Vediamo quindi l elenco dei limiti fondamentali, il cui risultato daremo per noto d ora in avanti e lo utilizzeremo ogni volta che sarà necessario.

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Patrizia Graziani
5 anni fa
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1 . I iti fondmentli Non bisogn pensre l clcolo di un ite come se si trttsse dvvero di eseguire un operzione mtemtic: in reltà non esiste lcun lgoritmo. L procedur si regge invece su questi due pilstri: ) L conoscenz del vlore di lcuni iti, che diremo iti fondmentli ) L possibilità di eseguire operzioni ll interno del simbolo di ite, in modo d ricondurre ogni cso possibile i iti fondmentli. Vedimo quindi l elenco dei iti fondmentli, il cui risultto dremo per noto d or in vnti e lo utilizzeremo ogni volt che srà necessrio. ) Le potenze dell Le potenze di ordine pri, ovvero le funzioni dell form: con n intero, sono simili d un prbol con un concvità che diviene più mrct fr ed mno mno che cresce n, ed un ndmento che per > cresce più velocemente di quello di un prbol. Inftti preso un qulunque numero con <, d esempio risult: 6 < < Tutte queste funzioni pssno per i punti( ;) e (;). Le potenze di ordine pri sono tutte funzioni pri essendo sempre ( ) n n 7 6 ( ) ( ) ( ) 6 Un ndmento qulittivmente simile ittmente ll regione > presentno le potenze di ordine dispri, vle dire le funzioni dell form:

2 Pssno tutte per i punti ( ; ) e (;), il loro grfico è sotto ll bisettrice del primo e terzo qudrnte se < <, vicevers se < <, l concvità si f più mrct l crescere di n. Come per le potenze di ordine pri, l ndmento per numeri > è tnto più ripido qunto mggiore è n. Nell regione < si può disegnrne il grfico sfruttndo il ftto che le potenze di ordine dispri sono tutte funzioni dispri essendo sempre ( ) n n, quindi presentno un grfico simmetrico rispetto ll origine degli ssi. E fcile riconoscere, gurdndo i grfici, che vlgono i seguenti iti fondmentli: ) Le rdici n-esime Per ottenere l ndmento delle rdici n-esime, cioè le funzioni ed è sufficiente invertire i ruoli dell e dell y negli ndmenti precedenti. Il grfico si ottiene per semplice simmetri ttorno ll bisettrice del primo e terzo qudrnte, pplicndo cioè lle curve di prim l trsformzione ' y; y'. Chirmente per le rdici di indice pri dovremo considerre solo i vlori dell positivi o nulli: in ltri termini le potenze dispri sono funzioni invertibili, quelle pri lo sono soltnto trtti. E fcile riconoscere, gurdndo i grfici, che vlgono i seguenti iti fondmentli: n ) Reciproci delle potenze di Il prototipo di tutte le funzioni che presentno un denomintore che si nnull, è l iperbole equilter riferit i propri sintoti, cioè l funzione: f ( ) f ( )

3 il cui grfico è ssi semplice d memorizzre dto che ricord il simbolo dell RAI, (il che è nche un spunto per ripssrne le proprietà ogni volt che si gurd un progrmm in televisione). Nell intorno di risult: mentre per vlori infinitmente grndi, positivi o negtivi: dove il simbolo risultto del ite signific che ci si st vvicinndo d vlori negtivi, mentre il simbolo che ci si st vvicinndo d vlori positivi, come chirito in figur. A prtire dl grfico di f ( ) è possibile costruire quello di tutt un fmigli di funzioni, le reciproche delle potenze dispri: f ( ) n N n dove ricordimo che l scrittur è solo un modo comptto di esprimere tutti i numeri dispri: ess vle,,,7... l vrire di n N. Il grfico di tle fmigli si ottiene considerndo che ciscun curv h in comune con l cpostipite f ( ) i due punti ( ; ) e ( ; ). Or, per un numero compreso fr ed vremo che l elevmento d un qulunque potenz produce un vlore più piccolo del numero stesso, quindi srà senz ltro > >... Portndo questi stessi vlori l denomintore si h < <... Pertnto nell regione < < i grfici delle potenze dispri sono uno sopr ll ltro, prtire dl cpostipite. Nell regione > si h vicevers < <... d cui > >..., quind i grfici sono ncor uno sotto l ltro m con l ordine invertito, essendo il cpostipite quello che sovrst tutti gli ltri. Il grfico per < si ottiene osservndo che tutte queste funzioni sono dispri. L ndmento grfico di tutt l fmigli è qulittivmente nlogo quello del cpostipite, pertnto si deducono fcilmente i seguenti iti fondmentli. Nell intorno di risult: mentre per vlori infinitmente grndi, positivi o negtivi:

4 Con nlogo rgionmento si rriv determinre l serie dei iti fondmentli che rigurdno l fmigli dei reciproci delle potenze pri dell, cioè le fuzioni : f n N ( ) n Nell intorno di risult: 6 mentre per vlori infinitmente grndi, positivi o negtivi: fmigli, quest, di funzioni tutte pri. ) Esponenzili e logritmi Gli ndmenti ci sono in questo cso già noti: ci itimo d esporre l loro trduzione in iti fondmentli: cso > log log y log cso < < log y log log

5 ) Tngente ed rcotngente tn π rctn π π π π π Per l tngente risult, in prossimità di ogni multiplo dispri di π : tn π π tn Per l rcotngente: π π rctn rctn

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