Corso di Modellistica dei Sistemi Biologici A.A. 2008/09. Cinetiche di Reazione

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1 Coro di Modlliti di Sitmi Biologii A.A. 8/9 Cintih di Rzion Dont: ing. Crlo Contino Lb. di Biomtroni E-mil: Tl: URL: Univrità dgli Studi Mgn Græi di Ctnzro I nno II mtr CdL piliti in Inggnri Biomdi Coro di Modlliti di Sitmi Biologii Ing. C. Contino A.A. 8/9

2 Equilibrio Vloità di Rzion L quilibrio è lgto ll vrizion di nrgi biohimi libr tndrd, G L vloità dll rzion, inv, è dtrmint dll nrgi di ttivzion, GS P

3 Equilibrio di Rzion Si onidri l mpli rzion rvribil E può r dritt dl itm di q. [ S] d dt d dt [ P] [ S] [ P] [ S] [ P] S P S P Dll trmodinmi, i h h l otnt di quilibrio G RT ln K q K q R (otnt di g) 8.5 J/mol K T (tmprtur olut) 98 K (5 C) [ P] [ S]

4 Vloità di Rzion L vloità dll rzion è dtrmint d onntrzion di ingoli rgnti un otnt inti, in gnr indit on Ad. l rzion S l vloità di rzion è Dll tori dllo tto di trnizion i h T G RT h dov h ono l otnt di Boltzmnn Pln ripttivmnt P V [ S] 4

5 Cinti Enzimti Gli nzimi ono un tipologi di protin pilizzt nll tlii dll rzioni I tlizztori non rgiono, m fvoriono l rzion diminundo l ogli di nrgi nri ll formzion dl prodotto Nl o dgli nzimi quto vvin trmit l formzion di un ompoto nzim-ubtrto, d ui poi il ubtrto vin trformto nl prodotto finl dll rzion 5

6 Ruolo dgli Enzimi Gli nzimi giono un ruolo hiv in tutti i proi biologii Ei hnno un ruolo importnt nll rgolzion dll vi mtbolih Molt mltti ono ut dll rnz o olut mnnz di nzimi Molti frmi giono intrgndo on gli nzimi 6

7 Enzimi: Funzionmnto L rzioni tlizzt d nzimi vvngono in un n himt ito ttivo in ui i formno ondizioni fvorvoli ll rzion L molol h i lg l ito ttivo vin himt ubtrto L uprfii dl ito ttivo vin dlint d mminoidi i ui ridui lgno il ubtrto n tlizzno l trformzion 7

8 Rzion di Mihli-Mntn Il modllo b di rzion nzimti è tto propoto d Mihli Mntn nl 9 dov, -, ono otnti poitiv oit i ti di rzion L lgg di zion di m i di h il to di rzion è proporzionl l prodotto dll onntrzion di rgnti A B C [ C] d dt [ A][ B] L. Mihli ( ) M. Mntn (879-96) 8

9 Rzion di Mihli-Mntn Dll rzion rivimo il gunt modllo, ( ) ( ), p dov bbimo indito l onntrzioni dll vri pi om : [ S], : [ E], : [ ES], p : [ P] l ondizioni inizili ono (), (), (), p() Si noti h l q. di p è dioppit dll ltr forni p ( t) ( τ ) t dτ 9

10 Modllo Smplifito L quntità totl di nzim, libro più lgto, rimn invrit nl tmpo, om i può vdr nh ommndo l ond trz q. ( t) ( t) pr ui poimo drivr (t) otituir, ottnndo il itm mplifito in du quzioni ( ) ( ), ( ), ( )

11 Modllo Smplifito Tipimnt l formzion inizil dl omplo ES è molto vlo, dopodihè rimn ll quilibrio Ciò i trdu nll umr d/dt, d ui ( t) dov l otnt poitiv ( ) t ( t) Km Km K m è dtt otnt di Mihli-Mntn

12 Approimzion di Pudo-Rgim L quntità di nzim i um tipimnt piol riptto qull di ubtrto, pr ui qut ultim rimn prohé invrit durnt l formzion dl omplo () Dll q. di ottnimo l oluzion impliit ( t) K ln ( ) m t Km ln Si noti h l q. di (t) non oddif l ond. iniz. (), m l pproimzion vl in molti i Eitono du l tmporli, un orripondnt ll formzion dl omplo, l ltr rltiv ll trformzion dl ubtrto

13 Vlidità dll Approimzion Pr tbilir il rng di vlidità dl modllo pproimto dobbimo ripondr divr domnd Qunto è vlo il trnitorio inizil? Pr quli vlori di prmtri ono uffiinti l pproimzioni di pudo-rgim? Co d l onntrzion di nzim non è ffttivmnt piol riptto qull di ubtrto?

14 4 Adimnionlizzzion Pr ripondr ll domnd prdnti dobbimo innnzitutto dimnionlizzr il itm, mdint l trformzioni Ch è un lt rgionvol ε <<, oi qundo l nzim è prnt in quntità molto minor dl ubtrto ( ) ( ) ( ) ( ),,,,, K K t v t u t m ε λ τ τ τ

15 Adimnionlizzzion Utilizzndo l trformzioni prdnti ottnimo il itm u ε v i noti h K-λ> u Non è poibil rivr un oluzion nliti, m i può bbozzr l ndmnto tudindo il gno dll drivt l vrir di u u ( u K λ) v, u( ) ( u K ) v, v( ) 5

16 Stim dl Trnitorio Sfruttndo il ftto h non vri pprzzbilmnt durnt il trnitorio inizil i può vlutr l durt di quto dll q. di ( Km ) L otnt di tmpo oit quto itm dl primo ordin è ( K ) Un tim dll durt dll dinmi di i ottin onidrndo l drivt mim t t d dt mx m K m 6

17 Stim dl Trnitorio Sull b dll tim ffttut, l ondizion h il trnitorio inizil i molto vlo riptto ll dinmi dll trformzion dl ubtrto, oi t <<t i ririv ( K ) m << Un ltr ondizion pr l vlidità dll pproimzion è h l dplzion di S durnt il trnitorio inizil i un frzion trurbil dl totl, oi / << ε L ondizion prdnt i ottin onidrndo un tim pr o di d/dt, drivbil dll q. nl modllo dl ordin (v. luido ) K m << d dt mx t ( K ) m 7

18 Condizion di Pudo-Rgim Si noti, tuttvi, h il primo vinolo i può ririvr om << ( K ) K ( ) ( ) m m Il ondo vinolo riult, prtnto, più tringnt può r onidrto om ondizion di vlidità dll pproimzion di pudorgim Si noti inoltr h, nh / O(), l pproimzion rimn vlid K m è grnd 8

19 Prmtri Sprimntli Nll prti primntl i miurno du prmtri L otnt di Mihli-Mntn L vloità mim di rzion Q [ R ] mx R K Q m K m 9

20 Subtrto Suiid Un proo nzimtio di prtiolr importnz è qullo dritto dl modllo di Wlh (978) dov E, S, P ono ripttivmnt nzim, ubtrto prodotto, X, Y ono prodotti intrmdi, E i è l nzim inttivto l ono otnti poitiv Il rpporto r:/4 è himto offiint di prtizion

21 Subtrto Suiid S vin dtto ubtrto uiid d è p di lgri l ito ttivo dll nzim om un omun ubtrto L nzim lo onvrt in un inibitor h inttiv in mnir irrvribil l nzim to I ubtrti uiidi ono importnti prhé forniono un mtodo pr inttivr uno pifio nzim L uo prinipl è nll omminitrzion di frmi, prhé non ono dnnoi nll form omun olo l nzim pifio li può onvrtir nll form inibitori (d. trttmnto dll dprion, pili, luni tumori)

22 Subtrto Suiid L inti di ubtrti uiidi è tt tudit fondo d Wly (98) Ttunmi (98) Quti tudi i onntrno ul mnimo h prmtt o mno l ubtrto di r intrmnt trformto prim h tutto l nzim i inttivto Wly h onluo h quto dipnd dl vlor r Ttunmi h propoto om indi il vlor ( r) ( r) < ( r) > Tutto l nzim è inttivto Il ubtrto vin trformto intrmnt

23 Equzioni Cintih Applindo l lgg di zion di m () () () (), (), ) ( 4 4 p y x y p y y y x y x x x y x x i i

24 4 Modllo Ridotto Anh in quto o i può fruttr l onrvzion dll quntità totl di nzim il ftto h l q. di p è dioppit dll ltr Studirmo il itm riolvndo numrimnt l q. y x i ( ) ( ) ( ) ( ) y y x y x y x x x y x i i i 4 4

25 Fnomni Cooprtivi Nl modllo b bbimo uppoto h un molol di nzim i ombini on un ol di ubtrto Molt protin hnno più di un ito di lgm, d. l moglobin h quttro iti pr l molol di oigno Un rzion tr un nzim un ubtrto i di ooprtiv un ingol molol di nzim, dopo vr lgto un molol di ubtrto d un ito, può lgrn un ltr d un ltro ito 5

26 Efftto Allotrio Un tipologi di rzion ooprtiv molto importnt i h qundo il lgm di un ubtrto d un ito può influnzr il lgm di ltri ubtrti d ltri iti (nzim llotrio) Un ubtrto vin dtto ttivtor o inibitor ond h umnti o diminui l ttività di lgm in ltri iti S l pi ubtrto fung nh d modultor l intrzion i di omotropi, ltrimnti trotropi 6

27 Empio di Rzion Cooprtiv Conidrimo or un mpli mpio di rzion ooprtiv in ui un nzim h du iti di lgm Clolimo l pproimzion pudo-rgim l funzion di trformzion dl ubtrto 7

28 8 Equzioni Cintih Applindo l lgg dll zion di m ottnimo L onrvzion dll nzim forni ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),, p p

29 9 Modllo Ridotto Anlogmnt i i prdnti trovimo il modllo ridotto dimnionlizzimo undo l rlzioni ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,,,,,,,,, v v u t ε τ

30 Modllo Adimnionl Sotitundo ottnimo Com ni i prdnti è poibil onidrr rgim l q. rltiv v v, rivr qut quntità in funzion di u otituir nll prim q., ottnndo ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), v v u v uv v v u v u u u v v u v u u u u ε ε ( ) ( ) ( ) < u r u u u u u

31 Vloità Mim di Rzion Riportndo in formto dimnionl trovimo l vloità di rzion di Mihli-Mntn pr / << dov ono l otnti di Mihli-Mntn dll du rzioni ( ) 4 K K K K dt d R m m m m t 4, K K m m

32 Curv di Hill L urv riultnt può diffrir d qull di un rzion b, om motrto in figur Ad., pr i vd ubito h In quto o l ndmnto vin pproimto on un urv di Hill R Q n > n n Km ( ), n R

33 Curv di Hill Si noti h il numro n non è nrimnt intro, inoltr i dfiniono i gunti i n> ooprzion poitiv n< ooprzion ngtiv n ooprzion null All t rlzion (m on n intro) i rriv onidrndo un modllo di nzim h lg ontmpornmnt n molol ubtrto, oi EnS EnP

34 Autotlii Molti proi biologii hnno un mnimo inito di rgolzion mdint rtrozion (fdb) In prti l rgolzion i b ul ftto h il prodotto di un rzion può influnzr l tori futur dl proo L fftto di rgolzion è gnrlmnt nonlinr può r i di ttivzion h di inibizion ni onfronti dll rzion In prtiolr l utotlii è il proo pr ui un pi vin utilizzt nll rzion h l produ, d. 4

35 Empi di Autotlii S l onntrzion dll pi A vin mntnut otntmnt l livllo, poimo rivr x x ( t) x x xs Il itm h du punti di quilibrio, x intbil xx S tbil L rtrozion è fornit dl prodotto to, h inibi l formzion di ultrior prodotto: l intnità dll zion inibnt r on il qudrto dll onntrzion Il mnimo è nlogo qullo tudito nll popolzioni monopi 5

36 Empi di Autotlii Si onidri l rzion i uppong h b vngno mntnuti otnti x ( b) x x Il itm h un biforzion qundo - b, inftti - b> L origin è un p. di quilibrio intbil, inftti il to di produzion è mggior di qullo di trformzion - b< L origin è un p. di quilibrio tbil, inftti il to di produzion è minor di qullo di trformzion 6

37 Empi di Autotlii Un ultrior mpio di utotlii è il modllo di oilltor biologio idl propoto d Lot dov l onntrzion di A è mntnut otnt Si noti h l prim du rzioni ono utotlitih Applindo l lgg dll zion di m riottnimo l quzioni di Lot-Voltrr x x xy y xy y 7

38 Grfio di Linwvr-Bur Il grfio di L-B, dtto nh di doppi riproi, i riv invrtndo mbo i mmbri dll q. dll vloità di rzion Km V V mx [ S] [ S] V K V m mx[ S] Vmx 8

39 Rzion Uni-Uni Rzion nzimti unirtnt-unirtnt [ P] d dt V K f M f m E S ES EP 5 E M [ S] [ P] [ S] [ P] K f m V K r r m K r m f r [ P] q VM K r f [ S] V K K q q M M M Rlzion di Hldn 4 6 P 9

40 4 Rzion Bi-Bi Rzioni nzimtih bi-ubtrt Ordrd Bi-Bi [ ] [ ][ ] [ ] [ ] mx S K S K S S K K V dt P d S m S m S m S

41 Rzion Ping-Pong Bi-Bi In quto o non vvin l formzion di omplo trnrio [ P] d dt K S m [ S ] [ S ] V mx S Km N.B. Riptto l o prdnt è un prmtro in mno 4

42 Bi-Bi v Ping-Pong L ndmnto nl tmpo è imil L diffrnz i vin dl omportmnto l vrir dll onntrzion di S Bi-Bi Ordint Ping-Pong 4

43 Inibizion Enzimti Inibizion Rvribil Comptitiv Mit (non omptitiv) Inomptitiv Inibizion Irrvribil.g. ubtrto uiid 4

44 Inibizion Comptitiv L inibitor d il ubtrto i lgno llo to ito [ P] Vmx[ S] α Km [ S] [ I ] [ E][ I ] K I K [ EI ] d dt α, I 44

45 Inibizion Comptitiv 45

46 Inibizion Inomptitiv Siti di lgm diffrnti L inibitor i lg olo l omplo ES [ P] Vmx[ S] K [ S] d dt α, m α [ I ] [ ES][ I ] K I K [ ESI ] I 46

47 Inibizion Inomptitiv 47

48 Siti di lgm divri Comptizion Mit L inibitor può lgri i E i ES [ P] Vmx[ S] α Km α [ S] [ I ] [ E][ I ] K I K I [ EI ] [ I ] [ ES][ I ] K I K [ ESI ] d dt α, α, I S α α l inibizion vin dtt non-omptitiv 48

49 Comptizion Mit 49

50 Dipndnz d ltri Fttori Biogn riordr h l rzioni nzimtih ono fortmnt dipndnti d ltri fttori,.g. ph tmprtur 5

51 Modlli Fnomnologii In molti i rli di intr non i ono in mnir dttglit l lit di rzioni h gnr un rto proo biologio Più rlitimnt i può rivr primntlmnt l fftto globl l vrir di un pi o dll ondizioni l ontorno In quto o non i può utilizzr l pproio vito finor, trformndo dirttmnt l rzioni in q. diffrnzili Il modllo, quindi, è otituito d opportuni trmini mtmtii h drivono i vri fnomni pur non rpprntndon i mnimi biohimii di b 5

52 Empi di Modlli Fnomnologii Si onidri il gunt modllo u u b v v du v on, b,, d, otnti poitiv L intrprtzion biologi di qut q. è h u ttiv v, ttrvro un trmin du, ntrmb u v ono dgrdt in mnir linrmnt proporzionl ll loro onntrzion (i prl in quto o di inti dl primo ordin) Il trmin /(bv) port in onto l fftto di inibizion ritto d v u u, inftti il to di produzion di u è tnto più piolo qunto mggior è l onntrzion di v 5

53 Empi di Modlli Fnomnologii Il mnimo di Thom (975) è tto viluppto pr drivr l rzion di ubtrti oigno ido urio in prnz dll nzim ur u v α u ρr( u, v) ( b v) ρr( u, v) uv u Ku (, v) R u Efftto di inibizion dl ubtrto 5

54 Empi di Modlli Fnomnologii Un ultrior modllo di itm ttivtor (u) - inibitor (v) u v bu u v ( Ku ) L ttivtor u è un prodotto utotlitio, om dritto dl trmin u /[ v(ku ) ], m il to di produzion tur l vlor /Kv pr u L inibitor v è ttivto d u, m n inibi l produzion v u 54