Algoritmi e Strutture di Dati II 2. Visite di grafi
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- Letizia Venturi
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1 Algoritmi e Strutture di Dati II 2 Visite di grafi Gli algoritmi di visita di un grafo hanno come obiettivo l esploraione di tutti i nodi e gli archi del grafo. Vi sono due modi principali per esplorare un grafo: visita in ampiea (breadth-first visit): mi muovo il più possible in ampiea (di fratello in fratello) e ritorno sui miei passi solo quando non posso più spingermi oltre; visita in profondità (depth-first visit): mi muovo il più possible in profondità (di padre in figlio) e ritorno sui miei passi solo quando non posso più spingermi oltre.
2 Algoritmi e Strutture di Dati II 3 Le due visite a confronto
3 Algoritmi e Strutture di Dati II 4 Visita in ampiea I dati di ingresso dell algoritmo BFS (Breadth-First Search) sono un grafo G =(V,E) e un nodo sorgente s 2 V. L algoritmo: esplora tutti i vertici raggiungibili a partire da s; calcola e memoria le distane (la lunghea del cammino minimo) da s a tutti i nodi raggiungibili da s; costruisce l albero dei cammini minimi (BF-albero) da s a tutti i nodi raggiungibili da s.
4 Algoritmi e Strutture di Dati II 5 Visita in ampiea Ogni nodo viene scoperto quanto è incontrato la prima volta dalla procedura e terminato quando tutti i suoi successori sono stati scoperti. Per distinguere i nodi visitati da quelli ancora da visitare, BFS colora i nodi di bianco, di grigio e di nero, con il seguente significato: nodi bianchi corrispondono a nodi ancora da scoprire; nodi grigi corrispondono a nodi scoperti ma non ancora terminati; nodi neri corrispondono a nodi terminati. Quindi i nodi grigi formano la frontiera tra nodi scoperti (ona nera) e nodi ancora da scoprire (ona bianca).
5 Algoritmi e Strutture di Dati II 6 Zona bianca, grigia e nera s
6 Algoritmi e Strutture di Dati II 7 BFS: strutture di dati L algoritmo BFS assume che il grafo G sia rappresentato mediante liste di adiacena. Esso usa le seguenti strutture di dati: un vettore color tale che color[u] è il colore del nodo u; un vettore º tale che º[u] è il padre del nodo u; un vettore d tale che d[u] è la distana di u dalla sorgente s; una coda Q per memoriare i nodi grigi (la frontiera).
7 Algoritmi e Strutture di Dati II 8 Visita in ampiea 1: BFS(G, s) 2: for each u 2 V [G] \{s} do 3: color[u] white 4: d[u] 1 5: º[u] nil 6: end for 7: color[s] gra 8: d[s] 0 9: º[s] nil 10: Q ; 11: Enqueue(Q, s)
8 Algoritmi e Strutture di Dati II 9 12: while not QueueEmpt(Q) do 13: u Dequeue(Q) 14: for each v 2 Adj[u] do 15: if color[v] =white then 16: color[v] gra 17: d[v] d[u]+1 18: º[v] u 19: Enqueue(Q, v) 20: end if 21: end for 22: color[u] black 23: end while
9 Algoritmi e Strutture di Dati II 10 0 r s t u (a) Q s v w x
10 Algoritmi e Strutture di Dati II r s t u (b) Q w r v w x 1
11 Algoritmi e Strutture di Dati II 12 1 r 0 s 2 t u (c) Q r t x v w 1 x 2
12 Algoritmi e Strutture di Dati II 13 (d) 1 r v 2 0 s w 1 2 t x 2 u Q t x v
13 Algoritmi e Strutture di Dati II 14 1 r 0 s 2 t 3 u (e) Q x v u v w x 2 1 2
14 Algoritmi e Strutture di Dati II 15 1 r 0 s 2 t 3 u (f) Q v u v w x
15 Algoritmi e Strutture di Dati II 16 1 r 0 s 2 t 3 u (g) Q u v w x
16 Algoritmi e Strutture di Dati II 17 1 r 0 s 2 t 3 u (h) Q v w x
17 Algoritmi e Strutture di Dati II 18 1 r 0 s 2 t 3 u (i) Q v w x
18 Algoritmi e Strutture di Dati II 19 Complessità di BFS 1: BFS(G, s) 2: for each u 2 V [G] \{s} do 3: color[u] white 4: d[u] 1 5: º[u] nil 6: end for 7: color[s] gra 8: d[s] 0 9: º[s] nil 10: Q ; 11: Enqueue(Q, s)
19 Algoritmi e Strutture di Dati II 20 12: while not QueueEmpt(Q) do 13: u Dequeue(Q) 14: for each v 2 Adj[u] do 15: if color[v] =white then 16: color[v] gra 17: d[v] d[u]+1 18: º[v] u 19: Enqueue(Q, v) 20: end if 21: end for 22: color[u] black 23: end while
20 Algoritmi e Strutture di Dati II 21 Complessità di BFS L algoritmo consiste di una fase di iniialiaione e di un ciclo while. La complessità della fase di iniialiaione è O(n). La complessità del ciclo while si valuta così: Quante volte viene eseguito il ciclo? Ogni nodo raggiungibile da s viene caricato in Q esattamente una volta. Ad ogni iteraione scarico esattamente un nodo da Q. Quindi il ciclo viene eseguito al massimo n volte (tutti i nodi sono raggiungibili da s);
21 Algoritmi e Strutture di Dati II 22 Quanto costa ogni iteraione del ciclo? Ad ogni iteraione del ciclo: visito la lista di adiacena di un nodo; eseguo altre operaioni di costo costante (esempio, Enqueue e Dequeue). Dato che la somma delle lunghee di tutte le liste di adiacena è O(m), la complessità del ciclo while vale O(n + m). In totale, BFS costa O(n +(n + m)) = O(n + m) cioé è lineare nella dimensione dell input.
22 Algoritmi e Strutture di Dati II 23 Eserciio. Si scriva una procedura che stampa il cammino minimo da s a v assumendo che BFS(G, s) sia già stata invocata per calcolare il BF-albero con radice s.
23 Algoritmi e Strutture di Dati II 24 PrintPath(G, s, v) 1: if v = s then 2: print s 3: else 4: if º[v] =nil then 5: print no path exists 6: else 7: P rintp ath(g, s, º[v]) 8: print v 9: end if 10: end if
24 Algoritmi e Strutture di Dati II 25 PrintPath(G, s, v) 1: if v = s then 2: print s 3: else 4: if º[v] =nil then 5: print no path exists 6: else 7: x v 8: repeat 9: Push(S, x) 10: x º[x] 11: until x = nil 12: while not StackEmpt(S) do 13: print Pop(S) 14: end while 15: end if 16: end if
25 Algoritmi e Strutture di Dati II 26 Visita in profondità L algoritmo DFS (Depth-First Search) ha in input un grafo G =(V,E). L algoritmo: esplora tutti i vertici del grafo. L algoritmo parte da una sorgente qualsiasi e cambia sorgente quanto tutti i nodi raggiungibili dalla sorgente sono stati esplorati; registra i nodi visitati in un insieme di alberi, chiamato DF-foresta. Ogni albero ha come radice una sorgente; calcola e memoria i tempi di scoperta eitempi di terminaione di ogni nodo.
26 Algoritmi e Strutture di Dati II 27 Visita in profondità Per distinguere i nodi visitati da quelli ancora da visitare, DFS colora i nodi di bianco, di grigio e di nero: ogni nodo è iniialmente bianco; quando un vertice viene scoperto, cioè incontrato per la prima volta, il suo colore diventa grigio; quando un nodo viene terminato, cioè quando tutti i suoi discendenti sono stati esaminati, il colore diventa nero.
27 Algoritmi e Strutture di Dati II 28 DFS: strutture di dati L algoritmo DFS assume che il grafo G sia rappresentato mediante liste di adiacena. Esso usa le seguenti strutture di dati: un vettore color tale che color[u] è il colore del nodo u; un vettore º tale che º[u] è il padre del nodo u; un vettore d tale che d[u] contiene l istante in cui il nodo u viene scoperto; un vettore f tale che f[u] contiene l istante in cui il nodo u viene terminato.
28 Algoritmi e Strutture di Dati II 29 DFS(G) 1: for each u 2 V [G] do 2: color[u] white 3: º[u] nil 4: end for 5: time 0 6: for each u 2 V [G] do 7: if color[u] =white then 8: DFSV isit(u) 9: end if 10: end for
29 Algoritmi e Strutture di Dati II 30 DFSV isit(u) 1: color[u] gra 2: time time +1 3: d[u] time 4: for each v 2 Adj[u] do 5: if color[v] =white then 6: º[v] u 7: DFSV isit(v) 8: end if 9: end for 10: color[u] black 11: time time +1 12: f[u] time
30 Algoritmi e Strutture di Dati II 31 1/ u v w (a) x
31 Algoritmi e Strutture di Dati II 32 1/ u 2/ v w (b) x
32 Algoritmi e Strutture di Dati II 33 1/ 2/ u v w (c) x 3/
33 Algoritmi e Strutture di Dati II 34 1/ 2/ u v w (d) x 4/ 3/
34 Algoritmi e Strutture di Dati II 35 1/ 2/ u v w (e) x 4/5 3/
35 Algoritmi e Strutture di Dati II 36 1/ 2/ u v w (f) x 4/5 3/6
36 Algoritmi e Strutture di Dati II 37 1/ 2/7 u v w (g) x 4/5 3/6
37 Algoritmi e Strutture di Dati II 38 1/8 u 2/7 v w (h) x 4/5 3/6
38 Algoritmi e Strutture di Dati II 39 1/8 2/7 u v 9/ w (i) x 4/5 3/6
39 Algoritmi e Strutture di Dati II 40 1/8 2/7 u v 9/ w (j) x 4/5 3/6 10/
40 Algoritmi e Strutture di Dati II 41 1/8 2/7 u v 9/ w (k) x 4/5 3/6 10/11
41 Algoritmi e Strutture di Dati II 42 1/8 2/7 u v 9/12 w (l) x 4/5 3/6 10/11
42 Algoritmi e Strutture di Dati II 43 Complessità di DFS DFS(G) 1: for each u 2 V [G] do 2: color[u] white 3: º[u] nil 4: end for 5: time 0 6: for each u 2 V [G] do 7: if color[u] =white then 8: DFSV isit(u) 9: end if 10: end for
43 Algoritmi e Strutture di Dati II 44 DFSV isit(u) 1: color[u] gra 2: time time +1 3: d[u] time 4: for each v 2 Adj[u] do 5: if color[v] =white then 6: º[v] u 7: DFSV isit(v) 8: end if 9: end for 10: color[u] black 11: time time +1 12: f[u] time
44 Algoritmi e Strutture di Dati II 45 Complessità di DFS La procedura DFS impiega un tempo O(n) sena considerare il tempo di esecuione delle chiamate di DFSVisit; La procedura DFSVisit viene chiamata esattamente una volta per ogni nodo, quindi al più n volte; DFSVisit visita la lista di adiacena del nodo su cui è chiamata, oltre a fare altre operaioni di costo costante; Quindi tutte le chiamata a DFSVisit costano O(n + m), e il costo totale di DFS è O(n +(n + m)) = O(n + m) quindi lineare nella dimensione dell input.
45 Algoritmi e Strutture di Dati II 46 Proprietà della visita in profondità Per ogni nodo u, al termine di DFS, vale che: 1 d[u] <f[u] 2n in quanto esiste un unico evento di scoperta e un unico evento di fine per ognuno degli n vertici.
46 Algoritmi e Strutture di Dati II 47 Proprietà della visita in profondità Teorema delle parentesi. Per ogni visita di profondità di un grafo G =(V,E) (diretto o indiretto), per ogni due vertici distinti u e v, esattamente una delle seguenti condiione è vera: 1. gli intervalli [d[u],f[u]] e [d[v],f[v]] sono disgiunti, e nessuno tra u e v è un discendente dell altro nella DF-foresta; 2. l intervallo [d[u],f[u]] è contenuto nell intervallo [d[v],f[v]] e u è un discendente di v nella DF-foresta; 3. l intervallo [d[v],f[v]] è contenuto nell intervallo [d[u],f[u]] e v è un discendente di u nella DF-foresta.
47 Algoritmi e Strutture di Dati II 48 Classificaione degli archi Possiamo definire quattro tipi di archi: 1. archi tree: sono gli archi della DF-foresta; 2. archi back: sono archi (u, v) che connettono un vertice u ad un suo ascendente v nello stesso albero appartenente alla DF-foresta; 3. archi forward: sono archi non tree (u, v) che connettono un vertice u ad un suo discendente v nello stesso albero appartenente alla DF-foresta; 4. archi cross: tutti gli altri archi. Possono connettere vertici nello stesso albero (purché nessuno dei due vertici sia un discendente dell altro) oppure connettere vertici di alberi diversi.
48 Algoritmi e Strutture di Dati II 49 1/8 u 2/7 v 9/12 w F B C x 4/5 3/6 10/11 B
49 Algoritmi e Strutture di Dati II 50 Classificaione degli archi Teorema Sia (u, v) un arco di un grafo G. SiaC il colore del nodo v quando l arco (u, v) viene esplorato per la prima volta dalla visita in profondità. Allora: se C è bianco, allora (u, v) è un arco tree; se C è grigio, allora (u, v) è un arco back; se C è nero, allora: se d[u] <d[v], allora (u, v) è un arco forward; se d[u] >d[v], allora (u, v) è un arco cross.
50 Algoritmi e Strutture di Dati II 51 1/ u v w (a) x
51 Algoritmi e Strutture di Dati II 52 1/ u 2/ v w (b) x
52 Algoritmi e Strutture di Dati II 53 1/ 2/ u v w (c) x 3/
53 Algoritmi e Strutture di Dati II 54 1/ 2/ u v w (d) x 4/ 3/
54 Algoritmi e Strutture di Dati II 55 1/ 2/ u v w (d) B x 4/ 3/
55 Algoritmi e Strutture di Dati II 56 1/ 2/ u v w (e) x 4/5 3/
56 Algoritmi e Strutture di Dati II 57 1/ 2/ u v w (f) x 4/5 3/6
57 Algoritmi e Strutture di Dati II 58 1/ 2/7 u v w (g) x 4/5 3/6
58 Algoritmi e Strutture di Dati II 59 1/8 u 2/7 v w (h) x 4/5 3/6
59 Algoritmi e Strutture di Dati II 60 1/8 u 2/7 v w (h) F x 4/5 3/6
60 Algoritmi e Strutture di Dati II 61 1/8 2/7 u v 9/ w (i) x 4/5 3/6
61 Algoritmi e Strutture di Dati II 62 1/8 2/7 u v 9/ w (j) x 4/5 3/6 10/
62 Algoritmi e Strutture di Dati II 63 1/8 2/7 9/ u v w (j) x 4/5 3/6 10/ B
63 Algoritmi e Strutture di Dati II 64 1/8 2/7 u v 9/ w (k) x 4/5 3/6 10/11
64 Algoritmi e Strutture di Dati II 65 1/8 2/7 u v 9/12 w (l) x 4/5 3/6 10/11
65 Algoritmi e Strutture di Dati II 66 1/8 u 2/7 v 9/12 w (l) C x 4/5 3/6 10/11
66 Algoritmi e Strutture di Dati II 67 1/8 u 2/7 v 9/12 w F B C x 4/5 3/6 10/11 B
67 Algoritmi e Strutture di Dati II 68 1/ u v w (a) x
68 Algoritmi e Strutture di Dati II 69 1/ 2/ u v w (b) x
69 Algoritmi e Strutture di Dati II 70 1/ 2/ u v w (c) x 3/
70 Algoritmi e Strutture di Dati II 71 1/ 2/ u v w (d) x 4/ 3/
71 Algoritmi e Strutture di Dati II 72 1/ u 2/ v w (d) B x 4/ 3/
72 Algoritmi e Strutture di Dati II 73 1/ u 2/ v w (d) B B x 4/ 3/
73 Algoritmi e Strutture di Dati II 74 1/ 2/ u v w (e) B B x 4/5 3/
74 Algoritmi e Strutture di Dati II 75 1/ 2/ 6/ u v w (f) B B x 4/5 3/
75 Algoritmi e Strutture di Dati II 76 1/ 2/ 6/ u v w (g) B B x 4/5 3/ 7/
76 Algoritmi e Strutture di Dati II 77 1/ u 2/ v 6/ w (h) B B x 4/5 3/ 7/8
77 Algoritmi e Strutture di Dati II 78 1/ 2/ 6/9 u v w (i) B B x 4/5 3/ 7/8
78 Algoritmi e Strutture di Dati II 79 1/ 2/ 6/9 u v w (j) B B x 4/5 3/10 7/8
79 Algoritmi e Strutture di Dati II 80 1/ 2/11 6/9 u v w (k) B B x 4/5 3/10 7/8
80 Algoritmi e Strutture di Dati II 81 1/12 u 2/11 v 6/9 w B B x 4/5 3/10 7/8
81 Algoritmi e Strutture di Dati II 82 Identificaione di cicli Teorema. Un grafo G è aciclico se e soltanto se una visita in profondità di G non produce alcun arco di tipo back.
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