Capitolo 7 - Predizione lineare

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1 Appunti di lborzion numric di sgnli Cpitolo 7 - Prdizion linr Introduzion... rror mdio di prvision...3 Ossrvzion: prdizion linr com sbinctor dll squnz di ingrsso 5 Ortogonlità tr dti d rror...6 Vlor minimo dll rror qudrtico mdio...7 Mtodo rcursivo di Lvinson pr l prdizion linr...8 Cofficinti dl prdittor di ordin... 4 rror di prdizion ll umntr di... 6 Schm blocchi dll procdur ricorsiv... 8 Mtodo di Pisrnko... 0 Appliczion dll prdizion linr... 5 ITRODUZIO l cpitolo sull stim spttrl, l obbittivo r qullo di stimr, not ch foss un sol rlizzzion x di un dto procsso stocstico (stzionrio d rgodico), l funzion di utocorrlzion dl procsso stsso, ciò ch è lo stsso, l dnsità spttrl di potnz. Soffrmimoci sul significto dll funzion di utocorrlzion di un procsso: nl cso di un sgnl rl tmpo-discrto, ss è dfinit com rxx (k) [ xx(n k) Qust funzion è sostnzilmnt un misur di qunto il procsso x si ugul s stsso s visto in istnti diffrnti. chiro, d smpio, ch r XX (k) ssum vlor mssimo qundo l du rlizzzioni dl procsso coincidono tmporlmnt, cioè qundo 0. Mn mno ch, invc, sfsimo x x(n-k) di un quntità k smpr mggior, l corrlzion tr i du procssi diminuisc smpr più fino d zzrrsi. ll stim spttrl non prmtric, il procdimnto r qullo di stimr l dnsità spttrl di potnz dl procsso snz fr lcun ipotsi di prtnz su com il procsso stsso vniss gnrto. In qul cso, i problmi ch bbimo incontrto rigurdvno l polrizzzion dll stim (cioè l incpcità di misurr il vlor vro cus di vlori dicnti di frqunz ch dbordvno sul vlor considrto) /o l disprsion dll stim stss (dovut l ftto ch si stimv l dnsità spttrl solo pr un prticolr spzzon dll rlizzzion). Sostnzilmnt, qusti problmi si trducvno nll difficoltà di stimr un funzion di utocorrlzion ch non foss impulsiv o, quivlntmnt, un dnsità spttrl ch non foss binc. Si ricordi ch, pr l ipotsi di stzionrità dl procsso, non è importnt l istnt n in cui si considr l corrlzion d è qusto il motivo pr cui l funzion di utocorrlzion dipnd solo dl ritrdo k con cui sfsimo x lo confrontimo con s stsso

2 Appunti di lborzion numric di sgnli - Cpitolo 7 Si è così pssti i mtodi di stim spttrl prmtric, ni quli si è dciso di ottnr l suddtt funzion di utocorrlzion non impulsiv com filtrggio di un funzion di utocorrlzion ch invc foss impulsiv: w procsso binco H(z) q k 0 p b z k k z k procsso colorto x In qusto cso, il problm divntv prciò qullo di mnipolr in mnir opportun i cofficinti dl filtro in modo tl ch i cmpioni dll squnz di uscit mnifstssro il livllo di corrlzion dsidrto. Il filtro h dunqu il compito di introdurr l dsidrt corrlzion su un squnz in ingrsso, w, nll qul invc non c è lcun corrlzion tr un cmpion d il succssivo. Dir ch i cmpioni di un squnz sono incorrlti, ossi dir ch l funzion di utocorrlzion dll squnz è impulsiv, quivl quindi d ffrmr un cos molto smplic: lmno fino ll sttistic dl scondo ordin, conoscr il pssto non srv prdir il futuro. Conoscr, cioè, i vlori di un crto numro di cmpioni di w non srv fftto pr clcolr i cmpioni futuri, non ncor ossrvti. L cos invc cmbi pr x, in qunto il filtro, ch possid mmori più o mno limitt scond dl modllo (MA, AR o ARMA) ch si è sclto, impon un lgm tr cmpioni succssivi di x. consgu ch, pr x, può ssr util il pssto pr prdir il futuro: possimo provr bsrci su un crto numro di cmpioni di x già ossrvti pr stimr cmpioni di x non ncor ossrvti. Voglimo dunqu ricvr un dto cmpion x dll squnz com gnric combinzion di cmpioni prcdnti: f x(n ), x(n ),... ( ) In prticolr, qullo ch h più snso è considrr un combinzion linr, con cofficinti opportuni, di cmpioni prcdnti: (k)x(n k) In bs qust rlzion, noi ottnimo un stim dl cmpion x trmit un combinzion linr, trmit i cofficinti (k) (,...,), dgli ultimi cmpioni dll squnz ch sono stti ffttivmnt ossrvti. Tutto st, chirmnt, clcolr i cofficinti (k). Qull rlzion è vidntmnt rpprsnttiv di un filtro IR, dtto in qusto cso filtro prdittor, ch ricv in ingrsso i cmpioni di x fornisc in uscit l stim : x iltro prdittor Ad un filtro prdittor si ttribuisc un ordin scond dl numro di cmpioni ch us pr ffttur l propri stim: vrmo un prdittor di ordin s si us un solo cmpion (cioè s si

3 Prdizion linr stim x bsndosi solo sul cmpion prcdnt), un prdittor di ordin s si usno du cmpioni prcdnti così vi fino l gnrico prdittor di ordin. RROR MDIO DI PRVISIO Il modo più snsto di clcolr i cofficinti (k) dl prdittor è qullo di considrr l rror ch si ottin con l stim d imporr ch tl rror si minimo: x In qust dfinizion, bbimo usto un pdic pr indicr ch stimo fcndo rifrimnto ll stim d l corrispondnt rrori ottnuti d un prdittor di ordin, ch cioè stim x bsndosi sugli cmpioni d sso prcdnti ( ch si suppon sino stti ossrvti). Uno schm blocchi rpprsnttivo di qull rlzion è chirmnt il sgunt: x iltro prdittor A noi non intrss ovvimnt l rror sul singolo cmpion, prché in qul cso ottrrmmo un st di cofficinti ottimi pr qul cmpion mgri pssimi pr gli ltri cmpioni. Ci intrss prciò non l rror istntno, m l rror mdio: [ [ x dov ricordimo ch l ipotsi di stzionrità svincol qust rlzioni dll indic n, cioè d qul cmpion si sti considrndo. Dovrmmo minimizzr [, m non vrbb molto snso: inftti, è ovvio ch l stim potrbb ssr si suprior si infrior l cmpion rl x dr così prim un rror positivo poi uno ngtivo; i du rrori potrbbro compnsrsi dr un rror mdio nullo, snz ch qusto bbi lcun significto, visto ch l du stim sono ntrmb sbglit. H snso invc considrr l rror dpurto dl suo sgno, il ch si ottin smplicmnt considrndo l rror qudrtico poi l su mdi, cioè l rror qudrtico mdio: [ ( x (n ) Sino (k), con k, i cofficinti dl filtro (cioè dl prdittor di ordin ). intuitivo ch, s il filtro h mmori, l complssità (cioè ) può srvir pr migliorr il risultto. Qusto prò non signific ch umntndo indfinitmnt, umnt nch l prcision dll stim (cioè diminuisc indfinitmnt l rror di prdizion). Inftti, du gnrici cmpioni di x mntngono un corrlzion ch diminuisc ll umntr dll loro distnz. Di consgunz, ll umntr di, cioè ll umntr dll mmori introdott nl prdittor, si rrivrà l punto in cui introducimo in ingrsso un cmpion x(n-m) ch non h nint d dir sul cmpion x ch stimo stimndo. Qusto vrrà, ovvimnt, pr x(n-m) pr i cmpioni prcdnti, il ch signific ch umntr 3 [ )

4 Appunti di lborzion numric di sgnli - Cpitolo 7 ncor, oltr M, l ordin dl prdittor non portrbb d lcun migliormnto dll stim. Qusto è, in lin gnrl, il critrio gnrl d sguir pr scglir, com vdrmo, l ordin dl prdittor. Tornndo i conti, dobbimo dtrminr gli (k) in modo d minimizzr [. splicitndo llor qusto rror qudrtico mdio, bbimo qunto sgu: [ [ ( x ) x (k)x(n k) Minimizzr qust quntità risptto i cofficinti (k) signific clcolr, di [ drivt, un pr ciscun cofficinti (k), poi imporr ch si null: l drivt risptto l gnrico cofficint (j) è (j) { [ } x (j) x(n j) x (k)x(n k) (k)x(n k) x (j) j,..., (k)x(n k) dov bbimo tnuto conto dll linrità dll oprtor di mdi. Continundo, possimo fr qulch ltr smplic mnipolzion lgbric su qull sprssion: (j) { [ } [ j)x (k)x(n k)x(n j) [ x(n j)x (k)[ x(n k)x(n j) x(n x(n j)x x(n j) L quntità [ x(n j)x [ x(n k)x(n j) ch (k)x(n k) è l utocorrlzion di x clcolt in j, mntr invc l quntità è l stss utocorrlzion, m clcolt in (n-k)-(n-j)j-k. Scrivimo dunqu (j) { [ } rxx (j) (k)r XX (j k) Adsso dobbimo imporr ch qust quntità si 0. Ottnimo così l cosiddtt quzioni di inr-hopf, rpprsntt in form comptt d r (j) (k)r (j k) XX XX j,..., Qusto sistm di quzioni fornisc dunqu i vlori di cofficinti (k) dl filtro ch dà un prdizion linr ottim. turlmnt, noti ch sino i cmpioni dll squnz di prtnz d x(n- ) x(n-), dobbimo usrli pr stimr l funzion di utocorrlzion r XX (j)., 4

5 Prdizion linr A bn vdr, l quzioni di inr-hopf coincidono con l quzioni di Yul-lkr, con l quli dtrminvmo i cofficinti dl filtro rcursivo (AR) tl ch, vndo in ingrsso un procsso binco stzionrio, dv in uscit il procsso colorto x in sm: quzioni di Yul-lkr r XX p (m) k r XX (m k) m p chiro ch i du sistmi di quzioni coincidono nl momnto in cui l ordin dl filtro prdittivo coincid con l ordin p dl filtro AR. Ossrvzion: prdizion linr com sbinctor dll squnz di ingrsso Dobbimo dsso fr lcun importnti considrzioni. Considrimo nuovmnt lo schm blocchi rpprsnttivo dl lgm tr i cmpioni x l rror di prdizion: s indichimo con (z) l trsformt zt dll rror di prdizion con X(z) l trsformt zt dll squnz x, ss srnno lgt d un funzion di trsfrimnto A (z): (z) A (z)x(z) Dt l coincidnz tr l quzioni di inr-hopf ricvt prim l quzioni di Yul-lkr crttristich dl modllo utorgrssivo, l funzion A (z) srà sttmnt ugul l rciproco dll funzion di trsfrimnto dl modllo utorgrssivo: H AR (z) p k z k A Z (z) D ltr prt, nl modllo utorgrssivo, l funzion di trsfrimnto H AR (z) srviv trsformr un procsso binco in ingrsso in un procsso colorto il più possibil coincidnt con il procsso x in ossrvzion. i discorsi ch stimo fcndo or, invc, noi usimo il rciproco di H AR (z) com funzion di trsfrimnto di un filtro ch ricv in ingrsso x: dducimo immditmnt ch l uscit dl procsso dovrà ssr un procsso binco, i cui cmpioni sino cioè du du incorrlti. p k z k procsso colorto A Z (z) p k z k procsso binco x iltro prdittor iltro sbinctor 5

6 Appunti di lborzion numric di sgnli - Cpitolo 7 Un filtro ch ricv in ingrsso un procsso colorto x fornisc in uscit un procsso binco è un filtro sbinctor. Quindi, l crscr dll ordin dl prdittor linr, lo spttro di (z) tnd d ssr tnto più uniform (binco) prché l stim spttrl utorgrssiv divnt smpr più ccurt. Possimo ripilogr qust ossrvzioni nl modo sgunt: l obbittivo dl filtro prdittor è qullo di minimizzr lo scostmnto risptto l vlor ttso (ch è nullo) dgli rrori di prdizion; qust minimizzzion si bs sull somiglinz sistnt tr vlori contigui dll squnz x; si può cioè mttr in pidi un procsso di prdizion solo s c è corrlzion tr i cmpioni. r un prdizion signific in prtic strrr dl pssto tutt l informzion possibil sul futuro. Ciò ftto, i cmpioni ch costituiscono dvono ssr ncssrimnt incorrlti, in qunto, s ci foss un corrlzion rsidu, si potrbb mttr in pidi un procdur di prdizion nch sull squnz. In ltri trmini, l prdizion h trmin qundo si ottin un squnz di rrori di prdizion costituit d cmpioni incorrlti, cioè un procsso con dnsità spttrl di potnz uniform (procsso binco). Vist l qustion in qusti trmini, il filtro prdittor può ssr considrto com un filtro sbincnt ottimo pr l rror di prdizion, ossi com qul filtro ch, dt un squnz di cmpioni tr loro corrlti, fornisc un uscit più binc possibil, limittmnt l ftto ch si vuol usr un filtro IR ch l su rispost ll impulso è costituit d cmpioni. turlmnt, l oprzion di sbincmnto pr mzzo di un filtro prdittor con rispost ll impulso costituit d cmpioni funzion compltmnt solo s il procsso x ll ingrsso di dtto filtro è un procsso utorgrssivo di ordin. ORTOGOALITÀ TRA DATI D RROR sist un mtodo ltrntivo di intrprtr qunto dtto ni prgrfi prcdnti. L obbittivo ch ci simo posti è stto qullo di dtrminr i cofficinti (k), pr,...,, : ch crttrizzno il filtro prdittor, in modo d minimizzr l rror qudrtico mdio [ x iltro prdittor (k)x(n k) Riprndimo llor l sprssion dll rror qudrtico mdio considrt prim: [ [ ( x ) x (k)x(n k) Possimo splicitr il qudrto di nl modo sgunt: * [ x (k)x(n k) x (k)x(n k) 6

7 Prdizion linr cndo l drivt di qust quntità risptto l gnrico cofficint (j), com ftto prim, si trov fcilmnt ch (j) * { [ } x (k)x(n k) x (n j) j,..., Il trmin tr prntsi tond è l rror di prdizion smplic, pr cui (j) * { [ } [ x (n j) j,..., Abbimo dtto ch dobbimo uguglir 0 qust quntità, l vrir di j tr d, in modo d idntificr i cofficinti (j) ch minimizzno l rror qudrtico mdio: * [ x (n j) 0 j,..., Qust è l cosiddtt condizion di ortogonlità tr x(n-j), o, ciò ch è lo stsso, l condizion di incorrlzion tr qust du quntità. Quindi, l vrir di j, bbimo sostnzilmnt imposto l incorrlzion tr l rror di prdizion i dti usti pr clcolr tl rror. un risultto fcilmnt comprnsibil: s vi foss corrlzion tr rror cmpioni, si potrbbro utilizzr i dti ncor mglio pr ridurr l rror ncor di più, contrddicndo l ipotsi di prtnz pr l qul qull condizion dtrmin l minimizzzion dll rror. bn sottolinr ch l incorrlzion sussist tr l rror di prdizion rltivo l cmpion x gli cmpioni prcdnti d x. sist invc corrlzion tr x. VALOR MIIMO DLL RROR QUADRATICO MDIO Un ltro sptto d considrr è qullo di clcolr qunto vl l rror qudrtico mdio nl cso in cui si sclg di usr un prdittor di ordin gnrico. A tl scopo, riprndimo ncor un volt l sprssion dll rror qudrtico mdio: [ [ ( x (n ) ) Possimo splicitr il qudrto di com prodotto di pr il suo complsso coniugto: [ ( )( ) * * * [ ( x )( x ) [ x x * * * * [ ( x ) x ( x ) [ ( x ) x [ ( x ) * * x [ Di du fttori ch bbimo ricvto, il scondo (corrispondnt l prodotto tr l rror di prdizion sul cmpion x l stim, coniugt, dl cmpion x) è sicurmnt nullo, in qunto l stim dipnd di cmpioni ch prcdono x l rror è ortogonl tli cmpioni (in bs qunto visto poco f). Dducimo quindi ch l rror qudrtico mdio minimo vl * [ [ x 7

8 Appunti di lborzion numric di sgnli - Cpitolo 7 MTODO RCURSIVO DI LVISO PR LA PRDIZIO LIAR Riprndimo l formul gnrl crttristic dl prdittor di ordin : (k)x(n k) Prtndo d qust sprssion, ponndoci l obbittivo di minimizzr l rror qudrtico mdio, bbimo ottnuto l quzioni di inr-opf, ch in form comptt sono sprss d rxx (j) (k)rxx ( j k) j,..., Risolvndo il sistm di quzioni in incognit rpprsntto d qust rlzion (nll qul possimo solo usr stim dll funzion di utocorrlzion dl procsso ossrvto), ottnimo gli cofficinti dl prdittor linr ottimo. Un mtodo di qusto tipo comport dunqu l ncssità di risolvr un sistm di quzioni in incognit, il ch quivl sostnzilmnt dovr sguir un numro di moltipliczioni proporzionl d 3. D un punto di vist strttmnt computzionl, qusto clcolo potrbb risultr onroso. sist llor un ltro lgoritmo, dovuto Lvinson, ch consnt di ridurr il numro di moltipliczioni, rndndolo proporzionl d. Vdimo i principi su cui tl mtodo si bs. l discorso ch ci h portti l filtro prdittor ottimo, bbimo smplicmnt tnuto conto dll somiglinz tr i cmpioni dllo stsso procsso: prsi du cmpioni dl procsso, l loro corrlzion, sprss dll funzion di utocorrlzion r XX (k) [ xx(n k) umnt l diminuir dll loro distnz k. Dto ch stimo considrndo procssi rli, sppimo ch l funzion di utocorrlzion è un funzion rl soprttutto pri: ciò signific ch r XX (k)r XX (-k), il ch si trduc, in trmini prtici, ch l corrlzion tr un cmpion x un cmpion x(n-k) è l stss s x(n-k) si trov prim (k>0) o dopo (k<0) risptto d x. x(n-k) x x(nk) r XX (k) r XX (k) Ciò ch cont, quindi, i fini dll utocorrlzion è solo l distnz tr i cmpioni prsi in considrzion. Abbimo già ossrvto ch possimo considrr filtri di prdizion di complssità divrs: il cso più smplic è qullo dl prdittor di ordin, ch stim x bsndosi solo su x(n-), trmit un rlzion dl tipo ()x(n ) Pssndo l prdittor di ordin, invc, i cmpioni utilizzti pr l stim sono gli ultimi du: ()x(n ) ()x(n ) 8

9 Prdizion linr All umntr dll ordin dl prdittor, umnt il numro di cmpioni prcdnti ch vngono psti quindi umnt il numro di cofficinti: ()x(n ) ()x(n )... ()x(n ) Allor, l procdur ch ci ccingimo dscrivr consnt di rrivr l filtro prdittivo di complssità dsidrt pssndo ttrvrso un sri di clcoli ch prmttono, contmpornmnt, di clcolr i filtri prdittivi di ordin suprior prtir d qullo di ordin. Con qust procdur itrtiv, s si risc dtrminr il filtro prdittivo di ordin, llor si risc d rrivr l filtro prdittivo di complssità volut. Prtimo dunqu dl prdittor di ordin vlutimo l rror di prdizion: x x ()x(n ) Pr qunto dtto in prcdnz, qusto rror dv ssr ortogonl i dti usti pr l stim, ossi, in qusto cso, l solo cmpion x(n-): dto ch stimo considrndo procssi vlori rli, l condizion di ortogonlità è [ x(n ) 0 [ ( x ()x(n ) ) x(n ) 0 splicitndo qull spttzion, possimo tirr fuori l sprssion di (): tnndo conto ch (), pr qunto incognito, è comunqu un cofficint dtrministico, ch può quindi ssr tirto fuori dll mdi, si ricv fcilmnt ch [ ) xx(n () x () XX [ (n ) r (0) Al numrtor, bbimo dunqu l funzion di utocorrlzion dl procsso x clcolt pr, mntr l dnomintor bbimo l stss funzion, clcolt in 0 (dov ricordimo ch l funzion di utocorrlzion ssum il suo mssimo vlor). Dto ch possimo stimr l funzion r XX (k), il cofficint () si può ritnr noto. Abbimo dunqu dtrminto il filtro prdittor di ordin. vidnt ch qusto clcolo potv ssr condotto immditmnt dll quzioni di inr-hopf, prndndo. Tuttvi, il vntggio di vr procduto nl modo ppn dscritto srà chiro di discorsi ch ci ccingimo fr. Dobbimo cpir com pssr, dl prdittor di ordin, i prdittori di ordin mggior. In gnrl, pr prdir il vlor dl cmpion ll istnt n, con un filtro di complssità, dobbimo prndr gli cmpioni prcdnti x psrli opportunmnt: r XX x(n-) x 4 43 ( n ) ( k ) x ( n k ) k 9

10 Appunti di lborzion numric di sgnli - Cpitolo 7 ccimo cioè qull ch potrmmo chimr un stim in vnti, cui srà ssocito un rror di prdizion in vnti dfinito così com bbimo smpr ftto fino d or: x (l pic st pr forwrd). Tuttvi, sfruttndo il ftto ch il procsso è stzionrio (lmno in snso lto) l funzion di utocorrlzion è pri, possimo nch pnsr di procdr l contrrio, sgundo un stim ll inditro: possimo cioè usr i cmpioni x(n-),...,x(n-) pr stimr il cmpion d ssi prcdnt, ossi x(--): x(n-) x(n-) x(n--) 4 43 Inftti, l procdur di prdizion si bs solo sull somiglinz sistnt tr cmpioni dll squnz prsi distnz vi vi crscnt. L stim srà dunqu dl tipo (n ) (k)x(n k) C è ovvimnt un diffrnz sostnzil risptto ll stim di x: inftti, il cmpion x(n--) è stto rlmnt ossrvto, pr cui simo prfttmnt in grdo di vlutr l bontà dll stim. In ltr prol, potrmo clcolr sttmnt l rror di prdizion ll inditro: (n ) x(n ) (n ).. chiro ch (n ) è un funzion dll indic n, m non può ssr vlutto pr qulsisi n, m solo pr n- Vdimo llor cos può srvir conoscr (n ). Dobbimo fr un discorso ch in qulch modo bbimo già ftto. S il procsso x è utorgrssivo di ordin, signific ch il gnrico cmpion è corrlto solo gli cmpioni prcdnti gli cmpioni succssivi. S usimo llor un prdittor di ordin, ch quindi considr cmpioni prcdnti pr l stim in vnti oppur cmpioni succssivi pr l stim ritroso, sso tir fuori dll squnz tutt l informzion possibil. l cso dll stim in vnti, pr smpio, non vrbb snso considrr, oltr gli cmpioni prcdnti x, nch il cmpion in posizion x(n--), in qunto qust ultimo non vrbb nint d dir su x, ssndo d sso scorrlto. 0

11 Prdizion linr Sull bs di qust considrzioni, bbimo du sptti d considrr: il primo è ch, non conoscndo priori qul si l ordin dl procsso utorgrssivo ch stimo ossrvndo, non possimo dir priori qul dovrà ssr l ordin dl prdittor d considrr, ossi non possimo dir qunti cmpioni dovrmo psr; il scondo, più complsso, è il sgunt: supponimo di vr individuto i cofficinti dl prdittor di ordin gnrico; ci chidimo s h snso considrr il prdittor di ordin ; qusto prdittor srvirbb includr, nll stim, nch il cmpion x(n--); qusto cmpion, potrbb vr qulch informzion su x, m sicurmnt un prt di tli informzioni srà stt già fornit dgli ltri cmpioni, ch sono stti già considrti nl prdittor di ordin. Di consgunz, qullo ch noi intrss non è tutt l informzion fornit d x(n--), m solo qull prt di informzion ch ncor non bbimo considrto. Ci srv cioè l innovzion introdott d x(n--) risptto ll informzioni fornit d x(n- ),x(n-),...,x(n-). Com clcolimo qust innovzion introdott d x(n--)? Dobbimo considrr tutt l informzion possdut d x(n--) proposito di x dpurrl di qull prt ch è contnut ni succssivi cmpioni. intuitivo comprndr com qust dpurzion vng dl considrr proprio l rror di prdizion ll inditro: (n ) x(n ) (n ) S il procsso x foss utorgrssivo di ordin sttmnt pri d, qusto rror di prdizion ll inditro srbb mdimnt nullo; l contrrio, s l ordin dl procsso è mggior, l stim ch noi fccimo di x(n--), bsndoci sui succssivi cmpioni, non contin tutt l informzion possibil su x(n--). Quindi, (n ) rpprsnt proprio l innovzion contnut in x(n--) risptto ll informzioni possdut di succssivi cmpioni. A qusto punto, dducimo immditmnt ch l stim dl cmpion x, ftt con un prdittor di ordin, può ssr costruit nl sgunt modo ricorsivo: c (n ) Qust rlzion dic ppunto ch stimimo x usndo l stim fornit dl prdittor di ordin l informzion ggiuntiv, risptto qust stim, fornit dl cmpion x(n--). Si trtt dunqu di un modo ltrntivo di rlizzr il prdittor di ordin, il qul, con l simbologi ust fino poco tmpo f, srbb rpprsntto d (k)x(n k) Il vntggio, risptto qust ultim rlzion, è nll ricorsività dll prcdnt rlzion: inftti, nziché dovr clcolr x-novo tutti i cofficinti (k), pr,...,, con l rlzion ricorsiv ci bst clcolr solo il cofficint c, noti ch sino i cofficinti dl prdittor di ordin immditmnt infrior. Quindi, nl costruir il prdittor di ordin prtndo d qullo di ordin, mntr con il mtodo trdizionl includimo il cmpion x(n--) usndo un st di cofficinti (k) d clcolr x-novo, con il mtodo ricorsivo, pur fcndo di ftto l stss cos, smplifichimo i nostri conti, tnndo prsnt ch x(n--) port con sé nch dll

12 Appunti di lborzion numric di sgnli - Cpitolo 7 informzioni ch non ci srvono prché l bbimo già considrt nl prdittor di ordin ; sfruttimo quindi l rror di prdizion ritroso pr considrr solo l informzioni nuov fornit d x(n--) x(n-) x(n-) iltro prdittor di ordin x(n--) (n ) c Dtto ncor in ltro modo, noi sfruttimo il ftto ch il contributo di cmpioni x(n-),...,x(n-) si stto già ottimizzto con il prdittor di ordin, pr cui fccimo in modo d migliorr ultriormnt l ottimizzzion introducndo solo ciò ch di nuovo bbimo disposizion. Post l qustion in qusto modo, è vidnt qullo ch dobbimo fr: supposti noti i cofficinti dl prdittor di ordin, dobbimo clcolr c. Comincimo col dfinir l simbologi. In primo luogo, dl prdittor di ordin ci srvono l stim di x l stim di x(n--), ch quindi srnno l sgunti: ritroso in vnti (n ) (k)x(n k) (k)x(n k) bn prcisr ch, in qust du sprssioni, i cofficinti (k) sono gli stssi, si pr l stim in vnti si pr qull ritroso. D ltr prt, l stim ritroso può nch ssr scritt in ltro modo: inftti, s ponimo b (k) ( k ), possimo scrivr ch (n ) b (k)x(n k) Qust sprssion ci è util in qunto è nll stss form dll prdizion in vnti. Usrmo qust sprssion più vnti. Adsso considrimo il prdittor di ordin scondo il mtodo rcursivo: c (n )

13 Prdizion linr Clcolimo il corrispondnt rror in vnti: x c x (n ) ( c (n ) ) ( x ) c (n ) Ancor un volt, il critrio d dottr è qullo di minimizzr l rror qudrtico mdio [( ), m l minimizzzion v ftt risptto d un solo cofficint, ossi c : c c { [ ( ) } { [ ( c (n ) ) } c { [ ( ) ( c (n ) ) ( c (n ) )} Possimo pssr l oprtor di drivt ll intrno dll mdi. Qui, trovimo un trmin indipndnt d c, ch quindi sprisc, rimn quindi l mdi dll somm dll drivt dgli ltri du trmini: c c [( ) { } ( c (n ) ) (n [ ( (n ) ) [ (n ) [ ) [ (n ) Uguglindo 0 qust quntità, simo dunqu in grdo di splicitr c : c [ (n ) ( (n ) ) [ dunqu vnuto fuori ch c può ssr intrprtto com cofficint di corrlzion mutu tr l rror di prdizion in vnti l rror di prdizion ll inditro, ntrmbi rltivi l prdittor di ordin. Usndo qusto cofficint, simo dunqu in grdo di umntr di l ordin dl prdittor. Com dtto ll inizio dl prgrfo, il numro di moltipliczioni ncssrio l clcolo di qusto cofficint è infrior l numro di moltipliczioni ncssri pr ricvr il prdittor di ordin dll quzioni di inr-hopf. Tlvolt, c vin dtto cofficint di corrlzion przil (brvmnt, PARCOR, ossi Prtil Corrltion); sso, inftti, misur l corrlzion ch sist tr gli rrori di prdizion, dopo vr liminto l dipndnz tr il cmpion x d il cmpion x(n--), dipndnz costituit dgli cmpioni intrmdi. 3

14 Appunti di lborzion numric di sgnli - Cpitolo 7 Cofficinti dl prdittor di ordin Abbimo dunqu visto, nl prcdnt prgrfo, un modo rcursivo pr pssr dl prdittor di ordin, supposto noto, l prdittor di ordin, snz prò riclcolr tutti i cofficinti dl nuovo prdittor, m clcolndo smplicmnt il cofficint c (dtto tlvolt cofficint di riflssion) ch prmttss di pplicr l rlzion c (n ) ovvio ch, vndo costruito, trmit qust ultim rlzion, un prdittor di ordin, qust ultimo srà comunqu crttrizzto di suoi cofficinti (k): (k)x(n k) Vdimo llor di mttr insim l ultim du rlzioni, ch forniscono ntrmb un stim linr di x sull bs dgli cmpioni prcdnti, l fin di dtrminr qunto vlgono gli (k). Si trtt sostnzilmnt di vdr com cmbino i cofficinti dl prdittor pssndo d qullo di ordin qullo di ordin. Ci sono vri modi di procdr. Pr smpio, possimo vlutr (n ) poi sostituir l sprssion trovt in qull ch crttrizz il prdittor di ordin. Pr fr qusto, comincimo ricordr ch, usndo il prdittor di ordin pr ffttur un stim ritroso dl cmpion x(n--), risult (n ) b (k)x(n k) dov ricordimo ch b (k) ( k ). Possimo llor clcolr l rror di prdizion ritroso, sul cmpion x(n--), commsso dl prdittor di ordin : (n ) x(n ) (n ) x(n ) b (k)x(n k) Sostitundo qust sprssion nll prdizion di ordin dl cmpion x ricordndo nch qunto vl l stim di ordin dllo stsso cmpion, bbimo ch c (n ) (k)x(n k) c x(n ) b (k)x(n k) Qust rlzion, combinndo l du sommtori (ch sono sullo stsso indic), può ssr riscritt nl modo sgunt: (k)x(n k) c (k)x(n k) c ( (k) c b (k)) x(n k) c x(n ) b x(n ) 4

15 Prdizion linr S voglimo clcolr gli (k), ci bst or confrontr qust sprssion con (k)x(n k) (k)x(n k) ( )x(n ) Dl confronto si dducono immditmnt l sgunti uguglinz: (k) ( ) c (k) c b (k) k,,..., Ancor un volt, simo in prsnz di un formul rcursiv: noti i cofficinti dl filtro prdittor (k) noto il cofficint di riflssion c, possimo immditmnt pssr i cofficinti dl filtro prdittor di ordin. Sull bs di qust considrzioni, comincimo dunqu d pplicr l procdur itrtiv ppn smint, prtndo con l vlutzion dl filtro di prdizion di ordin minimo, ossi di ordin uno: ()x(n Dobbimo vlutr solo il cofficint (). A tl fin, usimo il principio di ortogonlità tr rror dti; dobbimo cioè imporr l ortogonlità tr l rror di prdizion in vnti, compiuto dl prdittor, il cmpion x(n-) ch il prdittor stsso us pr l propri stim: dto ch l rror di prdizion in vnti è in qusto cso x x ()x(n ), dobbimo imporr ch x(n ) x ()x(n ) x(n ) [ ( ) ) [ 0 Con gli stssi critri pplicti in prcdnz, si ottin ch [ ) xx(n () x [ (n ) A numrtor, bbimo l funzion di utocorrlzion dl procsso x, clcolt pr un ritrdo, mntr dnomintor bbimo l stss funzion, clcolt prò in 0: () ot, dunqu, l proprità sttistich dl procsso in sm (rpprsntt ppunto d un stim dll funzion di utocorrlzion), simo dunqu in grdo di dtrminr il filtro prdittor di ordin. ovvio ch risult ()c. r r XX XX () (0) otimo ch il vttor di lmnti b (k) corrispond smplicmnt l vttor (k) ribltto. In qusto snso, bsndoci nch sull rlzioni prcdntmnt riportt, possimo distingur un prdittor di ordin in vnti, crttrizzto dgli (k), d un prdittor di ordin ritroso, crttrizzto di b (k). lo stsso filtro, ovvimnt, m qust distinzion iut d vidnzir s l stim vin ftt in vnti o ritroso. 5

16 Appunti di lborzion numric di sgnli - Cpitolo 7 D qusto punto in poi, pr clcolr prdittori di ordin vi vi mggior, possimo dobbimo pplicr l procdur itrtiv vist prim. Ad smpio, volndo pssr l prdittor di ordin, bbimo qunto sgu: () () cb() () c() ( c ) () () c Pr pplicr qust rlzioni, dobbimo smplicmnt vlutr il cofficint di riflssion di ordin : pplicndo llor l sprssion di tl cofficint trovt ll fin dl prgrfo prcdnt, bbimo ch [ (n ) pr [ (n ) c c (n ) (n ) [( ) [( ) S dsso volssimo pssr l prdittor di ordin 3 (3), vrmmo qunto sgu: 3() () c3b () 3() () c3b () 3(3) c3 [ (n 3) ( (n 3) ) [ rror di prdizion ll umntr di Continundo il rgionmnto, possimo or vlutr cos ccd ll rror di prdizion mn mno ch umntimo l ordin dl prdittor. Pr l considrzioni già ftt in prcdnz, ci spttimo ch qusto rror vd diminundo, ll umntr dll ordin, fino d un crto punto oltr il qul invc si ssst su un vlor costnt, il ch st significr ch stimo introducndo nuovi cmpioni, nll stim, ch non hnno nint d dir sui cmpioni ch voglimo stimr. Considrimo dunqu l rror di prdizion in vnti, sul cmpion x, compiuto dl prdittor di ordin : x Sostitundo (n ) l stim fornit dl prdittor di ordin, ottnimo x c x (n ) ( c (n ) ) ( x ) c (n ) Com già trovto in prcdnz, l rror di prdizion in vnti compiuto dl prdittor di ordin è l composizion dll rror in vnti compiuto dl prdittor di ordin dll rror ritroso compiuto ncor dl prdittor di ordin. Clcolimo il vlor qudrtico mdio di tl rror, il qul, pr l considrzioni ftt, srà il minor possibil: [( ) ( c (n ) ) ( ) c (n ( ) c (n [ [ [( ) ) [ c (n ) [ [( ) ) c [ (n ) 6

17 Prdizion linr In qusto discorso, stimo supponndo di vr già clcolto il vlor numrico di c sppimo ch qusto clcolo prsuppon di vr ottimizzto tl vlor numrico pr umntr di un unità l ordin dl prdittor: dll dfinizion di c ottnimo Sostitundo, ottnimo dunqu ch [( ) ( ) ( ) [ [ (n ) c ( (n ) ) [ c [ ( (n ) ) c c [ ( (n ) ) [ c [ ( (n ) ) D ltr prt, gli rrori qudrtici mdi di prdizion in vnti ritroso, s il procsso è stzionrio rl, sono uguli, pr cui concludr ch [( ) ( c ) ( ) [ Qust rlzion ci dic ch il lgm tr l rror di prdizion in vnti, sul cmpion x, commsso dl prdittor di ordin, qullo commsso, sullo stsso cmpion, dl prdittor di ordin sono lgti dl fttor ( c ). D ltr prt, s gurdimo l dfinizion dl cofficint c, ci ccorgimo ch sso, in modulo, è smpr comprso tr 0 d, il ch ci dic ch l quntità è minor di quindi ch ( ) c [( ) ( ) [ Com ci spttvmo, l umnto dll ordin dl prdittor h dtrminto un diminuzion dll rror qudrtico mdio. Com dtto prim, ci spttimo ch l rror rror vd diminundo indfinitmnt ll umntr dll ordin, fino d un crto punto oltr il qul invc si ssst su un vlor costnt: [( ) ll rltà, qusto non potrà mi ccdr: inftti, l ssstmnto su un vlor costnt si h solo s noi conoscimo sttmnt l corrlzion tr rror di prdizion in vnti d rror di prdizion ritroso: [ (n ) c (n ) [( ) 7

18 Appunti di lborzion numric di sgnli - Cpitolo 7 Al contrrio, qust corrlzion srà smpr not con un crt pprossimzion, pr cui l rror qudrtico mdio non potrà mi mntnrsi rigorosmnt costnt 3. Volndo llor stbilir un critrio in bs l qul rrstr l procdur itrtiv scglir un prdittor di un dtrminto ordin, potrmo rgolrci com sgu: ci rrstrmo qundo l vrizioni dll rror risultrnno piccol risptto ll incrmnto dll complssità dl prdittor in uso. Schm blocchi dll procdur ricorsiv Può ssr util fornir uno schm blocchi ch dscriv l procdur itrtiv ppn dscritt, ossi l procdur ch, prtndo dll funzion di utocorrlzion r XX (k) dl procsso x sotto ossrvzion, consnt di clcolr i cofficinti di prdittori di ordin vi vi crscnt. In prticolr, nziché considrr il modo con cui vngono clcolti i cofficinti di prdittori di ordin vi vi mggior, ci concntrimo sull vlutzion dll rror di prdizion ll umntr dll ordin di prdizion. Comincimo dl prdittor di ordin, nl qul cioè l stim dl cmpion n-simo si ()x(n ). Abbimo trovto prim l sgunt rlzion ricorsiv pr il clcolo dll rror di prdizion in vnti: x c (n ) Qust rlzion vl prò prtir dl prdittor di ordin. Pr il prdittor di ordin, invc, possimo smplicmnt scrivr ch x x ()x(n ) x c x(n ) Lo schm blocchi rpprsnttivo di qust rlzion è il sgunt: x - z- c L rror di prdizion di ordin in vnti è dto dll diffrnz tr il cmpion corrnt (cioè qullo ch si vuol stimr) l su stim, ottnut dl prodotto tr il cofficinti di riflssion di ordin (c ) il cmpion prcdnt (l uscit dl ritrdtor). Possimo dsso lggrmnt complicr qullo schm, ggiungndo un ultrior nodo comprtor nl modo sgunt: 3 il digrmm riportto prim non srà così rgolr com è stto disgnto, m srà più frstglito, consrvndo smpr un diminuzion dll rror ll umntr di 8

19 Prdizion linr x c - z- c - (n ) Il motivo dll ggiunt dl nuovo nodo comprtor è indicto nll figur stss, in qunto si vd ch l uscit dl suddtto nodo è l rror (n ) di prdizion ll inditro, di ordin, sul cmpion x(n-): inftti, in bs qullo schm noi clcolimo l diffrnz tr x(n-) l quntità c x, ch non è ltro ch l stim ritroso dl cmpion x(n-), bst sull conoscnz di x. L diffrnz tr qust du quntità è dunqu l rror di prdizion ll inditro sul cmpion x(n-). Prché ci è util conoscr (n )? Prché qusto rror, ritrdto di un psso di cmpionmnto, ci dà (n ), il qul, insim, ci consnt di pplicr l formul c [ (n ) ( (n ) ) [ trmit l qul potr rislir ll rror di prdizion di ordin sul cmpion x. Ci bst dunqu insrir, in csct l rmo infrior, un ritrdtor di un psso di cmpionmnto: x c - z- c - (n ) z- (n ) oti i du rrori (n ), possimo dunqu clcolr il cofficint di riflssion c qusto cofficint di consnt di introdurr in csct un ltr cll lmntr, dllo stsso tipo dll prim, con l qul clcolr l rror di prdizion in vnti di ordin, : x c - c - z- c - (n ) z- (n ) c - Qusto schm dscriv il cosiddtto filtro trliccio non ricorsivo: sso srv si d sbinctor (in qunto ci f pssr d x ) si nch d prdittor (in qunto consnt 9

20 Appunti di lborzion numric di sgnli - Cpitolo 7 nch di ottnr l stim di ordin (bst considrr l diffrnz tr l ingrsso x l uscit ). Quindi, ssndo l procdur itrtiv, pr ottnr l rror di prdizion in vnti ritroso, dovuto d un prdittor di ordin, bst mttr in csct cll simili, ottnndo così un struttur di filtro trliccio non rcursivo dll cui uscit ottnimo ppunto (n ). Pr l considrzioni già ftt in prcdnz, s il procsso in ingrsso è purmnt utorgrssivo di ordin s i cofficinti di riflssion sono clcolti opportunmnt, ll uscit dl filtro composto d cll in csct si dovrbbro ottnr dll squnz binch. MTODO DI PISARKO Abbimo ormi bn cpito ch, pr vr un stim dll dnsità spttrl di un procsso, dobbimo sostnzilmnt dtrminr l potnz dll componnti sinusoidli nll intrvllo di frqunz considrto. I mtodi di stim sono qulli visti in prcdnz si dividono sostnzilmnt in mtodi non prmtrici (priodogrmm) mtodi prmtrici. In lcuni csi prticolri, si può pnsr di fr dll ipotsi prticolri sul procsso in sm: pr smpio, si può supporr ch il procsso si costituito dll somm dll invitbil rumor di sinusoidi di mpizz fs frqunz ignot, m in numro ipotticmnt noto. l cso di un procsso discrto x, possimo supporr ch sso si l somm di un rumor w di un crto numro di sinusoidi cmpiont, i cui prmtri sono noi ignoti: s x w A k cos ( ω nt θ ) Si possono nch fr dll ipotsi sul rumor, ch può ssr intso si com rumor vro proprio si nch com imprcision con cui sono stti misurti i cmpioni dl sgnl ossrvto: gnrlmnt, si suppon ch il rumor si binco (il ch signific ch i suoi cmpioni sono du du incorrlti) ch si incorrlto con il sgnl util. S si pon l qustion in qusto modo, il problm dll stim si pon in du sptti ssnzili: dtrminr il numro di sinusoidi, pr ciscun di ss, dtrminr mpizz, fs frqunz. Occupimoci prim dl problm dll dtrminzion di prmtri (A k,θ k,ω k ) dll sinusoidi prsnti, introducndo il mtodo di Pisrnko. Qusto mtodo funzion scondo il sgunt critrio gnrl: dtrminr i vlori di prmtri (A k,θ k,ω k ) ch pprossimno l mglio, in trmini di rror qudrtico mdio, i dti. L informzioni disposizion sono un crto numro di cmpioni dl sgnl sotto ossrvzion. Pr chirirci l id, considrimo il cso di un sgnl privo di rumor costituito d un unic sinusoid cmpiont: s x sin nωt θ k ( ) Pr comodità, si è prs unitri l mpizz dl sgnl. Supponimo di conoscr i cmpioni x(n- ) x(n-), i cui vlori sono vidntmnt dti (in ssnz di rumor) d x(n ) sin x(n ) sin (( n ) ωt θ) (( n ) ωt θ) k 0

21 Prdizion linr Ci chidimo s, noti qusti du cmpioni, si possibil prdir il vlor dl cmpion x usndo un mdi pst di x(n-) x(n-). In trmini nlitici, ciò signific vrificr s sistono du cofficinti d tli d soddisfr l rlzion x x(n ) x(n ) Possimo llor comincir col sostituir i tr cmpioni l rispttiv sprssioni: ( nωt θ) sin( ( n ) ωt θ) sin( ( n ) ωt θ) sin Sviluppndo i du Sni scondo mmbro con l formul di ddizion, si ottin ch sin ( nωt θ) sin( nωt θ) cos( ωt) cos( nωt θ) sin( ωt) sin( nωt θ) cos( ωt) cos( nωt θ) sin( ωt) Adsso, prché ci si uguglinz tr i du mmbri, dobbimo uguglir i cofficinti dl trmin sin(nωtθ) qulli dl trmin cos(nωtθ): cos 0 sin ( ωt) cos( ωt) ( ωt) sin( ωt) Risolvndo qusto sistm, si ottngono i vlori di du cofficinti ch fnno l cso nostro: cos ( ωt) Quindi, nl cso bnl di un sinusoid, simo in grdo di clcolr du cofficinti di pstur in modo tl ch, conoscndo du cmpioni succssivi dl sgnl, si possibil clcolr il cmpion d ssi succssivo. D notr ch non stimo prlndo, in qusto cso, di stim dl cmpion x, m di clcolo stto di x: il motivo è ch, pr il momnto, non stimo considrndo l prsnz dl rumor, ossi stimo supponndo ch l misur di cui disponimo sino idli. Vdrmo com cmbino l cos qundo introdurrmo il rumor, m pr il momnto continuimo con il cso idl di ssnz di rumor. Il discorso ftto si può ovvimnt stndr l cso di un sgnl x ch si somm di più sinusoidi: potrmo smpr scrivr un rlzion dl tipo x (k)x(n k) Pr ogni sinusoid prsnt nl sgnl, vrmo bisogno di cofficinti, pr cui, s l sinusoidi sono M, il clcolo dl cmpion x, noti ch sino x(n-) d x(n-), richid il clcolo di M cofficinti. Si possono sprimr qusti conctti nch in un ltro modo: inftti, l ultim rlzion scritt può ssr nch post nll form (k)x(n k) 0

22 Appunti di lborzion numric di sgnli - Cpitolo 7 ptto di porr (0)-. Inftti, qusto consnt di consrvr l sommtori in qull form di includr il cmpion x nll sommtori stss. Qust rlzion è util in qunto può ssr intrprtt trmit un filtro IR: x (k)x(n k) 0 0 In prtic, i cofficinti (k) possono ssr visti com qulli crttristici di un filtro IR ch, ricvndo in ingrsso i cmpioni dl sgnl d x(n-) x(n-), fornisc x0. Il filtro, cioè, ffttu un mdi pst di cmpioni in ingrsso in modo tl d tirr fuori un uscit null. S fccimo l trsformt zt dll rlzion (k)x(n k) 0, ssndo qust ultim nint ltro ch un convoluzion, ottnimo ch A (z)x(z) 0 Dto ch X(z) non è nullo, dducimo ch si trtt di un filtro ( soli zri, ssndo un filtro IR) molto prticolr: sso prsnt tutti gli zri sul crchio unitrio in corrispondnz dll frqunz ch sono contnut nll squnz x. In qusto modo, inftti, sso zzr tutt l componnti spttrli contnut nll ingrsso. Post l qustion in qusto modo, divnt dsso fcil dtrminr l frqunz contnut in x: in primo luogo, si dtrminno i cofficinti (k) tli ch si soddisftt l rlzion (k)x(n k) 0; in scondo luogo, si ricv il polinomio A(z) si crcno l su rdici: tli rdici forniscono sttmnt l frqunz prsnti nll squnz di ingrsso. turlmnt, com bbimo ccnnto prim, tutto qusto discorso è idl, visto ch stimo supponndo il sgnl privo di rumor. Al contrrio, l prsnz di qusto rumor è invitbil, non foss ltro ch pr l imprcision dll nostr misur. Vdimo llor di riptr gli stssi discorsi includndo il rumor w: s x w A k cos ( ω nt θ ) Possimo ncor pplicr l rlzion (k)x(n k) 0, nll qul prò, l posto dl sgnl util, dobbimo sostituir l diffrnz tr il sgnl misurto (cioè qullo rlmnt nostr disposizion) d il rumor: (k) [ s(n k) w(n k) 0 importnt cpir il snso di qust rlzion: inftti, mntr prim ndvmo ricrcr i cofficinti (k) ch zzrvno l uscit, dsso ricrchimo i vlori dgli (k) tli ch, ricvndo in k k

23 Prdizion linr ingrsso s, il filtro cnclli i contributi dgli x, lscindo soprvvivr solo il trmin di rumor w: sxw (k) [ s(n k) w(n k) 0 w D qusto punto di vist, ssndo w un procsso binco, il filtro in qustion è ncor un filtro sbincnt. Tornndo i pssggi, possimo scindr in du l sommtori: (k)s(n k) (k)w(n k) A qusto punto, simo in un situzion rdiclmnt divrs d prim: inftti, qundo supponvmo ssnt il rumor, vvmo comunqu ch fr con un procsso dtrministico (spvmo ch si trttv di sinusoidi con prmtri ignoti), mntr dsso simo in prsnz di un sgnl csul (il rumor ppunto) ch ci port d vr ch fr con sgnli ltori. Di consgunz, non possimo più ffidrci i mtodi nlitici visti prim, m dobbimo ricorrr qulch mtodo di mdi sttistic pr potr dtrminr i prmtri (k) dl sistm. Possimo d smpio pnsr di moltiplicr mbo i mmbri pr il gnrico cmpion s(n-j) succssivmnt clcolr l mdi di ntrmbi i mmbri: (k)s(n k)s(n j) (k)w(n k)s(n j) Applicndo l linrità dll mdi, possimo portr l oprtor [ ll intrno dll sommtori possimo inoltr tirr fuori d [ stsso i cofficinti (k), i quli, pr qunto ignoti, sono comunqu dtrministici: (k) s(n [ k)s(n j) (k)[ w(n k)s(n j) Qust sprssion mostr pr qul motivo bbimo sclto di procdr in qusto modo: l mdi ch compr primo mmbro è l funzion di utocorrlzion dl procsso s ch bbimo misurto, mntr l mdi ch compr scondo mmbro è l corrlzion tr il procsso s d il rumor in sso contnuto: r (k)r SS (j k) (k)rs(j k) Vdimo qunto vlg, più nl dttglio, l funzion r S (j-k): S r (j k) w(n X (j k) r [ k)s(n j) [ w(n k) ( x(n j) w(n j) ) [ w(n k)x(n j) [ w(n k)w(n j) (j k) L ipotsi ch bbimo ftto ll inizio rno di rumor binco incorrlto con x: qusto signific ch r X (j-k)0 ch r (j k) σ δ(j k). 3

24 Appunti di lborzion numric di sgnli - Cpitolo 7 Andndo llor sostituir nll sprssion di prim, ottnimo (k)r SS (j k) (k) σ δ( j k) ll sommtori scondo mmbro l unico trmin non nullo vin d ssr qullo pr cui j- 0, ossi j: (k)r SS ( j k) ( j) Qust rlzion vl l vrir di j tr, dto ch i cofficinti dl filtro si suppon sino. ss quivl dunqu quzioni: j ()r SS (0) ()rss ( )... ()rss ( ) () σ j ()r SS () ()rss (0)... ()rss ( ) () σ... j ()r SS ( ) ()rss ( )... ()rss (0) () σ Qusto sistm può ssr rpprsntto in form mtricil: indict con R SS l mtric di utocorrlzion dl procsso s con il vttor di cofficinti (k), possimo scrivr il sistm nll form R σ Portndo tutto primo mmbro, qust rlzion divnt SS ( σ I ) 0 R SS Qust rlzion mtricil è nll tipic form di un problm di clcolo dgli utovttori di un mtric: ss inftti è nll form (R SS -λi)0. In rltà, si trttrbb si clcolr solo gli utovttori di R SS s fossro già noti gli utovlori; l contrrio, noi non conoscimo σ, dto ch non è not l squnz di rumor sovrppost l sgnl. Quindi, si trtt di un problm gli utovlori d gli utovttori, dov σ è sicurmnt un utovlor dll mtric R SS. D ltr prt, possimo riconoscr nll mtric R SS un struttur prticolr: inftti, l funzion di utocorrlzion dl procsso s risult ssr r SS r k) [ s(n k)s(n j) [ ( x(n k) w(n k) )( x(n j) w(n j) ) [ k)x(n j) w(n k)x(n j) x(n k)w(n j) w(n k)w(n j) [ k)x(n j) [ w(n k)x(n j) [ x(n k)w(n j) [ w(n k)w(n j) (j x(n x(n XX (j k) r X ( j k) r X (j k) r ( j k) r XX σ (j k) r ( j k) D qui dducimo immditmnt ch l mtric di utocorrlzion R SS è pri ll somm dll mtric di utocorrlzion R XX dl procsso di intrss x di qull R dl rumor w: R SS R XX R R XX σ I 4

25 Prdizion linr dov l mtric R h qull prticolr struttur di mtric digonl (con tutti gli lmnti digonli di vlor σ ) pr l ipotsi ftt di rumor binco incorrlto. ssndo x un procsso pr ipotsi rl, l mtric R XX è un mtric simmtric (dto ch l funzion di utocorrlzion r XX (k) è pri) quindi, in bs ll ultim rlzion ricvt, lo è nch R SS. Tornndo dsso l sistm considrto prim in form mtricil ( R λi ) 0 riscrivrlo nll form ( σ I ) λi) 0 R XX SS, possimo d cui consgu vidntmnt ch ( ( λ σ ) I ) 0 R XX ssndo R XX un mtric simmtric, pr un not proprità ss possid solo utovlori rli positivi: qusto signific ch λ σ 0, ossi ch λ σ. Qust proprità ci dic intnto ch gli utovlori λ j di R SS sono sicurmnt tutti divrsi d 0. In scondo luogo, ci dic nch ch, stimndo gli utovlori λ j dll mtric R SS (mtric di utocorrlzion di dti disponibili), potrò vr un stim di σ : inftti, un volt clcolti tutti i λ j, posso prndr il più piccolo str crto ch sso srà mggior o l più ugul di σ, pr cui potrà costituir un stim (prltro grossoln) di σ stsso. turlmnt, com spsso ccd ni nostri discorsi, tutto qusto discorso è tnto più vro qunto più l ipotsi di prtnz (rumor binco incorrlto con x) sono vrifict, ossi qunto più fdl ll rltà è il modllo utilizzto. Appliczion dll prdizion linr Possimo pplicr, i discorsi ppn conclusi, qulli rltivi ll prdizion linr. A proposito di qust ultim, bbimo ossrvto com ss si quivlnt d un stim utorgrssiv (modllo AR) dll dnsità spttrl di potnz dl procsso. Il discorso ffttuto è stto il sgunt: dti gli ultimi cmpioni dl sgnl, si sfrutt l corrlzion sistnt tr dtti cmpioni qullo ch si vuol stimr si ffttu quindi un stim di qust ultimo. Qusto stsso modo di procdr può ssr pplicto nch in un contsto lggrmnt divrso. Supponimo ncor un volt di vr un sgnl s somm dl sgnl util x di un rumor w: s x w L obbittivo è qullo di stimr x (ossi sostnzilmnt di riuscir d liminr il rumor sovrpposto l sgnl), noti ch sino i cmpioni d s(n-) s(n-). Supponimo llor di vr disposizion un squnz d i cui cmpioni sino in qulch modo corrlti con i cmpioni w dll squnz di rumor. Appr ovvio ch possimo provr sfruttr d pr ridurr l fftto dl disturbo sul sgnl x. Inftti, bbimo ossrvto ch, nll prdizion linr, cont ssnzilmnt l corrlzion tr i cmpioni prcdnti d il cmpion ttul, d stimr. on è importnt s i cmpioni prcdnti pprtngono ll stss squnz oppur d un ltr squnz. Qullo ch cont è ch i cmpioni disponibili bbino un corrlzion non null con qull ch si vuol stimr. Un smpio clssico è qullo dll liminzion dll co nl collgmnto tlfonico tr du utnti. 5