Esercizi sulla Statica dei Fluidi A cura del Prof. T.Papa

Dimensione: px

Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Esercizi sulla Statica dei Fluidi A cura del Prof. T.Papa"

Claudia Vitale
6 anni fa
Visualizzazioni

1 Esercizi su Sttic dei Fuidi A cur de Prof. T.Pp. Un recipiente contenente un iquido scivo ungo un pino incinto di un ngoo ' rispetto 'orizzonte. I coeciente di ttrito cinetico tr recipiente e pino e = 0; 5. Si determini 'ngoo che supercie iber de iquido form co pino incinto durnte i moto de recipiente. Ne riferimento soide co recipiente si h equiibrio tr e forze di supercie e e forze di voume; queste utime dovute peso de iquido e forz di trscinmento. L somm di ti forze e ortogone supercie isobric (equipotenzie). Si veric fcimente che ne cso in cui non fosse presente ttrito, supercie iber de iquido srebbe pre pino incinto. Inftti 'cceerzione di trscinmento e in moduo t = g sin ', oppost 'cceerzione con cui si muove i recipiente. L somm dei vettori g e t e ortogone pino incinto e quindi supercie iber de iquido. Ne cso in cui si presente 'ttrito 'cceerzione di trscinmento risut, in moduo, t = g sin ' g cos ': () L somm dei vettori g e t, dev'essere ortogone supercie iber de iquido m non e ortogone pino incinto. Si consideri 'ngoo che forz peso form con norme supercie iber, vedi gur; esso e dto d rezione tn = t cos ' g t sin ' : () Si veric immeditmente che in ssenz di ttrito tn = tn '. Poiche = ', si h: tn = tn(' ) = tn ' tn + tn ' tn : Sostituendo ne precedente rezione e () e (), si ottiene tn = ; = 8; 53 : I risutto e interessnte m non sorprendente; inftti ne'cceerzione di trscinmento interviene forz di ttrito che e proporzione.. Un recipiente ciindrico di rggio R = 5 cm contenente cqu, ruot ttorno proprio sse, disposto verticmente, compiendo ; 5 giri=s. Spendo che pressione minim su fondo de recipiente e p A = ; 0 tm, si determini 'tezz h che 'cqu rggiunge in corrispondenz prete. Si ssum che pressione estern si ugue d un tmosfer.

2 Ne riferimento ruotnte si h equiibrio tr e forze di pressione e e forze di voume. Le superci equipotenzii, e quindi supercie iber de'cqu, sono prbooidi di rotzione (T. Pp; Lezioni di Fisic, Meccnic, pg. 47) di equzione g(z z 0 ) =! (x + y ); () dove z 0 e 'ordint de vertice de prbooide. L pressione su fondo, p A, e minim in corrispondenz 'sse di rotzione e mssim in corrispondenz prete, dove 'cqu ssume 'tezz h. Pertnto d () si h g(h z 0 ) =! R ; e motipicndo per : gh gz 0 =! R : () D'tr prte: Sostituendo ne () si ottiene: p A = gz 0 + ; ) gz 0 = p A : gh = p A +! R ; ) h = p A g +! R = 0; 49 m g 3. Un poncino di gomm, che puo sopportre un sovrppressione mssim p = 0; 66 tm, e riempito con eio pressione tmosferic. Ne'ipotesi di tmosfer isoterm secondo cui densit de'ri obbedisce egge di Boye = 0 p=, dove 0 e sono densit e pressione iveo de mre, si ccoi que tezz d suoo i poncino espoder. ( 0 = ; 9 kg=m 3, = tm) Fissto un sse z di riferimento voto in to, vrizione innitesim di pressione e dt d dp = gdz = 0 pgdz: Seprndo e vribii ed integrndo si h dove C e un costnte pri n. Pertnto dp p = 0 gdz; ) n p = 0 gz + C; M pressione que i poncino espode e dee () si tre: n n p = 0 gz; ) p = e 0gz= : () p = 0 gz; ) z = g 0 n p, quindi sostituendo ne prim = 8; 5 km: p

3 4. Un recipiente preti vertici poggi su un pino orizzonte ed e rempito, no 'tezz h = 5 cm, con un mss d'cqu m = 30 kg. In esso viene posto geggire un cubo di ghiccio di spigoo = 0 cm. Si determini pressione su fondo, prim e dopo fusione de ghiccio (densit de ghiccio gh = 940 kg=m 3 ). D denizione di pressione come rpporto tr forz norme e supercie, si deduce che pressione su fondo de recipiente e stess prim e dopo fusione de ghiccio; p = + m + m gh g; () A dove e pressione tmosferic ed A supercie de fondo. Poiche A = V h = m h ; dove e densit de'cqu, () si scrive: p = + (m + gh 3 )g h m = N=m : 5. Un'utocistern competmente pien di un iquido di densit = 850 kg=m 3 viggi su un strd pin con veocit costnte. Ad un certo istnte ess fren con cceerzione costnte = ; 5 m=s. Spendo che unghezz de'utocistern e = 7 m e 'tezz de iquido in quiete e z 0 = ; 5 m, determinre i vore de pressione mssim esercitt d iquido durnte frent. Ne riferimento x-z de'utocistern, ntnto che 'cceerzione imprtit d frent e costnte, si h equiibrio tr e forze di pressione e e forze di voume: rp = F + F t ; dove F e F t sono rispettivmente somm dee forze rei e dee forze di trscinmento. Ne cso de probem, forz peso e forz di trscinmento destt d frent F t = m t. Se 'sse x de riferimento e positivo ne verso de moto, essendo 'cceerzione negtiv, te forz e positiv e spinge i iquido contro prete nteriore. L precedente rezione si scrive: rp = gk + t i; che d uogo Si tre: rp = r( t x gz); ) r(p t x + gz) = 0: in cui, per x = 0, z = z 0, p = (pressione tmosferic), Pertnto () divent, L pressione e mssim per x = e z = 0: p t x + gz = cost; () cost = + gz 0 : p = t x gz + gz 0 + : () p mx = t + gz 0 + = 70 N=m : Questo risutto e corretto se si suppone 'utocistern competmente pien di iquido incompressibie e se ess e munit di un opportuno dispositivo che mntiene pressione (tmosferic) supercie iber de iquido. 3

4 Se 'utocistern fosse pert, con preti sucienetemente te, e superci isobriche (equipotenzii) vnno ottenute ssegnndo i corrispondenti vori di p ne (). In prticore, ponendo p =, si h 'equzione de supercie iber: gz = t x + gz 0 0 ) z = t g x + z0 0; (3) dove z 0 0 e 'tezz minim ssunt d iquido (prete posteriore). L (3) e 'equzione di un pino incinto di un ngoo tn = t g ; ) = tn t g : Per trovre e tezze z 0 0 (prete posteriore) ed h (prete nteriore) che ssume i iquido (incompressibie) durnte frent, si osservi che i suo voume rimne o stesso; quindi, quunque si sezione trsverse de serbtoio, sezione medin ongitudine, prim e durnte frent, e costituit d un rettngoo e d un trpezio di ree ugui: z 0 = (h + z0 0); z 0 0 = z 0 h: (4) pertnto (3) divent, Ponendo z = h, x =, si h: z = t g x + z 0 h: L pressione mssim risut h = t g + z 0 h ) h = t g + z 0 = ; 03 m (5) p mx = gh + = t + gz 0 + = 854 N=m : I vore de pressione e eggermente inferiore queo trovto prim (utocistern pien). Si deduce che in que cso sovrppressione e dovut rezione esercitt d prete superiore de serbtoio. Si osservi che, tenuto conto de (5), (4) fornisce: z 0 0 = z 0 t = 0; 96 m: g 6. Un sfer omogene, di voume V = 5 dm 3 e densit, e trttenut, competmente immers ne'cqu di un grnde recipiente, d un funice idee ncort fondo, soggett d un tensione T = 0 kg p. A cus de rottur de funice, sfer emerge rggiungendo un nuov posizione di equiibrio. Determinre frzione di sfer emergente e vrizione de rezione vincore esercitt d fondo. Dett densit de'cqu, tensione de funice e dt d dierenz tr spint d'archimede ed i peso de sfer, T = V g V g; ) = T V g = 00 kg=m3 : Qundo sfer emerge, un prte rimne immers. Detto V i voume di te prte, si h: V g = V g ) V = V : 4

5 pertnto, V V V = V V = L vrizione de rezione vincore e ovvimente: = 0; 8: R = T = 0 kg p = 96; N: 7. Su fondo di un piscin pien d'cqu e ncort un fune idee que sono sste, immerse ne'cqu e distnze diverse, due boe A e B, entrmbe di mss m = 3 kg e densit medi pri d un terzo di que de'cqu. Determinre e tensioni e nei trtti di fune compresi tr i fondo e prim bo A e tr prim e second bo B. Fissto un sse di riferimento voto in bsso, su bo A giscono e forze:,, peso e spint d'archimede; per 'equiibrio si h, + mg m g = 0; dove m e mss d'cqu spostt. Dett densit de'cqu, risut, quindi rezione precedente divent: m = m ; D'tr prte per 'equiibrio de bo B si h: + mg + mg m g = 0: () m g = 0; ) = mg = 58; 8 N: Sostituendo ne () si ottiene: = mg = = 7; 6 N: 8. Un corpo, pressione tmosferic, h densit = 960 kg=m 3 e moduo di compressibiit K = 0 7 P. Determinre minim profondit de'cqu que si deve immergere i corpo perche ondi spontnemente. Considerre 'cqu come iquido incompressibie. L vrizione di pressione e egt vrizione retiv di voume d rezione, p = dove K e i moduo di compressibiit. Poiche K V V ; V V = 0 ; dove 0 e densit ssunt d corpo cus de compressione, si ottiene p = K 0 ; ) gh = K 0 0 ; in cui e densit de'cqu. Pertnto profondit minim que bisogn immergere i corpo viene determint qundo quest'utimo ssume densit de'cqu: gh m = ; ) h m = K g = 8; 63 m 5

6 In queste condizioni i corpo e in equiibrio; ppen piu in bsso di h m esso ond. 9. Un'st di egno uniforme di unghezz e mss m = 0; 3 kg e iber di ruotre ttorno d un sse orizzonte pssnte per un estremo, disposto d un'tezz = sopr supercie iber de'cqu contenut in un grnde recipiente. Spendo che densit de egno e = 600 kg=m 3, determinre rezione vincore su'sse qundo 'st e in posizione d'equiibrio. L rezione e R = mg S; dove S e spint d'archimede. Dett A sezione de'st, densit de'cqu ed im unghezz immers de'st, si h R = Ag A im g = Ag im = mg im : L posizione vertice de'st non e di equiibrio stbie, in qunto i suo bricentro e sopr i centro di spint. In quest posizione ( im = =), risut: R = mg = 0; 5 N: Poiche 'st e vincot ruotre, posizioni di equiibrio stbii sono quee simmetriche rispetto vertice, con un ngoo d'incinzione, per i que somm dei momenti de forz peso e de spint, rispetto 'sse di rotzione, e nu; ossi: Ag sin = A im g im sin : Si tre: = im im; ) Risovendo quest equzione si trov: im = r im im = 0; 63: + = 0: Scrtndo i segno positivo si ottiene, im = 0; 37: pertnto rezione ve: R = mg im = ; 3 N: 6

Documenti analoghi

Esercitazione 1 - Statica del corpo rigido

Esercitazione 1 - Statica del corpo rigido Università degi Studi di ergmo orso di Lure in Ingegneri Tessie orso di Eementi di Meccnic Esercitzione 1 - Sttic de corpo rigido Esercizio n.1 core e rezioni vincori de struttur rppresentt in figur 1.,