Metodi e Modelli di Programmazione Lineare

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1 Metod e Modell d Programmazoe Leare Massmo Paolu (paolu@dst.uge.t) DIS Uverstà d Geova La Programmazoe Leare (LP) Modello d programmazoe matemata ma f() s.t. X R vettore delle varabl desoal X seme delle soluzo ammssbl f() fuzoe obettvo salare Metodo desoale algortmo d ottmzzazoe

2 LP rham teor La defzoe d u modello d programmazoe matemata Defzoe delle varabl Formulazoe Matemata Defzoe dell obettvo Defzoe de vol LP rham teor Quado sa la fuzoe obettvo he le relazo he esprmoo vol soo lear s ha u problema d PL ma R A b () () Problema Forma Stadard è l vettore delle varabl desoal è l vettore de oeffet della fuzoe obettvo b è l vettore m de term ot de vol A è la matre m de oeffet de vol; A[a j ],,...,m, j,...,

3 LP rham teor Ipotes ella forma stadard b b,...,m m< mrago(a) Qualuque problema d PL può essere trasformato u problema equvalete forma stadard U vettore se soddsfa vol () è detto soluzoe, se soddsfa () e () è soluzoe ammssble Se R PL a varabl otue Se Z PL a varabl tere (IP) Se alue varabl soo real ed altre tere PL msta (MIP) LP rham teor 6 Cosderamo rsultat fodametal el aso d R L seme de vol ( geerale dsuguaglaze) rappreseta u Poledro R Dato u problema P d PL, se l Poledro è: huso e o vuoto (Poltopo) P è ammssble o soluzo ottme fte aperto e o vuoto P può essere ammssble o soluzo ottme fte oppure ammssble seza soluzoe ottme fte (llmtato, o o ottmo all fto) vuoto P è o ammssble (seza soluzo ammssbl) U poledro è u seme ovesso u vert soo dett Put Estrem

4 LP rham teor 7 X Poltopo { } R : A X b X X Aperto X X X Vuoto X X X X LP rham teor 8 La soluzoe ottma fta (se esste) orrspode ad uo o pù put estrem del poledro. al put estrem soo aratterzzat algebramete dalle soluzo d base ammssbl Ua soluzoe d base orrspode alla selta d m varabl su, ossa alla selta d ua sottomatre (detta ase) mm d A vertble, e s alola aullado le restat -m varabl fuor base. N Vettore Vettore delle delle var var.d base (m ). fuor base (( m))

5 LP rham teor Soluzoe d base b N 9 Soluzoe d base ammssble se b eorema Dato X{Ab, } seme ovesso, dove A è ua matre m d rago m o m<, e è u puto estremo d X se e solo se e èua soluzoe d base ammssble. LP rham teor Il umero d soluzo d base è lmtato dal massmo umero d matr estrabl da A m! m!( m)! eorema Fodametale della PL Se u problema d PL ammette soluzoe, allora esste ua soluzoe ammssble d base. Se u problema d PL ha soluzoe ottma fta, allora ha ahe ua soluzoe d base ottma.

6 LP L algortmo del smplesso (smple) Il smplesso era la soluzoe ottma esplorado le soluzo d base effettuado ua rera loale: data ua soluzoe d base verfa se l obettvo può essere mglorato e se ò è possble determa ua soluzoe d base mglore adaete a quella d parteza Geometramete esplora la frotera del poledro de vol (algortmo estero) D (ottma) C f.obj X A (zale) LP L algortmo del smplesso (smple) Problema forma stadard ma R A b ma s.t. a M a m R L a L a,..., L m b b m Geera equazoe (m equ. de vol equ. obettvo) j R j j,, K,m

7 LP L algortmo del smplesso (smple) Il Smplesso ( forma algebra). Izalzzazoe Determare ua soluzoe d base ammssble. Verfa dell ottmaltà Se j j R allora la soluzoe orrete è ottma e l algortmo terma, altrmet adare al passo. Selta della varable etrate base Seglere ua var. fuor base k tale he k < ed adare al passo. Selta della varable usete dalla base Seglere la varable r tale he r Se k,...m, allora la soluzoe del problema è llmtata (o esste ottmo fto), e l algortmo terma rk m,...,m k k > LP L algortmo del smplesso (smple) Il Smplesso ( forma algebra). Pvotg. Rsolvere le equazo j R j j,, K,m ravado k e r r, fuzoe d j,j R-{k} e d r La uova soluzoe s ottee poedo j, j R-{k} e r Adare al passo.

8 LP L algortmo del smplesso (smple) Il ableau Cotee oeff. delle m equazo de vol e f.ob. e permette d effettuare pass dell algortmo maera semple jj,, K, m j R L L L L L r m j k L L L L L j k L L L L L j k M M O M M M M M L L L L L r rj rk r M M M O M M M M L L L L L m mj mk m LP L algortmo del smplesso (smple) 6 Il Smplesso (sul tableau). Izalzzazoe Costrure l tableau zale o ua soluzoe d base ammssble. Verfa dell ottmaltà Se ella rga d o esstoo oeffet egatv la soluzoe orrete è ottma e l algortmo terma, altrmet adare al passo. Selta della varable etrate base Seglere ua var. fuor base k tale he k < ed adare al passo.. Selta della varable usete dalla base Se tutt oeffet ella oloa d k soo k,...,m, o esste ottmo fto e l algortmo terma, altrmet alolare rapport / k,...,m, solo per gl k >, e seglere la rga r-esma assoata al rapporto pù polo. Il oeff. rk èlpvot

9 LP L algortmo del smplesso (smple) 7 Il Smplesso (sul tableau). Pvotg. Portare base k al posto d r dvdedo la rga r-esma per l pvot, qud sottraedo la uova rga r alle altre rghe del tableau, obettvo luso, dopo averla moltplata per l orrspodete oeff. della oloa k. I questo modo la uova oloa k sarà formata da tutt oeff. ull trae l oeff. r-esmo uguale ad. Aggorare l ethetta della rga r-esma o k. Adare al passo. LP L algortmo del smplesso (smple) 8 rasformazoe de problem forma stadard Vol d s troduoo var. d slak (sarto) a j b a Vol d s troduoo var. d surplus (eedeza) a j j j j j b j a j j j Varabl lbere s effettua la sosttuzoe j u j v j o u j v j j j s s b b s s erm ot egatv (b ) s amba l sego al volo Problema d mmo s amba sego alla f.ob. e s massmzza (oppure s verte la odzoe d ottmaltà dell algortmo)

10 LP L algortmo del smplesso (smple) 9 Izalzzazoe ase zale formata da var. d slak A Is b Metodo delle due fase (wo-phase Method) Metodo del g-m Soluzo degeer Almeo ua ompoete d è ulla Possoo ausare loop ell algortmo (lg) Crter d selta della var. etrate Metodo del gradete Metodo del massmo remeto LP Il problema della produzoe (Produt M) Il problema Determare qual e quat prodott produrre ( geerale, qual attvtà esegure ed a quale lvello) modo da massmzzare l proftto oseguete teedo oto della dspobltà lmtata delle rsorse eessare alla produzoe Il problema s può affrotare geerale o l Aals Margale (...) Può essere modellato o la PL se le relazo teologhe he legao prodott e rsorse possoo essere approssmate modo leare r r Ioltre tutte le gradezze possoo essere osderate determsthe ( partolare, rav dalla vedta de prodott)

11 LP Il problema della produzoe (Produt M) Formulazoe ed terpretazoe del problema S dspoe d j,...,m rsorse produttve (ad esempo, matere prme) quattà lmtata La massma dspobltà delle rsorse è b,...,b m S possoo produrre,..., dvers prodott utlzzado o ua data teologa le rsorse dspobl Soo ote le quattà d rsorse eessare per produrre ua utà d asu possble prodotto: per produrre ua utà del prodotto -mo s utlzzao a j utà della rsorsa j-ma (ell potes d leartà questo oeff. resta ostate) Agl prodott soo assoat proftt utar,..., (proftto per utà d prodotto, potzzado tutta la produzoe vega veduta, ovvero he volado la produzoe ad ua domada supposta ostate e ota) LP Il problema della produzoe (Produt M) Formulazoe ed terpretazoe del problema aj ma b,..., R,..., j j,...,m Varabl quattà d prodotto -mo otue (?) e postve Vol la quattà totale d og rsorsa utlzzata ella produzoe o può superare la dspobltà massma Obettvo l ravo totale della produzoe

12 LP Il problema della produzoe (Produt M) Formulazoe ed terpretazoe del problema E u PL forma aoa d massmzzazoe ma A b R A è detta matre teologa All potes d odzo determsthe (parametr ostat) s rspode o l Aals d Post-ottmaltà Esemp ed terpretazoe: prodott rsorse (smplesso sul tableau aals grafa el pao de prodott) Uso d pahett sw (Eel, Ldo, Lgo) prodott e rsorse prodott e rsorse (smplesso o sw aals grafa el pao delle rsorse) LP Il problema della produzoe (Produt M) Esempo ma () C () D, 8 6 () () () A 6 E ()

13 LP Il problema della produzoe (Produt M) Esempo : Forma Stadard,..., 8 6 ma () () () 6 () () () A E D C 6 LP Il problema della produzoe (Produt M) Esempo : Il tableau ase zale formata dalle slak Il ableau zale a terazoe: X etra ed ese (dal verte A al verte???; esegure alol...)

14 LP Il problema della produzoe (Produt M) Esempo : Il tableau 7 Il ableau dopo la prma terazoe / / / / / / a terazoe: X etra ed ese (dal verte??? al verte???; esegure alol...) LP Il problema della produzoe (Produt M) Esempo : Il tableau 8 Il ableau dopo la seoda terazoe / / / / / / / / 8 / / / / Il tableau è ottmo La soluzoe ottma / / / N

15 LP Il problema della produzoe (Produt M) Esempo : Domade 9 Cosa suede alla soluzoe se l poledro fosse aperto? Provare o ma Come s roose l aso d pù soluzo ottme equvalet? Provare o ma,, 6 8 LP Il problema della produzoe (Produt M) Esempo : Uso d software per la soluzoe d PL Eel (Solver) Esemp graf (D) (aso d sol. llmtata e problema o amm.) Ldo Lgo (formulazoe smbola) Esempo : prodott e rsorse ma 9 6 7,...,

16 LP Il problema della produzoe (Produt M) Iterpretazoe eooma Fuzoe Obettvo Curva Isoguadago Vol Satur (bdg ostrats) Rsorse Sarse Slak ulle Coverrebbe aumetare la dspobltà e se sì osa aadrebbe? Vol o satur Rsorse abbodat Slak postve Coverrebbe aumetare la dspobltà e se sì osa aadrebbe? Domade d arattere eoomo/gestoale oseguet alla soluzoe: V soo rsorse o utlzzate? Posso dmure lo spreo? C soo rsorse he m overrebbe aqusre ulterormete? Qual e o he prortà? D quato ha seso aumetare la dspobltà delle rsorse? Che aade se varao rav per me prodott, ovvero quato è robusta la soluzoe? LP L aals d sestvtà (post-ottmaltà) L aals d sestvtà osete d valutare gl effett d pole varazo de parametr rspetto la soluzoe ottma del problema (varazo margal) I as he vedremo: Rage d varazoe della dspobltà delle rsorse Aumeto d rsorse sarse Dmuzoe d rsorse abbodat Rage d varazoe de oeff. d guadago Effett ausat dall aquszoe d uove rsorse Effett ausat da produzoe dversa dall ottmo (prodotto o oveete, uovo prodotto) eora eessara: defzoe d alue gradezze e la teora della dualtà

17 LP Defzoe d alue gradezze Coeffet d osto rdotto r (r j, j R) Soo oeff. delle varabl fuor base ella rga della f.ob. el tableau j j R Cosderamo u tableau forma matrale ed l aso u la base zale è formata da slak b A I s s b N I s s N N b N I b N s N N LP Defzoe d alue gradezze Coeffet d osto rdotto r (r j, j R) Corrspodoo a e la odzoe d ottmaltà è r j j R Domada: he sgfato ha la preseza d almeo u r j el tableau ottmo? I moltplator del smplesso π (π j, j R) Corrspodoo a Osservazo sul tableau ottmo I moltplator del smplesso soo parte degl r e s rduoo agl r orrspodet alle slak fuor base Se la base zale era osttuta da slak, le oloe delle slak all ottmo otegoo - j j j a r π

18 LP La eora della Dualtà Ad og problema d PL (Prmale) è assoato u problema Duale Problema Prmale (P) ma s.t. L a L a b M am L am bm Problema Duale (D) m s.t. b L bmm a L am m M a L amm ( varabl, m vol) (m varabl, vol) LP La eora della Dualtà 6 Il problema D ha tate varabl quat soo vol d P e tat vol quate soo le varabl d P. I forma matrale: (P) ma (D) m b A b R A R m

19 LP La eora della Dualtà 7 Forma smmetra della dualtà regole d trasformazoe (P) (D) ma m vol m ma vol LP La eora della Dualtà Duale d u Prmale o vol d uguaglaza: Ifatt: (P) ma A b R A b equvale a m A u (b u v u,v R A u b m v v) (D) A b A b A m b A var.lbere R m b troduedo m varabl dual, u e v e sosttuedo u -vs ottee (D) 8

20 LP La eora della Dualtà 9 Forma o smmetra della dualtà: regole d trasformazoe (P) (D) ma m vol m ma vol volo var. lbera var. lbera volo Le trasformazo soo reversbl: l duale del duale è l prmale. LP La eora della Dualtà La teora della Dualtà è mportate perhè: le soluzo d P e D soo legate tra loro le soluzo dual hao u terpretazoe eooma utle per l aals d sestvtà (post-ottmaltà); sulla teora della dualtà soo basat algortm, qual l Smplesso Duale e l Algortmo Prmale-Duale, alteratv al Smplesso (Prmale) utl per erte lass d problem; può ert as essere oveete rsolvere D al posto d P (ovee rsolvere l problema o l mor umero d vol)

21 LP La eora della Dualtà: rsultat fodametal Cosderamo la oppa d problem (P) e (D) (P) m (D) ma b A b A. eorema (debole) della dualtà Sao e soluzo ammssbl rspettvamete per (P) e (D), allora b LP La eora della Dualtà: rsultat fodametal Dmostrazoe: soluzoe A ( A ) soluzoe A b ( A) b ( A ) A ( A) b Corollaro Se (P) è llmtato (D) o è ammssble Se (D) è llmtato (P) o è ammssble Se (P) ha soluzoe ottma fta (D) ha soluzoe ottma fta Se (D) ha soluzoe ottma fta (P) ha soluzoe ottma fta

22 . eorema (forte) della dualtà Se (P) e (D) ammettoo soluzoe ottma fta, allora per og ottmo per (P) esste ua soluzoe ottma per (D) tale he b Dal eorema della dualtà forte s rava valore della soluzoe ottma d (D) orrspodete alla soluzoe ottma d (P) b N b b b LP La eora della Dualtà: rsultat fodametal LP La eora della Dualtà: rsultat fodametal Osservazo La base è ottma per (P) e per (D). Ua base ammssble per (P) orrspode ad ua base ammssble per (D) solo se è ottma. b X b N ma N N N N (P) (D).lbere var N b m N N )N ( b) ) ( a) Y

23 LP La eora della Dualtà: rsultat fodametal Osservazo La base è ottma per (P) e per (D). Ua base ammssble per (P) orrspode ad ua base ammssble per (D) soo se è ottma. Y a) b) ( ) ( )N N a) b) N N (vera sempre) a j j j R soo le odzo d ottmaltà su ost rdott d (P) LP La eora della Dualtà: rsultat fodametal Osservazo Solo orrspodeza dell ottmo dalla base ammssble per (P) s ottee ua soluzoe ammssble per (D) (he è ahe ottma). Ad ua geera terazoe del smplesso dalla base d (P) s può ostrure l vettore de moltplator del smplesso he o è soluzoe d (D). 6 Qual è l sgfato eoomo del problema duale? Cosa rappresetao le varabl dual?

24 LP La Dualtà: terpretazoe eooma Cosderamo: u problema (P) ma A b 7 la soluzoe (o degeere) b N > ed ua pola varazoe b> d b o amba la base ottma (b b) N LP La Dualtà: terpretazoe eooma 8 Come amba l valore dell obettvo? (b b) b b Vara della varazoe delle rsorse per l valore della soluzoe ottma duale! Allora può essere terpretato ome l prezzo (valore) margale delle rsorse (b) pohè da qual è la varazoe dell obettvo (guadago) oseguete ad ua maggor dspobltà delle rsorse. I valor dual ottm soo ahe dett prezz ombra

25 LP La eora della Dualtà: rsultat fodametal Lo sarto omplemetare (omplemetar slakess) Cosderamo ua oppa (P), (D) (P) ma A b A Is b s var. m var.d slak 9 (D) m b A A Iv v m var. var.d surplus Ad og varable d (D) è assoato u volo d (P) e qud la orrspodete varable d slak e veversa. LP La eora della Dualtà: rsultat fodametal Lo sarto omplemetare (omplemetar slakess. eorema della slakess omplemetare Data la oppa d soluzo e rspettvamete ammssbl per (P) e (D), e soo ottme per (P) e (D) se e solo se s j j (b j a j ) j j, K,m v (a ), K, dove a j è l vettore rga j-esma d A a è l vettore oloa -esma d A

26 LP La eora della Dualtà: rsultat fodametal Lo sarto omplemetare (omplemetar slakess Il teorema stablse he a. b.. d. a > a > a j j > bj a j < bj j (volo duale saturo: v ) (volo duale o saturo: v >) (volo prmale saturo: s j ) (volo prmale o saturo: s j >) LP La Dualtà: terpretazoe eooma Il problema del Produt M Stablre lvell ottm d produzoe per u seme d prodott modo da massmzzare l proftto ravato dalla loro vedta, rspettado la dspobltà lmtata delle rsorse eessare alla produzoe (P) ma A b b j a j lvello d produzoe del prodotto -mo proftto per utà d prodotto -mo dspobltà della rsorsa j-ma quattà d rsorsa j-ma eessara per produrre u utà d prodotto -mo j-mo volo d (P) a j bj l osumo totale d rsorsa j-ma o supera la sua dspobltà massma

27 LP La Dualtà: terpretazoe eooma Il duale del problema del Produt M Avedo selto d vedere le rsorse produttve, determare l loro prezzo mmo, mpoedo he la loro vedta sa almeo tato oveete he vedere be prodott o le rsorse (D) m b A j b j a j prezzo mmo a u vedere la j-ma rsorsa proftto per utà d prodotto -mo dspobltà della rsorsa j-ma quattà d rsorsa j-ma eessara per produrre u utà d prodotto -mo -mo volo d (D) a l valore d ua utà d prodotto -mo, alolato osderado le rsorse eessare per produrlo e l loro prezzo mmo, deve superare l prezzo utaro d vedta del prodotto stesso LP La Dualtà: terpretazoe eooma Iterpretazoe eooma della slakess omplemetare Prmale: Il valore delle rsorse (l valore ottmo delle varabl dual) è postvo solamete quado le rsorse soo utlzzate ompletamete (rsorse sarse), ovvero quado soo ulle le varabl d slak assoate a vol orrspodet Duale s b a j j j s j j Il lvello d produzoe de prodott (l valore ottmo delle varabl prmal) è postvo solamete quado l proftto utaro he s rava dalla loro vedtà è par a quato s raverebbe vededo le rsorse eessare alla produzoe al loro prezzo mmo (odzoe d blao eoomo), ovvero quado l surplus d guadago utaro della vedta delle rsorse rspetto la produzoe de prodott è ullo v a v

28 LP La Dualtà: terpretazoe eooma Il problema della Deta (bledg) Determare la deta blaata pù eooma avedo la possbltà d aqustare dvers b. Ua deta è blaata se soddsfa lvell mm goraler d alore e d altr elemet utrzoal (e.g., protee, alo, ferro, vtame). Qud determare la quattà he deve essere aqustata per asu bo, mmzzado la spesa omplessva e soddsfaedo lvell utrzoal mm (P) m A b j-mo volo d (P) a j bj b j a j quattà d bo -mo da aqustare osto per utà d bo -mo lvello mmo per l elemeto utrz. j-mo quattà d elemeto utrzoale j-mo presete ua utà d bo -mo la quattà omplessva dell elemeto utrz. j-ma forta da b aqustat deve essere almeo par al relatvo lvello mmo. LP La Dualtà: terpretazoe eooma Il duale del problema della Deta Voledo aqustare sgolarmete gl m elemet utrzoal (e.g., pllole) per otteere la deta blaata, determare l massmo prezzo per sgol elemet modo he l loro aqusto sa ompettvo rspetto quello de b oteet tal elemet 6 (D) ma b A j b j a j prezzo massmo a u aqustare l j-mo elemeto utrz. osto per utà d bo -mo lvello mmo per l elemeto utrz. j-mo quattà d elemeto utrz. j-mo presete ua utà d bo -mo -mo volo d (D) a l prezzo utaro del bo -mo steto (l prezzo della quattà d elemet utrz. fort da ua utà d bo -mo) deve o superare l prezzo reale del bo -mo

29 LP L aals d post-ottmaltà 7 Cosderamo u problema d PL o soluzoe ottma e base ottma assoata, determare o qual odzo possoo varare ert oeffet del problema lasado varata la base ottma. ma A b Cosdereremo tre as: a) varazoe d u oeffete della fuzoe obettvo assoato ad ua varable fuor base ( N ) b) varazoe d u oeffete della fuzoe obettvo assoato ad ua varable base ( ) ) varazoe del terme oto d u volo (b) LP L aals d post-ottmaltà 8 Cas (a) e (b): varazoe de prezz d vedta de prodott (a) grafo el pao de prodott all ottmo è fuor base l oeff.agolare dell obettvo è dmuse C aumeta D E dveta sol. ottma etra base A 6 E

30 LP L aals d post-ottmaltà Cas (a) e (b): varazoe de prezz d vedta de prodott (a) aalto Sa k, k R, l oeffete he vee varato. Il oeffete d osto rdotto assoato alla k-esma varable fuor base è 9 postvo pohè la base è ottma e varado k vara r k r k a k k k k δ rˆ k a k k a k ( k δ ) Perhè la soluzoe orrete rest ottma l uovo valore d r k deve rmaere postvo (altrmet la varable fuor base assoata sarebbe addata ad etrare base) rˆ k a k ( k δ) δ a k k δ r k LP L aals d post-ottmaltà 6 Cas (a) e (b): varazoe de prezz d vedta de prodott A (b) grafo el pao de prodott all ottmo è base C E dmuse aumeta D 6 l oeff.agolare dell obettvo è aumeta dmuse C dveta sol. ottma la base amba D dveta sol. ottma ese d base

31 LP L aals d post-ottmaltà Cas (a) e (b): varazoe de prezz d vedta de prodott (b) aalto Sa,,...,m, l oeffete he vee varato. La varazoe modfa tutt gl r k delle var. fuor base he devoo restare postv perhé la base o amb M r k ak k k R e ( mo) M δ δe rˆ k a k k δe a k e ( ) 6 rˆ k rk δ( ) a k k Come s effettuao as (a) e (b) utlzzado l tableau ottmo? LP L aals d post-ottmaltà Caso (): varazoe della dspobltà delle rsorse Due possbltà 6 () aumetare le rsorse sarse per mglorare l obettvo () rdurre le rsorse abbodat lasado varato l obettvo () grafo el pao de prodott () b (sarsa) aumeta C () A D D L E 6 ()

32 LP L aals d post-ottmaltà Caso (): varazoe della dspobltà delle rsorse Due possbltà 6 () aumetare le rsorse sarse per mglorare l obettvo () rdurre le rsorse abbodat lasado varato l obettvo () grafo el pao de prodott () C () b (abb.) dmuse D E A 6 () LP L aals d post-ottmaltà 6 Caso (): varazoe della dspobltà delle rsorse () aalto Sa b,,...,m, l terme oto del -mo volo he vee varato A ausa d tale varazoe s modfao valor delle varabl d base b b δ ˆ (b δe ) b δ( ) ˆ δ( ) e ( ) oloa -ma d - ˆ δ( ) Come s effettua questa aals usado l tableau ottmo (aso partolare)?

33 6 LP L aals d post-ottmaltà U esempo, 8 6 ma,..., 8 6 ma 8 6 / / / / / / / / / 8/ / / l tableau zale l tableau ottmo 66 LP L aals d post-ottmaltà U esempo questo aso oeff. k he moltplao le var. fuor base soo tutt ull, e le orrspodet oloe a k della matre N soo vettor e k, oeff. d osto rdotto el tableau ottmo forsoo drettamete l valore dell ottmo duale / / / / / / / / / 8/ / / - k k k k k k e e a r [ ] (... perhé?)

34 LP L aals d post-ottmaltà 67 U esempo Caso (a) oeff. dell obettvo d ua var. fuor base varazoe d : (zalmete - slak) δ δ r δ varazoe d : (zalmete - slak) δ δ r δ Iterpretazoe eooma? / / / / / / / / 8/ / / / LP L aals d post-ottmaltà U esempo Caso (b) oeff. dell obettvo d ua var. base varazoe d : (zalmete ) δ 68 rˆ rˆ δ δ δ δ / / / / / / / / 8/ / / / Iterpretazoe eooma?

35 LP L aals d post-ottmaltà U esempo Caso (b) oeff. dell obettvo d ua var. base varazoe d : (zalmete ) δ 69 rˆ rˆ δ δ δ δ 6 / / / / / / / / 8/ / / / Iterpretazoe eooma? LP L aals d post-ottmaltà U esempo Caso (b) oeff. dell obettvo d ua var. base varazoe d : (zalmete - slak) δ 7 rˆ rˆ δ δ δ δ / / / / / / / / 8/ / / / Iterpretazoe eooma?

36 LP L aals d post-ottmaltà U esempo Caso () varazoe della dspobltà delle rsorse Due possbltà:.) aumetare la dspobltà delle rsorse sarse (b e b ).) dmure l eesso d rsorse abbodat (b ) 7 Caso (.) varazoe d b : (zalmete b 6) b b δ ˆ δ δ ˆ δ δ ˆ δ δ b 7 Iterpretazoe eooma? / / / / / / / / 8/ / / / (N: possble perhé l tableau otee - ) LP L aals d post-ottmaltà U esempo Caso () varazoe della dspobltà delle rsorse Due possbltà:.) aumetare la dspobltà delle rsorse sarse (b e b ).) dmure l eesso d rsorse abbodat (b ) 7 Caso (.) varazoe d b : (zalmete b 8) b b δ ˆ δ δ ˆ δ δ ˆ δ δ 6 b Iterpretazoe eooma? / / / / 8/ / / / / / / / (N: possble perhé l tableau otee - )

37 LP L aals d post-ottmaltà U esempo Caso () varazoe della dspobltà delle rsorse Due possbltà:.) aumetare la dspobltà delle rsorse sarse (b e b ).) dmure l eesso d rsorse abbodat (b ) 7 Caso (.) varazoe d b : (zalmete b ) b b δ ˆ δ δ b Iterpretazoe eooma? / / / / 8/ / / / / / / / (N: possble perhé l tableau otee - ) LP L aals d post-ottmaltà U esempo Il valore delle rsorse Per vol sul osumo delle rsorse s ha 7 Volo saturo (slak ulla) Rsorsa sarsa (var.duale ottma postva) Volo o saturo (slak postva) Rsorsa abbodate (var.duale ottma ulla) Covee aumetare le rsorse sarse Margalmete la f.ob. rese del valore delle rsorse (l valore delle var. dual ottme j ) Il valore delle rsorse abbodat è ullo ( j ) Covee aumetare per prma la rsorsa sarsa a u è assoato l valore maggore

38 LP L aals d post-ottmaltà U esempo Il valore delle rsorse Nell esempo valor dual s possoo leggere drettamete sul tableau ottmo questo è aso partolare,... perhé? 7 / / / / / / / / 8/ / / / LP L aals d post-ottmaltà Esemp o software Eel Ldo 76

39 LP L aals d post-ottmaltà 77 Osservazo fal Se s dmuse (etro lmt alolat) ua rsorsa abbodate la soluzoe o amba Cosa suede se vee s soprsse d avere ua dspobltà ferore d ua rsorsa sarsa? Qual valutazo possamo fare el aso d: troduzoe d u uovo prodotto varazoe della teologa...? L aals d post-ottmaltà è u proesso loale (la sua valdtà è lmtata ad u toro della soluzoe ottma) LP I problem a umer ter e mst 78 Molt problem desoal rhedoo l uso d varabl tere per rappresetare alteratve dsrete Questo tpo d problem s hamao ombator I qualhe aso può essere ragoevole rlassare l problema osderado le varabl ome real Attraverso l uso d varabl bare (-) è possble modellare odzo loghe X A s verfa l eveto A (e.g., ompro l prodotto, afftto ua maha, passo per la strada A,...) X A o s verfa l eveto A Esemp: shedulg, loato problems, routg...

40 LP I problem a umer ter e mst 79 Esemp d formulazo o varabl bare Kapsak Problem possbl progett possbl da realzzare b budget massmo dspoble a j vestmeto eessaro al progetto j j guadago ravato dal progetto j progett o possoo essere realzzat parzalmete (o tutto o ulla) problema: osa fazare per massmzzare l guadago? ma j j j a j j j j b Kapsak baro {,} j,..., ( j fazo l progetto j) LP I problem a umer ter e mst 8 Esemp d formulazo o varabl bare Mathg Problem (assegazoe) m attvtà da assegare ad proessor (mahe, persoe,...) og proessore può esegure ua sola attvtà l attvtà o è terrompble j osto dell assegazoe d a j problema: assegare tutte le attvtà a osto mmo m m jj j j,...,m j m j j,..., j Mathg baro {, },...,m j,..., ( j assego a j)

41 LP I problem a umer ter e mst 8 Esemp d formulazo o varabl bare rattameto d vol dsgutv (l aso del Sequeg Problem) sequezare u seme d task su u sgolo proessore l proessore esegue u task alla volta seza terruzoe p proessg tme del task problema: ome srvere vol he garatsoo ua sequeza ammssble? t R, l state zo eseuzoe d. Dat due task e j, s possoo verfare due as:. preede j t j t p. j preede t t j p j Soo vol mutuamete eslusv (dsgutv)... LP I problem a umer ter e mst 8 Esemp d formulazo o varabl bare rattameto d vol dsgutv (l aso del Sequeg Problem) s trodue ua varable bara e s utlzza l bg-m j j preede preede j t j t t t j p M( p j M j j ) questo modo s è odzoato reproamete l omportameto d ua varable bara o delle varabl otue

42 LP I problem a umer ter e mst 8 La soluzoe de problem a umer ter (Iteger Programmg, IP) I problem IP e MIP soo geeralmete dffl (NP-hard) I alu (poh) as la soluzoe rlassata è tera I geerale s possoo usare tre tp d metod d soluzoe:. Metod basat su ua eumerazoe mplta delle soluzo (rah ad oud Methods). Metod basat sull uso d pa d taglo (Cuttg Plaes Methods). Metod spef per partolar lass d problem