Algoritmi e Strutture Dati. Grafi
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- Elisa Puglisi
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1 Algoritmi Struttur Dti Grfi Alrto Montrsor Univrsità i Trnto 08//7 This work is lins unr Crtiv Commons Attriution-ShrAlik 4.0 Intrntionl Lins.
2 Sommrio Introuzion Dfinizioni Spifi Mmorizzzion Visit i grfi 3 BFS Cmmini più rvi 4 Componnti onnss Grfi ilii non orintti Clssifizion gli rhi Grfi ilii orintti Orinmnto topologio Componnti fortmnt onnss
3 Introuzion Dfinizioni Grfi orintti non orintti: finizioni Grfo orintto (irt) È un oppi G = (V, E) ov: V è un insim i noi (no) o vrtii (vrtx) E è un insim i oppi orint (u, v) i noi tt rhi (g) V = {,,,,,f } E = { (,), (,), (,), (,), (,), (,), (,) } f Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 / 7
4 Introuzion Dfinizioni Grfi orintti non orintti: finizioni Grfo non orintto (unirt) È un oppi G = (V, E) ov: V è un insim i noi (no) o vrtii (vrtx) E è un insim i oppi non orint [u, v] tt rhi (g) V = {,,,,,f } E = { [,], [,], [,], [,], [,], [,] } f Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 / 7
5 Introuzion Dfinizioni Trminologi Un vrti v è tto int u s sist un ro (u, v) In un grfo inirtto, l rlzion i inz è simmtri Un ro (u, v) è tto inint u v f (, ) è inint (, ) è inint (, ) è inint è int è int è int Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 3 / 7
6 Introuzion Dfinizioni Dimnsioni l grfo Dfinizioni n = V numro i noi m = E numro i rhi Alun rlzioni fr n m In grfo non orintto, m n(n ) = O(n ) In grfo orintto, m n n = O(n ) Complssità i lgoritmi su grfi L omplssità è sprss in trmini si i n h i m ( s. O(n + m)) Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 4 / 7
7 Introuzion Dfinizioni Dfinizioni: Cmmino Cmmino (Pth) In un grfo G = (V, E), un mmino C i lunghzz k è un squnz i noi u 0, u,..., u k tl h (u i, u i+ ) E pr 0 i k. Esmpio:,,,, è un mmino nl grfo i lunghzz 4 Not: un mmino è tto smpli s tutti i suoi noi sono istinti Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 5 / 7
8 Introuzion Dfinizioni Dfinizioni: Cmmino Cmmino (Pth) In un grfo G = (V, E), un mmino C i lunghzz k è un squnz i noi u 0, u,..., u k tl h (u i, u i+ ) E pr 0 i k. Esmpio:,,,, è un mmino nl grfo i lunghzz 4 Not: un mmino è tto smpli s tutti i suoi noi sono istinti Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 5 / 7
9 Introuzion Spifi Spifi Grfi inmii Nll vrsion più gnrl, il grfo è un struttur i ti inmi h prmtt i ggiungr/rimuovr noi rhi. Grph Grph( ) St siz() St V() St j(no u) insrtno(no u) insrteg(no u, No v) ltno(no u) lteg(no u, No v) % Cr un nuovo grfo % Rstituis il numro i noi % Rstituis l insim i tutti i noi % Rstituis l insim i noi inti u % Aggiung il noo u l grfo % Aggiung l ro (u, v) l grfo % Rimuov il noo u l grfo % Rimuov l ro (u, v) l grfo Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 6 / 7
10 Introuzion Spifi Spifi riott (snz rimozioni) Grph Grph( ) In luni si, il grfo è inmio m sono possiili solo insrimnti Il grfo vin rito ll inizio poi non vin moifito Qusto h riflssi sull implmntzion sottostnt St siz() St V() St j(no u) insrtno(no u) insrteg(no u, No v) % Cr un nuovo grfo % Rstituis il numro i noi % Rstituis l insim i tutti i noi % Rstituis l insim i noi inti u % Aggiung il noo u l grfo % Aggiung l ro (u, v) l grfo Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 7 / 7
11 Introuzion Mmorizzzion Mmorizzr grfi Mtri i inz Spzio rihisto O(n ) Vrifir s u è int v rihi tmpo O() Itrr su tutti gli rhi rihi tmpo O(n ) Il pr grfi nsi List i inz Spzio rihisto O(n + m) Vrifir s u è int v rihi tmpo O(n) Itrr su tutti gli rhi rihi tmpo O(n + m) Il pr grfi sprsi Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 8 / 7
12 Introuzion Mmorizzzion Mtri i inz: grfi orintti m uv = { (u, v) E 0 (u, v) E Spzio = n it Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 9 / 7
13 Introuzion Mmorizzzion List i inz: grfi orintti G.j(u) = {v (u, v) E} Spzio = n + m it Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 0 / 7
14 Introuzion Mmorizzzion Mtri i inz: grfi non orintti m uv = { (u, v) E 0 (u, v) E Spzio = n oppur n(n )/ it Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 / 7
15 Introuzion Mmorizzzion List i inz: grfo non orintto G.j(u) = {v (u, v) E} Spzio = n + m Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 / 7
16 Introuzion Mmorizzzion Mtri i inz: grfi psti Grfi psti Gli rhi sono ssoiti un pso (osto, profitto, t.) Il pso è ssgnto un funzion i pso w : V V R S non sist ro fr u vrtii, il pso ssum un vlor h ipn l prolm.g. w(u, v) = Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 3 / 7
17 Introuzion Mmorizzzion List i inz - vrizioni sul tm Si il ontto i list i jnz h il ontto i list i noi possono ssr linti in vri moi: Struttur Jv C++ Python List ollgt LinkList list Vttor sttio [] [] [] Vttor inmio ArryList vtor list Insim HshSt st st TrSt Dizionrio HshMp TrMp mp it Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 4 / 7
18 Introuzion Mmorizzzion Vttor i inz: grfo orintto G.j(u) = {v (u, v) E} Spzio = n + m it Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 5 / 7
19 Introuzion Mmorizzzion Dttgli sull implmntzion S non ivrsmnt spifito, nl sguito: Assumrmo h l implmntzion si st su vttori i inz, sttii o inmii Assumrmo h l intifitor No si quivlnt un int, quini l sso ll informzioni vrà osto O() Assumrmo h opo l inizilizzzion, il grfo si sttio Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 6 / 7
20 Introuzion Mmorizzzion Itrzion su noi rhi Pr itrr su tutti i noi l grfo, srivrmo: forh u G.V() o { Esgui oprzioni sul noo u } Pr itrr su tutti i noi l grfo su tutti gli rhi, srivrmo: forh u G.V() o { Esgui oprzioni sul noo u } forh v G.j(u) o { Esgui oprzioni sull ro (u, v) } Il osto i tl oprzion srà: O(m + n) on list i inz vrinti O(n ) on mtrii i inz Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 7 / 7
21 Sommrio Introuzion Dfinizioni Spifi Mmorizzzion Visit i grfi 3 BFS Cmmini più rvi 4 Componnti onnss Grfi ilii non orintti Clssifizion gli rhi Grfi ilii orintti Orinmnto topologio Componnti fortmnt onnss
22 Visit i grfi Visit i grfi Dfinizion l prolm Dto un grfo G = (V, E) un vrti r V (ri), visitr un un volt sol tutti i noi l grfo h possono ssr rggiunti r Visit in mpizz (Brth-first srh) (BFS) Visit i noi pr livlli: prim si visit l ri, poi i noi istnz ll ri, poi istnz, t. Applizion: lolr i mmini più rvi un singol sorgnt Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 8 / 7
23 Visit i grfi Visit i grfi Dfinizion l prolm Dto un grfo G = (V, E) un vrti r V (ri), visitr un un volt sol tutti i noi l grfo h possono ssr rggiunti r Visit in profonità (Dpth-First Srh) () Visit riorsiv: pr ogni noo int, si visit riorsivmnt tl noo, visitno riorsivmnti i suoi noi inti, t. Applizion: orinmnto topologio Applizion: omponnt onnss, omponnti fortmnt onnss Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 8 / 7
24 Sommrio Introuzion Dfinizioni Spifi Mmorizzzion Visit i grfi 3 BFS Cmmini più rvi 4 Componnti onnss Grfi ilii non orintti Clssifizion gli rhi Grfi ilii orintti Orinmnto topologio Componnti fortmnt onnss
25 BFS Brth-first srh - Oittivi Visitr i noi istnz rsnti ll sorgnt Visitr i noi istnz k prim i visitr i noi istnz k + Clolr il mmino più rv r tutti gli ltri noi L istnz sono misurt nl numro i rhi ttrvrsti Gnrr un lro rth-first Gnrr un lro ontnnt tutti i noi rggiungiili r, tl pr ui il mmino ll ri r l noo u nll lro orrispon l mmino più rv r u nl grfo. Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 9 / 7
26 BFS Brth-first srh fs(grph G, No r) Quu S = Quu( ) S.nquu(r) ooln[ ] visit = nw ooln[g.siz()] forh u G.V() {r} o visit[u] = fls visit[r] = tru whil not S.isEmpty() o No u = S.quu() { visit il noo u } forh v G.j(u) o { visit l ro (u, v) } if not visit[v] thn visit[v] = tru S.nquu(v) Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 0 / 7
27 BFS Cmmini più rvi Applizion BFS: Cmmini più rvi Pul Erös (93-996) Mtmtio 500+ rtioli, 500+ o-utori Numro i Erös Erös h vlor ros = 0 I o-utori i Erös hnno ros = S X è o-utor i quluno on ros = k non è outor on quluno on ros < k, llor X h ros = k + L prson non rggiunt qust finizion hnno ros = + Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 / 7
28 BFS Cmmini più rvi Alrto Montrsor, ros = 4 Alrto Montrsor, ros = 4 Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 / 7 33
29 BFS Cmmini più rvi Clolr il numro i Erös ros(grph G, No r, int[ ] rős, No[ ] prnt) Quu S = Quu() S.nquu(r) forh u G.V() {r} o rős[u] = rős[r] = 0 prnt[r] = nil whil not S.isEmpty() o No u = S.quu() forh v G.j(u) o if rős[v] == thn rős[v] = rős[u] + prnt[v] = u S.nquu(v) % S il noo v non è stto soprto Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 3 / 7
30 BFS Cmmini più rvi Esmpio: Erös 0 k f g h l Quu = { } j Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 4 / 7
31 BFS Cmmini più rvi Esmpio: Erös 0 k f g h l Quu = {,, f } j Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 4 / 7
32 BFS Cmmini più rvi Esmpio: Erös 0 k f g h l Quu = {, f,, } j Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 4 / 7
33 BFS Cmmini più rvi Esmpio: Erös 0 k f g h l Quu = { f,,, h } j Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 4 / 7
34 BFS Cmmini più rvi Esmpio: Erös 0 k f g h l Quu = {,, h, g } j Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 4 / 7
35 BFS Cmmini più rvi Esmpio: Erös 0 k f g h l Quu = {, h, g } j Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 4 / 7
36 BFS Cmmini più rvi Esmpio: Erös 0 k f g h l Quu = { h, g } j Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 4 / 7
37 BFS Cmmini più rvi Esmpio: Erös 0 k f g h l Quu = { g, j } j 3 Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 4 / 7
38 BFS Cmmini più rvi Esmpio: Erös 0 k f g h l Quu = { j } j 3 Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 4 / 7
39 BFS Cmmini più rvi Esmpio: Erös 0 k f g h l Quu = { j } j 3 Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 4 / 7
40 BFS Cmmini più rvi Esmpio: Erös 0 k f g h l Quu = { } j 3 Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 4 / 7
41 BFS Cmmini più rvi Alro BFS (BFS Tr) L visit BFS può ssr ust pr ottnr il mmino più rv fr u noi (misurto in numro i rhi) "Alro i oprtur" on ri r Mmorizzto in un vttor i pri prnt ros([...], No[ ] prnt) [... ] whil not S.isEmpty() o No u = S.quu() forh v G.j(u) o if rős[v] == thn rős[v] = rős[u] + prnt[v] = u S.nquu(v) printpth(no r, No s, No[ ] prnt) if r == s thn print s ls if prnt[s] == nil thn print rror ls printpth(r, prnt[s], prnt) print s Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 5 / 7
42 BFS Cmmini più rvi Alro BFS (BFS Tr) 0 k f g h l Quu = { } j 3 Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 6 / 7
43 Sommrio Introuzion Dfinizioni Spifi Mmorizzzion Visit i grfi 3 BFS Cmmini più rvi 4 Componnti onnss Grfi ilii non orintti Clssifizion gli rhi Grfi ilii orintti Orinmnto topologio Componnti fortmnt onnss
44 Dpth-First Srh () Dpth-First Srh Spsso un suroutin ll soluzion i ltri prolmi Utilizzt pr splorr un intro grfo, non solo i noi rggiungiili un singol sorgnt Output Inv i un lro, un forst pth-first G f = (V, E f ) Formt un ollzion i lri pth-first Struttur ti Stk spliito Stk impliito, ttrvrso l riorsion Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 7 / 7
45 Dpth-First Srh (Riorsiv, stk impliito) fs(grph G, No u, ooln[ ] visit) visit[u] = tru { visit il noo u (pr-orr) } forh v G.j(u) o if not visit[v] thn { visit l ro (u, v) } fs(g, v, visit) { visit il noo u (post-orr) } Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 8 / 7
46 If you o not unit, you will gt th BFS vs Esguir un st su himt riorsiv può ssr rishioso in grfi molto grni onnssi E possiil h l profonità rggiunt si troppo grn pr l imnsion llo stk l linguggio In tli si, si prfris utilizzr un BFS oppur un st su stk spliito Dfult Vlu Xss fult vlus r pltform spif Stk siz in Jv Tl 9 Xss Dfult Vlus Pltform Dfult Winows IA3 64 KB Linux IA3 8 KB Winows x86_64 8 KB Linux x86_64 56 KB Winows IA64 30 KB Linux IA64 04 KB ( MB) Solris Spr 5 KB Flgs or Othr Options A Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 9 / 7
47 Componnti onnss Componnti (fortmnt) onnss Motivzioni Molti lgoritmi h oprno sui grfi inizino omponno il grfo nl su omponnti onnss. Tli lgoritmi sono sguiti su ognun ll omponnti I risultti sono riomposti ssim. Dfinizioni Componnti onnss (Connt omponnts, CC), finit su grfi non orintti Componnti fortmnt onnss (Strongly onnt omponnts, SCC), finit su grfi orintti Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 30 / 7
48 Componnti onnss Dfinizioni: Rggiungiilità Dfinizion Un noo v è rggiungiil un noo u s sist lmno un mmino u v. Il noo è rggiungiil l noo vivrs Il noo è rggiungiil l noo, m non vivrs Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 3 / 7
49 Componnti onnss Grfi onnssi omponnti onnss Dfinizioni Dfinizioni: Grfi onnssi omponnti onnss Un grfo non orintto G = (V, E) è onnsso ogni suo noo In è rggiungiil grfo non orintto G ogni ltro suo noo Un grfo non orintto G = (V, E Un grfo G ) è un omponnt onnss G = (V, E ) è un omponnt onnss i G è un sottogrfo è un i G sottogrfo onnsso mssiml onnsso mssiml i G G è un sottogrfo i G (G G) V V E E G è mssiml G è mssiml s non non sist un sottogrfo G i G h si nssun ltro sottogrfo G i onnsso G tl h G più grn i G, ovvro tl è onnsso più grn i G pr ui G G G (i.. G G G) Alrto Montrsor G è onnsso sist un mmino ogni vrti ogni ltro vrti Dfinizioni G è un sottogrfo i G (G G) s solo s V V E E Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 3 / 7 A
50 Componnti onnss Applizion : Componnti onnss Prolm Vrifir s un grfo è onnsso oppur no Intifir l su omponnti onnss Soluzion Un grfo è onnsso s, l trmin ll, tutti i noi sono mrti Altrimnti, l visit v riominir po un noo non mrto, intifino un nuov omponnt l grfo Struttur ti Un vttor i h ontin gli intifitori ll omponnti i[u] è l intifitor ll.. ui pprtin u Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 33 / 7
51 Componnti onnss Applizion : Componnti onnss (Grph G, int[ ] i) forh u G.V() o i[u] = 0 int ountr = 0 forh u G.V() o if i[u] == 0 thn ountr = ountr + fs(g, ountr, u, i) fs(grph G, int ountr, No u, int[ ] i) i[u] = ountr forh v G.j(u) o if i[v] == 0 thn fs(g, ountr, v, i) rturn i Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 34 / 7
52 Componnti onnss Esmpio: Componnti onnss g f h i j k v Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 35 / 7
53 Componnti onnss Esmpio: Componnti onnss f i g h j k v Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 35 / 7
54 Componnti onnss Esmpio: Componnti onnss f i g h j k v Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 35 / 7
55 Componnti onnss Esmpio: Componnti onnss f i g h j k v Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 35 / 7
56 Componnti onnss Esmpio: Componnti onnss f i g h j k v Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 35 / 7
57 Componnti onnss Esmpio: Componnti onnss f i g h j k v Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 35 / 7
58 Componnti onnss Esmpio: Componnti onnss f i g h j k v Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 35 / 7
59 Componnti onnss Esmpio: Componnti onnss f i g h j k v Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 35 / 7
60 Componnti onnss Esmpio: Componnti onnss f i g h j k v Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 35 / 7
61 Componnti onnss Esmpio: Componnti onnss f i g h j k v Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 35 / 7
62 Componnti onnss Esmpio: Componnti onnss f i g h j k v Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 35 / 7
63 Componnti onnss Esmpio: Componnti onnss f i g h j k v Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 35 / 7
64 Componnti onnss Esmpio: Componnti onnss f i g h j k v Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 35 / 7
65 Componnti onnss Esmpio: Componnti onnss f i g h j k v Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 35 / 7
66 Componnti onnss Esmpio: Componnti onnss f i g h j k v Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 35 / 7
67 Componnti onnss Esmpio: Componnti onnss f i g h j k v Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 35 / 7
68 Componnti onnss Esmpio: Componnti onnss f i g h j k v Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 35 / 7
69 Componnti onnss Esmpio: Componnti onnss f i g h j k v Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 35 / 7
70 Componnti onnss Esmpio: Componnti onnss f i g h j k v Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 35 / 7
71 Componnti onnss Esmpio: Componnti onnss f i g h j k v Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 35 / 7
72 Componnti onnss Esmpio: Componnti onnss f i g h j k v Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 35 / 7
73 Componnti onnss Esmpio: Componnti onnss f i g h j k v Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 35 / 7
74 Componnti onnss Esmpio: Componnti onnss f i g h j k v Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 35 / 7
75 Componnti onnss Esmpio: Componnti onnss f i g h j k v Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 35 / 7
76 Componnti onnss Esmpio: Componnti onnss f i g h j k v Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 35 / 7
77 Componnti onnss Esmpio: Componnti onnss f i g h j k v Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 35 / 7
78 Componnti onnss Esmpio: Componnti onnss f i g h j k v Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 35 / 7
79 Componnti onnss Esmpio: Componnti onnss f i g h j k v Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 35 / 7
80 Componnti onnss Esmpio: Componnti onnss f i g h j k v Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 35 / 7
81 Componnti onnss Esmpio: Componnti onnss f i g h j k v Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 35 / 7
82 Componnti onnss Esmpio: Componnti onnss f i g h j k v Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 35 / 7
83 Componnti onnss Esmpio: Componnti onnss f i g h j k v Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 35 / 7
84 Componnti onnss Esmpio: Componnti onnss f i g h j k v Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 35 / 7
85 Componnti onnss Esmpio: Componnti onnss f i g h j k v Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 35 / 7
86 Componnti onnss Esmpio: Componnti onnss f i g h 3 j 3 k v Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 35 / 7
87 Grfi ilii non orintti Dfinizioni: Cilo Cilo (yl) In un grfo non orintto G = (V, E), un ilo C i lunghzz k > è un squnz i noi u 0, u,..., u k tl h (u i, u i+ E) pr 0 i k u 0 = u k. k > slu ili nli omposti oppi i rhi (u, v) (v, u), h sono onniprsnti ni grfi non orintti. Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 36 / 7
88 Grfi ilii non orintti Dfinizioni: Grfo ilio Grfo ilio Un grfo non orintto h non ontin ili è tto ilio. f Prolm Dto un grfo non orintto G, srivr un lgoritmo h rstituis tru s G ontin un ilo, fls ltrimnti. Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 37 / 7
89 Grfi ilii non orintti Applizion : Grfo non orintto ilio ooln hscyl(grph G) ooln[ ] visit = nw ooln[g.siz()] forh u G.V() o visit[u] = fls forh u G.V() o if not visit[u] thn if hscylr(g, u, null, visit) thn rturn tru rturn fls Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 38 / 7
90 Grfi ilii non orintti Applizion : Grfo non orintto ilio ooln hscylr(grph G, No u, No p, ooln[ ] visit) visit[u] = tru forh v G.j(u) {p} o if visit[v] thn rturn tru ls if hscylr(g, v, u, visit) thn rturn tru rturn fls Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 39 / 7
91 Grfi ilii non orintti Dfinizioni: Cilo Cilo (yl) In un grfo orintto G = (V, E), un ilo C i lunghzz k è un squnz i noi u 0, u,..., u k tl h (u i, u i+ E) pr 0 i k u 0 = u k. Esmpio:,,,,, è un mmino nl grfo i lunghzz 5 Not: un ilo è tto smpli s tutti i suoi noi sono istinti ( slusion l primo ll ultimo) Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 40 / 7
92 Grfi ilii non orintti Dfinizioni: Grfo orintto ilio (DAG) DAG Un grfo orintto h non ontin ili è tto DAG (irt yli grph). f Grfo ilio Un grfo è ilio s ontin un ilo. f Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 4 / 7
93 Grfi ilii non orintti Applizion : Grfo orintto ilio Prolm Dto un grfo orintto G, srivr un lgoritmo h rstituis tru s G ontin un ilo, fls ltrimnti. Prolm Riusit onpir un grfo orintto pr ui l lgoritmo ppn visto non si omport orrttmnt? Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 4 / 7
94 Grfi ilii non orintti Applizion : Grfo orintto ilio Prolm Dto un grfo orintto G, srivr un lgoritmo h rstituis tru s G ontin un ilo, fls ltrimnti. Prolm Riusit onpir un grfo orintto pr ui l lgoritmo ppn visto non si omport orrttmnt? Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 4 / 7
95 Grfi ilii non orintti Applizion : Grfo orintto ilio Prolm Dto un grfo orintto G, srivr un lgoritmo h rstituis tru s G ontin un ilo, fls ltrimnti. Prolm Riusit onpir un grfo orintto pr ui l lgoritmo ppn visto non si omport orrttmnt? Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 4 / 7
96 Grfi ilii non orintti Applizion : Grfo orintto ilio Prolm Dto un grfo orintto G, srivr un lgoritmo h rstituis tru s G ontin un ilo, fls ltrimnti. Prolm Riusit onpir un grfo orintto pr ui l lgoritmo ppn visto non si omport orrttmnt? Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 4 / 7
97 Grfi ilii non orintti Applizion : Grfo orintto ilio Prolm Dto un grfo orintto G, srivr un lgoritmo h rstituis tru s G ontin un ilo, fls ltrimnti. Prolm Riusit onpir un grfo orintto pr ui l lgoritmo ppn visto non si omport orrttmnt? Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 4 / 7
98 Grfi ilii non orintti Applizion : Grfo orintto ilio Prolm Dto un grfo orintto G, srivr un lgoritmo h rstituis tru s G ontin un ilo, fls ltrimnti. Prolm Riusit onpir un grfo orintto pr ui l lgoritmo ppn visto non si omport orrttmnt? Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 4 / 7
99 Clssifizion gli rhi Clssifizion gli rhi Alro i oprtur Ogni volt h si smin un ro un noo mrto un noo non mrto, tl ro vin ro ll lro Gli rhi (u, v) non inlusi nll lro possono ssr ivisi in tr tgori S u è un ntnto i v in T, (u, v) è tto ro in vnti S u è un isnnt i v in T, (u, v) è tto ro ll initro Altrimnti, vin tto ro i ttrvrsmnto Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 43 / 7
100 Clssifizion gli rhi Shm fs-shm(grph G, No u, int &tim, int[ ] t, int[ ] ft) { visit il noo u (pr-orr) } tim = tim + ; t[u] = tim forh v G.j(u) o { visit l ro (u, v) (qulsisi) } if t[v] == 0 thn { visit l ro (u, v) (lro) } fs-shm(g, v, tim, t, ft) ls if t[u] > t[v] n ft[v] == 0 thn { visit l ro (u, v) (initro) } ls if t[u] < t[v] n ft[v] 0 thn { visit l ro (u, v) (vnti) } ls { visit l ro (u, v) (ttrvrsmnto) } tim: onttor t: isovry tim (tmpo i soprt) ft: finish tim (tmpo i fin) { visit il noo u (post-orr) } tim = tim + ; ft[u] = tim Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 44 / 7
101 Clssifizion gli rhi Shm fs-shm(grph G, No u, int &tim, int[ ] t, int[ ] ft) tim = tim + ; t[u] = tim forh v G.j(u) o if t[v] == 0 thn { visit l ro (u, v) (lro) } fs-shm(g, v, tim, t, ft) ls if t[u] > t[v] n ft[v] == 0 thn { visit l ro (u, v) (initro) } ls if t[u] < t[v] n ft[v] 0 thn { visit l ro (u, v) (vnti) } ls { visit l ro (u, v) (ttrvrsmnto) } tim = tim + ; ft[u] = tim Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 45 / 7
102 Clssifizion gli rhi Shm fs-shm(grph G, No u, int &tim, int[ ] t, int[ ] ft) tim = tim + ; t[u] = tim forh v G.j(u) o if t[v] == 0 thn { visit l ro (u, v) (lro) } fs-shm(g, v, tim, t, ft) ls if t[u] > t[v] n ft[v] == 0 thn { visit l ro (u, v) (initro) } ls if t[u] < t[v] n ft[v] 0 thn { visit l ro (u, v) (vnti) } ls { visit l ro (u, v) (ttrvrsmnto) } tim = tim + ; ft[u] = tim [, ] Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 45 / 7
103 Clssifizion gli rhi Shm fs-shm(grph G, No u, int &tim, int[ ] t, int[ ] ft) tim = tim + ; t[u] = tim forh v G.j(u) o if t[v] == 0 thn { visit l ro (u, v) (lro) } fs-shm(g, v, tim, t, ft) ls if t[u] > t[v] n ft[v] == 0 thn { visit l ro (u, v) (initro) } ls if t[u] < t[v] n ft[v] 0 thn { visit l ro (u, v) (vnti) } ls { visit l ro (u, v) (ttrvrsmnto) } tim = tim + ; ft[u] = tim [, ] t[v] = 0 Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 45 / 7
104 Clssifizion gli rhi Shm fs-shm(grph G, No u, int &tim, int[ ] t, int[ ] ft) tim = tim + ; t[u] = tim forh v G.j(u) o if t[v] == 0 thn { visit l ro (u, v) (lro) } fs-shm(g, v, tim, t, ft) ls if t[u] > t[v] n ft[v] == 0 thn { visit l ro (u, v) (initro) } ls if t[u] < t[v] n ft[v] 0 thn { visit l ro (u, v) (vnti) } ls { visit l ro (u, v) (ttrvrsmnto) } tim = tim + ; ft[u] = tim [, ] [, ] Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 45 / 7
105 Clssifizion gli rhi Shm fs-shm(grph G, No u, int &tim, int[ ] t, int[ ] ft) tim = tim + ; t[u] = tim forh v G.j(u) o if t[v] == 0 thn { visit l ro (u, v) (lro) } fs-shm(g, v, tim, t, ft) ls if t[u] > t[v] n ft[v] == 0 thn { visit l ro (u, v) (initro) } ls if t[u] < t[v] n ft[v] 0 thn { visit l ro (u, v) (vnti) } ls { visit l ro (u, v) (ttrvrsmnto) } tim = tim + ; ft[u] = tim [, ] [, ] t[v] = 0 Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 45 / 7
106 Clssifizion gli rhi Shm fs-shm(grph G, No u, int &tim, int[ ] t, int[ ] ft) tim = tim + ; t[u] = tim forh v G.j(u) o if t[v] == 0 thn { visit l ro (u, v) (lro) } fs-shm(g, v, tim, t, ft) ls if t[u] > t[v] n ft[v] == 0 thn { visit l ro (u, v) (initro) } ls if t[u] < t[v] n ft[v] 0 thn { visit l ro (u, v) (vnti) } ls { visit l ro (u, v) (ttrvrsmnto) } tim = tim + ; ft[u] = tim [, ] [, ] [3, ] Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 45 / 7
107 Clssifizion gli rhi Shm fs-shm(grph G, No u, int &tim, int[ ] t, int[ ] ft) tim = tim + ; t[u] = tim forh v G.j(u) o if t[v] == 0 thn { visit l ro (u, v) (lro) } fs-shm(g, v, tim, t, ft) ls if t[u] > t[v] n ft[v] == 0 thn { visit l ro (u, v) (initro) } ls if t[u] < t[v] n ft[v] 0 thn { visit l ro (u, v) (vnti) } ls { visit l ro (u, v) (ttrvrsmnto) } tim = tim + ; ft[u] = tim [, ] [, ] [3, 4] Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 45 / 7
108 Clssifizion gli rhi Shm fs-shm(grph G, No u, int &tim, int[ ] t, int[ ] ft) tim = tim + ; t[u] = tim forh v G.j(u) o if t[v] == 0 thn { visit l ro (u, v) (lro) } fs-shm(g, v, tim, t, ft) ls if t[u] > t[v] n ft[v] == 0 thn { visit l ro (u, v) (initro) } ls if t[u] < t[v] n ft[v] 0 thn { visit l ro (u, v) (vnti) } ls { visit l ro (u, v) (ttrvrsmnto) } tim = tim + ; ft[u] = tim [, ] [, 5] [3, 4] Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 45 / 7
109 Clssifizion gli rhi Shm fs-shm(grph G, No u, int &tim, int[ ] t, int[ ] ft) tim = tim + ; t[u] = tim forh v G.j(u) o if t[v] == 0 thn { visit l ro (u, v) (lro) } fs-shm(g, v, tim, t, ft) ls if t[u] > t[v] n ft[v] == 0 thn { visit l ro (u, v) (initro) } ls if t[u] < t[v] n ft[v] 0 thn { visit l ro (u, v) (vnti) } ls { visit l ro (u, v) (ttrvrsmnto) } tim = tim + ; ft[u] = tim [, ] [, 5] t[u] < t[v], ft[v] 0 [3, 4] Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 45 / 7
110 Clssifizion gli rhi Shm fs-shm(grph G, No u, int &tim, int[ ] t, int[ ] ft) tim = tim + ; t[u] = tim forh v G.j(u) o if t[v] == 0 thn { visit l ro (u, v) (lro) } fs-shm(g, v, tim, t, ft) ls if t[u] > t[v] n ft[v] == 0 thn { visit l ro (u, v) (initro) } ls if t[u] < t[v] n ft[v] 0 thn { visit l ro (u, v) (vnti) } ls { visit l ro (u, v) (ttrvrsmnto) } tim = tim + ; ft[u] = tim t[v] = 0 [, ] [, 5] [3, 4] Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 45 / 7
111 Clssifizion gli rhi Shm fs-shm(grph G, No u, int &tim, int[ ] t, int[ ] ft) tim = tim + ; t[u] = tim forh v G.j(u) o if t[v] == 0 thn { visit l ro (u, v) (lro) } fs-shm(g, v, tim, t, ft) ls if t[u] > t[v] n ft[v] == 0 thn { visit l ro (u, v) (initro) } ls if t[u] < t[v] n ft[v] 0 thn { visit l ro (u, v) (vnti) } ls { visit l ro (u, v) (ttrvrsmnto) } tim = tim + ; ft[u] = tim [, ] [, 5] [6, ] [3, 4] Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 45 / 7
112 Clssifizion gli rhi Shm fs-shm(grph G, No u, int &tim, int[ ] t, int[ ] ft) tim = tim + ; t[u] = tim forh v G.j(u) o if t[v] == 0 thn { visit l ro (u, v) (lro) } fs-shm(g, v, tim, t, ft) ls if t[u] > t[v] n ft[v] == 0 thn { visit l ro (u, v) (initro) } ls if t[u] < t[v] n ft[v] 0 thn { visit l ro (u, v) (vnti) } ls { visit l ro (u, v) (ttrvrsmnto) } tim = tim + ; ft[u] = tim [, ] [, 5] [6, ] t[u] > t[v], ft[v] = 0 [3, 4] Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 45 / 7
113 Clssifizion gli rhi Shm fs-shm(grph G, No u, int &tim, int[ ] t, int[ ] ft) tim = tim + ; t[u] = tim forh v G.j(u) o if t[v] == 0 thn { visit l ro (u, v) (lro) } fs-shm(g, v, tim, t, ft) ls if t[u] > t[v] n ft[v] == 0 thn { visit l ro (u, v) (initro) } ls if t[u] < t[v] n ft[v] 0 thn { visit l ro (u, v) (vnti) } ls { visit l ro (u, v) (ttrvrsmnto) } tim = tim + ; ft[u] = tim [, ] [, 5] [6, ] othrwis [3, 4] Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 45 / 7
114 Clssifizion gli rhi Shm fs-shm(grph G, No u, int &tim, int[ ] t, int[ ] ft) tim = tim + ; t[u] = tim forh v G.j(u) o if t[v] == 0 thn { visit l ro (u, v) (lro) } fs-shm(g, v, tim, t, ft) ls if t[u] > t[v] n ft[v] == 0 thn { visit l ro (u, v) (initro) } ls if t[u] < t[v] n ft[v] 0 thn { visit l ro (u, v) (vnti) } ls { visit l ro (u, v) (ttrvrsmnto) } tim = tim + ; ft[u] = tim [, ] [, 5] [6, 7] [3, 4] Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 45 / 7
115 Clssifizion gli rhi Shm fs-shm(grph G, No u, int &tim, int[ ] t, int[ ] ft) tim = tim + ; t[u] = tim forh v G.j(u) o if t[v] == 0 thn { visit l ro (u, v) (lro) } fs-shm(g, v, tim, t, ft) ls if t[u] > t[v] n ft[v] == 0 thn { visit l ro (u, v) (initro) } ls if t[u] < t[v] n ft[v] 0 thn { visit l ro (u, v) (vnti) } ls { visit l ro (u, v) (ttrvrsmnto) } tim = tim + ; ft[u] = tim [, 8] [, 5] [6, 7] [3, 4] Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 45 / 7
116 Clssifizion gli rhi Shm fs-shm(grph G, No u, int &tim, int[ ] t, int[ ] ft) tim = tim + ; t[u] = tim forh v G.j(u) o if t[v] == 0 thn { visit l ro (u, v) (lro) } fs-shm(g, v, tim, t, ft) ls if t[u] > t[v] n ft[v] == 0 thn { visit l ro (u, v) (initro) } ls if t[u] < t[v] n ft[v] 0 thn { visit l ro (u, v) (vnti) } ls { visit l ro (u, v) (ttrvrsmnto) } tim = tim + ; ft[u] = tim [, 8] [9, ] [, 5] [6, 7] [3, 4] Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 45 / 7
117 Clssifizion gli rhi Shm fs-shm(grph G, No u, int &tim, int[ ] t, int[ ] ft) tim = tim + ; t[u] = tim forh v G.j(u) o if t[v] == 0 thn { visit l ro (u, v) (lro) } fs-shm(g, v, tim, t, ft) ls if t[u] > t[v] n ft[v] == 0 thn { visit l ro (u, v) (initro) } ls if t[u] < t[v] n ft[v] 0 thn { visit l ro (u, v) (vnti) } ls { visit l ro (u, v) (ttrvrsmnto) } tim = tim + ; ft[u] = tim [, 8] [9, ] [, 5] othrwis [6, 7] [3, 4] Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 45 / 7
118 Clssifizion gli rhi Shm fs-shm(grph G, No u, int &tim, int[ ] t, int[ ] ft) tim = tim + ; t[u] = tim forh v G.j(u) o if t[v] == 0 thn { visit l ro (u, v) (lro) } fs-shm(g, v, tim, t, ft) ls if t[u] > t[v] n ft[v] == 0 thn { visit l ro (u, v) (initro) } ls if t[u] < t[v] n ft[v] 0 thn { visit l ro (u, v) (vnti) } ls { visit l ro (u, v) (ttrvrsmnto) } tim = tim + ; ft[u] = tim [, 8] [9, 0] [, 5] [6, 7] [3, 4] Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 45 / 7
119 Clssifizion gli rhi Clssifizion gli rhi Prhè lssifir gli rhi? Possimo imostrr proprità sul tipo gli rhi usr qust proprità pr ostruir lgoritmi migliori Torm Dt un visit i un grfo G = (V, E), pr ogni oppi i noi u, v V, solo un ll onizioni sgunti è vr: Gli intrvlli [t[u], ft[u]] [t[v], ft[v]] sono non-sovrpposti; u, v non sono isnnti l uno ll ltro nll forst DF L intrvllo [t[u], ft[u]] è ontnuto in [t[v], ft[v]]; u è un isnnt i v in un lro DF L intrvllo [t[v], ft[v]] è ontnuto in [t[u], ft[u]]; v è un isnnt i u in un lro DF Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 46 / 7
120 Grfi ilii orintti Tori Torm Un grfo orintto è ilio non sistono rhi ll initro nl grfo. Dimostrzion s: S sist un ilo, si u il primo noo l ilo h vin visitto si (v, u) un ro l ilo. Il mmino h onntt u v vrrà prim o poi visitto, v vrrà soprto l ro ll initro (v, u). solo s: S sist un ro ll initro (u, v), ov v è un ntnto i u, llor sist un mmino v u un ro u v, ovvro un ilo. Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 47 / 7
121 Grfi ilii orintti Applizion : DAG ooln hscyl(grph G, No u, int &tim, int[ ] t, int[ ] ft) tim = tim + ; t[u] = tim forh v G.j(u) o if t[v] == 0 thn if hscyl(g, v, tim, t, ft) thn rturn tru ls if t[u] > t[v] n ft[v] == 0 thn rturn tru tim = tim + ; rturn fls ft[u] = tim Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 48 / 7
122 Grfi ilii orintti Applizion : DAG Aro ll lro t[v] == 0 Aro ll initro: t[u] > t[v] n ft[v] = 0 Aro in vnti: t[u] < t[v] n ft[v] 0 Aro ttrvrsmnto: ltrimnti Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 49 / 7
123 Grfi ilii orintti Applizion : DAG [, ] Aro ll lro t[v] == 0 Aro ll initro: t[u] > t[v] n ft[v] = 0 Aro in vnti: t[u] < t[v] n ft[v] 0 Aro ttrvrsmnto: ltrimnti Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 49 / 7
124 Grfi ilii orintti Applizion : DAG t[v] = 0 [, ] Aro ll lro t[v] == 0 Aro ll initro: t[u] > t[v] n ft[v] = 0 Aro in vnti: t[u] < t[v] n ft[v] 0 Aro ttrvrsmnto: ltrimnti Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 49 / 7
125 Grfi ilii orintti Applizion : DAG [, ] [, ] Aro ll lro t[v] == 0 Aro ll initro: t[u] > t[v] n ft[v] = 0 Aro in vnti: t[u] < t[v] n ft[v] 0 Aro ttrvrsmnto: ltrimnti Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 49 / 7
126 Grfi ilii orintti Applizion : DAG [, ] t[v] = 0 [, ] Aro ll lro t[v] == 0 Aro ll initro: t[u] > t[v] n ft[v] = 0 Aro in vnti: t[u] < t[v] n ft[v] 0 Aro ttrvrsmnto: ltrimnti Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 49 / 7
127 Grfi ilii orintti Applizion : DAG [, ] [, ] [3, ] Aro ll lro t[v] == 0 Aro ll initro: t[u] > t[v] n ft[v] = 0 Aro in vnti: t[u] < t[v] n ft[v] 0 Aro ttrvrsmnto: ltrimnti Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 49 / 7
128 Grfi ilii orintti Applizion : DAG [, ] [, ] [3, 4] Aro ll lro t[v] == 0 Aro ll initro: t[u] > t[v] n ft[v] = 0 Aro in vnti: t[u] < t[v] n ft[v] 0 Aro ttrvrsmnto: ltrimnti Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 49 / 7
129 Grfi ilii orintti Applizion : DAG [, 5] [, ] [3, 4] Aro ll lro t[v] == 0 Aro ll initro: t[u] > t[v] n ft[v] = 0 Aro in vnti: t[u] < t[v] n ft[v] 0 Aro ttrvrsmnto: ltrimnti Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 49 / 7
130 Grfi ilii orintti Applizion : DAG [, 5] [, ] t[u] < t[v], ft[v] 0 [3, 4] Aro ll lro t[v] == 0 Aro ll initro: t[u] > t[v] n ft[v] = 0 Aro in vnti: t[u] < t[v] n ft[v] 0 Aro ttrvrsmnto: ltrimnti Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 49 / 7
131 Grfi ilii orintti Applizion : DAG [, 5] [, 6] [3, 4] Aro ll lro t[v] == 0 Aro ll initro: t[u] > t[v] n ft[v] = 0 Aro in vnti: t[u] < t[v] n ft[v] 0 Aro ttrvrsmnto: ltrimnti Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 49 / 7
132 Grfi ilii orintti Applizion : DAG Non vin iniviuto nssun ro ll initro, quini tutt l himt riorsiv rrivrnno l trmin ritornrnno fls. ooln hscyl(grph G, No u, int &tim, int[ ] t, int[ ] ft) tim = tim + ; t[u] = tim forh v G.j(u) o if t[v] == 0 thn if hscyl(g, v, tim, t, ft) thn rturn tru ls if t[u] > t[v] n ft[v] == 0 thn rturn tru tim = tim + ; rturn fls ft[u] = tim Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 50 / 7
133 Grfi ilii orintti Applizion : DAG Aro ll lro t[v] == 0 Aro ll initro: t[u] > t[v] n ft[v] = 0 Aro in vnti: t[u] < t[v] n ft[v] 0 Aro ttrvrsmnto: ltrimnti Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 5 / 7
134 Grfi ilii orintti Applizion : DAG [, ] Aro ll lro t[v] == 0 Aro ll initro: t[u] > t[v] n ft[v] = 0 Aro in vnti: t[u] < t[v] n ft[v] 0 Aro ttrvrsmnto: ltrimnti Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 5 / 7
135 Grfi ilii orintti Applizion : DAG t[v] = 0 [, ] Aro ll lro t[v] == 0 Aro ll initro: t[u] > t[v] n ft[v] = 0 Aro in vnti: t[u] < t[v] n ft[v] 0 Aro ttrvrsmnto: ltrimnti Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 5 / 7
136 Grfi ilii orintti Applizion : DAG [, ] [, ] Aro ll lro t[v] == 0 Aro ll initro: t[u] > t[v] n ft[v] = 0 Aro in vnti: t[u] < t[v] n ft[v] 0 Aro ttrvrsmnto: ltrimnti Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 5 / 7
137 Grfi ilii orintti Applizion : DAG [, ] t[v] = 0 [, ] Aro ll lro t[v] == 0 Aro ll initro: t[u] > t[v] n ft[v] = 0 Aro in vnti: t[u] < t[v] n ft[v] 0 Aro ttrvrsmnto: ltrimnti Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 5 / 7
138 Grfi ilii orintti Applizion : DAG [, ] [, ] [3, ] Aro ll lro t[v] == 0 Aro ll initro: t[u] > t[v] n ft[v] = 0 Aro in vnti: t[u] < t[v] n ft[v] 0 Aro ttrvrsmnto: ltrimnti Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 5 / 7
139 Grfi ilii orintti Applizion : DAG [, ] [, ] t[u] > t[v], ft[v] = 0 [3, ] Aro ll lro t[v] == 0 Aro ll initro: t[u] > t[v] n ft[v] = 0 Aro in vnti: t[u] < t[v] n ft[v] 0 Aro ttrvrsmnto: ltrimnti Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 5 / 7
140 Grfi ilii orintti Applizion : DAG Vin iniviuto un ro ll initro, h us l rstituzion i tru in un himt l onsgunt rstituzion i tru prt i tutt l himt riorsiv prnti. ooln hscyl(grph G, No u, int &tim, int[ ] t, int[ ] ft) tim = tim + ; t[u] = tim forh v G.j(u) o if t[v] == 0 thn if hscyl(g, v, tim, t, ft) thn rturn tru ls if t[u] > t[v] n ft[v] == 0 thn rturn tru tim = tim + ; rturn fls ft[u] = tim Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 5 / 7
141 Orinmnto topologio Orinmnto topologio rinmnto topologio Dto un Dfinizion DAG G (irt yli grph), un orinmnto topologio su G è un orinmnto Dto unlinr DAG i G, suoi un orinmnto vrtii tl pr topologio ui: i G è un orinmnto s linr G ontin i l ro suoi noi (u,v), llor tl h u ompr s (u, prim v) i E, v nll orinmnto llor u ppr prim i Pr v nll orinmnto. trnsitività, onsgu h s v è rggiungiil u, llor u ompr prim i v nll'orinmnto Esistono più orinmnti topologii Not: Spossono il grfossri ontin più orinmnti un ilo, topologii non sist un orinmnto topologio Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 lrto Montrsor 7453 / 7
142 Orinmnto topologio Orinmnto topologio Prolm Srivr un lgoritmo h prn in input un DAG ritorn un orinmnto topologio pr sso. Niv solution Trovr un noo snz rhi ntrnti Aggiungr qusto noo nll orinmnto rimuovrlo, insim tutti i suoi rhi Riptr qust prour fino quno tutti i noi sono stti rimossi Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 54 / 7
143 Orinmnto topologio Orinmnto topologio - Algoritmi niv Soluzion irtt Output: Output: Output: Output: 3 5 Output: 3 5 Output: Alrto Montrsor 76 Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 55 / 7
144 Orinmnto topologio Orinmnto topologio sto su Algoritmo Esguir un nl qul l oprzion i visit onsist nll ggiungr il noo in tst un list, "t finish tim" (post-orin) Rstituir l list osì ottnut. Output L squnz i noi, orinti pr tmpo rsnt i fin. Prhè funzion? Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 56 / 7
145 Orinmnto topologio Orinmnto topologio sto su Algoritmo Esguir un nl qul l oprzion i visit onsist nll ggiungr il noo in tst un list, "t finish tim" (post-orin) Rstituir l list osì ottnut. Output L squnz i noi, orinti pr tmpo rsnt i fin. Prhè funzion? Quno un noo è "finito", tutti i suoi isnnti sono stti soprti ggiunti ll list. Aggiungnolo in tst ll list, il noo è in orin orrtto. Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 56 / 7
146 Orinmnto topologio Orinmnto topologio - L lgoritmo Stk topsort(grph G) Stk S Stk() ooln[ ] visit = ooln[... G.siz()] forh u G.V() o visit[u] = fls forh u G.V() o if not visit[u] thn ts-fs(g, u, visit, S) rturn S ts-fs(grph G, No u, ooln[ ] visit, Stk S) visit[u] = tru forh v G.j(u) o if not visit[v] thn ts-fs(g, v, visit, S) S.push(u) Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 57 / 7
147 Orinmnto topologio Orinmnto topologio Esmpio Stk = { } Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 58 / 7
148 Orinmnto topologio Orinmnto topologio Esmpio [, ] Stk = { } Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 58 / 7
149 Orinmnto topologio Orinmnto topologio Esmpio [, ] [, ] Stk = { } Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 58 / 7
150 Orinmnto topologio Orinmnto topologio Esmpio [, ] [, ] [3, ] Stk = { } Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 58 / 7
151 Orinmnto topologio Orinmnto topologio Esmpio [, ] [, ] [3, 4] Stk = { } Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 58 / 7
152 Orinmnto topologio Orinmnto topologio Esmpio [, ] [, 5] [3, 4] Stk = {, } Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 58 / 7
153 Orinmnto topologio Orinmnto topologio Esmpio [, ] [, 5] [3, 4] Stk = {, } Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 58 / 7
154 Orinmnto topologio Orinmnto topologio Esmpio [6, ] [, ] [, 5] [3, 4] Stk = {, } Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 58 / 7
155 Orinmnto topologio Orinmnto topologio Esmpio [6, ] [, ] [, 5] [7, ] [3, 4] Stk = {, } Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 58 / 7
156 Orinmnto topologio Orinmnto topologio Esmpio [6, ] [, ] [, 5] [7, 8] [3, 4] Stk = {,, } Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 58 / 7
157 Orinmnto topologio Orinmnto topologio Esmpio [6, 9] [, ] [, 5] [7, 8] [3, 4] Stk = {,,, } Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 58 / 7
158 Orinmnto topologio Orinmnto topologio Esmpio [6, 9] [, 0] [, 5] [7, 8] [3, 4] Stk = {,,,, } Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 58 / 7
159 Orinmnto topologio Orinmnto topologio Esmpio [6, 9] [, 0] [, 5] [7, 8] [3, 4] Stk = {,,,, } Stk = { } Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 58 / 7
160 Orinmnto topologio Orinmnto topologio Esmpio [6, 9] [, 0] [, 5] [7, 8] [3, 4] [, ] Stk = {,,,, } Stk = { } Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 58 / 7
161 Orinmnto topologio Orinmnto topologio Esmpio [6, 9] [, 0] [, 5] [7, 8] [3, 4] [3, 4] [, ] Stk = {,,,, } Stk = {, } Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 58 / 7
162 Orinmnto topologio Orinmnto topologio Esmpio [6, 9] [, 0] [, 5] [7, 8] [3, 4] [5, 6] [3, 4] [, ] Stk = {,,,, } Stk = {,, } Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 58 / 7
163 Orinmnto topologio Orinmnto topologio Esmpio [6, 9] [7, 8] [, 0] [, 5] [7, 8] [3, 4] [5, 6] [3, 4] [, ] Stk = {,,,, } Stk = {,,, } Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 58 / 7
164 Orinmnto topologio Orinmnto topologio Esmpio [6, 9] [7, 8] [, 0] [, 5] [7, 8] [3, 4] [9, 0] [5, 6] [3, 4] [, ] Stk = {,,,, } Stk = {,,,, } Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 58 / 7
165 Componnti fortmnt onnss Grfi omponnti fortmnt onnssi Dfinizioni Un grfo orintto G = (V, E) è onnsso ogni suo noo è rggiungiil ogni ltro suo noo Un grfo orintto G = (V, E ) è un omponnt onnss G è un sottogrfo onnsso mssiml i G G è un sottogrfo i G (G G) V V E E G è mssiml s non sist nssun ltro sottogrfo G i G tl h G è onnsso più grn i G (i.. G G G) f Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 59 / 7
166 Componnti fortmnt onnss Componnti fortmnt onnss Domn Quli sono l omponnti onnss i qusto grfo? f Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 60 / 7
167 Componnti fortmnt onnss Componnti fortmnt onnss Domn Quli sono l omponnti onnss i qusto grfo? f Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 60 / 7
168 Componnti fortmnt onnss Soluzion "ingnu" ( non orrtt) Si ppli l lgoritmo () l grfo Purtroppo, il risultto ipn l noo i prtnz 3 f Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 6 / 7
169 Componnti fortmnt onnss Soluzion "ingnu" ( non orrtt) Si ppli l lgoritmo () l grfo Purtroppo, il risultto ipn l noo i prtnz f Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 6 / 7
170 Componnti fortmnt onnss Soluzion "ingnu" ( non orrtt) Si ppli l lgoritmo () l grfo Purtroppo, il risultto ipn l noo i prtnz f Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 6 / 7
171 Componnti fortmnt onnss Algoritmo i Kosrju Kosrju Algorithm (978) Effttu un visit l grfo G Clol il grfo trsposto G t Esgui un visit sul grfo G t utilizzno, sminno i noi nll orin invrso i tmpo i fin ll prim visit L omponnti onnss ( i rltivi lri DF) rpprsntno l omponnti fortmnt onnss i G int[ ] s(grph G) Stk S = topsort(g) G T trnspos(g) rturn (G T, S) % First visit % Grph trnsposl % Son visit Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 6 / 7
172 Componnti fortmnt onnss Orinmnto topologio su grfi gnrli I gnrl Applino l lgoritmo i orinmnto topologio su un grfo gnrl, simo siuri h: s un ro (u, v) non pprtin un ilo, llor u vin listto prim i v nll squnz orint Utilizzimo quini topsort() pr ottnr i noi in orin rsnt i tmpo i fin. Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 63 / 7
173 Componnti fortmnt onnss Esuzion : Orinmnto topologio [, ] [3, 0] [, ] [7, 8] [4, 9] f [5, 6] Stk = {,,,,, f } Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 64 / 7
174 Componnti fortmnt onnss Clolo l grfo trsposto Grfo trsposto (Trnspos grph) Dto un grfo orintto G = (V, E), il grfo trsposto G t = (V, E T ) h gli stssi noi gli rhi orintti in snso opposto.: E T = {(u, v) (v, u) E} int[ ] trnspos(grph G) Grph G T = Grph() forh u G.V() o G T.insrtNo(u) forh u G.V() o forh v G.j(u) o G T.insrtEg(v, u) Costo omputzionl: O(m+n) O(n) noi ggiunti O(m) rhi ggiunti Ogni oprzion ost O() rturn G T Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 65 / 7
175 Componnti fortmnt onnss Esuzion : Grfo trsposto f Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 66 / 7
176 Componnti fortmnt onnss Esuzion : Grfo trsposto f Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 66 / 7
177 Componnti fortmnt onnss Clolo ll omponnti onnss Inst of xmining th nos in n ritrry orr, this vrsion of () xmins thm in th orr in whih thy r stor in stk. (Grph G, int[ ] i, Stk S) forh u G.V() o i[u] = 0 int ountr = 0 whil not S.isEmpty() o u = S.pop() if i[u] == 0 thn ountr = ountr + fs(g, ountr, u, i) fs(grph G, int ountr, No u, int[ ] i) i[u] = ountr forh v G.j(u) o if i[v] == 0 thn fs(g, ountr, v, i) rturn i Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 67 / 7
178 Componnti fortmnt onnss Esuzion : Componnti onnss [3, 4] [5, ] [, ] [6, 9] f [0, ] [7, 8] Stk = {,,,,, f } Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 68 / 7
179 Componnti fortmnt onnss SCC: Th lgorithm int[ ] s(grph G) Stk S = topsort(g) G T trnspos(g) rturn (G T, S) % First visit % Grph trnsposl % Son visit Costo omputzionl: O(m + n) Ogni fs rihi O(m + n) Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 69 / 7
180 Componnti fortmnt onnss Esuzion : Orinmnto topologio [0, ] [, 7] [9, ] [4, 5] [3, 6] f [, 8] Stk = {,, f,,, } Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 70 / 7
181 Componnti fortmnt onnss Esuzion : Grfo trsposto f Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 7 / 7
182 Componnti fortmnt onnss Esuzion : Grfo trsposto f Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 7 / 7
183 Componnti fortmnt onnss Esuzion : Componnti onnss [3, 4] [7, 0] [, ] [5, ] f [6, ] [8, 9] Stk = {,, f,,, } Alrto Montrsor (UniTN) ASD - Grfi 08//7 7 / 7
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