgy Norm) 0 h ( p+ 1 m )

6 APPLICAZIONE Problma pano Elmnt lnar: p=1 U 0 h ( 2 ) ( h ) 0 σ Dmzzando l dmnson dgl lmnt l rror su U s dovrbb rdurr ad d¼ qullo sull tnson ad d½. Inoltr, dato ch: n 22 h gdl ( 1 0 ) U n gdl σ n gdl

7 APPLICAZIONE/2 Problma pano Elmnt quadratc: p=2 U 0 h ( 3 ) 0 ( h 2 ) σ Dmzzando l dmnson dgl lmnt l rror su U s dovrbb rdurr ad 1/8 qullo sull tnson ad 1/4. Inoltr, dato ch: n gdl h 22 3 h 2 U n 0 gdl σ ( n ) 0 1 gdl

8 APPLICAZIONE/3 Problma 3D Elmnt lnar: p=1 U 0 h ( 2 ) ( h ) 0 σ Dmzzando l dmnson dgl lmnt l rror su U s dovrbb rdurr ad 1/4 qullo sull tnson ad 1/2. Inoltr, dato ch: n gdl h 33 2 h 3 U n 0 gdl σ n gdl

9 OSSERVAZIONI La convrgnza sugl spostamnt è gnralmnt pù rapda d qulla sull tnson: 0( h 2 ) U 0( h ) σ La convrgnza n funzon dl numro d gdl è pù rapda n problm 2D ch n problm 3D: 2D: σ n gdl 3D: σ n gdl

10 Fn. d forma: grado 1 1 U = 0(h 2 ) σ = 0(h) EF F/torco o Uy Sx Studo d convrgnza (applcabl a qualsas grandzza) n g.d.l.

11 Error sugl spostamnt 10 1 Tasso d convrgnza prvsto U 0.1 Uy n g.d.l.

12 Error sull tnson 10 Tasso d convrgnza prvsto 1 Sx n g.d.l.

13 STIMA A POSTERIORI DELL ERRORE SULLE TENSIONI Tcnch d vara natura ch tntano d stmar a postror l rror assocato con rsultat d un dato modllo. Non consntono ovvamnt una valutazon satta dll rror, ma s propongono d fornrn una maggorazon d rapprsntarn la dstrbuzon nl modllo, n modo da gudar l suo vntual affnamnto. Nl sguto vrrà prsntata la tcnca d stma utlzzata da ANSYS, ch s basa sulla proposta d Znchvch.

14 Ogn lmnto ch convrg n un nodo fornsc una dvrsa stma d tnson. S assum qund gnralmnt l sgunt valor pr la -sma componnt d tnson nl nodo: comp. -sma, stmata t nl nodo n σ Esatto EF σ n = 1 N σ n, x N d lmnt nl nodo n comp. -sma, calcolata nl nodo n dall lmnto

15 Assumndo ch tal valor mdato sa accurato, s può porr: Δσ n, = ( n, n ) ( n, n σ ˆ σ σ σ ) Error sulla -sma componnt dll lmnto nl nodo n Vl Valor satto (non noto) Valor mdato (noto) Nota: n raltà sarbb pù ntrssant conoscr: ( n n = σ ˆ σ ) ma, nll mpossbltà d ottnr ffttvamnt tal valor, rsulta comunqu utl dsporr d un paramtro ch da una stma dl grado gnral d accuratzza dll anals. σ

16 L uso d una stma d rror spcfca dll lmnto, dl nodo dlla componnt rsulta troppo complsso da gstr n pratca S crca un valor mdo rapprsntatvo dll rror assocabl al nodo S stma n prmo luogo un valor massmo dll rror pr ogn lmnto, valutato consdrando tutt nod l componnt Δσ = Max { ; 1,.., ; 1,..,.} n, Δσ n = n nod = n comp Paramtro SDSG nl comando PLESOL

17 S stma qund l rror mdo nl nodo, com mda quadratca tra tutt gl lmnt ch convrgono nl nodo: Δσ n = Δ ( σ ) N 2 I lmt massmo mnmo d tnson su ogn nodo sono dat da: σ max, n mn, n = σ n n + Δσ n In ANSYS SMXB σ n = σ Δσ SMNB

18 SMXB, SMNB SDSG

19 MIGLIORAMENTO DEL MODELLO E possbl utlzzar gl stmator d rror pr affnar l modllo, mglorandon la msh al fn d rdurr l rror stsso. E possbl procdr n manra automatca ( msh adptvty ), con la msh ch s adatta automatcamnt al lvllo ll d rror voluto. Il raggungmnto d un tal obbttvo rchd la capacta d rspondr a sgunt prncpal p qust: n ch modo prfrbl modfcar l modllo pr raggungr l lvllo d rror dsdrato? quando posso rtnr ch tal lvllo ll sa stato t raggunto?

20 L anals dlla rror nrgy norm dlla sua dpndnza da paramtr dl modllo: 0 h ( p+ 1 m ) ndca ch s puo rdurr l rror attravrso du tcnch prncpal: mantnr fsso l tpo d lmnto ( qund la f.n d forma qund p) rdurr progrssvamnt l dmnson h dgl lmnt utlzzat ( h-convrgnc ) mantnr fss l dmnson la dsposzon dgl lmnt d aumntar progrssvamnt p, varando l funzon d forma utlzzat ( p-convrgnc ) p Nota: sono possbl anch approcc mst ( hp-convrgnc )

21 h-convrgnc Puo ssr gudata da paramtr global d stma dll rror, com la Error Enrgy Norm (è così n ANSYS, ma non è ovvamnt l unca possblta : altr programm possono usar procdur dvrs). L nrga assocata all rror total sul modllo vn utlzzata com paramtro pr vrfcar l raggungmnto dlla convrgnza; a tal scopo s pon un lmt al rapporto tra d ssa l nrga lastca total: W ( ) U + W 1/ tol Il rapporto dsponbl com paramtro SEPC attravrso l comando *GET

22 Gl lmnt d cu s dvono rdurr l dmnson possono ssr ndvduat attravrso la rlatva nrga assocata all rror. w 1 1 T 1 ( ) ( ) T = σ ˆ σ ε ˆ ε dω = ( σ ˆ σ ) D ( σ ˆ σ ) dω 2 2 Ω Ω Una dsposzon ottmal dgl lmnt nfatt qulla ch prmtt d avr una dstrbuzon unform dll nrga assocata all rror nl modllo. Prtanto prfrbl rdurr l dmnson dgl lmnt n cu qusto paramtro assum valor pu grand. La Error Enrgy Norm dgl lmnt vsualzzabl sotto la dnomnazon SERR tramt l comando PLESOL.

23 Esmpo d h-convrgnc INIZIALE MODELLO FINALE

24 TENSIONI INIZIALE FINALE

25 ERROR ENERGY NORM INIZIALE FINALE

26 p-convrgnc In qusto caso l msh vn mantnuto fsso, varando ndvdualmnt l funzon d forma dgl lmnt, fno a raggungr grad molto lvat (8-9). In ANSYS l paramtro utlzzato pr gudar la convrgnza una qualunqu grandzza n output assocabl ad un nodo (una tnson, uno spostamnto, tc.). Il programma n controlla la convrgnza analzzandon la varazon prcntual al varar dl grado dll f.n d forma.

27 Esmpo d p-convrgnc MODELLO TENSIONE

28 ANDAMENTO DEL PARAMETRO DI CONVERGENZA (tnson Y alla radc dll ntaglo)

29 GRADO DELLE F.NI DI FORMA Modllo h-convrgnc

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