QUADERNI. Quaderno n. 1: Il metodo di Plemelj per l integrazione di integrali singolari prof. Antonio Strozzi
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1 Scuol d Dottorto n Hgh Mchncs nd Automotv Dsgn & Tchnology Mccnc Avnt Tcnc dl Vcolo QUADERNI Qudrno n. : Il mtodo d Plmlj pr l ntgron d ntgrl sngolr prof. Antono Stro Mccnsmo grco d Antctr, Muso nonl rchologco, Atn All'lt fnts qu mncò poss; m gà volgv l mo dso 'l vll, s com rot ch'gulmnt è moss, l'mor ch mov l sol l'ltr stll. Dnt, Prdso
2 Introduon Il prmo qudrno dll Scuol d Dottorto n Hgh Mchncs nd Automotv Dsgn & Tchnology / Mccnc Avnt Tcnc dl Vcolo rgurd l mtodo d Plmlj pr l ntgron d ntgrl sngolr d Cuchy. Qusto qudrno è ssnlmnt formto d ppunt ch ho rggruppto durnt l pprofondmnto dll tcnc d ntgron d Plmlj. Tl ppunt sono stt consrvt nl loro sptto mronl, non possdndo d crto l dgntà d stmp. Con qust sclt s è voluto n qulch modo ndcr l crttr prncpl ch qust qudrn dvono possdr: qullo d trsmttr stmol culturl. A tst lmt prfont, qudrn prfrrnno pgn prolmnt mno forml, m d contnut scntfc non mno stmolnt. S rtn nftt ch l lvoro rfnto nl contnuto nl tsto d vnr rsrvt l dstnon dll pulcon su rvst d lt dgntà scntfc. L tcnc d ntgron d Plmlj m h prmsso d ottnr rsultt nl cmpo d prolm d conttto, qus smpr dscrtt d quon ntgrl d Cuchy. Gl rtcol ch ho prodotto nl cmpo dgl ntgrl d Plmlj sono: Mongto, G. & Stro, A. (005) On th nlytcl solutons of two sngulr ntgrl qutons wth Hlrt krnl. J. Intgrl Equtons, 7, Mongto, G. & Stro, A. (008) Th numrcl vluton of two ntgrl trnsforms, J. Comput. Appl. Mth.,, Prof. Antono Stro Coordntor dll scuol d Dottorto n Mccnc Avnt Tcnc dl Vcolo
3 LE FORMULE DI PLEMELJ S consdr un funon f(), dov f è un funon complss, un vrl rl. Pr smpo, f() 3. S consdr po l funon complss d vrl complss F(): f ( ) F ( ) d L funon F() s chm "nlytc (or Cuchy) rprsntton of functon f". L funon F è un funon nltc "sctonlly contnuous", coè è nltc trnn ch pr un dscontnutà nll'ttrvrsr l rtt rl -. L proprtà dll funon F sono l sgunt: ) L funon F è nltc trnn ch pr l trtto ; ) L funon F tnd 0 lmno com / qundo dvnt nfnto (s vd prò l cso d f ntsmmtrc o d f l cu ntgrl s nullo); 3) L funon F h un slto lungo l trtto, nl snso ch F( )- F( - ) è un funon non null. L funon F tnd 0 qundo dvnt nfnto, Estrd p. 85. Inftt, s dvnt norm, sccom l'ntrvllo d ntgron è fnto, l dnomntor dll'ntgrndo dvnt norm, qund l'ntgrndo dvnt pccolssmo, gustfcndo così l ftto ch l'ntgrl s nnull pr nfnto. L for con l qul l funon F() tnd ro qundo dvnt nfnto è /, com ppr dll'ntgrl d dfnon d F(). S not ch nll'ntgrl l vrl d ntgron vn ndct con non con, nch s ss è un vrl d ntgron rl. Inftt usulmnt y, pr cu, s dottss com vrl d ntgron, l'ntgrl prcdnt dvntr: F f ( ) y d non è qusto l sgnfcto ch s ntnd dr ll'ntgrl. Infn, l trmn vn ntrodotto pr convnn mtmtc. S consdr un smplc smpo: f
4 qund f vn ssunt com funon rl. Qund F vl: F ( ) d d d lm ln Sccom: ln lm ln (pr clcolr qusto lmt, s sosttusc /y, s f tndr y ro, clcolndo col mnpoltor lgrco lo svluppo d Tylor nll'ntorno d y0) llor F() dll'smpo prcdnt s nnull pr com /, com dovuto. S consdrno nl sguto tr stuon: - cso. In qusto cso F() vl: F ( ) ln d - cso. F ( ) ln ln ( ) 0 ( ) dov s not ch l logrtmo l funon sponnl s lmnno mutumnt. 3 - cso -. F ( ) ln ( ) ( ) ( ) ( ) ln Il slto dll funon nltc F "sctonlly contnuous" vl qund: F ( ) F ( ) f
5 L md d du vlor dll funon F sopr sotto l slto vl nvc: [ F ( ) F ( ) ] ln F ( ) L du formul prcdnt costtuscono l formul d Plmlj ch, pr un funon gnrc f, sono: [ F ( ) F ( ) ] F ( ) f ( ) f d L prm formul d Plmlj rchm lo svluppo n sr d Fourr d un slto, dov l funon ssum l cntro dl slto l vlor mdo dll funon prm dopo l grdno. L proprtà dll somm dll dffrn tr vlor d dscontnutà dll F rcordno l lttur stnsmtrc d un tnsoflsson n un trv ffttut pplcndo du stnsmtr lt oppost d un son, dov l somm d du vlor stnsmtrc è collgt llo sforo norml l dffrn l momnto flttnt. Un comnon dll formul d Plmlj ch mtt n luc l loro potnltà nl clcolo d ntgrl d Cuchy è l sgunt: F ( ) ( F ( ) F ( ) ) Tl formul ndc ch, s s s sprmr l funon f d ntgrr scondo Cuchy (coè l'ntgrndo è f()/(-)) com slto d un funon nltc F "sctonlly contnuous", llor l'ntgrl d Cuchy è strttmnt collgto ll md dll funon nltc prm dopo l slto, qund l'ntgrl s clcol mmdtmnt. ESEMPI E CONTROESEMPI S rconsdr l'smpo prcdnt, s vrfc l'ntgron con l'uto dll formul d Plmlj: d 3
6 F ( ) ( F ( ) F ( ) ) d ln ; d ln qusto rsultto è corrtto. L formul utl prcdnt v ccompgnt con l formul: F ( F ( ) F ( ) ) d S rconsdr l funon nltc "sctonlly contnuous": F ( ) ln S qust funon s somm un polnomo n, l slto F( )-F( - ) non cm, dto ch l polnomo è contnuo nll'ttrvrsr l sgmnto ch cr dscontnutà d F(), mntr cm F( )F( - ). Pr smpo, s consdro l funon nltc "sctonlly contnuous" F(): F ( ) ln A B C llor l slto d F vl: F ( ) F ( ) mntr l smsomm d du vlor d dscontnutà vl: [ F ( ) F ( ) ] ln A B C d In s ll formul: F ( ) ( F ( ) F ( ) ) d dovr vlr l sgunt ntgrl: 4
7 ln A B C d coè: d ln A B C l ch è un rsultto sglto. L rgon pr l qul l'pprocco prcdnt produc rsultt rrt è ch l funon nltc "sctonlly contnuous": F ( ) ln A B C pr ch tnd ll'nfnto non s nnull com /, m nvc tnd ll'nfnto com C. Qund qust funon F non rsptt l condon d comportmnto tpo / pr ch tnd d nfnto. Smlmnt, s sommss d un funon F l rpporto tr du polnom, qusto prsntr d pol dov l dnomntor s nnull, qund l funon nl suo complsso non soddsf n gnr l condon ch ss dv ssr nltc trnn ch lungo l trtto. (S vd prò un smpo succssvo, nl qul un funon nltc è formt d un rpporto d polnom, pù un'ltr prt ch oscul pol dl polnomo.) S consdr or l funon nltc "sctonlly contnuous": F ( ) ln Sccom: lm ln qust funon s comport com rchsto pr nfnto. Qund: F ( ) ln ln 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ln ln ( ) ( ) 5
8 F ( ) ( ) [ F ( ) F ( ) ] ln Qund, mpgndo l formul: F ( ) s ottn: ( F ( ) F ( ) ) ln d d ch è vrfct. S nvc consdro l funon nltc "sctonlly contnuous": F ( ) ln qust funon non s comport com rchsto pr nfnto, dto ch: lm ln qund qust funon non può ssr mpgt pr vlutr un ntgrl d Cuchy scondo l formul: F ( ) ( F ( ) F ( ) ) SOMMA DI FUNZIONI ANALITICHE S prò consdro l funon ottnut sommndo ll funon prcdnt l trmn costnt -: F ( ) ln qust s comport com rchsto pr nfnto, qund può vnr mpgt pr l clcolo d ntgrl d Cuchy. In qusto cso, l'ggunt d un prt d un polnomo (l trmn costnt -) è qund mmssl. d 6
9 S consdr un ltro smpo nl qul s somm, d un funon nltc con slto, un polnomo pr fr sì ch l funon nltc s comport com / pr nfnto. In qusto cso l formul dl clcolo dll'ntgrl d Cuchy rgg. S consdr pr smpo l funon nltc F "sctonlly contnuous": υ υ F dov 0 < R <. Pr nfnto F() vl: lm F ( ) [ ( υ) υ]... Qund occorr modfcr l funon F() ggungndo un polnomo n modo ch ss s nnull com / pr nfnto: [ υ ] υ υ ( υ) F S h: υ υ 0 υ υ υ υ υ υ υ ( υ) [ ] [ υ ] [ υ υ ] [ υ υ ] [ υ υ ] υ ( υ ) υ υ υ υ ( υ ) υ υ υ υ ( ) ( ) sn υ υ υ ( ) υ [ ] cos υ υ υ dvnt: Qund l rlon: F ( ) ( F ( ) F ( ) ) υ υ cos ( ) d [ ] υ υ υ coè: sn υ υ ( ) ( ) υ d 7
10 υ ( ) ( ) υ υ υ υ υ ( υ) υ d cot csc Qust formul dffrsc pr un coffcnt dll formul (3.3) p. 96 d Estrd. Sglo o o Estrd? Crc l tndr ro d F com / pr nfnto, s not ch, ssndo: F ( ) f d s f è pr n, sccom: s h: F ( ) f ( ) f d d { [ ]} nch d qust sprsson ppr ch F tnd ro com / pr nfnto. S nvc f è dspr n, sccom: s h: F ( ) f ( ) f d d d qust sprsson ppr ch F tnd ro com / pr nfnto. Pr smpo, s f() (funon pr), s h: F ( ) d d log dov qusto F tnd ro com / pr nfnto. S nvc f() (funon dspr), s h: 8
11 F d d d log ( ) ( ) dov qusto F tnd ro com / pr nfnto. Qund, s f è dspr, F non tnd ro com /, m com /. Cos vuol dr? Consdro or un funon sprss dl rpporto d du polnom: F ( ) Tl funon s comport com / pr ch tnd d nfnto. L funon è noltr contnu nl pssr l sgmnto, pr cu: 0 mntr l vlor mdo d du vlor strml non s nnull: [ F ( ) F ( ) ] L formul: F ( ) ( F ( ) F ( ) ) n qusto cso produc rsultt rrt. Inftt, s l funon nltc F è contnu nl pssr l sgmnto, llor l slto d F è nullo, qund f()0, dto ch: f Qund un funon nltc contnu l pssggo dl trtto non rsptt l formul dl clcolo dll'ntgrl d Cuchy. Il rsultto prcdnt può nch vnr sprsso nl modo sgunt: non sst lcun funon f() tl ch l su rpprsnton nltc scondo Cuchy s un funon contnu nll'ttrvrsr l trtto. L'unco cso n cu qusto ccd è l funon f() 0, d 9
12 ch gnr un funon nltc null, l qul è contnu nll'ttrvrsr l trtto. S not noltr ch l funon nltc F: F ( ) prsnt du pol pr, qund l funon F non è nltc ovunqu trnn lungo l trtto. In ltr prol, l rpporto tr du polnom non soddsf l rqusto ch dv possdr F pr ssr un "nlytc (or Cuchy) rprsntton" d un funon f. Smlmnt un polnomo non soddsf l rqusto ch dv possdr F pr ssr un "nlytc (or Cuchy) rprsntton" d un funon f, dto ch un polnomo non tnd 0 com / pr nfnto. I pol dl polnomo non possono cptr lungo l trtto, dto ch f è suppost Holdrn. I pol possono nvc cdr du strm oppur., com ccd qundo studo un funon dl tpo /-. Rtornndo ll'smpo prcdnt, posso rndr l funon prcdnt "sctonlly contnuous" moltplcndol pr un opportun funon logrtmo pr : F ( ) log Pr nfnto tl funon tnd 0 com /, ch smr un rsultto postvo (sgurnno crtch). Prò tl funon possd du pol ndsdrt pr, ch vnno lmnt. Sccom: log ± s costrusc l sgunt funon nltc dpurt d pol ndsdrt: F ( ) log S h qund: 0
13 log 0 log F ( ) log F ( ) [ ] d nfn, pplcndo l formul: F ( ) s ottn l'ntgrl d Cuchy: coè: ( F ( ) F ( ) ) d log d log d ch rpprsnt un rsultto stto. Tuttv, l form nl F ( ) dll funon nltc fcv pnsr l clcolo dl sgunt ntgrl: d mntr nvc s è clcolto l sgunt ntgrl: d L rgon d qusto cmo d rott stnno nl ftto ch s è modfcto l prcdnt rpporto d polnom moltplcndolo pr pr un trmn logrtmco, potndo ch l funon nltc s dovss comportr com / pr nfnto. Sccom prò l'ntgrndo:
14 è ntsmmtrco, l corrspondnt funon nltc dv comportrs com / pr nfnto. S prov nl sguto clcolr l sgunt ntgrl: d crcndo d costrur un funon nltc ch s comport com / pr nfnto. S prt d: F ( ) ch prò non v n prché è contnu nll'ttrvrsr l sgmnto -,. S consdr qund l sgunt funon nltc: F ( ) log ch s comport gustmnt com / pr nfnto. Prò tl funon nltc possd du pol ndsdrt pr, ch vnno lmnt. Sccom: l funon nltc può vnr dvs nll somm d du prt: F ( ) log log log log log log log S può vrfcr ch nll'sprsson prcdnt dll funon nltc F pol rsultno oscult. S h qund:
15 F log log 0 log F ( ) log F ( ) [ ] qund l formul: F ( ) dvnt: ( F ( ) F ( ) ) d log d d log ch è un rsultto corrtto. S consdr or un scondo smpo d funon f() sprss com rpporto tr du polnom: f( ) tn s consdr l corrspondnt funon F() sctonlly contnuous: F ( ) tn ( ) d Qusto ntgrl vn clcolto com sgu: 3
16 ( ) tn d tn ( tn tn ( ) d log log log log d tn tn d ( ) ( ) ( ) y y tn ( ) ( ) tn d ( ) tn d tn ( ) tn tn ( ) ( ) tn d tn ( ) tn ( ) ( ) tn tn ( ) tn ( ) d d tn d Rggruppndo gl ntgrl, ottngo: F ( ) tn ( ) d log tn tn ( ) S not ch, nonostnt l funon nltc F() nclud un rpporto d polnom, F() è contnu pr /- /tn. Non rsco nvc dmostrr s è contnu nch l drvt prm d F, prché clcol sono troppo psnt. Dovr ssrlo, prché F è nltc. Voglo vrfcr s vl l formul d ntgron: F ( ) S h: ( F ( ) F ( ) ) d [ log log 0 tn ] tn [ log log tn ] tn F ( ) F ( ) [ ] [ log log 4 tn ] tn tn qund l formul d ntgron è vrfct. 4
17 S consdr un ltro smpo: F ( ) ( ) ( ) / / S not ch tl funon s comport com / pr nfnto, com rchsto. S h noltr: / / / 0/ F ( ) ( ) ( ) / F ( ) ( ) ( ) 3 / / F ( ) F ( ) ( ) sn / / F ( ) F ( ) ( ) cos 0 L rlon: dvnt: F ( ) / / / / / / ( F ( ) F ( ) ) d 0 0 d d ( ) ( ) confrmndo così un noto ntgrl. S consdr or l clcolo dl sgunt ntgrl d Cuchy: < < tn d ( ) Tl ntgrl s clcol nl modo sgunt: 5
18 ( ) d tn tn ( ) d cos Inoltr: tn tn d tn ( ) d tn ( ) d d tn tn d ( ) d ( ) tn tn d tn cos tn ( ) d tn ( ) d tn cos tn In concluson: tn d cos tn cos cos tn tn S rtorn nl sguto l clcolo dll'ntgrl proposto trmt l formul d Plmlj. A tl scopo, s consdr l funon nltc: F( ) tn Tl funon è dspr n, qund dv tndr com / pr. Inoltr occorr rmuovr pol pr /tn. Pr osculr pol, scrvo: 6
19 F\ ( ) ; F ( ) ; F F\ ( ) F ( ) tn tn Sottrggo opportun trmn pr osculr pol: F\ ( ) cos tn tn tn F( ) tn tn [ ] cos tn sn F( ) tn tn Prò l scond fron non tnd ro, com s rchdr, com /, m solo com /. Pur con qusto dftto, provo clcolr l prcdnt ntgrl con l funon nltc: sn F( ) tn tn F( ) F( ) F( ) F( ) F( ) F( ) sn 0 tn tn sn tn tn cos tn tn sn tn sn sn tn tn sn tn tn tn qund l rlon: F ( ) ( F ( ) F ( ) ) d 7
20 dvnt: sn tn tn d tn d sn tn dov l rsultto prcdnt è rrto, dto ch l'ntgrl è rl non mmgnro. Il rsultto corrtto nftt è: tn d cos tn ( ) Provo clcolr l prcdnt ntgrl trmt un tcnc dvrs. Noto ch un formul d Plmlj è: f ( ) ( ) f d S qund f è funon rl, l prt rl d F rpprsnt l funon f, mntr l prt complss rpprsnt ( mno d /) l'ntgrl d Cuchy d f. (Oppur l prt rl d F rpprsnt l'ntgrl d Cuchy d f,mntr l prt complss rpprsnt l funon f. Qusto sgnfc ch, s f è rl, m st trovr l'sprsson corrtt dll funon nltc pr. S rconsdr qund l funon nltc F: sn F( ) tn tn nll qul, com gà ossrvto, l scond fron non tnd ro, com s rchdr, com /, m solo com /. S pon l numrtor dll scond fron /tn : cos F( ) tn tn 8
21 qust funon nltc dsso tnd ro, com rchsto, com /, m tl funon nltc è corrtt solo pr. Applco qund l prcdnt formul d Plmlj: 0 cos tn tn cos tn tn tl formul mplc ch: tn d cos tn ( ) ch è un rsultto corrtto. Qusto pprocco è ctto n Trcom, Intgrl Equtons, p.68. L tcnc prcdnt vl prò solo s l funon f è rl. Rconsdro qund ncor l clcolo dll'ntgrl: < < tn d ( ) crcndo d svluppr un tcnc d vldtà pù gnrl. Scrvo: F\ ( ) cos tn tn tn F( ) tn cos tn tn F ( ) [ F\ ( ) F( ) ] S not ch l du prt d F non sono ntsmmtrch, qund è gusto ch tndno 0 com /. Consdro l prm prt: 9
22 F\ ( ) cos tn 0 tn cos \ tn tn cos \ tn cos F\ ( ) F\ ( ) cos cos tn tn sn F\ ( ) F\ ( ) tn tn qund: cos tn tn d tn d cos tn cos cos Smlmnt: F( ) cos tn 0 tn cos tn tn cos \ tn cos F\ ( ) F\ ( ) cos cos tn tn sn F\ ( ) F\ ( ) tn tn qund: cos cos 0
23 cos tn tn d tn d cos tn Infn: tn d tn d tn d cos cos cos tn tn tn ch è un rsultto corrtto. S clcol or l'ntgrl: tn d ( ) tn ( ) d tn d tn cos 0 cos tn tn tn S clcol or l'ntgrl: y d S consdr l sgunt funon nltc:
24 F snh cosh d tnh cosh S clcol or l sgunt ntgrl, d ntrss nll dtrmnon dll soluon nltc d un quon ntgrl d Frdholm d scond spc con nuclo d Hlrt: y tn d dov è rl, -<<. S scrv: y tn d y tn d y tn d s consdrno du ntgrl sprtmnt. L funon nltc ch s consdr pr l prmo ntgrl è:
25 F tn tn tn tn Qund: F tn tn tn tn tn tn tn snh tn cosh tn tn cosh tn d tn snh tn d tn tnh tn cosh tn d S consdr or l scondo ntgrl. L funon nltc ch s consdr pr l scondo ntgrl è: 3
26 F tn tn tn tn Qund: F tn tn tn tn tn tn tn snh tn cosh tn tn cosh tn d tn snh tn d tn tnh tn cosh tn d Infn: 4
27 tn tn cosh tn cosh tn Qund: tnh snh d tn tn d d coè: tn tn tn cosh [ snh tnh cos tn cosh tn d tn cos tn tn tn d cosh cos tnh cosh tn sn tnh Pr 0 tl ntgrl concd col sgunt ntgrl: tn 5
28 tn ( ) d cos tn Pr 0 l'ntgrl prcdntmnt clcolto concd col sgunt ntgrl: d tnh cosh S consdr d nuovo l clcolo dl prcdnt ntgrl: y tn d dov qust procdur d clcolo ch s rvlrà sglt. In ln co clcol prcdnt, s consdrno sprtmnt l du prt dll'ntgrl: F ( ) tn tn cos tn D clcol numrc, non smr ch tl funon clcolt pr /tn s nnull, qund l prt ggunt non ffttu l compto osculnt. Procdndo comunqu con clcol, s h: 6
29 0 tn tn cos tn tn 0 cos cos F ( ) tn F ( ) cos tn snh cos tn tn Qund: tn tn tn cosh cos cosh d snh cos d cos tnh tn cosh S consdr or l scondo ntgrl. L funon nltc ch s consdr pr l scondo ntgrl è: 7
30 F ( ) tn cos tn tn Qund: 0 tn cos tn cos 0 tn cos tn cos tn F ( ) cos snh cos tn F ( ) F ( ) tn tn Qund: cosh 8
31 tn tn tn tn Infn: tn tn cosh d snh cos d tnh d cos cosh ( ) cos tn cosh snh tnh cosh ( tn ) Il prcdnt ntgrl è sglto, dto ch pr 0 non concd con l sgunt rsultto: tn d cos tn cos cos tn tn ( ) S consdr nl sguto un ltro ntgrl d ntrss nll dtrmnon dll soluon nltc d un quon ntgrl d Frdholm d scond spc con nuclo d Hlrt: tn d dov è rl, -<<. Pr l clcolo dl prcdnt ntgrl, s consdr l sgunt ntgrl d Cuchy, nl qul s porrà y 0: S scrv: y tn d 9
32 y tn d y tn d y tn d Pr l clcolo dl prmo ntgrl, s consdr l sgunt funon nltc: 30
33 F tn tn tn tn tn tn tn tn tn snh tn cosh tn tn cosh tn d tn snh tn d tn tnh tn cosh tn d Pr l clcolo dl scondo ntgrl, s consdr l sgunt funon nltc: 3
34 F tn tn tn tn tn tn tn tn tn snh tn cosh tn tn cosh tn d tn snh tn d tn tnh tn cosh tn d Infn: 3
35 tn tn cosh Qund: tn snh coè: tn d tnh snh tn cosh tn d tn d tnh tn cosh tn d tn cosh tn tn tn d tnh tn cosh cos cos snh tn cosh tn tn Infn: tn d tnh tn cos snh cos cosh tn cosh tn ( ) cosh ( tn ) 33
36 Ponndo nfn 0, s ottn: cos snh d tn tn cosh L'ntgrl gustmnt s nnull pr 0, dto ch l'ntgrndo dvnt ntsmmtrco. Pr tstr l'ntgrl prcdnt pr 0, occorr clcolr l'ntgrl: F d A tl fn s consdr l sgunt funon nltc: F ( ) F ( ) snh 4 cosh d Ponndo nfn 0, s h: d cosh Qusto rsultto concd con l'ntgrl: tnh cosh cos snh d tn tn cosh 34
37 nl qul s pong 0, s s consdr ch: snh lm 0 tn S rportno nl sguto ltr clcol, prolmnt sglt. Pr l clcolo dl prcdnt ntgrl d Cuchy, s consdr l sgunt funon nltc F: F ( ) tn tn cos tn ± tn S h: tn tn cos tn cos tn cos F ( ) ( ) ( ) tn tn tn cos F ( ) ( ) ( ) tn tn snh cosh cos tn Qund: cos cosh tn snh tn 35
38 tn cosh cos tn snh d tn snh cos tn cosh cosh tn d tn snh cos tn cosh cos tn snh tn d tn d tn tnh cos tn cos tn tnh tn d S clcol or l'ntgrl: tn d tn d tn d S consdr l prmo ntgrl, ch s trtt con l sgunt funon nltc: 36
39 F tn tn tn tn tn 0 tn tn tn tn cosh tn tn snh snh tn d tn cosh tn d snh tn cosh S consdr smlmnt l scondo ntgrl: 37
40 F tn tn tn tn tn 0 tn tn tn tn cosh tn tn snh snh tn d tn cosh tn d snh tn cosh Infn: tn d tn tnh snh tn cosh tn snh tn tnh cosh tn snh snh S è or n grdo d clcolr l'ntgrl d ntrss: 38
41 tn tn cos tn d tnh cos tn cosh tn snh tnh tnh tn snh In prtcolr, pr 0 l'ntgrl dvnt: tn d cos cos tnh tnh tn tn cos cosh tn cosh cosh cosh snh un rsultto ch smr sglto. S ffront or un tro ntgrl d ntrss nll dtrmnon dll soluon nltc d un quon ntgrl d Frdholm d scond spc con nuclo d Hlrt: tn d dov è rl, -<<. Pr l clcolo dl prcdnt ntgrl, s stud l sgunt ntgrl d Cuchy, nl qul s porrà 0: tn d tn d tn d S consdr l prmo d du ntgrl: 39
42 tn d pr l qul s mpg l sgunt funon nltc: F ( ) tn tn tn tn tn tn ( ) ( ) F ( ) tn F ( ) tn tn tn tn tn tn ( ) ( ) tn tn tn tn tn ( ) F ( ) tn Qund: tn tn tn tn tn tn snh cosh cosh tn snh tn coè: tnh tn tn d tn tn cosh ( ) tn tnh tn cosh tn 40
43 tn d tnh tn tn tn cosh ( ) tn tnh tn tn d tn cosh S consdr l scondo d du ntgrl: tn d tn pr l qul s mpg l sgunt funon nltc: F tn tn tn tn tn tn ( ) tn ( ) F ( ) tn ( ) tn tn tn tn tn tn tn tn ( ) tn F ( ) tn tn tn Qund: tn tn tn tn snh cosh tn cosh snh tn tn 4
44 coè: tnh tn tn d tn tn cosh ( ) tn tnh tn cosh tn tn d tnh tn tn tn cosh ( ) tn tnh tn tn d tn cosh Qund l'ntgrl d clcolr vl: tn tn d tnh tn snh tn cosh tn tn tn tnh tn coè: snh tn cosh tn d 4
45 tn d tnh tn sn tn cos tn tn tn tnh cos tnh cos tn d tn d 43
46 VECCHIO S scrv qusto ntgrl com somm d du ntgrl: tn d tn d tn tn d S consdr nl sguto l'ntgrl: d S consdr l sgunt funon nltc: F 0 0 snh cosh cosh d snh d tnh cosh Qund: 44
47 tn d tnh tn tn cosh tn tn d S consdr nl sguto l'ntgrl: tn d tn d tn d S consdr l prmo d prcdnt ntgrl: tn d pr l qul s consdr l sgunt funon nltc: 45
48 F tn tn tn tn 0 0 tn tn tn tn tn snh tn tn cosh tn cosh tn snh tn cosh tn snh 46
49 S consdr l scondo d prcdnt ntgrl: tn d pr l qul s consdr l sgunt funon nltc: 47
50 F tn tn tn tn 0 0 tn tn tn tn tn snh tn tn cosh tn cosh tn snh tn cosh tn snh 48
51 In concluson: tn d snh tn L'ntgrl crcto vl: tn d tnh tn tn cosh tn tn Pr 0 l'ntgrl dvnt: cosh tn snh tn cosh tn snh tn snh d tn tnh tn tn cosh tn ch smr un rsultto sosptto pr 0. [ snh cosh ] 49
52 S consdr or un ltro smpo trtto d polnom d Chyshv. In gnrl s h: ( ) ( ) Tn d U n S consdr pr smpo n 3. S h: ( ) d ( 4 ) S vuol rtrovr l'ntgrl prcdnt trmt l formul d Plmlj. S sclgo com funon F(): F ( ) ( ) tl funon s comport pr nfnto com: Consdro qund: F ( ) ( ) ch s nnull corrttmnt pr nfnto, com / 4. S h: F ( ) 3 ( ) sn ( 4 3) F ( ) 3 3 cos Qund l rlon:
53 F ( ) ( ) ( F ( ) F ( ) ) dvnt: sn d ( 4 ) confrmndo così un noto ntgrl. ( ) d d 5
54 PRODOTTI DI FUNZIONI ANALITICHE Fno d or s sono consdrt smp n qul s ggungvno, d un funon F nl, dll prt n modo d fr tndr F d nfnto com / qundo tnd d nfnto, d ggungr d slt d funon funon ch ltrmnt ttrvrsrro l sgmnto -, con contnutà, coè sn l dsdrto slto. Nl sguto s consdrno smp n qul du funon nltch vngono moltplct tr loro. S ossrv nnntutto ch, d un punto d vst prtco, l'pprocco prcdntmnt svluppto può smrr scrsmnt utl. Inftt s è n prtc dtto ch, pr clcolr ntgrl d Cuchy dl tpo: f ( ) d s dv clcolr l rpprsnton nltc F dll funon f: f ( ) F ( ) d Un volt clcolt l funon F d suo slt nll'ttrvrsr l sgmnto, l'ntgrl scondo Cuchy dll f vl: ( ) f d S può nftt ottr ch, s s è clcolt l funon F, vuol dr ch s è gà clcolto l'ntgrl scondo Cuchy pr, coè pr un cso pù gnrl rsptto d un vrl rl. L'utltà prtc dll formul d Plmlj ppr ppno qundo s consdrno prodott d funon nltch. S consdr l funon Q: nυ mυ Q n, m,υ dov n d m sono numr ntr (postv o ngtv: vlor 0 - sono lct) 0 < R <. Inoltr s consdr l funon F "sctonlly contnuous": 5
55 F ( ) f d Pr nfnto s h: n m lm Qn, m, υ ( ) ; lm F ( ) Consdro nl sguto l funon nltc ottnut com prodotto: Q( ) F ( ) Tl funon s comport corrttmnt com / pr nfnto s nm0, un condon ch s rtn soddsftt nl sguto. Sccom: nυ n υ 0 m υ m υ Q n, m, υ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) nυ ( n υ ) m υ ( m υ ) Q ( ) ( ) ( ) nυ m υ m υ m n υ m υ υ n, m, υ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n υ m υ m nυ m n υ m υ υ l slto d Q F lungo l trtto vl: Q Q n, m, υ n, m, υ m n υ m υ υ m n υ m υ υ ( ) ( ) ( ) F ( ) ( ) ( ) ( ) F ( ) t m n υ m υ υ ( ) ( ) ( ) f ( ) t m n υ m υ υ ( ) ( ) ( ) f ( ) ( ) f d ( ) f d ( ) m n υ m υ sn υ f ( ) ( ) ( ) cos υ f ( ) d mntr l somm d vlor d Q F prm dopo l slto vl: 53
56 n, m, υ n, m, υ Q Q m n υ m υ υ m n υ m υ υ ( ) ( ) ( ) F ( ) ( ) ( ) ( ) F ( ) t m n υ m υ υ ( ) ( ) ( ) f ( ) t m n υ m υ υ ( ) ( ) ( ) f ( ) m n υ m υ ( ) ( ) ( ) sn υ f ( ) Qund l formul: F ( ) n qusto cso s lgg: Q( ) F ( ) Q( ) F ( ) ( ) f d cos υ ( F ( ) F ( ) ) d ( ) f d ( ) f d ( Q( ) F ( ) Q( ) F ( ) ) qund tl formul produc l sgunt ntgrl: cos υ m n υ m υ ( ) ( ) ( ) sn υ f ( ) ( ) m oppur: sn n υ m υ ( ) ( ) cos υ f ( ) υ ( ) f d ( η) d f d η η d 54
57 oppur: m υ cos υ n υ ( ) ( ) ( ) n υ m υ ( ) ( ) f ( ) cos υ d sn υ n ( ) ( ) n υ ( ) ( ) m υ ( ) n υ m υ ( ) ( ) f ( ) d tn υ oppur: n υ ( ) ( ) f d sn f υ ( η) ( η) f d η η d υ m υ υ υ n υ ( ) ( ) n ( ) ( ) f d n m tn υ f m υ m υ ( η) f d η η d f d η η d tn υ nυ ( ) ( ) ( υ d n m tn f υ m υ υ υ f S vuol vrfcr l formul prcdnt nl cso -, : f ( ) Sccom: 0 y d ( ) 55
58 s h, rcordndo l condon nm0: n υ m ( ) ( ) ( ) υ n υ ( ) ( ) m υ d tn υ Pr smpo, pr nm0 s h: υ ( ) υ d tn υ Controllo l'ntgrl prcdnt consdrndo l funon nltc: qund: υ ( ) ( ) F S h: υ υ υ ( ) ( ) υ υ ( ) ( ) ( ) ( ) υ υ ( ) ( ) υ 0 υ υ υ υ υ υ υ υ υ υ υ υ υ υ ( ) ( ) ( ) ( ) υ υ υ υ ( ) ( ) ( ) υ υ cos υ ( ) ( ) cos υ υ υ υ υ ( ) ( ) ( ) υ υ sn υ ( ) ( ) sn υ Qund l formul: υ υ 56
59 dvnt: F ( ) ( F ( ) F ( ) ) υ sn υ cos υ coè: υ ( ) d υ d tn υ ( ) υ d confrmndo così l'stt dll'ultmo ntgrl. S consdr or l'ntgrl: d I tn (, ) (7) lo s vuol clcolr trmt l formul d Plmlj, mpgndo un funon nltc prodotto d du prt. L prm prt è: Q υ υ mntr l scond prt s clcol com: coè: F F ( ) f d tn ( ) d S clcol sono gust, F dv comportrs com / pr nfnto. S h: 57
60 ( ) d d tn ( tn ) ( ) d tn cos d tn Nl sguto s consdr l'ntgrl: d tn ( ) S not ch l prt dll'ntgrndo ch moltplc /(-) è pr n, qund, ntroducndo un pssggo ch fclt succssv cm d vrl: Qund l'ntgrl prcdnt dvnt: d d tn tn ( ) S consdr nl sguto l'ntgrl d tn ( ) S ffttu l cmo d vrl: tn ω tn θ dω ; ; d tn tn cos ω tn cos ω tn (5) l'ntgrl prcdnt dvnt: 58
61 d tn d ω ω θ ω tn tn tn ( tn tn ) s ottn: Impgndo l'dnttà trgonomtrc: cos cos ω tn tn ω sn sn ω (4) d tn ( ) tn cos cos θ 3 cos ω d sn sn ω sn ω sn θ ω ( ) ottnndo: S ffttu or l cmo d vrl: ω σ sn θ ω τ σ sn cos ; ; d d sn sn sn ω (6) d tn ( ) tn cos cos θ sn σ cos θ cos sn ( ) σ σ τ ( ) cos σ ( σ τ ) σ σ τ cos ω dσ sn σ σ d S consdrno or gl ntgrl clcolt pr > (?): dσ σ σ τ τ τ ( ) σ τ σ σ σ τ τ d ( ) sn dσ 59
62 Qund: d tn ( ) sn τ sn cos τ τ τ sn cos τ τ sn τ τ τ τ sn cos τ sn cos τ τ τ ch non convrg com /** pr nfnto, qund è sglto. Inoltr: d d tn sn cos tn ( ) cos ( ) sn Impgndo tutt rsultt prcdnt, l funon nltc F dvnt: sn F ( ) sn ( ) cos cos 60
63 d tn I (, ) (7) d I tn (, ) 4 d y tn I y (,, ) (7) 6
64 FORMULE UTILI log log log ± lm log ( ) ( ) log ( ) 3 ( ) ( ) log ( ) 3 log ( ) log ± log( ) ; log( ) 3 3 ( ) ( ) ; tn tn sn ; ± ± tn tn cos ; tn tn cos sn cos ; F ( ) ; F ( ) F ; F ( ) ; F ( ) F 6
65 63
66 PATTUME qundo s not ch, s s moltplc un funon F "sctonlly contnuous" pr un funon nltc G contnu nll'ttrvrsr l trtto, (pr smpo un polnomo od un rpporto d polnom ch non prsnt sngolrtà nl trtto ; noltr F G dv nnullrs pr ), llor l slto d F G vl: G G G f G [ ] L md dll funon nl slto vl nvc: G G G [ ] Il lgm tr l md dl slto d l slto dvnt: [ F ( ) F ( ) ] G( ) ( F ( ) F ( ) ) G( ) f ( ) G( ) d d Sccom: ( ) f d l formul prcdnt può vnr rscrtt com: f ( ) G( ) f ( ) d G( ) d S qund dvo clcolr l'ntgrl d Cuchy d un funon ntrprtl com prodotto d du prt, un prm prt f dll qul so ndvdur l rpprsnton nltc F, d un scond prt l cu corrspttvo nltco (cmndo coè con ) è contnuo nll'ttrvrsr l trtto, coè non prsnt slt, l'ntgrl scondo Cuchy dl prodotto d tl funon s ottn clcolndo l'ntgrl scondo Cuchy dll sol funon f, moltplcndo l rsultto pr l funon G. L formul prcdnt mostr ch l funon G vn strtt dll'ntgrl, un opron non crto lct nll ntgron trdonl. Pr smpo, s è vsto ch, s: f llor: 64
67 F ( ) ln ( ) ( ) F ( ) ln ( ) ( ) F ( ) ln S voglo qund clcolr l sgunt ntgrl scondo Cuchy: d dov: scrvo: G( ) G( ) F ln ch tnd 0 pr ch tnd d nfnto. Inoltr: F ( ) G( ) ln G( ) ln F ( ) G( ) F ( ) G( ) F ( ) G( ) F ( ) G( ) ln Qund: 65
68 ( ) G( ) f d G( ) ( ) f d d d ln In concluson: d ln ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d ln F tn tn Qund: cos tn 66
69 0 tn 0 cos tn cos tn cos tn cos tn F ( ) ( ) cos ( ) tn tn snh cos cosh F ( ) ( ) cos ( ) tn Qund: tn tn tn cosh cos snh cosh d snh cos cosh d tnh cos tn S consdr or l scondo ntgrl. L funon nltc ch s consdr pr l scondo ntgrl è: 67
70 F tn tn cos tn Qund: 0 tn 0 cos tn cos tn cos tn cos tn F ( ) ( ) cos ( ) tn snh cos cosh tn F ( ) ( ) tn cosh Qund: 68
71 tn cosh d tn snh cos cosh tn d tn tnh cos Infn: tn d tn tnh sn tn tn tnh sn Inoltr: tn d tn d tn tn d S clcol or l sgunt ntgrl: d A tl scopo s consdr l sgunt funon nltc: 69
72 F 0 0 sn cos cos d sn d tn qund: 70
73 tn d tn d tn tn d tn d tn d tn tn d D consgun: tn d tn tn tn tn d oppur: 7
74 tn d tn tn tn d ch, unto l rsultto prcdntmnt ottnuto: tn d tn tnh cos tn cos tn tnh tn d produc l rsultto: tn d tn d tn tn d tn d tn d 7
75 Pr l clcolo d qusto ntgrl d Cuchy, s consdr l sgunt funon nltc F: F ( ) tn ± tn tn S h: tn tn 73
76 F ( ) tn tn tn ( ) ( ) tn ( ) tn ( ) tn tn tn ( ) 0 0 tn cos tn cos tn cos tn cos tn F ( ) ( ) ( ) tn cosh F ( ) ( ) ( ) tn tn tn tn snh cos tn snh cos tn snh cosh cos tn cosh cos tn cos tn cos tn 74
77 75
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I ettor Grndee sclr: engono defnte dl loro lore numerco esemp: lunghe d un segmento, re d un fgur pn, tempertur d un corpo, ecc. Grndee e9orl engono defnte, oltre che dl loro lore numerco, d un dreone
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Regressione Lineare Semplice
reressone lnere Reressone nere Semplce Per ottenere l veloctà d un corpo s msur l su poszone vr temp. Spendo che l relzone tr l poszone del corpo s l tempo t è dt dll lee s = v t trovre con l reressone
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Teorem su corrent e tenson 1) ombnzone lnere efnzone: n un crcuto, ogn corrente e tensone è dt un combnzone lnere d genertor: V = K 1 $ g 1 K 2 $ g 2 K 3 $ g 3... I = K 1 $ g 1 K 2 $ g 2 K 3 $ g 3... oe
CHIARA ZUCCHELLI. Florenzi, arriva il premio: contratto fino al 2016 e stipendio aumentato. Scritto da Redazione Giovedì 04 Ottobre 2012 07:31 -
Flornzi rriv il prmio: contrtto fino l 2016 stipno umntto CHIARA ZUCCHELLI Il prmio più mritto rrivto Com nnuncito si d Sbtini si dl suo gnt Alssndro Lucci rrivto il rinnovo dl contrtto Alssndro Flornzi
Laresponsabilità. deltestimone. Portfolio. Milano PaoloPellegrin. scrivechristiancaujolle. reportage. indispensabile.
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