Laboratorio di Algoritmi e Strutture Dati Ingegneria e Scienze Informatiche - Cesena A.A

Transcript

1 Inggnri Sinz Informtih - Csn A.A. 3- iln@s.unio.it, pitro.iln@unio.it

2 : psuooi Clol il osto l mmino minimo un vrti sorgnt s tutti i rstnti vrtii nl grfo. Clol un lro i oprtur i mmini minimi (shortst pth tr) on ri s. I psi gli rhi possono ssr ngtivi. Può ssr utilizzto pr trminr s il grfo ontin un ilo on pso ngtivo. In tl so, non sist uno shortst pth tr l lgoritmo trmin on FALSE. In so ontrrio, trmin on TRUE i punttori nl vttor p[] prmttono i riostruir l lro i oprtur. I: pr V itrzioni visit tutti gli rhi (u, v) in E ppli l Rlx(u, v). Costo omputzionl: O( V E )

3 : psuooi Inizilizzzion on sorgnt. []= p[]=nil []= p[]=nil []= p[]=nil 3 []= p[]=nil []= p[]=nil

4 : psuooi Roun, ro (, ). []= p[]=nil []= p[]=nil []= p[]=nil 3 []= p[]=nil []= p[]=nil

5 : psuooi Roun, ro (, ). []= p[]=nil []= p[]=nil []= p[]=nil 3 []= p[]=nil []= p[]=nil

6 : psuooi Roun, ro (, ). []= p[]=nil []= p[]=nil []= p[]=nil 3 []= p[]=nil []= p[]=nil

7 : psuooi Roun, ro (, ). []= p[]=nil []= p[]=nil []= p[]=nil 3 []= p[]=nil []= p[]=

8 : psuooi Roun, ro (, ). []= p[]=nil []= p[]=nil []= p[]=nil 3 []= p[]=nil []= p[]=

9 : psuooi Roun, ro (, ). []= p[]=nil []= p[]=nil []= p[]= 3 []= p[]=nil []= p[]=

10 : psuooi Roun, ro (, ). []= p[]=5 []= p[]=nil []= p[]= 3 []= p[]=nil []= p[]=

11 : psuooi Roun, ro (, ). []= p[]=5 []=6 p[]= []= p[]= 3 []= p[]=nil []= p[]=

12 : psuooi Fin roun. Non i sono ultriori moifih pr i roun,.., 5. []= p[]=5 []=6 p[]= []= p[]= 3 []= p[]=nil []= p[]=

13 : psuooi Shortst pth tr sorgnt. []= p[]=nil []= p[]= []= p[]= []= p[]=6 []= p[]=5

14 : psuooi : psuooi : funtion BllmnFor(G, s) : InitSinglSour(G, s) 3: for i to VrtxSiz(G) o : for h g (u, v) in G o 5: Rlx(u, v) 6: n for 7: n for 8: for h g (u, v) in G o 9: if [v] > [u] + w(u, v) thn : rturn FALSE : n if : n for 3: rturn TRUE : n funtion : prour InitSinglSour(G, s) : for h vrtx v in G o 3: [v] : p[v] NIL 5: n for 6: [s] 7: n prour : prour Rlx(u, v) : if [v] > [u] + w(u, v) thn 3: [v] [u] + w(u, v) : p[v] u 5: n if 6: n prour Qul implmntzion è mggiormnt ffiint: on list o mtrii i inz?

15 Soisfiilità ooln: finizioni Soisfiilità ooln SAT SAT: smpio SAT: psuooi Un formul norml ongiuntiv (CNF) è un ongiunzion i lusol, ov l lusol sono un isgiunzion i lttrli (vriili ooln). Ex. x, y, z vriili ooln Φ = (x y z) ( x z) x y z () Un CNF l ui lusol ino k vriili vin himt kcnf. Ex. CNF Φ = (x y) (x z) ( x z) (y z) () Un CNF si i soisfiil s sist un ssgnmnto ll vriili h l rn vr. Ex. L formul Φ in Eq. () non è soisfiil L formul Φ in Eq. () è soisfiil pr x =, y =, z = ( =FALSE, =TRUE)

16 Soisfiilità ooln: prolm Soisfiilità ooln SAT SAT: smpio SAT: psuooi Prolm (SAT). Dt in input un formul ooln Φ in CNF, trminr s Φ è soisfiil. Prolm (ksat). Dt in input un formul ooln Φ in kcnf, trminr s Φ è soisfiil. Complssità omputzionl: SAT è un prolm NP-omplto ksat è un prolm NP-omplto pr k 3 SAT è un prolm risolviil in tmpo polinomil

17 SAT Algoritmi vnzti su grfi: mmini minimi sorgnt singol Soisfiilità ooln SAT SAT: smpio SAT: psuooi I pr SAT. Costruimo il grfo ll implizioni G(Φ) pr l formul Φ. Vrifihimo h nssun omponnt fortmnt onnss i G(Φ) ontng un oppi i vrtii x, x (ov x è un vriil ooln nll formul Φ) Costruzion l grfo ll implizioni pr SAT. E vrifit l sgunt proprità pr un lusol (x y) : s (x y) è vr llor x = y y Costruimo il grfo G(F ) nl sgunt moo: = x pr ogni vriil x in Φ, il grfo G(Φ) ontin i vrtii x x pr ogni lusol (x y) in Φ, il grfo G(Φ) ontin gli rhi x y y x. Lmm S il grfo G(Φ) ontin un prorso x x... x n x n llor ontin nh il prorso x n x n... x x. Proof. E suffiint notr h s sist in G(Φ) un ro x i x j llor, pr finizion, sist in Φ un lusol ( x i x j ) quini sist in G(Φ) nh l ro x j x i.

18 SAT Algoritmi vnzti su grfi: mmini minimi sorgnt singol Soisfiilità ooln SAT SAT: smpio SAT: psuooi Thorm Un formul Φ in CNF non è soisfiil s solo s sist un lttrl x in Φ tl h: sist in G(Φ) un mmino x x, sist in G(Φ) un mmino x x. Proof. Pr ipotsi in G(Φ) sistono u mmini x... x x.. x. S x =TRUE tru llor l tn i implizioni x.. x i port vr x =TRUE. Simmtrimnt, s x =TRUE ottnimo x=true. In ntrmi in si, imo un ontrizion quini x non può ssr nè TRUE nè FALSE. Pr ipotsi G(Φ) non è soisfiil. Assumimo pr ssuro h pr ogni lttrl x non sist un mmino x x oppur x x. Esguimo il sgunt lgoritmo (trsurno luni ttgli i onsistnz): Sglimo un x non nor visitto pr ui non sist un prorso vrso x. Assgnmo TRUE x tutti i vrtii rggiungiili x. 3 Assgnmo FALSE l prorso omplmntr/ngto h sist pr il Lmm prnt. Riptimo fino quno tutti i vrtii sono stti ssgnti. Qusto lgoritmo prou un ssgnmnto h soisf Φ, ontrino l ipotsi.

19 SAT: smpio Soisfiilità ooln SAT SAT: smpio SAT: psuooi Consirimo l sgunt formul in CNF. Φ = (x y) (x z) ( x z) (y z) Tll i possiili ssgnmnti oolni pr l vriili x, y, z x y z FALSE TRUE FALSE FALSE FALSE TRUE FALSE TRUE Not. Pr un formul ontnnt n vriili sistono n ssgnmnti / possiili. Qunto tmpo è nssrio pr lnr tutti gli ssgnmnti possiili in un formul ontnnt n = vriili? Assumimo i vr isposizion un prossor h poss lolr/vrifir 9 ssgnmnti l sono. Elnr tutti gli ssgnmnti in un formul on n = vriili ost quini 9.3 soni 3 nni > nni ( tà ll univrso)

20 SAT: smpio Soisfiilità ooln SAT SAT: smpio SAT: psuooi Costruzion l grfo ll implizioni. Φ = (x y) (x z) ( x z) (y z) x y j x y x y y x z j x z x z z x j x z x x z x y x z j y z y z z y Notimo h: Il grfo G(Φ) ontin un prorso z z m non z z. Il grfo G(Φ) non ontin nssun prorso x x y y. Il grfo G(Φ) non possi nssun omponnt fortmnt onnss. Pr il Torm prnt, onluimo h l formul Φ è soisfiil.

21 SAT: psuooi Soisfiilità ooln SAT SAT: smpio SAT: psuooi : funtion SAT(Φ) : G ImplitionGrph(Φ) 3: for h vrtx v in G o : if thr xist pths v.. v n v... v in G thn 5: rturn FALSE 6: n if 7: n for 8: rturn TRUE 9: n funtion Com possimo vrifir l onizion sull rig utilizzno uno gli lgoritmi visti urnt il lortorio?