Metodi numerici per la soluzione dei problemi vincolati al contorno

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1 ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA_3f (ultima modifica 8//7) Mtodi numrici pr la soluzion di problmi vincolati al contorno I problmi vincolati al contorno possono ssr risolti analiticamnt ottnndo soluzioni satt, quando la frontira o contorno dl dominio in sam la distribuzion dll sorgnti sono smplici. Ni casi in cui la frontira o contorno dl dominio la distribuzion dll sorgnti è complssa, tali problmi possono ssr risolti in modo approssimato mdiant mtodi numrici. M. Usai Elttromagntismo applicato all inggnria Elttrica d Enrgtica_3f

2 L principali tcnich impigat pr qusto scopo sono: il mtodo dll diffrnz finit il mtodo dgli lmnti finiti. In ntrambi i mtodi il dominio è suddiviso (discrttizzato) in sottodomini di forma smplic all quazion diffrnzial all drivat parziali ( s.: quazion di Laplac) si sostituisc -un sistma di quazioni algbrich linari (s il matrial è linar***) o -un sistma di quazioni algbrich non linari (matrial non linar), ch lgano i valori ch la funzion incognita assum ni nodi di sottodomini considrati. *** Esmpio: In lttrostatica il matrial è linar s il rapporto tra l intnsità dlla polarizzazion o vttor spostamnto qulla dl campo lttrico applicato è indipndnt dall ampizza dl campo lttrico, ossia: P E, con χ suscttibilità lttrica costant M. Usai Elttromagntismo applicato all inggnria Elttrica d Enrgtica_3f

3 Il probma intgro-diffrnzial in sam è dunqu ricondotto ad un problma algbrico. L rlazioni algbrich così dfinit, forniscono una rapprsntazion tanto più accurata dlla funzion incognita quanto più spinta è la discrtizzazion fatta, cioè quanto maggior è il numro di nodi. Inoltr la prcision di risultati dipnd anch dal tipo, dalla forma dall ordin dll lmnto usato. Lo sviluppo di mtodi numrici è stato, d è favorito dalla crscita rapidissima dlla potnzialità di calcolo di computr, largamnt diffusi. Sono di sguito sposti i principi su cui sono basati i mtodi citati l lin guida fondamntali pr l utilizzo, con rifrimnto alla soluzion di problmi in D. M. Usai Elttromagntismo applicato all inggnria Elttrica d Enrgtica_3f 3

4 Mtodo all diffrnz finit Si considri nlla rgion piana, limitata dal contorno curvilino la funzion φ ch in soddisfa all quazion di Laplac: y ch sul contorno assum valori assgnati. In tal rgion è tracciato un rticolo a magli quadrat di lato h piccolo risptto all dimnsioni dlla rgion stssa: B y A o M. Usai Elttromagntismo applicato all inggnria Elttrica d Enrgtica_3f 4

5 Nl rticolo si possono individuar: nodi intrni, quidistanti dai nodi adiacnti (nodo A, cntro di una stlla simmtrica) nodi strni (nodo B cntro stlla dissimmtrica) B A a) 3 h h h A 4 3 h h b) h 4 M. Usai Elttromagntismo applicato all inggnria Elttrica d Enrgtica_3f 5 h B h

6 M. Usai Elttromagntismo applicato all inggnria Elttrica d Enrgtica_3f 6 Il valor di una funzion di campo gnrica in ciascuno di nodi,, 3, 4 (vrtici di una stlla di cntro O) può ssr sprsso in funzion dl suo andamnto nl nodo O, in bas allo sviluppo dlla funzion (,y) in sri di Taylor nll intorno dl punto O stsso. dov l drivat sono calcolat nl punto O di coordinat y.... ) y )(y ( y ) y (y y ) ( ) y (y y ) ( y) (, o o o o o o o o o o

7 M. Usai Elttromagntismo applicato all inggnria Elttrica d Enrgtica_3f 7 Lo sviluppo dlla rlazion prcdnt fornisc pr la funzion ni punti 3 dlla figura b) l sgunti sprssioni***: *** pr i punti compaiono solo i trmini in pr i punti 4 compaiono solo i trmini in y h y y - h y y 4 punto pr il h y y - h y y punto pr il h - h 3 punto pr il ξh - ξh punto pr il ssndo :.... h h..., h ξ ξh 3 3 b) h h h h 4 B

8 M. Usai Elttromagntismo applicato all inggnria Elttrica d Enrgtica_3f 8 Moltiplicando l ultima rlazion pr sommandola a qulla immdiatamnt prcdnt si ha in funzion di : Una analoga rlazion si ottin pr i punti 4 in funzion di y:..., h ξ ξ ξ ξ 3 η η η η h..., 4 y... h h..., h ξ ξh 3

9 M. Usai Elttromagntismo applicato all inggnria Elttrica d Enrgtica_3f 9 S si trascurano i trmini di ordin suprior al scondo, si ottin la sgunt sprssion approssimata pr il laplaciano dlla funzion, calcolata nl punto : Scglindo il valor di h opportunamnt piccolo, l rror di troncamnto, ch si commtt assumndo qust ultima rlazion può ssr mantnuto ntro limiti accttabili. 4 3 h η η) η( η) η( ξ ξ) ξ( ξ) ξ( y

10 Il mtodo dll diffrnz finit consist nl sostituir all sprssion diffrnzial dl laplaciano, pr ciascun nodo dl rticolo, l sprssion approssimata ch lga linarmnt il laplaciano in un punto i valori di ni nodi adiacnti dl rticolo ch si è impostato. In tal modo l quazion di Laplac all drivat parziali vin sostituita da un sistma di quazioni algbrich linari dtt quazioni all diffrnz finit, una pr ogni nodo dl tipo: h 3 4 lim h y ξ( ξ) ξ( ξ) ξ η( η) η( η) η i,j ξ( ξ) i,j i,j η( η) ξ i,j η ij dov ij indica il valor di nl nodo posto all incrocio dlla riga i-sima dlla colonna j-sima dl rticolo pr i nodi ch sono cntri di stll. M. Usai Elttromagntismo applicato all inggnria Elttrica d Enrgtica_3f ξ η

11 In particolar pr i nodi cntri di stll simmtrich risulta = = h l quazion si smplifica ultriormnt, riducndosi a: i,j i,j i,j i,j 4 ij Occorr introdurr nll quazioni l condizioni al contorno dl problma in sam. Nl caso dl problma di Dirichlt, risultano assgnati i valori di in uno o più vrtici di ciascuna stlla di confin. M. Usai Elttromagntismo applicato all inggnria Elttrica d Enrgtica_3f

12 Il sistma di quazioni algbrich ch consnt la dtrminazion dll ngli n nodi dl rticolo assum la forma: A A... An n B A A... An n B An An... Ann n B n.... con notazion matricial: dov [B] è il vttor colonna di trmini noti. A = B In ciascuna dll quazioni i trmini noti B i divrsi da zro sono qulli ch dipndono dai valori assgnati di sul contorno. M. Usai Elttromagntismo applicato all inggnria Elttrica d Enrgtica_3f

13 Pr il problma di Numann pr il problma misto l quazioni prcdnti non possono ssr impigat pr l stll ch hanno vrtici sulla part dl contorno in cui è assgnato il valor di. n La soluzion dl problma divnta complicata, trann nl caso in cui il contorno sul qual è spcificato il valor di sia rttilino. n Si dimostra ch il sistma risolvnt anch in qusto caso è dllo stsso tipo. M. Usai Elttromagntismo applicato all inggnria Elttrica d Enrgtica_3f 3

14 Mtodo dgli lmnti finiti Il mtodo dgli lmnti finiti (FEM), com il mtodo all diffrnz finit, è una tcnica numrica finalizzata a crcar soluzioni approssimat di problmi dscritti da quazioni diffrnziali all drivat parziali riducndo qust ultim ad un sistma di quazioni algbrich. Con qusta mtodologia è possibil risolvr problmi i cui modlli analitici dscritti con un sistma di quazioni all drivat non prsntano una soluzion. M. Usai Elttromagntismo applicato all inggnria Elttrica d Enrgtica_3f 4

15 Mtodo dgli lmnti finiti Il grand vantaggio di qusta tcnica computazional consist nl fatto ch l'implmntazion in un codic di algoritmi itrativi, rlativamnt smplici, consnt di: disporr di soluzioni, praticamnt "satt, ossia con una approssimazion accttabil, di problmi molto complssi, altrimnti non ottnibili pr altra via, con tmpi di calcolo snsibilmnt ridotti. M. Usai Elttromagntismo applicato all inggnria Elttrica d Enrgtica_3f 5

16 Mtodo dgli lmnti finiti Il Mtodo dgli Elmnti Finiti è dunqu una tcnica di Analisi Numrica volta ad ottnr soluzioni approssimat pr una moltplicità di problmi di Fisica di Inggnria. Bnché originariamnt sviluppato pr studiar il campo tnsional nll struttur aronautich, è stato poi stso d applicato al vasto campo dlla Mccanica di Continui a tutti i problmi ch prsntano analogi formali ni modlli analitici. Pr la sua varità di impigo duttilità qual strumnto di analisi è attualmnt utilizzato nll Univrsità nll Industri in tutto il mondo, grazi anch allo sviluppo di softwar commrciali, com Ansys, FEM, Mawll, COMSOL altri. M. Usai Elttromagntismo applicato all inggnria Elttrica d Enrgtica_3f 6

17 Mtodo dgli lmnti finiti Il mtodo dgli lmnti finiti trova origini nll ncssità di risoluzion di problmi complssi di analisi lastica struttural nl campo dll inggnria civil aronautica. I primordi dl mtodo possono ssr fatti risalir agli anni con i lavori di A. R. Collar W. J. Duncan, ch introducono una forma primitiva di lmnto struttural nlla risoluzion di un problma di arolastica, agli anni 94-4 con i lavori di Alandr Hrnnikoff Richrd Courant, dov ntrambi, bnché in diffrnti approcci, condividvano l'ida di suddividr il dominio dl problma in sottodomini di forma smplic (gli lmnti finiti). M. Usai Elttromagntismo applicato all inggnria Elttrica d Enrgtica_3f 7

18 Il mtodo dgli lmnti finiti Quindi il mtodo dgli lmnti finiti ( Finit Elmnt Mthod o FEM ) ha origin nl campo struttural-mccanico a partir dal scondo dopogurra; solo succssivamnt si è avuta l stnsion alla soluzion di problmi di campo di tipo trmico. L applicazion ai problmi di tipo lttromagntico incomincia, invc, a partir dagli anni 7 solo pr l gomtri bidimnsionali. Nl corso dgli anni 8, con l aumnto dlla potnza di calcolo dlla mmoria di calcolatori lttronici, si sono implmntat anch formulazioni tridimnsionali in trmini di potnzial scalar lttrico potnzial vttor magntico A. M. Usai Elttromagntismo applicato all inggnria Elttrica d Enrgtica_3f 8

19 Il mtodo dgli lmnti finiti Oggigiorno, considrata la complssità dll form di sistmi lttromagntici, il mtodo dgli lmnti finiti è divntato uno strumnto di calcolo indispnsabil pr la progttazion di dispositivi lttrici magntici in divrs ar, com: Problmi con guid d onda Macchin lttrich Dispositivi con smiconduttori Microstrips Assorbimnto di radiazioni lttromagntich ni matriali ni corpi biologici. Plasma sottoposto a campi lttromagntici M. Usai Elttromagntismo applicato all inggnria Elttrica d Enrgtica_3f 9

20 Il mtodo dgli lmnti finiti Il Mtodo agli Elmnti Finiti fornisc una soluzion approssimata di quazioni diffrnziali all drivat parziali di Laplac, o di quazioni diffrnziali all drivat parziali di Poisson: A ρ ε μj M. Usai Elttromagntismo applicato all inggnria Elttrica d Enrgtica_3f

21 Mtodo dgli lmnti finiti Uno di conctti bas su cui si fonda il mtodo di analisi struttural agli lmnti finiti è qullo dlla discrtizzazion dl dominio continuo di partnza in un dominio discrto (msh) mdiant l'uso di primitiv (lmnti finiti) di smplic forma: triangoli, rttangoli quadrilatri tc.. pr domini D, ttradi, sadri, ottadri, dodcadro tc.. pr domini 3D. M. Usai Elttromagntismo applicato all inggnria Elttrica d Enrgtica_3f

22 Mtodo dgli lmnti finiti Attravrso la discrtizzazion è possibil dscrivr una struttura con un numro finito di punti. Un modo pr discrtizzar una struttura è qullo di dividrla in un sistma quivalnt di struttur più piccol, o unità, o form lmntari, tali ch il loro assmblaggio dia luogo alla struttura ral. Su ciascun lmnto carattrizzato da qusta forma lmntar, la soluzion dl problma è sprssa dalla combinazion linar di funzioni dtt funzioni di bas o funzioni di forma (shap functions). M. Usai Elttromagntismo applicato all inggnria Elttrica d Enrgtica_3f

23 Mtodo dgli lmnti finiti Da notar ch la funzion soluzion vin approssimata, non ncssariamnt i valori ch ssa assum ni nodi dl rticolo saranno i valori satti dlla funzion. I valori ch la funzion assum ni nodi sono qulli ch forniranno il minor rror su tutta la soluzion. L'smpio tipico è qullo ch fa rifrimnto a funzioni polinomiali, sicché la soluzion complssiva dl problma vin approssimata con una funzion polinomial a tratti. Il numro di cofficinti ch idntifica la soluzion su ogni lmnto è dunqu lgato al grado dl polinomio sclto. Qusto, a sua volta, govrna l'accuratzza dlla soluzion numrica trovata. M. Usai Elttromagntismo applicato all inggnria Elttrica d Enrgtica_3f 3

24 Mtodo dgli lmnti finiti Il mtodo FEM consnt di ottnr l quazioni algbrich con i potnziali incogniti, imponndo ch: un funzional sia minimo. Esso si basa sulla possibilità di formular in forma variazional il problma dlla dtrminazion dlla funzion continua, in un volum o dominio ol dlimitato da una suprfici o contorno suprficial, dov la funzion soddisfa all sgunti proprità: ) nl volum o dominio ol : div(k grad )= - k = -, dov k sono funzioni scalari gnralmnt continu assgnat in ; ) nl contorno : assgnata su una part di ; k n assgnata sulla part rstant * di. M. Usai Elttromagntismo applicato all inggnria Elttrica d Enrgtica_3f 4

25 Mtodo dgli lmnti finiti Pr smpio nl caso di un campo lttrostatico la rlazion dfinibil nlla rgion spazial (volum ol ) dlimitata dalla suprfici, in cui è prsnt il campo, pr la qual val la rlazion: div(k grad )= - = - è l quazion di Poisson; ρ ε ( ) y ( ) y ssndo = potnzial scalar lttrostatico dfinita in χ = ρ è la dnsità di carica volumica dfinita nl ol k= ε è la costant dilttrica dfinita nl ol M. Usai Elttromagntismo applicato all inggnria Elttrica d Enrgtica_3f 5

26 Mtodo agli Elmnti Finiti o FEM: Il dominio racchiuso da un contorno vincolato, vin suddiviso in ar triangolari (o anch di altra forma più idona pr il prftto ricoprimnto dlla rgion spazial in sam), ch possono avr dimnsioni divrs, non è ncssario ch l carattristich costitutiv dl matrial (prmttività, rsistività, prmabilità) siano omogn pr tutti gli lmnti. INCOLO DA RISPETTARE i potnziali in tutti i vrtici, ni quali non sia già stato assgnato il loro valor, vngono dtrminati, con approssimazion, imponndo il vincolo basato sul principio variazional M. Usai Elttromagntismo applicato all inggnria Elttrica d Enrgtica_3f 6

27 Infatti il FEM ( Finit Elmnt Mthod) si basa su un principio variazional scondo il qual in un sistma isolato l configurazioni di quilibrio sono qull solo qull pr l quali è minima l nrgia immagazzinata, ossia dv ssr minima l sprssion: W Tal punto di minimo dlla nrgia immagazzinata vin idntificato attravrso l annullamnto dl diffrnzial dll nrgia potnzial associata a qul campo (principio di lavori virtuali): dw=. E d M. Usai Elttromagntismo applicato all inggnria Elttrica d Enrgtica_3f 7

28 In qusto modo, ` possibil sostituir il problma dlla risoluzion di un sistma di quazioni diffrnziali all drivat parziali, con il problma quivalnt dlla dtrminazion dl minimo di un intgral sprsso con una quazion algbrica. dw dw εe dτ τ M. Usai Elttromagntismo applicato all inggnria Elttrica d Enrgtica_3f 8

29 Pr soddisfar il principio variazional, la distribuzion dl campo potnzial in una rgion spazial di volum, dv ssr tal da rndr minima l nrgia immagazzinata in sso: W E d Tal nrgia pr ciascun lmnto dlla discrtizzazion, nlla ipotsi di volumtto τ costituito da un prisma rtto triangolar di altzza unitaria (pr ricondurr lo studio a D), con S l ara di una dll basi, ssndo E, è sprimibil in funzion dl potnzial scalar com: W E d E ds ds S S y M. Usai Elttromagntismo applicato all inggnria Elttrica d Enrgtica_3f 9

30 M. Usai Elttromagntismo applicato all inggnria Elttrica d Enrgtica_3f 3 S S W E d E ds ds y potnzial risulta : W in funzion dl l'sprssion dlla nrgia cui da y E è bidimnsional E campo S il z a y a a poichè : z y E E E ssndo : Infatti z y

31 (,y) τ Dominio y S Contorno Fig. 5 M. Usai Elttromagntismo applicato all inggnria Elttrica d Enrgtica_3f 3

32 ESEMPIO DI APPLICAZIONE Applicazion sviluppo dl mtodo FEM facndo l sgunti ipotsi: gomtria piana: -D, mzzo linar, omogno d isotropo, lmnti triangolari, quazion di Poisson dl campo lttrico (anch con gli altri campi ci si riconduc, comunqu, a formulazioni simili). Con l ipotsi fatt la quazion di Poisson può ssr scritta com: ( ) ( ) y y M. Usai Elttromagntismo applicato all inggnria Elttrica d Enrgtica_3f 3

33 L ida ch sta alla bas dll approssimazion usata nl mtodo è qulla di approssimar l andamnto dlla funzion incognita con qullo di alcun funzioni particolari ad andamnto noto gnralmnt polinomiali, ma anch funzioni trigonomtrich d sponnziali. ngono prsi in considrazion un numro di punti (nodi), intrni al dominio di intgrazion, ni quali i valori dlla funzion f approssimata risultranno idntici a qulli dlla funzion approssimant polinomial P() (torma di Wirstrass). Pr smpio in un sistma linar s f è dfinita nl dominio [a,b], in tal intrvallo fissato un >, dv ssr: f-p() < dov l approssimazion varia con l ordin dl polinomio. M. Usai Elttromagntismo applicato all inggnria Elttrica d Enrgtica_3f 33

34 Una volta suddiviso il dominio di intgrazion in lmnti (ch pr adattarsi a un ricoprimnto complto dl dominio, possono ssr non rgolari), si procd ad approssimar la funzion incognita con dll funzioni intrpolati ad andamnto noto, scglindo com incognit dl problma trattato solo i valori ch la funzion assum ni nodi. M. Usai Elttromagntismo applicato all inggnria Elttrica d Enrgtica_3f 34

35 L approssimazion dl mtodo dipnd: dal grado dl polinomio dal numro di nodi ossia dall dimnsioni dll intrvallo di suddivision. Il numro di nodi dv aumntar soprattutto nll rgioni in cui l grandzz dl campo prsntano forti gradinti. In tali rgioni, pr applicar il mtodo con la prcision richista, potrbb ssr ncssario infittir i nodi solo in alcun rgioni dl dominio. Il FEM consnt di adattar opportunamnt il numro di nodi pr l divrs rgioni dl dominio. M. Usai Elttromagntismo applicato all inggnria Elttrica d Enrgtica_3f 35

36 L applicazion dl mtodo dgli lmnti finiti prvd in gnral i sgunti 4 passi principali : -) Discrtizzar il dominio di applicazion dll'quazion diffrnzial in funzion dlla grandzza fisica di campo in un numro finito di lmnti, -) Dfinir l rlativ quazioni algbrich in funzion dlla grandzza di campo pr un gnrico lmnto, -3) Assmblar di tutti gli lmnti nl dominio dl campo dtrminazion dlla nrgia total W, dtrminata attravrso l'assmblaggio dgli lmnti d sprssa com funzion di valori ch la grandzza di campo assum in ciascuna dgli n nodi dlla msh: : W = f (,, 3,..., n) M. Usai Elttromagntismo applicato all inggnria Elttrica d Enrgtica_3f 36

37 -4) Risolvr il sistma di quazioni linari risultanti dall'applicazion dl principio variazional, imponndo la condizion di minima nrgia immagazzinata, ch quival alla condizion di quilibrio dl sistma. Ciò comporta ch l drivat parziali dlla funzion nrgia W risptto a ogni valor nodal dlla grandzza di campo k sia pari a zro cioè: W k, k,,...n M. Usai Elttromagntismo applicato all inggnria Elttrica d Enrgtica_3f 37

38 W k, k,,...n In qusto modo si ottin un sistma di n quazioni algbrich l cui incognit sono valori ch la grandzza di campo assum in ciascuna dll n nodi dlla maglia, ad cczion di nodi sul bordo dl dominio, in cui la grandzza di campo (condizioni Dirichlt) o la drivata normal dlla grandzza di campo (condizioni di Numann) è nota. Quindi il valor dlla grandzza di campo in qualsiasi punto all'intrno dll'lmnto triangolar gnrico sarà dtrminato con l funzioni suprficiali intrpolanti in funzion di tr valori dlla grandzza di campo k ni nodi dll'lmnto corrispondnt. M. Usai Elttromagntismo applicato all inggnria Elttrica d Enrgtica_3f 38

39 In sintsi l applicazion dl mtodo dgli lmnti finiti pr i campi lttromagntici, prvd i sgunti passi: ) Discrtizzar il dominio di applicazion dll quazion di Poisson in un numro finito di lmnti, ) Dfinir l quazioni ch govrnano un lmnto gnrico, 3) Assmblar tutti gli lmnti dl dominio in studio, 4) Risolvr il sistma di quazioni linari ottnut dall applicazion dl principio variazional, imponndo la condizion di nrgia minima immagazzinata, quivalnt alla condizion di quilibrio dl sistma. M. Usai Elttromagntismo applicato all inggnria Elttrica d Enrgtica_3f 39

40 La modllazion dlla struttura costituisc uno di passi più importanti dll analisi in quanto in qusta fas vngono formulat divrs ipotsi ch prmttono la smplificazion dl modllo ral consntono la riduzion dl gran numro di dati da gstir. I risultati saranno influnzati da qust assunzioni ch comunqu una volta dfinit, prmttranno una corrtta intrprtazioni di valori numrici. M. Usai Elttromagntismo applicato all inggnria Elttrica d Enrgtica_3f 4

41 ) Discrtizzazion dlla rgion Consist nl suddividr il dominio di dfinizion dl problma in un numro finito di lmnti, ciascuno avnt la stssa forma (nl nostro caso triangolar) in modo ch i lati di du lmnti adiacnti siano coincidnti, com in fig. 3. Fig. 3 M. Usai Elttromagntismo applicato all inggnria Elttrica d Enrgtica_3f 4

42 Ciascun lmnto è carattrizzato da un crto numro di punti disposti in posizioni prstabilit, ch possono ssr: i vrtici dll lmnto; i cntri di suoi lati; i cntroidi dlla sua suprfici ch sono chiamati nodi. Pr illustrar il mtodo dgli lmnti finiti considrrmo lmnti triangolari con i nodi ai vrtici (fig. 4). nodi Fig. 4 M. Usai Elttromagntismo applicato all inggnria Elttrica d Enrgtica_3f 4

43 Condizioni da vrificar assumr com vincoli Si considra, poi, un approssimazion dl potnzial (,y) all intrno di ciascun lmnto si intrlaziona la distribuzion di potnzial ni vari lmnti in modo tal ch : il potnzial sia continuo attravrso il confin tra lmnti adiacnti tal da soddisfar il principio variazional. M. Usai Elttromagntismo applicato all inggnria Elttrica d Enrgtica_3f 43

44 In qusto modo allora è possibil scrivr la rlazion, com: dov: con : solo nl suo contorno all' (, y) all' intrno strno dll' dll' (,y) ` la soluzion vra dl problma, ch soddisfa sia l quazion di Poisson nl dominio di dfinizion, sia l condizioni al contorno, N ` il numro total dgli lmnti (, y) lmnto lmnto -simo -simo l funzioni intrpolanti ch in gnral pr du lmnti adiacnti dvono assumr gli stssi valori in corrispondnza di punti comuni. M. Usai Elttromagntismo applicato all inggnria Elttrica d Enrgtica_3f 44 N

45 In particolar, pr il gnrico lmnto triangolar si dfinisc: - una numrazion di nodi antioraria, - il potnzial in ciascun nodo, - la posizion di ciascun nodo nl piano,y: 3 ( 3,y 3 ) 3 (,y ) (,y ) Si può notar ch è assicurata la continuità dlla soluzion poichè tutti i nodi sono comuni ad almno du lmnti. M. Usai Elttromagntismo applicato all inggnria Elttrica d Enrgtica_3f 45

46 Pr approssimar il potnzial all intrno dl gnrico triangolo con una funzion suprficial ch in corrispondnza di punti,, 3, assuma rispttivamnt il valori di potnziali, 3, l approssimazion più smplic ` qulla linar, pr la qual: (,y)=a+b+cy pr gli lmnti triangolari (,y)=a+b+cy+dy pr gli lmnti quadrangolari M. Usai Elttromagntismo applicato all inggnria Elttrica d Enrgtica_3f 46

47 Assumndo ch gli lmnti siano triangolari, il potnzial all intrno sul contorno dll lmnto -simo è dato da: (,y)=a+b+cy ch in forma matricial si può scrivr: a (, y) y b c dov l costanti a, b c sono incognit possono ssr dtrminat in modo univoco in funzion di potnziali dll coordinat ai nodi. M. Usai Elttromagntismo applicato all inggnria Elttrica d Enrgtica_3f 47

48 L assunzion di approssimazion linar quival ad ipotizzar il campo lttrico E i costant all intrno di ciascun lmnto Ricordando, infatti, la rlazion: E i i u y d ssndo: i (,y)=a i +b i +c i y, si ottin una sprssion costant pr il campo all intrno dl gnrico l lmnto isimo: u u E - -( b u c u y) i i i i con y vrsori rispttivamnt dgli assi y. M. Usai Elttromagntismo applicato all inggnria Elttrica d Enrgtica_3f 48 u y

49 ) Dfinir l quazioni ch govrnano un lmnto tipico consist nll sprimr il potnzial all intrno dl gnrico lmnto in funzion di valori ch il potnzial assum ni tr nodi dl triangolo 3, con l funzioni forma com: (,y)= N (,y) + N (,y) + N 3 (,y) 3 ssndo N (,y), N (,y), N 3 (,y) l funzioni di forma o shap function. M. Usai Elttromagntismo applicato all inggnria Elttrica d Enrgtica_3f 49

50 M. Usai Elttromagntismo applicato all inggnria Elttrica d Enrgtica_3f 5 Dfinizion dll funzioni forma Pr i nodi di ciascun lmnto triangolar è possibil scrivr il sistma di quazioni: attravrso il qual è possibil dtrminar i cofficinti a, b c in modo univoco: c b a y y y cy b a cy b a cy b a y y y c b a

51 sostitundo nlla sprssion dl potnzial all intrno dl gnrico lmnto, ssndo; si ottin: a y (, y) y b y y (, y) a b cy a b c c y y y y3 3 y y y y y y y y y y y y y 3 3 S M. Usai Elttromagntismo applicato all inggnria Elttrica d Enrgtica_3f 5

52 Essndo S l ara dll lmnto, ch può ssr sprssa com: y S y ( y y ) ( 3 y y3) ( y3 3 y) 3 y3 oppur S [( ) ( y y 3 ) ( 3 ) ( y y )] con S >, s i nodi sono numrati in snso antiorario. M. Usai Elttromagntismo applicato all inggnria Elttrica d Enrgtica_3f 5

53 Dal confronto dll rlazioni prcdnti l funzioni di forma risultano : N (, y) [( y y ) ( y y ) ( ) y] S N (, y) [( y y ) ( y y ) ( ) y] S N (, y) [( y y ) ( y y ) ( ) y] 3 S 3 nl nodo nl nodo N (, y) nl nodo nl nodo N (, y) nl nodo N (, y) 3 nl nodo nl nodo 3 nl nodo 3 nl nodo 3 L funzioni forma corrispondono all suprfici dlimitat dai contorni rossi trattggiati indicano la dipndnza dlla distribuzion dl potnzial pr l lmnto -simo dal valor ch potnziali assumono rispttivamnt ni tr nodi di tal lmnto M. Usai Elttromagntismo applicato all inggnria Elttrica d Enrgtica_3f

54 M. Usai Elttromagntismo applicato all inggnria Elttrica d Enrgtica_3f 54 La rlazion prcdnt ch sprim il potnzial nll lmnto -simo può ssr scritta in forma compatta matricial com: dov T N y ), ( ), ( ), ( ), ( 3 y N y N y N N T 3

55 M. Usai Elttromagntismo applicato all inggnria Elttrica d Enrgtica_3f 55 Poichè pr rapprsntar corrttamnt il valor ai nodi, l funzioni di forma godono dll sgunti proprita`: ), ( ), ( ), ( 3 y N y N y N N T 3 j i s j i s ),y ( N j j i ) y, ( N j j i 3 i

56 Il potnzial dl punto P(,y) dl triangolo risulta: (,y)= N (,y) + N (,y) + N 3 (,y) 3 a b c y a b c y a b c y S ssndo: E i i u u y y è ora possibil calcolar l componnti, scondo l ass scondo l ass y, dl vttor campo lttrico: E b b b S E y c c c y S M. Usai Elttromagntismo applicato all inggnria Elttrica d Enrgtica_3f 56

57 Il quadrato dl modulo dl vttor campo lttrico valor indipndnt da y: E ha un E E E y y 4S b c b c b c bb c c b b c c b b c c Nota E l nrgia immagazzinata nll lmnto considrato di volum τ è ora calcolabil com: W E d E ds ds S S y M. Usai Elttromagntismo applicato all inggnria Elttrica d Enrgtica_3f 57

58 ) Dfinir l quazioni ch govrnano un lmnto tipico L nrgia immagazzinata nll lmnto considrato è : W ds E S S y = S S S S S S dov i paramtri S ij sono facilmnt calcolabili I cofficinti S hh S hk =S kh sono riportati nlla sgunt tablla da tali rlazioni è possibil vrificar ch i cofficinti S hk sono sprimibili com combinazion di cofficinti S hh. M. Usai Elttromagntismo applicato all inggnria Elttrica d Enrgtica_3f 58

59 Tablla di valori S ii S b c 4S 4S y y y y S b c 4S 4S y y y y S b c 4S 4S y y y y Gli lmnti dlla matric [S] dipndono dall coordinat di vrtici dall prmttività i associat ai singoli lmnti. M. Usai Elttromagntismo applicato all inggnria Elttrica d Enrgtica_3f 59

60 ε S = b b +c c = 4S ε Tablla di valori S ij = - y +y y -y y -y y =S S ε S = 3 b b +c c 3 3 = 4S ε = - y -y y -y y +y y =S S ε S = 3 b b +c c 3 3 = 4S ε = - y -y y +y y -y y =S S M. Usai Elttromagntismo applicato all inggnria Elttrica d Enrgtica_3f 6

61 Tablla di cofficinti S hk in funzion di cofficinti S hh. S +S = -S S S S S 3 33 S +S = -S S S S S S +S = -S S S S S M. Usai Elttromagntismo applicato all inggnria Elttrica d Enrgtica_3f 6

62 Quindi s pr smpio si suppongono assgnati i potnziali 3, il potnzial dv assumr un valor ch rnda minima l nrgia immagazzinata W nll lmnto -simo, pr cui ssndo: W ds E S dv ssr: S y = S S S S S S W S S W S S S = da cui: 3 3 S 3 3 M. Usai Elttromagntismo applicato all inggnria Elttrica d Enrgtica_3f 6

63 3) Assmblar tutti gli lmnti dl dominio Pr stndr il mtodo al caso di m triangoli, sprimiamo in forma matricial l nrgia immagazzinata nll lmnto gnrico -simo W data in forma quadratica: W S S S S S S S S S 3 W S S S 3 3 S S S in forma compatta: t W S M. Usai Elttromagntismo applicato all inggnria Elttrica d Enrgtica_3f 63

64 Nlla sprssion dlla W compaiono di valori di potnzial noti altri ch dvono ssr dtrminati. Si suddivida il vttor in du sottovttori l di potnziali noti p di potnziali da calcolar analogamnt la matric S in sottomatrici S ij tali ch: W = S = ll lp l t l p t S S pl pp p ch sviluppta da: W = S S l t ll l p t pl l S S l t lp p p t pp p S S M. Usai Elttromagntismo applicato all inggnria Elttrica d Enrgtica_3f 64

65 Pr dtrminar il vttor di potnziali incogniti si procd scondo quanto riportato di sguito. Si impon la condizion di nrgia minima imponndo ch la drivata prima dlla sprssion dlla nrgia, ottnuta diffrnziando risptto a ciascuno di potnziali incogniti dl vttor l, sia ugual a zro, cioè: W = S S l t ll l p t pl l S S l t lp p p t pp p W l S S l t ll ll l S S p t pl lp p M. Usai Elttromagntismo applicato all inggnria Elttrica d Enrgtica_3f 65

66 Pr la simmtria dl matric S risptto alla diagonal principal, si può scrivr: S S l t ll ll l S S p t pl lp p ssndo S = S l t ll ll l p S = S t pl lp p si ottin l'sprssion più smplic: S + ll l S = lp p ponndo B = - S lp p I potnziali incogniti risultano calcolabili risolvndo il sistma: = S B l ll M. Usai Elttromagntismo applicato all inggnria Elttrica d Enrgtica_3f 66

67 Pr risolvr il problma dlla dfinizion di tutti i potnziali incogniti rlativi al dominio, occorr stndr il ragionamnto fatto a tutti i triangoli con i quali è stata discrtizzata la rgion di intrss. Esmpio pr du triangoli Pr comprndr com procdr, considriamo du lmnti triangoli indipndnti contigui si valutino sparatamnt l nrgi immagazzinat ni du triangoli: y I II 3 3 M. Usai Elttromagntismo applicato all inggnria Elttrica d Enrgtica_3f 67

68 L nrgi immagazzinat singolarmnt dai du triangoli sono così sprimibili: I I I I 3 I I I I I I I I 3 3 I I I I S S S II II II II 3 II II II II II II II II 3 3 II II II II S S S S S S W = S S S S S S W = S S S M. Usai Elttromagntismo applicato all inggnria Elttrica d Enrgtica_3f 68

69 Considriamo ora i du lmnti intrconnssi com in figura: y I II 4 3 in modo ch i nodi distinti risultino 4, pr cui: I II I II = = = = 3 3 I II = = 3 4 Si è così passati da 6 nodi distinti a 4 nodi M. Usai Elttromagntismo applicato all inggnria Elttrica d Enrgtica_3f 69

70 L nrgia complssiva immagazzinata ni du lmnti accorpati sprssa com somma dll nrgi immagazzinat ni du singoli lmnti in funzion di potnziali di 4 nodi: I S S S 3 I I II S S S 3 W = W + W = 3 4 I S S S I 4 S S S II 3 II 3 4 II S S S 3 3 II S S S M. Usai Elttromagntismo applicato all inggnria Elttrica d Enrgtica_3f 7

71 Sommando l du matrici quadrat si ottin una rlazion analoga a qulla ottnuta pr un lmnto triangolar. I 3 3 I S S S I S S S S S S I S S S W = S S S S S S M. Usai Elttromagntismo applicato all inggnria Elttrica d Enrgtica_3f 7

72 4) Risolvr il sistma di quazioni linari ottnut applicando il principio variazional Il procdimnto può ssr stso accorpando a du a du gli lmnti intrconnssi, associati ad n nodi. In tal modo si costruisc una matric quadrata [S], di ordin n, dov i trmini dlla matric S ij dipndono dall modalità di intrconnssion di numrazion di triangoli. Gli lmnti dlla matric [S] dipndono dall coordinat di vrtici dall prmttività i associat ai singoli lmnti. Da cui si comprnd com il mtodo possa ssr applicato anch nl caso di matriali trogni, scglindo opportunamnt la dimnsion di triangoli. M. Usai Elttromagntismo applicato all inggnria Elttrica d Enrgtica_3f 7

73 Si dtrmina itrativamnt l nrgia complssiva W: N W= W = ε S t = imponndo l condizioni di nrgia minima, dvono ssr null l drivat parziali risptto ai potnziali di ciascun nodo : δw = pr i=,,...,n δ i si ottngono l quazioni i potnziali incogniti [] algbrich pr dtrminar,,... t n M. Usai Elttromagntismo applicato all inggnria Elttrica d Enrgtica_3f 73

74 Carattristich dl codic agli lmnti finiti Pr utilizzar corrttamnt il codic FEM, occorr dfinir la msh ottimal con un numro minimo di nodi, ch garantisc una risoluzion con la prcision dsidrata. A tal fin il codic ch implmnta il mtodo agli lmnti finiti dv far rifrimnto a di critri di procdura di arrsto. Pr vitar una convrgnza lnta, occorr usar un rticolo inizial non troppo fitto. Ni passi succssivi si riduc il passo dl rticolo (si infittisc la msh) itrativamnt, solo nll rgioni dov è maggior il gradint dll grandzz di campo l rror risulta più alto. M. Usai Elttromagntismo applicato all inggnria Elttrica d Enrgtica_3f 74

75 Il softwar dv quindi crar automaticamnt una msh inizial grossolana, ch, pr quanto possibil, utilizzi i vrtici dlla gomtria com vrtici di lmnti dlla msh. La msh ottimal dovrà avr un numro sufficintmnt lvato di triangoli (o altr form di lmnti) pr ottnr una soluzion ottimal dlla distribuzion dl campo, ma tal da non suprar l capacità di mmoria dl computr in uso. Il numro ottimal di triangoli è lgato: agli rrori massimi consntiti limitato dalla capacità di mmoria dl computr. M. Usai Elttromagntismo applicato all inggnria Elttrica d Enrgtica_3f 75

76 Il critrio di arrsto è basato sulla dfinizion dl rsiduo massimo ammissibil. Esso spcifica l approssimazion richista dll grandzz di campo calcolat, prché siano soddisfat l quazioni di Mawll con un rsiduo dato. Procdura Pr una msh data si calcolano l grandzz di campo rlativ, quindi si sostituiscono i valori dll grandzz ottnut nll quazioni di Mawll pr il calcolo la vrifica dl rsiduo. S il rsiduo non è minor dl rsiduo massimo ammissibil, si possono vrificar du casi: il sistma é non linar; in qusto caso si impon una piccola corrzion all grandzz di campo si ricalcola il rsiduo, procdndo itrativamnt sino a quando il rsiduo risulta minor dl valor massimo ammissibil richisto mntr il sistma è linar; in qusto scondo caso la corrzion si sgu in un passo solo, in bas al valor dl rsiduo ottnuto. M. Usai Elttromagntismo applicato all inggnria Elttrica d Enrgtica_3f 76

77 S non si ottngono risultati soddisfacnti occorr infittir ultriormnt la msh, applicando un mtodo adattativo, stabilndo: il massimo numro di lmnti da incrmntar pr ogni passo di itrazion applicando ultriori critri di arrsto com -il numro massimo di itrazioni -l rror minimo sulla nrgia immagazzinata - tmpo computazional Pr ogni passo di itrazion si incrmnta così il numro di triangoli si calcola la variazion dlla nrgia immagazzinata dal sistma risptto a qulla calcolata nlla itrazion prcdnt. M. Usai Elttromagntismo applicato all inggnria Elttrica d Enrgtica_3f 77

78 Pr rror minimo prcntual %: si intnd un rror minimo prcntual stabilito, tal ch alla i-sima itrazion, il dcrmnto dlla nrgia immagazzinata dlla i-sima risptto alla nrgia immagazzinata calcolata nlla i-sima itrazion in %, sia minor dl valor dll rror dfinito %: W Δ W i W i - W %= = i- < δ% W i i Quando tal condizion è vrificata si considra la nrgia immagazzinata calcolata nlla i- sima itrazion W i, com nrgia minima immagazzinata dal sistma, ossia si può ritnr ch il sistma sia nlla configurazion di quilibrio quindi assumr l grandzz di campo rlativ com l soluzioni dl problma. M. Usai Elttromagntismo applicato all inggnria Elttrica d Enrgtica_3f 78

79 Diagramma a blocchi dl mtodo dlla analisi adattattiva Inizio Risoluzion dl Campo con il FEM Gnrazion Msh inizial Calcolo dll grandzz di campo Ridfinizion dlla msh incrmntando il numro dgli lmnti alutazion dll rror rifica critri No di arrsto? Si Fin Risoluzion dl Campo M. Usai Elttromagntismo applicato all inggnria Elttrica d Enrgtica_3f 79