Minimizzazione degli Stati in una macchina a stati finiti

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1 Rti Loih Sintsi i rti squnzili sinron Minimizzzion li Stti in un mhin stti initi Proimnto: Spiih Dirmm li stti Tll li stti Minimizzzion li stti Coii li stti Tll ll trnsizioni Slt lmnti i mmori Tll ll itzioni Sintsi ll rti omintori (nxt stt - output) Mhin Stti Finiti Mhin Stti Finiti M: <S,I,O,δ,λ,s 0 > S: insim li stti I: lto i inrsso A B C B C A C B A A B C B C A C B C Out insim i tutti i possiili simoli i inrsso O: lto i usit δ: unzion i stto prossimo δ: SxI S λ: unzion i usit λ: SxI O (mhin i Mly) λ: S O (mhin i Moor) s 0 : stto inizil 1 A C 0 Mly B A 1 C 0 Moor B 0

2 Motivzion Oittivo Elmnti i mmori nssri pr mmorizzr lo stto: N lo 2 S Possono sistr stti rionnti Eliminzion rionnz Diminuzion l numro i lmnti i mmori Rti omintori più smplii Iniviuzion i un mhin minim quivlnt Eliminzion li stti non riuniili (llo stto inizil) Intiizion Stti quivlnti (pr l mhin ompltmnt spiit) Stti omptiili (pr l mhin non ompltmnt spiit) Stto Irriuniil Dinizioni Non sist lun squnz i trnsizion h porti llo stto inizil (I) llo stto onsirto (Q) Dti: I : squnz i inrsso {i 1, i 2, i 3,..., i N } U : squnz i usit ssoit I s i, s j u stti nrii Gli stti s i s j sono inistinuiili (s i s j ) s: I Q A Lo stto Q è irriuniil I Q A U = L(s i,i) = U' = L(s j,i) I ioè s pr qulunqu squnz i inrsso l usit nrt prtno s i s j sono l stss C B C B Proprità: Rilssiv: s i s i Simmtri:s i s j s j s i Trnsitiv: s i s j s i s k s i s k

3 Prtizion li stti Eliminzion i stti è un rlzion i quivlnz inu un prtizion sull'insim S P = {p 0, p 1,..., p r } u stti s i s j pprtnono llo stsso loo p k s solo s s i s j un mhin stti initi è minim s non h stti istinti quivlnti M: <S,I,O,δ,λ,s 0 > M': <P,I,O,δ',λ',p 0 > S 6 Du stti inistinuiili sono quivlnti possono ssr sostituiti un sinolo stto S 5 S 4 S 4 S 5 S 5 S 6 S 6 S 4 ' ' S 4 P: prtizion inott su S ll rlzion Rol i Pull-Unr Rol i Pull-Unr Dinizion i inistinuiilità Dopo vr sminto tutt l oppi i stti, pr oni s i s j Si vono onsirr tutt l squnz i inrsso s i s j Diiil ppliilità Rol i Pull-Unr prhé sist lmno un inrsso pr ui l usit sono ivrs prhé sist un inrsso h port stti sussivi istinuiili Du stti s i s j sono inistinuiili s solo s: λ(s i, i) = λ(s j, i) i I (l usit sono uuli pr tutti i simoli i inrsso) oppur s i s j prhé pr oni inrsso ipnono : δ(s i, i) δ(s j, i) i I (li stti sussivi sono inistinuiili pr tutti i simoli i inrsso) L rol è riorsiv oppi i ui è stt provt l inistinuiilità l oppi in sm (s i, s j ) oppur Dipnono un'ltr oppi i stti i ui non si è nor provt l istinuiilità Itrr inhé tutt l oppi i stti non sono risolt

4 Esmpio Rol i Pull-Unr S 4 S 4 hnno l stss usit s li stti sussivi sono inistinuiili, S 4 hnno l stss usit s li stti sussivi sono inistinuiili, S 4 L'inistinuiilità tr ipn qull tr S 4 ( vivrs). Possimo onlur h: S 4 mhin quivlnt [ (, ) 1 ' ; ' ; (,S 4 ) 4 ' ] L rlzioni i inistinuiilità si intiino on l Tll ll Implizioni Mtt in rlzion oni oppi i stti È trinolr mn ll ionl prinipl (simmtri rilssività) Oni lmnto ll tll ontin: Il simolo i quivlnz () o i non quivlnz () oppur L oppi i stti ui si rimn l vrii s non è nor possiil ir 1 ' ' 4 ' 4 '/ ' 1 ' ' 1 ' ', Rol i Pull-Unr Rol i Pull-Unr - smpio Pr oni oppi i stti S i, S j S è mrt om quivlnt: non è rihist ltr vrii S si rimn un'ltr oppi S p, S q s S p, S q sono quivlnti, S i, S j sono quivlnti s S p, S q sono non quivlnti, S i, S j sono non quivlnti s S p, S q ipnono un'ltr oppi, riptr il proimnto itrtivmnt Anlisi ll oppi i stti: L'nlisi trmin quno ultriori liminzioni non sono possiili L oppi rimnnti sono quivlnti -: - è inistinuiil s lo è - -: - è istinuiil -: - è istinuiil -: - è inistinuiil s lo è - -: - è istinuiil -: - è inistinuiil s lo è - -: - è inistinuiil -: - è inistinuiil s lo è -

5 Rol i Pull-Unr - smpio Rol i Pull-Unr - smpio Anlisi ll oppi i stti: -: - è inistinuiil s lo è - -: - è istinuiil -: - è istinuiil -: - è inistinuiil s lo è - -: - è istinuiil -: - è inistinuiil s lo è - -: - è inistinuiil -: - è inistinuiil s lo è - Stti quivlnti: : {,,} : {,} : {} : {} Nuov tll li stti: Rol i Pull-Unr smpio 2 Rol i Pull-Unr Pr un FSM ompltmnt spiit, l'oritmo i Pull-Unr Dtrmin in mnir stt l FSM minim quivlnt L prtizion in lssi i stti quivlnti è uni

6 Mhin non ompltmnt spiit Mhin non ompltmnt spiit Pr lun oniurzioni i inrssi stto orrnt non sono spiit l usit /o lo stto uturo Dinizion s i s j sono omptiili (s i s j ) s ssunti om stti inizili nno luoo squnz i usit intih, mno i onizioni i inirnz, pr oni possiil squnz i inrsso L omptiilità è un rlzion mno ort i qull i inistinuiilità: Non vl l proprità trnsitiv smpio Rol i Pull-Unr sts: /x /x /x li stti s i s j sono omptiili s solo s: λ(s i, i) = λ(s j, i) i I ovunqu sono ntrmi spiiti δ(s i, i) δ(s j, i) i I ovunqu sono ntrmi spiiti L inizion è riorsiv Rol i Pull-Unr sts Rol i Pull-Unr sts Anh l rlzioni i omptiilità si intiino on l Tll ll Implizioni Oni lmnto ll tll ontin: s in lmno un olonn vi sono usit ivrs (stti inomptiili) /x /x /x /x S i S j s l usit sono tutt uuli m i nomi li stti uturi (S i, S j ) sono ivrsi non oiniono on qulli ll oppi i stti in sm ltrimnti (stti omptiili) Si vono vriir i vinoli h isnono ll'imposizion ll usit non spiit smpio: s si slono ntrm l usit nllo stto pri 0, in qusto so prò vivrs

7 Rol i Pull-Unr sts Rol i Pull-Unr sts /x /x /x /x non può ssr liminto nh s prhé nllo stto l'usit non è spiit (quini non è tto h si ) /x /x /x /x Vinoli: : s : s : s : s : s, : s, : s Rol i Pull-Unr sts Gro i omptiilità /x /x /x /x I noi orrisponono li stti I noi n i n j sono ollti s li stti orrisponnti sono omptiili I noi n i n j sono ollti s l loro omptiilità ipn ll omptiilità l loro stto sussivo Vinoli: Su oni ro sono riportti i vinoli sull omptiilità li stti sussivi : s : s : s : s : s, : s, : s

8 Gro i omptiilità Gro i omptiilità I noi orrisponono li stti Clss i omptiilità I noi n i n j sono ollti s li stti orrisponnti sono omptiili Insim i stti oppi omptiili I noi n i n j sono ollti s l loro omptiilità ipn ll omptiilità l loro stto sussivo È un poliono omplto sul ro i omptiilità L lssi i omptiilità non sono nssrimnt isiunt Su oni ro sono riportti i vinoli sull omptiilità li stti sussivi l omptiilità tr u stti (noi) sussist solo s tutti i vinoli vnono ttti utilizzti Esmpi i lssi i omptiilità:,,,,,,,,... Gro i omptiilità Gro i omptiilità Clss i mssim omptiilità Insim hiuso i lssi i omptiilità Clss i omptiilità non ontnut in nssun ltr lss Sul ro è un poliono omplto non ontnuto in nssun ltro poliono Insim i lssi i omptiilità i ui vinoli sono ontnuti in lmno un lss ll'insim Grntito h tutti i vinoli sino rispttti Esmpi i lssi i mssim omptiilità:,,,,,, NO: il vinolo non è ontnuto in nssun lss i omptiilità OK

9 Gro i omptiilità Minimizzzion Stti Coprtur ll Tll li Stti Insim i lssi i omptiilità pr ui oni stto ll Tll li Stti è ontnuto in lmno un lss i omptiilità Trovr il più piolo insim hiuso i lssi i omptiilità h opr l'insim i stti su ui l mhin è init Esmpi: {{,,}, {,,}, {,,}} {{,}, {,}, {,,}, {,,}} L'insim i tutt l lssi i mssim omptiilità è hiuso opr l'insim li stti ll mhin S si ssoi uno stto oni lss i mssim omptiilità si ottin un nuov mhin on un numro i stti Possiilmnt minor i qullo i prtnz Non nssrimnt minimo Esmpio oprtur Aloritmo Clssi i mssim omptiilità non isiunt Coprtur mmissiil: A={,,} B={,,} C={,,} Non minim Conivision i stti tr ivrs lssi non è possiil rlizzr l mhin minim ssoino un nuovo stto un lss il num. i lssi i mx omptiilità è un limit suprior l numro i stti ll mhin minim Lirtà i ssnmnto pr l onizioni non spiit l mhin minim non è uni Aloritmi uristii 1. Inizilizzr un list L vuot 2. Finhè il ro non è vuoto:. Iniviur orinr l lssi i mssim omptiilità prsnti sul ro pr imnsion. Iniviur l lss i omptiilità mssim i imnsion mssim prsnt sul ro. Insrir nll list L tutti i vinoli prsnti nll lss i omptiilità onsirt. Eliminr ll list L l ro i vinoli soistti ll lss onsirt. Eliminr l ro tutti i noi ( i rltivi rhi) pprtnnti ll lss i omptiilità onsirt h non pprtnono nssun vinolo prsnt nll list L /o nl ro 3. L lssi osì iniviut ormno un prtizion i omptiilità (insim i lssi i omptiilità hiuso)

10 Aloritmo - Esmpio Aloritmo - Esmpio ro L = {} lssi i mssim omptiilità: lss slziont: vinoli nll lss slziont: L = {} Coprtur iniviut: {, } Aloritmo - Esmpio Aloritmo Esmpio 2 /x /x /x /x /x -/x -/x /x /x -/x -/x -/x -/x sono inomptiili sono inomptiili sono inomptiili sono inomptiili Coprtur iniviut: {, } = {} = {} sono inomptiili sono inomptiili sono inomptiili sono inomptiili sono inomptiili sono inomptiili

11 Aloritmo Esmpio 2 Aloritmo Esmpio /x -/x -/x /x /x -/x -/x -/x -/x /x -/x -/x /x /x -/x -/x -/x -/x sono inomptiili sono inomptiili sono inomptiili sono inomptiili sono inomptiili sono inomptiili sono inomptiili sono inomptiili sono inomptiili sono inomptiili Aloritmo Esmpio 2 Aloritmo Esmpio /x -/x -/x /x /x -/x -/x -/x -/x /x /x 11 -/x /x -/x -/x /x /x -/x -/x -/x -/x /x /x 11 -/x Coprtur iniviut: {,,, } = {} = {} = {} = {} L lssi non sono isiunt: lo stto pprtin si h Al momnto ll rlizzzion ll mhin minim si v stilir l orrisponnz oni volt h ompr om prossimo stto Coprtur iniviut: {,,, } = {} = {} = {} = {}

12 Coii li stti Coii li stti Numro i oiih possiili: Coii i lunhzz minim 2 ( N ) S! S pr 3 stti, oiiti on 2 it, si hnno 24 possiili oiih pr 4 stti, oiiti on 2 it, si hnno 24 possiili oiih pr 5 stti, oiiti on 3 it, si hnno 6720 possiili oiih pr 6 stti, oiiti on 3 it, si hnno possiili oiih pr 7 stti, oiiti on 3 it, si hnno possiili oiih pr 8 stti, oiiti on 3 it, si hnno possiili oiih pr 9 stti, oiiti on 4 it, si hnno possiili oiih Sintsi u livlli ll unzioni δ λ Flip-lop i tipo D Oittivo: minimizzr l loi omintori Anlisi sustiv non prtiil mtoi uristii Coii li stti Ruls o thum Stti s i s j h prità i inrssi hnno li stssi stti prossimi: oiih inti smpliizion i δ Stti s i s j h prità i inrssi hnno l stss usit: oiih inti smpliizion i λ Stti s j s k tli h s j = δ(s i, i ) s k = δ(s i, i ) on Hmmin(i, i )=1 oiih inti smpliizion i δ