ELEMENTI COSTRUTTIVI DELLE MACCHINE

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1 EEMENTI COSTRUTTIVI DEE MCCHINE ESERCITZIONE 1 ppliczioni Numeriche e Teoriche per l Costruzione di Mcchine

2 SOMMRIO Equzione fondmentle delle teori dell trve Clcolo del momento sttico e d inerzi per diverse sezioni Schemi isosttici notevoli (trve incstrt, trve ppoggit) Relzioni fondmentli delle sollecitzioni 29/3/218 2

3 TEORI DE TRVE Ipotesi: Mterile isotropo, omogeneo ed elstico linere. Trve snell (>>d). e sezioni pine rimngono pine. N M T q f dx MdM O NdN TdT y x Equilibrio lungo x: N fdx N dn = Equilibrio lungo y: T qdx T dt = Equilibrio rotzione ttorno O: dn dx = f dt dx = q 1 2 M Tdx qdx dx 2 M dm = dm dx = T 29/3/

4 CURVTUR DE TRVE ds = ρ dθ 4 κ = 1 ρ = dθ ds 5 Se gli spostmenti sono piccoli possimo scrivere che: tnθ = dy dx θ 6 ds dx 6 bis k = 1 ρ dθ dx d dx dy dx = d2 y dx 2 7 4

5 DEFROMZIONE ONGITUDINE Se il concio di trve è soggetto momento flettente M lunghezz dell fibr e-f nell configurzione deformt è: ef = ρ y dθ dx y ρ dx 8 ε x = ef dx dx = y ρ 9 line trtteggit rppresent l sse neutro. equzione (9) è stt ricvt senz fre lcun considerzione sul mterile. 29/3/218 5

6 STRESS NORME legge di Hooke insieme con l equzione (9) ci consente di scrivere che: σ x = Eε x = Ey ρ Quest equzione mostr che lo stress normle gente sull sezione vri linermente con l distnz y dll sse neutro, ed è nullo sull sse stesso. In generle lo sforzo normle ci consente di scrivere due equzioni di equilibrio: delle forze e dei momenti. equzione di equilibrio delle forze ci consente di ricvre l posizione dell sse neutro. equzione di equilibrio dei momenti ci consente di ricvre il momento d inerzi. 1 29/3/218 6

7 EQUIIBRIO DEE FORZE forz che gisce sull elemento di re d distnz y dll sse neutro è: df x = σ x d 11 Ricordndo l equzione (1) si h: F x = σ x d = Ey ρ d = 12 risultnte delle forze deve essere null, ed essendo E e ρ delle costnti, risult: MOMENTO STTICO yd = 13 7

8 EQUIIBRIO DEI MOMENTI Il momento che gisce sull elemento di re d distnz y dll sse neutro è : dm = σ x yd 14 Ricordndo l equzione (1) si h: M = σ x yd = I = Ey ρ yd = E ρ 1 y 2 d 1 y 2 d 15 D cui si può ricvre l equzione del momento del secondo ordine o momento d inerzi MOMENTO D INERZI 16 il segno meno deriv dl ftto che se dm è positivo, sopr l sse neutro σ x è negtivo (compressione) e l y è positiv, mentre sotto l sse neutro y è negtiv m σ x è positivo (trzione) 8

9 REZIONE CURVTUR-MOMENTO Considerndo le equzioni (15) e (16) possimo scrivere l relzione tr curvtur e momento come: k = 1 ρ = M 17 EI Quest equzione ci dice che l curvtur è direttmente proporzionle l momento flettente ed inversmente proporzionle ll quntità EI che è chimt rigidezz flessionle. È un misur dell resistenz dell trve ll flessione. Un momento positivo gener un curvtur positiv, mentre un momento negtivo gener un curvtur negtiv. 9

10 EQUZIONE FONDMENTE DE INE ESTIC In bse lle equzioni (7) e (17) possimo rrivre ll scrittur dell equzione (18) 1 ρ = d2 y dx ρ = M EI 17 EI d2 y dx 2 = M 18 Ricordndo le equzioni (2) e (3) possimo scrivere: EI d3 y dx 3 = T EI d4 y dx 4 = dt dx EI d4 y dx 4 = q 29/3/218 1

11 b CCOO DE MOMENTO STTICO y y = b S x = yd S y = xd d = dx dy O G=O d x x S x = S y = b dx dy bydy = b2 2 xdx = b 2 2 y G = S x = b 2 x G = S y = 2 29/3/218 11

12 b CCOO DE MOMENTO D INERZI y y d = b I x = y 2 d I y = x 2 d d = dx dy O G=O x x I x = dx by 2 dy = b3 3 I y = b dy x 2 dx = b 3 3 Clcolo del momento d inerzi rispetto l bricentro /2 b/2 I x = dx y 2 dy = b3 12 /2 b/2 I y = b/2 b/2 dy /2 x 2 dx = b 3 /2 12 Clcolo del momento d inerzi medinte il Teorem di Huygens-Steiner I x = I x y 2 G = b3 12 b2 4 b = b3 3 29/3/218 12

13 CCOO DE MOMENTO D INERZI O y G=O y r d dr R dθ x = π R 2 y = r sin(θ) x S x = S x = R yd r 3 dr S y = S x d = r dθ dr 2πsin(θ)dθ = R = I x = y 2 d I y = I x Momento d inerzi polre I x = R r 3 dr bsin 2 (θ)dθ = π R4 4 I p = I x I y = π R4 2 29/3/218 13

14 TRVE INCSTRT y x F B M q Scrivimo le equzioni di equilibrio dei momenti e delle forze R F = F M = R = F M = F = M M = = M = M R q = q 2 M = R = q M = q /3/218 14

15 TRVE INCSTRT y M x R F B M M M R q Disegnimo i digrmmi del tglio e del momento T T T F q F M q M M M 29/3/218 15

16 TRVE INCSTRT Per l trve incstrt con crico distribuito clcolimo l ndmento del tglio e del momento flettente nliticmente, medinte le equzioni dell line elstic dt dx = q dt = qdx T = qx c Per x= essendo l estremo libero si h che T=, d cui c = q T = q( x) ndmento linere che ci si spettv dm dx = T dm = Tdx dm = q x dx M = qx q x2 2 c Per x= essendo l estremo libero si h che T=, d cui c = q 2 2 M = qx q x2 2 q /3/218 16

17 TRVE PPOGGIT y x F B M q Scrivimo le equzioni di equilibrio dei momenti e delle forze R F R b = F 2 R b = R R b = M R b = R q R b = q 2 R b = R = R b = F 2 R b = F 2 R b = M R = R b = M R b = q 2 R = q R b = q 2 29/3/218 17

18 TRVE INCSTRT y x R F B R B R M R B R q R B Disegnimo i digrmmi del tglio e del momento T T T F/2 q/2 M F 4 - -F/2 M/ M - - M/2 M/2 M q q/2 29/3/218 18

19 REZIONI FONDMENTI DEE SOECITZIONI Ipotesi: sezione circolre I = πd4 64 Sforzo normle σ N = N σ N = 4 N πd 2 Torsione τ TOR = M t I p z τ TOR = M t W t W t Modulo di resistenz torsionle τ TOR = 16M t πd 3 W t = 2 I p d = πd /3/218 19

20 REZIONI FONDMENTI DEE SOECITZIONI Ipotesi: sezione circolre I = πd4 64 Flessione σ M = M I d 2 σ M = M W f W f Modulo di resistenz flessionle σ M = 32 M πd 3 W f = 2 I d = πd3 32 In generle: σ r = 64M πd 3 r r distnz dll sse neutro 29/3/218 2

21 REZIONI FONDMENTI DEE SOECITZIONI Ipotesi: sezione circolre I = πd4 64 Tglio τ = y r T S I b d R dr dθ x τ Mx = 4 T 3 τ Mx x = r cosθ S = S y = I = I y = b = 2R τ Mx = xd = x 2 d = d = r dθ dr R R R3 T 2 3 = π R4 8 2 R r 2 dr r 2 dr π/2 cosθ dθ = 2 R3 π/2 π/2 3 π/2 cos 2 θdθ = π R4 T 2 R3 3 R2 4 2 R = = π R T 6 = 4 T 3 29/3/218 21