IV. L EQ. DI VAG MEDIANTE EQ. POLARE

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1 IV. L EQ. DI VAG MEDIANTE EQ. POLARE

2 LA GEOMETRIA CON L EQ. PARAMETRICA DI VAG Euzion Polr C. IV Pg. 1 Essndo nll E. di Vg il vlor OA (dll'origin d un unto, d in gnrl tr unto unto) un vlor ssoluto, non h nssun iortnz di co sso si ricvto d ottnuto. Prtnto si vuol fr vdr, ch tl vlor ' vlido nch s clcolto con un uzion olr. ELLISSE A)Posto il olo nl cntro dll'elliss rso co ss olr l'ss ggior orintto vrso dstr: ρ OA cos β B)Posto invc il olo nl Fuoco dstr (unto F): ρ FA ( 1 + cos δ) Si ricordi (C.III-L Curv-Elliss(Fuoco)-g.3) ch s il unto F non è il fuoco l E. Polr ssu l srssion: c ρ FA c (1 + cos δ) IPERBOLE A) Posto il olo nl cntro dll'irbol rso co ss olr l'ss trsvrso orintto dstr: ρ OA 1 cos β B) Posto il olo nl fuoco sinistr: ρ FA ( 1 + cos δ)

3 PARABOLA Euzion Polr C. IV Pg. Posto il olo nl fuoco rso co ss olr l'ss di sitri con orintnto oosto ullo dll'ss x. ρ FA ( 1 + cos δ) Tl forul l'bbio incontrt trttndo dll rbol.

4 ESEMPIO Euzion Polr C. IV Pg. 3 Ch il vlor OA dll'e. Di Vg vlg ρ vdio: sin α + cos α + cos α cos α ( cos α + sin α) OA c ( ) cos + α OA cos α OA cos cos β; α OA ( Nl cso B) dll'ellisse con FFuoco bbio ch: *) ρ FA ( 1 + cos δ) OA dll'. olr lo ) cos 1 cos ntr nl cso dll'elliss in cui l'origin ' nl Fuoco bbio visto ssr FA ( c cos α) (1 cos α) ( C.III). Sviluio l *): FA + FA cos δ 1] FAcosδ ( cosα c) (C.III) sostitundo FA cos δ nll *): c FA + ( cos α c) FA + c cos α FA c + c cos α + c cos α ( c cos α) ( 1 cos α) Prtnto vro': ρ cosδ cosδ FA cos δ ( cos α c) x ( 1+ cos δ ) ρ sn δ sn δ FAsn δ sn α y ( 1+ cos δ ) snα snα tn δ cos α c (cos α ) L'E. di Vg r stso di un Elliss ': ( 1 cos α) ( cos α c) cos δ + sn α sn δ ( 1 + cos δ) dov il rio bro ' co uzion olr. Si ossrvi ch d sn δ( cos α c) cos δsnα considrndo δ90 (cioè FA c rndicolr ll ss x) si h cos α cioè i vlori di cos α l ccntricità dll lliss coincidono. Dl ftto ch FA (1 cos α) r δ 90 si vrà ch : FA 1 ( ) α β

5 Euzion Polr C. IV Pg. 4 Pr δ 0 si vd ch nch α 0 d FA vrà il vlor : FA c ( ) ( ) Anlognt r l IPERBOLE cso B) si vrà guglinz tr. Polr d E. di Vg: FA (1 cos α) FA + FA cos δ (1 + cos δ) c Pr δ 90 cosδ 0 vro FA ( 1) Dll sin α tn δ si h δ ( cos α) sin α cos δ ( cos α) sin ch r δ90 1 cosδ0 drà cos α (l invrso dl vlor dll ELLISSE)

6 EQ. POLARE DELLE CURVE NOTE Euzion Polr C. IV Pg. 5 Di dti in figur ccnto si vogli il luogo gotrico di unti dti dl rorto O' X tn ε (ε costnt OM corso tr 0 <ε<90 ). D un unto X intrno ll sirtt di ngolo dto ε, l sciss OO è trccito un sgnto rndicolr d ss ch dtrin i unti P d M. Dll figur dducio l E. di Vg: il ch vuol dir Prtnto dll 1]: OP cos ε + OPsin ε O' X sin O' X cos δ MP δ OM MP tn ε OM O ' X MP ] O' X tn ε O ' X tn ε + O' X tn ε cos δ + O' X cos δ 1] tn ε O ' X 3] tn ε cos δ In ust ulti srssion ftto tn ε (ccntricità) cioè tn ε rvnio ll E. Polr Clssic ch fornisc i vlori dll distnz: O ' X 3bis] cos δ cos δ ntr l su osizion è dt dll E. Di Vg: XO' cos δ cos δ x 1 cos δ Il ftto ch il dnointor dll 3bis] XO' sin δ sin δ y 1 cos δ bbi sgno ngtivo nziché ositivo co nll E.Pol.Clss. è snz rilvnz ssndo condizionto dl sgno di cosno. L 3bis] co E.Polr clssic rrsnt: 0 < ε < 45 < 1 Elliss ε 45 1 Prbol ε > 45 > 1 Irbol ε 0 0 Con 0 un Circonfrnz di rggio in unto vvin un trsforzion di coordint: OP coincid con O X con O M Prtro Focl: in unto sgnto rrsnt un Vlor Assoluto Sviluio l 3bis]:

7 Euzion Polr C. IV Pg. 6 sin ε O ' X 4] cos δ cos ε snε cos δ cot ε cos δ cos ε O ' X 5] cos δ cos ε snε cos δ tn ε cos δ Si ossrvino i sgunti ssggi: O ' X MP OP sin ε ch confrontt con l 4] drà il vlor in 1] di: OP cos ε sin ε cos δ Prndio in considrzion il sgnto OX ch forrà un ngolo γ con l ss dll sciss (co in figur), dndo luogo ll E. di Vg: cos ε OX cos γ OM OP cos ε X v cos ε sin ε cos δ sin ε OX sin γ MX O' X sin δ sin δ Y cos ε sin ε cos δ v 6] tn γ tn ε sin δ tn γ (oiché γ < δ è sr < 1) tn δ Svilundo i vlori di X v y v si rvin doo slici ssggi: 1 X v cos δ Y cos δ sin δ v 7] L 6] ci dic ch l 7] h coordint dt dll E. Polr Clssic co in 3bis] l cui distnz è oltilict r Cotε nziché r cosδ r snδ in unto costruit dl unto O nziché dl unto O, fuoco dll figur. Considrzioni sugli ngoli.poiché bbio visto ssr O XMP r dfinizion con 0 δ 180 si dduc ch il unto X è sr intrno ll sirtt OP OM. Inftti s foss X in P o l disor di P il tringolo O PM vrbb ch l su iotnus srbb ugul l ctto MP. Pr δ90 si h X0, cioè un trsforzion di coordint r cui MP vin coincidr con O P. Pr vlori di 90 < δ 180 il unto tornrbb d ssr corso nl tringolo OO P. E iortnt notr ch, co consgunz, l ngolo γ srà corso tr 0 γ ε. Ricrc dgli ssi: ) Pr ε < 45 tnε<1 cso Elliss:

8 Euzion Polr C. IV Pg. 7 r δ 90 cosδ 0 dll figur vdio O P d usto stsso citolo sio FA O' P' ( 1 ) uindi c b) Pr ε > 45 tnε>1 cso Irbol: r δ 90 cosδ 0 nlognt ll Elliss vro: c c) Pr ε 45 tnε1 cso Prbol. r δ 90 cosδ 0 d è ccttto ulunu vlor d) Pr ε 0 cso Circonfrnz nll trsforzion dll coordint divnt il rggio ntr dv ssr 1/cosδ Cntrtur dll figur. Nl cso si utilizzi co E. Polr il cso 7],cioè l coordint X v Y v,l figur risult sostt ristto ll origin, s si volss cntrrl, bisogn sottrrr ll sciss il vlor ( solo r Crchio, Elliss; 1 Irbol). Dll 7] si ottngono i vrtici con δ0 vro con 1 δ X 180 O X 90 O X v