ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO Tema di MATEMATICA a. s

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1 WWWMATEMATICAMENTEIT Corso di ordimto - Sssio ordiri - s 9- ROBLEMA ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO Tm di MATEMATICA s 9- Si ABCD u qudrto di lto, u puto di AB γ l circofrz di ctro rggio A Si prd sul lto BC u puto Q i modo ch si il ctro di u circofrz λ psst pr C tgt strmt γ S A, si provi ch il rggio di λ i fuzio di è dto d Rifrito il pio d u sistm di coordit Oy, si trcci, idipdtmt dll itzioi post d dl problm gomtrico, il grfico di f() L fuzio f() è ivrtibil? S sì, qul è il grfico dll su ivrs? Si, R; qul è l quzio dll rtt tgt l grfico di g() l puto R(,)? E l puto S(,)? Cos si può dir dll tgt l grfico di g() l puto S? Si clcoli l r dl trigolo mistilio ROS, ov l rco RS pprti l grfico di f() o, idiffrtmt, di g() ROBLEMA Nl pio, rifrito coordit crtsi Oy, si cosidri l fuzio f dfiit d f() b (b >, b ) Si G b il grfico di f() rltivo d u ssgto vlor di b Si illustri com vri G b l vrir di b Si u puto di G b L tgt G b i l prlll pr ll ss y itrsco l ss rispttivmt i A i B Si dimostri ch, qulsisi si, il sgmto AB h lughzz costt r quli vlori di b l lughzz di AB è ugul? Si r l rtt psst pr O tgt G ( umro di Npro) Qul è l misur i rditi dll golo ch l rtt r form co il smiss positivo dll sciss? Si clcoli l r dll rgio dl primo qudrt ditt dll ss y, d G dll rtt d quzio y

2 WWWMATEMATICAMENTEIT Corso di ordimto - Sssio ordiri - s 9- QUESTIONARIO Si p() u poliomio di grdo Si dimostri ch l su drivt -sim è p () ()! dov è il cofficit di Sio ABC u trigolo rttgolo i A, r l rtt prpdicolr i B l pio dl trigolo u puto di r distito d B Si dimostri ch i tr trigoli AB, BC, CA soo trigoli rttgoli Si γ il grfico di f() r qul vlor di l rtt tgt γ i (, f()) h pdz ugul? Si clcoli: si U srbtoio h l stss cpcità dl mssimo coo circolr rtto di potm 8 cm Qul è l cpcità i litri dl srbtoio? Si dtrmii il domiio dll fuzio 7 r qul o quli vlori di k l fuzio h,, > è cotiu i? 8 S >,, soo i progrssio ritmtic, qul è il vlor di? 9 Si provi ch o sist u trigolo ABC co AB, AC Si provi ltrsì ch s AB, AC, llor sistoo du trigoli ch soddisfo qust codizioi Si cosidri l rgio ditt d, dll ss dll rtt si clcoli il volum dl solido ch ss gr ruotdo di u giro complto itoro ll ss y Durt mssim dll prov: or È costito l uso dll clcoltric o progrmmbil No è costito lscir l Istituto prim ch sio trscors or dll dtttur dl tm

3 WWWMATEMATICAMENTEIT Corso di ordimto - Sssio ordiri - s 9- ROBLEMA uto Cosidrimo l figur sottostt i cui è rpprstt l gomtri dl problm D C E Q Idichimo co E il puto di cottto dll du circofrz; il sgmto Q pssrà pr E Idicdo co CQ QE y, < y< il rggio dll circofrz λ, si h: Q y B QB y Applicdo il torm di itgor l trigolo QB si h: Q B ( y) ( ) ( y) / y/ / y y uto y / y/ ( ) / ( ) QB Studimo l fuzio y y,, ; y y y ; Domiio: Itrszio ss sciss: Itrszio ss ordit: Simmtri: l fuzio è simmtric risptto ll rtt ositività: N : > < - D : > > y > < < A Asitoti vrticli:, pr cui è sitoto vrticl; Asitoti orizzotli: pr cui y è sitoto orizzotl; ± Asitoti obliqui: trttdosi di fuzio rziol frtt, l prsz dll sitoto ord l prsz di qulli obliqui; B - - -

4 WWWMATEMATICAMENTEIT Corso di ordimto - Sssio ordiri - s 9- Crscz dcrscz: l drivt prim è domiio (, ) (, ) y' ch è smpr gtiv l ( ) ; quidi l domiio l fuzio è strttmt dcrsct; Cocvità covssità: l drivt scod è y' ' pr cui l fuzio prst ( ) cocvità vrso l lto i (, ) vrso il bsso i (,) ; o sistoo flssi Il grfico è di sguito prstto: y è u d orizzotl y, co Altrtivmt vrmmo potuto ricvr il grfico ricorddo ch l fuzio fuzio omogrfic, dfiit pr C, ctro di simmtri i ( ), di sitoto vrticl X I ltro modo ffttudo l trsformzio σ :, l fuzio trsformt l uovo Y y rifrimto crtsio ( X, Y) ( X ) X srà Y Y Y XY, cioè ( X ) X X u iprbol quiltr di sitoti X, Y ; pplicdo quidi l trsformzio, l fuzio di prtz srà u iprbol quiltr trslt di sitoti X, y Y L fuzio y, com sopr vidzito, è strttmt dcrsct l domiio (, ) (, ) ioltr s (, ) y< (, ) y>, pr cui ss è ivrtibil r ricvr l ivrs poimo y f( ) risolvimo ll vribil l quzio y ; si h y, pr cui f ( ) f( ) cioè l ivrs di f è f stss; quidi f d f ho y stsso grfico o quivltmt il grfico di f è il simmtrico di qullo di f risptto ll bisttric dl primo trzo qudrt di quzio y

5 WWWMATEMATICAMENTEIT Corso di ordimto - Sssio ordiri - s 9- uto L fuzio g( ) può ssr riscritt l sgut modo: s < g( ) s < > il cui grfico lo si ricv d qullo di y ribltdo vrso l ordit positiv l prti di grfico l di sotto dll ss dll sciss I prticolr l drivt prim srà: s < ( ) g' ( ) s < > ( ), è L quzio dll tgt l grfico di g ( ) i u puto grico ( ) ( )( ) y y g' ; l puto d sciss pr cui l quzio dll tgt i (,) si h y, g' ( ) R R R ( ) y R R R è t : y r quto rigurd l tgt l puto di sciss, clcoo il it dstro siistro dll drivt g' ( ) : g' ( ) ( ) g' ( ) ( ) Essdo it dstro siistro fiiti diffrti, dducimo ch i S l fuzio prst u puto goloso di o drivbilità, pr cui o h sso prlr di tgt l grfico di g( ) siistr d dstr dl grfico di g ( ) ch ho rispttivmt quzioi t : y ( ) t : y ( ) Il grfico sottostt rffigur l fuzio g( ) l tr tgti llo stsso rifrimto crtsio: S i S (,) ; i prticolr, trttdosi di puto goloso, possimo prlr di tgt

6 WWWMATEMATICAMENTEIT Corso di ordimto - Sssio ordiri - s 9- uto Cosidrimo il grfico sgut i cui l r d clcolr è colort i grigio: L r vl A d d [ l ] l l l

7 WWWMATEMATICAMENTEIT Corso di ordimto - Sssio ordiri - s 9- ROBLEMA uto Al vrir di b>, b, il grfico G b st smpr l smispzio dll ordit positiv tutti i Fissto b>, b, studimo l fuzio f ( ) b : s b> b s < b< s b> b s < b< Di iti soprstti dducimo ch f ( ) b prst l sitoto orizzotl dstro y s < b <, mtr prst l sitoto orizzotl siistro y s b > L drivt prim scod soo rispttivmt: f ' lbb grfici pssro pr il puto (,) ( ) f ''( ) ( lb) b d cui dducimo ch s > ( lb> ) < < ( l b< ) b l fuzio è strttmt crsct, mtr s b è strttmt dcrsct; i mbo i csi l fuzio è covss i tutto R cioè volg smpr cocvità vrso l lto i quto ( l ) > b> b b Ioltr poiché b, dducimo ch (, y) G s (, y) Gb, i ltr prol il grfico di b b G lo si ricv pr simmtri itoro ll ss dll ordit prtir d qullo di G b b Di sguito du grfici pr b, b : 7

8 WWWMATEMATICAMENTEIT Corso di ordimto - Sssio ordiri - s 9- uto Cosidrimo l figur sgut, i cui si è ssuto sz ldr l grlità dl problm b >, pr cui il puto B vrà coordit B(,) f ( ) b i u puto grico (, ) è y y f ( )( ) Il grico puto h coordit (,b ) grfico di si h f ( ) [ lb b ] bb l y ; l tgt l ' ; l puto d sciss ' pr cui l quzio dll tgt i (,b ) ( ) b y bb è l L sciss dl puto A si ricv impodo y i y l bb ( ) b, d cui A, l b Il sgmto AB misur llor: AB B A ch risult ssr, fissto b, l b l b costt l vrir di (,b ) l fuzioi spozili L lughzz dl sgmto oritto AB si chim sottotgt f ( ) b ho l sottotgt costt pri log b lb Ioltr AB s l b lb ± cioè s l b uto U grico puto dl grfico b b G di g ( ) h coordit (, ) G h quzio y ( ) Impodo il pssggio pr l origi (,) l tgt i (, ) O dll rtt tgt, si h: ( ) ( ) i quto > R Quidi l rtt tgt psst pr l origi h quzio y form co il smiss positivo dll sciss u golo pri ll rcotgt dl cofficit golr α rct( )[ rd],8[ rd] uto Cosidrimo il grfico sgut i cui l r d clcolr D è colort i grigio: Tl r può ssr clcolt com diffrz dll r: 8

9 WWWMATEMATICAMENTEIT Corso di ordimto - Sssio ordiri - s 9- dl rttgolo R di vrtici (,)(,,)(,, )(,,) dll r D sotts d L r dl rttgolo vl S ( ) sciss, ; G comprs tr l sciss, R mtr l r dll r sotts d G comprs tr l vl S( D ) d [ ] I coclusio S ( D) S( R) S( D ) ( ) Altrtivmt l ivrs dll fuzio g ( ) è g ( y) l y D co y >, pr cui l r d clcolr divt: S( ) l ydy [ y( l y) ] [ ( l ) ( l) ] [ ( / / ) ( ) ] cui si è pplict l itgrzio pr prti i QUESTIONARIO Qusito U grico poliomio ( ) p( ) p di grdo può ssr scritto l sgut modo: L co i R, i,, L, Clcoo l drivt prim, scod così vi sio ll -sim: p' L p'' p'' M p ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) L '( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) L! Qusito Cosidrimo l figur lto rpprstt l gomtri dl problm oiché l rtt B è ortogol l pio dl trigolo, ss è ortogol tutt l rtt dl pio pssti pr B, quidi è ortogol BA BC, d cui dducimo ch i trigoli BC BA soo trmbi rttgoli i B Ci rst d dimostrr ch ch AC è rttgolo; i prticolr vogo dimostrr ch AC è rttgolo i A Ciò è vro s, pplicdo il torm di itgor, si h C A AC Applicdo il torm di itgor i trigoli BA, BC d ABC ottimo: B C A B AB BC ( ) ( ) BC AB AC ( ) Sostitudo l sprssioi ( ) ( ) i ( ) si h: ( A AB ) ( AB AC ) A AC L C B BC cioè il trigolo AC è rttgolo i A 9

10 WWWMATEMATICAMENTEIT Corso di ordimto - Sssio ordiri - s 9- Qusito L pdz dll rtt tgt i u fuzio f ( ) è l drivt prim di f ( ) sm l drivt prim di f ( ) è f '( ), pr cui impodo f '( ) ricv l l l l l co pdz pri I corrispodz di f Quidi l fuzio ( ) Nl cso i si l si h f h tgt i l, Qusito Effttuimo il cmbio di vribil y ; s y, pr cui si y si y y si y i cui si è sfruttto il it otvol y y Qusito Cosidrimo l figur lto i cui è rpprstto i szio u coo di potm 8cm, ltzz h rggio di bs r oimo CH, < < 8 Il rggio di bs pr il torm di itgor misur HB r πhr π Il volum dl coo è V( ) ( ) L mssimizzzio dl volum l ffttuimo mdit drivzio Si h: π V '( ) ( ) 8 V '( ) > < < V '( ) < < < 8 mssimo 8 8 quidi il volum è strttmt crsct i, strttmt dcrsct i,8 Ioltr V ''( ) π vl 8 π V '' < pr cui il volum è mssimo pr V MAX 8 π 8 V 7 A π C H 8 [ cm ] π [ dm ] 7 8 cm B

11 WWWMATEMATICAMENTEIT Corso di ordimto - Sssio ordiri - s 9- Ricorddo ch dm l, il volum mssimo i litri è litri, litri 7 π MAX V Qusito Il domiio di f cos è l isim dgli R ch soddisfo l disquzio ( ) cos, cioè π π π π k k co Z k Qusito 7 Affiché l fuzio ( ) h si cotiu i dv vrsi h h r il cso i sm i iti siistro dstro vlgoo rispttivmt: 9 k k h h Impodo l ugugliz si h 9 9 k k I l fuzio è tuttvi o drivbil prst u puto goloso i quto ( ) 8 9 ' ' h h Qusito 8 U progrssio ritmtic è u succssio di umri tli ch l diffrz tr ciscu trmi il suo prcdt si u costt Tl costt vi dtt rgio dll progrssio Nl cso i sm i tr umri,, soo i progrssio ritmtic s Esplicitimo i sigoli cofficiti biomili: ( )!!!!!!!!!!!!!!! Si h quidi:

12 WWWMATEMATICAMENTEIT Corso di ordimto - Sssio ordiri - s 9- ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 7) < o cc < o cc 7> cc I coclusio il vlor ccttbil è 7 cui corrispodoo i tr vlori ,, Qusito 9 Cosidrimo l figur lto, rpprstt il trigolo ABC co AC, AB,ABˆ C α cosidrimo i csi corrispodti d α d α α Applicdo il torm di si si h: AB AC si AĈB siα AB si( AĈB) si( α) si ( AĈB) AC oiché >, u trigolo co AC, AB, ABˆ C o sist α Applicdo cor u volt il torm di si si ricv AB AC si AĈB siα AB si( AĈB) si( α) AC si( AĈB) AĈB rcsi 8, AĈB 8 rcsi, I tl cso sistoo du trigoli ch soddisfo l codizioi AC, AB, ABˆ C r clcolr l misur dl trzo lto si può procdr i du modi distiti: Torm di si: si h

13 WWWMATEMATICAMENTEIT Corso di ordimto - Sssio ordiri - s 9- AC si ( α) si( CÂB) si( CÂB) BC AC BC BC AC si cos BC ( α) si BC AC ( - AĈB) si( - AĈB) [ si( ) cos( AĈB) cos( ) si( AĈB) ] ( AĈB) si( AĈB) ± si ( AĈB) si( AĈB) 9 ± 7 BC ± 8 Torm di Crot: posto BC si h AC AB 9 BC ± 7 AB cos ( α) 8 ( ± 7) Qusito Cosidrimo l figur lto rpprstt il solido di volum V ottuto dll rotzio itoro ll ss y dll rgio ditt d y y, dll ss dll rtt Il volum richisto è dto dll diffrz dl O volum dl cilidro di ltzz AB rggio di bs OA d il volum ottuto dll rotzio dll prt di pio ditt d dll rtt y Il volum dl cilidro è V C π OA AB π Il volum ottuto dll rotzio dll prt di pio ditt d y, è g D ( y)dy V π dov ( y) y, y g ; B A y y, dll ss y y, dll ss y dll rtt

14 WWWMATEMATICAMENTEIT Corso di ordimto - Sssio ordiri - s 9- y quidi VD π g ( y) dy π y dy π π 8 I coclusio V VC VD π π π Altrtivmt il volum richisto può ssr clcolto l sgut modo: cosidrimo il A,,B, ; tl cilidro C ottuto ruotdo ttoro ll ss dll y il sgmto AB di strmi cilidro vrà suprfici ltrl pri S( ) π itgrdo l qul i [,] volum: 8 ( ) d π d π d π π π π V S si otti il Nicol d Ros