ANALISI STRUTTURALE AD ELEMENTI FINITI CON APPROCCIO AGLI SPOSTAMENTI

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1 ANAISI SRUURAE AD EEMENI FINII CON APPROCCIO AGI SPOSAMENI Abbiamo già avuto occasion di vdr ch con l tcnich ad lmnti finiti il procsso di discrtizzazion passa attravrso l'individuazion di un st discrto di paramtri incogniti mdiant i quali carattrizzar gli lmnti ch drivano dalla suddivision dlla struttura in porzioni di forma rlativamnt smplic dimnsioni ridott risptto a qull dlla struttura: in qusto snso si può vdr la struttura suddivisa in porzioni da un numro finito di lin o suprfici immaginari. 'applicazion di principi variazionali (principio di lavori virtuali) o di stazionarità (minimizzazion dll'nrgia potnzial total) prmtt la dtrminazion di lgami sistnti tra carichi spostamnti a livllo di singolo lmnto; infin l tcnich risolutiv propri dl calcolo matricial consntono di prvnir alla soluzion discrtizzata. Il procsso dscritto é giustificato in manira intuitiva dall'approccio inggnristico ma, com vdrmo, può ssr ottnuto rigorosamnt una volta ch siano stat introdott l ipotsi consgunti alla discrtizzazion. a procdura scondo cui si sviluppa l'applicazion dlla tcnica di soluzion ad lmnti finiti può ssr così riassunta: 1. sparazion dl continuo mdiant lin/suprfici immaginari in un numro finito di lmnti (figura). si assum ch qusti lmnti siano connssi tra loro in un numro finito di punti situati sul loro contorno; nl caso di approccio agli spostamnti vngono assunti com incognit gli spostamnti di qusti punti ch vngono chiamati nodi. 'insim di nodi d lmnti cosi dfiniti prnd il nom di schma (msh) consnt l'individuazion di un st discrto di incognit; la formulazion agli spostamnti consnt una scrittura strmamnt smplic dll quazioni risolutiv ch, com noto, risultano ssr indipndnti dal livllo di iprstaticita dlla struttura. 3. vin sclto un st di funzioni pr la dscrizion dllo spostamnto all'intrno di ogni lmnto in funzion dgli spostamnti nodali. In qusto modo é possibil dscrivr anch lo stato di dformazion di ciascun lmnto dtrminar l forz srcitat sui nodi ancora in funzion dgli spostamnti nodali 4. la lgg di comportamnto dll'lmnto garantisc ch sia rispttata la congrunza dgli spostamnti al suo intrno. 5. il problma vin risolto imponndo l'quilibrio tra l forz intrn d i carichi applicati con l tcnich dl calcolo matricial: in qusto modo la soluzion congrunt divnta anch quilibrata quindi, pr il torma dll'unicità dlla soluzion il problma risulta univocamnt risolto. E' vidnt com siano stat introdott alcun approssimazioni ch hanno prmsso di smplificar rndr risolvibil il problma con tcnich di tipo lmntar; in particolar: l funzioni assunt pr la dscrizion dllo spostamnto all'intrno di un lmnto, ssndo spcifich pr dtto lmnto, non garantiscono la continuità tra lmnti adiacnti; quindi può non risultar soddisfatta la condizion di compatibilità o continuità dgli spostamnti al contorno dgli lmnti mntr, solitamnt, lo é ai nodi. avndo concntrato l forz ai nodi dgli lmnti si ralizza il soddisfacimnto dll condizioni di quilibrio solo in snso gnral: violazioni locali dll'quilibrio possono vrificarsi all'intrno di un lmnto o sulla sua frontira (forz di volum o di suprfici ch vngono concntrat d applicat ai nodi) la sclta di gradi di librtà dll funzioni di dscrizion dllo spostamnto dtrmina il grado di approssimazion dll'lmnto quindi la sua fficacia in trmini di calcolo; il trmin spostamnto è intso in snso gnralizzato, spostamnti rotazioni, nl caso di formulazioni mist, anch lo stato di sforzo. Con qusti approcci, s il campo di spostamnti é assunto in modo convnint (qusta assrzion vrrà mglio spcificata nl sguito) si ha la convrgnza di risultati ad una soluzion asintotica, ov pr convrgnza si intnd ch schmatizzazioni divrs carattrizzat da dimnsioni tipich dgli lmnti ch man mano si riducono, tndono allo stsso risultato ch qusto é il risultato corrtto, almno nll'ambito dl modllo assunto. 1

2 'analisi statica linar costituisc una dll applicazioni più importanti dll tcnich di calcolo ad lmnti finiti d é in qusto sttor ch l procdur di analisi l tcnich di modllazion sono più standardizzat d assodat: analisi statich linari sono sguit in manira abbastanza routinaria sono disponibili numrosi codici in grado di portarla a trmin impigando lmnti la cui formulazion é consolidata. In qusto capitolo vin affrontata la formulazion dll'analisi struttural statica linar ad lmnti finiti mdiant divrsi approcci di quali, indipndntmnt dal rigor dlla formulazion, si vrifica l'quivalnza. In particolar sono prsntati smpi di formulazion dirtta, variazional (P), minimizzazion di funzional (Enrgia Potnzial otal) con il mtodo ai rsidui psati di Bubnov-Galrkin. Solo succssivamnt vrranno discuss l carattristich di convrgnza dl mtodo. ngono adottat l ipotsi di spostamnti dformazioni infinitsim. Qusto comporta ch la configurazion indformata possa ssr impigata pr la valutazion dll'quilibrio dlla struttura soggtta ai carichi strni; inoltr la lgg costitutiva dl matrial può variar da punto a punto ma non ammtt altr dipndnz, pr smpio prché non dipnd dal livllo di sforzo raggiunto. Poiché l'approccio utilizzato é qullo agli spostamnti, la collocazion dll incognit dovrà ssr oparata in modo da consntir una agvol imposizion dll condizioni al contorno ssnziali dl problma, tipicamnt includndo i punti vincolati nl caso di vincoli strni discrti..1 - FORMUAZIONE DIREA Nl capitolo riguardant l'analisi matricial dll struttur é stata introdotta la formulazion dirtta dll matrici di rigidzza di un lmnto finito: qusta formulazion prvd la dtrminazion di cofficinti dll matrici in bas a considrazioni fisich, capaci cioè di portar dirttamnt alla scrittura dll quazioni di quilibrio; dal punto di vista oprativo i cofficinti dlla matric di rigidzza vngono dtrminati mdiant l classich procdur, ina lastica, P o altr. Qusto modo di oprar può ssr facilmnt sguito soltanto pr lmnti di forma particolarmnt smplic, quali l ast l travi, pr i quali é agvol dtrminar i cofficinti di influnza di vari gradi di librtà: a turno vngono attivati i gradi di librtà dll'lmnto, imponndo un solo spostamnto divrso da zro, vngono calcolat l sprssioni dll forz nodali ch qusto movimnto srcita su tutti i nodi; i risultati di qusta oprazion costituiscono la colonna dlla matric di rigidzza corrispondnt al grado di librtà attivato. 'lmnto di ASA Approfondiamo il caso dll'asta, cioè di un lmnto struttural capac di sopportar solo carichi dirtti com il suo ass. f f 1 1 u u 1 x Intgrazion quazioni diffrnziali: 'quazion diffrnzial ch rgg il problma dll'asta caricata assialmnt agli strmi ': u = 0 x ch dv ssr intgrata du volt con la condizion al contorno: u(0)=u1 ; u()=u corrispondnti ad un gnrico spostamnto dgli strmi dlla trav. Dall'intgrazion si ottngono l sgunti sprssioni dllo spostamnto dlla sua drivata

3 u u1 u = x+ u1 u u1 u/ x = l'azion intrna allora val EA N=Aσ= EAε= EAu / x= ( u-u1) quindi EA f = ( u-u1) così com EA f 1 = ( u1-u) ch conducono alla solita sprssion matricial f1 EA 1 1 u1 = f 1 1 u Considrazioni di quilibrio: Dtrminiamo i cofficinti di influnza rlativi allo spostamnto dgli strmi dll'asta u d u1. 'allungamnto dll'asta ' =u-u1 cui corrispond una dformazion sprimibil com u-u 1 ε = Il gnrico concio di asta é in quilibrio ssndo lo sforzo costant lungo l'ass. Considrando conci di asta ch comprndano un strmo dlla stssa possiamo dtrminar l forz ch nascono agli strmi imponndon l'quilibrio: N N=f EA N=Aσ= EA ε = ( u-u1) quindi EA f = ( u-u1) così com EA f 1 = ( u1-u) du rlazioni ( ) possono ssr post in forma matricial fornndo la bn nota sprssion dlla matric di rigidzza di un'asta f1 EA 1 1 u1 = f 1 1 u P: Dobbiamo scrivr l'quazion di uguaglianza dl lavoro intrno, svolto da un sistma di sforzi rali pr uno di dformazioni virtuali, con il lavoro strno compiuto da un sistma di forz rali pr il corrispondnt sistma di spostamnti rali. a sclta oprata é sinttizzata in tablla: f 3

4 Sistma Intrno Estrno Forz Rali F F F1 E σ= = = ( u u 1) f, f 1 A A Spostamnti irtuali * * * ε = ( δu δ u )/ 1 * *, u1 δu δ 'quazion da scrivr é: * * σδε d = f δε i i ch divnta: * * E ( δu δu1) A ( u u ) d = f δ u + f δu * * AE * * * * ( u u 1)( δ u δ u 1) = f u f u δ + 1δ 1 ch pr l'arbitrarità dll variazioni virtuali f1 EA 1 1 u1 = f 1 1 u * *, u1 δu δ porta al solito sistma di quazioni 'lmnto di RAE Pr la dfinizion dlla matric di rigidzza di un lmnto di trav a du nodi, a szion costant nl piano, si vda la dispnsa di.giavotto Struttur Aronautich. Si riporta solo il risultato final, ottnuto utilizzando un sistma di rifrimnto local allinato con l ass dlla trav, l indicazion dll organizzazion di vttori spostamnti forz. EA EA EJ 6EJ 1EJ 6EJ 0 u N [ k] = { a} = { f} = S I M 4EJ w 1 EJ EJ EJ 1 0 θ1 M1 EA u N 0 0 w 1EJ 6EJ. θ M 3 Ngli smpi trattati sono stati saminati lmnti ch, pr loro natura, ammttono una formulazion discrta dl problma lastico. Nl caso di lmnti di forma gnrica, pr smpio ottnuti dalla suddivision di un continuo lastico tridimnsional, qusto tipo di procdura non sarà applicabil o, ancora, lo sarà solo in casi lmntari; risulta prtanto ncssario individuar una via altrnativa ch porti ad una formulazion approssimata dll quazioni ch rggono il problma attravrso una procdura sistmatica ma al contmpo assolutamnt gnral rigorosa. 4

5 . FORMUAZIONE CON I PRINCIPIO DEI AORI IRUAI Sviluppiamo la formulazion dgli lmnti finiti mdiant l'applicazion dl Principio di avori irtuali. Il P stabilisc ch, nlla configurazion di quilibrio, il lavoro virtual compiuto da un sistma di forz rali in sguito all'applicazion di una variazion virtual dlla configurazion (cioè di uno spostamnto virtual quindi congrunt compatibil con i vincoli) é nullo; in altr parol ch il lavoro virtual di dformazion compiuto dall forz intrn é ugual a qullo svolto dall forz strn: δ i = δ l'oprator δ indica la variazion virtual dlla grandzza cui é prposto. a valutazion dl lavoro sull intro volum dl corpo, sarà data da: { δε } { σ } d = { δs } { F} d dov sono stat dfinit l sgunti grandzz organizzat in forma matricial: { ε } componnti dl tnsor di dformazion nlla forma più gnral potrmo ritnr la dformazion com somma di un trmin mccanico dovuto alla prsnza di carichi di una dformazion inizial: { ε } = { ε m } + { ε 0 } un smpio di dformazion inizial é costituito da qullo dlla dformazion, solitamnt sprsso in trmini proporzionali alla variazion di tmpratura risptto ad una configurazion di ε = α. rifrimnto { 0} { } t { σ } componnti dl tnsor di sforzo anch in qusto caso é possibil tnr conto di uno stato di tnsion prsistnt, rsponsabil di un ultrior contributo al lavoro: { σ } = { σ m} + { σ 0} = [ D] ({ ε m} + { ε 0} ) + { σ 0} Prtnsion pr-dformazion possono ssr indiffrntmnt utilizzati pr rapprsntar la stssa situazion passando attravrso il lgam lastico {F} componnti dlla forza pr unità di volum {s} componnti di spostamnto I carichi agnti sulla suprfici strna qulli concntrati possono ssr visti com una particolar catgoria di carichi pr unità di volum dati dal prodotto di una funzion tridimnsional con una funzion dlta di Dirac dfinita, rispttivamnt, sulla suprfici strna nl punto di applicazion dl carico concntrato. o sviluppo ch vin proposto in qusta sd fa rifrimnto a ipotsi di linarità, quindi spostamnti dformazioni infinitsim, lgg costitutiva lastica linar pr il matrial. Qusta sclta ha alcun consgunz dirtt: vin utilizzata la configurazion indformata pr la dscrizion dlla gomtria dlla struttura (qusto significa ch lo spostamnto ricrcato è total, in quanto incrmntal risptto alla configurazion indformata); pr la sovrapposizion dgli fftti, valida in rgim di linarità, si potranno combinar gli fftti di divrs condizioni di carico. vngono trascurati gli fftti dlla dformazion sui vincoli sui carichi strni Con l'approccio agli spostamnti vin assunto com incognita lo spostamnto {s}, funzion dl posto {s}={s(x,y,z)}, pr cui dobbiamo sviluppar l'sprssion dl lavoro virtual in funzion di qusta incognita. E' important notar ch s l'quazion dl P, valutata pr un assgnato stato di sforzo ottnuto a partir da una configurazion di dformazion compatibil con i vincoli strni, é soddisfatta pr tutt l 5

6 possibili variazioni virtuali assumibili, sono rispttati i tr rquisiti fondamntali dlla mccanica di continui: 1. l'quilibrio é soddisfatto in quanto il P é una sprssion dll'quilibrio: l'quazion dl P può infatti ssr ottnuta a partir dall quazioni indfinit di quilibrio, così com si può dimostrar ch assunto valido il P s n possono drivar l quazioni indfinit di quilibrio (vdr dispns di Struttur Aronautich dl Prof.Giavotto). sono soddisfatt l condizioni di "compatibilità/congrunza: il campo di spostamnto é continuo soddisfa i vincoli strni. 3. ' rispttata la lgg costitutiva dl matrial: gli sforzi sono infatti calcolati, mdiant qusta rlazion, a partir dalla dformazion valutata, a sua volta, diffrnziando il campo di spostamnto. Sviluppo dl lavoro di dformazion Poiché la componnt di dformazion dovuta alla dilatazion trmica o all'sistnza di uno stato inizial di dformazion, così com la prsnza di una sollcitazion inizial costituiscono di dati noti a priori, ssi non sono da mttr in rlazion con l incognit dl problma. Di consgunza, in qusto sviluppo, prndiamo in considrazion il solo trmin mccanico dlla dformazion, così com pr lo sforzo trascuriamo il trmin inizial. a Scinza dll Costruzioni ci fornisc l'sprssion dl lgam spostamnto-dformazion pr una condizion di comportamnto linar dl continuo lastico ch sono: ε x = sx/ x γ xy= sx/ y+ sy/ x 1 ε y = sy/ y γ yz = sy/ z + sz/ y o ε ij = ( si / j + sj / i ) ε z = sz/ z γ xz = sx/ z + sz/ x dov la notazion /i indica la drivazion risptto alla gnrica coordinata i dl trmin di spostamnto cui si rifrisc. nndo conto dl fatto ch l componnti dllo spostamnto dlla dformazion possono ssr convnintmnt organizzati in vttori, l rlazioni ch lgano l divrs componnti possono ssr mss in forma matricial dfinndo un oprator diffrnzial linar ch sinttizzi la rlazion spostamnto/sforzo com {} ε = [ D]{} s Poiché l'oprator diffrnzial [ D ] si applica con l rgol dlla moltiplicazion matricial, pr i casi salinti dlla Scinza dll Costruzioni potrmo dfinir l struttur di divrsi opratori coinvolti com dalla tabll sgunt. ridimnsional Assialsimmtrico Bidimnsional Assial Monodimnsional {} s = [ sx, sy, sz] {} s = [ sx, sz ] {} s = [ sx, sy ] {} s = [ sx, sy, sz] {} s = [ sx ] εx ε x εx εx {} ε = [ εx ] ε ε y y {} ε {} ε = y = ε {} ε = γxz εz εz γ xy {} ε = γ yz γ γ xy xz γ xz γ yz / x 0 0 / x 0 / x 0 / x 0 0 [ D] = [/ x] 0 / y 0 1/ R 0 [ D] [ D] = 0 / y = [ D] = / z 0 / x 0 0 / z 0 / z / y / x 0 / z / y [ D] = / y / x 0 / z / x / z 0 / x 0 / z / x 6

7 Nl momnto in cui si dsidra implmntar uno spcifico lmnto qusto lgam dovrà ssr spcializzato insim al lgam costitutivo dl matrial, tnndo conto anch dgli lmnti discussi in rlazion alla modllazion dlla cinmatica di un continuo a partir dal movimnto di un rifrimnto. In funzion dllo spostamnto può ssr sprsso anch il vttor sforzo passando attravrso il lgam lastico ch lo lga alla dformazion: s battzziamo con [E] la matric lastica carattristica dl matrial rlativa allo stato di sollcitazion ch si sta dscrivndo. In gnral lo stato di dformazion può ssr visto com la combinazion dll fftto di carichi applicati di una dformazion inizial prsistnt: ε = ε + ε { } { } { } m In assnza di dformazon inizial la dformazion total qulla dtrminata dai carichi, ch ε, coincidono; potrmo quindi scrivr il lgam sforzo dformazion com: indichrmo con { } m { σ } = [ C]{ ε } = [ C]{ ε } m ma dovrmo saminar anch il caso in cui ciò non avvnga; avrmo allora da modificar la procdura tnndo conto ch è la dformazion total ad ntrar nl lgam spostamnti dformazioni { ε } = [ D]{ s} qulla mccanica nl lgam sforzi-dformazioni: { σ } = [ C]{ ε m} = [ C] ({ ε} { ε 0} ) ov si é assunta una dfinizion dl vttor di sforzo cornt con qulla dlla dformazion: { σ } = [ σ,,,,, ] x σy σz τxy τxz τ yz a matric [E] ha com unico vincolo qullo di ssr simmtrica. Procdiamo con lo sviluppo dl trmin di dformazion dl lavoro virtual introducndo l rlazioni appna individuat: * * * δ = { δε } { σ } d = { δs } [ D] [ C][ D]{ s} d d rattandosi di una formulazion numrica é ncssario passar dalla forma continua dlla funzion a qulla discrta mdiant una opportuna discrtizzazion dlla variabil spostamnto; si assumono com incognit gli spostamnti di un numro finito di punti, ch si ritin ssr rapprsntativi dl comportamnto dlla struttura: dfiniamo con {a} il vttor in cui vngono ordinat l componnti dllo spostamnto incognit; pr potr calcolar l'intgral é ncssario ffttuar una intrpolazion dlla funzion spostamnto sul dominio, oprazion qust'ultima dfinibil com: { s( x i)} = [ N( xi)]{ a( xi)} {} s=n [ ]{} a dov [N] é un oprator di intrpolazion ch, utilizzando i valori noti dgli spostamnti nodali, é in grado di valutar lo spostamnto dl gnrico punto di coordinat x i, s. x, y, z. Pr la dfinizion stssa di variazion di configurazion virtual qusta risulta ssr dl tutto indipndnt dalla configurazion di quilibrio incognita pr la qual il P vin scritto: ancora una volta si scgli qusta stssa com variazion virtual dgli spostamnti, quindi: { δs } =N [ ]{ δ u} Si noti ch l funzioni di intrpolazioni sono indiffrnti all'oprazion di variazion virtual ssndo ss funzioni not stabilit a priori. In bas a qusta assunzion il lavoro di dformazion divnta: * * δ = { δu } [ N] [ D] [ C][ D][ N]{ u} d d In gnral, la nota complssità dl dominio comporta notvoli difficoltà nlla dfinizion dll funzioni intrpolanti risulta ssr problmatica l'intgrazion. Pr quanto riguarda l carattristich ch dvono avr qust funzioni di intrpolazion, ch vrranno ampiamnt discuss in sguito, limitiamoci, pr ora, ad ossrvar ch l'oprazion di discrtizzazion costituisc un'approssimazion ni trmini in cui si é in grado di ffttuar una intrpolazion più o mno prcisa dlla funzion spostamnto dll su drivat: infatti nl caso di intrpolazion satta la discrtizzazion infatti non introduc rrori (si vdano 0 7

8 i casi dll ast dll travi, pr l quali l matrici ch si ottngono sono satt, almno nll'ambito di applicabilità di dtti modlli). Una trminologia assodata nlla lttratura riguardant l'argomnto é qulla ch battzza [B] il trmin [D][N] ch individua l drivat dlla funzion di intrpolazion pr cui si ottin la notazion compatta: * * δ = { δa } [B] [ C][B]{ a} d d E ncssario risolvr du problmi: l'intgrazion l intgrazion su di un dominio arbitrario. Essi possono ssr contmporanamnt risolti mdiant la suddivision dl dominio in porzioni, di dimnsioni finit di forma smplic, ch chiamrmo lmnti, pr l quali risulti facil ffttuar l'intgrazion d al cui intrno sia agvol dfinir dll funzioni di intrpolazion dll incognita; l'intgral dl lavoro di dformazion si scompon quindi in una sommatoria di intgrali rlativi a ciascun lmnto, oprando sui soli gradi di librtà dll lmnto -simo: * * d * δ = { δ a } [ B] [ C][ B]{ a} d = { δ a } [ B ] [ C ][ B ]{ a } d = * { δa } [ B] [ C][ B] d { a} Avndo tnuto conto ch i trmini di spostamnto nodal l matrici di slzion non sono funzioni dl posto. 'sprssion dl contributo al lavoro virtual di dformazion da part di un lmnto assum la forma: * * δ d = { δ a } [ ]{ } k a Avndo introdotto la dfinizion di matric di rigidzza, in quanto sprim il lgam tra gli spostamnti nodali dll'lmnto l forz ch si gnrano in sguito alla loro applicazion: [ k ] = [ B ] [ C ][ B ] d Il lavoro complssivo è dato dalla sommatoria: * * * δ = δ = { δa } [ k ]{ a } d d Pr liminar la ridondanza dlla dfinizion dll arbitrarità virtuali consgunt alla condivision di gradi di librtà da part di lmnti adiacnti, potr quindi imporr l condizioni pr la soluzion dl problma, introduciamo un oprator di slzion di gradi di librtà di un lmnto { a } nll lnco di gradi di librtà globali { a }: { a} = [ S]{ a}. Il lavoro divnta quindi: * * * δ d = { a} [ k]{ a} δ =δ d = * { δ a } [ S][ k][ S]{ a} = * { δ a } [ S][ k][ S] { a} = * { δa } K { a} [ ] a matric di cofficinti di qullo ch sarà il sistma risolutivo dl problma è quindi ottnuta assmblando l matrici calcolat a livllo di singoli lmnti, cioè andando a posizionar i cofficinti, dfiniti in funzion dlla posizion local, nll posizioni assolut ch i corrispondnti gradi di librtà hanno nl vttor complssivo di tutt l incognit dl problma: [ K] = [ S][ k][ S] 8

9 Qusta suddivision richid, prché l'intgral sia corrttamnt valutato, ch la funzion intgranda sia continua all'intrfaccia tra un lmnto qulli contigui: pr risolvr qusto problma sarà sufficint imporr di vincoli sull funzioni di intrpolazion; vdrmo com, in raltà qusta condizion non vin rispttata s non in modo approssimato. condizioni al contorno naturali (sforzi quilibranti l'vntual carico strno) vngono naturalmnt soddisfatt dalla formulazion al tndr a zro dll dimnsioni carattristich dgli lmnti. Sviluppo di trmini di sforzo dformazion iniziali Sviluppiamo ora i trmini prcdntmnt trascurati facndo rifrimnto agli intgrali valutati su ogni singolo lmnto. Ricordando l dfinizioni di dformazion sforzo: {} ε = { ε } + { ε } m 0 { σ tot} = { σ } + { σ 0} abbiamo ch il trmin di variazion virtual riman immutato ssndo tutti i trmini costanti ad cczion dlla dformazion mccanica; tralasciando i trmini già laborati abbiamo prtanto: * * * δ = { δε } { σ } d = { δa } [ B] ({ σ } [ C]{ ε }) d di 0 0 Da qusta sprssion ricaviamo la dfinizion di sgunti vttori di forz dovuti rispttivamnt allo stato di sforzo dformazion iniziali d alla prsnza di fftti trmici: { fσ } = [ B] { σ0} d ; { fε } = [ B] [ C]{ ε0} d Nl caso di prsnza di una distribuzion di tmpratura la sconda rlazion divnta: f = B C α td { } [ ] [ ]{ } t, s si tin conto ch normalmnt l tmpratur sono dfinit mdiant i loro valori nodali, il valor nl gnrico punto dll'lmnto sarà dtrminato com t=[n]{} avndo dfinito con {} il vttor dll variazioni di tmpratur nodali; l'sprssion dll forz divnta: { f } = [ B] [ C] α [ N]{ } d t Sviluppo dl trmin forz strn Il trmin rlativo al lavoro virtual dll forz pr unità di volum {F} è dato da: * * δ = { δs } { F} d F { } 'intgral dl lavoro rlativo vin sviluppato com: * * δ = { δa } [ N] { F} d F Si dfinisc quindi com vttor di forz strn gnralizzat pr unità di volum {Q} il vttor: { Q} = [ N] { F} d Essi costituiscono carichi quivalnti in quanto l componnti ch lo costituiscono sono nrgticamnt quivalnti al carico distribuito cui si rifriscono. Esaminiamo i casi particolari di carichi distribuiti sulla suprfici strna concntrati. Carichi di suprfici In qusto caso l sprssion dlla forza pr unità di volum sarà: { f } = { F} δ( A) quindi l intgral si trasforma: { Q } = [ N] { F} δ( A) d = [ N( A)] { f} da A A 9

10 Carichi concntrati In qusto caso l sprssion dlla forza pr unità di volum sarà: { f } = { F} δ( x) quindi l intgral si trasforma: { Q } = [ N] { F} δ( x) d = [ N( x)] { f} p In particolar è quindi smpr possibil applicar un carico intrno ad un lmnto, snza dovr, pr forza, introdurr un apposito nodo nl modllo (anch s, spsso, qust ultima procdura risulta ssr più pratica). Soluzion Possiamo ora riscrivr l'sprssion dl lavoro virtual i cui trmini intrno d strno possono ssr formulati in funzion dgli spostamnti di nodi dll'lmnto: * * δ = { δ a } ([ k ]{ a } + { f } + { f } + { f }) d σ ε t * * F { } ({ } { }) δ = δ a Q + q mntr il lavoro dll forz strn concntrat é dato da * * δ c = { δ ac} { pc} avndo assunto ch i punti di applicazion di carichi rintrino tra qulli costitunti il problma discrtizzato: sarbb un'inutil complicazion prvdr l'applicazion di carichi concntrati all'intrno di un lmnto. Il calcolo dl lavoro total prvd la sommatoria dl contributo di ciascun lmnto ni quali é stato suddiviso il continuo: * * δ = δ d d * * F F δ = δ poiché dobbiamo rifrirci al vttor complssivo di incognit nodali {a}, analogamnt agli sviluppi dlla procdura dl calcolo matricial, qust sommatori assumono il significato di assmblaggi, cioè di accumulo di contributi dovuto ad ogni singolo lmnto tnndo conto dlla posizion ch gli spostamnti {a } di nodi di ciascun lmnto assumono nl vttor di spostamnti globali {a}. Formalmnt potrmmo dfinir il lgam tra gli spostamnti nodali di un lmnto l incognit dl problma: { a} = [ S]{ a} Pr cui il lavoro vin sprsso com: * * * δ = = { δa } ([ k ]{ a } { p }) = { δa} [ S ] ([ k ][ S ]{ a} { p }) = d d { δa} [ S] [ k][ S]{ a} [ S] { p} = { δa} [ K]{ a} { p} Ch, pr l arbitrarità dll variazioni virtuali divnta: [ K]{ a} = { p} ( ) Poichè dtrminata accumulando matrici lmnto, ch hanno una struttura quadratica, quindi simmtrica; la matric di rigidzza global rdita qusta carattristica. Dal punto di vista pratico ad ogni lmnto vrrà associato un vttor di incidnza ch indica la posizion assunta da ciascun grado di librtà dl vttor {a} nl vttor di spostamnto gnral {a}; i contributi dll lmnto all quilibrio global vrranno quindi posizionati dirttamnt nll posizioni rlativ alla collocazion dl grado di librtà dll lmnto nll lnco global dll incognit. Prtanto [K] é la matric di rigidzza gnral ottnuta dall'assmblaggio dll matrici di rigidzza di ogni lmnto [k], mntr {p} è il vttor di carichi ottnuto dall'assmblaggio di carichi lmntari: 10

11 [ K] = [ k ] { p} = { Q } + { q } + { f } + { f } + { f } σ ε t Considrazioni Si ossrvi com la suddivision ad lmnti finiti dl dominio la dfinizion di una sprssion approssima, sino ad ora indipndnt, dl campo incognito all intrno di ciascuno di ssi abbia di fatti trasformato il problma continuo in un problma discrto, naturalmnt risolto con una procdura risolutiva ch coincid con qulla già saminata pr il calcolo matricial. a struttura formal dlla formulazion vidnzia anch una fort analogia con il mtodo di Ritz. S si considra un singolo lmnto non vi è infatti distinzion sostanzial: in ntrambi i casi vin formulato un modllo approssimato dl campo si adotta uno schma adguato pr la dtrminazion di cofficinti incogniti. i é comunqu una diffrnza concttual tra l du approssimazioni: con gli lmnti finiti non abbiamo paramtri gnralizzati a dfinir l approssimazion ma valori discrti dll incognita; inoltr non è richisto ch l funzioni di intrpolazion soddisfino l condizioni al contorno di un caso spcifico, in quanto dfinit all intrno di un singolo lmnto non su tutto il dominio. E prò vidnt ch l approssimazioni dl campo in un lmnto non potranno ssr totalmnt arbitrari: ci dobbiamo chidr infatti a quali condizioni l intgral di una funzion può ssr scomposto in una somma di intgrali. S qusti ultimi fossro valutati in manira satta non vi sarbb problma i du risultati coincidrbbro; ssndo in prsnza di approssimazioni diffrnti ni divrsi lmnti, sarà invc ncssario avr continuità dlla funzion intgranda attravrso l frontir. Non è prò ncssario imporr strttamnt la continuità dlla funzion da intgrar (nlla fattispci struttural sarbb la dformazion) pr ottnr risultati corrtti; è sufficint garantir la continuità dll incognita primaria (lo spostamnto). Occorrrà quindi ch l funzioni di intrpolazion ch si sclgono pr formular i divrsi lmnti siano in grado di garantir la continuità dllo spostamnto attravrso l loro frontir: in gnral s la funzion da intgrar prsnta un ordin drivazion n dll incognita di campo (nl caso struttural n=1) la continuità richista è sulla funzion incognita sarà pr la funzion sino alla drivata n-1 (nl caso struttural 0), Cn-1 è la notazion ch idntifica qusto rquisito di continuità (C0 è la continuità richista nl caso struttural dirtto). Nl caso di travi snll piastr sottili, com vdrmo, la dformazion può ssr sprssa in trmini di curvatura, cioè drivata sconda dllo spostamnto trasvrsal; in qusto caso n= la continuità richista sarbb di tipo C1. Prché l'analogia sia complta manca la discussion sull'imposizion dll condizioni al contorno ch, data la complssità dl dominio risultano ancora difficili da dtrminar Soluzion Essndo il problma formulato in trmini di spostamnti nodali discrti {a}, occorr ch la soluzion risptti l condizioni al contorno ssnziali; occorrrà quindi attuar una tcnica pr l imposizion di vincoli atti a dtrminar qusta situazion. Dopo l imposizion di vincoli strni si potrà procdr con la soluzion mdiant tcnich di calcolo numrico pr la soluzion di sistmi linari. Com pr l analisi matricial occorrrà ricordar ch l matrici dl problma sono simmtrich tndnzialmnt spars. condizioni al contorno non ssnziali, pr smpio suprfici scarica in assnza di carichi strni, sono implicitamnt contnut nl mtodo il loro consguimnto è natural con l infittimnto dlla discrtizzazion. Equilibrio dinamico S il problma non é di tipo statico, o a qusto riconducibil, occorrrà splicitar i trmini rlativi all forz ch dipndono dall drivat tmporali prima sconda dllo spostamnto {u}. 11

12 forz strn, pr com sono stat dfinit, comprndono du tipi di carichi ch assumono una importanza rilvant nll'analisi struttural, in qulla dinamica in particolar: si tratta dll forz di inrzia di qull viscos. Ess drivano dal fatto ch la struttura é soggtta ad acclrazioni /o vlocità, uniformmnt distribuit o mno, ch dtrminano localmnt la nascita di dtt forz. Normalmnt é nota la variazion nl tmpo di un crto insim di carichi la dtrminazion dll acclrazioni passa attravrso la scrittura dll quazioni di moto dl sistma la loro soluzion risptto all acclrazioni mntr la loro intgrazion prmtt la dtrminazion di vlocità spostamnti: qusta oprazioni ncssita dlla conoscnza dlla distribuzion di massa dlla struttura, ch vin sinttizzata nlla matric di massa dl modllo, ch sinttizza il lgam forz di inrzia - massa {Fi}=[M]{a} Allo stsso modo avrmo bisogno di una rlazion capac di dfinir l forz viscos in funzion dlla vlocità; un modllo linar é qullo Nwtoniano, sprimibil com: {Fv}=[C]{v} Dtrminiamo l rlazioni pr il calcolo di dtt matrici. Matric di massa Il trmin di forz di inrzia pr unità di volum può ssr splicitato in funzion dll'acclrazion; s qusta dipnd dalla configurazion di spostamnti, può ssr mssa in rlazion alla drivata sconda dllo spostamnto com: { FI } =ρ {} a =ρ {} s =ρ[ N]{} a ssndo l'oprator di intrpolazion [N] indipndnt dal tmpo. Il trmin di lavoro prtanto divnta: * * * δ = { δ s } { F } d = { δa } [ N] ρ[ N]{ a} d FI I si é cosi prvnuti alla dfinizion di matric di massa dlla struttura nlla formulazion consistnt: [ M ] = [ N] ρ[ N] d con qusto sviluppo si dtrminano l forz di inrzia dovut all acclrazioni di tutti i gradi di librtà dll'lmnto. Matric di smorzamnto Il trmin di forz nwtonian pr unità di volum può ssr splicitato in funzion dll'acclrazion quindi dlla drivata sconda dllo spostamnto com: { FS } =ρ {} a =ρ {} s = c[ N]{} a ssndo l'oprator di intrpolazion [N] indipndnt dal tmpo. Il trmin di lavoro prtanto divnta: * * * δ = { δ s } { F } d = { δa } [ N] c[ N]{ a} d FS S si prvin così alla dfinizion di matric di smorzamnto dlla struttura nlla formulazion consistnt: [ c] = [ N] c[ N] d con qusto sviluppo si dtrminano l forz di smorzamnto dovut alla vlocità di movimnto di tutti i gradi di librtà dll'lmnto. Smpr pr l'arbitrarità dll variazioni virtuali si arriva ad un sistma di quazioni ch rapprsntano l quazioni dl moto di un sistma a più gradi di librtà; in forma matricial appar com: [ M ]{} a + [ C]{} a + [ K]{} a = { P} dov [M] la matric di massa assmblata [C] la matric di smorzamnto assmblata [K] la matric di rigidzza assmblata {P} il vttor di carichi nodali strni somma di carichi pr unità di volum di suprfici utti qusti trmini vngono dtrminati mdiant il procsso di assmblaggio dll corrispondnti matrici lmnto. 1

13 Riassumndo, abbiamo quindi visto com mdiant l'applicazion dl P, la tcnica di suddivision in lmnti di dimnsioni finit di forma rgolar, all'intrno di quali intrpolar gli spostamnti in funzion dgli spostamnti di un insim di nodi appartnnti al loro contorno, la soluzion dl problma dl continuo lastico, rtta da quazioni diffrnziali a drivat parziali, é stata ricondotta alla soluzion di un sistma algbrico linar avnt com incognit gli spostamnti di punti di discrtizzazion. Esmpio di sviluppo Sviluppiamo con qusta formulazion la matric di rigidzza dll'lmnto di asta prcdntmnt studiato con i mtodi dirtti; l'lmnto é smpr a szion costant A sia E il modulo di lasticità dl matrial. Pr smplicità dllo sviluppo assumiamo un sistma di rifrimnto con l'origin posta nl primo nodo dll'lmnto; l convnzioni sono sinttizzat in figura: F 1 F 1 u u 1 x con rifrimnto alla figura prcdnt assumiamo com incognit dl problma gli spostamnti u 1 d u dgli strmi dll'asta ch organizziamo nl vttor {} u = [ u1u] ; pr l'intrpolazion dllo spostamnto usiamo una funzion linar pr ntrambi l componnti nodali di spostamnto: ( ) 1 x s x = u x 1+ u passando alla notazion matricial scriviamo: x x u1 sx ( ) = 1 u poiché lo stato di sforzo é dfinito smplicmnt dalla rlazion σ=eε d il lgam spostamnto dformazion da ε= s/ x la matric [D] si riduc al solo trmin (.) /x ; prtanto la matric [B] divnta: [ B] = = [ 1 1] la matric di rigidzza, tnndo conto dll'invarianza dlla szion lungo l'ass, risulta: EA 1 1 [ k] = A [B] [ E][B] dx= 1 1 S prò l'asta foss a szion linarmnt variabil, da A1 in corrispondnza dl nodo 1 ad A in corrispondnza dl nodo, il trmin A dovrbb ssr sprsso in funzion dlla coordinata x d intgrato lungo l'lmnto. a manira più smplic di formular qusta dipndnza è qulla ch fa ricorso allo stsso schma di intrpolazion utilizzato pr lo spostamnto, si applica quindi l'oprator di intrpolazion ad un vttor di ar nodali: A(x)=[N(x)][A1 A] 'intgrazion di qusto lmnto porta alla sgunt sprssion dlla matric di rigidzza: E( A1+ A) 1 1 [ k] = 1 1 nlla qual riconosciamo ch il comportamnto global dll'lmnto a szion variabil linarmnt è quivalnt a qullo di un lmnto di szion costant pari al valor mdio dll szioni. Applicazion al problma dlla trav soggtta a carico assial triangolar Utilizziamo ora qusto risultato con la tcnica dgli lmnti finiti pr risolvr il problma dll'asta sottoposta ad un carico di trazion linar distribuito di cui é già stata dtrminata la soluzion torica pr il qual sono stat valutat alcun soluzioni approssimat con il mtodo di Ritz. 13

14 Considriamo dapprima uno schma ad un solo lmnto: in qusto caso il carico distribuito dv ssr concntrato ai nodi dlla trav con la rlazion: {} q = [ N]{ f} da A ch nl caso spcifico divnta: 1 x x {} q = [ N] c xdx= 1 c xdx c 6 = 1 3 una volta liminata l'quazion dl nodo vincolato riman la sola rlazion: EA c u = 3 ch porta ad una soluzion approssimata 3 c u = 3 EA ch, in qusto caso particolar, coincid con qulla satta. Occorr prò notar ch dtta coincidnza val solo agli strmi dll'asta: all'intrno dlla stssa il risultato numrico ha andamnto linar, conformmnt allo sviluppo dlla funzion di intrpolazion; qusta diffrisc in manira snsibil dalla soluzion torica composta da un trmin cubico da uno linar. 14

15 Soluzioni con Elmnti Finiti - Carico Conform E' invc psantmnt approssimato il valor di sforzo ch con il modllo assunto riman costant lungo l'ass dll'asta, pari a: ( u u1) c σ= E = 3 A mntr l'andamnto satto é parabolico. S invc il carico, in manira smplificata, vniss distribuito in parti uguali sui du nodi si ottrrbbro di risultati mno prcisi ch, pr modlli ad 1,3 5 lmnti, sono sinttizzati nll figur sgunti dov si può prò notar com la diffrnza snsibil con 1 o lmnti sia praticamnt trascurabil, sia in trmini di spostamnto ch sforzo, già con 3 lmnti scompaia con 5: 15

16 Soluzion con Elmnti Finiti - Carico non conform Programmazion MAAB: asta.m rifica dl carico trmico Utilizziamo ora qusto risultato con la tcnica dgli lmnti finiti pr risolvr il problma dll'asta sottoposta ad un carico di trazion linar distribuito di cui é già stata dtrminata la soluzion torica 16