RISOLUZIONE DI UN TELAIO CON IL METODO MATRICIALE

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1 FACOLTÀ DI STUDI IGEGERIA E ARCHITETTURA A. A Corso di Lure Mgistre in Architettur TECICA DELLE COSTRUZIOI (9 CFU) DOCETE: IG. GIUSEPPE MACALUSO RISOLUZIOE DI U TELAIO CO IL METODO MATRICIALE

2 Dti e considerzioni preiminri P= C C F= P DATI Aste di sezione rettngore venti tutte e dimensioni: B mm H 6 mm Are A 8 mm Momento d inerzi I 6 5 mm Coeff. Ditzione termic 6, C Moduo Estico E c 57 RC MP R C /mm =O Effettut numerzione dei nodi e dee ste, si posizion i sistem di riferimento goe O(,) e i sistemi di riferimento oci i( x, y ) in modo che questi possno sovrpporsi primo in verso ttrverso un rotzione orri o ntiorri. I posizionmento dei sistemi di riferimento oci è definito ttrverso e seguenti tee in cui sono denominti con i e k gi estremi de st j L rispost de sistem è not un vot noti gi spostmenti generizzti dei nodi,,,.i teio in esme è costituito d ste cnoniche ossi ste che non presentno discontinuità interne, sono dunque già note e espressioni dee rigidezze. L mtrice di rigidezz de generic st ssume pertnto form seguente: j EI EI EI EI EI EI EI EI st 5 6 estr. i 5 estr. k Vori di rigidezz ssie, fessione, tgio. 6,ik,ki EI ik ki EI V ik V ki

3 L mtrice di trsformzione de j-esim st, che consente rotzione de sistem di riferimento goe queo oce è dt d: x k ( y k x i y i ) y x k k y x i i Ccoo dee mtrici di rigidezz, dee mtrici di trsformzione e dee forze di incstro perfetto. Si ccono mtrice di rigidezz e mtrici di trsformzione, inotre si ccono i vettori dee forze di incstro perfetto retive ciscun st, fine di definire i sistem risovente fine. Le mtrici di rigidezz sono ottenute mettendo fttor comune i moduo estico E c Le ccozioni hnno fornito i seguenti risutti. ASTA (estremi 5-) 5 mm ( ) 55 ( ) 5 ( ) 5 ( ) ( ) E c Mtrice di rigidezz 5, 5,,5 6,89 678,57 5, SM Mtrice di trsformzione,5 6, 9,5 6,89 857,9 6, 9 678,57 ( ) L st non present crichi in cmpt e pertnto i vettore dee forze di incstro perfetto è nuo. ASTA (estremi -) mm Mtrice di rigidezz ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) E c 5, SM , 5,

4 Mtrice di trsformzione ( ) I I Vettore dee forze d incstro perfetto Convenzione de Scienz dee Costruzioni. y x P= P= P P P P P 8 P 8 mm mm P/8 P/8 P/ P/ Convenzione de Cross. P mm 8 P T T P 8 mm Per e dte condizioni di crico non sorgono sforzi normi ( ) f, [-mm] ( ) f,

5 ASTA (estremi -) x x y y 77 mm ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) E c 8,6 Mtrice di rigidezz,6 56,7 5798,68 SM 8,6 8,6,6 56,7,6 56,7 8959,8 56,7 5798,68 Mtrice di trsformzione ( ) ,88,5,5,88 Vettore dee forze d incstro perfetto I crico P si viene scomposto nee sue componenti P n e P t, rispettivmente norme e pre sse de trve. Ciò consente di ccore e forze di incstro perfetto per sovrpposizione degi effetti provenienti di due schemi. 5 P Pn Pt 5 5 rctg P P cos 9 P n t P sin Pn =,9 Vutzione degi effetti di P n 5 98 mm cos mm 77 mm Convenzione de Scienz dee Costruzioni Pn 697,9 mm P n 76, mm Convenzione de Cross 697,9 mm 76, mm

6 Per vutzione dei tgi d incstro perfetto si scrive un equzione di equiirio rotzione con riferimento i momenti noti( vedsi figur seguente) seguit d un equzione di equiirio trszione vertice. Pn T T T ( ) Pn T , 697,9 T 86, T T Pn T T Pn 86, 9 7, 76 A Cross T 7,76 T 86, Vutzione degi effetti di P t Pt Lo schem risut un vot ipersttico per e dte condizioni di crico. Per determinre gi sforzi normi di incstro perfetto che sorgono gi estremi e si ppic i metodo dee forze, dopo ver svincoto uno dei due estremi. P t =, L equzione di congruenz estremo è:, x ( ), x ( P t ) ed essendo: ( ), x ( ) P t, x ( P t ) si h: ( ) Pt Pt 795,56 Per ccore è sufficiente scrivere un equzione di equiirio trszione orizzonte: P P, t t

7 Gi sforzi normi sopr ccoti sono già cross per come sono stte concepite e equzioni di equiirio I vettore dee forze di incstro perfetto è pertnto i seguente: 795,56 7,76 ( ) f 697,9, [-mm] ( ) 9, f, 86, 76, ASTA (estremi -) 77 mm Mtrice di rigidezz ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Mtrice di trsformzione [mm] ( ) ,88,5,5,88 Vettore dee forze d incstro perfetto L presenz di un crico termico trpezoide induce ccoo dee forze di incstro perfetto per sovrpposizione degi effetti medinte due schemi, uno con un crico termico uniforme tro con un crico termico frf ( vedsi figur sotto ). C C ) C C ) - C + C

8 Schem () Lo schem () per presenz de crico termico uniforme, risut un vot ipersttico sforzo norme. Si risove utiizzndo nuovmente i metodo dee forze con i versi positivi Cross. L equzione di congruenz estremo è : ) ( t ) ;, x (, x e ccondo gi spostmenti:, x, x ( ) ( t ) t t t Per i ccoo di è sufficiente scrivere un equzione di equiirio trszione orizzonte. t Schem () Per risovere o schem () si utiizz nogi de Mohr int metodo dee forze. Svincondo o schem che si present è i seguente: - C + C L equzione di congruenz è: ( ) ( ) ( t ) Che è sufficiente risovere i proem poiché per simmetri di crico si h: E noto che: ( ( ) EI ) Le rotzioni prodotte d crico termico si vutno ttrverso nogi di Mohr. Le curvture che si generno sono negtive, costnti e pri Dt/H, pertnto i crico su trve usiiri è positivo e costnte (vedsi figur).

9 ( - ) t/h t/h t/h I vore de rotzione estremo, coincidente con i tgio su trve di Mohr è: t ( t ) HEI Infine: t EI H tei H Secondo convenzione de Cross: tei 5696 mm ; tei 5696 mm H H I momento è costnte ungo trve e pertnto non sorgono sforzi di tgio. I vettore dee forze di incstro perfetto è or i seguente: ( ) f 5696, [-mm] ( ) f, 5696 ASTA 5 (estremi -) 5 5mm Mtrice di rigidezz [-mm] E c 6,5 SM ,5 96, Mtrice di trsformzione [mm] L st 5 non present crichi in cmpt e pertnto i vettore dee forze di incstro perfetto è nuo.

10 ASTA 6 (estremi -6) 6 mm Mtrice di rigidezz [-mm] ( 6 ) ( 6 ) 6 ( 6 ) 6 ( 6 ) 66 ( 6 ) E c 8 6,8 SM ,8 6,8 8 6 Mtrice di trsformzione [mm] ( 6 ) Anche st 6 è scric in cmpt e non sorgono forze di incstro perfetto.

11 Sistem risovente I sistem risovente che rppresent in form mtricie un equzione di equiirio ne que sono incogniti gi spostmenti generizzti h form: ed è così composto: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F f Te sistem h vore ne sistem di riferimento goe e pertnto è necessrio convertire e grndezze in precedenz ccote e riferite i sistemi oci dee ste. I sottoocchi d cui è compost mtrice di rigidezz goe sono preevti de mtrici di rigidezz oci dee ste e vengono inseriti dopo conversione che vviene trmite e rispettive mtrici di trsformzione ne seguente modo (es. sottoocco ): ( ) ( ) ( ) ( 6 ) F f ( ), f f f f ( ), ( ), ( ), ( ), f ( ), ( ) ( ) T ( ) ( ) Anche i vettori dee forze di incstro perfetto oci devono essere riferiti sistem goe, d esempio ( ) per i vettore f si h :, f ( ) ( ) T, f I vettore dei crichi nodi è invece direttmente vutto ne sistem di riferimento goe: F F ; F ( ), Attrverso inversione de mtrice di rigidezz goe si rise vettore degi spostmenti incogniti. ( F, 66, 557, 6, 6968, 56, f ), 58, 66, 6, 9, 995,

12 Ccoo dee soecitzioni di estremità. Verific de equiirio Un vot ricvti gi spostmenti ne sistem di riferimento goe è necessrio, vutre e oro componenti nei singoi sistemi oci. Ciò o scopo di determinre e soecitzioni ( i j ) S, ( k j ) S di estremità di ciscun st in funzione dei suoi spostmenti, vutti ne sistem oce ttrverso espressione: S S ( i ) i ( k j ) ii ki ik kk i k f f, i, k Ad esempio per st si h: S S ( ) 5 ( ) per st : S S ( ) () 55 ( ) 5 ( ( ) ( ) ) 5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ) f f ( ), ( ), e cosi vi per e tre ste. Si riportno di seguito i vori di soecitzione dee ste ccompgnti d un verific di equiirio. I vori dee soecitzioni di estremità, che nei vettori di soecitzione sono espressi in [-mm], sono espressi nee figure e nei ccoi di verific in in [-m] per questioni di spzio. ASTA [-m],,9 6, ( ) S [-mm] ( ) S ,7 6,6 5, Verific: Equiirio rotzione ttorno punto 5: 5,7,9 6,6,5, O

13 ASTA [-m] 6,6,,9,55 5,66 6,6 S S ( ) ( ) [-mm] Verific Equiirio trszione vertice:, 5,66 9,99 O Equiirio rotzione ttorno punto :, 9,55 5,66, O ASTA 8,6 5,8 8, 6,8 [-m],5 S S ( ) ( ) [-mm] ,8 Verific Equi. trs. : 8,6 cos 8, sin,5 sin 59,8 cos O 5 Equi. trs. : 8,6 sin 8, cos,5 cos 59,8 sin 8 O Equi. rotz. ttorno punto : 5,8,5 6,8,5,7, 6 O

14 ASTA [-m],6 5,,66,6 7,8, ( ) S 565 [-mm] ( ) S Verific Equiirio rotzione ttorno punto : 5, 7,8,6,77, O ASTA 5 [-m],87 7,8 8, S 7876 [-mm] S ,78 8,,87 Verific Equiirio rotzione ttorno punto : 7,8,78 8, 5, O ASTA 6 55, [-m] 66 6,6 ( 6 ) S 65 [-mm] ( 6 ) 5566,6 S , 6,6 6 55,66 Verific: Equiirio rotzione ttorno punto,6 5, 6,6 O

15 -8,6 DIAGRAMMI DELLE SOLLECITAZIOI SFORZO ORMALE [] -,66 - Compressione + Trzione -6,6 -, +,87-59,8-55,66 TAGLIO [] Convenzione per i tgi positivi +, ,66 +8, -8, -6,6 -,5 +6,6

16 MOMETO FLETTETE [m] 7,8 Convenzione per i momenti positivi 5,,55,9 5, 6,8,78,6 5,7 5, Verific di equiirio i nodi ODO,55 5. [-m] 5, 5,8,55, O 5,8 ODO,78 6,8 [-m] 6,8,78,6 O,6

17 Verific de equiirio goe P= F= P= 5,7 5, 5 6 6,6 6,6, 55,66 Equi. trs.ungo : 6,6 6,6 O Equi. trs.ungo :, 55,66 O Equi. rotz. tt. p.to 5: 5,7, 5 6, 5 55,66 8 5,, O Deformt ' ' ' ' 5 6