Una relazione R in un insieme A si dice relazione d'ordine (o ordinamento) se e solo se è riflessiva, antisimmetrica e transitiva.

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1 F0 RELZIONI D'ORDINE. Rlzioni 'orin Un rlzion R in un insim si i rlzion 'orin (o orinmnto) s solo s è rilssiv, ntisimmtri trnsitiv. Prsi u lmnti x, y, s R è un orinmnto in, si i h «x pr y» si sriv x y, oppu r h «y sgu x» si sriv y x, s solo s xry. E' llor: Vimo u smpi signiitivi. x y xry, x, y. Inlusion Dto un univrso Ω, l rlzion R = {(X,Y) (Ω) / X Y }, himt inlusion in ( Ω), è un rlzion 'orin. Intti, pr qulsisi X, Y (Ω), si h suito: X X X Y Y X X = Y X Y Y Z X Z Disuguglinz Sino x, y. Diimo h «x è minor o ugul y» srivimo x y, s solo s y x { 0 }. L rlzion R = { (x, y) / x y }, himt isuguglinz in, è un rlzion 'orin. Intti, pr qulsisi x, y, si h: x x x y y x x = y x y y z x y In moo l tutto nlogo, si inis l isuguglinz in. L'insim, otto i un orinmnto, si i un insim orinto vin inito on (, ). Du lmnti x, y (, ) si iono onrontili s risult x y y x. S sist lmno un oppi i lmnti non onrontili, (, ) si i un insim przilmnt orinto; s inv tutti gli lmnti sono onrontili, (, ) si i un insim totlmnt orinto. Nl primo so, l rlzion 'orin si i un orinmnto przil; nl sono, un orinmnto totl. Così, ( (Ω), ) è un insim przilmnt orinto mntr (, ) (, ) sono insimi totlmnt orinti. S l'insim è inito, risult prtiolrmnt vntggioso rpprsntr (, ) mint uno spil gro, himto igrmm i Hss. Qusto si ottin l gro orinrio ll rlzion, sopprimno in sso tutti i ppi gli spigoli risultnti. In tl rpprsntzion, sono nh olit l punt i ri, onvnn o h, s x y, il vrti x si ollgto l vrti y un spzzt snnt, ioè un sri i spi goli snnti onsutivi.

2 ESEMPI I gri ll igg., sono igrmmi i Hss rpprsntno, nll'orin, l rlzion i inlusion nll'insim ll prti i Ω = {,, } l rlzion i isuguglinz nll'in sim = {, 0,, }. Ω {, } {, } {, } {} {} {} 0 (ig.) (ig.). Mggiornti minornti, mssimi minimi Si (, ) un insim orinto si un sottoinsim non vuoto i. Un lmnto M si i un mg giornt i s, pr ogni x, M x. nlogmnt, un lmnto m si i un minornt i s, pr ogni x, m x. In prtiolr, s sist un mggiornt M, M si i mssimo i ; s sist un minornt m, m si i minimo i. Ogni insim orinto mmtt l più un lmnto mssimo un lmnto minimo. Dim. Pr ssuro, sino M M' u mssimi istinti i. Si v vr M M' prhé M è mssimo, m nh M' M prhé M' è mssimo su volt. D qui, pr l proprità ntisimmtri, sgu M = M', ontro l'ipotsi. In moo nlogo si rgion pr il minimo. L'insim si i limitto supriormnt, s h mggiornti; limitto inriormnt, s h minornti; limitto, s h si mggiornti h minornti. S è limitto supriormnt, si him strmo suprior i si ini on sup, il minimo, s sist, i suoi mggiornti. nlogmnt, s è limitto inriormnt, si him strmo inrior i si ini on in, il mssimo, s sist, i suoi minornti. ESEMPI Si (, ) l'insim orinto inito l igrmm i Hss in ig., si = {,, }. L'insim i mggiornti i è {,, } risult: sup =. Poihé, è l'lmnto mssimo i. L'insim i minornti i è {} quini: in =. g Poihé, il minimo i non sist. Ossrvimo h g non pr quini non è (ig.) un minornt i.

3 Si (, ) l'insim orinto inito l igrmm i Hss in ig., si = {,, }. L'insim i mggiornti i è {,, } risult: sup =. Poihé, il mssimo i non sist. L'insim i minornti i è {, h} risult: in =. Poihé, è l'lmnto minimo i (ossrvimo h g non è minornt i ). g h (ig.) (ig.) Si (, ) l'insim orinto inito l igrmm i Hss in ig., si = {,, }. L'insim i mggiornti i è {, } risult: sup =. Poihé, è l'lmnto mssimo i. L'insim i minornti i è {, }. Poihé gli lmnti, sono non onrontili, in non sist (ossrvimo h, non sono minornti i ). Consirimo l'insim orinto (, ) il suo sottoinsim. L'insim i mggiornti i è vuoto, poihé non sist lun numro intro h si mggior i qulsisi numro intro positivo. L'insim i minornti i è {0,} risult: in =. Poihé, è l'lmnto minimo i. Consirimo l'insim orinto (, ) il suo sottoinsim = {x / 0 < x < }. L'insim non h né mssimo né minimo. M Intti, pr ssuro, si M il mssimo i. Poihé M <, si vr M < < ( il numro M è l mi ritmti i M ). Quini nlogmnt, s vss il minimo m, si vr M L'insim i mggiornti i è {x / x } risult: sup =. L'insim i minornti i è {x / x 0} risult: in = 0. 0 m < m M > M <. Quini, ontro l'ipotsi. m m < m, ontro l'ipotsi.

4 . Intrvlli, insimi nsi insimi isrti Si (, ) un insim totlmnt orinto. Prsi u lmnti, (, ), si i h pr strtt mnt si sriv, oppur h sgu strttmnt si sriv, s solo s. S, si himno intrvlli gli insimi: [, ] = {x / x }, ], [ = {x / x }, ], ] = {x / x }, [, [ = {x / x }. In prtiolr, l'intrvllo [, ] si i hiuso; l'intrvllo ], [ prto; l'intrvllo ], ] str; l'intrvllo [, [ prto str. prto sini- S ], [ pr ogni, (, ) on i isrto., l'insim (, ) si i nso; in so ontrrio (, ) si ESEMPI L'insim (, ) è isrto. Intti, prnno smpio = =, si h ], [ =. L'insim ( ], [, ) è nso. Intti, s, <, è smpr. risult EP F0 Dti gli insimi = {, {}, {, }, {, }, {,, } } = { {}, {}, {, }, {, }, {,, } }, rpprsnt gli insimi orinti (, ), (, ) ( { }, ). Orin pr inlusion gli insimi: () I = {,,,,, Ω}, on. () I = {, C, C, C ( ), C ( )}, ov,, C sono gli insimi rpprsntti nl igrmm lto. () I = {,,,, C, Ω}, on,, C om nl igrmm. Dti gli insimi = {,,,, } = {,}, si = {X () / X }. Rpprsnt gli insimi orinti (, ) ( { }, ). ESERCIZIO SVOLTO Ω C DEF Sino x, y. Diimo h x ivi y srivimo x y, s solo s sist un k tl h k x = y. L rlzion R = {(x, y) / x y}, himt ivisiilità in, è un orinmnto przil. Il gro h riportimo è il igrmm i Hss ll rlzion i ivisiilità nll'insim I = {,,,,,, }.

5 Orin pr ivisiilità gli insimi: () {,,,,, }; () D (insim i ivisori i ); () {,,,,, }. Cisuno i sgunti igrmmi inis un insim orinto (, ) un sottoinsim i. Ini, s sist: () l'insim i mggiornti i ; () sup ; () l'insim i minornti i ; () in. Spii s sup è nh l'lmnto mssimo in l'lmnto minimo. Si un insim ostituito sottoinsimi i, ioè si ( ). Costruisi il igrmm i Hss i (, ) pr isuno i si h sguono: () = { ], ], ], ], ], [, } () = {, ], [, ], ], [, ], [, [ } () = {, ]0, [, [, [, ], 0[, [0, ], ], ] } () = {[ 0, ], ] 0, [, [ 0, [, ], ] 0, } () = {[, 0[, {0}, ] 0, ], [, ],,, }. SOLUZIONE DI LCUNI ESERCIZI (.) {,, }, (.) sup = non è mssimo, (.) {}, (.) in = non è minimo. (.) {}, (.) sup = è mssimo, (.) {, }, (.) in = è minimo. (.), (.) sup non sist, (.) {}, (.) in = non è minimo. (.) {,,, }, (.) sup = è mssimo, (.), (.) in non sist. (.) {}, (.) sup = è mssimo, (.) {,, }, (.) in = non è minimo. (.) {}, (.) sup = non è mssimo, (.) {,, }, (.) in = è minimo.