GT Definizione di grafo orientato e non

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Aloisio Meli
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1 Grfi - efinizioni GT. 3.- Definizione i grfo orientto e non Un grfo orientto G = (V,E) è formto ll oppi i insiemi V e E oe: V è un insieme i ertii E è un insieme i rhi: oppie orinte i ertii (u,), elementi i un relzione inri efinit su VxV Se si onsier l oppi i ertii non orint : {u,}, llor il grfo è non orientto relzione inri simmetri efinit su VxV

2 Grfo orientto - esempio G = (V, E) V = {,,,, e } E = { (,), (,), (,), (,), (,e), (e,), (e,) } ORIENTATO e 3 Grfo non orientto - esempio G = (V, E) V = {,,,, e } E = { (,), (,), (,), (,), (,e), (e,), (e,) } NON ORIENTATO e 4

3 Grfo - terminologi ertii ienti: ertii onnessi un ro gro (i un ertie): numero i ertii ienti in_egree() e out_egree() in grfo orientto mmino: sequenz i ertii,,..., k tle he ertii onseutii sono ienti mmino semplie: se tutti gli rhi e ertii sono istinti e m = <,,e,,> 5 Grfo terminologi ppio ( self loop ) ( no! ) rhi multipli ( no! ) grfo semplie ( si! ) ilo ilo semplie grfo ilio e 6 3

4 Grfo - terminologi L somm ei gri i isun ertie i un grfo non orientto è pri l oppio el numero m i rhi el grfo: uno stesso ro (u,) iene onteggito ue olte, un olt per eterminre il gro el il ertie u e un olt per eterminre il gro el ertie u (u,) in Digrph (grfo orientto): Σ in_egree() = Σ out_egree() = m se G è semplie: m < n*(n-) in Grph non orientto: se G è semplie: m < n*(n-)/ V eg( ) = m 7 Grfo - terminologi Un sottogrfo i G(V,E) èun grfo G = (V,E,E ) in ui V V è un sottinsieme ei ertii V(G) e E E è un sottinsieme egli rhi E(G) Uno spnning sugrph i G(V,E) è un sottogrfo G = (V,E ) he ontiene tutti i ertii i G sugrph spnning sugrph 8 4

5 Grfi non orientti - terminologi Grfo onnesso: ogni oppi i ertii è onness un qulhe mmino; ogni ertie è rggiungiile qulunque ltro ertie CONNESSO NON CONNESSO 9 Grfi non orientti - terminologi Componente onness in un grfo non orientto è un sottogrfo onnesso mssimo GRAFO CON 3 COMPONENTI CONNESSE 0 5

6 Grfi - terminologi Alero (liero): grfo onnesso senz ili Forest: un ollezione i leri Grfi grfo ompleto Grfo ompleto: ogni ertie è iente ogni ltro Posto n = numero i ertii, m = numero i rhi, risult: m= (/ ) eg( ) = (/ ) ( n ) = n( n ) / V V Cisuno egli n ertii è iniente n- ertii, tutti isun ro iene ontto ue olte, e periò, intuitimente, m = n(n-)/ Se un grfo è non ompleto, m < n(n-)/ in un grfo orientto semplie: m <= n(n-) 6

7 Grfi - onnettiità m -> numero rhi n -> numero ertii In un lero risult: m = n ogni ro in più introue un ilo Se m < n, il grfo è non onnesso 3 Grfi orientti- onnettiità grfo orientto fortemente onnesso isun ertie è rggiungiile tutti gli ltri g e f 4 7

8 Grfi orientti- onnettiità grfo orientto fortemente onnesso isun ertie può rggiungere tutti gli ltri omponente fortemente onness sottogrfo mssimo fortemente onnesso g h e m n f 5 Grfi spnning tree Uno spnning tree i un grfo G = (V, E) èun sottogrfo he: èun lero ontiene tutti i ertii i G ( è spnning ) GRAFO SPANNING TREE 6 8

9 Spnning Trees n Forests In generle uno spnning tree non è unio, meno he il grfo non si un lero Grph Un spnning forest i un grfo è uno spnning sugrph heèunforest Spnning forest 7 Rppresentzione i un grfo [GT 3.] A E7 C E E F E6 E E3 E4 E5 D B E8 G E9 8 9

10 Rppresentzione meinte list i rhi LISTA DI ARCHI spzio: O(n+m) E E E3 E7 E8 E9 E D B C F G A L struttur list i rhi preee un sequenz non orint i rhi e un sequenz non orint i ertii File implementre Trore gli rhi inienti un to ertie ost O(m) 9 List egli rhi: oggetti Sequenz_Vertii Sequenz_Arhi Vertie elemento riferimento ll Posizione nell sequenz ei Vertii u w z Aro elemento rif. i ertii i prtenz e i rrio rif. ll Posizione (o Entry) nell sequenz egli Arhi u w z 0 0

11 Rppresentzione on liste elle ienze E E E3 E7 E8 E9 spzio: O(n+m) E D B C F G A B E E F A B D G B D LISTE ADIACENTI G List elle ienze (fig. 3.4) List egli Arhi Sequenz Arhi inienti, per ogni ertie u w Arhi umentti on riferimenti lle Posizioni nelle Sequenz Arhi Inienti u w

12 Rppresentzione mtrie elle ienze spzio: O(n + m) Mtrie elle ienze A ogni ertie è ssoito un intero progressio 0 u w ertii Mtrie ienze : riferimento ro null 0 u w 0 0 rhi 4

13 Metoi prinipli ell ADT Grph Vertii e rhi sono posizioni ontengono informzione Metoi i esso Vertex() inienteges() enverties(e) isdirete(e) origin(e) estintion(e) opposite(, e) reajent(, w) Metoi generii numverties() numeges() erties() eges() Metoi i upte insertvertex(o) insertege(, w, o) insertdireteege(, w, o) remoevertex() remoeege(e) 5 Prestzioni n erties m eges no prllel eges no self-loops Ege List Ajeny List Ajeny Mtrix Spe n + m n + m n inienteges() m eg() n reajent (, w) insertvertex(o) m min(eg(), eg(w)) n insertege(, w, o) remoevertex() m eg() n remoeege(e) 6 3

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