Algoritmi e Strutture Dati. Grafi

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1 Algoritmi e Strutture Dti Grfi Alberto Montresor Università di Trento 2019/01/13 This work is licensed under Cretive Commons Attribution-ShreAlike 4.0 Interntionl License.

2 Sommrio 1 Introduzione Esempi Definizioni Specific Memorizzzione 2 Visite dei grfi 3 BFS Cmmini più brevi 4 Componenti connesse Grfi ciclici non orientti Clssificzione degli rchi Grfi ciclici orientti Ordinmento topologico Componenti fortemente connesse

3 Introduzione Esempi Esempi Esempi di grfi Alberto Montresor 2 Alberto Montresor (UniTN) ASD - Grfi 2019/01/13 1 / 101

4 Introduzione Esempi Problemi reltivi i grfi Problemi in grfi non pesti Ricerc del cmmino più breve (misurto in numero di rchi) Componenti (fortemente) connesse, verific ciclicità, ordinmento topologico Problemi in grfi pesti Cmmini di peso minimo Alberi di copertur di peso minimo Flusso mssimo Alberto Montresor (UniTN) ASD - Grfi 2019/01/13 2 / 101

5 Introduzione Esempi Problemi reltivi i grfi Moltissimi problemi possono essere visti come problemi su grfi. Sebbene i problemi bbino form strtt, le loro ppliczioni si trovno poi negli mbiti più disprti Esempi Qundo cercte qulcuno su LinkedIn, vi restituisce un "grdo di conoscenz": e.g., l lunghezz del più breve cmmino fr me e Bill Gtes nell rete socile di LinkedIn è pri 3. L ordinmento topologico viene utilizzto per stbilire un ordine di zioni in un grfo di dipendenze. Gli lgoritmi di model checking utilizzti per l verific formle del softwre sono bsti sull identificzione delle componenti fortemente connesse. Alberto Montresor (UniTN) ASD - Grfi 2019/01/13 3 / 101

6 Introduzione Esempi Un esempio di ppliczione Wtson e Holmes indgno sull morte del duc McPollock Wtson: Ci sono novità, Holmes: pre che il testmento, ndto distrutto nell esplosione, fosse stto fvorevole d un delle sette miche del duc. Holmes: Ciò che è più strno, è che l bomb si stt fbbrict ppositmente per essere nscost nell rmtur dell cmer d letto, il che f supporre che l ssssino bbi necessrimente ftto più di un visit l cstello. Wtson: Ho interrogto personlmente le sette donne, m ciscun h giurto di essere stt nel cstello un sol volt nell su vit. Dgli interrogtori risult che: Ann h incontrto Betty, Chrlotte, Felici e Georgi; Betty h incontrto Ann, Chrlotte, Edith, Felici e Helen; Chrlotte h incontrto Ann, Betty e Edith; Edith h incontrto Betty, Chrlotte, Felici; Felici h incontrto Ann, Betty, Edith, Helen; Georgi h incontrto Ann e Helen; Helen h incontrto Betty, Felici e Georgi. Vedete, Holmes, che le testimoninze concordno. M chi srà l ssssino? Holmes: Elementre, mio cro Wtson: ciò che mi vete detto individu inequivocbilmente l ssssino! Alberto Montresor (UniTN) ASD - Grfi 2019/01/13 4 / 101

7 Introduzione Esempi Un esempio di ppliczione f e h b c g h g b b h g h g b Alberto Montresor (UniTN) ASD - Grfi 2019/01/13 5 / 101

8 Introduzione Definizioni Grfi orientti e non orientti: definizioni Grfo orientto (directed) È un coppi G = (V, E) dove: V è un insieme di nodi (node) o vertici (vertex) E è un insieme di coppie ordinte (u, v) di nodi dette rchi (edge) V = {,b,c,d,e,f } E = { (,b), (,d), (b,c), (d,), (d,c), (d,e), (e,c) } b d c e f Alberto Montresor (UniTN) ASD - Grfi 2019/01/13 6 / 101

9 Introduzione Definizioni Grfi orientti e non orientti: definizioni Grfo non orientto (undirected) È un coppi G = (V, E) dove: V è un insieme di nodi (node) o vertici (vertex) E è un insieme di coppie non ordinte (u, v) dette rchi (edge) V = {,b,c,d,e,f } E = { (,b), (,d), (b,c), (c,d), (d,e), (c,e) } b c f d e Alberto Montresor (UniTN) ASD - Grfi 2019/01/13 7 / 101

10 Introduzione Definizioni Terminologi Un vertice v è detto dicente u se esiste un rco (u, v) Un rco (u, v) è detto incidente d u v In un grfo indiretto, l relzione di dicenz è simmetric b d c e f (, b) è incidente d b (, d) è incidente d d (d, ) è incidente d d b è dicente d è dicente è dicente d Alberto Montresor (UniTN) ASD - Grfi 2019/01/13 8 / 101

11 Introduzione Definizioni Dimensioni del grfo Definizioni n = V : numero di nodi m = E : numero di rchi Alcune relzioni fr n e m In grfo non orientto, m n(n 1) 2 = O(n 2 ) In grfo orientto, m n 2 n = O(n 2 ) Complessità di lgoritmi su grfi L complessità è espress in termini si di n che di m (d es. O(n + m)) Alberto Montresor (UniTN) ASD - Grfi 2019/01/13 9 / 101

12 Introduzione Definizioni Alcuni csi specili Un grfo con un rco fr tutte le coppie di nodi è detto completo Informlmente (non c è ccordo sull definizione) Un grfo si dice sprso se h "pochi rchi"; grfi con m = O(n), m = O(n log n) sono considerti sprsi Un grfo si dice denso se h "tnti rchi"; e.g., m = Ω(n 2 ) b c b c d e d e Alberto Montresor (UniTN) ASD - Grfi 2019/01/13 10 / 101

13 Introduzione Definizioni Alcuni csi specili Un lbero libero (free tree) è un grfo connesso con m = n 1 Un lbero rdicto (rooted tree) è un grfo connesso con m = n 1 nel qule uno dei nodi è designto come rdice. Un insieme di lberi è un grfo detto forest b c b c d e f root d e f g h i Alberto Montresor (UniTN) ASD - Grfi 2019/01/13 11 / 101

14 Introduzione Definizioni Definizioni: Grdo Grfi non orientti Il grdo (degree) di un nodo è il numero di rchi incidenti su di esso. Grfi orientti Il grdo entrnte (in-degree) di un nodo è il numero di rchi incidenti su di esso. Il grdo uscente (out-degree) di un nodo è il numero di rchi incidenti d esso. 2 2 b d 3 3 c e 2 0 f in 1 out 2 in 1 out 1 b d in 1 out 3 in 3 out 0 c e in 1 out 1 f in 0 out 0 Alberto Montresor (UniTN) ASD - Grfi 2019/01/13 12 / 101

15 Introduzione Definizioni Definizioni: Cmmino Cmmino (Pth) In un grfo G = (V, E) (orientto oppure no), un cmmino C di lunghezz k è un sequenz di nodi u 0, u 1,..., u k tle che (u i, u i+1 ) E per 0 i k 1. b d c e Esempio:, b, c, e, d è un cmmino nel grfo di lunghezz 4 Not: un cmmino è detto semplice se tutti i suoi nodi sono distinti Alberto Montresor (UniTN) ASD - Grfi 2019/01/13 13 / 101

16 Introduzione Definizioni Definizioni: Cmmino Cmmino (Pth) In un grfo G = (V, E) (orientto oppure no), un cmmino C di lunghezz k è un sequenz di nodi u 0, u 1,..., u k tle che (u i, u i+1 ) E per 0 i k 1. b d c e Esempio:, b, c, e, d è un cmmino nel grfo di lunghezz 4 Not: un cmmino è detto semplice se tutti i suoi nodi sono distinti Alberto Montresor (UniTN) ASD - Grfi 2019/01/13 13 / 101

17 Introduzione Specific Specific Grfi dinmici Nell versione più generle, il grfo è un struttur di dti dinmic che permette di ggiungere/rimuovere nodi e rchi. Grph Grph( ) Set V() int size() Set dj(node u) insertnode(node u) insertedge(node u, Node v) deletenode(node u) deleteedge(node u, Node v) % Cre un nuovo grfo % Restituisce l insieme di tutti i nodi % Restituisce il numero di nodi % Restituisce l insieme dei nodi dicenti u % Aggiunge il nodo u l grfo % Aggiunge l rco (u, v) l grfo % Rimuove il nodo u dl grfo % Rimuove l rco (u, v) dl grfo Alberto Montresor (UniTN) ASD - Grfi 2019/01/13 14 / 101

18 Introduzione Specific Specific ridott (senz rimozioni) Grph Grph( ) Set V() int size() In lcuni csi, il grfo è dinmico m sono possibili solo inserimenti Il grfo viene cricto ll inizio e poi non viene modificto Questo h riflessi sull implementzione sottostnte Set dj(node u) insertnode(node u) insertedge(node u, Node v) % Cre un nuovo grfo % Restituisce l insieme di tutti i nodi % Restituisce il numero di nodi % Restituisce l insieme dei nodi dicenti u % Aggiunge il nodo u l grfo % Aggiunge l rco (u, v) l grfo Alberto Montresor (UniTN) ASD - Grfi 2019/01/13 15 / 101

19 Introduzione Memorizzzione Memorizzre grfi Due possibili pprocci Mtrici di dicenz Liste di dicenz Alberto Montresor (UniTN) ASD - Grfi 2019/01/13 16 / 101

20 Introduzione Memorizzzione Mtrice di dicenz: grfi orientti m uv = { 1 (u, v) E 0 (u, v) E Spzio = n 2 bit Alberto Montresor (UniTN) ASD - Grfi 2019/01/13 17 / 101

21 Introduzione Memorizzzione Liste di dicenz: grfi orientti G.dj(u) = {v (u, v) E} Spzio = n + bm bit b Alberto Montresor (UniTN) ASD - Grfi 2019/01/13 18 / 101

22 Introduzione Memorizzzione Mtrice di dicenz: grfi non orientti m uv = { 1 (u, v) E 0 (u, v) E Spzio = n 2 oppure n(n 1)/2 bit Alberto Montresor (UniTN) ASD - Grfi 2019/01/13 19 / 101

23 Introduzione Memorizzzione Liste di dicenz: grfo non orientto G.dj(u) = {v (u, v) E} Spzio = n + 2 bm b Alberto Montresor (UniTN) ASD - Grfi 2019/01/13 20 / 101

24 Introduzione Memorizzzione Mtrice di dicenz: grfi pesti Grfi pesti Gli rchi possono vere un peso (costo, profitto, etc.) Il peso è dto d un funzione di peso w : V V R Se non esiste rco fr due vertici, il peso ssume un vlore che dipende dl problem - e.g. w(u, v) = 0 oppure Alberto Montresor (UniTN) ASD - Grfi 2019/01/13 21 / 101

25 Introduzione Memorizzzione Liste di dicenz: grfi pesti Grfi pesti Gli rchi possono vere un peso (costo, profitto, etc.) Il peso è dto d un funzione di peso w : V V R Se non esiste rco fr due vertici, il peso ssume un vlore che dipende dl problem - e.g. w(u, v) = + oppure b 1(3) 3(1) 1 0(3) 2(4) (4) 0(1) 3(4) 2(4) 4(7) 4(8) (7) 3(8) Alberto Montresor (UniTN) ASD - Grfi 2019/01/13 22 / 101

26 Introduzione Memorizzzione Liste di dicenz - vrizioni sul tem Si il concetto di list di djcenz che il concetto di list dei nodi possono essere declinti in molti modi: Struttur Jv C++ Python List collegt LinkedList list Vettore sttico [] [] [] Vettore dinmico ArryList vector list Insieme HshSet set set TreeSet Dizionrio HshMp TreeMp mp dict Alberto Montresor (UniTN) ASD - Grfi 2019/01/13 23 / 101

27 Introduzione Memorizzzione Vettore di dicenz: grfo orientto G.dj(u) = {v (u, v) E} Spzio = n + bm bit b Alberto Montresor (UniTN) ASD - Grfi 2019/01/13 24 / 101

28 Introduzione Memorizzzione Dettgli sull implementzione Se non diversmente specificto, nel seguito: Assumeremo che l implementzione si bst su vettori di dicenz, sttici o dinmici Assumeremo che l clsse Node si equivlente int (quindi l ccesso lle informzioni vrà costo O(1)) Assumeremo che le operzioni per ggiungere nodi e rchi bbino costo O(1) Assumeremo che dopo l inizilizzzione, il grfo si sttico Alberto Montresor (UniTN) ASD - Grfi 2019/01/13 25 / 101

29 Introduzione Memorizzzione Implementzione (pest) con dizionri Python clss Grph: def init (self): self.nodes = { } def V(self): return self.nodes.keys() def size(self) return len(self.nodes) def insertnode(self,u): if u not in self.nodes: self.nodes[u] = { } def insertedge(self, u, v, w=0): self.insertnode(u) self.insertnode(v) self.nodes[u][v] = w def dj(self, u): if u in self.nodes: return self.nodes[u] Alberto Montresor (UniTN) ASD - Grfi 2019/01/13 26 / 101

30 Introduzione Memorizzzione Implementzione (pest) con dizionri Python 1 grph = Grph() for u,v in [ (, b ), (, d ), ( b, c ), ( d, ), ( d, c ), ( d, e ), ( e, c ) ]: grph.insertedge(u,v) for u in grph.v(): print(u, "->", grph.dj(u)) f -> {} b -> { c : 0} e -> { c : 0} -> { b : 0, d : 0} d -> { e : 0, c : 0, : 0} c -> {} b d c e f 1 Guido vn Rossum Alberto Montresor (UniTN) ASD - Grfi 2019/01/13 27 / 101

31 Introduzione Memorizzzione Iterzione su nodi e rchi Iterzione su tutti i nodi del grfo forech u G.V() do { Esegui operzioni sul nodo u } Iterzione su tutti i nodi e rchi del grfo forech u G.V() do { Esegui operzioni sul nodo u } forech v G.dj(u) do { Esegui operzioni sull rco (u, v) } Costo computzionle O(m + n) con liste di dicenz O(n 2 ) con mtrici di dicenz Alberto Montresor (UniTN) ASD - Grfi 2019/01/13 28 / 101

32 Introduzione Memorizzzione Rissumendo Mtrici di dicenz Spzio richiesto O(n 2 ) Verificre se u è dicente v richiede tempo O(1) Iterre su tutti gli rchi richiede tempo O(n 2 ) Idele per grfi densi Liste di dicenz Spzio richiesto O(n + m) Verificre se u è dicente v richiede tempo O(n) Iterre su tutti gli rchi richiede tempo O(n + m) Idele per grfi sprsi Alberto Montresor (UniTN) ASD - Grfi 2019/01/13 29 / 101

33 Visite dei grfi Visite dei grfi Definizione del problem Dto un grfo G = (V, E) e un vertice r V (rdice, sorgente), visitre un e un volt sol tutti i nodi del grfo che possono essere rggiunti d r Visit in mpiezz (Bredth-first serch) (BFS) Visit dei nodi per livelli: prim si visit l rdice, poi i nodi distnz 1 dll rdice, poi distnz 2, etc. Appliczione: clcolre i cmmini più brevi d un singol sorgente Alberto Montresor (UniTN) ASD - Grfi 2019/01/13 30 / 101

34 Visite dei grfi Visite dei grfi Definizione del problem Dto un grfo G = (V, E) e un vertice r V (rdice, sorgente), visitre un e un volt sol tutti i nodi del grfo che possono essere rggiunti d r Visit in profondità (Depth-First Serch) () Visit ricorsiv: per ogni nodo dicente, si visit ricorsivmente tle nodo, visitndo ricorsivmenti i suoi nodi dicenti, etc. Appliczione: ordinmento topologico Appliczione: componente connesse, componenti fortemente connesse Alberto Montresor (UniTN) ASD - Grfi 2019/01/13 30 / 101

35 Visite dei grfi Visit: leggermente più difficile di qunto sembri Un pproccio ingenuo ll visit di un grfo potrebbe essere il seguente: visit(grph G) forech u G.V() do { visit nodo u } forech v G.dj(u) do { visit rco (u, v) } L struttur del grfo non è tenut in considerzione Si iter su tutti i nodi e gli rchi senz nessun criterio Alberto Montresor (UniTN) ASD - Grfi 2019/01/13 31 / 101

36 Visite dei grfi Visit: leggermente più difficile di qunto sembri Un possibile pproccio: utilizzre le visite degli lberi Chimre un BFS prtire d un nodo I nodi dicenti sono trttti come figli BFSTrversl(Grph G, int r) Queue Q = Queue() Q.enqueue(r) while not Q.isEmpty() do Node u = Q.dequeue() { visit il nodo u } forech v G.dj(u) do Q.enqueue(v) c d e b f g h Queue = { } j l k Alberto Montresor (UniTN) ASD - Grfi 2019/01/13 32 / 101

37 Visite dei grfi Esempio: Visit errt c d e k b f g h l Queue = { e,b,,d,,b,d,g } j Alberto Montresor (UniTN) ASD - Grfi 2019/01/13 33 / 101

38 Visite dei grfi Algoritmo generico di ttrversmento grphtrversl(grph G, Node r) Set S = Set() S.insert(r) { mrc il nodo r } while S.size() > 0 do Node u = S.remove() { visit il nodo u } forech v G.dj(u) do { visit l rco (u, v) } if v non è ncor stto mrcto then { mrc il nodo v } S.insert(v) % Insieme generico % D specificre % D specificre % D specificre Alberto Montresor (UniTN) ASD - Grfi 2019/01/13 34 / 101

39 BFS Bredth-first serch - Obiettivi Visitre i nodi distnze crescenti dll sorgente Visitre i nodi distnz k prim di visitre i nodi distnz k + 1 Clcolre il cmmino più breve d r tutti gli ltri nodi Le distnze sono misurte come il numero di rchi ttrversti Generre un lbero bredth-first Generre un lbero contenente tutti i nodi rggiungibili d r, tle per cui il cmmino dll rdice r l nodo u nell lbero corrisponde l cmmino più breve d r u nel grfo. Alberto Montresor (UniTN) ASD - Grfi 2019/01/13 35 / 101

40 BFS Bredth-first serch bfs(grph G, Node r) Queue Q = Queue( ) S.enqueue(r) boolen[ ] visited = new boolen[1... G.size()] forech u G.V() {r} do visited[u] = flse visited[r] = true while not Q.isEmpty() do Node u = Q.dequeue() { visit il nodo u} forech v G.dj(u) do { visit l rco (u, v) } if not visited[v] then visited[v] = true Q.enqueue(v) Alberto Montresor (UniTN) ASD - Grfi 2019/01/13 36 / 101

41 BFS Cmmini più brevi Appliczione BFS: Cmmini più brevi Pul Erdös ( ) Mtemtico rticoli, 500+ co-utori Numero di Erdös Erdös h vlore erdos = 0 I co-utori di Erdös hnno erdos = 1 Se X è co-utore di qulcuno con erdos = k e non è coutore con qulcuno con erdos < k, llor X h erdos = k + 1 Le persone non rggiunte d quest definizione hnno erdos = + Alberto Montresor (UniTN) ASD - Grfi 2019/01/13 37 / 101

42 BFS Cmmini più brevi Alberto Montresor, erdos = 4 Alberto Montresor, erdos = 4 Alberto Montresor (UniTN) ASD - Grfi 2019/01/13 38 /

43 BFS Cmmini più brevi Clcolre il numero di Erdös erdos(grph G, Node r, int[ ] erdős, Node[ ] prent) Queue Q = Queue() Q.enqueue(r) forech u G.V() {r} do erdős[u] = erdős[r] = 0 prent[r] = nil while not Q.isEmpty() do Node u = Q.dequeue() forech v G.dj(u) do if erdős[v] == then % Se il nodo v non è stto scoperto erdős[v] = erdős[u] + 1 prent[v] = u Q.enqueue(v) Alberto Montresor (UniTN) ASD - Grfi 2019/01/13 39 / 101

44 BFS Cmmini più brevi Esempio: Erdös 0 2 b 1 c 2 d 1 e k f g h l Queue = { } j 3 Alberto Montresor (UniTN) ASD - Grfi 2019/01/13 40 / 101

45 BFS Cmmini più brevi Albero BFS (BFS Tree) L visit BFS può essere ust per ottenere il cmmino più breve fr due nodi (misurto in numero di rchi) "Albero di copertur" con rdice r Memorizzto in un vettore dei pdri prent erdos([...], Node[ ] prent) [... ] while not S.isEmpty() do Node u = S.dequeue() forech v G.dj(u) do if erdős[v] == then erdős[v] = erdős[u] + 1 prent[v] = u S.enqueue(v) printpth(node r, Node s, Node[ ] prent) if r == s then print s else if prent[s] == nil then print error else printpth(r, prent[s], prent) print s Alberto Montresor (UniTN) ASD - Grfi 2019/01/13 41 / 101

46 BFS Cmmini più brevi Albero BFS (BFS Tree) 0 2 b 1 c 2 d 1 e k f g h l Queue = { } j 3 Alberto Montresor (UniTN) ASD - Grfi 2019/01/13 42 / 101

47 BFS Cmmini più brevi Complessità BFS Complessità: O(m + n) Ognuno degli n nodi viene inserito nell cod l mssimo un volt Ogni volt che un nodo viene estrtto, tutti i suoi rchi vengono nlizzti un volt sol Il numero di rchi nlizzti è quindi m = u V out d (u) dove out d (u) è l out-degree del nodo u Alberto Montresor (UniTN) ASD - Grfi 2019/01/13 43 / 101

48 Depth-First Serch () Depth-First Serch Spesso un subroutine dell soluzione di ltri problemi Utilizzt per esplorre un intero grfo, non solo i nodi rggiungibili d un singol sorgente Output Invece di un lbero, un forest depth-first G f = (V, E f ) Formt d un collezione di lberi depth-first Struttur dti Stck implicito, ttrverso l ricorsione Stck esplicito Alberto Montresor (UniTN) ASD - Grfi 2019/01/13 44 / 101

49 Depth-First Serch (Ricorsiv, stck implicito) dfs(grph G, Node u, boolen[ ] visited) visited[u] = true { visit il nodo u (pre-order) } forech v G.dj(u) do if not visited[v] then { visit l rco (u, v) } dfs(g, v, visited) { visit il nodo u (post-order) } Complessità: O(m + n) Alberto Montresor (UniTN) ASD - Grfi 2019/01/13 45 / 101

50 If you do not dd unit, you will get th Alberto Montresor (UniTN) ASD - Grfi None 2019/01/13 46 / 101 BFS vs Eseguire un bst su chimte ricorsive può essere rischioso in grfi molto grndi e connessi È possibile che l profondità rggiunt si troppo grnde per l dimensione dello stck del linguggio In tli csi, si preferisce utilizzre un BFS oppure un bst su stck esplicito Defult Vlue Xss defult vlues re pltform specif Stck size in Jv Tble 2 9 Xss Defult Vlues Pltform Defult Windows IA32 64 KB Linux IA KB Windows x86_ KB Linux x86_ KB Windows IA KB Linux IA KB (1 MB) Solris Sprc 512 KB Flgs or Other Options A

51 (Itertiv, stck esplicito, pre-order) dfs(grph G, Node r) Stck S = Stck( ) S.push(r) boolen[ ] visited = new boolen[1... G.size()] forech u G.V() do visited[u] = flse while not S.isEmpty() do Node u = S.pop() if not visited[u] then { visit il nodo u (pre-order) } visited[v] = true forech v G.dj(u) do { visit l rco (u, v) } S.push(v) Note Un nodo può essere inserito nell pil più volte Il controllo se un nodo è già stto visitto viene ftto ll estrzione, non ll inserimento Complessità O(m + n) O(m) visite degli rchi O(m) inserimenti, estrzioni O(n) visite dei nodi Alberto Montresor (UniTN) ASD - Grfi 2019/01/13 47 / 101

52 (Itertiv, stck esplicito, post-order) Visit post-order Qundo un nodo viene scoperto: viene inserito nello stck con il tg discovery Qundo un nodo viene estrtto dll cod con tg discovery: Viene re-inserito con il tg finish Tutti i suoi vicini vengono inseriti Qundo un nodo viene estrtto dll cod con tg finish: Viene effettut l post-visit Alberto Montresor (UniTN) ASD - Grfi 2019/01/13 48 / 101

53 Componenti connesse Componenti (fortemente) connesse Motivzioni Molti lgoritmi che operno sui grfi inizino decomponendo il grfo nel sue componenti connesse. Tli lgoritmi sono eseguiti su ognun delle componenti I risultti sono ricomposti ssieme. Definizioni Componenti connesse, definite su grfi non orientti (Connected components, CC) Componenti fortemente connesse, definite su grfi orientti (Strongly connected components, SCC) Alberto Montresor (UniTN) ASD - Grfi 2019/01/13 49 / 101

54 Componenti connesse Definizioni: Rggiungibilità Definizione Un nodo v è rggiungibile d un nodo u se esiste lmeno un cmmino d u v. Il nodo d è rggiungibile dl nodo e vicevers Il nodo d è rggiungibile dl nodo, m non vicevers b c b c d e d e Alberto Montresor (UniTN) ASD - Grfi 2019/01/13 50 / 101

55 Componenti connesse Grfi connessi e componenti connesse Definizioni Definizioni: Grfi connessi e componenti connesse Un grfo non orientto G = (V, E) è connesso ogni suo In un grfo non orientto G nodo è rggiungibile d ogni ltro suo nodo Un grfo G = (V, E ) è un componente conness di G G Un grfo G = (V, E ) è un componente conness di G è un è un sottogrfo connesso di G connesso e e mssimle di G G è un sottogrfo di G (G G) V V e E E G è mssimle G è mssimle non esiste un sottogrfo G di G che si nessun ltro sottogrfo G di connesso G tle che G e più grnde di G, ovvero tle è connesso e più grnde di G per cui G G G (i.e. G G G) Alberto Montresor G è connesso esiste un cmmino d ogni vertice d ogni ltro vertice Definizioni G è un sottogrfo di G (G G) se e solo se V V e E E Alberto Montresor (UniTN) ASD - Grfi 2019/01/13 51 / 101 A

56 Componenti connesse Appliczione : Componenti connesse Problem Verificre se un grfo è connesso oppure no Identificre le sue componenti connesse Soluzione Un grfo è connesso se, l termine dell, tutti i nodi sono mrcti Altrimenti, l visit deve ricomincire d cpo d un nodo non mrcto, identificndo un nuov componente del grfo Strutture dti Un vettore id, che contiene gli identifictori delle componenti id[u] è l identifictore dell c.c. cui pprtiene u Alberto Montresor (UniTN) ASD - Grfi 2019/01/13 52 / 101

57 Componenti connesse Appliczione : Componenti connesse int[ ] cc(grph G) int[ ] id = new int[1... G.size()] forech u G.V() do id[u] = 0 int counter = 0 forech u G.V() do if id[u] == 0 then counter = counter +1 ccdfs(g, counter, u, id) ccdfs(grph G, int counter, Node u, int[ ] id) id[u] = counter forech v G.dj(u) do if id[v] == 0 then ccdfs(g, counter, v, id) return id Alberto Montresor (UniTN) ASD - Grfi 2019/01/13 53 / 101

58 Componenti connesse Esempio: Componenti connesse 1 1 b 1 c 2 e 2 f 2 i d g h j 3 k v Alberto Montresor (UniTN) ASD - Grfi 2019/01/13 54 / 101

59 Grfi ciclici non orientti Definizioni: Ciclo Ciclo (cycle) In un grfo non orientto G = (V, E), un ciclo C di lunghezz k > 2 è un sequenz di nodi u 0, u 1,..., u k tle che (u i, u i+1 E) per 0 i k 1 e u 0 = u k. b c k > 2 esclude cicli bnli composti d coppie di rchi (u, v) e (v, u), che sono onnipresenti nei grfi non orientti. d e Alberto Montresor (UniTN) ASD - Grfi 2019/01/13 55 / 101

60 Grfi ciclici non orientti Definizioni: Grfo ciclico Grfo ciclico Un grfo non orientto che non contiene cicli è detto ciclico. b d c e f Problem Dto un grfo non orientto G, scrivere un lgoritmo che restituisc true se G contiene un ciclo, flse ltrimenti. Alberto Montresor (UniTN) ASD - Grfi 2019/01/13 56 / 101

61 Grfi ciclici non orientti Appliczione : Grfo non orientto ciclico boolen hscyclerec(grph G, Node u, Node p, boolen[ ] visited) visited[u] = true forech v G.dj(u) {p} do if visited[v] then return true else if hscyclerec(g, v, u, visited) then return true return flse Alberto Montresor (UniTN) ASD - Grfi 2019/01/13 57 / 101

62 Grfi ciclici non orientti Appliczione : Grfo non orientto ciclico boolen hscycle(grph G) boolen[ ] visited = new boolen[1... G.size()] forech u G.V() do visited[u] = flse forech u G.V() do if not visited[u] then if hscyclerec(g, u, null, visited) then return true return flse Alberto Montresor (UniTN) ASD - Grfi 2019/01/13 58 / 101

63 Grfi ciclici non orientti Definizioni: Ciclo Ciclo (cycle) In un grfo orientto G = (V, E), un ciclo C di lunghezz k 2 è un sequenz di nodi u 0, u 1,..., u k tle che (u i, u i+1 E) per 0 i k 1 e u 0 = u k. b c Esempio:, b, c, e, d, è un cmmino nel grfo di lunghezz 5 Note: un ciclo è detto semplice se tutti i suoi nodi sono distinti (d esclusione del primo e dell ultimo) d e Alberto Montresor (UniTN) ASD - Grfi 2019/01/13 59 / 101

64 Grfi ciclici non orientti Definizioni: Grfo orientto ciclico (DAG) DAG b c Un grfo orientto che non contiene cicli è detto DAG (directed cyclic grph). d e f Grfo ciclico b c Un grfo è ciclico se contiene un ciclo. f d e Alberto Montresor (UniTN) ASD - Grfi 2019/01/13 60 / 101

65 Grfi ciclici non orientti Appliczione : Grfo orientto ciclico Problem Dto un grfo orientto G, scrivere un lgoritmo che restituisc true se G contiene un ciclo, flse ltrimenti. Problem Riuscite concepire un grfo orientto per cui l lgoritmo ppen visto non si comport correttmente? Alberto Montresor (UniTN) ASD - Grfi 2019/01/13 61 / 101

66 Clssificzione degli rchi Clssificzione degli rchi Albero di copertur Ogni volt che si esmin un rco d un nodo mrcto d un nodo non mrcto, tle rco viene rco dell lbero Gli rchi (u, v) non inclusi nell lbero possono essere divisi in tre ctegorie Se u è un ntento di v in T, (u, v) è detto rco in vnti c b d Se u è un discendente di v in T, (u, v) è detto rco ll indietro b d Altrimenti, viene detto rco di ttrversmento c Alberto Montresor (UniTN) ASD - Grfi 2019/01/13 62 / 101

67 Clssificzione degli rchi Schem dfs-schem(grph G, Node u, int &time, int[ ] dt, int[ ] ft) { visit il nodo u (pre-order) } time = time + 1; dt[u] = time forech v G.dj(u) do { visit l rco (u, v) (qulsisi) } if dt[v] == 0 then { visit l rco (u, v) (lbero) } dfs-schem(g, v, time, dt, ft) else if dt[u] > dt[v] nd ft[v] == 0 then { visit l rco (u, v) (indietro) } else if dt[u] < dt[v] nd ft[v] 0 then { visit l rco (u, v) (vnti) } else { visit l rco (u, v) (ttrversmento) } time: conttore dt: discovery time (tempo di scopert) ft: finish time (tempo di fine) { visit il nodo u (post-order) } time = time + 1; ft[u] = time Alberto Montresor (UniTN) ASD - Grfi 2019/01/13 63 / 101

68 Clssificzione degli rchi Schem dfs-schem(grph G, Node u, int &time, int[ ] dt, int[ ] ft) time = time + 1; dt[u] = time forech v G.dj(u) do if dt[v] == 0 then { visit l rco (u, v) (lbero) } dfs-schem(g, v, time, dt, ft) else if dt[u] > dt[v] nd ft[v] == 0 then { visit l rco (u, v) (indietro) } else if dt[u] < dt[v] nd ft[v] 0 then { visit l rco (u, v) (vnti) } else { visit l rco (u, v) (ttrversmento) } time = time + 1; ft[u] = time [1, 8] e [9, 10] [2, 5] [6, 7] d b c [3, 4] Alberto Montresor (UniTN) ASD - Grfi 2019/01/13 64 / 101

69 Clssificzione degli rchi Clssificzione degli rchi Perchè clssificre gli rchi? Possimo dimostrre proprietà sul tipo degli rchi e usre queste proprietà per costruire lgoritmi migliori Teorem Dt un visit di un grfo G = (V, E), per ogni coppi di nodi u, v V, solo un delle condizioni seguenti è ver: Gli intervlli [dt[u], ft[u]] e [dt[v], ft[v]] sono non-sovrpposti; u, v non sono discendenti l uno dell ltro nell forest DF L intervllo [dt[u], ft[u]] è contenuto in [dt[v], ft[v]]; u è un discendente di v in un lbero DF L intervllo [dt[v], ft[v]] è contenuto in [dt[u], ft[u]]; v è un discendente di u in un lbero DF Alberto Montresor (UniTN) ASD - Grfi 2019/01/13 65 / 101

70 Grfi ciclici orientti Teori Teorem Un grfo orientto è ciclico non esistono rchi ll indietro nel grfo. Dimostrzione se: Se esiste un ciclo, si u il primo nodo del ciclo che viene visitto e si (v, u) un rco del ciclo. Il cmmino che connette u d v verrà prim o poi visitto, e d v verrà scoperto l rco ll indietro (v, u). solo se: Se esiste un rco ll indietro (u, v), dove v è un ntento di u, llor esiste un cmmino d v u e un rco d u v, ovvero un ciclo. Alberto Montresor (UniTN) ASD - Grfi 2019/01/13 66 / 101

71 Grfi ciclici orientti Appliczione : DAG boolen hscycle(grph G, Node u, int &time, int[ ] dt, int[ ] ft) time = time + 1; dt[u] = time forech v G.dj(u) do if dt[v] == 0 then if hscycle(g, v, time, dt, ft) then return true else if dt[u] > dt[v] nd ft[v] == 0 then return true time = time + 1; return flse ft[u] = time Alberto Montresor (UniTN) ASD - Grfi 2019/01/13 67 / 101

72 Grfi ciclici orientti Appliczione : DAG b [2, 5] [1, 6] c [3, 4] Arco dell lbero dt[v] == 0 Arco ll indietro: dt[u] > dt[v] nd ft[v] = 0 Arco in vnti: dt[u] < dt[v] nd ft[v] 0 Arco ttrversmento: ltrimenti Alberto Montresor (UniTN) ASD - Grfi 2019/01/13 68 / 101

73 Grfi ciclici orientti Appliczione : DAG Non viene individuto nessun rco ll indietro, quindi tutte le chimte ricorsive rrivernno l termine e ritornernno flse. boolen hscycle(grph G, Node u, int &time, int[ ] dt, int[ ] ft) time = time + 1; dt[u] = time forech v G.dj(u) do if dt[v] == 0 then if hscycle(g, v, time, dt, ft) then return true else if dt[u] > dt[v] nd ft[v] == 0 then return true time = time + 1; return flse ft[u] = time Alberto Montresor (UniTN) ASD - Grfi 2019/01/13 69 / 101

74 Grfi ciclici orientti Appliczione : DAG b [2, ] [1, ] dt[u] > dt[v], ft[v] = 0 c [3, ] Arco dell lbero dt[v] == 0 Arco ll indietro: dt[u] > dt[v] nd ft[v] = 0 Arco in vnti: dt[u] < dt[v] nd ft[v] 0 Arco ttrversmento: ltrimenti Alberto Montresor (UniTN) ASD - Grfi 2019/01/13 70 / 101

75 Grfi ciclici orientti Appliczione : DAG Viene individuto un rco ll indietro, che cus l restituzione di true in un chimt e l conseguente restituzione di true d prte di tutte le chimte ricorsive precedenti. boolen hscycle(grph G, Node u, int &time, int[ ] dt, int[ ] ft) time = time + 1; dt[u] = time forech v G.dj(u) do if dt[v] == 0 then if hscycle(g, v, time, dt, ft) then return true else if dt[u] > dt[v] nd ft[v] == 0 then return true time = time + 1; return flse ft[u] = time Alberto Montresor (UniTN) ASD - Grfi 2019/01/13 71 / 101

76 Ordinmento topologico Ordinmento topologico rdinmento topologico Dto un Definizione DAG G (direct cyclic grph), un ordinmento topologico su G è un ordinmento linere dei suoi vertici tle per cui: Dto un DAG G, un ordinmento topologico di G è un ordinmento se linere G contiene dei l rco suoi nodi (u,v), llor tle che u compre se (u, prim v) di E, v nell ordinmento llor u ppre prim di Per v nell ordinmento. trnsitività, consegue che se v è rggiungibile d u, llor u compre prim di v nell'ordinmento Esistono più ordinmenti topologici Not: possono esserci più ordinmenti topologici Se il grfo contiene un ciclo, non esiste un ordinmento topologico lberto Montresor 74 Alberto Montresor (UniTN) ASD - Grfi 2019/01/13 72 / 101

77 Ordinmento topologico Ordinmento topologico Problem Scrivere un lgoritmo che prende in input un DAG e ritorn un ordinmento topologico per esso. Nive solution Trovre un nodo senz rchi entrnti Aggiungere questo nodo nell ordinmento e rimuoverlo, insieme tutti i suoi rchi Ripetere quest procedur fino qundo tutti i nodi sono stti rimossi Alberto Montresor (UniTN) ASD - Grfi 2019/01/13 73 / 101

78 Ordinmento topologico Ordinmento topologico - Algoritmi nive Soluzione dirett Output: Output: 1 Output: Output: Output: Output: Alberto Montresor 76 Alberto Montresor (UniTN) ASD - Grfi 2019/01/13 74 / 101

79 Ordinmento topologico Ordinmento topologico bsto su Algoritmo Eseguire un nel qule l operzione di visit consiste nell ggiungere il nodo in test d un list, "t finish time" (post-ordine) Restituire l list così ottenut. Output L sequenz dei nodi, ordinti per tempo decrescente di fine. Perchè funzion? Qundo un nodo è "finito", tutti i suoi discendenti sono stti scoperti e ggiunti ll list. Aggiungendolo in test ll list, il nodo è in ordine corretto. Alberto Montresor (UniTN) ASD - Grfi 2019/01/13 75 / 101

80 Ordinmento topologico Ordinmento topologico - L lgoritmo Stck topsort(grph G) Stck S = Stck() boolen[ ] visited = boolen[1... G.size()] forech u G.V() do visited[u] = flse forech u G.V() do if not visited[u] then ts-dfs(g, u, visited, S) return S ts-dfs(grph G, Node u, boolen[ ] visited, Stck S) visited[u] = true forech v G.dj(u) do if not visited[v] then ts-dfs(g, v, visited, S) S.push(u) Alberto Montresor (UniTN) ASD - Grfi 2019/01/13 76 / 101

81 Ordinmento topologico Ordinmento topologico Esempio [6, 9] b [7, 8] b [1, 10] [2, 5] c [7, 8] d [3, 4] c d [9, 10] [5, 6] e e [3, 4] [1, 2] Stck = {, b, d, c, e } Stck = {, b, d, c, e } Alberto Montresor (UniTN) ASD - Grfi 2019/01/13 77 / 101

82 Ordinmento topologico Relity check Appliczioni dell ordinmento topologico Ordine di vlutzione delle celle in uno spredsheet Ordine di compilzione in un Mkefile Risoluzione delle dipendenze nei linker Risoluzione delle dipendenze nei gestori di pcchetti softwre Alberto Montresor (UniTN) ASD - Grfi 2019/01/13 78 / 101

83 Componenti fortemente connesse Grfi e componenti fortemente connessi Definizioni Un grfo orientto G = (V, E) è fortemente connesso ogni suo nodo è rggiungibile d ogni ltro suo nodo Un grfo G = (V, E ) è un componente fortemente conness di G G è un sottogrfo connesso e mssimle di G Repetit iuvnt G è un sottogrfo di G (G G) V V e E E G è mssimle non esiste un ltro sottogrfo G di G tle che: G è connesso G è più grnde di G (i.e. G G G) Alberto Montresor (UniTN) ASD - Grfi 2019/01/13 79 / 101

84 Componenti fortemente connesse Connessione forte Domnd Questo grfo è fortemente connesso? No b c f d e Alberto Montresor (UniTN) ASD - Grfi 2019/01/13 80 / 101

85 Componenti fortemente connesse Componenti fortemente connesse Domnd Quli sono le componenti fortemente connesse di questo grfo? b c f d e Alberto Montresor (UniTN) ASD - Grfi 2019/01/13 81 / 101

86 Componenti fortemente connesse Componenti fortemente connesse Domnd Quli sono le componenti fortemente connesse di questo grfo? b c f d e Alberto Montresor (UniTN) ASD - Grfi 2019/01/13 81 / 101

87 Componenti fortemente connesse Soluzione "ingenu" (e non corrett) Si pplic l lgoritmo cc() l grfo Purtroppo, il risultto dipende dl nodo di prtenz 2 b 1 c 3 1 f d 1 e 1 Alberto Montresor (UniTN) ASD - Grfi 2019/01/13 82 / 101

88 Componenti fortemente connesse Soluzione "ingenu" (e non corrett) Si pplic l lgoritmo cc() l grfo Purtroppo, il risultto dipende dl nodo di prtenz 1 b 1 c 2 1 f d 1 e 1 Alberto Montresor (UniTN) ASD - Grfi 2019/01/13 82 / 101

89 Componenti fortemente connesse Soluzione "ingenu" (e non corrett) Si pplic l lgoritmo cc() l grfo Purtroppo, il risultto dipende dl nodo di prtenz 1 b 1 c 1 1 f d 1 e 1 Alberto Montresor (UniTN) ASD - Grfi 2019/01/13 82 / 101

90 Componenti fortemente connesse Algoritmo di Kosrju Kosrju Algorithm (1978) Effettu un visit del grfo G Clcol il grfo trsposto G t Esegui un visit sul grfo G t utilizzndo cc, esminndo i nodi nell ordine inverso di tempo di fine dell prim visit Le componenti connesse (e i reltivi lberi DF) rppresentno le componenti fortemente connesse di G int[ ] scc(grph G) Stck S = topsort(g) G T = trnspose(g) return cc(g T, S) % First visit % Grph trnsposl % Second visit Alberto Montresor (UniTN) ASD - Grfi 2019/01/13 83 / 101

91 Componenti fortemente connesse Ordinmento topologico su grfi generli Ide generle Applicndo l lgoritmo di ordinmento topologico su un grfo generle, simo sicuri che: se un rco (u, v) non pprtiene d un ciclo, llor u viene listto prim di v nell sequenz ordint gli rchi di un ciclo vengono listti in qulche ordine, ininfluente Utilizzimo quindi topsort() per ottenere i nodi in ordine decrescente di tempo di fine Alberto Montresor (UniTN) ASD - Grfi 2019/01/13 84 / 101

92 Componenti fortemente connesse Esecuzione 1: Ordinmento topologico [2, 11] b [3, 10] c [1, 12] d [7, 8] e [4, 9] f [5, 6] Stck = {, b, c, e, d, f } Alberto Montresor (UniTN) ASD - Grfi 2019/01/13 85 / 101

93 Componenti fortemente connesse Clcolo del grfo trsposto Grfo trsposto (Trnspose grph) Dto un grfo orientto G = (V, E), il grfo trsposto G t = (V, E T ) h gli stessi nodi e gli rchi orientti in senso opposto.: E T = {(u, v) (v, u) E} int[ ] trnspose(grph G) Grph G T = Grph() forech u G.V() do G T.insertNode(u) forech u G.V() do forech v G.dj(u) do G T.insertEdge(v, u) Costo computzionle: O(m+n) O(n) nodi ggiunti O(m) rchi ggiunti Ogni operzione cost O(1) return G T Alberto Montresor (UniTN) ASD - Grfi 2019/01/13 86 / 101

94 Componenti fortemente connesse Esecuzione 1: Grfo trsposto b c f d e Alberto Montresor (UniTN) ASD - Grfi 2019/01/13 87 / 101

95 Componenti fortemente connesse Clcolo delle componenti connesse Invece di esminre i nodi in ordine rbitrrio, quest versione di cc() li esmin nell ordine LIFO memorizzto nello stck. cc(grph G, Stck S) int[ ] id = new int[1... G.size()] forech u G.V() do id[u] = 0 int counter = 0 while not S.isEmpty() do u = S.pop() if id[u] == 0 then counter = counter +1 ccdfs(g, counter, u, id) ccdfs(grph G, int counter, Node u, int[ ] id) id[u] = counter forech v G.dj(u) do if id[v] == 0 then ccdfs(g, counter, v, id) return id Alberto Montresor (UniTN) ASD - Grfi 2019/01/13 88 / 101

96 Componenti fortemente connesse Esecuzione 1: Componenti connesse [3, 4] b [5, 12] c [1, 2] [6, 9] f [10, 11] d e [7, 8] Stck = {, b, c, e, d, f } Alberto Montresor (UniTN) ASD - Grfi 2019/01/13 89 / 101

97 Componenti fortemente connesse SCC: The lgorithm int[ ] scc(grph G) Stck S = topsort(g) G T = trnspose(g) return cc(g T, S) % First visit % Grph trnsposl % Second visit Costo computzionle: O(m + n) Ogni fse richiede O(m + n) Alberto Montresor (UniTN) ASD - Grfi 2019/01/13 90 / 101

98 Componenti fortemente connesse Esecuzione 2: Ordinmento topologico [10, 11] b [2, 7] c [9, 12] d [4, 5] e [3, 6] f [1, 8] Stck = {, b, f, c, e, d } Alberto Montresor (UniTN) ASD - Grfi 2019/01/13 91 / 101

99 Componenti fortemente connesse Esecuzione 2: Grfo trsposto b c f d e Alberto Montresor (UniTN) ASD - Grfi 2019/01/13 92 / 101

100 Componenti fortemente connesse Esecuzione 2: Componenti connesse [3, 4] b [7, 10] c [1, 2] [5, 12] f [6, 11] [8, 9] d e Stck = {, b, f, c, e, d } Alberto Montresor (UniTN) ASD - Grfi 2019/01/13 93 / 101

101 Componenti fortemente connesse Dimostrzione di correttezz Grfo delle componenti C(G) = (V c, E c ) V c = {C 1, C 2,..., C k }, dove C i è l i-esim SCC of G E c = {(C i, C j ) (u i, v i ) E : u i C i u j C j } b c f d e Alberto Montresor (UniTN) ASD - Grfi 2019/01/13 94 / 101

102 Componenti fortemente connesse Dimostrzione di correttezz b c b c f f d e d e Qul è l relzione fr il grfo delle componenti di G e il grfo delle componenti di G T? C(G T ) = [C(G)] T Il grfo delle componenti è ciclico? SI Alberto Montresor (UniTN) ASD - Grfi 2019/01/13 95 / 101

103 Componenti fortemente connesse Dimostrzione di correttezz Discovery time e finish time del grfo delle componenti dt(c) = min{dt(u) u C} ft(c) = mx{ft(u) u C} Questi discovery/finish time corrispondono i discovery/finish time del primo nodo visitto in C Alberto Montresor (UniTN) ASD - Grfi 2019/01/13 96 / 101

104 Componenti fortemente connesse Dimostrzione di correttezz Teorem Sino C e C due distinte SCCs nel grfo orientto G = (V, E). Se c è un rco (C, C ) E c, llor ft(c) > ft(c ). [2, 11] [10, 11] b c [3, 10] b c [2, 7] [1, 12] [5, 6] [9, 12] f [1, 8] f [7, 8] d [4, 9] e [4, 5] d [3, 6] e Alberto Montresor (UniTN) ASD - Grfi 2019/01/13 97 / 101

105 Componenti fortemente connesse Dimostrzione di correttezz Corollrio Sino C u e C v due SCC distinte nel grfo orientto G = (V, E). Se c è un rco (u, v) E t tle che u C u e v C v, llor ft(c u ) < ft(c v ). (u, v) E t [10, 11] (v, u) E b c [2, 7] (C v, c u ) E c ft(c v ) > ft(c u ) [9, 12] [1, 8] f ft(c u ) < ft(c v ) [4, 5] d [3, 6] e Alberto Montresor (UniTN) ASD - Grfi 2019/01/13 98 / 101

106 Componenti fortemente connesse Dimostrzione di correttezz Corollrio Sino C u e C v due SCC distinte nel grfo orientto G = (V, E). Se c è un rco (u, v) E t tle che u C u e v C v, llor ft(c u ) < ft(c v ). (b, ) E t [10, 11] (, b) E b c [2, 7] (C, C b ) E c 12 = ft(c ) > ft(c b ) = 11 [9, 12] [1, 8] f 11 = ft(c b ) < ft(c ) = 12 [4, 5] d [3, 6] e Alberto Montresor (UniTN) ASD - Grfi 2019/01/13 98 / 101

107 Componenti fortemente connesse Dimostrzione di correttezz Se l componente C u e l componente C v sono connesse d un rco (u, v) E t, llor: Dl corollrio, ft(c u ) < ft(c v ) Dll lgoritmo, l visit di C v inizierà primm dell visit di C u Non esistono cmmini tr C v e C u in G t (ltrimenti il grfo srebbe ciclico) Dll lgoritmo, l visit di C v non rggiungerà C u, In ltre prole, cc() ssegnerà correttmente gli identifictori delle componenti i nodi. Alberto Montresor (UniTN) ASD - Grfi 2019/01/13 99 / 101

108 Componenti fortemente connesse Relity check Algoritmo di Trjn (1972) Trjn, R. E. "Depth-first serch nd liner grph lgorithms", SIAM Journl on Computing 1(2): (1972) Algoritmo con costo O(m + n) come Kosrju È preferito Kosrju in qunto necessit di un sol visit e non richiede il grfo trsposto Appliczioni Gli lgoritmi per SCC possono essere utilizzti per risolvere il problem 2-stisfibility (2-SAT), un problem di soddisfcibilità boolen con clusole composte d coppie di letterli. Alberto Montresor (UniTN) ASD - Grfi 2019/01/ / 101

109 Componenti fortemente connesse Conclusioni 113 Pges in ctegory "Grph lgorithms" A B C D A* serch lgorithm Algorithmic version for Szemerédi regulrity prtition Alph bet pruning Aperiodic grph B* Brbási Albert model Belief propgtion Bellmn Ford lgorithm Binconi Brbási model Bidirectionl serch Borůvk's lgorithm Bottleneck trveling slesmn problem Bredth-first serch Bron Kerbosch lgorithm Bully lgorithm Centrlity Chitin's lgorithm Christofides lgorithm Clique percoltion method Closure problem Color-coding Contrction hierrchies Courcelle's theorem Cuthill McKee lgorithm D* Degenercy (grph theory) Depth-first serch Dijkstr Scholten lgorithm Dijkstr's lgorithm Dinic's lgorithm Disprity filter lgorithm of weighted network Double pushout grph rewriting Dulmge Mendelsohn decomposition Dynmic connectivity Dynmic link mtching E Edmonds Krp lgorithm Edmonds' lgorithm Blossom lgorithm Euler tour technique F FKT lgorithm Flooding lgorithm Floyd Wrshll lgorithm Force-directed grph drwing Ford Fulkerson lgorithm Fringe serch G Girvn Newmn lgorithm Gol node (computer science) Gomory Hu tree Grph bndwidth Grph edit distnce Grph embedding Grph isomorphism Grph isomorphism problem Grph kernel Grph reduction Grph trversl H Hvel Hkimi lgorithm Hierrchicl closeness Hierrchicl clustering of networks Hopcroft Krp lgorithm I Prllel ll-pirs shortest pth lgorithm Pth-bsed strong component lgorithm Itertive deepening A* Pre-topologicl order Initil ttrctiveness Prim's lgorithm Itertive compression Proof-number serch Itertive deepening depth-first serch Push relbel mximum flow lgorithm J R Johnson's lgorithm Reverse-delete lgorithm Journl of Grph Algorithms nd Applictions Roch Thtte cycle detection lgorithm Jump point serch Junction tree lgorithm S K Sethi Ullmn lgorithm Shortest Pth Fster Algorithm K shortest pth routing SMA* Krger's lgorithm Spectrl lyout Kleitmn Wng lgorithms Spreding ctivtion Knight's tour Stoer Wgner lgorithm Knuth's Simpth lgorithm Subgrph isomorphism problem Kosrju's lgorithm Suurblle's lgorithm Kruskl's lgorithm L T Trjn's off-line lowest common ncestors Lexicogrphic bredth-first serch lgorithm Longest pth problem Trjn's strongly connected components lgorithm M Thet* Topologicl sorting MxCliqueDyn mximum clique lgorithm Trnsitive closure Minimx Trnsitive reduction Minimum bottleneck spnning tree Trvelling slesmn problem Misr & Gries edge coloring lgorithm Tree trversl N W Nerest neighbour lgorithm Widest pth problem Network flow problem Wiener connector Network simplex lgorithm Nonblocking miniml spnning switch Y P Yen's lgorithm PgeRnk Alberto Montresor (UniTN) ASD - Grfi 2019/01/ / 101