Corso di Laurea in Ingegneria Civile Analisi Matematica 1

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1 Corso di Lure in Ingegneri Civile Anlisi Mtemtic Lezioni A.A. 2005/2006, prof. G. Stefni Testi consigliti: M.Brmnti, C.D.Pgni, S.Sls - Mtemtic - Znichelli editore S.Sls, A.Squellti - Esercizi di Mtemtic, vol.i - Znichelli editore Il registro delle lezioni contiene gli rgomenti svolti lezione ed lcuni suggerimenti su come usre il testo. Occsionlmente srnno proposti esercizi. Se non specificto ltrimenti, i cpitoli e i prgrfi citti si riferiscono l testo consiglito. Altri esercizi srnno proposti in un file prte nell sezione Mterile didttico dell pgin web del corso. Alcuni richimi sui prerequisiti si trovno nche sul testo consiglito e nel libro di esercizi, ltri testi: M. Roggero, G. Ferrrese - Mtemtic Zero, Corso di soprvvivenz mtemtic con esercizi commentti e risolti, Cs Editrice Ambrosin G. Mlfrin - Mtemtic per i precorsi, McGrw-Hill G. De Mrco - ANALISI ZERO, Decibel editrice, distribuzione Znichelli 9-23/9. Mrtedi 20/9 (Cp., Pr.,3,4). Spiegzioni sullo svolgimento del corso. Prerequisiti l corso sono stti svolti nel precorso di mtemtic svoltosi in settembre. Porre prticolre ttenzione lle propriet del vlore ssoluto, lle equzioni e disequzioni di primo e secondo grdo e rzionli, lle formule di trigonometri e lle propriet di logritmi ed esponenzili. Numeri reli, nturli, interi, rzionli e notzioni insiemistiche x N Z Q R L rett rele, propriet di ordine (<, ). Vlore ssoluto e distnz, intervlli (limitti, illimitti, perti, chiusi, semiperti) e loro estremi. Lunghezz o misur di un intervllo limitto e su rppresentzione in termini di distnz. Esercizio: trovre centro (punto medio) e rggio di un intervllo limitto (, b). 2. Rppresentzione grfic di intervlli e soluzioni di disequzioni e sistemi di disequzioni. Esempi: x + 4 < x 3, x 2 4 < 0, x 2 8, x 2 5, x 2 5 Rivedere le propriet di potenze, esponenzili, logritmi. Mercoledi 2/9 (Cp., Pr. 5,6,9) 3. Insiemi limitti e illimitti, estremo superiore (inferiore), mssimo (minimo) di un insieme. Esempio: gli intervlli. Propriet di completezz dei numeri reli. 4. Funzioni: definizione, notzione f : A B, x f(x), dominio, codominio, immgine. Funzioni reli di un vribile rele: grfici, convenzione sul dominio (dominio nturle, cmpo di esistenz). Funzioni definite trtti. Giovedi 22/9 (Cp.4, Pr.,3) 5. Funzioni limitte, pri, dispri, monotone, periodiche. Estremo superiore e mssimo di un funzione 6. Le funzioni elementri e i loro grfici. Grfici delle funzioni potenze intere e rdici intere. Grfici delle funzioni potenze esponente rele e delle funzioni esponenzili. Funzioni trigonometriche. Operzioni sui grfici, esempi.

2 Venerdi 23/9 (Cp.4, Pr. 3,4) 7. Funzioni composte, invertibili, funzioni inverse. 8. Le funzioni trigonometriche inverse e le funzioni logritmiche. Le funzioni iperboliche e le loro inverse. Il numero e = Le funzioni x exp(x) = e x, x ln(x) = exp (x) Le funzioni del tipo x g(x) f(x) = exp(f(x) ln(g(x))) = ef(x) ln(g(x)) /9 Mrtedi 27/ Lezioni tenute dl Dott. Fumglli: Polinomi. Enuncito dell lgoritmo dell divisione fr polinomi e svolgimento dell esercizio: clcolre resto e quoziente di X 3 + 3X 2 X + 5 diviso per X + 2. Operzioni su grfici elementri. Disegnre i grfici delle seguenti funzioni f(x) = /X, cos(x π), 2 rctn( X ), ln( X), sin(x), sin( X ). Vlore ssoluto. Risolvere: 2X 5. Risolvere geometricmente e nliticmente l vrire di e b l disequzione X > X +b. Disegnre il grfico di y = X + 2 X Funzioni inverse. Clcolre, qundo esiste, l funzione invers di f(x) = log 2 (X 3 ) ed esplicitre dominio e codomio di f e f. Mercoledi 28/9 (Cp.2, Pr. ). Successioni: definizione esempi n = n, n 2, ( ) n, /n, n + n Successioni limitte, convergenti, divergenti, irregolri. Limite di un successione. Uso dell vverbio definitivmente per le successioni. Successioni infinitesime e infinite. Esempi: le successioni precedenti e studio dell successione {q n } l vrire di q R. 2. Successioni (definitivmente) monotone e loro limite. Propriet dei limiti: unicit del limite, monotoni del limite, teorem del confronto (o dei crbinieri), teorem dell permnenz del segno. Giovedi 29/9 (Cp.2, Pr. ) 3. Clcolo dei limiti: limite di somm, prodotto e quoziente. ATTENZIONE: sul libro nelle regole per il clcolo dei limiti pg.30 si legge = ( 0) 0 Quest ffermzione v lett tenendo conto dell precedente frse: il segno di v determinto con l usule regol dei segni. In prticolre se n 0 e b n e infinitesim e non definitivmente segno costnte, llor n non h limite. Esempio: b n n, b n = ( )n n 0 e n bn = ( ) n n non h limite 4. Esempi di clcolo di limiti di successioni. Venerdi 30/9 (Cp., Pr. 2) 5. Senz dimostrzione: ( lim + n) n = e =

3 Ordine nelle successioni infinite e infinitesime, in prticolre studio dei limiti n α q n, α > 0, q >, e q n n!, q > Definizione di successioni sintotiche: infiniti e infinitesimi equivlenti. 6. I coefficienti binomili. Il simbolo di sommtori e le sue propriet : prodotto per un costnte, sommtori con termine costnte, somm, composizione. Somm dei primi n numeri nturli, progressione ritmetic, progressione geometric, esempi. Formul di Newton per l potenz n-sim di un binomio /0 Mrtedi 4/0 7.8 Lezioni tenute dl Dott. Fumglli: Funzioni inverse. Determinre qundo esistono le funzioni inverse di y = f(x) e specificre dominio di f e f f(x) = X 2 3X 4, con D = R e con D = [3/2, + ), f(x) = 3 X, f(x) = tn(x ) Domini di funzioni. Clcolre i domini delle seguenti funzioni f(x) = 2 cos(x), ln(x 2 ), ln(ln( X + 2)), rcsin( X ), 2x + x 2 sin(πx) Funzioni composte. Esplicitre il dominio di y = f(x) g(x), in prticolre: y = (rccos(x)) ln(x) e y = (ln(x)) rctn(x). Dire quli fr le seguenti ffermzioni e ver:. rcsin(sin(x)) = x π per ogni x (π/2, π] 2. rcsin(sin(x)) = x per ogni x ( 3, 3) 3. rcsin(sin(x)) = x per ogni x R 4. rcsin(sin(x)) = x π per ogni x [π/2, π] Mercoledi 5/0 (Cp.3, Pr. 2) 9. Serie, definizione dell successione delle somme przili. Crttere di un serie: convergente, divergente, irregolre, somm di un serie. 20. Serie geometric e rmonic. Condizione necessri ll convergenz di un serie. Serie (definitivmente) termini non negtivi e serie segni lterni: definizione. Serie ssolutmente convergenti. Giovedi 6/0 (Cp.3, Pr. 2) 2. Serie termini non negtivi: criteri del confronto e del confronto sintotico. Criterio del rpporto e dell rdice. 22. Esercizi: serie di Mengoli e serie telescopiche, serie rmonic generlizzt. n(n + ) n Venerdi 7/0 (Cp.3, Pr. 2) 23. Serie segni lterni: criterio di Leibniz. Esempi 24 Esercizi 3

4 Nell settimn 0-4 le lezioni sono stte sospese per protest contro l riform dello stto giuridico dell docenz. Sono previste lezioni di recupero /0 Mrtedi 8/ Lezioni tenute dl Dott. Fumglli Mercoledi 9/0 (Cp. 4.2,3) 27. Intorni di un punto e di ±. Uso del termine definitivmente per x c (± ). Limiti di funzioni per x c, limiti x ±. Funzioni infinitesime e infinite. Limite destro e sinistro, per eccesso e per difetto. Unicit del limite. 28. Funzioni continue in un punto e in un insieme, discontinuit di slto, funzioni continue destr e sinistr. Asintoti verticli, orizzontli e obliqui. Estensione per continuit di un funzione. Esercizio per cs: rigurdre i grfici delle funzioni elementri e dedurne empiricmente l continuit e l esistenz di sintoti per le funzioni, considerre con prticolre ttenzione le funzioni x x α e l loro eventule estensione per continuit. Propriet delle funzioni continue: somm, prodotto, quoziente, composizione. Esempi. Giovedi 20/0 (Cp. 4.5) 29. Funzioni continue su intervlli limitti e chiusi: teorem degli zeri e di Weirstrss. 30. Immgine di un intervllo medinte un funzione continu e sue conseguenze sull esistenz di mssimi e minimi. Venerdi 2/0 (Cp. 4.6) 3. Clcolo dei limiti: teoremi del confronto, dell permnenz del segno, lgebr dei limiti. Infiniti e infinitesimi equivlenti, funzioni sintotiche per x α. Dimostrzione del ftto che ogni polinomio di grdo dispri mmette un rdice rele. 32. Il cmbimento di vribile nel clcolo dei limiti. Alcuni limiti notevoli. L funzione x sin(x)/x. Clcolo del lim sin(x)/x per x 0. Sbto 22/0 (Cp. 5.,2) Lezioni di recupero, ore 9- ul 20 di S.Mrt. Rette tngenti e velocit istntne: descrizione intuitiv. Definizione di derivt, derivt destr, derivt sinistr. Interpretzione geometric, fisic e in termini di pprossimzione dell derivt. Punti ngolosi, cuspidi, flessi tngente verticle. Continuit e derivbilit. Studire cs: derivte delle funzioni elementri, con prticolre rigurdo x α /0. Mrtedi 25/ Lezioni tenute dll Prof. Poggiolini: esercizi sui limiti. Mercoledi 26/0 (Cp. 5.3) 37. Algebr delle funzioni derivbili. Derivt dell funzione compost (regol dell cten o cmbimento di vribile nell derivt). Derivt delle funzioni f(x) g(x). 38. Derivt dell funzione invers. Esercizi: clcolo dell derivt di rcsin, prtire dll derivt dell funzione sin con l regol dell derivt dell funzione invers. Giovedi 27/0 (Cp. 5.4) 39. Teorem del vlor medio e suo significto in termini geometrici e di pprossimzione, sue conseguenze: funzioni derivt null, test di monotoni e ppliczioni. 40. Mssimi e minimi locli e teorem di Fermt. Ricerc dei mssimi e minimi sugli intervlli limitti e chiusi. Esercizi. Venerdi 28/0 (Cp. 5.4,5) 4. Teorem di De l Hospitl e ppliczioni l clcolo di lcuni limiti notevoli. 42. Derivte successive. Gli insiemi C k (R). Convessit e concvit delle funzioni 4

5 definite su intervlli. Sbto 29/ Lezioni di recupero, ore 9- ul di S.Mrt. Esercizi:. Dimostrzione dell formul del binomio di Newton pplicndo l derivzione di ordine k =,.., n ll identit P (x) = ( + x) n = i 0 i x i e clcolndo P (k) (0) 2. Sudio dell funzione f(x) = x 3 + x 2 + bx + c con ppliczione ll determinzione del numero di rdici di un polinomio di grdo 3 3. Studio dell serie n ( x) n 3 n+ (x + ) n+ 6 3/0-4/ Mercoledi 2/ (Cp. 5.6) 45. Lezione tenut dl Dott. Fumglli: studio del grfico di un funzione. 46. Lezione tenut dl Dott. Fumglli: esempi e esercizi. Giovedi 3/ Esercizi: grfico dell gussin e di exp( /x), exp( /x 2 ). Studio di lcune serie dipendenti d un prmetro. Venerdi 3/ Esercizi su: mssimi e minimi su intervlli, infiniti e infinitesimi di ordine superiore, convergenz di serie. 7 7-/ Mercoledi 9/ (Cp. 5.7,6.,6.2) 49. Differenzile e pprossimzioni lineri. Studio dell ordine dell errore in funzione dell derivt second. Il simbolo o piccolo e i limiti. Esempi fr cui sin(x) x = o(x 2 ) per x 0. Ordine di un infinitesimo. Esempio: x ln(x) non h ordine per x Clcolo integrle. Introduzione del concetto di misur, definizione di integrle di Riemnn di funzioni continue su intervlli limitti e chiusi e su interpretzione in termini di re per funzioni positive e negtive. Definizione di integrle orientto di funzioni continue su intervlli limitti e chiusi e su interpretzione in termini di re per funzioni positive e negtive. Venerdi / (Cp. 6.2,6.3) 5. Propriet dell integrle: linerit rispetto ll funzione, dditivit rispetto ll intervllo, monotoni rispetto ll funzione, propriet rispetto l vlore ssoluto. Teorem dell medi e su dimostrzione. 52. Relzione fr integrle e re: interpretzione dell integrle come somm lgebric di ree e clcolo dell re dell prte di pino delimitt dl grfico di un funzione continu, l sse delle x e due rette verticli. Esercizi:. Clcolo, medinte l definizione, di funzione di, b R, d svolgere cs. b dx e su interpretzione geometric in 5

6 2. Clcolo, medinte l definizione, di funzione di, b R. b x dx e su interpretzione geometric in 3. Esprimere, medinte integrli orientti, l re dell prte di pino compres fr le curve y = sin(3x), y = 0, x = π/3, x = π/ / Mercoledi 6/ Lezioni tenute dl Dott.Fumglli. Clcolo dell re dell regione Ω del pino compres fr i grfici di due funzioni continue Ω = {(x, y) R 2 : x [, b], f(x) y g(x)}. Clcolo di integrli di funzioni prtire dll interpretzione geometric, usndo le proprietà degli integrli. Esprimere l re di regioni pine medinte integrli, senz clcolrli. Venerdi 8/(Cp. 6.4,6.8) Teorem fondmentle del clcolo con dimostrzione. Primitive di un funzione su un intervllo: definizione e relzione col teorem fondmentle del clcolo. Formul fondmentle del clcolo con dimostrzione. Esercizi sulle funzioni integrli. Attenzione. L esposizione dell mteri è divers d quell seguit nel testo. Viene chimto Teorem fondmentle del clcolo quello che sul testo è chimto Secondo teorem fondmentle del clcolo integrle, pg.3. Mentre viene chimt Formul fondmentle del clcolo quello che sul testo è chimto Teorem teorem fondmentle del clcolo integrle, cp. 6.4, pg.287. Linee guid per l esposizione seguit nelle lezioni. Si f : I R un funzione continu su un intervllo I e si I. Definizione dell funzione integrle F (x) = clcolo (Cp. 6.8, pg.3) x f(t) dt e dimostrzione del teorem fondmentle del Definizione di primitiv di un funzione f su un intervllo e struttur dell insieme delle primitive (Cp. 6.4, pg.286). Dimostrzione dell formul fondmentle del clcolo (Cp. 6.4, pg.287). L dimostrzione è divers d quell del libro e f uso del precedente teorem. Esercizi svolti. Are dell prte di pino compres fr i grfici y = /x, y = 0, x = 2. Are dell prte di pino compres fr i grfici y = /x, y = 0, x = /2 3. Completmento dell esercizio 3 di venerdi / 4. Studio del grfico dell funzione t x t ln(t) dt medinte il teorem fondmentle del clcolo, senz clcolo dell primitiv. 6

7 9 2-25/ Mercoledi 23/ (Cp. 6.5) Lezioni tenute dl Dott.Fumglli: clcolo delle primitive. Venerdi 25/ spostt Lunedi 28/ per lo sciopero generle Lezioni tenute dl Dott.Fumglli: clcolo delle primitive e delle ree. 0 28/-2/2 Mercoledi 30/ (Cp. 6.7,8) Integrli di funzioni limitte su intervlli limitti. Integrbilit delle funzioni continue trtti. Funzioni integrli e loro continuit. Derivbilit delle funzioni integrli e esistenz di punti ngolosi. Esercizio. Studio delle funzioni integrli dell funzione prte inter x k Z per x [k, k + ) Venerdi /2 (Cp. 6.7,8) Integrli impropri: integrle di funzioni illimitte su intervlli limitti. Integrli sull semirett. Convergenz degli integrli impropri 0 x α dx, x α dx Studio delle funzioni integrli ed esistenz di sintoti verticli e orizzontli. Appliczione dell convergenz degli integrli impropri sull semirett llo studio dell convergenz dell serie rmonic e rmonic generlizzt. 5-9/2 Mercoledi 7/2 (Cp. 6.7) Criteri di convergenz e convergenz sintotic per gli integrli impropri. Esercizi. Venerdi 9/ Esercizi 7