Euristiche per il Problema del Commesso Viaggiatore

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1 Spinz Univrsità di Rom - Diprtimnto di Inggnri Informti, Automti Gstionl Euristih pr il Problm dl Commsso Viggitor Rnto Bruni bruni@dis.unirom.it Il mtril prsntto è drivto d qullo di proff. A. Sssno C. Mnnino

2 Il Problm dl Commsso Viggitor Problm dl Commsso Viggitor (Trvling Slsmn Problm, TSP): bisogn visitr un sri di linti tornr l punto di prtnz sgundo il prorso mno ostoso Molti ltri problmi prtii hnno qust struttur (s. spostr un mhinrio h dv lvorr in tnti punti di un oggtto, pssr un vo h dv ollgr vri punti, t.) Abbimo un osto pr ogni possibil ollgmnto Il osto dl prorso è l somm di osti di ollgmnti prorsi (nll smpio = 0) 7

3 Cilo Hmiltonino di pso minimo Pr modllrlo, onsidrimo un grfo G(N,E) omplto (s non n on osti sugli rhi R E orintto h ( ) ioè n(n-)/ rhi, s orintto n h il doppio n(n-)), Un ilo hmiltonino è un ilo smpli h pss pr ogni nodo di G. Il osto dl ilo è pri ll somm di osti di suoi rhi Il problm dl ommsso viggitor (Trvlling Slsmn Problm, TSP) onsist nl trovr un ilo hmiltonino di osto minimo S il grfo è non orintto, si prl di TSP simmtrio (qullo h vdrmo in dttglio); s inv il grfo è orintto si prl di TSP simmtrio Il problm pprtin ll lss di problmi ombintori on funzion obittivo linr d ll ss di problmi diffiili (NP-hrd) In qust lzion i onntrimo su lgoritmi uristii pr il TSP simmtrio (l stnsion l so simmtrio è in molti si ovvi)

4 Il TSP è un problm di OC G(V, E) 7 Grfo G(V, E) non orintto, omplto osto ro E L insim bs è l insim dgli rhi E Un soluzion mmissibil è T E Costo di T = (T) = T 7 T = {(,), (,), (,), (,), (,)} (T) = = 0

5 Conosimo l insim bs E ={,,,n} Sppimo vrifir s un soluzion pprtin ll insim dll soluzioni mmissibili S ={F, F,,F m } (F E) S H F H è soluzion przil (può divntr mmissibil ggiungndo lmnti) Costo di un soluzion przil H = ( H ) = ( ) Id bs Algoritmo Grdy (= Avido) Costruir un squnz di soluzioni przili H 0 H H H...:. prtir dll insim vuoto (soluzion przil H 0 ) b. ggiungndo, d ogni psso, l lmnto h produ l soluzion przil on il minimo osto.. rrstndosi qundo l soluzion przil orrnt è un soluzion mmissibil (o qundo pggior ggiungndo ltri lmnti, pr problmi in ui l soluzion vuot è mmissibil) H

6 Struttur Grdy Gnri H:= ; (H)=0 Q * = min {(H {k}): k H, H {k} si soluzion przil } k * = rg min {(H {k}): k H, H {k} si soluzion przil } H S Qust struttur v dttt (modifindol) i vri tipi di problmi h dobbimo ffrontr Q * > (H) SI NO H:=H {k * } STOP H soluzion grdy

7 Struttur Grdy pr il TSP H := ; (H)= 0 k * = rg min {(H {k}): k H, H {k} si stndibil un ilo hmilt. H :=H {k * } H ilo hmiltonino NO SI STOP H soluzion grdy

8 7 (T) = Esmpio Applizion Grdy l TSP

9 Ossrvzioni sul Grdy È un uristi ostruttiv (ostruis un soluzion) Qundo un lmnto è stto slto non vin più bbndonto Ciò rnd l lgoritmo vlo, m l slt dgli lmnti più onvninti sul momnto può obbligr in sguito dovr prndr lmnti poo onvninti (nll smpio visto, ll fin si è obbligti prndr l ro h ost, ioè il più ostoso dl grfo) Prtnto, l soluzion trovt nl so dl problm dl Commsso Viggitor può ssr nh molto sdnt

10 Algoritmo di Rir Lol (Lol Srh) L soluzioni mmissibili formno un insim S={F, F,, F m } (F i Ε ) Pr ogni soluzion mmissibil F posso llor dfinir un intorno N(F ) S (l insim dll sol. mmiss. simili F ) Id bs N(T 0 ) N(T ) T 0 T T T N(T ) Costruir un squnz di soluzioni mmissibili T 0,T, T, T...:. prtir d un soluzion mmissibil T 0 b. individundo, l psso k, l soluzion di minimo osto T k pprtnnt ll intorno N(T k- ) dll soluzion orrnt T k-. rrstndosi qundo ogni soluzion pprtnnt ll intorno N(T k- ) h un vlor dll funzion obittivo pggior (mggior) di (T k- ) ovvro (T k- ) < (T k )

11 Sistmi di Intorni Esmpi di intorni N(F )={F, F } N(F )={F, F } N(F )={F, F, F } N(F )={F } Srv un sistm di intorni, ioè un ritrio pr vr ogni volt l intorno dll soluzion. N sistono vri: I ={N (F i ): F i S } Sistm di Intorni ins F F F F F N + (F i ) F= F i k : k F i, F S F N - (F i ) F=F i k : k F i, F S Intorno grdy Intorno rvrs grdy F N s (F i ) F i {k } { j } : k F i, j F i, F S Intorno di smbio F N s (F i ) F i {h,k } { j,i } : h,k F i, j,i F i, F S Intorno -smbio

12 Minimi Loli Minimi Globli F * minimo globl (F * ) < (F) pr ogni F S F * minimo lol (F * ) < (F) pr ogni F N (F * )} minimi loli y =f(x) minimo globl x N ε (x ) = {x: x -x < ε} L lgoritmo di rir lol individu un minimo lol

13 Struttur Rir Lol T S Q * = min {(T ): T N(T)} T NUOVO = rgmin {(T ): T N(T)} Q * >(T) NO T := T NUOVO SI STOP T minimo lol

14 7 7 (T) = (T ) = (T ) = (T ) =9 T T T Intorno -smbio (/)

15 7 (T) = 7 (T ) =9 (T ) =0 L miglior soluzion in N(T) è T (o nh T, sono quivlnti ) T T Intorno -smbio (/) Non i sono ltri modi di fr -smbio: ho gnrto tutto N(T)

16 Ossrvzioni sull Rir Lol È un uristi migliortiv (h bisogno di un soluzion di prtnz) Pr qusto vin spsso sguit dopo un Grdy S l intorno è ostituito d pohi lmnti, gnrrlo d sminrlo è vlo, m l probbilità di ottnr migliormnti sono bss. Al ontrrio, s l intorno è ostituito d molti lmnti, l probbilità di ottnr migliormnti sono più lt, m gnrrlo d sminrlo potrbb ssr ostoso Srbb onvnint riusir d usr intorni vsti m di rpid soluzion!

17 Rir Lol on Intorni Esponnzili A ogni itrzion dll lgoritmo di LS vin risolto un problm di ottimizzzion lol: min {(T ): T N(T)} Il problm di ottimizzzion lol è nlogo l problm originl, m l insim dll soluzioni mmissibili (intorno) è più piolo Ngli smpi visti finor, l soluzion dl problm lol può ssr ottnut ffiintmnt numrndo l soluzioni mmissibili (poh) Id ltrntiv: dfinizion di un intorno grnd m tl h il problm di ottimizzzion lol si risolvibil ffiintmnt Qusto tipo di LS è himt Rir Lol on intorni sponnzili. Considrimo il so dll intorno dtto ASSIGN pr il TSP. Pr risolvr il problm di ottimizzzion ssoito, dobbimo introdurr il problm dl mthing in grfi biprtiti.

18 Mthing su grfi biprtiti Grfo biprtito omplto: H (Z,A): Z = U W A = {(u,w): u U, w W} Psi p uw pr ogni uw A H (Z,A) Mthing: sottoinsim M A di rhi indipndnti (nint nodi in omun) uw, ij M, uw ij u i, u j, w i, w j Pso Mthing M : P(M )= P(M )= p ( M ) = p( ) M

19 Mthing prftto di pso minimo H (Z,A) P(M )= 8 H (Z,A), Z = U W, U = W Mthing prftto M di H: M = Z/ = U = W Problm Mthing Prftto: trov un mthing prftto di pso minimo Il problm dl Mthing Prftto di pso (osto) minimo vin ridotto problm di flusso osto minimo (problm fil) su un grfo orintto pitto H H è ostruito prtir d H orintndo gli rhi d U W

20 Trsformzion in Flusso Costo Minimo Costruzion H = (Z,A ), on pità osti p. Orint gli rhi d U W: A = {(u,w): u U, w W}. Assoi pità unitri = ogni A. Poni d u = - pr ogni u U. Poni d w = pr ogni w W. H = (Z,A ) Ogni Mthing Prftto orrispond un flusso intro (0-) vivrs. Il flusso osto minimo (on osti p) orrispond l mthing prftto di pso minimo Il problm di flusso osto minimo può ssr risolto ffiintmnt.

21 Mthing Assgnmnto Il problm dl mthing prftto può ssr intrprtto om problm di ssgnmnto. Dti du insimi di lmnti U W di ugul rdinlità Dto un osto p uw di ssgnr l lmnto u U ll lmnto w W. Assgnr ogni lmnto di U d un lmnto di W in modo d minimizzr il osto omplssivo di ssgnmnto. Equivlnt l problm di mthing prftto nl grfo biprtito omplto non orintto H (U W,A) on psi p uw pr ogni uw A

22 Ogni Cilo Hmiltonino orrispond un prmutzion (non uni) di vrtii, ogni prmutzion orrispond un ilo Hmiltonino (unio) b d f b d f b d f b d f (, b,, d,, f) (, b,,, d, f) Fissto il primo lmnto nll prmutzion (s. ), ogni ltro lmnto oup univomnt un posizion pri oppur dispri G(V,E) T Cili Hmiltonini Prmutzioni

23 Dto un ilo hmiltonimo T dfinimo intorno ASSIGN di T (indito on N A (T )) om: (, b,, d,, f) N A (T ) = {insim di ili hmiltonini ottnuti d T riposizionndo in tutti i modi possibili i nodi in posizioni pri} b d f b d f b f d b d f (, b,, f,, d) d f b b d f (, d,, f,, b) T Intorno dll Prmutzioni

24 f N A (T ) = {insim di ili hmiltonini ottnuti d T riposizionndo in tutti i modi possibili i nodi in posizioni pri}? Crdinlià dll Intorno Prmutzioni d? b? f T d b T = {v, v, v, v,, v n } U= {v, v,, v n/ } Nodi libri {,,, n/ } Posizioni libr I modi divrsi di ssgnr i nodi libri ll posizioni libr sono il numro di prmutzioni di n/ lmnti, h sono n/! N A (T ) rs sponnzilmnt on n

25 Dt un posizion pri, i du nodi dinti (posizioni dispri) sono noti. Esmpio: l posizion è dint l nodo l nodo Indihimo on p vi il osto di insrimnto di un nodo libro v in un posizion libr i. Qunto ost insrir il nodo b in posizion? p b = b + b = + = 7 Qunto ost insrir il nodo d in posizion?? p d = d + d = 7 + =? Costo di insrimnto di un nodo b 7 d Qunto ost insrir il nodo b in posizion? p b = b + db = + = f?? d? 7? b 7 b

26 Ottimizzzion nll Intorno Si U l insim di nodi libri (qulli in posizion pri) di T Si W l insim dll posizioni pri di T. Pr ogni v U ogni i W lolimo il osto p vi di ssgnr il nodo v ll posizion i : si u il nodo in posizion i- z il nodo in posizion i+ (mod V ), llor p vi = uv + vz. Trovr l soluzion ottim in N A (T ) quivl risolvr il sgunt Problm: ssgnr ogni nodo v U d sttmnt un posizion i W in modo d minimizzr il osto omplssivo dll ssgnmnto Equivlnt l problm di mthing prftto sul grfo biprtito omplto H (U W,A) on psi p uw pr ogni uw A

27 G(V,E) 7 f 7 d b 7 b d f M * = {b, d, f} p(m * ) = 9 f Esmpio Considrimo il ilo Hmiltonino {,b,,d,,f} (sol. mmissibil) T d b Nodi libri U= {b, d, f} Posizioni W= {,, } Costo (T) = L miglior soluzion dll intorno Prmutzion è dt risolvndo il sgunt problm di mthing prftto, ioè il flusso osto minimo Qust ssgnzion orrispond ll sol.: b f T * d Costo (T * ) = 9

28 Qulità di un lgoritmo uristio Gli lgoritmi uristii rno buon soluzioni mmissibili pr un problm di ottimizzzion (Q) : min {(F): F S } = v(q) Com dfinir l qulità dll soluzion prodott d un lgoritmo? In luni si non si può grntir null (l soluzion potrbb ssr molto sdnt), in ltri i possono dr dll grnzi priori (s. l ottimo o ntro un rt distnz dll ottimo) Si A un lgoritmo pr (Q) h produ l soluzion F S Diimo h A è un lgoritmo h grntis un pprossimzion α (l lgoritmo A è α -pprossimto) s (F) α v(q) Illustrrmo un lgoritmo -pprossimto pr il TSP mtrio (ioè l soluzion fornit vl non più dl doppio dll soluzion ottim)

29 TSP mtrio Dto un grfo G(V,E) non orintto, omplto on osti ssoiti gli rhi, s uv 0 pr ogni ro uv E uv = 0 s [s solo s] u = v è tl h pr ogni tripl di nodi distinti u, v, z, si h h uv uz + zv (disuguglinz tringolr) llor indu un smimtri [un mtri] u uv uz v z zv Trovr il ilo Hmiltonino di osto minimo in G(V,E) on vttor di osti (smi)mtri

30 Mtrih indott d norm Un lss molto importnt di mtrih è qull dll mtrih indott dll vri norm p : d p (i, j) = i - j p = ( i k - j k p ) /p S p= distnz di Mnhttn d (i, j) = i k - j k m k= S p= distnz Eulid d (i, j) = ( i k - j k ) / S p= distnz di Chbyshv d (i, j) = mx k { i k - j k } m k = m k =

31 Cili Eulrini Pr dsrivr l uristi -pprossimt di Christofids pr il TSP mtrio dobbimo introdurr il ontto di ilo urlino Dto un (multi)grfo non orintto, si dfinis Cilo Eurlino un wlk hiuso h pss sttmnt un volt pr ogni ro. Torm di Eulro. Un (multi)grfo mmtt un ilo urlrino s solo s è onnsso ogni nodo h grdo pri. Un (multi) grfo onnsso on ogni nodo di grdo pri è dtto grfo ulrino.

32 Albro Rioprnt di pso minimo Problm dll lbro rioprnt di pso minimo (Minimum Spnning Tr, MST): dobbimo rggiungr un rto insim di linti ffttundo i ollgmnti mno ostosi Dfinito su un grfo G=(V,E) non orintto onnsso on osti i ssoiti gli rhi È un problm di OC, l insim bs è E Un soluzion mmissibil S è un lbro rioprnt (lbro h rggiung tutti i nodi) Σ i i T k L funzion di osto è (nll smpio 0)

33 Si risolv ll ottimo ol Grdy Prtiolrizzzion dl Grdy: lgoritmo di Kruskl Ordino gli rhi in ordin di osto rsnt Ad ogni itrzion si sgli un ro, s non gnr ili on qulli già slzionti vin ggiunto ll soluzion Trmin qundo ho ollgto tutti i nodi ( quindi ho V - rhi) Slgo nll ordin (,) (,) (,) (,) ho rhi: stop (S) = 0 il MST h un prtiolr struttur mtmti dtt di mtroid psto. In tli si il mtodo grdy grntis l ottimo Esistono ltri problmi on qust simpti rttristi

34 Algoritmo di Christofids Grfo G(V,E) non orintto, omplto, on osti dti d un smimtri L lgoritmo di Christofids trov un ilo hmiltonino di osto l più doppio risptto l ilo di osto minimo L lgoritmo di Christofids. Trov il minimo lbro rioprnt T di G (fil!). Rddoppi ogni ro di T ottnnndo un grfo ulrino. Costruisi un ilo ulrino E di qusto grfo (fil!). Sgli un nodo inizil u in E visit E prtir d u. Costruisi un prmutzion π di nodi V squnzindo i nodi nll ordin dll loro prim pprizion in E nll visit. Rstituisi il ilo hmiltonino H ssoito π

35 . Trov il minimo lbro rioprnt T di G. G(V,E) T Esmpio / Pr qusto problm l lgoritmo grdy grntis l ottimo: bst sglir gli rhi in ordin di osto rsnt m sltndo qulli h hiudono ili

36 E. Rddoppi ogni ro di T ottnndo un grfo ulrino Esmpio /. Costruisi un ilo ulrino E dl grfo ulrino Bst prorrr uno dopo l ltro tutti i ili ottnuti di rmi dll lbro. Sgli nodo inizil u in E visite prtir d u. Costruisi un prmutzion π di nodi V squnzindo i nodi nll ordin dll loro prim pprizion in E nll visit Squnz di visit di E : (,,,,,,, ) Prmutzion ssoit π = (,,,, ) E

37 Esmpio /. Cilo hmiltonino H ssoito π = (,,,, ) H è ottnuto d E sostitundo mmini on rhi Poihé soddisf l disuguglinz tringolr, sltndo di nodi sguo dll soritoi. Allor (H ) (E)

38 Vlor dll soluzion trovt Th. Si H * il ilo hmiltonino di osto minimo, si T * l lbro rioprnt di G di osto minimo. Allor (H * ) (T * ) P Si P il mmino smpli ottnuto d H * rimuovndo un ro. Allor P è un lbro (H * ) (P) (osti non ngtivi) P ontin tutti i nodi di G P è un lbro rioprnt P lbro rioprnt, T * lbro rioprnt osto minimo (P) (T * ) (H * ) (P) (H * ) (T * )

39 Vlor dll soluzion trovt Th. Si H * il ilo hmiltonino di osto minimo, si H il ilo ritornto dll lgoritmo di Christofids. Allor (H) (H * ) E ottnuto dll lbro rioprnt di osto minimo T * rddoppindo gli rhi (E) = (T * ) H ottnuto dl ilo ulrino E vntulmnt sltndo nodi (quindi fndo soritoi) (H) (E) = (T * ) Dl Torm prdnt (T * ) (H * ) (H) (T * ) (H * )