SISTEMI LINEARI. perché la prima equazione ha grado 3, la seconda 5, la terza 7 ( = 105)
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- Giorgio Pizzi
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1 Autore: Enrio Mnfui - 5/4/ SISTEMI LINEARI Un sistem i equioni è un insieme i equioni i ui si vogliono lolre le soluioni omuni. un punto i vist ell teori egli insiemi questo vuol ire he se l prim equione h ome insieme i soluioni l insieme S, l seon S, l n-esim S n, l soluione S el sistem srà t ll insieme interseione ei singoli insiemi i soluioni: S S. S... Sn un punto i vist grfio le equioni si srivono un sotto ll ltr, rhiuse, sinistr, un prentesi grff. efiniione: si efinise gro i un sistem il prootto ei gri elle singole equioni. Esempi: 5 5 questo sistem i tre equioni in tre inognite (,,) h gro 5, perhé l prim equione h gro, l seon 5, l ter ( 5 5). 5 questo sistem i ue equioni in tre inognite(,,) h gro, perhé l prim equione h gro, l seon ( ) Noi stuieremo i sistemi i gro (himti nhe sistemi i primo gro o sistemi lineri) in ue inognite; i norm le inognite verrnno inite on e. Affinhé un sistem si i gro è neessrio unque he tutte le equioni el sistem sino i gro. Poihé le equioni i primo gro rppresentno, nel pino rtesino, elle rette, e poihé imo etto ll iniio he risolvere un sistem signifi trovre l interseione omune elle vrie equioni he lo ostituisono, possimo onluere he un punto i vist geometrio risolvere un sistem linere signifi trovre l eventule punto o punti i interseione elle rette. Il termine eventule verrà hirito in seguito. SISTEMI LINEARI I UE EQUAZIONI IN UE INCOGNITE efiniione: un sistem si ie in form normle se è nell form: - -
2 Autore: Enrio Mnfui - 5/4/ (ove le inognite sono e, mentre,,,,, sono oeffiienti, ioè numeri reli). Si noti ome in isun equione eve essere: prim il termine in, poi quello in, segno i ugule, termine noto l seono memro. Esempi: 4 è in form normle non è in form normle perhé nell prim equione non è l primo 4 memro. non è in form normle perhé nell seon equione il termine noto 4 è l primo memro. non è in form normle perhé nell prim equione il termine in 4 preee quello in. Per risolvere un sistem linere si possono utilire vri metoi, he si possono utilire in se ll onvenien i rpiità i lolo, m tutti equivlenti. i tli metoi ne veremo ue: il metoo i sostituione e il metoo i Crmer (himto nhe metoo ei eterminnti). Metoo i sostituione un punto i vist lgerio non i sono regole nuove, si trtt sempliemente i eseguire un serie i pssi esritti i seguito:. espliitre un inognit un elle ue equioni. sostituire il vlore ell inognit espliitt nell ltr equione. trovre il vlore ell inognit 4. risostituire tle vlore nell ltr equione e trovre il vlore ell ltr inognit. - -
3 Autore: Enrio Mnfui - 5/4/ Esempio: Prtimo l sistem in form normle e seguimo l numerione ei pssi visti sopr: 4. eiimo i espliitre l ll prim equione (in generle possono servire più pssggi lgerii): 4 4. sostituimo il vlore ell osì ottenuto (ovvero ) nell seon equione: 4. eseguimo i loli nell seon equione per trovre il vlore ell : questo punto imo trovto il vlore ell e possimo risostituire tle vlore nell prim equione per trovre l : 9 il sistem è risolto! un punto i vist geometrio l soluione el sistem rppresent le oorinte el punto i interseione elle ue rette i prten:, 9 A. Tle punto è l unio omune lle ue rette. Se fimo un ollegmento on l teori egli insiemi e immginimo le rette ome insiemi i punti, veimo he il punto in omune è proprio l interseione ei ue insiemi. i seguito è riportt l situione geometri: - -
4 Autore: Enrio Mnfui - 5/4/ Osservioni: l selt i qule inognit espliitre e qule equione è el tutto inifferente. i norm si seglie quell più file espliitre, m si riise il ftto he è el tutto inifferente, visto he ll fine le soluioni non mino. Nel momento in ui effettuimo l prim sostituione (psso.) ottenimo un equione in un sol inognit e questo è importnte perhé noi sppimo risolvere equioni in un sol inognit, mentre è più omplesso risolvere quelle in ue inognite. Quini on tle metoo ottenimo un vntggio in termini i sempliità i lolo. urnte lo svolgimento risolutivo è uon norm portrsi ietro sempre le ue equioni, nhe se si lvor per molti pssggi su un sol. Per evitre i risrivere tutte le volte l equione sull qule non si fnno i loli, è leito mettere l suo posto un freett. Se si prte un sistem non in form normle, on questo metoo non è oligtorio porlo prim in form normle, m è omunque onveniente in generle riurre l omplessità iniile, prim i operre l sostituione. Mtrii Il metoo i Crmer viene nhe himto metoo ei eterminnti. Prim i trttre tle metoo è neessrio introurre, seppur in moo non pprofonito, il onetto i mtrie e eterminnte i mtrie. Un mtrie è un tell i vlori, nel nostro so numeri, iniviuti un oppi i inii he ne stilisono l posiione ll interno ell tell stess
5 Autore: Enrio Mnfui - 5/4/ 4 Esempio: A 4 quest è un mtrie generi formt righe e 4 4 olonne (si ie per revità mtrie 4). Cisuno ei oii elementi è iniviuto un oppi i inii he ne stilisono l pprtenen rispettivmente ll rig e ll olonn. Un esempio i mtrie numeri 4 è: 4 8 A. L elemento (ovvero quello he 5 9 oup l rig e olonn ) vle ; l elemento vle e osì vi. efiniione: se un mtrie h numero i righe uguli l numero i olonne si ie mtrie qurt. Un esempio i mtrie qurt è: 4 8 A. 5 Un esempio i mtrie qurt è: A. 4 efiniione: si him igonle priniple i un mtrie qurt l line i numeri he v ll lto sinistr l sso estr. Nei ue esempi sopr le igonli prinipli sono rispettivmente formte i numeri: e A ogni mtrie qurt può essere ssoito un numero himto eterminnte. Il lolo el eterminnte è reltivmente semplie per mtrii e, m ivent più omplesso nel so generle. Noi veremo solo questi ue si. eterminnte per mtrii : t un mtrie A il eterminnte è to ll ifferen ei prootti tr gli elementi ell igonle priniple e l ltr igonle
6 Autore: Enrio Mnfui - 5/4/ Il eterminnte si simoleggi on ue rrette vertili i lti ell mtrie (è l stess simologi el vlore ssoluto i un numero): A 5 Esempio: A Il eterminnte ell mtrie A è -. eterminnte per mtrii : t un mtrie A per lolre il eterminnte si us l Regol i Srrus he onsiste nel risrivere le prime ue olonne fuori ll mtrie e poi eseguire un serie i loli esposti i seguito: A ( ) Esempio: 5 A Si riportno le prime ue olonne fuori ll mtrie: e si eseguono i loli A 5 ( ) ( ) ( 5 ( ) ( ) ) ( ) 4 4 Il eterminnte ell mtrie A è
7 Autore: Enrio Mnfui - 5/4/ Metoo i Crmer Aesso he imo lo strumento lgerio elle mtrii, possimo ffrontre il metoo i Crmer per l risoluione ei sistemi lineri. Per poter risolvere il sistem on questo metoo è neessrio prtire l sistem in form normle. Questo signifi he se viene fornito un sistem non in form normle, v prim riotto ll form normle, usno le usuli regole lgerihe onosiute. Esponimo prim l teori, trttno il so generle. Si to il sistem in form normle: efinimo tre eterminnti in questo moo: (mtrie in ui l olonn ei oeffiienti elle è stt sostituit quell ei termini noti) (mtrie in ui l olonn ei oeffiienti elle è stt sostituit quell ei termini noti) (mtrie formt i oeffiienti elle e elle ) Le soluioni sono te lle seguenti semplii formule: Esempio: risolvimo il sistem visto ome esempio per il metoo i sostituione (ovvimente i spettimo i ritrovre le stesse soluioni!). 4 Costruimo le tre mtrii e trovimo i rispettivi eterminnti: 4 4 ( ) 9 - -
8 Autore: Enrio Mnfui - 5/4/ ( ) ui: 9 SISTEMI LINEARI I TRE EQUAZIONI IN TRE INCOGNITE Un sistem linere i tre equioni in tre inognite in form normle è ell form: Per risolverlo possimo pplire più volte il metoo i sostituione, m spesso i loli sono lunghi e loriosi. Un metoo lterntivo più rpio è quello he sfrutt le mtrii. Si lolno i eterminnti i quttro mtrii e poi le soluioni in moo simile l so : Per lolre i eterminnti si ppli l Regol i Srrus espost sopr. Le soluioni sono te : SISTEMI ETERMINATI, INETERMINATI, IMPOSSIBILI In se lle soluioni un sistem può essere i tre tipi:. eterminto: un soluione. Ineterminto: infinite soluioni. Impossiile: ero soluioni Questi tre si orrisponono tre situioni geometrihe, rispettivmente:. Rette inienti: un punto in omune. Rette oinienti: infiniti punti in omune. Rette prllele: ero punti in omune - 8 -
9 Autore: Enrio Mnfui - 5/4/ Fimo un esempio per isun so, evienino si l spetto lgerio he geometrio. Per sempliità prtimo sistemi in form normle:. Espliitimo l ll prim equione e sostituimo il vlore ottenuto nell seon: ( ) Risolvimo l seon equione nell inognit : Risostituimo il vlore ell nell prim equione: ( ) soluione, ioè il punto A(, ) il sistem è eterminto perhé imo ottenuto un. Le ue rette sono inienti. 4. Espliitimo l ll seon equione: 4 4 ( ) 4 4 Sostituimo il vlore ottenuto nell prim equione: ( 4 )
10 Autore: Enrio Mnfui - 5/4/ L prim equione si è riott un ientità (proposiione sempre ver inipenentemente l vlore i e ), quini tutti i punti ell prim rett sono punti nhe ell seon. Il sistem è unque ineterminto e le rette sono oinienti. Osservione: se lo vessimo risolto on il metoo i Crmer vremmo trovto i tre eterminnti uguli e poihé e ppunto un form inetermint., imo in entrmi i si he è. 4 Espliitimo l ll prim equione e sostituimo il vlore nell seon equione: ( ) 4 Svolgeno i loli nell seon equione si h: L seon equione non è mi ver per nessun vlore i e, quini non esistono punti in omune fr le ue rette. Il sistem è impossiile e le rette sono prllele. Osservione: risolvenolo on Crmer vremmo ottenuto il eterminnte ugule. Poihé ompre l enomintore si i he i, si h un ivisione per he è ppunto impossiile (ome eseriio lolre i oeffiienti ngolri elle ue rette e verifire he sono uguli). - -
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