Elementi di Matematica Finanziaria per l Estimo

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1 Elemeti di Matematica Fiaziaria per l Estimo Paolo Rosato Dipartimeto di Igegeria Civile e Architettura Piazzale Europa Trieste. Italia Tel: Fax: [email protected] 1

2 La matematica fiaziaria La matematica fiaziaria forisce gli strumeti ecessari per: Cofrotare fatti fiaziari che avvegoo i mometi diversi; Stimare il valor capitale di flussi di redditi futuri; Stimare l ammotare di redite; Determiare l ammotare di rate di mutui; Stimare l ammotare di iteressi su debito; Ecc. 2

3 Le prestazioi fiaziarie Le prestazioi fiaziarie soo rappresetate da flussi di costo e di ricavo. Perché ua prestazioe fiaziaria sia defiita uivocamete dobbiamo cooscere: l ammotare; la scadeza. 3

4 L iteresse L iteresse è il prezzo d uso del capitale. Il saggio (tasso) d iteresse (r) può essere espresso i termii percetuali (r = 5%) o i termii uitari (r = 0,05). L iteresse uitario è l iteresse maturato da ua uità di moeta i ua uità di tempo (ao). Il saggio di iteresse è direttamete proporzioale al rischio (ad u rischio maggiore corrispode u maggiore tasso di iteresse). 4

5 Il motate Il motate è la somma del capitale e dei relativi iteressi. Il motate uitario (q) è la somma fra u capitale pari a 1 e degli iteressi maturati i u ao: M = C 0 + C 0 r = C 0 (1 + r ) = C 0 q ( es. r = 0,05 q = 1,05). 5

6 Iteresse semplice e composto L iteresse semplice gli iteressi maturati o maturao a loro volta altri iteressi (ella pratica si usa quado si cosidera u periodo di tempo uguale o iferiore ad 1 ao o quado è previsto per legge). L iteresse composto gli iteressi maturati maturao a loro volta altri iteressi (si usa quado si cosidera u periodo di tempo superiore ad 1 ao). 6

7 Iteresse semplice: periodo uguale all ao Iteresse Motate Valore scotato I = C 0 r M = C 0 q C 0 = M / q La somma di Euro viee depositata i baca all iteresse del 5%. Si vuol cooscere l ammotare: a) degli iteressi dopo u ao; b) del motate dopo u ao. I = C 0 r = ,05 = 50 Euro M = C 0 + I = C 0 (1+r) = C 0 q = = Euro 7

8 Iteresse semplice: periodo iferiore all ao La durata viee idicata come frazioe di ao: = gg/365 Iteresse I = C 0 r Motate M = C 0 (1 + r ) Valore scotato C 0 = M / (1 + r ) La somma di Euro viee depositata i baca per 90 giori all iteresse del 5%. Si vuol cooscere l ammotare: a) degli iteressi; b) del motate. I = C 0 r = ,05 (90 / 365) = 12,39 Euro. M = C 0 + C 0 r = C 0 (1 + r ) = 1.012,39 Euro. 8

9 Motate M C C 0.r I C 0 C 0.r t M C C C r C 1 o 0 0 r 9

10 Scoto V C D C t V C 0 C 1 r 10

11 Scoto Regime di iteresse semplice 1,2 V 1 0,8 0,6 r = 4 % r = 6 % r = 8 % 0,4 0, t 11

12 Iteresse composto: la determiazioe del motate dopo ai: Dopo 1 ao: C 1 = C 0 + C 0 r = C 0 (1+r) Dopo 2 ai: C 2 = C 1 + C 1 r = C 1 (1+r) C 2 = C 0 (1+r) (1+r) C 2 = C 0 q 2 Quidi: C = C 0 q C 0 C 1 C 2... C

13 Iteresse composto: esempio A quato ammoterà, tra 10 ai (), il capitale di Euro (C 0 ) ivestito i titoli al saggio del 5%? M = C 0 q ,05 10 = Euro. Se l iteresse o fosse composto, cioè se gli iteressi o maturassero altri iteressi, il motate sarebbe iferiore: Euro. 13

14 Motate M C C 0.r C m.r I C m t M = f ( t ) Fig. 3 i regime di iteresse composto C C (1 r) 0 M C C0 q 14

15 Scoto V C C.d C m.d D C m t V C 0 C 1 r C q C q 15

16 Cofroto M M = C.e r. M = C.( 1+r ) M = C.(1+r.) C = 1 V = C.(1+r.) -1 V = C.( 1+r ) - V V = C.e -r. 0 1 Fig. 7 cofroto fra regimi di posticipazioe M = f(t) e fra regimi di aticipazioe V = f(t) t 16

17 Tasso Auo Nomiale e Tasso Auo Effettivo 17

18 Iteresse k TAN TAE auale 1 0,06 0,06000 semestrale 2 0,06 0,06090 trimestrale 4 0,06 0,06136 mesile 12 0,06 0,06168 gioraliero 365 0,06 0,06183 istataeo + 0,06 0,

19 Cofroto M C 0.e r. C 0.q I I (e r. ) C t Fig. 9 M = f ( t ) Cofroto i regime di iteresse composto 19

20 Cofroto V C D ( e -d. ) D C t Fig. 10 V = f ( t ) Cofroto i regime di iteresse composto 20

21 Spostameto di capitali el tempo No è possibile addizioare, sottrarre o cofrotare tra loro valori differiti el tempo, se prima o soo riportati allo stesso mometo. E ecessario idividuare le formule che cosetoo di aticipare o di posticipare ciascu valore. U valore spostato el futuro si trasforma i motate, spostato el passato si trasforma i valore scotato. 21

22 Periodi iferiori o uguali all ao Coefficiete di posticipazioe: (1 + r ) Coefficiete di aticipazioe: 1/(1+r) C 0 Posticipo (1 + r ) M 0 1 / (1 + r ) Aticipo 22

23 Esercizio Il caoe auo del vostro appartameto è suddiviso i due rate aticipate di Euro ciascua. A quato ammota l affitto percepito dal proprietario, riferito a fie ao? Sia r = 5%. Posticipo (1 + r ) mesi 12 mesi Ca = ( ) ( /2) = (1.025) =

24 Periodi superiori all ao Coefficiete di posticipazioe: q Coefficiete di aticipazioe: 1/q C 0 0 Posticipo q 1 / q Aticipo M 24

25 Esercizio Comperate u uovo computer che pagate i 2 rate da Euro: la prima subito, la secoda fra due ai. Quato costa il computer al mometo attuale (r = 6 %)? Aticipo 1 / q / = Euro 25

26 U milioe di Euro tra ai scotato ad oggi All aumetare del tempo e/o del saggio dimiuisce il valore Saggio 1 ao 2 ai 3 ai 10 ai 20 ai 1% % % % % % % % % %

27 Valore e tasso di scoto Valore attuale di 1 milioe collocato tra vet'ai Valo re attu ale Saggio 27

28 Posticipazioe di capitali Regime Motate M=f(t) per t(0,) Scidibilità Iteresse semplice C C 1 0 r o Iteresse composto C C 1 r 0 si Fiaziario istataeo d=r=cost C C 0 e r si 28

29 Aticipazioe di capitali Regime Valore scotato M=f(t) per t(0,) Scidibilità Iteresse semplice Iteresse composto Fiaziario istataeo d=r=cost C C 0 C 0 0 C 1 r C 1 r C e d o si si 29

30 Le aualità Le aualità (a) soo quelle prestazioi fiaziarie che si verificao ad itervalli auali. Le aualità soo classificate i: posticipate o aticipate, i base alla scadeza di ciascua aualità, rispettivamete alla fie o all iizio dell ao; costati o variabili, i base all ammotare di ciascua aualità; limitate o illimitate, i base alla durata complessiva della serie di prestazioi. 30

31 Aualità variabili e limitate a 0 a 1 a 2... a A 0 A Gli strumeti dispoibili: coefficieti di aticipazioe e posticipazioe. Le accumulazioi iiziale e fiale assumoo rispettivamete la forma: A 0 = a 0 + a 1 / q + a 2 / q 2 + a / q A = a 0 q + a 1 q a A 0 = A / q A = A 0 q 31

32 Aualità costati, posticipate, limitate A 0 A a a.. a Accumulazioe fiale: A a q 1 r Accumulazioe iiziale: A 0 a q 1 rq Accumulazioe itermedia: A m = A 0 q m = A / q -m 32

33 Aualità costati, aticipate, limitate A 0 a a a a A Accumulazioe fiale: A aq q 1 r Accumulazioe iiziale: A 0 aq q 1 rq Accumulazioe itermedia: A m = A 0 q m = A / q -m 33

34 Aualità costati e illimitate A 0 a a ifiito Trattadosi di aualità illimitate: Posticipate: Aticipate: A A 0 a r aq r 0 Accumulazioe itermedia: A m = A 0 q m q 1 lim rq 1 r 34

35 Aualità periodiche costati illimitate C C = 33,33 r = 0,03 C = 1 / r C = q -1/r.q C = 20 r = 0,03 r = 0,05 r = 0,05 C = 1 / r C = q -1/r.q Fig. 14 Cofroto fra: C = a / r e C = a.(q -1)/(r.q ) per a = 1 35

36 Le periodicità (o poliaualità) Le periodicità o poliaualità (P) soo prestazioi fiaziarie che si ripetoo ad itervalli regolari (), multipli dell ao. P P... P t 36

37 Aualità variabili 0 m Fig

38 Periodicità (Poliaualità) m P +m 2 P t P h k h 0 m +m 2 (t-1) t Fig

39 Periodicità costati, posticipate, limitate A 0 A t P P... P t Accumulazioe fiale: A t P q q t 1 1 Accumulazioe iiziale: A 0 P t q 1 q 1 q t 39

40 Periodicità costati, aticipate, limitate A 0 P P P P A t 0 2 (t-1) t Accumulazioe fiale: A t Pq q q t 1 1 Accumulazioe iiziale: A 0 Pq t q 1 q 1 q t 40

41 Periodicità costati, posticipate, illimitate Trattadosi di periodicità illimitate: lim t q t t q q q 1 Posticipate: A 0 P q 1 Aticipate: A 0 Pq q 1 Accumulazioe itermedia: A m = A 0 q m 41

42 Trasformazioe di periodicità (P) i aualità (a) P P... P t r a P q 1 42

43 Reitegrazioe La quota di reitegrazioe (Q re ) è quell aualità costate e posticipata che viee accumulata per u certo umero di ai allo scopo di costituire/riovare u capitale Q re ( V i V f ) q r 1 Prevededo di dover ristrutturare u fabbricato tra dieci ai, sosteedo ua spesa di Euro , si vuol cooscere la somma aua posticipata da accatoare al saggio del 5%. 3 0,05 Q re , ,05 1 E 43

44 Esercizio U immobile di civile abitazioe richiede, per poter forire u reddito costate, le segueti spese periodiche : a) spese per titeggiatura ogi 5ai (15 /mq); b) spese per riovo impiati ogi 25 ai (150 /mq); c) spese per ristrutturazioe itera ogi 80 ai (1000 /mq). Calcolare la quota aua relativa alle suddette spese. 15 r r r Qa q 1 q 1 q

45 Ammortameto La quota di ammortameto (Q am ) è quell aualità costate, posticipata e limitata che deve essere corrisposta per estiguere u debito cotratto iizialmete Q am D i rq q 1 La Q am può essere disaggregata i due distite compoeti: quota capitale (Q c ); quota iteressi (Q i ). 45

46 Esercizio Si costruisca il piao di ammortameto di u debito di E da estiguere i tre ai al saggio del 10%, co rate aue, costati e posticipate. Q am D i r q q , Ao Rata Quota capitale Quota iteressi Debito estito Debito residuo , ,021 3,021 1,000 3,021 6, ,021 3, ,344 3, ,021 3, ,

47 Esercizio A La situazioe fiaziaria di u impresa è la seguete: da icassare fra u mese; da versare fra sei mesi; da restituire fra due ai. Assumedo u tasso di iteresse pari al 6 % auo, calcolare: - l idebitameto totale all attualità; - la rata semestrale posticipata che estigue il debito i sette ai. Idebitameto: A , , , ,61 47

48 Covertibilità semestrale: Esercizio A Q as 0,03 1, , , ,65 Covertibilità aua: Q aa 0,06 1, ,61 7 1, Q as Q as 6 1 0,06 Q aa Q as , ,86 48

49 Esercizio B La costruzioe di u complesso immobiliare richiede i segueti esborsi: - 3 ml di da versare subito; - 5 ml di all ao da versare per i prossimi 3 ai; - 4 ml di da versare fra 4 ai. Assumedo u tasso di iteresse pari al 6 %, calcolare la rata aua posticipata del mutuo deceale che fiazia la costruzioe. Fabbisogo fiaziario: A Quota ammortameto: 3 1, ,06 1,06 1, ,53 Q a 0,06 1,06 19, , ,65 49

50 Esercizio C Compilare il piao di ammortameto trieale, co rate aue posticipate, di u mutuo pari a al tasso di iteresse del 4 %. 0,04 1, ,04 1 Quota ammortameto: , 23 Q a 3 Ao Qa Qi Qc De Dr , ,23 600, , , , ,23 407, , , , ,23 207, , ,00 0,00 50

51 Esercizio D La mautezioe di u fabbricato richiede le segueti spese: ogi 4 ai; ogi 6 mesi; ogi 10 ai. Assumedo u tasso di iteresse pari al 10 %, calcolare la quota di mautezioe aua. Quota mautezioe: Q m 0,1 6 0, , , , ,41 51

52 Alcui saggi di uso comue Saggio iteresse (r): Prezzi d uso (costo) dei capitali (posticipazioe) Saggio di scoto (d): Costo dell aticipazioe di u capitale (d=r/(1+r) Saggio di capitalizzazioe: Rapporto fra reddito e valore di u bee Saggio di iteresse legale (rl): Saggio fissato per orma co cui si regolao i rapporti (debiti/crediti) fra cittadio e pubblica ammiistrazioe (sl= Iflazioe + Redimeto medio titoli di stato (BOT) a 12 mesi Tasso ufficiale di riferimeto (TUR): Tasso al quale la BCE fiazia le bache per le operazioi pricipali EURIBOR: Europea Iterbak Offered Rate, tasso di rifiaziameto iterbacario a breve, riferimeto per i tassi praticati ei mutui a tasso variabile IRS: Iterest Rate Swap, tasso di riferimeto ei mutui a tasso fisso 52