PROGRAMMA di MATEMATICA. I Modulo - Introduzione alla Matematica (E.Bernardi)

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1 PROGRAMMA di MATEMATICA Corso di Lure in ARCHITETTURA A.A. 200/2002 (Alberto PARMEGGIANI) I Modulo - Introduzione ll Mtemtic (E.Bernrdi) Rudimenti di Teori degli Insiemi: sottoinsiemi, operzioni tr insiemi (unione, intersezione, differenz), insieme delle prti, prodotto crtesino di insiemi. L insieme dei numeri interi non negtivi N, l insieme dei numeri interi reltivi Z, l insieme dei numeri rzionli Q, l insieme dei numeri reli R. Funzioni: dominio, grfico, immgine e controimmgine di un insieme trmite un funzione, e sue proprietà: f(a B) = f(a) f(b), f(a B) f(a) f(b), f (A B) = f (A) f (B), f (A B) = f (A) f (B), funzioni iniettive, suriettive, biettive, funzione compost, funzioni invertibili, un funzione è invertibile se e solo se ess è biettiv, l funzione invers è unic, funzioni monotone (crescenti, strettmente crescenti, decrescenti, strettmente decrescenti). Funzioni trigonometriche x sin x e x cos x e loro inverse; l funzione esponenzile x e x e l su invers (logritmo nturle in bse e) x ln x, x > 0. Numeri complessi: definizione di numero complesso (form lgebric), coniugto, modulo e principli proprietà. Lo spzio vettorile R 2 ed il pino crtesino R 2 (rett pssnte per un punto dto e direzione un vettore dto, rett per due punti, equzione generle dell circonferenz di centro e rggio dti, coniche). II Modulo - Fondmenti di Mtemtic (A.Prmeggini) L insieme numerico R L funzione x = mx{ x, x}, x R, e sue proprietà, l disuguglinz tringolre x+y x + y, l distnz euclide dist e (x, y) = x y in R e sue proprietà. Insiemi itti, mx, min di un insieme, sup ed inf di un insieme e loro crtterizzzione, l ssiom di completezz di R : ogni sottoinsieme di R superiormente (risp. inferiormente) itto mmette sup (risp. inf). Il Principio di Induzione: Si P (n) un proprietà definit su N, llor se P () è ver e P (n) = P (n + ) ne consegue che P (n) è ver per ogni n N, n. L disuguglinz di Bernoulli: Se x >, llor ( + x) n + nx per ogni n N. L formul di sommzione n dell progressione geometric di rgione x, x k = xn+. L formul di Newton del binomio: ( + b) n = n k=0 k=0 ( ) n k b n k, dove n N e k ( n k x ) = n! k!(n k)!. Esistenz di un unic rdice n-esim: Dti y > 0 ed n nturle, llor esiste un unico x > 0 tle che x n = y (quindi x = y /n ). Esistenz di un unico logritmo in bse > 0: Dti > 0 e y > 0 (con, y ) esiste un unico x R tle che x = y (quindi x = log y).

2 2 Funzioni di un vribile, iti e continuità Funzioni itte mx, min, sup ed inf di un funzione. Si I R un intervllo : si dice che x 0 R {+, } è di ccumulzione per I se x 0 I {sup I, inf I}. Definizione di ite f(x) = l R {+, } dove f: I R e x 0 è di ccumulzione per I. Limite per x x 0 ±. Il ite, qundo esiste, è unico. Il Teorem (dei due crbinieri): se g(x) = h(x) esiste, finito od infinito ugule λ, e g(x) f(x) h(x), llor nche il f(x) esiste ed è ugule λ. Forme indeterminte. Proprietà dei iti: Se esistono f(x) e g(x) (finiti od infiniti), llor Per ogni numero rele c vle cf(x) = c f(x); ( ) f(x) + g(x) = f(x) + g(x) ogni volt che il membro destr non costituisce form indetermint; ( ) ( )( ) f(x)g(x) = f(x) g(x) ogni volt che il membro destr non costituisce form indetermint; ( ) ( ) ( ) f(x)/g(x) = f(x) / g(x) ogni volt che il membro destr non costituisce form indetermint; Se f(x) < g(x) ed i iti di f e g esistono per x x 0 llor f(x) g(x); Se f(x) < g(x) llor esiste un r > 0 tle che f(x) < g(x) per tutti gli x I tli che x x 0 < r se x 0 R, x > r se x 0 = +, x < r se x 0 = ; (Cmbimento di vribile nei iti) Se g(t) x 0 definitivmente e g(t) = x 0 ( ) t t0 llor f(x) = f g(t). t t0 Limiti di funzioni monotone: Se f: [, b) R è crescente llor esiste, finito o infinito, il f(x) = sup f(x). Anlogmente, nel cso di f decrescente, f(x) = inf f(x). x b x [,b) x b x [,b) Simboli di Lndu: Si dice che f g per x x 0 qundo f(x)/g(x) = ; Si dice che f = o(g) per x x 0 qundo f(x)/g(x) = 0. I iti notevoli: sin x x 0 x = ln( + x) e x cos x cos x =, = =, x 0 x 0 x x 0 x x 0 x 2 = 2. Asintoti: Dt f: I R llor se x 0 R, (con x 0 I e x 0 di ccumulzione per I) e vle f(x) = + o llor si dice che l rett di equzione x = x 0 è un sintoto verticle per l funzione; In qunto segue I denoterà sempre un intervllo di R. 2

3 se vle f(x) = λ R llor si dice che l rett di equzione y = λ è un sintoto orizzontle + per l funzione (e nlogmente si definisce l sintoto orizzontle ); se vle f(x) = + (o ) ed esistono numeri reli m = f(x) ( ) x, q = f(x) mx, llor si dice che l rett di equzione y = mx + q è un sintoto obliquo per l funzione + (e nlogmente si definisce l sintoto obliquo ). Definizione di funzione continu in un punto e su un intervllo. continue: Proprietà delle funzioni Somme e prodotto di funzioni continue dnno luogo funzioni continue; Se f, g sono continue in x 0 con g(x 0 ) 0 llor f(x)/g(x) è continu in x 0 ; Se f: I J e g: J R sono continue llor (g f): I R è continu; Il Teorem di Bolzno: se f: [, b] R è continu e f()f(b) < 0 llor esiste c [, b] tle che f(c) = 0. In prticolre l immgine di un intervllo trmite un funzione continu è un intervllo; Il Teorem di Weierstrss: se f: [, b] R è continu llor f([, b]) = [min f, mx f], in prticolre l immgine di un intervllo chiuso e itto trmite un funzione continu è un intervllo chiuso e itto; Il Teorem: se f: I R è continu e strettmente monoton sull intervllo I llor f è iniettiv e l funzione invers f : J = f(i) I è continu. Continuità delle funzioni x, sin x, cos x, tn x, e x, rcsin x, rccos x, rctn x, ln x. 3 Derivzione Definizione di derivt, significto geometrico dell derivt, rett tngente il grfico di un funzione in un punto. Un funzione derivbile è sempre nche continu. L derivt di un costnte è zero. Regole di derivzione: (f + g) = f + g, (fg) = f g + fg, ( f g ) = f g fg g 2, (f g) (x 0 ) = f ( ) g(x 0 ) g (x 0 ), df dx (x 0) = f (f (x 0 )). Derivte delle principli funzioni: D(x ) = x (per ogni x R con x 0 se Z e per x > 0 se R \ Z + ); D(e x ) = e x, D(sin x) = cos x; D(cos x) = sin x; D(rctn x) = /( + x 2 ); D(rcsin x) = / x 2 ; D(rccos x) = / x 2 ; D(ln x) = /x. Dt un funzione f: I R e x 0 I llor: L funzione h un discontinuità di tipo slto in x 0 se esistono finiti il ite destro e sinistro per x x 0, m essi sono diversi tr loro; 3

4 Se f è continu in x 0 m non è derivbile in x 0 in qunto il ite destro ed il ite sinistro del rpporto incrementle esistono finiti m sono diversi tr loro, llor f h un punto ngoloso in x 0 ; Se f è continu in x 0 m non è derivbile in x 0 in qunto il ite del rpporto incrementle per x x 0 vle + (o ), llor f h tngente verticle in x 0 ; Se f è continu in x 0 m non è derivbile in x 0 in qunto il ite destro per x x 0 del rpporto incrementle vle + (risp. ) e quello sinistro dello stesso vle (risp. + ), llor f h un cuspide in x 0. Mssimi e minimo locli, Il teorem (di Fermt): Se x 0 (, b), f: (, b) R è derivbile e x 0 è un estremle reltivo (cioè punto di mx o min locle) llor f (x 0 ) = 0; Il teorem di Rolle; Il teorem di Lgrnge (del vlor medio); Il teorem di Cuchy: se f, g: [, b] R sono continue, derivbili in (, b), con g (x) f(b) f() 0 su (, b), llor esiste c (, b) tle che g(b) g() = f (c) g (c) ; Regol di De l Hospitl per il clcolo delle forme indeterminte 0/0 e /. Appliczione dell regol di De l Hospitl d lcuni iti importnti: Per tutti gli R e β > 0 vle Per tutti gli > 0 e β R vle Per tutti gli > 0 e β R vle x 0 +. e βx x Alcune conseguenze del Teorem del Vlor Medio: = + ; x (ln x) β = + ; x 0+ x ln x β = 0, ed in prticolre xln x 0 per Se f: [, b] R è continu e f (x) = 0 per tutti gli x (, b) llor f è constnte; f è crescente se e solo se f 0 (risp. f è decrescente se e solo se f 0); f è strettmente crescente se e solo se f 0 e l insieme {x; f (x) = 0} non contiene intervlli (nlogmente nel cso di strett decrescenz). L formul di Tylor con punto inizile x 0 : Se f: I R, x 0 I e f è derivbile k volte llor vle Formul di Tylor con resto secondo Peno f(x) = k n=0 f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n + o((x x 0 ) k ); n! 4

5 Formul di Tylor con resto secondo Lgrnge f(x) = k n=0 f (n) (x 0 ) n! per un certo ξ dentro l intervllo di estremi x e x 0 ; (x x 0 ) n + f (k) (ξ) (x x 0 ) k ; k! Dll formul di Tylor di f si può ottenere quell di f. L formul di Tylor di e x, ln( + x), sin x, cos x con punto inizile 0: e x = + x + x2 2 + x3 3! + o(x3 ), ln( + x) = x x2 2 + x3 3 + o(x3 ), sin x = x x3 3! + o(x3 ), cos x = x2 2 + o(x2 ). Uso dell formul di Tylor per determinre l ntur dei punti critici: si f: (, b) R derivbile fino ll ordine k in x 0 (, b) con f (x 0 ) = f (x 0 ) =... = f (k ) (x 0 ) = 0, e f (k) (x 0 ) 0. Allor se k è pri e f (k) (x 0 ) > 0, il punto x 0 è di minimo locle; se k è pri e f (k) (x 0 ) < 0, il punto x 0 è di mssimo locle; se k è dispri, il punto x 0 non è né di mssimo né di minimo locle (è di flesso). Convessità: un funzione f: I R si dice convess se il suo epigrfico E f = {(x, y) R 2 ; y f(x)} è convesso, e cioè per ogni coppi di punti P, Q E f il segmento di estremi P e Q (l insieme {P +t(q P ); t [0, ]}) è intermente contenuto in E f ; condizioni necessrie e sufficienti: Se f: I( R) R è derivbile nell intervllo I, llor f è convess se e solo un delle seguenti equivlenti condizioni (i), (ii), (iii) è soddisftt: (i) per ogni x 0 I, f(x) f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ), per ogni x I; (ii) f è crescente; (iii) Nel cso in cui f si derivbile 2 volte: f (x) 0 per ogni x I. 4 Integrle di Riemnn Funzioni generlmente continue: dt f: [, b] R, si dice che f è generlmente continu se f è continu su [, b] escludendo l più un insieme finito di punti, nei quli f h singolrità di tipo slto. Funzione integrle: dt f: [, b] R generlmente continu, si dice che un funzione continu F : [, b] R è un primitiv di f se F (x) = f(x) per tutti gli x [, b], escludendo l più un insieme finito di punti. Se F, F 2 : [, b] R sono primitive di un dt funzione f generlmente continu, llor esse differiscono per un costnte. Dt un funzione f: I R, si definiscono l prte positiv e l prte negtiv, rispettivmente, come f + (x) = mx{f(x), 0}, f (x) = mx{ f(x), 0}. Allor f +, f 0 e vle sempre f = f + f e f = f + + f. Se f è generlmente continu, nche f + ed f lo sono. 5

6 Funzione integrle: dt f: [, b] R generlmente continu e dto x 0 [, b], si chim funzione integrle di punto inizile x 0 l funzione definit d [, b] x Φ x0 (x) := f(t)dt, per x x 0 x 0 R. x0 f(t)dt, per x x 0 x Si noti che Φ x0 (x 0 ) = 0. Il Teorem Fondmentle del Clcolo Integrle: Se f: [, b] R è generlmente continu, llor, fissto comunque x 0 [, b], l funzione integrle Φ x0 è sempre continu e risult essere derivbile in ogni x nel qule f è continu con Φ x 0 (x) = f(x) per tli x. Quindi un qulsisi funzione integrle è nche un primitiv di f. Proprietà dell integrle: dte f, g: [, b] R generlmente continue, dti, β [, b] con β llor: β Si pone sempre f(x)dx = f(x)dx; β β ( ) β β f(x) + g(x) dx = f(x)dx + g(x)dx,; β ( ) β cf(x) dx = c f(x)dx, per qulunque costnte c R; Se γ è un qulunque punto di [, b] llor vle sempre β Se f(x) g(x) su [, b] llor f(x)dx = β γ f(x)dx β f(x)dx + f(x)dx; γ β g(x)dx; β β Vle sempre f(x)dx f(x) dx, e quindi se x, x 2 [, b] sono qulunque, x2 x2 llor f(x)dx f(x) dx. x x Clcolo effettivo dell integrle: Dt f: [, b] R generlmente continu, llor si h b [ ] b f(x)dx = F (x) = F (b) F (), dove F è un qulunque primitiv di f. Metodi di integrzione: Per sostituzione: Se f: [, b] R è continu e ϕ: [, β] [, b] è continu insieme ll su derivt, llor β f(ϕ(t))ϕ (t)dt = ϕ(β) ϕ() f(x)dx (quindi x = ϕ(t), dx = ϕ (t)dt); 6

7 Per prti: Se f, g: [, b] R sono continue con derivt continu llor b Alcune primitive notevoli: dx = rctn x + C, + x2 f (x)g(x)dx = [ ] b f(x)g(x) ln x dx = xln x x + C, b f(x)g (x)dx. x n dx = xn+ + C (n ), dx = ln x + C, n + x sin x dx = cos x + C, cos x dx = sin x + C, dx = rcsin x + C, x 2 ( ) + f (x) ( ) f f(x) dx = ln f(x) + C, f(x) (x)dx = + C ( ), f(x) + f (x) dx = rctn f(x) + C, e f(x) f (x)dx = e f(x) + C. + f(x) 2 Gli integrli x n e x dx, x n cos x dx, x n sin x dx, con n N, si clcolno per prti. Metodo dei frtti semplici : Dt l funzione rzionle P (x)/q(x), con P e Q polinomi, se il grdo di P è superiore l grdo di Q si oper l divisione e ci si riduce l cso in cui il grdo di P è minore del grdo di Q; Esempio di Q(x) = (x ) n (x b) m, grdo(p ) n + m. Si scrive P (x) (x ) n (x b) m = A x + B x b + d ( ) R(x) dx (x ) n (x b) m, dove A, B R e R, un polinomio di grdo (n ) + (m ) (quindi determinto d (n ) + (m ) coefficienti) sono d determinrsi; Esempio di Q(x) = (x ) n (x 2 + x + β) m, dove x 2 + x + β non si nnull mi, e grdo(p ) n + 2m. Si scrive P (x) (x ) n (x 2 + x + β) m = A x + 2Bx + C x 2 + x + β + d ( ) R(x) dx (x ) n (x 2 + x + β) m, dove A, B, C R e R, un polinomio di grdo (n ) + 2(m ) (quindi determinto d (n ) + 2(m ) coefficienti) sono d determinrsi. Se n = m = llor R(x) è il polinomio identicmente ugule 0. Volume di un solido di rotzione intorno ll sse x : se f: [, b] [0, + ) è continu, llor il volume V del solido ottenuto fcendo ruotre di 2π intorno ll sse x l insieme {(x, y); x [, b], 0 y f(x)} vle V = π b f(x) 2 dx. Lunghezz di un grfico: se f: [, b] R è continu con derivt continu llor l b lunghezz L dell insieme {(x, f(x)); x [, b]} vle L = + (f (x)) 2 dx. 7

8 4. Integrle generlizzto (Motivzione importnte: clcolo di ree di domini non itti.) Se f: [, b) R è continu (dove, b R), si dice che ess è integrbile in senso generlizzto su [, b) se esiste finito il ite x b f(t)dt; Se f: [, + ) R è continu (dove R), si dice che ess è integrbile in senso generlizzto su [, + ) se esiste finito il ite f(t)dt; Se f: (, + ) R è continu (dove R), si dice che ess è integrbile in senso generlizzto su (, + ) se, fissto un qulunque b (, + ), esistono finiti i iti b x + x f(t)dt, Tle definizione non dipende dll scelt di b; b f(t)dt. Un funzione f si dice ssolutmente integrbile in senso generlizzto se l funzione f è integrbile in senso generlizzto, Qundo l integrle generlizzto esiste ed è ugule + o llor si dice che l funzione h integrle generlizzto divergente. Osservzione: Se f 0 llor l integrle generlizzto di f esiste sempre, con vlore finito o infinito (in qunto l funzione integrle di f è monoton crescente, e le funzioni crescenti hnno sempre ite). Criteri di convergenz: Se f: [, + ) R è continu e f(x) = λ [, 0) (0, + ] llor f h integrle generlizzto su [, + ) divergente; Dte le funzioni f, g, se f g llor l integrbilità generlizzt di g forz l integrbilità di f, quindi se f è ssolutmente integrbile in senso generlizzto llor è nche integrbile in senso generlizzto; Se f g per x x 0 (o per x + ) llor f è integrbile in senso generlizzto vicino x 0 (o + ) se e solo se g è integrbile in senso generlizzto vicino x 0 (o + ); Se, b R con < b, Se > 0, + b dx < + se e solo se < ; x b dx < + se e solo se >. x Osservzione. Anlogmente si ottengono tutti gli ltri csi reltivi (, b], (, b], (, b), (, b), (, + ). 8

9 5 Equzioni differenzili lineri del I ordine Con I R intervllo, le funzioni, b: I R lmeno continue, il tempo inizile x 0 I, e l soluzione, unic, y: I R è dt d con A(x; x 0 ) = x 0 (t)dt. y = (x)y + b(x), y(x 0 ) = y 0, y(x) = e A(x;x 0) [ y 0 + ] e A(t;x0) b(t)dt, x 0 6 Equzioni vribili seprbili non lineri del I ordine Con f, g funzioni continue, e y = f(x)g(y), y(x 0 ) = y 0, se g(y 0 ) = 0, llor si prende y(x) = y 0 ; se g(y 0 ) 0, llor il problem dto è equivlente l problem y(x) x y 0 g(s) ds = f(t)dt. x 0 Testo consiglito: Nel I Modulo si seguirnno le note (disponibili presso l Segreteri Didttic) P. Albno, A. Prmeggini, Elementi introduttivi di mtemtic, Libro di teori (per il II modulo): M.Brmnti-C.D.Pgni-S.Sls, Mtemtic, Znichelli (Bologn), Libro di esercizi: S. Abend, S. Mtrsso, A. Prmeggini, Esercizi di Anlisi Mtemtic, Prte I, Progetto Leonrdo (Bologn),