Corso di laurea in Fisica Analisi Canale L-Pa A.A. 2018/2019 Argomenti delle lezioni Martedí 25 settembre - 2 ore. Introduzione al corso. Misurare.

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1 Corso di lure in Fisic Anlisi Cnle L-P A.A. 208/209 Argomenti delle lezioni Mrtedí 25 settembre - 2 ore. Introduzione l corso. Misurre. Numeri come misure. Assiomi di cmpo ordinto. Esercizi: comportmento dello zero nell moltipliczione, relzioni tr opposti e reciproci, soluzione di equzioni e disequzioni di primo e di secondo grdo. Concetti di bse sugli insiemi. Un po di logic elementre: proposizioni, impliczione, dimostrzione per ssurdo, controesempi. Esercizi. Giovedí 27 settembre - 2 ore. Mggiornti e minornti, insiemi limitti superiormente e inferiormente. Insiemi limitti e insiemi finiti. Mssimo e minimo. Estremo superiore ed estremo inferiore e loro crtterizzzione. Relzione tr mssimo ed estremo superiore. Proprietá dell estremo superiore. Esercizi. Cmpo ordinto completo ( con l proprietá dell estremo superiore). Definizione ssiomtic di R come cmpo ordinto completo. Cenno l problem dell esistenz di R e dell su unicitá. N Z Q R. Q é un cmpo ordinto. Non esiste q Q, tle che q 2 = 2. Dimostrzione dell non completezz di Q. Dimostrzione dell esistenz, in R di 2. Esistenz in R dell rdice n-esim ritmetic n x di un numero nonnegtivo x. L proprietá di Archimede, formulzioni equivlenti. Q é denso in se stesso e rchimedeo. Un esempio di cmpo ordinto non rchimedeo si trov in Esercizi e complementi. L completezz implic l proprietá di Archimede, con dimostrzione. Densitá di Q in R, con dimostrzione. Equivlenz tr l proprietá dell estremo superiore e quell dell estremo inferiore. L rett crtesin. Sezioni. Proprietá di Dedekind. Dimostrzione dell equivlenz tr proprietá dell estremo superiore e proprietá di Dedekind. Venerdí 28 settembre - 2 ore. Vlore ssoluto o modulo. Vlore ssoluto e distnz. Proprietá. Esercizi. Osservzioni su lcuni sottoinsiemi di R: - Intervlli, perti, chiusi, né perti né chiusi, limitti e non limitti. Lunghezz, punto medio, rggio. Crtterizzzione degli intervlli: connessione. Esercizi. - N e le sue proprietá: ogni suo sottoinsieme h minimo, esistenz del successivo. Il principio di induzione. Proprietá godute definitivmente. Esercizi. Successioni. Proprietá degli intervlli incpsulti. L proprietá dell estremo superiore implic l proprietá degli intervlli incpsulti, con dimostrzione. Controesempi nel cso in cui gli intervlli non sino chiusi o non sino limitti.

2 2 Mrtedí 2 ottobre - 2 ore. Esercizi di ppliczione del principio di induzione: disuguglinz di Bernoulli. Il simbolo di sommtori, progressione geometric. Esercizi. Il metodo di bisezione; su ppliczione: dimostrre che se vlgono l proprietá degli intervlli incpsulti e l proprietá di Archimede llor vle l proprietá dell estremo superiore. Intorno di un punto. Punto di ccumulzione di un insieme. Il teorem di Bolzno Weierstrss con dimostrzione. Gli insiemi finiti non hnno punti di ccomulzione. Se sup(a) non é mssimo, llor é un punto di ccumulzione di A. Esercizi. Funzioni, dominio, codominio, immgine, restrizioni ed estensioni, funzioni surriettive, iniettive, biunivoche, funzione invers. Isomorfismi. Esempi. Mrtedí 2 ottobre - or. Ricevimento e soluzioni degli esercizi dell Sched. Giovedí 4 ottobre - 2 ore. Esempi di funzioni biunivoche: sistem di coordinte crtesine nell rett e nel pino. Esercizi. Richimi sulle coordinte polri. Esempi di funzioni biunivoche del pino in se stesso: simmetrie rispetto d un punto e d un rett; come giscono sulle coordinte crtesine dei punti: l simmetri rispetto ll origine degli ssi, rispetto ll sse delle x, ll sse delle y e ll bisettrice del primo e del terzo qudrnte. Funzioni reli di vribile rele, grfici, funzioni simmetriche (osservzioni sul dominio), funzioni monotone, funzioni limitte, estremo superiore, inferiore, mssimo e minimo di un funzione. Composizione di funzioni e funzione invers. Grfico dell funzione invers. Richimi sulle proprietá delle potenze. Richimi sulle funzioni potenz, loro grfico e confronto tr i loro grfici. Venerdí 5 ottobre - 2 ore. Esercizi su: confronto tr numeri reli, grfico delle funzioni potenz. Richimi sulle funzioni esponenzili, loro grfico e confronto tr grfici. Richimi sulle proprietá del logritmo. Richimi sulle funzioni logritmo, loro grfico e confronto tr grfici. Richimi sulle funzioni trigonometriche, loro grfico. Le funzioni trigonometriche inverse e il loro grfico. Operzioni sui grfici. Esercizio: il grfico dell funzione f(x) = x 2 + bx + c. Esercizi su iniettivitá, surriettivitá, composizione, legge dell funzione invers, equzioni e disequzioni e svolgimento di lcuni esercizi dell Sched. Mrtedí 9 ottobre - 2 ore. Le funzioni modulo, prte inter e prte frzionri, loro grfico, Successioni reli, osservzioni sul dominio, immgine e grfico, { n : n N} e ( n ) n N. Sottosuccessioni. Esempi. Successioni limitte, estremo superiore, estremo inferiore, mssimo e minimo di un successione. Esempi ed esercizi. Successioni monotone e loro crtterizzzione. Esistenz del minimo per le successioni crescenti e esistenz del mssimo per le successioni decrescenti. Esempi ed esercizi di verific dell monotoni.

3 Definizione di limite finito e di limite infinito (± ) per le successioni. Definizione di convergenz, divergenz, regolritá. Esempi di succssioni convergenti, divergenti e non regolri. Esercizi di verific di limiti. Teorem: un successione h limite L R {+, } se e solo se ogni su sottosuccessione h limite, e il limite é L per tutte le sottosuccessioni. Uso di quest crtterizzzione per dimostrre l non regolritá di un successione. Cso di due sottosuccessioni ( nk ) k N e ( mk ) k N, con lo stesso limite, tli che { nk : k N} { mk : k N} = { n : n N}. Esempi ed esercizi. Limiti e limittezz. Teorem sull limittezz delle successioni convergenti, con dimostrzione. Il vicevers non vle: controesempi. Mrtedí 9 ottobre - or. Ricevimento, esercizi sull composizione di funzioni con l funzione vlore ssoluto, soluzioni degli esercizi dell Sched 2. Giovedí ottobre - 2 ore. Teorem, con dimostrzione: un successione divergente + non é limitt superiormente e h minimo. Teorem nlogo per successioni divergenti. Non vle il vicevers: esempi di successioni non limitte che non hnno limite Limiti e monotoni. Teoremi sull regolritá delle successioni monotone, con dimostrzione. Non vle il vicevers: esempi di successioni convergenti e divergenti non monotone. Teoremi dell permnez del segno nelle due formulzioni, con dimostrzione. Osservzioni nel cso in cui il limite é 0. Teoremi sull lgebr dei limiti. Esempi di csi in cui n b n (risp. n b n ) divergono, m n b n (risp. n b n ) non hnno limite. Esempi di forme indeterminte 0 0, +, 0 ± e ± ±. Osservzione: l ppliczione ch d ogni successione convergente ssoci il suo limite é un ppliczione linere tr spzi vettorili. Esercizio: b b. Teorem, con dimostrzione: se n, llor n. Se 0, non vle, in generle, il vicevers: controesempio. Teorem, con dimostrzione: n 0 se e solo se n 0. Teoremi, con dimostrzione, sull monotoni del limite. Esercizi: osservzione sui metodi per trsformre un form indetermint in un cui si possono pplicre i teoremi sull lgebr dei limiti. Venerdí 2 ottobre - 2 ore. Teoremi del confronto ( dei crbinieri, confronto ll infinito) con dimostrzione. Il prodotto di un successione limitt per un infinitesim é infinitesim. Esercizi. Esercizi: Limiti delle successioni (n α ), ( q n ), ( n i=0 qi ). Esercizi su forme indeterminte : n α n β con α, β > 0 e n b n con, b >. Esercizi su forme indeterminte + : (n α n β con α, β > 0, n b n con, b >, f(n) g(n) con f(n) e g(n) combinzioni lineri di potenze di n. Esercizi. Successioni infinite ed infinitesime e loro confronto. L gerrchi degli infiniti senz dimostrzione. Esercizi. 3

4 4 Cenni sulle successioni definite per ricorrenz. Metodo per cercrne il limite: - dimostrre l esistenz del limte, per esempio verificndo che sono definitivmente monotone; - verificre le proprietá dell eventule limite, per esempio deve essere soluzione di un cert equzione. - Osservzione sull importnz del vlore 0. Esercizi. Esercizi su successioni monotone: - se ( n ) é crescente e n + ( ) n definitivmente, llor ( n ) converge d un limite ; - se ( n ) é monoton e 3n 4, llor ( n ) converge 4. Mrtedí 6 ottobre - 2 ore. Successioni di Cuchy in Q e in R. Teoremi con dimostrzione: - ogni successione convergente é di Cuchy. - ogni successione di Cuchy é limitt. - se un successione di Cuchy h un sottosuccessione convergente, llor converge. L proprietá di Cuchy; ogni successione di Cuchy converge. Dl teorem di Bolzno Weierstrss segue: Teorem (con dimostrzione): R gode dell proprietá di Cuchy. { = 2 Q, invece, non gode dell proprietá di Cuchy. Controesempio: l successione n = 2 ( n + 2 n ) é limitt e decrescente, e quindi h limite in R e perció é di Cuchy. Tutti i suoi termini sono rzionli, m converge 2 che non é rzionle. Cenni sull equivlenz tr l proprietá degli intervlli incpsulti e l proprietá di Cuchy. Cenno sui numeri reli come successioni di Cuchy rzionli. Cenno su spzi metrici completi e sull completezz di R 2 con l distnz (x, y) (x, = (x x ) 2 + (y y ) 2 Serie termini reli. L successione delle somme przili. Definizione di convergenz, divergenz, non regolritá di un serie. Esempi: l serie geometric, l serie telescopic o di Mengoli, l serie + n=0 ( )n. Le serie + n=0 n, + n=n 0 n e + n=0 k n, hnno lo stesso crttere. Osservzione sull non ssocitivitá e commuttivitá delle somme infinite. L condizione di Cuchy per le serie. Condizione necessri per l convergenz. L serie rmonic + n= n soddisf l condizione necessri, m non converge, con dimostrzione. Esempi ed esercizi. Le serie termini positivi Teorem sull regolritá delle serie termini positivi, con dimostrzione. Significto geometrico di re di un insieme non limitto. Esempi ed esercizi. Criteri di convergenz per le serie termini positivi: il criterio del confronto, con dimostrzione. Appliczione di questo teorem ll dimostrzione dell convergenz di + n= ttrverso il confronto con un serie che h lo stesso crttere dell serie di n 2

5 Mengoli. Mrtedí 6 ottobre - or. Ricevimento. Soluzioni degli esercizi dell Sched 3. Giovedí 8 ottobre - 2 ore. Esercizi di ppliczione del criterio del confronto: l serie rmonic generlizzt + 5 n= n α converge se α 2, diverge se α. (E stto detto, senz dimostrrlo, lo fremo in seguito, che l serie converge per ogni α > ). Criteri di convergenz per le serie termini positivi: i criteri dell rdice e del rpporto, con dimostrzione. Corollrio di questi teoremi: Se ( n ) é un successione termini positivi, e n+ n l, se l <, llor n 0, se l >, llor n +. Appliczione di questo corollrio ll dimostrzione dell gerrchi degli infiniti n α, con α > 0, n, con >, n! e n n. Esercizi. Gli infiniti log(n α ). Esercizi. Criteri di convergenz per le serie termini positivi: il criterio del confronto sintotico con dimostrzione. Esercizi. Venerdí 9 ottobre - 2 ore. Esercizi di ppliczione dei criteri di convergenz per le serie termini positivi. L convergenz delle serie + n= log n ; + n= n α ; + n= n ; + n= + n! ; n n Confronto di infinitesimi, infinitesimi equivlenti, ordine di infinitesimo rispetto ll infinitesimo di confronto n. Senz dimostrzione sin( n ) n ; log( + n ) n ; (e n ) n ; ( cos( n )) 2n 2 Esercizi di ppliczione di queste sintoticitá llo studio dell convergenz delle serie + n= sin( n ); + n= Esercizi: ordine di infinitesimo di log n n α studio dell convergenz dell serie + n= ( cos( + n )); log( + n )(e n ) n= con α > 0, rispetto ll infinitesimo di confronto n e n= log n n α. Serie termini di segno non costnte - Convergenz ssolut, con dimostrzione. Esercizi. - Criterio di Leibnitz per le serie termini di segno lterno, con dimostrzione. Esercizi: convergenz ssolut e semplice dell serie rmonic generlizzt. Cenno ll insieme di convergenz e ll convergenz ssolut e semplice delle serie di potenze, rggio di convergenz. Le serie + n=0 xn + n! n=0 xn n. Mrtedí 23 ottobre - 2 ore. Successione delle somme przili e serie resto. Cenno ll dimostrzione di e x = + n=0 xn n!, dove e é il limite dell successione crescente e limitt ( + n )n : - si é dimostrto che l serie + n=0 xn n! converge per ogni x R; - si dimostrerá che e x + k=0 xn n! < ε definitivmente, per ogni x R, e quindi che ex é

6 6 l somm delle serie. Il criterio di condenszione. Cenno l criterio dell integrle e l rpporto di questo con il criterio di condenszione. Convergenz e divergenz delle serie + n=2 con n α log β (n) α 0, β 0. Esercizi. Soluzione degli esercizi dell sched 4. Giovedí 25 ottobre - 2 ore. Definizione di lim x + f(x), finito (ε K) e infinito (M K) (definizioni topologiche). Osservzioni sul dominio di f(x). Esercizi di verific di limite. Teorem con dimostrzione sull crtterizzzione del limite con il limite di successioni.(definizione sucessionle). Esempi di non esistenz del limite. Definizione di lim x f(x), finito e infinito, con esempi. Definizione di lim x x0 f(x), finito (ε δ) e infinito (M δ) (definizioni topologiche). Osservzioni su x 0 punto di ccumulzione del domino di f. L formulzione equivlente lim h 0 f(x 0 + h). Esercizi di verific di limiti con form esplicit di δ = δ(ε). Teorem sull crtterizzzione del limite con il limite di successioni (definizioni sucessionli). Esempi di non esistenz del limite. Limite destro e limite sinistro. Teoremi dell permnenz del segno, di monotoni del limite, del confronto, lgebr dei limiti, forme indeterminte. Teorem sul limite dell funzione composte ( cmbimento di vribile nei limiti), con dimostrzione. Esempi, controesempi ed esercizi. Verific di lim log x = 0; lim x x 0 ex = ; lim sin x = 0; x 0 lim cos x = x 0 Definizione di continuitá in un punto e in un insieme. Algebr delle funzioni continue. Continuitá delle funzioni rzionli frtte, logritmo, esponenzili e trigonometriche nel loro dominio, con dimostrzione. Venerdí 26 ottobre - 2 ore. Studio dell continuitá di x, sgnx, [x]. (x). Prolungmento per continuitá, tipi di discontinuitá. Esempi ed esercizi. Infiniti e loro confronto. Gerrchi degli infiniti. Il principio di sostituzione degli infiniti. Esercizi su forme indeterminte. Le forme indetreminte 0 : lim x o + xα log x e lim x x α e x, α > 0. Infinitesimi e loro confronto. Il principio di sostituzione degli infinitesimi. Esercizi. sin x cosx I limiti notevoli lim x o x =, lim x o = x 2 2, con dimostrzione. Esercizi.. si dimostrino le seguenti ffermzioni: - l successione ( + n )n é crescente e l successione ( + n )n+ é decrescente; - ( + n )n < ( + n )n+ per ogni n N; - le successioni ( + n )n e ( + n )n+ convergono llo stesso limite, che indichimo con e; lim x + ( + x )x = e; lim ( + x x )x = e. lim ( + x) log( + x) e x x = e; lim = ; lim = ; x 0 x 0 x x 0 x

7 7 Limiti di f(x) g(x). Esercizi. Mrtedí 30 ottobre - 2 ore. Lezione sospes. Giovedí novembre - 2 ore. Fest. Venerdí 2 novembre - 2 ore. Lezione sospes. log lim ( + x) x = log x 0 x e; lim = log. x 0 x Mrtedí 6 novembre - 2 ore. Teoremi sulle funzioni continue in un intervllo chiuso e limitto. Richimi sul metodo di bisezione come strumento per individure un punto. Teorem di esistenz degli zeri, con dimostrzione. Teorem equivlente: o teorem dei vlori intermedi. Conseguenze: Teorem di punto fisso di Brouwer. Osservzioni sulle ipotesi: esempi che evidenzino l necessitá che il dominio si un insieme connesso, possibilitá di indebolire le ipotesi di limittezz e di chiusur del dominio. Conseguenze dell formulzione più generle: esistenz di zeri per i polinomi di grdo dispri. Teorem di Weierstrss, cso in cui il dominio é un intervllo chiuso e limitto, con dimostrzione. Osservzione sulle ipotesi: possibilitá di indebolire le ipotesi di connessione. Definizione di insieme chiuso, e di insieme comptto, esempi che evidenzino l necessitá delle condizioni di compttezz del dominio. 2 o teorem dei vlori intermedi con dimostrzione. Esercizi. Giovedí 8 novembre - 2 ore. Teorem di Weierstrss, cso generle: f continu in un insieme chiuso e limitto D mmette mssimo e minimo, con dimostrzione. Uniforme continuitá e teorem di Heine Cntor: un funzione continu in un insieme chiuso e limitto é uniformemente continu, senz dimostrzione. Funzioni Lipschitzine. Teorem con dimostrzione: Le funzioni continue mndno intervlli in intervlli. Nel cso in cui l intervllo dominio non si chiuso e limitto (in cui vle il 2 o teorem dei vlori intermedi), puó non venir mntenut l limittezz e/o l chiusur. Esempi. Funzioni monotone, tipo di discontinuitá delle funzioni monotone. Funzioni monotone in un intervllo: se non sono continue l loro immgine non é un intervllo. Teorem: se un funzione é continu ed invertibile in un intervllo llor é monoton, con dimostrzione. Teorem: se un funzioni é continu ed invertibile in un intervllo llor l su invers é continu, con dimostrzione. Esempi, controesempi ed esercizi. Venerdí 9 novembre - 2 ore. Esercizi di preprzione l primo esonero. Mrtedí 3 novembre - 2 ore. Esercizi di preprzione l primo esonero. Giovedí 5 novembre - 2 ore. Rpporto incrementle in un punto, suo significto geometrico. Derivt di un funzione

8 8 in un punto. Derivt destr e derivt sinistr. Punti di non derivbilitá: punti ngolosi, punti tngente verticle, cuspidi. Esempi. Significto geometrico dell derivt: definizione di rett tngente, Teorem sul coefficiente ngolre dell rett tngente, polinomio di Tylor di ordine, formul di Tylor l primo ordine con il resto di Peno, l funzione linere il differenzile e l mtrice che l rppresent. Esercizi : derivt in un generico punto x 0 delle funzioni: f(x) = c; f(x) = x; f(x) = e x, f(x) = x ; f(x) = sin x, f(x) = cos x Lineritá dell derivt. Esercizi.. Venerdí 6 novembre - 2 ore. Primo esonero. Mrtedí 20 novembre - 2 ore. Derivbilitá e derivt di f(x) = x 2 ; f(x) = x ; f(x) = log x, f(x) = log x f(x) = x ; f(x) = [x]; f(x) = (x); f(x) = sgn x Teorem sull continuitá delle funzioni derivbili, con dimostrzione. Esempi e controesempi. Operzioni con le derivte : teoremi che forniscono condizioni sufficienti ffinché si derivbile (e forniscono l espressione dell su derivt) il prodotto di due funzioni, il quoziente di due funzioni, un funzione recipoc. Ossevzione sull non necessitá delle condizioni (esempi e controesempi). Derivt dell funzione compost e dell funzione invers. Esercizi: derivt di f(x) = x n ; f(x) = x n ; f(x) = tn x f(x) = x α ; f(x) = log x; f(x) = rcsin x; f(x) = rccos x; f(x) = rctn x Esempi ed esercizi. Mssimi e minimi locli. Il teorem di Fermt, con dimostrzione. Osservzioni sulle ipotesi. Esempi, controesempi ed esercizi. Il terorem di Rolle con dimostrzione; suo significto geometrico. Osservzioni sulle ipotesi. Esempi e controesempi, esercizi. Giovedí 22 novembre - 2 ore. Esercizi. Teorem di Lgrnge o del vlor medio con dimostrzione; suo significto geometrico. Osservzioni sulle ipotesi. Esempi e controesempi, esercizi. Nell crtterizzzione delle funzioni costnti e monotone si userá l seguente, bnle osservzione: se f é continu nell intervllo I e derivbile lmeno nei punti interni, llor, per ogni coppi di punti x, x 2 I, con x < x 2, esiste ξ ]x, x 2 [ tle che f(x ) f(x 2 ) = f (ξ) x x 2 Appliczioni (con dimostrzione). - Le funzioni derivbili in un intervllo, con derivt limitt, sono Lipschitzine e quindi

9 uniformemente continue. Esempi ed esercizi. - Formul di Tylor di ordine 0 con il resto di Lgrnge, significto geometrico, confronto con l formul di Tylor di ordine con il resto di Peno. - Crtterizzzione delle funzioni costnti in un intervllo. Primitiv di un funzione e Integrle indefinito; Teorem: se f é definit in un intervllo e F é un su primitiv llor f(x) dx = {F (x) + c : c R} 9 Esempi, controesempi ed esercizi. - Crtterizzzione delle funzioni monotone in un intervllo. Esempi, controesempi ed esercizi. - Continuitá (o tipo di discontinuitá) dell funzione derivt. Esempi, controesempi ed esercizi. Teorem di Cuchy e teoremi di de l Hôpitl con osservzioni sul loro utilizzo. Venerdí 23 novembre - 2 ore. Esercizi: - Clcolre l derivte di log( f(x) ), rctn(f(x)), rcsin(f(x)), rccos(f(x)), (f(x)) g(x) ; log( cos(x) ) - Abbozzre il grfico di x x. Sono richiesti: dominio, limiti e continuitá, derivbilitá, monotoni, mssimi e minimi locli ed ssoluti, ttcchi. Asintoti. Esempi. - Abbozzre il grfico di x2 3 x 2 e x 2 x 2 +. Sono richiesti: dominio, limiti e continuitá, derivbilitá, monotoni, mssimi e minimi locli ed ssoluti, sintoti. Asintoticitá e stime. - Esercizi di ppliczione del teorem di de l Hôpitl : - Dimostrre che sin x x 6 x3, log( + x) x 2 x2 -Dimostrre che e x x 2 x2 ; cos x + 2 x2 4! x4 log( + x) = x 2 x2 + o(x 2 ); e x = x + 2 x2 + o(x 2 ); sin x = x 6 x3 + o(x 3 ); cos x = 2 x2 + 4! x4 + o(x 4 ) Uso dell derivt nelle disequzioni: - Dimostrre le seguenti disuguglinze: { > x x < 0 sin x < x x > 0 log( + x) < x x 0

10 0 - Risolvere le disequzioni e x > + x; cos x > 2 x2 ; sin x > x 6 x3 Mrtedí 27 novembre - 2 ore. Esercizi sull verific di disuguglinze con l uso delle derivte e, in prticolre, del teorem di Lgrnge. Significto geometrico di f (x 0 ) > 0 e f (x 0 ) < 0. Esempi di funzioni crescenti in un punto e non in un intervllo. Esercizi su successioni definite per ricorrenz trmite funzioni monotone. Derivt second in un punto, cerchio oscultore, curvtur. Significto geometrico di f (x 0 ) > 0 e f (x 0 ) < 0. Esempi ed esercizi. Polinomio di Tylor di secondo grdo, formul di Tylor di secondo ordine con il resto di Peno, con dimostrzione. Polinomio e formul di McLurin. Le formule di McLurin di ordine 2 di e x, log( + x), sin x, cos x. Formul di Tylor di ordine con il resto di Lgrnge, con dimostrzione. Giovedí 29 novembre - 2 ore. Funzioni convesse in un intervllo (convessitá per corde). Proprietá : monotoni del rpporto incrementle rispetto d un qulunque punto dell intervllo, continuitá nei punti interni, derivbilitá trnne, l più in un insieme numerbile di punti. Crtterizzzioine delle funzioni convesse e derivbili in un intervllo: convessitá per tngenti, monotoni dell derivt. Crtterizzzione delle funzioni convesse e derivbili due volte in un intervllo. Concvitá, punti di flesso. Esercizi. Gli spzi vettorili C n (I) e C (I). Lineritá degli opertori di derivzione. Equzioni differenzili lineri e struttur dell insieme delle soluzioni. Polinomio Tylor di grdo n. Formul di Tylor di ordine n con il resto di Peno, con dimostrzione. Crtterizzziione del polinomio di Tylor, con dimostrzione. Formul di Tylor di ordine n con il resto di Lgrnge, con dimostrzione. Esempi ed esercizi. Venerdí 30 novembre - 2 ore. Esercizi su formul di Tylor: - Polinomi di McLurin di e x, sin x, cos x log( + x). Formul di Tylor delle funzioni opportunmente composte. Proprietá di o-piccolo. - (Resto di Peno) Esercizi sul clcolo di forme indeterminte con l uso dell formul di Tylor. Uso dell formul di Tylor nell clssificzioine dei punti stzionri. - (Resto di Lgrnge) Appliczioni dell formul per stimre i vlori di un funzioni, stime per eccesso e per difetto, stim dell errore. Esercizi. Serie di Tylor, sviluppbilitá in serie di Tylor. Esempi e controesempi, in prticolre, sviluppbilitá di e x, sin x, cos x. Mrtedí 4 dicembre - 2 ore. Integrle indefinito e su struttur, con dimostrzione. f(x) dx e y = f(x). Equzioni differenzili, equzioni differenzili lineri e struttur dell insieme delle soluzioni. Ricerc di un primitiv. Metodi di integrzione. Lineritá e decomposizione in somm. Esercizi. Integrle delle funzioni rzionli frtte nel cso in cui il denomintore si un polinomio di grdo n con n rdici reli distinte.

11 Integrzione per sostituzione :i ) integrli immediti: h (x) h(x) dx; h (x) + h 2 (x) dx; h (x) + h 2 (x) dx ii) sostituzioni d hoc : x 2 dx. Integrzione per prti: P (x)e x dx; P (x) sin xdx; P (x) cos x dx; P (x) log x dx; P (x) rctn x dx Giovedí 6 dicembre - 2 ore. Esercizi su integrzione per prti: e x sin x dx; e x cos x dx; sin 2 x dx; cos 2 x dx Le funzioni iperboliche sinh x, cosh x e tnhx, grfico, relzioni tr le funzioni e le loro derivte, identitá fondmentle. Le funzioni iperboliche inverse, settsinh x, settcosh x e settnh x, loro espressione come combinzione di funzioni elementri e l loro derivt. Esercizi su integrzione per sostituzione, con sostituzioni d hoc : x x 2 dt; 2 + dt Integrzione delle funzioni rzionli frtte. I csi in cui il denomintore h grdo minore o ugule 2. Esercizi. Esercizi su integrzione per sostituzione: equzioni differenzili (del primo ordine) vribili seprbili. Il cso delle equzioni vribili sprbili, lineri: osservzioni sull struttur dell insieme delle soluzioni. Esercizi. Venerdí 7 dicembre - 2 ore. Esercizi: equzioni vribili seprbili e sched 7. Mrtedí dicembre - 2 ore. Cenni sull misur di Peno-Jordn di sottoinsiemi limitti del pino. Prtizioni di intervlli, mpiezz di un prtizione, prtizioni uniformi. Somme integrli inferiori e superiori di un funzione limitt in un intervllo e loro monotoni rispetto ll relzione di inclusione tr prtizioni. Le clssi seprte delle somme integrli superiori ed inferiori. Integrbilitá ed integrle di Riemnn. L integrle di un funzione nonnegtiv integrbile e l re (misur di Peno-Jordn) del suo sottogrfico. Crtterizzzione delle funzioni integrbili secondo Riemnn; integrbilitá di un funzione e re del suo grfico. Osservzione sull integrle delle funzioni costnti e costnti trtti, l integrle come elemento seprtore di due clssi di integrli di funzioni costnti trtti. Cenni sulle somme di Cuchy e sull integrle di Cuchy, sull equivlenz dell integrbilitá secondo Riemnn e secondo Cuchy e sull uguglinz dei due integrli. Proprietá dell integrle: lineritá, ddittivitá, monotoni e positivitá, l integrbilitá dell funzione vlore ssoluto di un funzione integrbile e relzione tr vlore ssoluto dell integrle e integrle del vlore ssoluto.

12 2 Giovedí 3 dicembre - 2 ore. Breve cenno lle dimostrzioni delle proprietá di b f(x) dx. Definizioni di f(x) dx e b f(x) dx, con < b. Osservzioni sulle proprietá, in prticolre, se f(x) é integrbile in [, b], per ogni x [, b] e ogni h tle che x + h [, b], risult x+h x f(x) dx β h, dove β é un mggiornte di f(x). L funzioni integrle I (x). L funzione integrle I x0 (x), con x 0 [, b]. Lipschitzinitá delle funzioni integrli. Esempio di funzione limitt non integrbile in [0, ]. Teoremi sull integrbilitá in [, b] delle funzioni: - continue in [, b], con dimostrzione; - monotone in [, b], con dimostrzione; - continue trnne che in un punto, con dimostrzione. Osservzione: se si cmbi il vlore in un punto un funzione f integrbile in [, b], l nuov funzione f é integrbile in [, b] e b f(x) dx = b f(x) dx Integrbilitá in [, b], delle funzioni : - limitte, monotone in ], c[ e in ]c, b[; - continue, trnne che in un insieme finito di punti; - continue, trnne che in un insieme D con un solo punto di ccumulzione, con cenno di dimostrzione; - continue, trnne che in un insieme numerbile di punti. Esempio di un funzione integrbile in [0, ], discontinu in tutti i numeri rzionli. Cenno ll crtterizzzione delle funzioni integrbili in [, b]. L medi integrle. Teorem dell medi integrle per funzioni continue, con dimostrzione. Esempi e controesempi. Venerdí 4 dicembre - 2 ore. Il teorem fondmentle del clcolo integrle, con dimostrzione. Appliczioni: i) se f é continu in [, b], llor f(x) dx ; ii) Se f é continu in [, b] e F é un su primitiv, llor b f(x) dx = F (b) F (). Esercizi. Clcolo di integrli definiti. Clcolo dell re di prti del pino comprese tr il grfico di due funzioni continue in un intervllo. Il metodo si integrzione per sostituzione negli integrli definiti. Simmetri di I(x) = x 0 f(t) dt nel cso in cui f(x) si simmetric in [, ]. Studio dell funzione F (x) = x 0 log(+t) dt: senz integrre: dominio, monotoni, estremi, segno, convessitá e, integrndo, limiti, ricerc di eventuli sintoti, ttcchi. Studio dell funzione F (x) = x e t2 dt: dominio, monotoni, segno, convessitá, e, con l utilizzo del confronto, limiti per x + e infine per x. Derivt di α(x) β(x) f(t) dt. Esercizi dell sched 8. Mrtedí 8 dicembre - 2 ore. Cenni su integrli impropri: Si f : [, + [ R, continu e positiv, llor : - per ogni x esiste I(x) = x f(t) dt: - I(x) é crescente;

13 - esiste lim x + I(x) che indichimo con + f(x) dx. + f(x) dx puó essere un numero L 0 oppure +. Nel primo cso dicimo che + f(x) dx converge, nel secondo che diverge. Criteri del confronto, con dimostrzione. Esercizi. Clcolre, l vrire di α > 0, + x dx. α Clcolre + e x + dx e x + dx e x2 dx Teorem Si f : [, + [ R, continu, positiv e monoton, llor + f(x) dx converge se e solo se f é decrescente e lim x + f(x) = 0. Con dimostrzione, esempi e controesempi Criteririo dell integrle per serie termini positivi Si f : [, + [ R, continu, positiv e decrescente. Si definitivmente n = f(n) (esist n N tle che per ogni n N n = f(n)). Allor l serie + n= n converge se e solo se + f(x) dx converge, con dimostrzione. Appliczione ll convergenz dell serie rmonic generlizzt. Esempi e controesempi. Equzioni differenzili del primo ordine vribili seprbili. Risoluzione. Esempi ed esercizi. Cso linere. Osservzioni sull struttur dell insieme delle soluzioni e sul dominio delle soluzioni nel cso linere e in csi non lineri. Giovedí 20 dicembre - 4 ore. (Recuperte 2 ore.) Equzioni lineri del primo ordine y + (x)y = f(x). Integrle generle. Struttur dell integrle generle. Il problem di Cuchy. Teorem di esistenz ed unicitá globle, senz dimostrzione. Dimensione dell integrle generle dell omogene, con dimostrzione. Metodi di risoluzione: - metodo del fttore integrnte ; - utilizzo dell lineritá: ricerc delle soluzioni dell omogene (che é vribili seprbili) e quindi ricerc di un soluzione dell non omogene con il metodo dell vrizione delle costnti. - cso dei coefficienti costnti: ricerc delle soluzioni dell omogene (polinomio crtteristico) e, per l ricerc di un soluzione dell non omogene, nel cso in cui si poss pplicre, metodo di somiglinz. Esercizi. Equzioni diferrenzili lineri del secondo ordine. Il problemn di Cuchy. Teorem di esistenz ed unicitá globle, senz dimostrzione. Dimensione dell integrle generle dell omogene, con dimostrzione. Determinnte Wronskino di due funzioni derivbili. Indipendenz linere e Wronskino. Teorem: due soluzioni di un equzione differenzile linere del secondo ordine omogene sono linermente indipendenti se e solo se il loro Wronskino é in ogni punto diverso d zero. Equzioni coefficienti costnti. Ricerc di due soluzioni linermente indipendenti dell equzione omogene: polinomio crtteristico. Cso delle rdici reli semplici o di molteplicitá due. Dimostrzione dell indipendenz linere delle soluzioni trovte. Venerdí 2 dicembre - 2 ore. Cso delle rdici complesse. Convergenz delle successioni vlori complessi, convergenz 3

14 4 delle prti reli e dei coefficienti delle prti immginrie. Serie vlori complessi, convergenz e convergenz dell serie dei moduli o convergenz ssolut. Serie di potenze vlori complessi, rggio di convergenz. Definizione di e z e sue proprietá, senz dimostrzione. Riordinmento delle serie ssolutmente convergenti, senz dimostrzione. L form di Eulero dei numeri complessi. Limiti di funzioni vlori complessi di vribile compless. Derivt, derivt di e λz. Soluzioni complesse di equzioni differenzili lineri coefficienti costnti reli, utilizzo dell lineritá per trovre due soluzioni reli, linermente indipendenti. Esercizi su equzioni lineri del secondo ordine omogenee. Equzioni lineri del secondo ordine non omogenee, ricerc di un soluzione prticolre: - il metodo di somiglinz nel cso dei coefficienti costnti e del termine forznte dell form f(x) = e αx (P (x) cos(βx) + P 2 (x) sin(βx)). Csi prticolri: α = β = 0; β = 0; α = 0; α ± iβ rdici del polinomio crtteristico. Esercizi. - il metodo dell vrizione delle costnti. Esercizi. Cenni: - utovlori e utovettori dell opertore di derivzione; - equzioni differenzili lineri omogenee del secondo ordine e sistemi lineri del primo ordine equivlenti, l mtrice dei coefficienti, suoi utovlori e polinomio crtteristico; - utovlori e utovettori dell opertore derivt second in un opportuno spzio di funzioni nulle l bordo di un intervllo [0, b]. Esercizi. Mrtedí 8 gennio - 2 ore. Esercizi su equzioni differenzili. Vibrzioni libere e smorzte; forzte in ssenz di resistenz viscos, risonnz; cenni forzte in presenz di resistenz. Giovedí 0 gennio - 2 ore. Funzioni di un o più vribili reli vlori reli o vettorili: continuitá e differenzibilitá. Curve in R n : esempi di curve nel pino e nello spzio, sostegno, limiti, continuitá, derivbilitá e regolritá: l stroide, il vettore derivto e il vettore tngente. Orientzione, velocitá sclre. Osservzioni su continuitá e derivbilitá delle componenti. Curve pine in form crtesin: derivbilitá e regolritá. Lunghezz di un curv regolre trtti. Esempi ed esercizi. Definizione di lunghezz di un curv regolre trtti. Formul per il clcolo dell lunghezz, con dimostrzione. Indipendenz dell lunghezz dll rppresentzione prmetric e dll orientzione. Esempi ed esercizi. (Tutto si é ftto per curve pine o nello spzio solo per l possibilitá di disegnrne il sostegno.) Funzioni di due o piú vribili reli vlori reli. Esempi di funzioni reli di due vribili reli, grfico, limiti, crtterizzzione ttrverso i limiti delle restrizioni lle curve, continuitá, esempi e controesempi. Non esistenz del limite per (x, y) (0, 0) delle funzioni f(x, y) = xy x 2 + y 2 f(x, y) = x2 y x 4 + y 2 Venerdí gennio - 2 ore. Funzioni reli di due vribili reli: derivbilitá, il vettore grdiente. Differenzibilitá,

15 pino tngente. L ppliczione linere differenzile e l mtrice rig grdiente. Derivte direzioneli, formul del grdiente. (Tutto qunto ftto puó essere esteso funzioni vlori reli di piú vribili reli. Si é ftto per funzioni di due vribili per l possibilitá di disegnrne il grfico.) Integrli di line di prim specie ( integrli su un curv in R n di funzioni vlori reli definite in R n ). Proprietá, esempi ed esercizi, il bricentro di un curv. Funzioni d R n in R n, esempi, l funzione grdiente. Integrli di line di second specie o lvoro ( integrli su un curv in R n di funzioni d R n in R n ), legmi con gli integrli di line di prim specie, proprietá, esempi ed esercizi. Esercizi su rgomenti dell esonero. Mrtedí 5 gennio - 2 ore. Esercizi. Giovedí 7 gennio - 2 ore. Esercizi. Venerdí 8 gennio - 2 ore. Secondo esonero. 5