Ingegneria dei Sistemi Elettrici_3c (ultima modifica 22/03/2010)

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1 Inggnria di Sistmi Elttrici_3c (ultima modifica /03/00) Enrgia Forz lttrostatich P F + + Il lavoro richisto nl vuoto pr portar una carica lntamnt, (prché possano ritnrsi trascurabili sia l nrgia cintica ch gli fftti di radiazion), dall infinito in snso contrario alla dirzion dl campo dovuto a una carica, alla distanza dalla carica, è: F F cos0 V 4πε 4πε Poiché il campo lttrostatico è consrvativo il lavoro è indipndnt dal prcorso fatto dalla carica, pr portarsi alla distanza da, posizion alla qual è associata una nrgia potnzial lgata alla distanza. M. Usai Inggnria di Sistmi Elttrici_3c o o

2 Mttndo in vidnza si può ottnr un altra forma dlla sprssion prcdnt é: V 4πε o usto lavoro vin immagazzinato nll assmblar l du carich in una configurazion alla qual è associata una nrgia potnzial. Combinando l du rlazioni prcdnti si dimostra ch la l nrgia lttrostatica mutua dl sistma dll du carich, è: V + V + 4πε 4πε da cui : ( V + V ) o M. Usai Inggnria di Sistmi Elttrici_3c o

3 + ( ) V V L nrgia lttrostatica mutua (o di posizion) dl sistma di du carich, corrispond al lavoro ch è ncssario fornir pr passar da: una situazion in cui l intrazion dll carich è nulla, ad una nuova situazion in cui l carich sono stat portat a intragir mutuamnt tra di loro. M. Usai Inggnria di Sistmi Elttrici_3c 3

4 S si suppon ch un altra carica 3 sia portata dall infinito in un punto ch dista 3 da 3 da, sarà richista una quantità di lavoro: 3V πε o 3 4πε o 3 La somma di rapprsnta l nrgia potnzial immagazzinata nll assmblar l tr carich,, 3 : 3 + 4πε o M. Usai Inggnria di Sistmi Elttrici_3c 4

5 La rlazion può ssr riscritta nlla sgunt forma: 3 [ 4πε 0 3 4πε 0 4πε 0 3 ( V + V + V ) 3 + 4πε 0 + 4πε πε Il potnzial V nlla posizion dlla carica é divrso da qullo ch si stabilisc nllo stsso punto quando sono prsnti contmporanamnt l sol carich la carica ] 3 + M. Usai Inggnria di Sistmi Elttrici_3c 5

6 Estndndo la procdura pr n carich discrt localizzat in N punti: N k k V k 4πε [] J V k Dov V k è il potnzial lttrico nl punto in cui è posizionata la carica k, dovuto alla prsnza di tutt l altr carich. può ssr ngativa (pr du carich è < 0, s qust sono di sgno contrario). In qusto caso il lavoro pr portar dall infinito, è compiuto dal campo (non contro il campo) gnrato da, rapprsnta l nrgia di intrazion (mutua nrgia) non comprnd il lavoro richisto pr assmblar l singol carich puntuali (auto nrgia). o N j j k j jk M. Usai Inggnria di Sistmi Elttrici_3c 6

7 L unità di misura prvista dal sistma intrnazional joul [J], è troppo grand pr la fisica dll particll lmntari, pr cui si utilizza l lttronvolt [V]. Un lttronvolt è l nrgia o il lavoro richisto pr spostar un lttron in prsnza di una diffrnza di potnzial di volt: V.60 0 J In prsnza di una distribuzion di carich continua di dnsità ρ, l sprssion dlla,valida pr pr una distribuzion di carich discrt, dv ssr così modificata (all oprator di sommatoria si sostituisc l oprator di intgrazion): N k k V k [] J V è il potnzial nl punto dov la dnsità di carica è ρ V è il volum dlla rgion dov ρ sist. M. Usai Inggnria di Sistmi Elttrici_3c 7 9 V' ρvdv' [] J

8 Enrgia lttrostatica in funzion dll grandzz di campo icordando ch, d ssndo: si può scrivr: D ρ ρvdv [] J D V' ( ) Vdv [] J Applicando l proprità dl calcolo vttorial, si dimostra ch tal sprssion intgrata pr un volum sfrico, di raggio tndnt all infinito, ch comprnd tutt l carich, divnta: V' D E dv V' [] J M. Usai Inggnria di Sistmi Elttrici_3c 8

9 S il mzzo è linar, ssndo, D ε E si ha: ε E dv V' Si può anch dfinir una dnsità di nrgia lttrostatica w, tal ch : V' D ε dv [] J w dv [ J] da cui : V' w D E ε E D ε J m 3 M. Usai Inggnria di Sistmi Elttrici_3c 9

10 Forz lttrostatich Un mtodo pr il calcolo dll forz lttrostatich agnti su un oggtto sottoposto all azioni di un in un campo lttrostatico, è qullo basato sul principio dllo spostamnto virtual (o principio di lavori virtuali) ni du casi:. Sistma isolato ch non può avr scambi di nrgia con l strno quindi con carich costanti ( tot cost);. Sistma non isolato di corpi conduttori collgati rispttivamnt a potnziali fissi (morstti di battri) pr cui i loro potnziali siano costanti( Vcost). M. Usai Inggnria di Sistmi Elttrici_3c 0

11 Sistma di corpi con carich costanti Si immagini ch l forz lttrich abbiano indotto uno spostamnto lmntar dl in uno di corpi (spostamnto virtual), pr cui il lavoro mccanico compiuto dal sistma sarà: F d F Dov è la forza lttrica total ch agisc sul corpo nlla ipotsi di carich costanti. Poiché il sistma è isolato il lavoro mccanico è fatto a sps dlla nrgia lttrostatica immagazzinata, ch è: d d dl F dl M. Usai Inggnria di Sistmi Elttrici_3c

12 Poiché la variazion diffrnzial di uno scalar dovuta alla variazion di posizion dl è ugual al prodotto scalar dl gradint dllo scalar pr dl: d dal confronto dll du rlazioni si ha ch la forza lttrostatica nlla ipotsi di carich costanti é: In coordinat cartsian: d F dl ( ) d dl x ( ) dl y ( ) ( ) F, F, ( F ) x y F z z [ N] M. Usai Inggnria di Sistmi Elttrici_3c

13 S il corpo è vincolato a ruotar intorno ad un ass, pr smpio l ass z, il lavoro mccanico fatto dal sistma pr uno spostamnto virtual angolar dφ sarà: ( T ) z d ( T ), Dov è la componnt z dlla coppia agnt sul corpo nlla ipotsi di carica costant con una procdura analoga si giung alla sgunt sprssion: φ z dφ ( ) T [ N m] z M. Usai Inggnria di Sistmi Elttrici_3c 3

14 Sistma di corpi con potnziali costanti Uno spostamnto dl dovuto a un corpo conduttor comporta una variazion dlla nrgia lttrostatica total. Affinché i potnziali di corpi conduttori siano mantnuti costanti ci dv ssr un trasfrimnto di carich dall sorgnti ai conduttori. Il lavoro fatto dall sorgnti pr mantnr il potnzial V k dl corpo k costant, fornndo una carica d k, è: V k d k s i corpi sono N, la total nrgia fornita dall sorgnti al sistma sarà: d S N k V M. Usai Inggnria di Sistmi Elttrici_3c 4 k d k

15 Il lavoro mccanico fatto dal sistma pr lo spostamnto virtual è: F V d FV dl dov è la forza lttrica sul corpo conduttor nlla ipotsi di potnziali costanti. Il trasfrimnto di carich varia anch l nrgia lttrostatica dl sistma di una quantità d : d V d d k k S k Pr il principio dlla consrvazion dlla nrgia si ha ch la total nrgia fornita dall sorgnti al sistma : d + d d S M. Usai Inggnria di Sistmi Elttrici_3c 5

16 Sostitundo l sprssion dtrminat, la forza lttrostatica con i potnziali costanti risulta: Fv dl da cui: d - d F s v ( ) ( ) [ N] S il corpo conduttor è vincolato a ruotar intorno all ass z, la componnt z dlla coppia lttrostatica è: φ d ( ) T [ N m] z dl M. Usai Inggnria di Sistmi Elttrici_3c 6

17 Carica costant Potnzial costant F ( ) [N] ( ) [ ] FV N δ z ( T ) [ N m] δφ ( T ) [ N m] Dal confronto dll sprssioni dll forz dll coppi ni du casi si vd com l unica diffrnza nll sprssioni, sia il sgno. Infatti nl primo caso (a carich costanti), il lavoro è stato fatto a sps dlla nrgia lttrostatica dl sistma, mntr nl scondo caso (a potnziali costanti), il lavoro è stato fatto a sps dlla nrgia fornita da un sistma strno. V z δ δφ M. Usai Inggnria di Sistmi Elttrici_3c 7