CAMPO LONTANO GENERATO DA UNA APERTURA

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1 Potnzal Vtto Magntco P l campo d sognt magntch (aptu) occo utlzza l dual dl potnzal vtto A (utlzzato p l cont lttch) ch vn ndcato con vn dtto potnzal vtto magntco o d tzgald. all quazon d Maxwll s ha, n psnza d sol cont magntch: E j H H j E E H m M 1

2 Potnzal Vtto Magntco alla tza quazon s ha ch l campo lttco è solnodal, p cu può ss spsso com l oto d una cta funzon : E Sosttundo nlla sconda quazon s ha: H j Qund la funzon H-j è otazonal, può ss dvata dal gadnt d una funzon scala: H j m H j m

3 Potnzal Vtto Magntco Sosttundo nlla pma quazon d Maxwll s ha: jj M m k j m M con k =. Svluppando l pmo mmbo s ha (ssndo ): k M j m, assumndo la gaug d Lontz j, sgu: m k M 3

4 Potnzal Vtto Magntco La soluzon d qusto poblma con cont magntch è dual al caso d cont lttch; è suffcnt scamba l tmn lttco con magntco scamba camp. P cu anch l soluzon dll quazon agl autovalo sul potnzal saanno analogh. consgunza, s ho un dpolo magntco con M=M z (- ), alloa (posto R= - ) l potnzal vtto magntco val: 1 4 jkr R M z 4

5 Potnzal Vtto Magntco Un tal appocco è utl nl calcolo dl campo lontano. P l campo lontano val una lazon dl tpo: E H o( 1/ ) qund a mno d nfntsm d odn supo ad 1/ camp lttco magntco sono lgat da una lazon tpo onda pana (l campo lttomagntco a gand dstanza è un onda localmnt pana). Il campo lontano dovuto al dpolo magntco può dunqu scvs com: E jk (,, ) E (, ) o(1/ ) 5

6 Potnzal Vtto Magntco Sosttundo l spsson appna tovata p l campo lttco nll q. Maxwll, ottngo: E (,, ) E (, ) jk jk E (, ) jk E (, ) jk jk La pcdnt spsson è stata ottnuta consdando ch l pmo tmn vaa poco con la dstanza (n quanto l gadnt dl tmn 1/ è molto mno vaabl sptto al gadnt dl tmn sponnzal), ch sopattutto l gadnt d E (,)/ è n sostanza popozonal ad 1/, qund a gand dstanza lo tascuo sptto al gadnt dll sponnzal ch è l sponnzal stsso (av una somma dl tpo jk E (,, ) ( A(, ) B(, ) / ) ). P cu a gand dstanza nll quazon d Maxwll posso sosttu: E (, ) jk 6

7 Campo Lontano nl Vuoto P calcola l campo lontano d una dstbuzon d sognt s può pat dal potnzal vtto coda ch camp vaano ssnzalmnt (ovvo a mno d tmn d odn supo) com -jk. Ptanto l opato nabla ch agà su camp può ss sosttuto da: jk Con tal smplfcazon l lazon fa camp potnzal, a gand dstanza, non sono pù dffnzal, ma fnt. 7

8 Campo Lontano nl Vuoto In psnza d sognt lttch magntch ( qund con potnzal vtto A d ntamb dvs da zo) s ha: E 1 j A j A k A H A j m A j k ch n campo lontano (dov posso appossma jk ) dvntano: E j A A jk H jk A j 8

9 Campo Lontano nl Vuoto S ntoduc la matc I, ch lmna da un vtto la sua componnt adal ottnndo: E j I A jk H jk A j I Ovvamnt A d sono calcolat n campo lontano, qund s può po nlla loo spsson: 1 1 jk jk jk 9

10 Campo Lontano nl Vuoto Nl caso d sol sognt magntch l pcdnt s ducono all: E jk H k j m j ( jk ) j m m jk j k all spsson appna ottnut s vd ch l campo lttco E è otogonal al pano fomato dal potnzal vtto magntco dalla dzon dl punto campo (è nfatt dato dal tmn ). Il campo magntco H è nvc la pat tavsa dl potnzal vtto magntco, nfatt H ( ) (ossa H è pa ad mno la componnt adal d, coè alla componnt tavsa dl potnzal vtto). 1

11 Campo Lontano nl Vuoto Qund p un dato dpolo magntco M: è paalllo ad M H è tavso ad n una data dzon E è otogonal ad. Ad smpo: 11

12 Campo Lontano nl Vuoto Qusto val ovvamnt a gand dstanza dalla sognt M. Il potnzal vtto magntco a gand dstanza dovuto ad un dpolo magntco val: 1 M 4 1 jk dov è l vtto ch ndvdua l punto campo d ndvdua l punto sognt. jk èlvttoch S ho a ch fa con una sognt stsa anzché con un dpolo, dovò ntga la pcdnt spsson nl volum dlla sognt p ottn l potnzal vtto a gand dstanza: jk jk M ( ) V dv 1

13 Campo Lontano d una Aptua Pana al Toma d Equvalnza sappamo ch possamo sosttu una aptua n uno schmo con una dstbuzon d cont lttch magntch supfcal l qual possono smp ss fatt ada nl vuoto. Convn alloa calcola l campo d una dstbuzon d cont lttch J s o magntch M s post sul pano z=, n patcola l campo lontano. Sappamo ch basta alloa calcola A valgono: A 4 J s ( ') ds jk ' ' jk o, spttvamnt,, ch 4 1 jk M s ( ') ' ds' ssndo la pat d pano n cu l cont sono dvs da zo. jk 13

14 Campo Lontano d una Aptua Pana Vdamo alcun cas patcola, assumndo pa ad un ttangolo d dmnson x,. Supponamo la cont lttca costant sull aptua: J s ( ') J s x Il potnzal vtto lttco cospondnt val: A 4 jk x x jk ' ds' J s x 14

15 Campo Lontano d una Aptua Pana L ntgal val: f (, ) x x k sn c sn cos k sn c jk x'sn cos 'sn sn x d' dx' x Il campo ha qund un massmo p = sulta lnamnt polazzato. Il suo modulo ha qund un andamnto dl tpo: sn sn 15

16 Campo Lontano d una Aptua Pana La dzon dl campo s ottn da: I sn cos x x sosttundo l spsson dl vtto catsano x n coodnat sfch ( x sn cos cos cos sn ) s ottn com dzon dl campo: I cos cos sn x 16

17 Campo Lontano d una Aptua Pana Qund p = l campo ha solo componnt, stovapoponl pano =. Tal pano pnd l nom d Pano E dlla aptua. P =/, nvc, l campo lttco ha solo componnt d è qund otogonal al pano =/. Qund è oa l campo magntco H a gac n qusto pano, ch ptanto pnd l nom d Pano H dlla aptua. 17

18 Campo Lontano d una Aptua Pana Il lobo cntal s stnd fno a dov l du funzon snc() s annullano, ossa fno a: kx sn = k sn =/ Al csc d x dmnusc l angolo sottso dal lobo pncpal, ovvo aumnta la dttvtà dll aptua, analogamnt p. In patcola, s x >, l lobo è pù sttto nl pano E ch nl pano H. 18

19 Campo Lontano d una Aptua Pana Supponamo oa ch la cont lttca sa costant dtta lungo l ass : J s ( ') J s Camba solo la dzon dl campo ( qund l dfnzon d pan E d H): I sn sn sosttundo l spsson dl vtto catsano n coodnat sfch ( sn sn cos sn cos ) s ottn com dzon dl campo: I cos sn cos In gnal s avà qund: E j cos A x cos A sn E j A x sn A cos 19

20 Campo Lontano d una Aptua Pana Supponamo oa d av una cont magntca costant dtta lungo l ass : M s ( ') M s Il potnzal vtto magntco cospondnt val: x jk 1 jk ' 1 ds' M s f (, ) 4 x 4 dovlaf(,) è la stssa dl caso d cont lttca. jk M s L poptà dzonal d una aptua dpndono qund dall dmnson dll aptua dalla vaazon dlla cont sull aptua stssa, non dalla natua d tal cont. Noto, l campo lttco podotto da tal cont magntca val: E jk