Corso di ordinamento- Sessione ordinaria - a.s Soluzione di De Rosa Nicola

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1 Corso di ordimeto- essioe ordiri - s 7- oluzioe di De Ros Nicol EAME DI TATO DI LICEO CIENTIFICO CORO DI ORDINAMENTO Tem di: MATEMATICA s 7- PROBLEMA Il trigolo rettgolo ABC h l ipoteus AB e l golo ˆ C AB ) i descriv, itermete l trigolo, co cetro i B e rggio, l rco di circoferez di estremi P e Q rispettivmete su AB e su BC i poi R l itersezioe co il cteto CA dell rco di circoferez di cetro A e rggio AP i specifichio le limitzioi d imporre d ffichè l truzioe si relizzbile b) i esprim i fuzioe di l re del qudriltero mistilieo PQCR e si trovi qule si il vlore miimo e qule il vlore mssimo di () c) Tr i rettgoli co u lto su AB e i vertici del lto opposto su ciscuo dei due cteti si determii quello di re mssim d) Il trigolo ABC è l bse di u solido W i clcoli il volume di W spedo che le sue sezioi, otteute tglidolo co pii perpedicolri d AB, soo tutti qudrti PROBLEMA Assegto el pio il semicerchio Γ di cetro C e dimetro AB, si ffrotio le segueti questioi: ) i disegi ello stesso semipio di Γ u secodo semicerchio Γ tgete d AB i C e di ugule rggio i clcoli l re dell isieme pio itersezioe dei due semicerchi Γ e Γ wwwmtemticmeteit

2 Corso di ordimeto- essioe ordiri - s 7- oluzioe di De Ros Nicol b) i trovi il rettgolo di re mssim iscritto i Γ c) i P u puto dell semicircoferez di Γ, H l su proiezioe ortogole su AB i pog P CB ˆ e si esprimo i fuzioe di le ree di e dei trigoli APH e PCH i clcoli il rpporto f d) i studi f() e se e disegi il grfico prescidedo di limiti geometrici del problem QUETIONARIO ) i ideri l seguete proposizioe: e due solidi ho ugule volume, llor, tgliti d u fscio di pii prlleli, itercetto su di essi sezioi di ugule re i dic se ess è ver o fls e si motivi esurietemete l rispost ) Ricorddo che il lto del decgoo regolre iscritto i u cerchio è sezioe ure del rggio, si 5 provi che si ) Fr le csseruole, di form cilidric, veti l stess superficie (quell lterle più il fodo) qul è quell di volume mssimo? ) i espog l regol del mrchese de L Hôpitl ( 7) e l si pplichi per dimostrre che è: lim 5) i determii u poliomio P() di terzo grdo tle che: P ( ) P' ( ), P( ) e P d ) e,, co > soo i progressioe ritmetic, qul è il vlore di? 7) i determii, l vrire di k, il umero delle soluzioi reli dell equzioe: k wwwmtemticmeteit

3 Corso di ordimeto- essioe ordiri - s 7- oluzioe di De Ros Nicol ) i f l fuzioe defiit d ( ) sue derivte, prim e secod, el puto 9) i f ; esiste f lim f i precisi il domiio di f e si stbilisc il sego delle? i giustifichi l rispost ) ecodo il codice dell strd il segle di slit ripid (fig sotto) prevverte di u trtto di strd co pedez tle d tituire pericolo L pedez vi `e espress i percetule e ell esempio è % e si st relizzdo u strd rettilie che, co u percorso di, km, super u dislivello di 5m, qul è l su iclizioe (i grdi sessgesimli)? Qule l percetule d riportre sul segle? wwwmtemticmeteit

4 Corso di ordimeto- essioe ordiri - s 7- oluzioe di De Ros Nicol PROBLEMA Il trigolo rettgolo ABC h l ipoteus AB e l golo ˆ C AB Puto i descriv, itermete l trigolo, co cetro i B e rggio, l rco di circoferez di estremi P e Q rispettivmete su AB e su BC i poi R l itersezioe co il cteto CA dell rco di circoferez di cetro A e rggio AP i specifichio le limitzioi d imporre d ffichè l truzioe si relizzbile Cosiderimo l figur sottostte: L truzioe è relizzbile se i puti Q ed R si trovo etrmbi itermete i cteti BC ed AC I prticolre se Q C AC si d cui BC si, metre se R C I coclusioe ffichè l truzioe si relizzbile si deve imporre Puto b i esprim i fuzioe di l re del qudriltero mistilieo PQCR e si trovi qule si il vlore miimo e qule il vlore mssimo di () Cosiderimo l figur seguete: wwwmtemticmeteit

5 Corso di ordimeto- essioe ordiri - s 7- oluzioe di De Ros Nicol wwwmtemticmeteit 5 L re del qudriltero PQCR è clcolbile come differez tr l re del trigolo rettgolo ABC e l re dei due settori circolri Circ ett PAR e Circ ett PBQ I prticolre si h: ( ) ( ) Circ ett Circ ett PBQ PAR ABC per cui ( ) ( ) co L fuzioe re ( ) è u prbol co cocvità verso il bsso, per cui ess rggiuge il suo mssimo ell sciss del vertice ed i prticolre m cui corrispode ( ) 9 9 m U ltro modo per clcolre il vlore mssimo è sfruttre le derivte; le derivte prim e secod dell fuzioe re soo ( ) ' ed ( ) R < '' Teedo coto dell limitzioe geometric l fuzioe re è strettmete crescete i,, strettmete decrescete i, e si ull i i cui ssume il vlore mssimo Per quto rigurd il vlore miimo, può essere rggiuto solmete i uo degli estremi dell itervllo, ; i prticolre 7, Or, essedo 7 > si h 7 < d cui < per cui l re miim l si h per e vle ( ) 7 mi Puto c

6 Corso di ordimeto- essioe ordiri - s 7- oluzioe di De Ros Nicol Tr i rettgoli co u lto su AB e i vertici del lto opposto su ciscuo dei due cteti si determii quello di re mssim Cosiderimo l figur seguete: I trigoli CGF e CAB soo simili per cui vle l proporzioe CH : AB CK : GF M ABC AB, CH per cui i limiti geometrico impogoo che y, Or CK CH y y metre dll proporzioe ricvimo GF y AB CK y L re del rettgolo DEFG è llor CH R ( y) y y co y, L re del rettgolo è u prbol co cocvità verso il bsso, per cui ess rggiuge il suo mssimo ell sciss del vertice ed i prticolre y m cui corrispode ( ) R y m Allo stesso risultto si giuge se si pplic il metodo delle derivte Puto d Il trigolo ABC è l bse di u solido W i clcoli il volume di W spedo che le sue sezioi, otteute tglidolo co pii perpedicolri d AB, soo tutti qudrti Il volume può essere clcolto per due strde: sfruttdo ozioi di lisi o di geometri solid wwwmtemticmeteit

7 Corso di ordimeto- essioe ordiri - s 7- oluzioe di De Ros Nicol Volume ttrverso ozioi di lisi Cosiderimo l figur sottostte: ppimo che L t AH, per cui se, il lto del qudrto sezioe srà pri cui corrispode l re del qudrto sezioe ( ) A Q L ; se, t il lto del qudrto sezioe srà pri ( ) ( ) qudrto sezioe ( ) L A Q L Quidi l fuzioe re vle: A Q I tl modo il volume richiesto srà: ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) Q d 9 V A d d Volume ttrverso ozioi di geometri cui corrispode l re del Il solido W che si ottiee può essere pesto come composto d due pirmidi bse-bse, cioè pirmidi icollte trmite le bsi L prim pirmide h ltezz AH, metre l secod h ltezz BH Per cui il volume totle è l somm dei due volumi delle due pirmidi compoeti ed i prticolre: V AH CH HB CH AB CH come già provto wwwmtemticmeteit 7

8 Corso di ordimeto- essioe ordiri - s 7- oluzioe di De Ros Nicol PROBLEMA Assegto el pio il semicerchio Γ di cetro C e dimetro AB, si ffrotio le segueti questioi: Puto i disegi ello stesso semipio di Γ u secodo semicerchio Γ tgete d AB i C e di ugule rggio i clcoli l re dell isieme pio itersezioe dei due semicerchi Γ e Γ L re richiest può essere clcolt i due modi possibili: per vi geometric e per vi litic Mostrimo etrmbe le soluzioi Vi geometric Cosiderimo l figur sottostte: L re tr le due circofereze, per simmetri è il doppio dell differez tr l re del settore circolre ECD ett Circ e l re del trigolo ECD Notimo che il trigolo CDC è equiltero di lto uitrio per truzioe, per cui l pertur del settore circolre ECD ett Circ è ; l re del settore ECD ett Circ di rggio uitrio ed pertur è ECD ett ; per clcolre l re del Circ trigolo ECD, otimo che h bse si ed ltezz si per cui vrà re I coclusioe l re tr i due semicerchi è, Vi litic L vi litic iste el iderre i due semicerchi i u sistem di riferimeto crtesio Il sistem di riferimeto più semplice h origie coicidete col cetro C del semicerchio Γ che wwwmtemticmeteit

9 Corso di ordimeto- essioe ordiri - s 7- oluzioe di De Ros Nicol vrà il dimetro AB di estremi A (,), B (, ) di Γ vrà equzioe y Il semicerchio Di eguez l circoferez frotier Γ h cetro C i ' (,) C e rggio ch esso uitrio per cui l circoferez frotier di Γ vrà equzioe ( y ) y y come el grfico sottostte evidezito Le itersezioi tr i due semicerchi si trovo mettedo sistem le due equzioi: E, D : y y y sottredo l prim ll secod y y Or otimo che el semipio y y, metre el semipio E D,, y > l circoferez Γ è rppresett dll equzioe y < l circoferez Γ è rppresett dll equzioe I tl modo l re rcchius di semicerchi è [ ( )] d d d d wwwmtemticmeteit Il primo itegrle lo clcolimo ttrverso il metodo di itegrzioe per prti Itegrdo si h: d d d d d rcsi d D cui 9

10 Corso di ordimeto- essioe ordiri - s 7- oluzioe di De Ros Nicol L re srà llor pri : rcsi( ) d k d k rcsi( ) d [ rcsi ] Itegrdo pri d Puto b i trovi il rettgolo di re mssim iscritto i Γ Il rettgolo di re mssim può essere trovto ttrverso differeti soluzioi e e presetero : Uso dell geometri litic e dell lisi i ideri l figur sottostte i cui il rettgolo e l semicircoferez soo rppresetti i u sistem di riferimeto crtesio co l origie coicidete co il cetro dell semicircoferez: L bse HI del rettgolo FGHI si trov sull rett geeric di equzioe y k, k ],[ puti di itersezioe di suddett rett co l circoferez di equzioe y soo rispettivmete H ( k, k), I ( k, k) F ( k,), G ( k,) b, metre F e G ho coordite Co queste coordite l bse del rettgolo srà pri FG HI k, e l ltezz ],[ k h HG IF k k L re del rettgolo è I wwwmtemticmeteit

11 Corso di ordimeto- essioe ordiri - s 7- oluzioe di De Ros Nicol llor ( k) k k co k ],[ k dell derivt prim: ( ) ( k ) ' k Mssimizzimo l fuzioe re ttrverso il clcolo k per cui i, l fuzioe k k è strettmete crescete, i, è strettmete decrescete e si ull i ssume il vlore mssimo Quidi il rettgolo di re mssim k i cui h vertici G,, H,, I,, F, ed il rettgolo di re mssim è tituito d due qudrti di lto ed re Pertto il rettgolo h re mssim uitri Uso dell trigoometri i ideri l figur sottostte: L limitzioe geometric impoe α, I tl cso per il teorem sui trigoli rettgoli OG ( α ), HG si( α ) ( α ) FG HG OG HG ( α ) si( α ) si( α ) seo, ess è mssim qudo si ( ) per, per cui, ed essedo l re u fuzioe α e quidi qudo α k α k e, α il vlore ccettbile è α i corrispodez del qule l bse del rettgolo vle FG e l ltezz HG Uso dell geometri elemetre e dell lisi i ideri l figur sottostte: wwwmtemticmeteit

12 Corso di ordimeto- essioe ordiri - s 7- oluzioe di De Ros Nicol Poimo l bse del rettgolo queste ssuzioi AF ( ), FB ( ) IF FG L limitzioe geometric impoe < < Co, per cui per il teorem di Euclide HG ( ) ( ) L re del rettgolo è llor < < si h d cui ( ) e poiché L mssimizzzioe dell fuzioe re, come già mostrto, può essere effettut trmite le derivte; o seguiremo quest strd m mostreremo u strd ltertiv Mssimizzre ( ) mssimizzre l fuzioe rdicdo r ( ); l fuzioe umeri somm tte (e pri : ( ) qudo i due umeri soo uguli e quidi qudo ( ) è equivlete r è il prodotto di due ) per cui il loro prodotto è mssimo d cui ± ; l soluzioe egtiv v scrtt per cui l re del rettgolo è mssim qudo e quidi qudo FG, IG e vle Puto c i P u puto dell semicircoferez di Γ, H l su proiezioe ortogole su AB i pog P CB ˆ e si esprimo i fuzioe di le ree di e dei trigoli APH e PCH i clcoli il rpporto f io, y due umeri positivi l cui somm è y s ed il cui prodotto è y p Dll somm si ricv y s che sostituito el prodotto forisce p ( s ) ; pertto il prodotto è u prbol co cocvità verso s s il bsso e co mssimo rggiuto per cui corrispode y wwwmtemticmeteit

13 Corso di ordimeto- essioe ordiri - s 7- oluzioe di De Ros Nicol Per rispodere l quesito dobbimo distiguere i due csi corrispodeti rispettivmete ll iderzioi di u golo P CB ˆ cuto < < od ottuso < < I cso: P CB ˆ cuto < < L figur d iderre è l seguete: ed I tl cso CH, PH si, AH per cui ( ) si si per cui f II cso: P CB ˆ ottuso < < L figur d iderre è l seguete: I tl cso CH ( ), PH si, AH per cui ( ) si ed si per cui f I coclusioe, cotempldo etrmbi i csi, l fuzioe rpporto tr le due ree è f ( ) I reltà, dt l o egtività di, l fuzioe rpporto tr wwwmtemticmeteit

14 Corso di ordimeto- essioe ordiri - s 7- oluzioe di De Ros Nicol le due ree può i coclusioe essere f co,, Puto d i studi f() e se e disegi il grfico prescidedo di limiti geometrici del problem Per lo studio dell fuzioe ( ) f, bst studire l fuzioe f mometo che il grfico di ( ) f si ricv d quello di f, dl ribltdo verso le ordite positive le prti di grfico l di sotto dell sse delle scisse A tl rigurdo studimo l fuzioe ( ) f ell itervllo [, ] periodo T,,, ; Domiio: ( ) Evetuli simmetrie: l fuzioe è pri: iftti Itersezioi sse scisse: Itersezioi sse ordite: y ; Positività: visto che risult essere periodic co ( ) ( ) f f f ; ; f >, ; Asitoti verticli: le rette lim lim, lim, lim Asitoti orizzotli: o ce e soo; Asitoti obliqui: o ce e soo;, soo sitoti verticli; iftti ' Crescez e decrescez: f si per cui wwwmtemticmeteit

15 Corso di ordimeto- essioe ordiri - s 7- oluzioe di De Ros Nicol ' si f > < < < < e si ull i e ; ' ' Flessi: l derivt secod è f ' ' flessi tgete obliqu; ioltre ( ) < i (,) e essu flesso tgete orizzotle si per cui, o ulldosi mi, o ci soo f pertto l fuzioe mmette u mssimo Il grfico, i cui si è iderto che l fuzioe è periodic co periodo presetto ell itervllo [, ] : T, è di seguito Il grfico di f è di seguito riportto: wwwmtemticmeteit 5

16 Corso di ordimeto- essioe ordiri - s 7- oluzioe di De Ros Nicol wwwmtemticmeteit

17 Corso di ordimeto- essioe ordiri - s 7- oluzioe di De Ros Nicol QUETIONARIO Quesito i ideri l seguete proposizioe: e due solidi ho ugule volume, llor, tgliti d u fscio di pii prlleli, itercetto su di essi sezioi di ugule re i dic se ess è ver o fls e si motivi esurietemete l rispost L proposizioe è fls i quto si trtt dell proposizioe ivers del Pricipio di Cvlieri che poev u codizioe sufficiete m o ecessri per l equiestesioe dei solidi Iftti il pricipio suddetto ì recitv: "e due solidi ho ugule ltezz e se le sezioi tglite d pii prlleli lle bsi e ugulmete distti d queste sto sempre i u dto rpporto, che i volumi dei solidi stro i questo rpporto" Per dimostrre l flsità dell proposizioe, bst iderre due prllelepipedi co le stesse dimesioi, e quidi co stesso volume, che poggio su bsi differeti come lto Quesito Ricorddo che il lto del decgoo regolre iscritto i u cerchio è sezioe ure del rggio, si provi che si 5 Cosiderimo l figur sottostte: wwwmtemticmeteit 7

18 Corso di ordimeto- essioe ordiri - s 7- oluzioe di De Ros Nicol L golo ˆ A OB i quto dell golo giro Il lto AB è l sezioe ure del rggio per cui 5 5 AB d cui 5 AB MA M per il teorem dei sei MA AO si si 5 d cui per cofroto si ricv si Quesito Fr le csseruole, di form cilidric, veti l stess superficie (quell lterle più il fodo) qul è quell di volume mssimo? i ideri il cilidro sottostte di rggio r ed ltezz h: L superficie ed il volume del cilidro sro: V r hr rh Dll superficie ricvimo l ltezz r h co r < r < e sostituedo el volume si h V () r r r r r r Derivdo il volume i fuzioe del rggio si h V ' () r r per cui l fuzioe risult strettmete crescete i,, strettmete decrescete i, e si ull i r Ioltre V '' [ r ] < r, per cui l csseruol di volume mssimo è quell per cui wwwmtemticmeteit

19 Corso di ordimeto- essioe ordiri - s 7- oluzioe di De Ros Nicol r ed il volume mssimo vle V m Quesito i espog l regol del mrchese de L Hôpitl ( 7) e l si pplichi per dimostrre che è: Eucimo l regol di de L Hôpitl: e due fuzioi f e lim g defiite i u itoro di, soo derivbili i tle itoro, co g ' ; se le due fuzioi, per tedoo etrmbe o e se esiste il limite del rpporto delle derivte delle fuzioi dte, ( ) ( ) f ' g', llor esiste che il limite del rpporto delle f f f ' fuzioi e vle lim lim g g g' Nel cso i esme è possibile pplicre tle teorem e, dopo verlo pplicto volte si h! lim lim D se, D l ( l ) Quesito 5 i determii u poliomio P() di terzo grdo tle che: P dl mometo che [ ] [ ] ( ) P' ( ), P( ) e P d Il geerico poliomio di terzo grdo p u cubic di equzioe y b c d, l cui derivt prim è l prbol y ' b c ioltre P() b per cui il poliomio divet y ( ) P d ricvimo ( ) b ], [ ],[ Or P ( ) d, metre '( ) c P ; Impoedo l codizioe d d cui per cofroto si ottiee Il poliomio è quidi y ( ) Tle fuzioe è strettmete positiv i, ssume u miimo i (,), u mssimo i, 7 grfico di seguito ed u flesso i, Il 9 wwwmtemticmeteit 9

20 Corso di ordimeto- essioe ordiri - s 7- oluzioe di De Ros Nicol wwwmtemticmeteit Quesito e,, co > soo i progressioe ritmetic, qul è il vlore di? Ricordimo che u successioe è i progressioe ritmetic qudo l differez tr u suo elemeto ed il precedete è pri d u tte, dett rgioe Questo equivle el ostro cso porre che e quidi Applicdo l defiizioe di coefficiete biomile si h: ( )( ) ( ) d cui si ricv ( ) ( )( ) 7,, 7 9, Dovedo essere > l soluzioe ccettbile è 7 Iftti e Quesito 7 i determii, l vrire di k, il umero delle soluzioi reli dell equzioe: k i trtt di discutere il sistem y k y L rett k y è prllel ll sse delle scisse, metre l cubic di equzioe y è defiit i tutto R, itersec le scisse i ( ) ( ), e, e le ordite i (,), è positiv o ugule zero per, o preset sitoti, preset u miimo i ( ), m, u mssimo i ( ), M ed u flesso i ( ), Cosiderimo il grfico sottostte che rffigur l cubic e l rett di equzioe y ello stesso riferimeto crtesio:

21 Corso di ordimeto- essioe ordiri - s 7- oluzioe di De Ros Nicol Dl grfico si oto le segueti soluzioi: k > : soluzioe egtiv k : soluzioi di cui u egtiv e due coicideti pri < k < : soluzioi di cui u egtiv e due positive distite k : soluzioi di cui u positiv e pri e due coicideti pri k < : soluzioe positiv Rissumedo si h: k < k > : soluzioe k : soluzioi Quesito i f l fuzioe defiit d ( ) sue derivte, prim e secod, el puto f i precisi il domiio di f e si stbilisc il sego delle L fuzioe i esme può essere ì scritt: f f i cui il domiio di f tutto R, metre il domiio di ( ) domiio Le derivte soo: f ' f '' R e cioè (, ) l l ( ) f è f è R ; quidi che l fuzioe differez h come wwwmtemticmeteit

22 Corso di ordimeto- essioe ordiri - s 7- oluzioe di De Ros Nicol e vlutte per f ' f '' foriscoo ( ) l ( l ) ( ) l ( ) ( l ) Or essedo > e l > l e per cui etrmbe le derivte i ssumoo vlore positivo Quesito 9 i f ; esiste f lim? i giustifichi l rispost L fuzioe f h come domiio /{ } riscritt: > f < R e può essere ì Or lim lim( ) metre lim lim( ) e poiché i limiti soo diversi cocludimo che il limite richiesto o esiste L figur di seguito preset l discotiuità di prim specie dell fuzioe i esme wwwmtemticmeteit

23 Corso di ordimeto- essioe ordiri - s 7- oluzioe di De Ros Nicol Quesito ecodo il codice dell strd il segle di slit ripid (fig sotto) prevverte di u trtto di strd co pedez tle d tituire pericolo L pedez vi `e espress i percetule e ell esempio è % e si st relizzdo u strd rettilie che, co u percorso di, km, super u dislivello di 5m, qul è l su iclizioe (i grdi sessgesimli)? Qule l percetule d riportre sul segle? Cosiderimo l figur sottostte: Per ipotesi AB, km, BC5m Per il teorem di Pitgor AC 5 9, 99m, per cui l percetule di iclizioe è 5 5 p % 7,%, metre l golo di iclizioe vle α rct, 9,99 9,99 wwwmtemticmeteit