Esempio 1 Consideriamo un grafo G con insieme di nodi. mentre l insieme di archi é il seguente sottinsieme di coppie di nodi in V

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1 1 Tori i grfi Pr prim os imo l finizion i grfo. Dfinizion 1 Un grfo G é ostituito un oppi i insimi (V, A) ov V é tto insim i noi A é tto insim i rhi é un sottinsim i tutt l possiili oppi i noi in V. S l oppi i noi sono orint, il grfo é tto orintto, s non sono orint é tto non orintto. Esmpio 1 Consirimo un grfo G on insim i noi V = {,,,, }, mntr l insim i rhi é il sgunt sottinsim i oppi i noi in V A = {(, ); (, ); (, ); (, ); (, ); (, )} S tli oppi sono orint ( quini, smpio, l oppi (, ) é ivrs ll oppi (, )) il grfo é orintto, ltrimnti ( quini, smpio, l oppi (, ) l oppi (, ) sono quivlnti tr loro) il grfo é non orintto. Pr qunto si in molti si onvnint mntnr l istinzion tr grfi orintti non orintti, nl sguito i onntrrmo solo sui grfi orintti, ossrvno h pr ogni grfo non orintto n sist uno orintto quivlnt in ui l insim i noi é lo stsso pr ogni oppi non orint (i, j) h rpprsnt un ro l grfo non orintto si rno u oppi orint (i, j) (j, i) h rpprsntno u rhi l grfo orintto quivlnt. Quini, s l smpio visto foss stto un grfo non orintto, lo vrmmo potuto trsformr in uno orintto quivlnt on gli stssi noi il sgunt insim i rhi {(, ); (, ); (, ); (, ); (, ); (, ); (, ); (, ); (, ); (, ); (, ); (, )} Dimo or un ltr finizion. Dfinizion 2 Dto un grfo orintto G = (V, A) un ro (i, j) A irmo h il noo i é prssor l noo j h il noo j é sussor l noo i. Nl grfo ll smpio, supposto orintto, il noo é prssor l noo, mntr é sussor i. Aimo finito un grfo G ttrvrso l oppi i insimi V A. É possiil pró rpprsntr un grfo nh ni moi sgunti. Rpprsntzion grfi A ogni noo orrispon un pllino sul pino ogni ro (i, j) orrispon un lin h ongiung il pllino h rpprsnt il noo i on il pllino h rpprsnt il noo j, su ui si tri un fri i vrso j (pr grfi non orintti l fri si omtt). In Figur 1 é mostrt l rpprsntzion grfi l grfo ll smpio. 1

2 Figur 1: Tll 1: (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) List i inz o rpprsntzion nliti A ogni noo si ffin un list (vntulmnt vuot) ontnnt tutti i suoi sussori. Pr il nostro smpio l list i inz sono l sgunti: : (, ) : (, ) : () : () : Mtri ininz noo-ro Si ostruis un mtri on un rig pr ogni noo un olonn pr ogni ro. Nll olonn rltiv ll ro (i, j) si mtt +1 in orrisponnz ll rig i, -1 in orrisponnz ll rig j 0 in orrisponnz i tutt l ltr righ. Pr il nostro smpio l mtri i ininz noo-ro é t in Tll 1 Introuimo or lun finizioni. Dfinizion 3 Un ro (i, i) in ui ioé il noo inizil finl oiniono é tto ppio. Dfinizion 4 Un grfo privo i ppi on l piú un ro h ongiung ogni oppi i noi é tto smpli. Il grfo ll smpio è smpli. 2

3 Dfinizion 5 Du rhi h hnno un noo in omun sono tti inti. Nll smpio gli rhi (, ) (, ) sono inti. Dfinizion 6 Un squnz i noi tli h v 0 v 1 v r (v i 1, v i ) A oppur (v i, v i 1 ) A i = 1,..., r, vin tt mmino. Il numro r i rhi l mmino é tto lunghzz l mmino. Un mmino é tto smpli s nssun ro é prorso piú i un volt, lmntr s nssun noo vin toto piú i un volt. I mmini lmntri sono si prtiolri i mmini smplii. Nll smpio, il mmino é un mmino lmntr i lunghzz 3; il mmino é smpli m non lmntr (il noo è toto più i un volt); il mmino non é né smpli (l ro (, ) è prorso u volt) né lmntr. Dfinizion 7 Un mmino smpli in ui l ultimo noo oini on il primo vin tto ilo. S il mmino é lmntr, ioè to tutti i noi l più un volt prt il primo ultimo noo, si prl i ilo lmntr. Nll smpio é un ilo lmntr. Dfinizion 8 Un mmino o un ilo in ui tutti gli rhi sono prorsi sono il loro orintmnto vin tto orintto, ltrimnti si i non orintto. Nll smpio il mmino é orintto mntr il mmino é non orintto. Dfinizion 9 Dti u noi i j i un grfo G, s sist un mmino i j, llor si i h j é ssiil i. L rlzion tr i noi é ssiil é un rlzion i quivlnz, ovvro soisf l tr propritá riflssiv, simmtri trnsitiv. Com tl inu lssi i quivlnz nll insim i noi. Tli lssi i quivlnz vngono tt omponnti onnss l grfo. Ogni omponnt onnss é formt noi tutti ssiili tr loro m non ssiili noi in ltr omponnti. Dfinizion 10 S il grfo ontin un sol omponnt onnss vin tto onnsso. L sgunt prour onsnt i iniviur l omponnti onnss i un grfo quini nh i stilir s un grfo é onnsso. Inizilizzzion Si pong W = V r = 1. 3

4 Psso 1 Si slzioni un noo i W si pong S = {i} T r =. Psso 2 Si slzioni un noo j S. Si rimuov j S si ggiungno in S tutti i noi h non sino giá ontnuti in T r i ui j é prssor o sussor, ioé S = (S \ {j}) {k T r : (k, j) A o (j, k) A}. Si pong T r = T r {j}. Psso 3 S S =, llor si v l Psso 4. Altrimnti si ritorni l Psso 2. Psso 4 Si pong W = W \ T r. S W =, llor T 1, T 2,..., T r sono gli insimi i noi ll omponnti onnss l grfo. Altrimnti si pong r = r + 1 si ritorni l Psso 1. Com srizio si pplihi l prour pr vrifir h il grfo ll smpio é onnsso. Dfinizion 11 Un noo j é tto fortmnt ssiil i s sist un mmino orintto i j. Si noti h l rlzion tr noi é fortmnt ssiil non é un rlzion i quivlnz. In prtiolr non vl pr ss l propritá i simmtri (nll smpio é fortmnt ssiil m il vivrs non é vro). Dfinizion 12 Un grfo in ui ogni noo é fortmnt ssiil tutti gli ltri é tto fortmnt onnsso. Si noti h l sistnz in un grfo i un ilo orintto h to tutti i noi l grfo è onizion nssri suffiint pr grntir h il grfo si fortmnt onnsso. Il grfo l nostro smpio non é fortmnt onnsso (om giá ossrvto nh tutti gli ltri noi l grfo non sono fortmnt ssiili ). Dfinizion 13 Un grfo si i omplto s sist un ro tr ogni oppi i noi. Il nostro grfo non é omplto. A smpio, non é lun ro tr. Lo é inv il grfo G = (V, A) on V = {,,, } A = {(, ); (, ); (, ); (, ); (, ); (, )} 4

5 Dfinizion 14 Dto un grfo G = (V, A) un sottinsim A A, un grfo G = (V, A ) é tto grfo przil i G. Dti V V A A(V ) = {(i, j) A : i V, j V } il grfo G = (V, A ) vin tto sottogrfo i G. In prtiolr, s A = A(V ) il sottogrfo vin tto sottogrfo inotto V. Nll smpio G = (V, A ) on A = {(, ); (, ); (, ); (, ); (, )} é un grfo przil i G, mntr G = (V, A ) on V = {,, } A = {(, )} é un sottogrfo i G. S inv si onsir G = (V, A ) on V = {,, } A = {(, ); (, )} qusto é il sottogrfo i G inotto V. Dfinizion 15 Un grfo G = (V, A) si i iprtito s l insim V puó ssr prtizionto in u sottinsimi V 1 V 2 (quini V 1 V 2 = V V 1 V 2 = ) tli h (i, j) A : i V 1, j V 2 oppur i V 2, j V 1. Un grfo iprtito si i omplto s pr ogni oppi i noi in V 1 V 2 sist un ro h li ongiung. Vl l sgunt ossrvzion. Ossrvzion 1 Un grfo é iprtito s solo s non ontin ili i lunghzz ispri. L sgunt prour onsnt i stilir s un grfo é iprtito. Psso 1 Si slzioni un noo i V si pong T 1 = C 1 = {i} T 2 = C 2 = Psso 2 Si pong T 2 = {k V \ C 2 : i T 1 tl h (i, k) A oppur (k, i) A} Si C 2 = C 2 T 2. Psso 3 Si pong T 1 = {k V \ C 1 : i T 2 tl h (i, k) A oppur (k, i) A} Si C 1 = C 1 T 1. 5

6 Psso 4 S C 1 C 2, llor il grfo non é iprtito. Altrimnti si v l Psso 5. Psso 5 S C 1 C 2 = V T 1 = T 2 =, llor il grfo é iprtito on V 1 = C 1 V 2 = C 2. Altrimnti si ritorni l Psso 2. Nl nostro smpio slzionno inizilmnt il noo ponnolo in T 1 C 1 vrmo on T 1 = {}. Al Psso 2 vrmo C 1 C 2 C 1 C 2 on T 2 = {, } C 2 = {, }. Al Psso 3 vrmo C 1 C 2 on T 1 = {,, } C 1 = {,,, }. Al Psso 4 notimo h C 1 C 2 = {} quini possimo onlur h il grfo non é iprtito. Dfinizion 16 Si to un grfo G = (V, A) on r(v ) = n ov r(v ) not l rinlitá (il numro i lmnti) ll insim V. Si i h G é un lro s soisf l sgunti onizioni (quivlnti tr loro) 1. G é privo i ili onnsso; 2. G é privo i ili r(a) = n 1; 3. G é onnsso r(a) = n 1; 4. sist un unio mmino h ongiung ogni oppi i noi. A smpio, il grfo G = (V, A) on V = {,,,, } A = {(, ); (, ); (, ); (, )} illustrto in Figur 2, é un lro. Vl l sgunt ossrvzion. Ossrvzion 2 Dto un lro, l ggiunt i un solo ro r sttmnt un ilo. Dfinizion 17 Si to un grfo onnsso G = (V, A). Si finis lro i supporto o spnning tr i G un grfo przil T = (V, A T ) i G (quini on A T A) h é un lro. 6

7 Figur 2: Un lro G. Si noti h un lro i supporto i G v ontnr tutti i noi i G h in virtú l punto 2. (o l punto 3.) ll Dfinizion 16, si ovrá vr r(a T ) = r(v ) 1. Esmpio 2 Si to il grfo G = (V, A) on V = {,,, } A = {(, ); (, ); (, ); (, ); (, )} illustrto in Figur 3. Un lro i supporto i G é il sottogrfo T 1 = (V, A T1 ) on = {(, ); (, ); (, )} A T1 un ltro é il sottogrfo T 2 = (V, A T2 ) on A T2 = {(, ); (, ); (, )} I u lri i supporto i G sono illustrti in Figur 3. L sgunt prour onsnt i iniviur un lro i supporto i un grfo onnsso. Inizilizzzion Si inihino on 1,..., m, m = r(a), gli rhi l grfo G = (V, A). Si pong i = 1 A T =. Psso 1 S (V, A T { i }) non ontin ili, llor si pong A T = A T { i }, ltrimnti si lsi A T invrito. Psso 2 S r(a T ) = r(v ) 1, llor (V, A T ) è un lro i supporto pr il grfo G, ltrimnti si pong i = i + 1 si ritorni l Psso Bs i ili Introuimo or il ontto i s i ili. Dto un ilo in un grfo G = (V, A) sso possimo ssoir un vttor i imnsion pri r(a) nl moo sgunt: 7

8 G T1 T2 Figur 3: Un grfo G u suoi lri i supporto T 1 T fisso un orintmnto l ilo; 2. l omponnt l vttor orrisponnt un ro (i, j) A srá pri : +1 s l ro (i, j) vin ttrvrsto l ilo nl suo stsso vrso. -1 s l ro (i, j) vin ttrvrsto l ilo nl vrso opposto l suo. 0 s l ro (i, j) non vin ttrvrsto l ilo. Dto il grfo G = (V, A) on il ilo V = {,,,, }, A = {(, ); (, ); (, ); (, ); (, ); (, )} on orintmnto orrisponnt qullo ll ro (, ), tl ilo ssoio il vttor (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, )

9 S vssi slto om orintmnto qullo opposto ll ro (, ) il vttor sr stto il sgunt (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) ioé ugul l prnt mito i sgno. L mtri l ui righ sono ostituit i vttori ssoiti tutti i ili i un grfo vin tt mtri i ili l grfo. Nll smpio sopr vi sono tr ili on mtri i ili h ( mno i moltiplizioni pr -1 ll righ) é t (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) Il rngo i tl mtri, ovvro il mssimo numro i vttori rig rltivi i ili tr loro linrmnt inipnnti, é tto numro ilomtio l grfo é inito on ν(g), mntr un sottinsim i ili i ui orrisponnti vttori rig formno un s ll insim i vttori rig vin tto s i ili. Nl nostro smpio si puó vrifir h il numro ilomtio é pri 2 h i u ili h si rifrisono ll prim u righ ll mtri formno un s i ili. Si noti h l slt ll orintmnto i ili pr l ostruzion i vttori rig non ini sul numro ilomtio, in qunto moltiplir un rig i un mtri pr -1 non n moifi il rngo. Esistono vri moi pr trminr il numro ilomtio un s i ili. L sgunt prour n é un smpio. 1. Iniviur l omponnti onnss G i = (V i, A i ) i = 1,..., p l grfo G = (V, A), ov p i=1 V i = V p i=1 A i = A V i V j = s i j A i A j = s i j 2. Pr ogni omponnt onnss iniviur uno spnning tr T i = (V i, A i ). Si noti h si ovrá vr r(a i) = r(v i ) 1 3. Aggiungno un ro in A i \ A i si ottin un unio ilo h pprtrrá ll s i ili. Riptno qusto pr tutti gli rhi in A i \A i pr tutt l p omponnti onnss, tutti i ili ottnuti in qusto moo formno un s i ili. 9

10 Si noti h il numro ilomtio é pri l numro i ili ll s quini srá pri p p ν(g) = r(a i \ A i) = [r(a i ) r(v i ) + 1] = ui i=1 = i=1 p r(a i ) i=1 p r(v i ) + p i=1 ν(g) = r(a) r(v ) + p. Nl nostro smpio si puó vrifir h p = 1, mntr r(a) = 6 r(v ) = 5 ui ν(g) = om giá prntmnt ossrvto. Smpr nll smpio, s onsiro l lro i supporto on gli rhi (, ) (, ) (, ) (, ) ggiungno l ro (, ) ottngo il ilo ggiungno l ro (, ) ottngo il ilo I u ili ottnuti in qusto moo formno un s i ili. 1.2 Grfi plnri topologimnt plnri Introuimo or il ontto i grfo topologimnt plnr. L nominzion topologimnt plnr si rifris ll sol rpprsntzioni grfih i grfi. Un rpprsntzion grfi i un grfo si i topologimnt plnr s il grfo é onnsso s gli rhi non hnno punti i onttto ivrsi i noi l grfo. Dt l rpprsntzion grfi i un grfo in Figur 4, ss non é topologimnt plnr in qunto gli rhi (, ) (, ) hnno un punto i onttto ivrso i noi. D ltro nto l rpprsntzion grfi in Figur 5 llo stsso grfo é topologimnt plnr. Dfinirmo un grfo plnr s mmtt lmno un rpprsntzion grfi toplogimnt plnr. Il grfo G = (V, A) on V = {,,, } A = {(, ); (, ); (, ); (, ); (, ); (, )} i ui l Figur 4 5 sono u istint rpprsntzioni grfih, é plnr in qunto mmtt lmno un rpprsntzion topologimnt plnr ( smpio, qull in Figur 5). Dl isgno possimo suito stilir s un rpprsntzion grfi é topologimnt plnr. Piú omplito é stilir s to un grfo sso é plnr. Avrmo isogno i lun finizioni. 10

11 Figur 4: Figur 5: Dfinizion 18 Si to un grfo G = (V, A) un suo ro (i, j) A. L oprzion i ontrzion ll ro (i, j) onsist nl trsformr il grfo G = (V, A) nl grfo G = (V, A ) ov i noi i j sono sostituiti un unio noo s ij, ioé V = (V \ {i, j}) {s ij } gli rhi sono gli stssi i A pr qul h rigur gli rhi h non hnno om strmi i j, l ro (i, j) vin sopprsso ogni ro h h om uno i u strmi i oppur j sostituis tl strmo on il noo s ij ( smpio l ro (k, i) é sostituito on (k, s ij )). Quini A = {(k, h) A : k i, j, h i, j} {(s ij, h) : h i, j, (i, h) A o (j, h) A} {(k, s ij ) : k i, j, (k, i) A o (k, j) A} \ {(i, j)} In Figur 6 é riportto il risultto ll ontrzion ll ro (, ). 11

12 S Figur 6: Dfinizion 19 Inihimo on K 5 un grfo omplto on 5 noi, ovvro un grfo on 5 noi un ro h ongiung ogni oppi i noi istinti (si v l Figur 7). Figur 7: Dfinizion 20 Inihimo on K 3,3 un grfo iprtito on 3 noi in isun ll u prti ll iprtizion (r(v 1 ) = r(v 2 ) = 3) un ro h ongiung ogni oppi i noi ll u prti V 1 V 2 ll iprtizion (si v l Figur 8). Simo or pronti nunir il torm i Kurtowski h rttrizz i grfi plnri. Torm 1 Un grfo onnsso é plnr s solo s sso stsso ogni grfo ottnuto sso trmit ontrzion i rhi non ontngono un K 5 o un K 3,3. 12

13 Figur 8: Figur 9: Com srizio si imostri h il grfo in Figur 9 non é plnr. Dt un rpprsntzion grfi i un grfo G topologimnt plnr, l porzioni i pino limitt iniviut gli rhi l grfo vngono tt f finit l grfo, mntr l rstnt prt l pino vin tt fi infinit l grfo. Gli rhi h limitno un fi finit formno un ilo ll s i ili l grfo. Quini, il numro ilomtio oini on il numro i f finit l grfo. In Figur 10 sono mostrt l 3 f finit l fi infinit i un grfo topologimnt plnr. Quini il numro ilomtio l grfo é 3, ottniil nh ttrvrso l formul r(a) r(v ) + p = = 3, mntr i ili,, i ui rhi limitno l f finit, formno un s i ili. A un grfo topologimnt plnr G si puó ssoir un grfo ul G, il 13

14 qul h tnti noi qunt sono l f (qull finit piú qull infinit) l grfo G (nll smpio in Figur 10 sono 3+1=4) tnti rhi qunti sono gli rhi i G (nll smpio sono 7). Pr ogni ro (i, j) i G si ostruis un ro fi finit fi finit fi finit fi infinit Figur 10: i G h ongiung l u f h sono sprt tl ro. Nll smpio l ro (, ) spr l fi finit limitt gli rhi (, ) (, ) (, ) l fi infinit l grfo G quini in G vrmo un ro h ongiung i noi i G orrisponnti qust u f. I noi (rhi) gli rhi (trttggiti) l ul l nostro smpio sono mostrti in Figur 11. Figur 11: 14